U1 aproximacion

Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación

Universidad Abierta y a Distancia de México Licenciatura en matemáticas

7° cuatrimestre

Análisis numérico II Unidad 1. Aproximación

Clave: 050930729

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Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación

INDICE

Unidad 1. Aproximación .................................................................................................. 3 Presentación de la unidad............................................................................................... 3 Propósitos de la unidad .................................................................................................. 3 Competencia específica .................................................................................................. 3 1.1 Diferencias divididas ................................................................................................. 3 1.2 Localización de raíces ............................................................................................... 5 1.2.1 Método de la bisección ....................................................................................... 7 1.2.2. Método de la regla falsa. .................................................................................. 11 Actividad 1. Aproximación de una función .................................................................. 14 1.2.3. Método de Newton-Raphson ........................................................................... 14 Actividad 2 Métodos de Newton ................................................................................... 17 1.2.5. Método de Mûller .............................................................................................. 20 1.3. Evaluación de polinomios ...................................................................................... 22 1.3.1 Método de Horner ................................................................................................. 22 Actividad 3. Método de Horner ..................................................................................... 23 Autoevaluación .............................................................................................................. 23 Evidencia de aprendizaje. Combinación de métodos ................................................. 25 Cierre de la unidad......................................................................................................... 26 Para saber más .............................................................................................................. 26 Bibliografía ..................................................................................................................... 26

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Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación Unidad 1. Aproximación

Presentación de la unidad Al representar un problema mediante una ecuación requerimos presentar un resultado para resolver dicho problema. Por lo tanto, esta tarea es básica en el análisis numérico.

En la presente unidad examinaremos diferentes métodos para proveer con algún resultado numérico el resultado de funciones de una sola variable.

Propósitos de la unidad  

Utilizar métodos numéricos para aproximar soluciones de ecuaciones de una sola variable mediante diferentes métodos Evaluar polinomios minimizando el número de operaciones para minimizar los errores de redondeo mediante el método de Horner.

Competencia específica Utilizar diferentes métodos numéricos para aproximar soluciones de ecuaciones de una sola variable y evaluar polinomios con el método de Horner.

1.1 Diferencias divididas Las diferencias divididas son método para encontrar los coeficientes de un polinomio particular, llamado polinomio de Newton y que veremos con detalle más adelante, pero por lo pronto debido a que las ocuparemos en más de un caso las definiremos y describiremos.

Se denotan por (o a veces únicamente por siguiente manera recursiva:

) y están definidas de la

(1)

La definición anterior es claramente recursiva, es decir, en algún punto de su definición se llama a sì misma pero con un parámetro de menor tamaño. Para poder aplicar las

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Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación diferencias divididas de orden superior requerimos calcular algunas de las anteriores y es importante ver que en el caso basal tenemos que .

Algo importante a destacar en el caso que le sigue es el hecho de que lo que tenemos es la pendiente entre el punto y , es decir, es una la diferencia dividida calculó una aproximación numérica a la derivada de orden 1 entre esos dos puntos.

La siguiente diferencia dividida se calcula a partir de la siguiente expresión

Donde es un polinomio particular que deseamos conocer para aproximar ,y que describiremos con detalle posteriormente, son los coeficientes calculados recursivamente con este método con anterioridad. Despejando tenemos y haciendo un poco de aritmética obtenemos que: (

)

Lo que es la expresión de la pendiente entre y . Es justo lo que ocurre en las diferencias divididas de orden superior, lo que calculan es una aproximación numérica a la derivada j-ésima Ejemplo. Construir el polinomio

que aproxima

por el método de las diferencias divididas para

Nuestro polinomio queda pues

En la siguiente gráfica podemos ver como la función original en rojo es aproximada por el polinomio calculado en verde. Aunque no es una aproximación muy buena si nos indica la función de este polinomio y por consiguiente el cálculo de sus coeficientes a través de este método.

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Figura 1. Ejemplo de aproximación a una función mediante el método de diferencias finitas, en rojo está la función original y en verde el polinomio aproximado. En la grafica de la izquierda puedes ver el error relativo que tiene el polinomio sobre la función original a lo largo de las abscisas; aunque es más o menos constante aumenta drásticamente alrededor de 1 y mantiene un error alrededor del 1% que es un error muy alto.

Lo que es muy importante de este método es su capacidad de aproximar numéricamente la derivada de alguna función en un punto.

1.2 Localización de raíces Uno de los temas más comunes en el análisis numérico es la localización de raíces de una función. La raíz de una función continua es el valor para el que

A

también se le conoce como cero de la función.

Este tema no sólo tiene un gran interés académico como lo representa el problema de encontrar ceros en la función zeta de Riemann también tiene una gran cantidad de aplicaciones prácticas en nuestra vida cotidiana como lo puede ser el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Supongamos que haciendo una serie de depósitos constante de pesos en una cuenta bancaria cuya tasa de interés compuesta anual es . La cantidad ahorrada total es entonces (

)

(

)

(

)

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Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación El término

(

) representa la contribución mensual en pesos que genera la tasa de

interés sobre el capital para el primer período, las potencias término definen la contribución i-ésimo. Factorizando vemos que: (

(

)

(

Haciendo el cambio de variable

)

(

)

((

)

sobre este )

obtenemos ( (

Esta fórmula nos indica el ahorro total en contribuciones periódicas .

) )

)

meses con una tasa de interés

con

El problema numérico es entonces el siguiente. Si ahorramos 250 pesos al mes durante 20 años y queremos que el capital ahorrado al final de estos 20 años sea de 250,000 pesos ¿Cuál es la tasa de interés a la que debemos invertir para obtener este resultado? En este problema hace que sea función de únicamente, es decir,

Para encontrar este valor ocuparemos la siguiente estrategia, ocuparemos una y si cumple lo que queremos entonces ese será nuestro resultado, en caso de que no veremos si lo aumentamos o disminuimos.

Para nuestra primera opción

obtenemos

Como este resultado es menor de lo que esperábamos intentemos con

Esta vez no excedimos así que ahora probaremos con

Como nos volvimos a pasar de lo esperado probaremos con

Este resultado ya es bastante aproximado para lo que esperábamos por lo que podemos optar con quedarnos con esta instancia de la tasa de interés, y como en el análisis numérico un criterio muy común es optar por la respuesta que de la mejor respuesta posible, entonces nuestra respuesta será Lo que estuvimos haciendo de forma general fue buscar

tal que:

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Pero esto puede ser reexpresado como:

Esto ejemplifica lo que haremos en esta sección. Describiremos una serie de método que hagan cumplir que el argumento de alguna función dada pueda ser igualada a 0.

Los métodos que veremos son: 1. Método de la bisección 2. Método de la regla falsa 3. Método de Newton-Raphson 4. Método de la secante 5. Método de Müller

1.2.1 Método de la bisección Este método para encontrar raíces hace un uso extensivo del Teorema del Valor Intermedio (TVI) al cual hicimos referencia en la asignatura Análisis Numérico 1.

Recordando lo que dice este teorema es que si y entonces existe tal que .

Por el momento vamos a suponer que la raíz es única. Lo que hace este método iterativo es dividir el intervalo donde y por la mitad en cada iteración con un punto tal que

Un método iterativo es un método que hace uso de aproximaciones sucesivas al problema planteado. Estos métodos usualmente requieren una aproximación inicial a partir de la cual los nuevos valores serán calculados y el método se aplica nuevamente con estos parámetros redefinidos hasta que el criterio de solución es alcanzado o bien puede ser que un número predefinido de iteraciones se cumple.

Probando en cada iteración uno de los 3 siguientes casos. (i) Si entonces hemos terminado, (ii) Si entonces el cero se encuentra en el intervalo volvemos a aplicar el método en este subintervalo. (iii) Si entonces el cero se encuentra en el interavlo volvemos a aplicar el método en este subintervalo.

, así que así que

Es importante explicitar la aplicación del TVI. En todos los casos estamos redefiniendo la búsqueda siempre y cuando la multiplicación cumpla que

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Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación Esto significa que y son de signos contrarios, por lo tanto alguno de ellos es menor a 0 y la raíz se encuentra en el subintervalo definido por y . Esta dinámica de búsqueda hace que a este método también se le refiera como método de búsqueda binaria.

Figura 2. Esquema del algoritmo de la bisección haciendo uso del TVI.

Ejemplo. Considera

en el intervalo Esta función tiene una raíz en ese intervalo, para encontrarlo podemos usar el algoritmo recién descrito comenzando con y y punto medio

En la siguiente tabla puedes ver la evolución del algoritmo, las columnas indican la iteración, el extremo izquierdo del intervalo, el derecho, el punto medio, la evaluación del mismo, después la evaluación de los nuevos extremos y la evaluación de las condiciones (ii) y (iii).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1.00000 1.00000 1.25000 1.25000 1.31250 1.34375 1.35938 1.35938 1.36328 1.36328 1.36426

2.00000 1.50000 1.50000 1.37500 1.37500 1.37500 1.37500 1.36719 1.36719 1.36523 1.36523

1.50000 1.25000 1.37500 1.31250 1.34375 1.35938 1.36719 1.36328 1.36523 1.36426 1.36475

2.37500 -1.79688 0.16211 -0.84839 -0.35098 -0.09641 0.03236 -0.03215 0.00007 -0.01605 -0.00799

-5.00000 14.00000 -5.00000 2.37500 -1.79688 2.37500 -1.79688 0.16211 -0.84839 0.16211 -0.35098 0.16211 -0.09641 0.16211 -0.09641 0.03236 -0.03215 0.03236 -0.03215 0.00007 -0.01605 0.00007

SI NO SI NO NO NO SI NO SI NO NO

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NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI

8

Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación 12 13 14 15 16 17

1.36475 1.36499 1.36511 1.36517 1.36520 1.36522

1.36523 1.36523 1.36523 1.36523 1.36523 1.36523

1.36499 1.36511 1.36517 1.36520 1.36522 1.36523

-0.00396 -0.00194 -0.00094 -0.00043 -0.00018 -0.00005

-0.00799 -0.00396 -0.00194 -0.00094 -0.00043 -0.00018

0.00007 0.00007 0.00007 0.00007 0.00007 0.00007

NO NO NO NO NO NO

SI SI SI SI SI SI

Para la iteración 17 el resultado es bastante bueno, es decir, tiene una precisión mayor a por lo tanto diremos que encuentra su raíz en Ejemplo 2. La función es una función muy común en Ingeniería. Con el método de la bisección hay que encontrar el valor para el que se cumple en el intervalo . Entonces nuestra función a buscar es:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.06250 1.09375 1.10938 1.10938 1.11328 1.11328 1.11328 1.11377 1.11401 1.11414 1.11414

2.00000 2.00000 1.50000 1.25000 1.12500 1.12500 1.12500 1.12500 1.11719 1.11719 1.11523 1.11426 1.11426 1.11426 1.11426 1.11420

1.00000 1.50000 1.25000 1.12500 1.06250 1.09375 1.10938 1.11719 1.11328 1.11523 1.11426 1.11377 1.11401 1.11414 1.11420 1.11417

-0.15853 0.49624 0.18623 0.01505 -0.07183 -0.02836 -0.00664 0.00421 -0.00122 0.00150 0.00014 -0.00054 -0.00020 -0.00003 0.00006 0.00001

-0.97497 -0.76373 -0.96552 -0.99977 -0.99485 -0.99920 -0.99996 -0.99998 -1.00000 -1.00000 -1.00000 -1.00000 -1.00000 -1.00000 -1.00000 -1.00000

0.81859 0.81859 0.49624 0.18623 0.01505 0.01505 0.01505 0.01505 0.00421 0.00421 0.00150 0.00014 0.00014 0.00014 0.00014 0.00006

NO SI SI SI NO NO NO SI NO SI SI NO NO NO SI SI

SI NO NO NO SI SI SI NO SI NO NO SI SI SI NO NO

Con esta tabla podemos ver que en la iteración 16 se cumple que con obtenemos un resultado casi 0 para la precisión con la que estamos trabajando. function [c,err,yc]=biseccion(f,a,b,d) % metodo de la biseccion % entrada: f funcion, a extremo izquierdo, b extremo derecho, y d criterio de paro % c cero, yc=f(c), err es el error del resultado ya=feval(f,a) yb=feval(f,b)

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Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación if ya*yb>0,break,end max1=1+round((log(b-a)-log(d))/log(2)); for k=1:max1 c=(a+b)/2; yc=feval(f,c) if yc==0; a=c; b=c; elseif yb*yc>0 b=c; yb=yc; else a=c; ya=yc; end if b-a < d, break, end end c=(a+b)/2; err=abs(b-a); yc=feval(f,c) endfunction Algoritmo 1. Algoritmo de la bisección en Octave.

En el Algoritmo 1 está descrito el funcionamiento del algoritmo de la bisección en Octave, para ejecutarlo tienes que seguir los siguientes pasos. Salva el Algoritmo 1 como lo indica el nombre se la función (biseccion.m) y ejecuta Octave, define a f, una cadena, como la función de la que desees encontrar los ceros >>> f=”x^3+4*x^2-10”

Y después llama a la función biseccion de la siguiente forma >>> [a,b,c] = biseccion(“f”,0,2,0.0001) La salida será la siguiente octave:11> [k,l,m]=biseccion("f",0,2,0.0002) ya = -1 yb = 0.81859 yc = -0.15853 yc = 0.49624 yc = 0.18623 yc = 0.015051 yc = -0.071827 yc = -0.028362 yc = -0.0066428 yc = 0.0042080 yc = -0.0012165 yc = 0.0014960 yc = 1.3981e-004 yc = -5.3832e-004 yc = -1.9925e-004 yc = -2.9719e-005 yc = 5.5047e-005 k = 1.1142 l = 1.2207e-004 m = 5.5047e-005

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Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación En las variables a tendremos k tenemos el punto donde se alcanzó el cero f(k). No olvides usar las comillas (“) al pasar el parámetro f. Con este método podrás acercarte a tu resultado tanto como lo desees.

1.2.2. Método de la regla falsa.

Un método más rápido es el de la regla falsa, es decir, la convergencia de este método es superior al de la bisección. En este método haremos uso también del TVI pero a diferencia del método de la bisección, donde tomamos el punto medio de forma predeterminada, vamos a construir un valor en cada iteración que cumpla con ser el punto sobre la secante que conecta a los puntos y y que dicha secante pasará por la recta en el punto . Si entonces el cero que buscamos está a la izquierda de y en caso contrario estará a la derecha

Figura 3. Esquema del funcionamiento del algoritmo de la regla falsa.

Para construir el punto tenemos que hacer las siguientes consideraciones. Calculando las pendientes de estas rectas tenemos que para el primer caso

Y para el segundo caso obtenemos que

Como necesitamos que el punto sea uno de los extremos (ya que esperamos encontrar una raíz de nuestra función) entonces igualamos las pendientes

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Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación De donde podemos despejar fácilmente a conocemos

en términos de los demás datos que sí (2)

Esta es la fórmula para una sola iteración, es la expresión más general. Como estamos haciendo un método iterativo y, al igual que en la bisección, estamos reevaluando los extremos del intervalo donde vamos a buscar nuestra raíz la expresión anterior nos queda de la siguiente forma: (3)

Entonces nos enfrentamos a las mismas tres posibilidades del caso anterior. La actualización la podemos hacer de la misma forma que en el método de la bisección. (i) (ii) (iii)

Si entonces terminamos. Nuestra raíz es Si entonces tiene un cero entre con este nuevo intervalo.

Si entonces tiene un cero entre con este nuevo intervalo.

y evaluamos otra vez y evaluamos otra vez

Ejemplo. Utilizaremos este método con el último que usamos para bisección

1

0.000000

2.000000

-1.000000

0.818595

1.099750

-0.020019

NO

SI

2

1.099750

2.000000

-0.020019

0.818595

1.121241

0.009835

SI

NO

3

1.099750

1.121241

-0.020019

0.009835

1.114161

0.000006

SI

NO

4

1.099750

1.114161

-0.020019

0.000006

1.114157

0.000000

SI

NO

Puedes observar como este método fue mucho más rápido que el de la bisección El algoritmo de la regla falsa lo puedes ver a continuación function [c,err,yc]=reglafalsa(f,a,b,d=0.0001,e=0.0001,m=1000) % metodo de la regla falsa % entrada: f funcion, a extremo izquierdo, b extremo derecho, y d tolerancia de cero, e tolerancia de que la funcion ya este en cero, m maximo de iteraciones % c cero, yc=f(c), err es el error del resultado

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Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación ya=feval(f,a); yb=feval(f,b); if ya*yb>0, disp(“No cumple las condiciones”); break; end for k=1:m dx=yb*(b-a)/(yb-ya); c=b-dx; ac=c-a; yc=feval(f,c); if yc==0,break; elseif yb*yc>0 b=c; yb=yc; else a=c; ya=yc; ya=yc; end dx=min(abs(dx),ac); if abs(dx)<d,break,end if abs(yc)<e,break,end end c; err=abs(b-a)/2; yc=feval(f,c); Algoritmo 2. Algoritmo en Octave para la regla falsa.

Para ejecutarlo tienes que seguir las siguientes instrucciones. Salvarlo como un archivo reglafalsa.m y después en Octave definir la función para la que quieras encontrar el 0 de la manera que sigue. octave:3> f="x*sin(x)" f = x*sin(x)

Después ejecutar el algoritmo como se ilustra a continuación. Los parámetros al final son los criterios de funcionamiento de este algoritmo, te recomiendo dejarlo así. octave:4> [k,h,m]=reglafalsa("f",0,2,0.001,0.0002,1000) ya = -1 yb = 0.81859 k = 1.1142 h = 0.0072055 m = 5.6304e-006

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Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación Actividad 1. Aproximación de una función En esta actividad practicarás como resolver numéricamente una ecuación utilizando dos métodos, el de la regla falsa y bisección. Discutirás con detalle las consideraciones de uso de los métodos contrastándolos con la solución analítica.

Instrucciones 1. Descarga el archivo “Act 1. Aproximacion”.

2. Lee el contenido del documento, atendiendo principalmente los tips que se mencionan.

3. Crea una función con el nombre que tú designes y que modele el fenómeno descrito en el documento.

4. Ingresa al foro y redacta tus conclusiones sobre el uso de los métodos 5. Analiza la conclusión de tres de tus compañeros, aceptando o rechazando su aportación.

6. Consulta la rubrica de participación de foros, ubicada en la pestaña de Material de apoyo.

1.2.3. Método de Newton-Raphson Otro método para encontrar raíces extremadamente común y poderoso es el método de Newton-Raphson (o simplemente método de Newton). Este método ocupa información adicional sobre la función a a estudiar, es decir, necesitamos de la primera y segunda derivada de la misma para que el método funcione para generar que convergan más rápido a la raíz que los métodos que hasta ahora hemos visto.

Supongamos que se tiene tiene una raíz en y que existen y y como aproximación inicial. El punto se tiene que encontrar cerca del punto .

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Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación

Figura 4. Esquema del funcionamiento del algoritmo de Newton.

Para construir la expresión que nos dirá como construir el siguiente punto de la sucesión que nos acercará a la raíz a podemos hacerlo de la siguiente manear.

Definimos al punto dentro de la recta tangente al punto conformando así el punto . Entonces la pendiente de esta recta está dada por la expresión:

Pero también sabemos que

por definición es

Al igualar estas dos expresiones tenemos que

De donde es fácil ver que si despejamos

obtenemos:

De aquí podemos generalizar la expresión para generar los elementos de la sucesión que necesitamos a la siguiente expresión (4)

Si tomamos el desarrollo de Taylor de este cerca de .

alrededor de

podemos ver porque se pide que

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Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación En este caso, como sabes, el último sumando es el término de error para algún y . Como lo que queremos es entonces

entre

Pero como es raíz de entonces se cumple que . Cuando y están suficientemente cerca entonces todo el lado derecho de la ecuación anterior es despreciable o contribuye muy poco al resultado de los 2 primeros términos, esto queda de la siguiente manera

Al despejar

obtenemos: (5)

Que es la misma expresión que (4).

Ejemplo 1. Encontrar la intersección de las curvas e problema significa encontrar el cero de la siguiente función

. Replanteando el

Los diferentes puntos los construiremos, de acuerdo con el método de NewtonRaphson de la siguiente manera:

Nuestra elección de

es

y los resultados se muestran en la siguiente tabla: 0 1 2 3 4 5

0.785398163397448 0.739536133515238 0.739085178106010 0.739085133215161 0.739085133215161 0.739085133215161

Es claro que para iteraciones la aproximación ya no mejora nada.

Ejemplo. Calcule el tiempo que transcurre un proyectil en vuelo si su ángulo inicial de disparo es 45º, las velocidades iniciales en e son y C el cociente de masa por resistencia al aire es usando las siguientes fórmulas (

)(

)

(

)

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Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación Considerando que las velocidades tienen la siguiente descomposición

como aproximación inicial

y que

El desarrollo es bastante simple, sólo hay que seguir las fórmulas mostradas y sustituir valores. Los resultados se muestran a continuación 0 1 2 3 4

16.000000 12.244894 -58.024489 16.211030 -0.088390 -58.859253 16.209528 -0.000004 -58.853374 16.209528 0.000000 -58.853374 16.209528 0.000000 -58.853374

Observaciones: (1) La elección del punto inicial se hizo a partir de evaluar y que observes porque .

(2) Para calcular este problema específico desarrolla la expresión de y para que obtengas los mismo resultados.

, hazlo para con los valores

Actividad 2 Métodos de Newton En esta actividad practicarás como resolver numéricamente una ecuación el método de Newton.

Instrucciones 1. Descarga el archivo “Act 2. Método Newton”.

2. Lee el contenido del documento, atendiendo principalmente los tips que se mencionan.

3. Crea una función con el nombre que tú designes y que modele el fenómeno descrito en el documento.

4. Anota en un documento de texto, los procedimientos para crear y probar tu función.

5. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MANU2_U1_A2_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

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Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación 6. Envía tu documento a tu facilitador y espera su retroalimentación.

1.2.4. Método de la Secante El método de Newton hace uso de la segunda y primera derivada de una función, esto puede ser muy demandante de recursos o por lo menos lo fue en otra época en la que las computadoras y los paquetes de cálculo se estaban desarrollando, otra limitante son las funciones para las cuales no tenemos una función explícita que derivar o incluso aunque tengamos la expresión analítica, esta puede ser muy difícil de derivar. Este método sólo necesita de una evaluación de en cada iteración.

Figura 5. Esquema del algoritmo de la secante

En este método requiere a cambio dos puntos iniciales y sus correspondientes evaluaciones bajo , estos puntos deben estar cerca de al igual que en el método de Newton. ( )( ) La idea consiste en trazar la secante que pasa por y para construir el punto que va a yacer sobre el eje de las abscisas. Entonces este punto será específicamente

Ahora tenemos que relacionar estos tres puntos de la misma forma que lo hicimos con el método de Newton. Esto es, relacionando las pendientes.

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Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación Que es la pendiente que pasa por los puntos ( pasa por

(

)(

), y la pendiente que

) es la siguiente:

Pero estas pendientes son las mismas así que igualando obtenemos:

Al despejar

que es la que nos interesa obtenemos: (6)

Generalizándolo para cualesquiera dos puntos consecutivos de los cuales queremos obtener el último la expresión anterior queda como: (7)

Este algoritmo es casi tan rápido como el de Newton y como se puede ver nada más requiere de una evaluación de que para muchas aplicaciones tecnológicas puede representar una gran ventaja. La desventaja es el requerimiento de dos aproximaciones iniciales.

Ejemplo. Encontrar las raíces de

Con las condiciones iniciales

y

Después de un poco de simplificación algebraica obtenemos:

Los resultados se exhiben en la siguiente tabla.

0 1 2 3 4 5

-2.60000000000 -2.40000000000 -2.10659898477 -2.02264141231 -2.00151109733 -2.00002253648

0.20000000000 0.29340101523 0.08395757246 0.02113031498 0.00148856085 0.00002251380

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Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación 6 -2.00000002269 0.00000002269 7 -2.00000000000 0.00000000000 En esta tabla podemos ver las distintas iteraciones así como la raíz y el error respecto de la iteración anterior.

El algoritmo para la secante para Octave es function [p1,err,k,y]=secante(f,p0,p1,d,e,m) % metodo de la secante % % entrada % f es la funcion en forma de cadna % p0,p1 puntos iniciales % d tolareancia para p1 % e tolerancia para los valores bajo la funcion % m max numero de iteraciones % % salida % p1 es la aproximacion obtenida % err error % k iteraciones realizadas % y es el valor de f(p1) for k=1:m num=(p1-p0); den=(feval(f,p1)-feval(f,p0)); p2=p1-feval(f,p1)*num/den; err=abs(p2-p1); %calculamos error absoluto err_rel=2*err/(abs(p2)+d); %y tambien el relativo p0=p1; p1=p2; fp1=feval(f,p1); if (err<d)|(err_rel<d)|(abs(fp1)<e) break end end Algoritmo 3 Algoritmo para calcular el método de la secante.

Para usarlo es el mismo procedimiento que los métodos anteriores. Sálvalo como un archivo de nombre secante.m y después pasa los argumentos pedidos de la forma convencional.

1.2.5. Método de Mûller Ya vimos con anterioridad cómo el método de la secante puede encontrar la raíz de un polinomio con un algoritmo bastante sencillo. El inconveniente de los métodos vistos hasta ahora es que no nos permiten encontrar todos los ceros de una función cuando estos son requeridos o bien cuando no se tiene una buena aproximación inicial.

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Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación El método que veremos a continuación, propuesto por Müller en 1956, permite encontrar cualquier cantidad de ceros que puede tener una función. Algunas características de la importancia de este método es que es iterativo, no requiere la evaluación de la derivada de la función, puede obtener raíces reales o complejas.

Esto marca una diferencia cualitativa respecto de los otros métodos.

El método de Müller lo que hace es extender el Método de la Secante sustituyendo el polinomio lineal por uno cuadrático de segundo grado de la siguiente manera:

Figura 6. Esquema del algoritmo de Müller.

Sean ( formar

tres valores distintos que servirán para )( ) que sea raíz de . Haciendo el cambio de variable

Y construimos

y

de tal forma que:

Al sustituirlas en el polinomio cuadrático (8)

Obtenemos un sistema de tres ecuaciones de las cuales queremos conocer los coeficientes . Para poder obtener dicho coeficientes podemos usar las diferencias que ya construimos

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Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación A partir de la tercer ecuación sustituyendo en las primeras dos obtenemos:

De este sistema de ecuaciones solo ignoramos ellas obtenemos

, resolviendo el sistema para

La formula estable, equivalente a la que ya conoces, para obtener las raíces de (8) se obtienen con la siguiente expresión (9) √ De la cual vamos a escoger aquella que tenga el menor valor absoluto con el fin de garantizar la estabilidad del método. Entonces la siguiente raíz la podemos escoger de la siguiente forma: (10) El nuevo conjunto de puntos para la siguiente iteración lo conformaran las raíces más cercanas a .

1.3. Evaluación de polinomios Como has podido notar hasta el momento la proliferación de polinomios es extensa así que tenemos que ocuparnos de este aspecto. Esto es porque la evaluación de un polinomio en algún punto en particular puede llevar una gran cantidad de operaciones, sobre todo en las potencias más grandes, es decir, un término implica 5 multiplicaciones más 4 multiplicaciones de la potencia del término y así sucesivamente hasta el último monomio y esto por cada uno de los puntos donde queremos evaluar el polinomio.

1.3.1 Método de Horner El método de Horner hace una evaluación eficiente del polinomio en decir, en algún punto específico. Donde el polinomio está definido por:

Podemos factorizar

, es

de la siguiente forma:

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Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación

De esta otra forma al evaluar en se realizan sumas y vez de sumas y una cantidad cuadrática de multiplicaciones.

Ejemplo: Si queremos evaluar el polinomio

multiplicaciones en

en el punto Reexpresando forma:

como lo expresa el método de Horner nos queda de la siguiente

(

(

)) (

)

Actividad 3. Método de Horner En esta actividad practicarás como evaluar un polinomio con el método de Horner .

Instrucciones 1. Descarga el archivo “Act 4. Evaluacion Horner”.

2. Lee el contenido del documento, atendiendo principalmente los tips que se mencionan.

3. Crea una función con el nombre que tú designes y que modele el fenómeno descrito en el documento.

4. Anota en un documento de texto, los procedimientos para crear y probar tu función.

5. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MANU2_U1_A3_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

6. Envía tu documento a tu facilitador y espera su retroalimentación.

Autoevaluación

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Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación Es momento de realizar la autoevaluación, en el cual podras medir el grado de conocimiento obtenido durante la unidad.

Instrucciones: Elige la respuesta correcta que corresponde a la pregunta planteada 1. Forma el polinomio que aproxima la función mediante el método de las diferencias divididas, considerando que los primeros cinco valores se muestran en la tabla que sigue: 1.1 0.9803281 1.2 1.1184469 1.3 1.25262564 1.4 1.37962962 1.5 1.49624248 Hasta el cuarto término, alrededor de los puntos cada coeficiente a) b) c) d) 2. Encuentra para que valor de En el intervalo menor a a) 0 b) c) d)

y con dos dígitos de precisión en

se puede resolver la ecuación

y con aproximación inicial

y con una precisión

La razón por la que no puede aplicar los métodos de bisección y regla falsa para resolver la ecuación Es porque a) La función no cambia de signo en su dominio b) No está definido el dominio en el cual lo debemos aplicar c) La función de la derivada no se puede obtener en ningún punto d) La función no es continua 3. A partir de la gráfica se puede ver que la función en el intervalo tiene dos raíces, determínalas con el método de la secante e indica en cuantas iteraciones se obtiene un error absoluto de a) 4

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Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación b) 3 c) 6 d) 2 4. Usar los métodos de Newton o incluso del de Müller para aproximar la raíz de la función

en el intervalo resulta imposible, sin embargo eso no quiere decir que podamos aproximar el valor mediante el método de la secante, esto se debe a que a) El método de la secante hace uso de dos iteraciones previas mientras que el de Newton hace uso de la derivada b) El método de Newton es demasiado rápido para encontrar raíces y su valor diverge c) El método de la secante avanza muy lento y por lo tanto se puede aproximar el valor más fácil. d) El método de la Newton requiere una aproximación inicial que depende del 0 Es necesario comparar tus respuestas, para ello revisa el documento Respuestas_autoevaluación_U1, ubicada en la pestaña material de apoyo de la unidad 1

Retroalimentación 1-3 aciertos. Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente el contenido de la unidad.

4-5 aciertos. Tienes un conocimiento claro de los conocimientos de la Unidad, sigue adelante.

Evidencia de aprendizaje. Combinación de métodos A través de esta actividad podrás aplicar los conocimientos adquiridos durante la unidad.

Instrucciones 1. Descarga el documento llamado “ EA. Combinación de métodos” 2. Resuelve los problemas que se proponen en el documento 3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MANU2_U1_EA_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

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Análisis Numérico II Unidad 1. Aproximación 4. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu facilitador(a), atiende sus comentarios y renvía la nueva versión de tu evidencia.

5. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Cierre de la unidad Durante esta unidad revisaste el método de diferencias divididas, los diferentes métodos por el cual podemos localiza raíces de una ecuación, las cuales con ayuda del software Octave se pudo acortar el tiempo de solución. Pero lo más importante fue como poder resolver una ecuación de difícil solución por el método tradicional, utilizando métodos numéricos.

A partir de este momento y con la ayuda de los métodos propuestos durante la unidad, te serán de mucha ayuda para cursar las demás unidades, por lo cuál te invito a repasarlas y aprender adecuadamente cada uno de ellos, ya que se aplicaran durante las siguientes unidades. Así pues te invito a seguir con esta nueva experiencia.

Para saber más Te recomendamos revisar los siguientes link, ya que te informaran más ampliamente de lo revisado en la unidad. http://mathworld.wolfram.com/DividedDifference.html http://illuminatus.bizhat.com/metodos/Muller.htm http://lc.fie.umich.mx/~calderon/programacion/Mnumericos/Muller.html http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/RegulaFalsiMod.html

Bibliografía Burden, R. L. (2011). Análisis numérico, Novena edición. México: CengageLearning Editores.

Chapra, S. C. (2011). Métodos numéricos para ingenieros. México: McGraw-Hill.

Henrici, P. (1980). Elementos de análisis numérico. México: Trillas.

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