U0 descripcion de la asignatura

Análisis matemático I Información general de la asignatura

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

7° cuatrimestre

Análisis Matemático I

Información general de la asignatura

Clave: 050930726

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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Análisis matemático I Información general de la asignatura

Índice

Información general de la asignatura ............................................................................................. 3 Ficha de identificación ........................................................................................................................ 3 Descripción ............................................................................................................................................ 3 Competencia general ........................................................................................................................... 5 Temario ................................................................................................................................................... 5 Metodología de trabajo ....................................................................................................................... 6 Evaluación .............................................................................................................................................. 6 Fuentes de consulta básica .................................................................................................. 8 Fuente de consulta complementaria .................................................................................... 8

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Análisis matemático I Información general de la asignatura Información general de la asignatura Ficha de identificación División Nombre de la licenciatura Nombre la asignatura Clave de asignatura

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología Licenciatura en Matemáticas Análisis Matemático I 050930726

Seriación

Cálculo Integral, diferencial

Cuatrimestre Horas contempladas

Séptimo 72

Descripción El Análisis Matemático, es una rama de las matemáticas relativamente nueva. Nace a partir del siglo XIX, cuando el cálculo diferencial e integral estaba ya bastante desarrollado, entonces surgieron nuevas y diferentes ramas de las matemáticas, al mismo tiempo que se descubrían nuevos resultados y nuevos campos de aplicación; y, también, se repasaron y profundizaron los conceptos básicos del cálculo.

Entonces los matemáticos se dieron cuenta, por un lado, que sus fundamentos no eran tan sólidos, y por otro, que podían extenderlos y generalizarlos. Matemáticos como Lagrange y Cauchy precisaron las definiciones de límite, continuidad e integral. El matemático checo Bolzano, contribuyó notablemente al estudio riguroso de las funciones continuas.

Para el estudio de las funciones continuas, se hizo necesario profundizar en el entendimiento de la naturaleza de los números reales y las propiedades de la recta numérica. Pero la comprensión de las funciones continuas, también se requería comprender las funciones discontinuas; y, en su estudio, aparecieron funciones discontinuas como límite de funciones continuas, sin saber de antemano si la función límite sería continua o no.

Así, el surgimiento y desarrollo del Análisis Matemático, tiene una motivación un tanto abstracta, ligada a una mayor comprensión y desarrollo de las matemáticas en sí mismas. Pero también tienen una motivación real y objetiva, ligada al entendimiento y resolución de los nuevos problemas y retos que se plantea la humanidad para comprender mejor el universo que nos rodea.

El Análisis Matemático, además de tener aplicaciones en otras ramas de las matemáticas, como las ecuaciones diferenciales, la teoría de conjuntos y la probabilidad, tiene aplicaciones en otras

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Análisis matemático I Información general de la asignatura ciencias como la física, la química, la biología, la astronomía o la economía; todas éstas, ligadas al establecimiento de leyes generales del comportamiento de la naturaleza y del hombre y a la solución de problemas científicos y tecnológicos muy concretos.

Como en otras ramas de las matemáticas, el Análisis Matemático establece conceptos abstractos, que pueden aplicarse en diferentes esferas del conocimiento.

Por ejemplo, un conjunto de puntos puede representar diferentes cosas: un conjunto de funciones, donde cada elemento, cada punto, es una función; un conjunto de colores donde cada color es un punto; o, un conjunto de personas, donde cada punto es una persona. La continuidad de una función puede representar la continuidad de la transmisión del sonido, la continuidad de una corriente de agua, o de un flujo eléctrico.

Para no hablar de cada caso particular, se hacen abstracciones, se deja de hablar de los casos particulares, y se hacen generalizaciones que pueden aplicarse a los diferentes casos.

Por lo anterior, esta asignatura exige que desarrolles tu capacidad de abstracción para lograr un buen entendimiento.

También es importante tener en cuenta que, para el estudio de esta asignatura, necesitas manejar los resultados del cálculo diferencial e integral, de una y de varias variables.

En el Análisis Matemático se desarrollan construcciones cuyos cimientos están representados por axiomas, afirmaciones que se pueden justificar pero las aceptamos sin discusión y, en base a ellas se deducen o construyen otras propiedades y resultados a los que llamamos lemas o teoremas cuya validez debe ser demostrada. De éstas propiedades se deducen otras y así sucesivamente, construyendo una red intrincada.

La asignatura se imparte en el séptimo cuatrimestre de la carrera: Licenciatura en Matemáticas.

El curso consta de tres unidades. En la primera se estudia las propiedades básicas de los números reales, de manera especial la completitud de los números reales; los espacios vectoriales y métricos, sucesiones convergentes en estos espacios y funciones continuas.

La segunda unidad aborda la continuidad y compacidad, tratando varios resultados importantes (teorema de Heine, teorema del punto fijo y teorema de categorías de Baire). Y la tercera unidad está dedicada al estudio de la convergencia de sucesiones de funciones, concluyendo con el teorema de Arzela-Ascoli y sus aplicaciones.

Propósitos La asignatura tiene como propósito que el estudiante:

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Análisis matemático I Información general de la asignatura   

Generalice los conceptos y resultados del cálculo en ℝn a espacios más generales, en concreto a los espacios métricos.

Comprenda los conceptos esenciales del Análisis Matemático: compacidad, convergencia y teoremas fundamentales.

Comprenda una demostración y sea capas de desarrollar sus propias demostraciones siguiendo razonamientos rigurosos y utilizando las nociones básicas de topología, espacios métricos y convergencia.

Competencia general Utilizar los conceptos y procedimientos del Análisis Matemático para la resolución de problemas planteados en el ámbito de las Ciencias y en el campo profesional.

Temario Unidad 1. Los números reales, espacios vectoriales y continuidad 1. Espacios Vectoriales 1.1. Resultados fundamentales en ℝ 1.1.1. Supremo e ínfimo propiedades 1.1.2. Propiedad arquimedeana. Existencia de raíz de 2 1.2. Teoremas de completitud 1.2.1. Cortaduras de Dedekind y sucesiones monótonas 1.2.2. Intervalos Anidados 1.2.3. Teorema de Bolzano 1.2.4. Sucesiones de Cauchy 1.3. Numerabilidad y no numerabilidad 1.3.1. 1.3.1 Conjuntos finitos e infinitos 1.3.2. 1.3.2 Conjuntos numerables 1.3.3. 1.3.3 Colecciones numerables de conjuntos numerables 1.4. Espacios vectoriales 1.4.1. 1.4.1 Producto escalar 1.4.2. 1.4.2 Normas.

1.4.3. 1.4.3 Distancias 1.4.4. 1.4.4 Topología básica en espacios métricos 2. Sucesiones y Continuidad 2.1. Sucesiones convergentes 2.1.1. Sucesiones convergentes 2.1.2. Subsucesiones 2.1.3. Sucesiones de Cauchy 2.2. Sucesiones de funciones 2.2.1. Convergencia puntual

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Análisis matemático I Información general de la asignatura 2.2.2. Convergencia uniforme 2.2.3. Convergencia e integración 2.2.4. Convergencia y derivación 3. Compacidad, completitud y categorías 3.1. Compacidad y completes 3.1.1. Espacios métricos completos 3.1.2. Teorema de Heine-Borel 3.2. Continuidad y compacidad 3.2.1. La imagen de un compacto bajo una función continua 3.2.2. El Teorema del Punto Fijo para contracciones 3.2.3. Continuidad uniforme y compacidad 3.3. Teorema de Baire 3.3.1. Conjuntos densos y densos en ninguna parte 3.3.2. Conjuntos de primera y segunda categoría

Metodología de trabajo En esta asignatura se manejaran los contenidos con teoría y practica, dado que los conocimientos teóricos son indispensables para poder resolver una situación o problema dentro de los contenidos. La metodología que se utiliza es el aprendizaje basado en la resolución de problemas y ejercicios, dado que por medio de los contenidos teóricos, el estudiante los aplicará para resolver problemas.

El conocimiento teórico trascendente para la asignatura, dado que requieren un desarrollo completo, tanto conceptual como formal. Es indispensable que tengas conocimiento de Cálculo diferencial e integral, ecuaciones diferenciales y Cálculo de varias variables, dado que son indispensables para avanzar en esta asignatura.

Los problemas o demostraciones que se te piden a lo largo de la unidad están sustentados en conocimientos establecidos y que necesitan ser demostrados o resueltos a través de tu ingenio y análisis para determinar su solución mas óptima.

Evaluación En el marco del Programa de la UnAD, la evaluación se conceptualiza como un proceso participativo, sistemático y ordenado que inicia desde el momento en que el interactúa con los diversos componentes educativos del aula virtual por lo que se le considera desde un enfoque integral y continuo.

Por lo anterior, para acreditar la asignatura se espera la participación responsable y activa del estudiante contando con el acompañamiento y comunicación estrecha con su facilitador quien a través de la retroalimentación permanente, podrá evaluar de manera objetiva su desempeño.

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Análisis matemático I Información general de la asignatura Para lograrlo es necesaria la recolección de evidencias que reflejen el logro de las competencias por parte de los alumnos.

En este contexto, la evaluación forma parte del proceso de aprendizaje, en el que la retroalimentación permanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo y reconocer el esfuerzo. Es requisito indispensable la entrega oportuna de cada una de las tareas, actividades y evidencias así como la participación en foros y demás actividades programadas en cada una de las unidades y conforme a las indicaciones dadas. Las rúbricas establecidas para cada actividad contienen los criterios y lineamientos para realizarlas, por lo que es importante que el estudiante la revise antes de elaborarlas.

En lo que se refiere a la asignación a cargo del facilitador, éste hará uso de instrumentos y técnicas de evaluación previa planificación, que permitirán retroalimentar y reforzar de manera pertinente a los estudiantes de acuerdo al avance y características del grupo enriqueciendo su proceso formativo.

A continuación presentamos el esquema general de evaluación.

Evaluación continúa Actividades formativas E-portafolio. 50% Asignación a cargo del facilitador CALIFICACIÓN FINAL

ESQUEMA DE EVALUACIÓN Interacciones individuales y colaborativas Tareas Evidencias Autorreflexiones Instrumentos y técnicas de evaluación propuestas por el facilitador

10% 30% 40% 10% 10% 100%

Cabe señalar que para aprobar la asignatura, se debe de obtener la calificación mínima indicada por la UnAD. Más específicamente, la evaluación a través de actividades se realizará de la siguiente manera: En la unidad 1, se establecen tres actividades, las cuales inician con una tarea donde el estudiante recordará las propiedades de los números reales y sus distintas demostraciones, seguido de otra tarea donde aplicarás los teoremas fundamentales de compitud en la resolución de distintos problemas. Al finalizar se coloca un foro, en el cuál tendrás que analizar y revisar un texto para poder determinar los resultados. Para terminar se te presenta un evidencia de aprendizaje, donde utilizarás todo el conocimiento adquirido en la unidad para resolver problemas en aplicaciones de espacios vectoriales.

En la unidad 2, esta formado de cuatro actividades, lo cual se forma por tres tareas un foro mediante una paradoja y una evidencia de aprendizaje, el cual se evaluará toda la unidad.

Y por ultimo la unidad tres esta formada primeramente por un foro, donde describirás el tipo de problemas que motivaron el proceso de definir con precisión y demostrar con rigor los conceptos de cálculo diferencial e integral. Se complementa con tres tareas donde practicarás

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Análisis matemático I Información general de la asignatura con la compacidad, continuidad y compacidad y el teorema de Baire y Arzela Ascoli, resolviendo diferentes problemas, y por ultimo la evidencia de aprendizaje donde utilizaras los teoremas utilizados y revisados durante la unidad.

Fuentes de consulta básica     

Bartle, R. G., The Elements of Real Analysis, New York: J. Wiley, 1964.

T. M. Aopostol, Análisis Matemático, Reverté, S.A., 1976.

Kolmogorov, A. N., Fomin, S. V., Introductory Real Analysis, New York: Dover, 1975.

Rudin, Walter, Principles of Matematical Analysis, New York: McGraw-Hill, 1965.

Bartle, R. G., Sherbert D. R. Introducción al Análisis Matemático de una variable, Limusa, 1984.

Fuente de consulta complementaria  

Royden, H. L., Real Analysis, New York: Macmillan, 1988.

Dieudonné, J.,Éléments d'analyse, Paris: Gauthier-Villars, 1968.

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