ANEXO 1 TABLA DE ESPECIFICACIONES DE ASIGNATURA CARRERA: Matemáticas NOMBRE DE LA ASIGNATURA: Topología General
CUATRIMESTRE: 9
HORAS POR ASIGNATURA: 72 RESPONSABLES METODOLÓGICOS: ELABORÓ: Leticia Montserrat Vargas Rocha
VALIDÓ:
FECHA DE ENTREGA: 30 de Septiembre de 2013
Descripción de la asignatura: La asignatura Topología General es la primera y única aproximación que se tiene a la Topología en esta licenciatura en Matemáticas. Por esta razón se proporcionan los conceptos fundamentales de esta materia y ejemplos concretos de algunos objetos topológicos interesantes, de manera que el estudianteno sólo los adquiera, sino que los comprenda y pueda utilizarlos si decide continuar estudios en otras áreas de la Topología: Topología Algebraica, Topología Diferencia y Álgebra Topológica. Nuestro enfoque es partir de conocimientos ya adquiridos en asignaturas de cuatrimestres anteriores y, en algunos casos, generalizar conceptos, y en otros, contraponer conceptos en espacios abstractos. La asignatura pertenece al noveno cuatrimestre de la Licenciatura en Matemáticas en el Módulo 3 correspondiente a una Formación Disciplinar. Es consecutiva a Análisis Matemático I y II, donde el alumno adquirió los conceptos, en espacios reales, de conjuntos abiertos y cerrados; interior, frontera y cerradura de un conjunto; vecindades y de métrica. Esta asignatura le permitirá al estudiante adquirir los conceptos fundamentales de la Topología, con los cuales será capaz de comprender modelos, al menos de una manera intuitiva, en diversas áreas, como biología, computación y física, en los que la Topología es el fundamento. Esta asignatura proporcionará una estructura conceptual y de razonamiento, al menos adecuada, para continuar con asignaturas como Geometrías no Euclidianas, Ecuaciones Diferenciales II y Álgebra Moderna I y II. En la unidad 1 se enuncian las propiedades de los conjuntos abiertos para determinar si una familia de subconjuntos de un conjunto dado forma una topología o no. También enunciaremoslos conceptos de vecindad y de base y veremos una metodología para generar una topología en un conjunto. Enunciaremos las propiedades de los conjuntos cerrados y su relación con las propiedades de los conjuntos abiertos de manera que el estudiante adquiera otra manera de definir una topología en un conjunto. Al final de esta unidad el estudiante tendrá la capacidad de definir una topología en un conjunto que sea el producto cartesiano de dos espacios topológicos, y definir una topología en el conjunto de las clases de equivalencia de un espacio topológico en el cual esté definida una relación de equivalencia. En la unidad 2 se definirá topológicamente la continuidad de una función y se usará la definición de función continua para distinguir si una función dada entre dos espacios topológicos es continua o no. Al final de esta unidad, se espera que el estudiante tenga la capacidad de determinar la imagen directa de un subconjunto del dominio de una función continua, y la imagen inversa de un subconjunto del contradominio de una función continua. Para esto usará las propiedades de las funciones continuas con respecto a
los conjuntos abiertos y a los conjuntos cerrados. Se enunciará también definición de homeomorfismo de manera que se pueda distinguir si una función dada entre dos espacios topológicos es un homeomorfismo o no y analizaremos las propiedades que se preservan bajo las funciones continuas. Finalmente en la unidad 3 el estudiante adquirirá el concepto de conjunto conexo y será capaz de usar la definición para distinguir si un conjunto es conexo o es disconexo. Usaremos las propiedades de las funciones continuas en relación a la conexidad para concluir que dos espacios topológicos no son equivalentes. Comprenderá la definición de conjunto compacto mediante cubiertas abiertas y le daremos ejemplos de lo que no se cumple en Rn. Enunciaremos el Teorema de HeineBorel para distinguir si un conjunto es compacto en Rn. Generalizaremos los teoremas fuertes de continuidad para funciones definidas en espacios topológicos, usaremos las propiedades de los conjuntos compactos para deducir la existencia de máximos y mínimos, y usaremos las propiedades de los conjuntos conexos para deducir la existencia de soluciones de ecuaciones.
Competencia (s) General(es):
Analizar los conceptos fundamentales de la Topología para resolver problemas en espacios generales (no sólo reales), mediante la definición de sus propiedades y la demostración de teoremas sobre Espacios Topológicos.
Competencias específicas de unidad
Utilizar los conceptos básicos de la Topología para definir Espacios Topológicos y distintas Topologías en un mismo conjunto mediante los teoremas sobre conjuntos.
Analizar el concepto de Homeomorfismo entre Espacios Topológicos para establecer las propiedades que distinguen, en casos sencillos, si dos Espacios Topológicos son equivalentes por medio de la utilización de la definición.
Utilizar los conceptos de conexidad por trayectorias y compacidad para distinguir espacios topológicos, mediante el uso y la relación entre las propiedades topológicas de dicho espacio.
Competencias transversales: Estas competencias son fijas y comunes a todas las carreras, su desarrollo se promueve con las actividades que realiza el estudiante, es necesario tomarlas en cuenta al momento de diseñar estas actividades. Solución de problemas y toma de Comunicación Gestión de información Pensamiento crítico Trabajo colaborativo Sociales decisiones Capacidad de Capacidad de Capacidad de actuar Capacidad de trabajo en Responsabilidad social y Capacidad creativa. comunicación oral y
investigación.
ante nuevas
equipo.
compromiso ciudadano.
Capacidad para tomar
escrita. Capacidad de comunicación en segundo idioma.
Capacidad de aprender y actualizarse permanentemente. Habilidades para buscar,
situaciones. Capacidad crítica y
interpersonales.
autocrítica.
Capacidad de motivar y
Capacidad de
conducir hacia metas
procesar y analizar
abstracción, análisis y
información procedente de
síntesis.
diversas fuentes.
Habilidades
comunes. Capacidad para
Compromiso con la preservación del medio ambiente. Compromiso con su medio social-cultural. Valoración y respeto por la
formular y gestionar
diversidad y la
proyectos.
multiculturalidad. Compromiso ético. Compromiso con la calidad.
decisiones. Capacidad para identificar, platear y resolver problemas. Capacidad de organizar y planificar el tiempo. Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica.
TEMARIO Nota: El número de unidades, temas y subtemas correspondientes a cada unidad, están delimitados por el alcance de la competencia, se deben agregar los campos que sean necesarios para cubrirlos. Tiempo estimado Unidad Tema(s) Subtema(s) Por unidad Por tema 1.1.1 ¿Qué estudia la topología? 1.1. ¿Qué es la topología? 5 Hrs. 1.1.2 ¿Para qué sirve la topología? 1.2.1 Vecindades en Rn 1.2.2 Interior, exterior y frontera de un conjunto 1.2. Topología de Rn 11 Hrs. 1.2.3 Conjuntos abiertos y cerrados en Rn 1. Espacios 1.2.4 Cerradura de un conjunto 32 Hrs. topológicos 1.2.5 Vecindades relativas 1.3.1 Bases, topologías y espacios topológicos 1.3 Espacios topológicos 11 Hrs. 1.3.2 Ejemplos de espacios topológicos 1.3.3 Subespacios topológicos 1.4 Aplicación 1.4.1 Topología digital 5 Hrs. 2. Continuidad y
2.1. Continuidad
equivalencias topológicas
2. 2 Homeomorfismos y propiedades topológicas 3.1 Espacios conexos por trayectorias
3.Conexidad por trayectorias y compacidad
Unidad:
Competencia específica/
3.2 Aplicaciones de conexidad por trayectorias
2.1.1 Definición topológica de continuidad 2.1.2 Ejemplos de funciones continuas 2.2.1 Homeomorfismos y espacios equivalentes 2.2.2 Propiedades topológicas 3.1.1 Espacios conexos por trayectorias 3.1.2 Componentes arco-conexas 3.2.1 Robots y topología 3.3.1 Cubiertas abiertas y compacidad 3.3.2 Compacidad en Rn 3.3.3 Aplicaciones
3.3 Compacidad
10 Hrs. 20 Hrs. 10 Hrs. 6 Hrs. 20 Hrs.
6 Hrs. 8 Hrs.
1. Espacios topológicos
Componentes de la competencia
Logros de la competencia/ Nivel taxonómico del logro
Metodología Enseñanza-Evaluación Metodología establecida (ABPr, ABC, ABP., aprendizaje basado en la resolución de ejercicios y problemas matemáticos , otras) Evaluación del aprendizaje Desempeños y productos que evidencien el dominio de los logros Evaluación continua Autoevaluación
Interacciones individuales y colaborativas
Comprender los conceptos básicos de la Topología para definir espacios topológicos y distintas topologías en un mismo conjunto mediante los teoremas sobre conjuntos.
Contenido declarativo: Objeto de estudio de la topología Conjunto abierto Conjunto cerrado Interior de un conjunto Cerradura de un conjunto Frontera de un conjunto Cerradura de un conjunto Topología Espacio Topológico Subespacio topológico Contenidos procedimentales Topología Espacio Topológico Base de una Topología Espacio producto Espacio cociente
1. Comprender el objeto de estudio de la topología y su utilidad. Comprensión (2) 2. Comprender los conceptos de conjunto abierto y cerrado, interior, frontera, exterior y cerradura para n subconjuntos de R . Comprensión (2) 3. Generalizar los conceptos de conjuntos abiertos para definir el concepto de topología y espacio topológico. Análisis (3)
4. Utilizar los conceptos
Contenidos actitudinales -Analítico -Visual -Comunicación oral y escrita -Trabajo en equipo -Investigador Aspectos contextuales: Sirve como
de topología, vecindades y conjuntos cerrados para definir una topología en un conjunto. Utilización (4)
Tareas
Actividad 2. Topologías de conjuntos
Evidencia de aprendizaje Distintas topologías en un conjunto
Se presentan conjuntos para que el estudiante identifique su interior, frontera y exterior y calcule su cerradura.
Se presenta al estudiante un conjunto y se le pide que defina dos topologías distintas él.
Logro 2 y 3
Actividad 3. El plano digital.
Actividad 1. Utilidad de la topología. El estudiante investigará aplicaciones de la topología, describirá una de ellas en el foro y discutirá sus respuestas con las de sus compañeros. Logro 1
E-portafolio (Ponderación de la evidencia/ Autorreflexión
Se le pide al estudiante que defina una topología en ZxZ que modele una pantalla digital. Logro 4
35%
No ponderable
fundamento para comprender los conceptos de Funci贸n, Continuidad y Homeomorfismo
Unidad:
Competencia específica/
2. Continuidad y equivalencias topológicas
Componentes de la competencia
Logros de la competencia/ Nivel taxonómico del logro
Metodología Enseñanza-Evaluación Metodología establecida (ABPr, ABC, ABP., aprendizaje basado en la resolución de ejercicios y problemas matemáticos , otras) Evaluación del aprendizaje Desempeños y productos que evidencien el dominio de los logros Evaluación continua Autoevaluación E-portafolio (Ponderación de la Interacciones individuales y No ponderable Tareas evidencia/ Autorreflexión colaborativas
Contenido declarativo:
Analizar el concepto de Homeomorfismo entre Espacios Topológicos para establecer las propiedades que distinguen, en casos sencillos, si dos Espacios Topológicos son equivalentes o no, utilizando la definición
Funciones continuas Homeomorfismos Equivalencia topológica Propiedades topológicas Contenidos procedimentales Transformaciones continuas Homeomorfismos Propiedades topológicas
Contenidos actitudinales -Analítico -Visual -Comunicación oral y escrita -Trabajo en equipo -Investigador
Actividad 2. Visualización de funciones continuas.
1. Identificar funciones continuas, y homeomorfismos. Comprensión (2) 2. Discriminar entre transformaciones continuas y homeomorfismos entre espacios topológicos Análisis (3) 3. Clasificar propiedades de conjuntos en topológicas y no topológicas Análisis (3)
Actividad 1. Identificación de funciones continuas El estudiante aportará en el foro 2 ejemplos de funciones continuas que haya utilizado en su vida cotidiana Logro 1
Se presentan un par de espacios topológicos. El estudiante deberá describir gráficamente un par de funciones continuas entre los espacios, una en un sentido y otra en el sentido inverso. Logro 2
Actividad 3. Propiedades topológicas Investigar cuales propiedades de los espacios son propiedades topológicas. Presentar un reporte con la descripción de tres de ellas. Logro 3
Evidencia de aprendizaje Distinguir espacios utilizando sus propiedades topológicas Se presenta al estudiante una lista de espacios topológicos y se le pide que agrupe los que son homeomorfos. Además debe decir al menos una propiedad topológica que compartan los espacios de un mismo grupo, y al menos una propiedad topológica que distinga a los distintos grupos. 35 %
Aspectos contextuales: Sirve para diferenciar espacios utilizando sus propiedades cualitativas
Unidad:
Competencia específica/
Utilizar los conceptos de conexidad por trayectorias y compacidad para distinguir espacios topológicos, mediante el uso y la relación entre las propiedades topológicas de dicho espacio
3. Conexidad y compacidad
Componentes de la competencia
Contenido declarativo: Conexidad por trayectorias Compacidad Aplicaciones de conexidad por trayectorias y compacidad Contenidos procedimentales
Conexidad por trayectorias Compacidad Valores extremos de una función
Contenidos actitudinales
Logros de la competencia/ Nivel taxonómico del logro
1. Comprender los conceptos de conexidad por trayectorias y compacidad Comprensión (2)
Metodología Enseñanza-Evaluación Metodología establecida (ABPr, ABC, ABP., aprendizaje basado en la resolución de ejercicios y problemas matemáticos , otras) Evaluación del aprendizaje Desempeños y productos que evidencien el dominio de los logros Evaluación continua Autoevaluación E-portafolio (Ponderación de la Interacciones individuales y No ponderable Tareas evidencia/ Autorreflexión colaborativas Actividad 2. Robots y conexidad Actividad 1. Conexidad por trayectorias
2. Diseñar el espacio de configuración de un par de robots de manera que su espacio de configuración seguro cumpla propiedades topológicas dadas Utilización (4)
A partir de un ejemplo de espacio topológico se plantea una pregunta detonadora y el estudiante presentará sus conclusiones en un foro.
3. Analizar una función para decidir si alcanza sus valores extremos utilizando el concepto de compacidad Análisis (3)
Logro 1
¿Es arco-conexo el espacio ejemplo?
Diseñar un espacio de configuración para robots cuyo espacio de configuraciones seguro cumpla ciertas propiedades topológicas. Logro 2
Actividad 3 Aplicaciones de compacidad y conexidad a funciones reales Resolver problemas sobre funciones reales utilizando el concepto de compacidad. Logro 3
Evidencia de aprendizaje Distinguir espacios topológicos utilizando los conceptos de compacidad y conexidad por trayectorias Se le pide al estudiante que clasifique un conjunto de espacios topológicos de acuerdo a sus propiedades de conexidad y compacidad. 30%
-Analítico -Visual -Comunicación oral y escrita -Trabajo en equipo -Investigador Aspectos contextuales: Sirve para establecer una relación entre robótica y topología