U1 nu meros complejos

Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en matemáticas

7° cuatrimestre

Variable compleja I

Unidad 1. Números complejos

Clave: 060920517/ 050920517

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos

INDICE Contenido Unidad 1. Números complejos .............................................................................................................. 3 Presentación de la unidad ...................................................................................................................... 3 Propósitos de la unidad .......................................................................................................................... 3 Competencia específica ......................................................................................................................... 3 1.1.

Representación de los números complejos............................................................................. 3

1.1.1. Forma rectangular .................................................................................................................... 3 Actividad 1. Comparación de números complejos ............................................................................. 8 Actividad 2. Representaciones de los números complejos............................................................... 9 1.2. Operaciones con números complejos .......................................................................................... 9 1.2.1. Suma, resta, multiplicación y división de números complejos ........................................ 10 1.2.2. Potencias y raíces de números complejos ......................................................................... 17 Actividad 3. Operaciones con números complejos .......................................................................... 23 1.3. Geometría en el plano complejo.................................................................................................. 23 1.3.1. Proyección estereográfica ..................................................................................................... 25 1.3.2. Rectas y círculos en el plano complejo ............................................................................... 25 Actividad 4. Geometría de números complejos ................................................................................ 29 Evidencia de aprendizaje. Números complejos ................................................................................ 30 Autorreflexiones ..................................................................................................................................... 31 Cierre de la unidad ................................................................................................................................ 31 Para saber más ...................................................................................................................................... 32 Referencias bibliográficas .................................................................................................................... 32

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos Unidad 1. Números complejos

Presentación de la unidad En se puede realizar las operaciones elementales de suma, resta, multiplicación y división, además tiene una representación gráfica como una línea recta, pero a pesar de todo lo anterior, este conjunto tiene un defecto, no se pueden extraer raíces cuadradas de números negativos y en general ninguna raíz de potencia par de un número negativo. Esta es la motivación para el estudio del conjunto de los números complejos , esta estructura permite realizar las operaciones elementales de la aritmética y además obtener raíces de números negativos.

Propósitos de la unidad  

Identificaras el concepto de número complejo y sus distintas representaciones Realizaras operaciones algebraicas para interpretar geométricamente las propiedades de los números complejos

Competencia específica Utilizar los conceptos básicos sobre números complejos, mediante representaciones algebraicas y geométricas para determinar funciones complejas.

1.1. Representación de los números complejos Como se mencionó anteriormente, el conjunto de los números complejos nace del estudio de las raíces de números negativos, como no existe número real cuyo cuadrado es igual a un número negativo, se comienza con la definición de la unidad imaginaria, cuidando que este nuevo objeto interactúe adecuadamente con los números reales.

1.1.1. Forma rectangular Este estudio comienza con definición de la unidad imaginaria.

Definición: Existe un objeto i que satisface i 2  1 .

Claramente se tiene que i  , en consecuencia el conjunto de los Números Complejos se define por:

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos  {a  ib | a, b 

}

Es común utilizar la letra z para referirse a un número complejo, de aquí se desprenden los siguientes nombres: La parte real de z es Re( z)  a y la parte imaginaria de z es Im( z)  b .

Hay que observar que Re( z),Im( z)  .

Cuando se presenta un número complejo en la forma z  a  ib , se dice que z está en la forma cartesiana o rectangular. Además, dos números complejos z1 y z2 son iguales, en símbolos z1  z2 , si y solo si Re( z1 )  Re( z2 ) y Im( z1 )  Im( z2 ) . Considerando al número complejo z  a  ib , cuando a  0 se escribe z  ib y se dice que z es imaginario puro, análogamente cuando b  0 , se escribe z  a y se dice que z es real.

De manera natural un número complejo a  ib se le asocia el par ordenado (a, b) , hay que notar que esta asignación es biyectiva, lo que permite dar una visión gráfica del conjunto de los números complejos como flechas en el plano cuyos puntos iniciales están en el origen y sus puntos finales en las coordenadas (a, b) . Gráficamente se tiene:

El eje horizontal toma el nombre de eje real y el eje vertical es el eje imaginario.

Ejemplo: Dada la siguiente relación:

(3x  2 y )  i(4 x  6 y )  8  2i Calcular el valor de x e y , suponiendo que x, y  Solución: Dado que x, y 

.

se tiene que 3x  2 y, 4 x  6 y 

, en consecuencia

(3x  2 y )  i(4 x  6 y)  . Por la igualdad de los números complejos, las expresiones (3x  2 y )  i(4 x  6 y) y 8  2i son iguales componente a componente, es decir, 3x  2 y  8

y

4x  6 y  2

Resolviendo el sistema anterior se tiene que x  2 y y  1 .

1.1.2. Forma polar y exponencial

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos Dado que los números complejos se representan como puntos en el plano, también podemos representar un número complejo en términos de sus coordenadas polares. Para localizar coordenadas polares, se necesita un vértice y una semirrecta. Por convenio, el vértice se ubica en el origen de coordenadas y la semirrecta es la parte positiva del eje real, así a un número complejo se le asigna una representación que depende del ángulo y la longitud que forme.

Considerando el siguiente triángulo que se forma con los elementos mostrados en la figura anterior

Por trigonometría elemental se tienen las siguientes relaciones: a  r cos y b  r sen  Además también se cumple lo siguiente: b r  a 2  b2 y   tan 1   a En consecuencia se obtiene:

z  a  ib  r sen  ir cos  r[sen  i cos ] La anterior representación se conoce como la forma polar de z . De esta representación se desprenden las siguientes definiciones: el módulo de z es | z | r y el argumento de z es

arg( z)   . Hay que observar que | z | 0 , | Re( z) || z | y | Im( z) || z | ya que | cos | 1 .

Es importante observar que el origen de coordenadas no tiene representación polar ya que no existe ángulo que calcular, sin embargo | z | 0 sí y solo si z  0 , además hay que enfatizar que a diferencia de la forma cartesiana, en la forma polar el módulo de un número complejo es único pero el argumento no, es más, por cada número complejo existe una infinidad de argumentos, la relación que existen entre todo estos valores es la siguiente: si 1 y  2 son dos argumentos de un número complejo entonces su diferencia es un número exacto de vueltas completas, en símbolos 1  2  2 k , con k  . De todos los valores que puede

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos tomar el argumento de un número complejo, el argumento principal de z es aquel que satisface   arg( z)   , cabe mencionar que el argumento principal de un número complejo es único.

En resumen, dados z1  r1[cos1  i sen 1 ] y z2  r2 [cos 2  i sen 2 ] entonces z1  z2 si y solo si r1  r2 y 1  2  2 k para algún k  .

Ahora se define la fórmula de Euler del siguiente modo: Definición: Para  

, se tiene que ei  cos  i sen  .

Por la fórmula de Euler todo número complejo z distinto de cero tiene una representación de la forma z  rei , donde r y  son el módulo y el argumento de z respectivamente. Cuando un número complejo se expresa en la forma anterior se dice que z está en su forma exponencial.

Ahora se presenta ejemplo de cómo pasar de una representación a otra: Hay que considerar que z  a  ib  r cos  i sen   . 

De rectangular a polar: Para esta conversión basta utilizar las siguientes relaciones: b r  a 2  b2 y   tan 1   . a Ejemplo: Convertir el número complejo 2  3i a su forma polar.

Solución: En este caso a  2 y b  3 , para el cálculo del módulo r se tiene:

r  a2  b2  (2)2  (3)2  4  9  13 .

Para el argumento  , se tiene: b  

3  

  tan 1    tan 1    tan 1 1.5  0.9827 . a 2 Por lo tanto 2  3i  13 cos(0.9827)  i sen(0.9827) . Gráficamente se tiene lo siguiente:

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Ejemplo: Convertir el número complejo 3  4i a su forma polar.

Solución: Gráficamente el número complejo 3  4i se representa en la siguiente figura:

En este caso a  3 y b  4 , por consiguiente:

r  a 2  b2  ( 3)2  (4)2  9  16  25  5 .

Para el argumento  , se tiene: b  

 4   

4  

  tan 1    tan 1      tan 1    3.1416  0.9273  2.2143 . a 3 3 Por lo tanto 3  4i  5cos(2.2143)  i sen(2.2143) . 

De polar a rectangular: Aquí hay que utilizar las siguientes relaciones: a  r cos y b  r sen  Ejemplo: Convertir el número complejo 3[cos(2.5)  i sen(2.5)] a su forma rectangular.

Solución: Se tiene que r  3 y   2.5 . Utilizando las relaciones anteriores se tiene que la parte real es:

a  r cos  3cos(2.5)  3  ( 0.8011)  2.4033 La parte imaginaria es:

b  r sen   3sen(2.5)  3  (0.5985)  1.7955 Por lo tanto 3[cos(2.5)  i sen(2.5)]  2.4033  1.7955 i . Gráficamente se tiene:

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Ejemplo: Convertir el número complejo 5[cos(3.8)  i sen(3.8)] a su forma rectangular.

Solución: Gráficamente se tiene lo siguiente:

Luego, r  5 y   3.8 . Utilizando las relaciones anteriores se tiene que la parte real es:

a  r cos  5cos(3.8)  5  (0.7909)  3.9545 La parte imaginaria es:

b  r sen   5sen(3.8)  5  (0.6119)  3.0595 Por lo tanto 5[cos(3.8)  i sen(3.8)]  3.9545  3.0595 i .

Actividad 1. Comparación de números complejos En esta actividad, podrás analizar los números reales y complejos e identificaras sus diferencias.

Instrucciones 1. A través de lo visto hasta ahora, relaciona el uso de los números reales y los números complejos y contesta la siguiente pregunta. ¿Cuál son las diferencias entre los números reales y complejos?

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos 2. Realiza una comparación, ingresa al foro y comenta tus respuestas 3. Revisa las aportaciones de tres de tus compañeros como máximo, aceptando o rechazando su respuesta.

4. Consulta la rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la sección Material de apoyo.

Actividad 2. Representaciones de los números complejos A través de esta actividad convertirás números complejos a polares y determinarás el conjunto de los números complejos.

Instrucciones: 1. Descarga el archivo “Actividad 2. Representaciones de los números complejos”.

2. Resuelve los ejercicios que en el documento se proponen 3. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura MCO1_U1_A2_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4 Mb. 4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a).

1.2. Operaciones con números complejos En el tema anterior se observó como todo número entero se identifica con un número complejo cuya parte imaginaria es cero, además se definió el conjunto de los números complejos se define como pareja de los números reales. Las operaciones con números complejos se definirán en términos de sus componentes, por consiguiente muchas de las propiedades que se tiene el conjunto de los números reales se van a heredar al conjunto de los números complejos.

Como se presentó en la sección anterior z1  z2 , si y solo si Re( z1 )  Re( z2 ) y Im( z1 )  Im( z2 ) está definición presenta una manera mostrar la validez de las propiedades que se tiene las operaciones de números complejos.

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos 1.2.1. Suma, resta, multiplicación y división de números complejos Suma y resta de números complejos Dados z1 , z2  , con z1  a1  ib1 y z2  a2  ib2 . La suma de z1 y z2 se define por la siguiente relación:

z1  z2  (a1  ib1 )  (a2  ib2 )  (a1  a2 )  i(b1  b2 ) Como consecuencia de esta definición se tiene que:  Re( z1  z2 )  a1  a2  Re( z1 )  Re( z2 ) . 

Im( z1  z2 )  b1  b2  Im( z1 )  Im( z2 ) .

 De la definición anterior se obtienen las siguientes propiedades: ( z1  z2 )  z3  z1  ( z2  z3 ) , para todo z1 , z2 , z3  . (i). (ii).

z1  z2  z2  z1 , para todo z1 , z2  .

(iii). (iv).

Existe 0  Dado z 

tal que z  0  0  z  z para todo z  . existe  z  tal que z  ( z )  ( z )  z  0 .

Para comprobar la validez de las propiedades anteriores, hay que observar que se tienen igualdades entre números complejos, lo que implica utilizar la definición de igualdad. Por lo tanto hay que comparar las componentes de los números complejos que entran en la relación.

Por ejemplo, para verificar que z1  z2  z2  z1 , basta observar que

Re( z1  z2 )  Re( z1 )  Re( z2 )  Re( z2 )  Re( z1 )  Re( z2  z1 ) .

De forma análoga

Im( z1  z2 )  Im( z1 )  Im( z2 )  Im( z2 )  Im( z1 )  Im( z2  z1 ) .

La existencia del elemento 0 que satisface z  0  0  z  z , se obtiene de observar que las componentes de 0 no deben de alterar a las componentes de z cuando se suman, en consecuencia las componentes de 0 son nulas, por lo tanto 0  0  0i . Similarmente para la existencia del elemento  z basta observar que las componentes de z y  z tienen que anularse cuando se suman, por consiguiente difieren de signo, por lo tanto Re( z )   Re( z) y

Im(  z)   Im( z) .

Finalmente ( z1  z2 )  z3  z1  ( z2  z3 ) se obtiene de observar lo siguiente:

Re([ z1  z2 ]  z3 )  Re( z1  z2 )  Re( z3 )  [Re( z1 )  Re( z2 )]  Re( z1 )   Re( z1 )  [Re( z2 )  Re( z3 )]  Re( z1 )  [Re( z2  z3 )] .  Re( z1  [ z2  z3 ])

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos Análogamente se tiene que Im([ z1  z2 ]  z3 )  Im( z1  [ z2  z3 ]) .

La operación de resta se obtiene por la propiedad (iv) y se define del siguiente modo: Dados z1 , z2  , la resta es z1  z2  z1  ( z2 ) . Cuando z1  a1  ib1 y z2  a2  ib2 , la resta se realiza del siguiente modo: z1  z2  z1  ( z2 )  (a1  ib1 )  (a2  ib2 )  (a1  a2 )  i(b1  b2 ) .

La representación gráfica de la suma es la siguiente:

Por consiguiente, gráficamente la suma de dos números complejos es la diagonal principal del paralelogramo que forman dicho números. El caso de la resta, gráficamente se representa del siguiente modo:

Por lo tanto, gráficamente la resta de dos números complejos es la diagonal secundaria que se forma iniciando del minuendo y finaliza en el sustraendo.

Ejemplo: Dados z1  3  5i y z2  8  7i calcular z1  z2 y z1  z2 .

Solución: Siguiendo la definición de suma se tiene: z1  z2  (3  5i )  (8  7i )  (3  8)  i(5  7)  5  2i .

Utilizando la definición de resta se obtiene: z1  z2  (3  5i )  (8  7i )  (3  8)  i(5  7)  11  2i .

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos Ejemplo: Dados z1  6  7i y z2  1  3i calcular z1  z2 y z1  z2 .

Solución: Siguiendo la definición de suma se tiene: z1  z2  (6  7i)  (1  3i)  (6  1)  i(7  3)  7  10i Utilizando la definición de resta se obtiene: z1  z2  (6  7i )  (1  3i)  (6  1)  i(7  3)  5  4i .

Multiplicación y división de números complejos Dados z1 , z2  , con z1  a1  ib1 y z2  a2  ib2 . La multiplicación o producto de z1 y z2 se define por la siguiente relación: z1  z2  (a1  ib1 )  (a2  ib2 )  (a1a2  b1b2 )  i(a1b2  a2 b1 ) En ocasiones el producto también se denota por z1· z2 ó z1 z2 . Cabe mencionar que la definición anterior utiliza la relación i 2  1 .

Las propiedades que tiene el producto de números complejos son las siguientes: ( z1  z2 )  z3  z1  ( z2  z3 ) , para todo z1 , z2 , z3  . (i). (ii).

z1  z2  z2  z1 , para todo z1 , z2  .

(iii).

Existe 1  \{0} tal que z 1  1 z  z para todo z 

(iv).

Dado z  \{0} existe z  1

1

.

1

tal que z  z  z  z  1 .

Las propiedades anteriores se demuestran de la manera similar como al caso de la suma, sean z1 , z2 , z3  , con z1  a1  ib1 , z2  a2  ib2 y z3  a3  ib3 . La propiedad (ii) se obtiene de observar que

z1  z2  (a1a2  b1b2 )  i(a1b2  a2 b1 ) Además

z2  z1  (a2 a1  b2 b1 )  i(a2 b1  a1b2 ) Para (iii) supóngase que 1  u  iv , entonces la relación z1 1  z1 implica que

(a1  ib1 )(u  iv)  (a1u  b1v)  i(a1v  ub1 )  a1  ib1 .

Por la igualdad de números complejos se tiene las siguientes relaciones: a1u  b1v  a1

b1u  a1v  b1 De los que se obtiene que u  1 y v  0 , por lo tanto 1  1  0i .

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos De manera similar al caso anterior, para (iv) hay que suponer que z11  u  iv , la relación z1  z11  1 implica que (a1  ib1 )(u  iv)  (a1u  b1v )  i(a1v  ub1 )  1  0i . Por la igualdad de

números complejos se tiene las siguientes relaciones: a1u  b1v  1

b1u  a1v  0 Cuando z1  0 se tiene que a1  0 ó b1  0 lo que implica que el sistema anterior tiene solución única que es u 

a b a1 b y v  2 1 2 . Por lo tanto z11  2 1 2  i 2 1 2 .

2 a1  b1 a1  b1 a  b1 a1  b1 2 1

Para la propiedad (i), dados z1 , z2 , z3 

con z1  a1  ib1 , z2  a2  ib2 y z3  a3  ib3 , entonces

z1  z2  (a1a2  b1b2 )  i(a1b2  a2b1 ) , por consiguiente ( z1  z2 )  z3  (a1a2  b1b2 )a3  (a1b2  a2b1 )b3   i (a1a2  b1b2 )b3  a3 (a1b2  a2b1 ) Por otro lado, tomando z2  z3  (a2 a3  b2b3 )  i(a2b3  a3b2 ) , luego se tiene que

z1  ( z2  z3 )   a1 (a2 a3  b2b3 )  b1 (a2b3  a3b2 )  i a1 (a2b3  a3b2 )  (a2 a3  b2b3 )b1  Por lo tanto ( z1  z2 )  z3  z1  ( z2  z3 ) .

Para interpretar la multiplicación de manera gráfica, pero hay que estudiar la multiplicación

desde la forma polar. Para z1  a1  ib1  r1 cos1  i sen 1  y z2  a2  ib2  r2 cos2  i sen 2  , se tiene que z1  z2  (a1a2  b1b2 )  i(a1b2  a2b1 ) , sustituyendo a1  r1 cos1 , b1  r1 sen 1 , a2  r2 cos2 y b2  r2 cos 2 , se obtiene lo siguiente:

z1  z2  (a1a2  b1b2 )  i (a1b2  a2b1 )  (r1 cos1r2 cos 2  r1 sen 1r2 sen  2 )  (r1 cos1r2 sen  2  r2 cos 2 r1 sen 1 )  r1r2 (cos1 cos 2  sen 1 sen  2 )  i(cos1 sen  2  cos 2 sen 1 )  r1r2 cos(1   2 )  i sen(1   2 ) .

De lo anterior se tiene que | z1  z2 || z1 |  | z2 | y arg( z1  z2 )  arg( z1)  arg( z2) . Escribiendo las relaciones anteriores en la forma exponencial se tiene lo siguiente: (r1ei1 )(r2ei2 )  r1r2ei (1 2 ) .

Gráficamente se tiene lo siguiente:

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos

En palabras, la multiplicación de dos números complejos se interpreta como una rotación en el plano cartesiano, es decir, z1 se rota un ángulo igual a arg( z2 ) o equivalentemente, z2 se rota un ángulo igual a arg( z1 ) .

La operación de división, se define de manera análoga a la resta, por medio de la propiedad (iv) del siguiente modo: Dados z1 , z2  , con z2  0 , la división de z1  z2  z1  z2 1 . Cuando

z1  a1  ib1 y z2  a2  ib2 , la división se realiza del siguiente modo:  a b  a a  b b a b  a b z1  z2  z1  z2 1  (a1  ib1 )   2 2 2  i 2 2 2   1 22 12 2  i 1 22 22 1 . a2  b2  a2  b2 a2  b2  a2  b2 La definición anterior es tediosa, para presentar esta operación de manera más cómoda se presenta la siguiente definición: Dado z  , con z  a  ib , el conjugado de z es el número complejo z  a  ib . Gráficamente el conjugado se representa del siguiente modo:

En palabras, conjugar un número complejo es reflejarlo con respecto al eje real. De la figura anterior se tiene que | z || z | y arg(z )   arg( z) . Por lo tanto, si z  r[cos  i sen  ] entonces z  r[cos  i sen  ]  rei .

El conjugado de un número complejo tiene las siguientes propiedades: (i).

z  z , para cualquier z 

.

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos (ii).

z1  z2  z1  z2 , para cualesquiera z1 , z2 

(iii).

z1  z2  z1  z2 , para cualesquiera z1 , z2 

(iv).

z z | z |2 , para cualquier z 

(v).

z  z  2Re( z) y z  z  2i Im( z) , para cualquier z  .

(vi).

| z1  z2 || z1 |  | z2 | para cualesquiera z1 , z2  .

. .

.

Para ver la validez de (i) basta observar que sí z  a  ib , entonces z  a  ib  a  ib  z . Para (ii) sean z1  a1  ib1 y z2  a2  ib2 , entonces

z1  z2  (a1  a2 )  i(b1  b2 )  (a1  a2 )  i(b1  b2 )  (a1  ib1 )  (a2  ib2 )  z1  z2 Para (iii) dados z1  r1ei2 y z2  r2 ei2 , en consecuencia

z1  z2  (r1ei1 )(r2ei2 )  r1r2ei (1 2 )  r1r2 ei (1 2 )  (r1ei1 )(r2ei2 )  z1  z2 , Para (iv) si z  rei entonces z  rei , por lo tanto z z  (rei )(rei )  r 2e0  r 2 | z |2 .

La propiedad (v) es trivial. La propiedad (vi) no es propia del conjugado pero se obtiene a partir de las propiedades del mismo. Sean z1 , z2  , entonces ( z1  z2 )( z1  z2 )  ( z1  z2 )( z1  z2 )  z1 z1  z1 z2  z2 z1  z2 z2





| z1 |2  z1 z2  z2 z1  | z2 |2 .

A demás se tiene que: z1 z2  z2 z1  z1 z2  z1 z2  2Re( z1 z2 )

Por consiguiente:





z1  ( z1 z2  z2 z1 )  z2 | z1 |2 2 Re z1 z2  | z2 |2 2

2

| z1 |2 2 | z1 z2 |  | z2 |2 | z1 |2 2 | z1 | | z2 |  z2  | z1 |  | z2 |

2

2

Por lo tanto z1  z2  z1  z2 .

Aplicando el conjugado a la operación de división, ésta se reescribe de la siguiente forma:

z1 z1 z2 z1  z2 z1  z2     . z2 z2 z2 z2  z2 | z2 |2 Denotando por z1  r1[cos1  i sen 1 ] y z2  r2 [cos2  i sen 2 ] se tiene que:

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos z1 z1  z2  r1[cos1  i sen 1 ] r2 [cos(  2 )  i sen( 2 )]   z2 | z2 |2 r2 2 

r1 cos(1  2 )  i sen(1  2 ). r2

Ejemplo: Calcular (3  4i)(2  5i) .

Solución: Aplicando la definición de multiplicación se tiene:

(3  4i)(2  5i)  [(3)(2)  (4)(5)]  i[(3)(5)  (2)(4)]  [6  20]  i[15  8]  26  7i Por lo tanto (3  4i)(2  5i)  26  7i .

2i .

3  4i Solución: Se tiene lo siguiente: 2i 2  i 3  4i (2  i)(3  4i)    3  4i 3  4i 3  4i 32  42 Ejemplo: Calcular

Pero (2  i)(3  4i)  (6  4)  i(8  3)  2  11i . En consecuencia

(2  i)(3  4i) (2  i)(3  4i) 2  11i 2 11     i.

32  42 25 25 25 25 2i 2 11   i.

Por lo tanto 3  4i 25 25 Ejemplo: Calcular

2  4i 1  3i  . 2  5i 2  i

Solución: Primero se realiza la suma: 2  4i 1  3i (2  4i)(2  i)  (1  3i)(2  5i)   2  5i 2  i (2  5i)(2  i) Después se realizan los productos, lo que da como resultado: (2  4i)(2  i)  (4  4)  i(2  8)  10i (1  3i)(2  5i)  (2  15)  i(5  6)  17  i (2  5i)(2  i)  (4  5)  i(2  10)  1  12i Por consiguiente: (2  4i)(2  i)  (1  3i)(2  5i) (10i)  ( 17  i) 17  11i   (2  5i)(2  i) (1  12i) 1  12i Realizando la división se tiene lo siguiente: 17  11i 17  11i 1  12i (17  132)  i(204  11) 149  193i 149 193       i 2 2 1  12i 1  12i 1  12i 1  12 145 145 145

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos

Por lo tanto

2  4i 1  3i 149 193    i. 2  5i 2  i 145 145

Ejemplo: Dados z1  3[cos(3.5)  i sen(3.5)] y z2  2[cos(2.6)  isen(2.6)] , calcular z1  z2 y z1  z2 .

Solución: Se tiene que r1  3 , r2  2 , 1  3.5 y 2  2.6 , en consecuencia

z1  z2   3[cos(3.5)  i sen(3.5)] 2[cos(2.6)  i sen(2.6)]   (3)(2)[cos(3.5  2.6)  i sen(3.5  2.6)]  6[cos(6.1)  i sen(6.1)].

A demás z1 3[cos(3.5)  i sen(3.5)]  z2 2[cos(2.6)  i sen(2.6)] 3  [cos(3.5  2.6)  i sen(3.5  2.6)] 2  1.5[cos(0.9)  i sen(0.9)].

Por lo tanto z1  z2  6[cos(6.1)  i sen(6.1)] y

z1  1.5[cos(0.9)  isen(0.9)] . z2

1.2.2. Potencias y raíces de números complejos Fórmula de De Moivre La fórmula de De Moivre se utiliza para calcular las potencias enteras positivas de un número complejo. Dados z  \{0} y n  , la potencia n de z se define por:

si n  0;  1, zn   n 1  z  z , si n  0 0 1 0 En consecuencia z  1 , para z  z  z  z 1  z , luego z 2  z  z1  z  z , después z 3  z  z 2  z  z  z , en general z n  z   z . El número natural n toma el nombre de n  veces

exponente y el número complejo z se llama base. Cabe mencionar que el caso 0n  0 , para 0 n  1 y el caso 0 no está definido.

Dado que las operaciones de los números complejos satisfacen las mismas propiedades que las operaciones de los números complejos, para calcular una potencia de un número complejo se puede ocupar la fórmula del binomio de Newton que es la siguiente: n n n n! (a  b)n     a k bn k , donde    k 0  k   k  k !  n  k !

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos La anterior fórmula es útil solo para valores de n pequeños ya que para valores muy grandes el cálculo se vuelve tedioso, para valores mayores se utiliza lo siguiente: Teorema (De Moivre): Sean z  \{0} y n  , con z  r[cos  i sen  ] entonces z n  r n [cos(n )  i sen(n )] .

Demostración: Se procede por inducción matemática. Para n  0 es trivial ya que z 0  1  r 0 [cos(0· )  i sen(0· )] .

Supóngase que para n  k se cumple que z k  r k [cos(k )  i sen(k )] .

Tomando n  k  1 se obtiene que z k 1  z  z k   r[cos  i sen  ] r[cos  i sen  ]

k

  r[cos  i sen  ]  r k [cos( k )  i sen( k )]  r k 1 cos  (k  1)   i sen  ( k  1) 

Por lo tanto z n  r n [cos(n )  i sen(n )] , para toda n 

.

Ejemplo: Utilizando el binomio de Newton calcular (3  3i )5 .

Solución: El binomio de Newton para n  5 es la siguiente: (a  b)5  a5  5a 4b  10a 3b2  10a 2b3  5ab4  b5

Tomando a  3 y b  3i se tiene lo siguiente: (3  3i )5  (3)5  5(3)4 ( 3i )  10(3)3 ( 3i )2  10(3)2 ( 3i )3  5(3)( 3i )4  ( 3i )5  (243)  5(81)( 3i )  10(27)( 9)  10(9)(27i )  5(3)(81)  ( 243i )  243  1215i  2430  2430i  1215  243i  972  972i.

Por lo tanto (3  3i )  972  972i .

5

Ejemplo: Calcular (3  3i)5 .

Solución: Para aplicar la fórmula de De Moivre hay que convertir el número complejo 3  3i a su forma polar: r  32  (3)2  9  9  3 2

 7  3    2  tan 1  2   4 4  3 

  tan 

  7 Por consiguiente 3  3i  3 2 cos    4

  7   i sen    4

   , entonces 

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos 5

   7   7    (3  3i )5  3 2 cos    i sen    4    4     35   35  3522 2 cos    i sen  4   4  

5  7  3 2  cos  5  4  

  7     i sen  5   4    

3       972 2 cos  8  4    1    3   1  3    972 2 cos    i sen     972 2   i 2   4   2   4   972  972i.

Por lo tanto (3  3i )5  972  972i .

3       i sen  8   4    

Ejemplo: Utilizando la fórmula de De Moivre y la forma polar de un número complejo demostrar que cos(2 )  cos2   sen 2  y sen(2 )  2sen  cos Solución: Sea z  r cos  i sen   , hay que observar que la fórmula de Moivre relaciona

cos(2 ) y sen(2 ) con z 2 . Entonces, z 2  r 2 [cos(2 )  i sen(2 )] .

Por otro lado aplicando el cuadrado de un binomio se tiene: z 2   r cos  ir sen    (r cos ) 2  2(r cos  )(ir sen  )  (i sen  ) 2  r 2 cos 2   2ir 2 cos sen   r 2 sen 2   r 2 (cos 2   sen 2  )  2i cos sen   .

Igualando las expresiones obtenidas anteriormente se obtiene:

r 2 [cos(2 )  i sen(2 )]  r 2 (cos 2   sen 2  )  2i cos  sen   cos(2 )  i sen(2 )  (cos 2   sen 2  )  2i cos  sen  Por la igualad de números complejos se tiene que cos(2 )  cos2   sen 2  y

sen(2 )  2sen  cos .

Raíces de números complejos Las raíces de números complejos se definen en términos las potencias del siguiente modo: Dados z, w y n , se dice que w es raíz n  ésima de z si y sólo si w es la potencia n de z , en símbolos se tiene: n

z w

si y solo si

wn  z .

Sean z  r1 cos1  i sen 1  y w  r2 cos 2  i sen 2  . Por la fórmula de De Moivre se tiene que

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos wn  z

 r cos 2

 i sen  2   r1  cos1  i sen 1  n

2

r2 n  cos(n 2 )  i sen(n 2 )  r1  cos1  i sen 1 

Por la igualdad de números complejos en la forma polar se tiene lo siguiente: r2n  r1 y n2  1  2 a donde a 

2 a  1 . n Hay que observar que para a y n existen q, k  Es decir, r2  n r1 y  2 

tales que

a  nq  k con 0  k  n Por consiguiente:

2 

2 a  1 2 [nq  k ]  1 2 k  1   2 q  n n n

Por la periodicidad de las funciones seno y coseno se tiene 2 k  1   2 a  1    2 k  1  cos 2  cos    cos  2 q    cos   n n n       2 k  1   2 a  1    2 k  1  sen  2  sen    sen  2 q    sen   n n n       Por lo tanto la fórmula

  2 k  1   2 k  1   w  n r1 cos    i sen    donde 0  k  n. n n      Se utiliza para calcular las raíces n  ésimas de un número complejo. Hay que observar que la fórmula anterior presenta n distintos valores para n  ésimas es dividir un circulo en n partes.

Ejemplo: Calcular

3

n

z . Gráficamente, calcular las n raíces

1 i .

Solución: Primero hay que llevar el número complejo 1  i a su forma polar: 1  r  12  12  2 y   tan 1    1 4

   Es decir 1  i  2 cos  i sen  . Dado que n  3 , se tiene que k  0,1,2 .

4 4  Para k  0 se tiene

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos

w1 

3

     2 (0)  4 2 cos  3    

     2 (0)  4   i sen  3    

     

      = 6 2 cos    i sen     12     12 

Para k  1 se tiene w2 

     2 (1)  4 2 cos  3    

3

     2 (1)  4   i sen  3    

     

  9   9   6   3 = 6 2 cos    i sen    = 2 cos  12   12       4

  3     i sen     4 

Para k  2 se tiene w3 

3

     2 (2)  4 2 cos  3    

  17 = 6 2 cos    12

Por lo tanto

3

     2 (2)  4   i sen  3    

  17   i sen    12

     

  

1  i es el conjunto:

6         6   3   3  2 cos    i sen    , 2 cos    i sen   12    4   4     12  Gráficamente se tiene el siguiente diagrama:

Ejemplo: Calcular

4

 6  , 

  17 2 cos    12

  17   i sen    12

     

3 .

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos Solución: Se tiene que 3  3cos   i sen   , es decir, r  3 ,    , n  4 y k  0,1,2,3 . Hay que observar que 4 r  4 3 , por consiguiente Para k  0 se tiene que:   2 (0)   w1  4 3 cos  4  

  2 (0)       i sen   4   

      = 4 3 cos    i sen     4   4

Para k  1 se tiene que:   2 (1)   w1  4 3 cos  4  

  2 (1)     i sen  4  

  3   3 = 4 3 cos    i sen   4   4 

  

  

Para k  2 se tiene que:   2 (2)   w1  4 3 cos  4  

  2 (2)     i sen  4  

  

  5   5   = 4 3 cos    i sen    4    4 

Para k  3 se tiene que:   2 (3)   w1  4 3 cos  4  

  2 (3)     i sen  4  

  

  7   7   = 4 3 cos    i sen    4    4 

Por lo tanto w1 , w2 , w3 , w4 son las raíces cuartas de 3 . Gráficamente se tiene lo siguiente:

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos Actividad 3. Operaciones con números complejos Mediante esta actividad resolverás operaciones con números complejos, utilizando la suma, resta, multiplicación y división o en su caso la radicación o potenciación.

Instrucciones: 1. Descarga el archivo “Actividad 3.Operaciones con números complejos”.

2. Resuelve los ejercicios que en el documento se proponen 3. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura MCO1_U1_A3_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4 Mb. 4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a).

1.3. Geometría en el plano complejo La propiedad z z | z |2 es una de las más importantes en el conjunto de los números complejos ya que permite interpretar de manera algebraica la distancia entre dos puntos del plano, de manera equivalente | z | z z . Dado dos números complejos z1 y z2 , la distancia de z1 a z2 es d ( z1 , z2 ) | z1  z2 | . Cuando z1  x1  iy1 y z2  x2  iy2 se tiene que:

d ( z1 , z2 ) | z1  z2 || ( x1  iy1 )  ( x2  iy2 ) | | ( x1  x2 )  i( y1  y2 ) |  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2 Como consecuencia de lo anterior se tiene que d ( z1 , z2 )  0 para cualesquiera z1 , z2  , ya que | z | 0, z  . (i). (ii).

d ( z1 , z2 )  0 si y solo si z1  z2 , ya que | z | 0 si y solo si z  0 .

(iii).

d ( z1 , z2 )  d ( z2 , z1 ) para cualesquiera z1 , z2  , ya que | z1  z2 || z2  z1 | .

(iv).

d ( z1 , z2 )  d ( z1 , z2 )  d ( z2 , z3 ) para cualesquiera z1 , z2 , z3  . Esto se sigue del hecho siguiente: z1  z2  ( z1  z3 )  ( z3  z2 )  z1  z3  z3  z2 .

Ejemplo: Dado z1  3  4i y z2  7  4i calcular d ( z1 , z2 ) .

Solución: Gráficamente se tiene lo siguiente:

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos

Tomando

d ( z1 , z2 )  z1  z2  (3  4i )  (7  4i )  11  8i  ( 11)2  82  185 .

Ejemplo: Determinar el valor de k tal que la distancia de 6  2i a 3  ki es 5 .

Solución: Se tiene que

d (6  2i,3  ki )  (6  2i )  (3  ki )  3  i(2  k )  32  (2  k )2 Por consiguiente

32  (2  k )2  5 , así 9  (2  k )2  25 . Desarrollando las operaciones

anteriores se llega a:

9   4  4k  k 2   25 k 2  4k  12  0

Resolviendo con respecto a k se tiene que k1  2 y k2  6 . Por lo tanto, los números buscados son z1  3  2i y z2  3  6i . Gráficamente se tiene lo siguiente:

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos 1.3.1. Proyección estereográfica El objetivo de la proyección estereográfica es identificar una esfera perforada con un plano.

Esta identificación se realiza del siguiente modo: Hay que considerar el plano  con z  0 y la esfera

de radio 1 con centro en (0,0,0) , dicha esfera tiene ecuación x 2  y 2  z 2  1 . A

partir del punto (0,0,1) se traza un segmento de recta, esta recta intersecta a la esfera

en

el punto P y al plano  en P ' . Gráficamente se tiene lo siguiente:

Esto hace que cada punto de

\ {(0, 0,1)} se corresponde con un punto del plano  . La

importancia de la esta proyección es que permite justificar el concepto de infinito en al observar que cuando el punto P ' se aleja del origen, el punto P se va acercando al punto (0,0,1) , por consiguiente el infinito  se corresponde con el punto (0,0,1) , por consiguiente existe una correspondencia biyectiva entre la esfera complejos extendidos  {} .

con el conjunto de los números

1.3.2. Rectas y círculos en el plano complejo En un curso elemental de geometría analítica se estudia que una ecuación de la forma

ax  by  c  0 , con a 2  b2  0 es representada en el plano cartesiano como una línea recta, e inversamente una línea recta es representada por una ecuación de la forma anterior.

Considerando la ecuación ax  by  c  0 y el número complejo z  x  iy , entonces

x

1 z  z  2

y

y

1 z  z  2i

Tomando las relaciones anteriores y sustituyéndolas en ax  by  c  0 se tiene:

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos ax  by  c  0 1  1  a   z  z   b   z  z   c  0 2   2i  1 1  a  ib  z   a  ib  z  c  0 2 2 Az  Az  2c  0 2 Re( Az )  2c  0 Re( Az )  c  0 Donde A  a  ib y c 

. Hay que observar que si c  0 entonces Re( Az )  0 , es decir z  A .

Gráficamente se tiene lo siguiente:

Ejemplo: Convertir en términos de números complejos la recta cuya ecuación es 2 x  y  3 .

Solución: Utilizando la notación anterior se tiene que a  3 , b  1 y c  3 . En consecuencia A  3  i y c  3 . Por lo tanto la ecuación buscada es Re((3  i ) z)  3  0 .

Ejemplo: Graficar la recta representada por la ecuación Re((2  4i ) z)  2  0 .

Solución: Sea z  x  iy , entonces

(2  4i )( x  iy)  (2 x  4 y)  i( 4 x  2 y) Así Re (2  4i )( x  iy )  2 x  4 y , Por lo tanto la ecuación buscada es 2 x  4 y  2  0 , es decir

x  2 y  1  0 . Gráficamente se tiene lo siguiente:

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos

Un círculo se define como el conjunto de puntos en el plano que están a una misma distancia de un punto fijo llamado centro. Sea z0  x0  iy0 el centro del círculo, r la distancia fija y

z  x  iy un elemento del círculo, entonces por la definición de círculo se tiene que d ( z, z0 )  r , por consiguiente, la ecuación de un círculo con centro en z0 y radio r está dada por la relación z  z0  r . Además, tomando z  z0  ( z  z0 )( z  z0 )  ( z  z0 )( z  z0 )  z z  ( z0 z  z z0 )  z0 z0 2

 z  2 Re( z0 z )  z0 .

2

2

Equivalentemente la ecuación z  z0  r se escribe como z  2 Re( z0 z )  z0  r 2 .

2

2

Finalmente, sustituyendo z0  x0  iy0 y z  x  iy en la relación anterior se tiene que ( x  x0 )2  ( y  y0 )2  r 2 .

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo radio es 5 y el centro está en 3  4i .

Solución: Utilizando la notación anterior se tiene que r  5 y z0  3  4i . Entonces z  2 Re((3  4i ) z )  3  4i  (5) 2 2

2

z  2 Re((3  4i ) z )  (9  16)  25 2

z  2 Re((3  4i ) z )  0 2

Por lo tanto la ecuación buscada es z  2 Re((3  4i ) z)  0 . Gráficamente se tiene lo 2

siguiente:

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos

Ejemplo: Graficar la ecuación z  2 Re((1  2i ) z )  4  0 .

2

Solución: Observando las siguientes expresiones z  2 Re( z0 z )  z0  r 2 2

2

z  2 Re((1  2i ) z )  4  0 2

Se tiene que z0  1  2i , entonces z0  1  2i . Luego z0  1  2i  12  ( 2)2  5 , entonces 2

z  2 Re((1  2i ) z )  4  0 2

z  2 Re((1  2i ) z )  4  1  0  1 2

z  2 Re((1  2i ) z )  5  1 2

Por lo tanto la circunferencia tiene su centro en z0  1  2i y su radio es r  1 . Gráficamente se tiene que:

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos Actividad 4. Geometría de números complejos En esta actividad podrás determinar la ecuación de números complejos dentro del plano cartesiano, ya sea determinando un número, una ecuación, o demostración.

Instrucciones: 1. Descarga el archivo “Actividad 4. Geometría de números complejos”.

2. Resuelve los ejercicios que en el documento se proponen 3. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura MCO1_U1_A4_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4 Mb. 4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a).

Autoevaluación Es momento de realizar la autoevaluación, donde podrás medir el grado de conocimiento obtenido en la unidad.

Instrucciones: Selecciona la opción correcta que corresponda a la pregunta planteada.

1. Es la deducción de la siguiente relación Dado el número complejo cos  i sen y la fórmula de De Moivre ( ( ( (

a) b) c) d)

2. Es el resultado de a) b) c) d)



3i



) ) ) )

( ( ( (

4

-8 -7 -6 -5

3. Es el resultado de la siguiente operación

(2  2i )2 2  3i .  5  4i (1  i )3

a)

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos b) c) d) 4. Es el resultado de la ecuación z 4  3  i , para k=2

  25   25 a) w2  4 2 cos    i sen   24   24 

  

      b) w1  4 2 cos    i sen     24     24    25   25   c) w2  4 2 cos    i sen    24     24    37   37   d) w2  4 2 cos    i sen    24     24  5. Dado (1  2i ) x  (3  5i ) y  1  3i . Hallar los valores de x y y suponiendo que ambos son reales.

5 4 a) x   y y .

11 11 5 4 b) x   y y .

10 10 5 5 c) x   y y .

11 11 4 4 d) x   y y .

11 11 RETROALIMENTACION 1-3 aciertos. Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente el contenido de la unidad.

4-5 aciertos. Tienes un conocimiento claro de los conocimientos de la Unidad, sigue adelante.

Evidencia de aprendizaje. Números complejos En esta actividad podrás utilizar todas las herramientas de números complejos que revisaste en la unidad.

Instrucciones:

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos 1. Resuelve los siguientes problemas de números complejos. a) Dados los números complejos z1  1  2i , z2  5  2i y z3  6  3i . Hallar un número complejo z  x  iy de tal manera que este a la misma distancia de los puntos b)

 Calcular

3i



10

(1  i )12

.

c) Dados z1  4  2i y z2  x  10i , hallar el valor de x tal manera que se cumple la relación z1  z2  z1  z2 . d) Sean w1 , w2 , w3 , w4 las raíces cuartas de 1 , calcular w1  w2  w3  w4 . e) Utilizando las propiedades de las operaciones de números complejos, resolver la (1  2i ) z  1  1 i . ecuación 3z  2i 2. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCO1_U1_EA_XXYZ. 3. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

4. Envía tu reporte al Portafolio de Evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

5. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad A lo largo de esta unidad analizaste el concepto de número complejo y cuáles son sus distintas representaciones. También aprendiste a realizar las distintas operaciones algebraicas y finalmente se interpretaste geométricamente las propiedades de los números complejos.

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Programa Desarrollado Unidad 1. Números complejos Para saber más Para una breve presentación del desarrollo histórico de los números complejos se puede consultar las siguientes páginas web: http://rotrujil.webs.ull.es/WebAMVI/HISTORIA.pdf http://www.math.uri.edu/~merino/spring06/mth562/ShortHistoryComplexNumbers2006.pdf

Referencias bibliográficas Bak, J. y Newman, D. (2010). Complex analysis. USA: Springer-Verlag.

Churchill, R. y Brown, J. (2010). Variable compleja y aplicaciones. México: McGraw-Hill.

Lang, S. (1998). Complex analysis. USA: Springer-Verlag.

Marsden, J. y Hoffman, M. (1996). Análisis básico de variable compleja. México: Trillas.

McMahon, D. (2008). Complex variables demystified. USA: McGraw-Hill.

Needham, T. (1999). Visual complex analysis. USA: Oxford University Press.

Spiegel, M. (2011). Variable compleja. México: McGraw-Hill.

Zill, D. y Shanahan, P. (2008). A first course in complex analysis with applications. USA: Jones & Bartlett Publishers.

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