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Álgebra moderna II Unidad 1. Productos directos Contenido nuclear Universidad Abierta y a Distancia de México Licenciatura en Matemáticas

Licenciatura en Matemáticas

8° Semestre

Programa de la asignatura: Álgebra moderna II

Unidad 1: Productos directos

Contenido nuclear

Clave: 05144842

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas

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Álgebra moderna II Unidad 1. Productos directos Contenido nuclear

Índice Introducción ..................................................................................................................... 3 Productos directos.......................................................................................................... 4 Grupos abelianos finitos ................................................................................................. 5 Cierre de la Unidad .......................................................................................................... 6 Fuentes de consulta ........................................................................................................ 6

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Álgebra moderna II Unidad 1. Productos directos Contenido nuclear Introducción El Álgebra Moderna o Álgebra abstracta estudia las estructuras algebraicas mediante sus simetrías. En este curso estudiaremos un nuevo grupo conocido como el producto directo: aplicaremos esos resultados al caso de grupos abelianos finitos, exploraremos las acciones de grupos y los teoremas de Cauchy y Sylow.

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Ă lgebra moderna II Unidad 1. Productos directos Contenido nuclear Productos directos Producto directo. Si H y K son dos grupos, el producto directo de ellos es el producto cartesiano đ??ť Ă— đ??ž ≔ {(â„Ž, đ?‘˜) đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ â„Ž đ?œ– đ??ť, đ?‘˜ đ?œ– đ??ž}. Este forma un grupo bajo la operaciĂłn (â„Ž, đ?‘˜) ∙ (ℎ′ , đ?‘˜ ′ ) ≔ (ℎℎ′ , đ?‘˜đ?‘˜â€˛). 

El neutro del grupo es (đ?‘’đ??ť , đ?‘’đ??ž ). Esto se puede comprobar fĂĄcilmente haciendo lo siguiente: (â„Ž, đ?‘˜) ∙ (đ?‘’đ??ť , đ?‘’đ??ž ) = (â„Žđ?‘’đ??ť , đ?‘˜đ?‘’đ??ž ) = (â„Ž, đ?‘˜) đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Ąđ?‘œđ?‘‘đ?‘Ž (â„Ž, đ?‘˜)đ?œ– đ??ť Ă— đ??ž.



Cada elemento en H x K tiene su propio inverso. Sea (â„Ž, đ?‘˜)đ?œ– đ??ť Ă— đ??ž, como H y K son grupos, entonces existen Ăşnicos ℎ−1 đ?œ– đ??ť y đ?‘˜ −1 đ?œ– đ??ž tales que (â„Ž, đ?‘˜) ∙ (ℎ−1 , đ?‘˜ −1 ) = (ℎℎ−1 , đ?‘˜đ?‘˜ −1 ) = (đ?‘’đ??ť , đ?‘’đ??ž ).

Ejemplo Sean đ??şđ?‘– , đ?‘– = 1,2, ‌ , đ?‘› đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘˘đ?‘?đ?‘œđ?‘ . El grupo cartesiano đ??ş1 Ă— đ??ş2 Ă— ‌ Ă— đ??şđ?‘› dotado de la operaciĂłn. (đ?‘”1 , đ?‘”2 , ‌ , đ?‘”đ?‘› )(đ?‘”´1 , đ?‘”´2 , ‌ đ?‘”´đ?‘› ) = (đ?‘”1 đ?‘”´1 , đ?‘”2 đ?‘”´2 , ‌ , đ?‘”đ?‘› đ?‘”´đ?‘› ) Posee estructura de grupo, y recibe el nombre del producto directo de los grupos đ??şđ?‘– , đ?‘– = 1,2, ‌ , đ?‘›.

DemostraciĂłn La operaciĂłn interna y la asociatividad son evidentes de la estructura de đ?‘Ž y đ?‘Ż. El elemento neutro de đ?‘Ž Ă— đ?‘Ż es (đ?’†đ?&#x;? , đ?’†đ?&#x;?, ‌ , đ?’†đ?’? ). El elemento inverso de (đ?‘”1 , đ?‘”2 , ‌ , đ?‘”đ?‘› ) es (đ?‘”1−1 , đ?‘”2−1 , ‌ , đ?‘”đ?‘›âˆ’1 ) ∎ Ejemplo.

Sean đ??ş y đ??ť grupos, entonces 1.- đ??şđ?‘Ľ đ??ť ≅ đ??ťđ?‘Ľ đ??ş, 2.- đ??ş ≅ đ??ş ′ = {(đ?‘”, đ?‘’đ??ť ): đ?‘” ∈ đ??ş}, y 3. đ??şâ€˛ ⊲ đ??ş Ă— đ??ť DemostraciĂłn 1. Basta considerar la aplicaciĂłn đ?œ‘ = đ??ş Ă— đ??ť → đ??ť Ă— đ??ş definida segĂşn đ?œ‘(đ?‘”, â„Ž) = (â„Ž, đ?‘”), que es claramente un isomorfismo 2. Basta considerar la aplicaciĂłn đ?œ“1 : đ??ş â&#x;ś đ??şâ€˛ definida segĂşn đ?œ“1 (đ?‘”) = (đ?‘”, đ?‘’đ??ť ), que es, de nuevo, un isomorfismo.

3. Si consideramos la proyecciĂłn canĂłnica sobre la segunda componente đ?œ‹2 : đ??ş Ă— đ??ť â&#x;ś đ??ť definida segĂşn đ?œ‹2 (đ?‘”, â„Ž) = â„Ž,podemos observar que ker đ?œ‹2 = đ??şâ€˛de modo que, por el primer teorema de isomorfĂ­a đ??şâ€˛ ⊲ đ??ş Ă— đ??ť. ∎ Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas

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Ă lgebra moderna II Unidad 1. Productos directos Contenido nuclear Grupos abelianos finitos Recordemos que un grupo cĂ­clico es aquel que tiene un elemento generador, es decir, todo elemento del grupo se expresa como una potencia entera del generador.

Grupo abeliano finito. Un grupo ⌊đ??ş,âˆ—âŒŞ es un grupo abeliano finito si, como su nombre lo indica, suceden:   

G es un grupo bajo la operaciĂłn * La operaciĂłn es conmutativa, es decir, dados đ?‘”, â„Ž đ?œ– đ??ş se cumple que đ?‘” ∗ â„Ž = â„Ž ∗ đ?‘” El orden de G es finito

ÂżCĂłmo se pueden aplicar los resultados de productos directos al caso de grupos abelianos finitos? Mediante el siguiente teorema.

Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos. Todo grupo abeliano finito se puede descomponer en producto directo de grupos cĂ­clicos.

Teorema 1. Sea đ??ş un grupo abeliano, de orden đ?‘›, y đ??ť, đ??ž subgrupos de đ??ş de Ăłrdenes â„Ž y đ?‘˜ con đ?‘› = â„Žđ?‘˜ y (â„Ž, đ?‘˜)y (â„Ž, đ?‘˜) = 1. Entonces đ??ş es isomorfo a el producto directo đ??ť Ă— đ??ž.

DemostraciĂłn Sabemos que đ??ť y đ??ž son subgrupos normales de đ??ş, luegođ??ťđ??ž es un subgrupo de đ??ş de orden. đ?‘œ(đ??ť)đ?‘œ(đ??ž) đ?‘œ(đ??ť ∊ đ??ž) Ahora bien, si đ?‘Ľ ∈ đ??ť ∊ đ??ž el orden del elemento đ?‘Ľ es un divisor de â„Ž y đ?‘˜. Pero por hipĂłtesis se tienen que el Ăşnico divisor comĂşn de â„Ž y đ?‘˜ es 1, pues el (â„Ž, đ?‘˜) = 1. Luego đ?‘Ľ = đ?‘’, y esto demuestra que đ??ť ∊ đ??ž = {đ?‘’} Entonces tenemos que đ?‘œ(đ??ťđ??ž) = đ?‘œ(đ??ť)đ?‘œ(đ??ž) = â„Žđ?‘˜ Y por lo tanto đ??ťđ??ž = đ??ş đ?‘œ(đ??ťđ??ž) =

Aprende observando: 1. En este video verĂĄs el isomorfismo entre un grupo cociente y el producto directo de dos grupos cocientes. Tomado de MatemĂĄticas en YucatĂĄn recuperado de Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas

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Recursos web  https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/realquiler/fich/Alberto2rev.pdf  http://personales.unican.es/olazabaj/Docencia/T_Grupos/Apuntes/producto.pdf  http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001007/lecciones_html/parte1/cap7 /cap7s1.html

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http://www.cimat.mx/~fsanchezcv/docs/AModerna.pdf http://temasmatematios.uniandes.edu.co/Algebra_abstracta/abstracta.pdf http://fmwww.bc.edu/gross/MT216/aata.pdf http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/structure.html http://www.math.niu.edu/~beachy/abstract_algebra/ http://staffhome.ecm.uwa.edu.au/~00013270/b_a_a.pdf

Cierre de la Unidad En esta unidad construiste un nuevo grupo mediante el producto directo de ellos. Ahora cuentas con las herramientas para entender mejor las acciones de grupos.

Fuentes de consulta    

Zaldívar. F. (2006). Introducción a la Teoría de Grupos. Primera edición. México: Sociedad Matemática Mexicana.

Rotman. J. J. (2000). A First Course in Abstract Algebra. Second edition. United States of America. Prentice Hall.

Herstein. I. N. Álgebra Moderna: Grupos, Anillos, Campos, Teoría de Galois. Segunda edición. México: Trillas.

Fraleigh. J. B. (1994). A First Course in Abstract Algebra. United States of America.

Addison-Wesley Publishing Company.

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