Análisis numérico II Unidad 2. Interpolación
Universidad Abierta y a Distancia de México
Licenciatura en matemáticas
7° cuatrimestre
Análisis numérico II
Unidad 2. Interpolación
Clave: 050930729
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías
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Análisis numérico II Unidad 2. Interpolación
ÍNDICE Unidad 2. Interpolación ................................................................................................... 3 Presentación de la unidad............................................................................................... 3 Propósitos de la unidad .................................................................................................. 3 Competencia específica .................................................................................................. 3 2.1. Interpolación polinomial .......................................................................................... 3 Actividad 1. Interpolación de polinomios ...................................................................... 6 2.1.1. Interpolación de Lagrange .................................................................................... 6 Actividad 2. Interpolación de Lagrange ....................................................................... 10 2.1.2. Interpolación por diferencias divididas de Newton .............................................. 11 Actividad 3. Interpolación de diferencias de Newton .................................................. 14 2.1.3. Interpolación polinómica de Hermite ................................................................... 15 Actividad 4. Resolución de problemas por medio de métodos .................................. 18 Autoevaluación .............................................................................................................. 19 Evidencia de aprendizaje. Aplicación de métodos ...................................................... 20 Cierre de la unidad......................................................................................................... 21 Para saber más .............................................................................................................. 21 Referencias Bibliográficas ............................................................................................ 21
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Análisis numérico II Unidad 2. Interpolación Unidad 2. Interpolación Presentación de la unidad Una de las aplicaciones más conocidas del análisis numérico es la de establecer valores desconocidos para funciones dadas o, si es necesario, construirlas. Sus aplicaciones son diversas como la de sustituir una función difícil por una sencilla o proveer de datos numéricos específicos para su graficación. A este proceso de construcción de puntos desconocidos se le llama interpolación (o extrapolación cuando los valores a determinar salen de los rangos preestablecidos)
Propósitos de la unidad
Conocerás algunos métodos para poder interpolar valores desconocidos de alguna función dada.
Identificarás las diferencias cualitativas entre cada método así como el momento para utilizar cada uno de ellos.
Competencia específica
Utilizar diferentes métodos de interpolación para identificar el polinomio interpolador con la utilización de nodos.
2.1. Interpolación polinomial Una de las tareas más comunes en el análisis numérico es el de la Interpolación, donde se determina el valor de una función para algún que no es explícito. El concepto es parecido al ajuste de curvas pero no es el mismo. Con datos derivados de experimentos reales o mediciones lo que vamos a obtener es una serie de parejas ordenadas del tipo:
Donde
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Análisis numérico II Unidad 2. Interpolación Hasta el momento este proceso es muy similar al ajuste de curvas, pero la diferencia radica en que en esta técnica numérica buscamos encontrar una curva de tal forma que esta función minimiza la distancia a cada uno de los puntos observados donde los datos están sujetos a ruido y procesos estocásticos subyacentes desconocidos para nosotros, mientras que en interpolación queremos encontrar lo siguiente:
Es decir, queremos construir una función que pasa por cada uno de los puntos observados. A esta función la denotaremos como interpolante. Es fácil notar que el ajuste de curvas es un método más elaborado para describir la función que pasa por puntos observados, pero los procedimientos de interpolación sirven para fines distintos que los de ajuste de curvas, por ejemplo: a) Graficar una función en la pantalla b) Evaluación sencilla de una función matemática c) Aseverar el valor a partir de un conjunto de datos observados. Tal vez a) y b) no sean tan intuitivos en este momento, pero son actividades comunes en el cómputo científico. Por otro lado, el punto c) es una de las funciones más claras para lo que queremos interpolar ¿cuál es el valor que toma la función entre y donde ? Un método de interpolación sencillo es calcular la línea recta que une los puntos se pueden unir mediante una línea recta a esta técnica de interpolación se le conoce como interpolación por pedazos pero el método específico recién descrito es claramente muy limitado para una amplia gama de funciones. En esta unidad estudiaremos tres métodos básicos de interpolación polinómica, entre ellos el interpolador de Lagrange, el interpolador por diferencias divididas de Newton y el interpolador de Hermite. Debido a que no conocemos la función que pasa por los puntos exhibidos tendremos que construir una función, usualmente considerada como un polinomio, eso es lo que le da nombre a los métodos de Lagrange y Hermite. En el caso del método de Newton la construcción es dividida y la veremos en su momento. Como lo que vamos a construir son polinomios propios de un espacio de polinomios, tendremos que determinar para cada caso la base sobre la cual vamos a construirlos.
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Figura 1. Ejemplo de interpolación, los datos observados son las parejas ordenadas ( y la línea negra continua es la función interpolada, esos datos no fueron observados sino “construidos” a partir de la forma del interpolante.
Base de Funciones Para interpolar un conjunto de puntos con la función usamos funciones que } . Nuestro interpolante será entonces una denominaremos base de funciones{ combinación lineal de esta base de funciones de la forma: ∑
Es importante tomar en cuenta que la expresión anterior está especificando un sistema de ecuaciones lineales de tamaño , del cuál requerimos encontrar los parámetros . Esto se puede lograr cuando pasa por los puntos observados condición necesaria por nuestro problema de interpolación.
que es una
Obtenemos entonces el sistema de ecuaciones ∑
En este punto lograremos que nuestro sistema cumpla con que es decir, vamos a construir sistemas de ecuaciones cuadrados. De la expresión anterior conocemos a todas las ya que son los puntos observados y las entradas de la matriz serán construidas con los criterios considerados en los métodos que describiremos. Entonces, nos resta por despejar las entradas del vector la ecuación anterior de la forma:
por lo que podemos reexpresar
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Es decir, tenemos que resolver el sistema de ecuaciones para conocemos o lo podemos construir.
dado que lo demás lo
Durante el desarrollo de los siguientes métodos probablemente usemos indistintamente la notación entre y para denotar las variables independientes. En el desarrollo revisado preferimos usar para terminar con la expresión canónica de un sistema de ecuaciones donde lo que queremos encontrar es el vector pero en el resto de los métodos quizás sea necesario expresar los puntos observados como con el único fin de apegarnos a una explicación estándar.
Actividad 1. Interpolación de polinomios A través de esta actividad, describirás el método utilizado para construir una expresión polinomica, que pase por cada punto x1 , además de construir la gráfica correspondiente Instrucciones 1. Descarga el archivo “Act 1. Interpolación de polinomios”. 2. Lee el contenido del documento, atendiendo principalmente las recomendaciones mencionadas. 3. Ingresa al Foro y comenta los métodos que utilizaste para lograr el resultado. 4. Revisa el comentario de dos de tus compañeros, aceptando o rechazando sus aportaciones. 5. Consulta la ”Rubrica general de foros” ubicada en la pestaña Material de apoyo
2.1.1. Interpolación de Lagrange Es uno de los métodos más sencillos de construir, el interpolante es el de Lagrange. Lo que usualmente requerimos de los interpolantes, particularmente el de Lagrange, es construir un polinomio de grado que interpole a , es decir:
Considera la línea recta que pasa entre los nodos
e .
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Análisis numérico II Unidad 2. Interpolación Esta se expresa como: (1)
Esta es la línea que une a
con
de pendiente
y que cumple con que
y
. Pero esta misma línea, con la misma pendiente se puede reexpresar como: (2)
La cual es un polinomio de grado menor o igual a uno que pasa por los puntos
y
.
Esto se observa si evalúas y . Los cocientes en el término derecho de la expresión (2) son los polinomios en la forma de LaGrange (3)
Entonces la suma en (2) puede quedar como (4)
∑
Se trata de una combinación lineal entre los polinomios en la forma de LaGrange y los coeficientes . La forma general de los polinomios de Lagrange expresados en (3) es de la siguiente forma: (
)
(
)(
)
(
)
De forma abreviada queda como: ∏
(5) (
)
Es claro que este polinomio conformado por la multiplicación de monomios es un polinomio de grado menor o igual a ya que no estamos considerando el punto en el que . Esto lo pedimos para que el coeficiente de Lagrange no se indetermine y por construcción este coeficiente hace que sea raíz del polinomio recién construido.
Para construir el interpolador de Lagrange consideren nodos distintos { con los que haremos una combinación lineal entre los puntos observados y los polinomios
}
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∑
Esta forma lagrangiana es el producto de de grado .
monomios por lo que
Otra característica que podemos observar en
es un polinomio
es que:
{ Otra característica que cabe resaltar del interpolante de Lagrange es la pesada carga de cómputo para calcularlo para , es decir, si queremos un polinomio de grado 6 puede ser muy complicado calcularlo sin equipos de cómputo. También es necesario recalcularlo cuando queremos más puntos. Por otro lado, calcularlo es muy sencillo como podemos ver a continuación: Ejemplo Tenemos una cierta función K para la cual conocemos los siguientes valores
¿Cuál es el valor de
? Para esto podemos usar un polinomio de segundo grado
Entonces
Aunque es muy sencilla la construcción de este interpolante, su evaluación requiere multiplicaciones/divisiones y operaciones de suma. Esto hace que se compare pobremente contra la multiplicación anidada que veremos en secciones posteriores. Ejemplo Si en para los nodos {
vamos a construir el polinomio de Lagrange de grado cúbico }
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Análisis numérico II Unidad 2. Interpolación Entonces el conjunto de
es
Para conformar el polinomio
como en el ejemplo anterior tenemos que usar (6)
El polinomio es entonces:
Pero este desarrollo es únicamente para mostrarlo en su forma canónica, la manera estable de programarlo es la siguiente: las constantes se guardan por separado y el polinomio se calcula como una suma de cuatro sumandos, la multiplicación de cada monomio se hace por separado para no acumular errores de cómputo. octave:27> function y=p3x(x) > a=-2.60417; > b=7.19579; > c=-5.44302; > d=0.94364; > y=a*((x-0.4).*(x-0.8).*(x-1.2)); > y=y.+b*((x).*(x-0.8).*(x-1.2)); > y=y.+c*(x.*(x-0.4).*(x-1.2)); > y=y.+d*(x.*(x-0.4).*(x-0.8)); >endfunction octave:28> octave:28> x=linspace(0,1.2,100); octave:29> y=p3x(x) y = …. octave:30>plot(x,y); octave:31>
Puedes comprobar los valores del polinomio formado así como de la función original usando el error relativo, la gráfica que se presenta a continuación, muestra que las raíces caen en y .
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Figura 2. Error relativo del polinomio de Lagrange para cos(x) en
Actividad 2. Interpolación de Lagrange A través de esta actividad, construirás un polinomio lineal o cuadrático, según sea el caso, utilizando el interpolador de Lagrange Instrucciones 1. Descarga el archivo “Act2. Interpolador de Lagrange”. 2. Lee el contenido del documento, atendiendo principalmente las recomendaciones que se mencionan. 3. Anota en un documento de texto, los resultados de las operaciones realizadas y una brevísima explicación de cada una. 4. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura MANU2_U2_A2_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. 5. El peso del archivo no debe exceder los 4 MB. 6. Espera la retroalimentación de tu Facilitador (a).
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Análisis numérico II Unidad 2. Interpolación 2.1.2. Interpolación por diferencias divididas de Newton El método de interpolación de Lagrange tiene serios problemas en cuanto a la cantidad de puntos necesarios para hacer una interpolación efectiva pues el tiempo de cómputo que se requiere para evaluar el interpolador depende de la cantidad de puntos, pues mientras más puntos se tengan màs costoso es.. Una alternativa es usar la interpolación polinómica de Newton. Supongamos que queremos interpolar en algún intervalo dado con algún polinomio grado . En el caso del interpolante de Newton el polinomio escogido, considerando propone de la siguiente forma:
de
nodos, se (7)
Concluimos que la base escogida es la siguiente: {
}
Esta forma recursiva de escoger la base de funciones tiene la característica de que nuestro interpolante de Newton lo desarrollamos a partir del término anterior. Esto se expresa: (8) ∏
En el caso de que el producto esté vacío lo consideraremos igual a 1. Una vez escogida la base lo que resta es encontrar los coeficientes del polinomio. Para tal efecto vamos a aprovechar la forma en que se construye para encontrar los coeficientes
Estas son las entradas de la matriz entonces .
misma que es triangular inferior ya que cuando
Para calcular los coeficientes requeridos para el interpolante de Newton usaremos el método de las diferencias divididas denotadas por . Recordando, las diferencias se denotan de manera recursiva por:
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Análisis numérico II Unidad 2. Interpolación En el caso de nuestro interpolante de Newton se aplica recursivamente de la siguiente manera:
Donde { } es el conjunto de puntos observados por los que tiene que pasar nuestro interpolante. De forma compacta el interpolante de Newton usando diferencias divididas puede ser expresado como: (9) ∑ ∏
Ejemplo Supongamos que tenemos los puntos {
}
Usando el método de las diferencias divididas tenemos que:
Por lo que nuestro polinomio queda:
Ejemplo Construir el polinomio de Newton por diferencias divididas para nodos { }.
en los
La tabla de diferencias divididas se presenta a continuación
0.0000 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000
1.0000 0.5403 -0.4161 -0.9900 -0.6536
-0.4597 -0.9564 -0.5738 0.3363
-0.2484 0.1913 0.4551
0.1466 0.0879
-0.0147
Entonces siguiendo lo expresado en (9) tenemos
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Donde
es el polinomio que interpola nuestra función
En Octave lo podemos comprobar de la siguiente manera: octave:63>function y=p4cos(x) >xc=[0,1,2,3,4]; > a=[1, -0.4597, -0.2484, +0.1466, -0.0147]; > p0=a(1); > p1=p0+a(2).*(x-xc(1)); > p2=p1+a(3).*((x-xc(1)).*(x-xc(2))); > p3=p2+a(4).*((x-xc(1)).*(x-xc(2)).*(x-xc(3))); > p4=p3+a(5).*((x-xc(1)).*(x-xc(2)).*(x-xc(3)).*(x-xc(4))); > y=p4; >endfunction octave:64> x=0.0:0.1:4.5 x = … octave:65> z=p4cos(x); octave:66> plot(x,cos(x)); octave:67> hold on; octave:68>plot(x,z);
Aunque el script de la función no es lo más óptimo posible lo que estamos mostrando es cómo calcularlo de manera detallada (así como estable). La comparación la puedes ver en las siguientes gráficas donde se muestra el polinomio contrastado con la función original así como el error relativo.
(a)
(b)
Figura 3. (a). Comparaciòn de cos(x) vs. el polinomio de Newton que lo interpola. (b) Error relativo del cos(x) contra su interpolante en el intervalo .
function [C,D]= newton(X,Y)
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Análisis numérico II Unidad 2. Interpolación % Entrada % X,Y son vectores con los puntos observados % % Salida % D tabla de diferencias divididas % C coeficientes decrecientes de X n=length(X); %tamaño de X D=zeros(n,n); %matriz cuadrada de 0's de tam n D(:,1)=Y' %primer columna es la transpuesta de Y %a continuación rellenamos la matriz %de las diferencias divididas de manera %incremental a partir de la segunda columna for j=2:n %columnas for k=j:n %filas D(k,j)=(D(k,j-1)-D(k-1,j)/(X(k)-X(k-j+1)); end end %ahora rellenamos los coeficientes del interpolante C=D(n,n) %ya que vamos a multiplicar cada dif dividida for k=(n-1):-1:1 %recorremos hacia atrás %poly resuelve el polinomio característico del argumento %conv devuelve el producto de los polinomios en el argumento C=conv(C,poly(X(k))); m=length(C); C(m)=C(m)+D(k,k); End Algoritmo 1. Interpolante polinómico de Newton por diferencias divididas, recuerda que el nombre del archivo se debe llamar como la función (Newton) junto con la extensión .m
Actividad 3. Interpolación de diferencias de Newton En esta actividad construirás y evaluarás la interpolación de Newton por el método de diferencias divididas Instrucciones 1. Descarga el archivo “Act 3. Interpolador de Newton”. 2. Lee el contenido del documento, atendiendo principalmente los tips que se mencionan. 3. Anota en un documento de texto, los resultados de las operaciones realizadas y una brevísima explicación de cada una. 4. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la
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Análisis numérico II Unidad 2. Interpolación nomenclatura MANU2_U2_A3_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. 5. El peso del archivo no debe exceder los 4 MB. 6. Espera la retroalimentación de tu Facilitador (a).
2.1.3. Interpolación polinómica de Hermite Hasta ahora nuestras interpolaciones se basan en una cantidad de puntos observados lo que puede acarrear problemas con la función interpolada en los extremos del intervalo donde se encuentre definida. Estos son los principales problemas de estabilidad numérica con los polinomios basados en puntos observados. En ocasiones no sólo contamos con los puntos observados sino también con la función explícita así como sus derivadas lo que puede contribuir a determinar un interpolante más preciso y un algoritmo más estable ya que podemos incorporar la información de la derivada en cada punto. Para la interpolación de Hermite vamos a necesitar no sólo el punto observado y la imagen bajo la función a interpolar sino también la derivada de la función en los extremos de cada intervalo interpolado, con estos puntos calcularemos el interpolante
El interpolante de Hermite se plantea de la siguiente manera (10) Se observa que:
Sabemos que la primera derivada existe, ya que es un requerimiento del interpolante de clase por lo tanto podemos hacer la siguiente operación sobre el polinomio:
De esta ecuación también es fácil ver que:
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Análisis numérico II Unidad 2. Interpolación Estas ecuaciones las usaremos para determinar el valor de los coeficientes observa que:
. Se
Estas igualdades son el resultado de evaluar y en los extremos del intervalo a interpolar y . Todo este conjunto de ecuaciones nos plantea un sistema que queda de la siguiente manera:
[
][ ]
[
]
Este sistema triangular lo podemos resolver con los métodos de solución de sistemas triangulares, las soluciones quedan como: (11)
Donde, se simplifica de esta manera:
El interpolador de Hermite pertenece a la gama de interpoladores por trozos en los que se incorpora la primer derivada con el fin de suavizar la curva interpolada y hacerla más cercana y parecida a la curva descrita por . Aunque los interpoladores de Newton y Lagrange son sencillos de entender e implementar, el interpolador cúbico de Hermite tiene la ventaja de incorporar más información a la curva interpolada. El algoritmo es muy fácil de implementar en cualquier lenguaje de programación, particularmente en Octave, para calcular los coeficientes se computan de la siguiente manera, tomando como ejemplo function [a,b,c,d]=hermite_cub(xl,yl,sl,xr,yr,sr) % función para calcular el interpolante cúbico de hermite % entrada % xl,yl,sl: punto del extremo derecho, su imagen y derivada
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Análisis numérico II Unidad 2. Interpolación % xr,yr,sr: punto derecho, imagen y derivada % salida % regresa los coeficientes del polinomio a=yl; b=sl; dif1=xr-xl; yp=(yr-yl)/difx; c=(yp-sl)/difx; d=(sl-2*yp+sr)/(difx^2); end function Algoritmo 2. Interpolante de Hermite en Octave.
Para evaluar el polinomio de Hermite descrito a través de estos coeficientes podemos usar el siguiente script: function Y=hermite_pol(C,X) % función para evaluar el polinomio de Hermite de la forma % % H(x) = a + b(x-xl) + c(x-xl)^2 + d(x-xl)^2(x-xr) % % definido a través de sus coeficientes C, que es un % vector de 4 elementos % % C = [a,b,c,d] % % y que se calculan con hermite_cub.m % en el intervalo X=[xl,...,xr] n=length(X); a=C(1); b=C(2); c=C(3); d=C(4); xl=X(1); xr=X(n); Y = a + b*(X-xl) + c*(X-xl).^2 + d*((X-xl).^2.*(X-xr)); End function Algoritmo 3. Script para evaluar el polinomio de Hermite descrito a través de sus coeficientes en el intervalo . Regresa el vector imagen de bajo el polinomio , es decir,
Ejemplo. Calcular el polinomio de Hermite entre derivada
para
. Sabemos que la
Entonces los coeficientes según (11) son:
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Análisis numérico II Unidad 2. Interpolación Por lo tanto, acomodando estos coeficientes en (10) obtenemos el polinomio:
Para obtener los valores a través del algoritmo 2 puedes hacer lo siguiente: octave:5> X=0:0.01:3/2*pi; octave:6> n=length(X) n = 472 octave:7> P=[X(1),cos(X(1)),-sin(X(1)),X(n),cos(X(n)),-sin(X(n))] P = 0.00000
1.00000
-0.00000
4.71000
-0.00239
1.00000
octave:8> [a,b,c,d]=hermite_cub(P(1),P(2),P(3),P(4),P(5),P(6)); octave:9> C=[a,b,c,d] C = 1.00000
-0.00000
octave:10> octave:11> octave:12> octave:13>
-0.04519
0.10934
Y=hermite_pol([a,b,c,d],X); plot(X,cos(X)); hold on; plot(X,Y);
(a) Figura 4. (a). Comparación entre ambos valores.
(b) y su interpolante de Hermite
. (b). Error absoluto entre
Actividad 4. Resolución de problemas por medio de métodos En esta actividad compararás el interpolador de Newtón por el Método de Diferencias Divididas con el interpolante de Hermite. Instrucciones
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Análisis numérico II Unidad 2. Interpolación 1. Descarga el archivo “Act 4. Interpolación de problemas”. 2. Lee el contenido del documento, atendiendo principalmente los tips que se mencionan. 3. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura MANU2_U2_A4_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. 4. El peso del archivo no debe exceder los 4 MB. 5. Espera la retroalimentación de tu Facilitador (a).
Autoevaluación Para verificar los conocimientos adquiridos en la unidad, deberás ingresar a la Autoevaluación y responder las preguntas que ahí se te plantean. Instrucciones. Elige la respuesta correcta: 1. ¿Cuál de los siguientes métodos es el más sencillo de construir? a) Hermite b) Newton c) Lagrange d) Spliine cúbico 2. ¿Cuál de los métodos estudiados es el más inestable conforme más nodos se agreguen? a) Hermite b) Lagrange c) Spline Cúbico d) Newton 3. ¿Qué característica distingue a los interpoladores de los métodos de ajuste de curvas? a) Los interpoladores pasan exactamente sobre los puntos observados b) Los métodos de ajuste pasan exactamente sobre los puntos observados c) Los interpolantes usan hasta la tercer derivada de la función d) Los interpolantes pueden lidiar con ruido en los datos 4. En el interpolador de Newton se usan las diferencias divididas para calcular:
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Análisis numérico II Unidad 2. Interpolación a) b) c) d)
Los coeficientes del término de orden n-ésimo en el polinomio Las potencias de cada monomio Los nodos por los que pasa el interpolante La base de funciones
5. Es el tipo de interpolación que además de necesitar el punto observado y la imagen de la función f(x) también requieren de la derivada de la función. a) Hermite b) Lagrange c) Spline Cúbico d) Newton Es necesario comparar tus respuestas, para ello revisa el documento Respuestas_autoevaluación_U2, ubicada en la pestaña Material de Apoyo
Retroalimentación 1-3 aciertos. Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente el contenido de la unidad. 4-5 aciertos. Tienes un conocimiento claro de los conocimientos de la Unidad, ¡Sigue adelante!.
Evidencia de aprendizaje. Aplicación de métodos En esta actividad resolverás problemas mediante el polinomio interpolante construido, y evaluarás los puntos requeridos y la gráfica de la función sobrepuesta con el interpolante 1. Descarga el documento “EA. Aplicación de métodos”. 2. Resuelve los problemas planteados. 3. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura MANU2_U2_EA_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. 4.
El peso del archivo no debe exceder los 4 MB.
5. Espera la retroalimentación de tu Facilitador (a).
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Análisis numérico II Unidad 2. Interpolación Cierre de la unidad En esta unidad estudiaste algunos métodos numéricos para poder interpolar funciones en valores desconocidos. En ocasiones necesitas una forma polinómica para hacer una evaluación más sencilla. Estos métodos te permiten conocer de forma rápida el valor de una función en un punto desconocido.
Para saber más Puedes revisar el siguiente link, donde se muestran ejemplos de interpolaciones polinomicas. www.youtube.com/watch?v=hCZo6Wl91-U Puedes revisar también el siguiente video para poder comprender mejor el polinomio de Lagrange y diferencias divididas de Newtón. www.youtube.com/watch?v=6kL3KHD7Xhl
Referencias Bibliográficas Burden, R. (2011) Análisis numérico(7ª edición) México: CengageLearning. Mathews, J., Fink, K. (2000). Métodos Numéricos con MATLAB. (3ª edición) Madrid, España. Prentince Hall.
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