U3 martingalas

Probabilidad III Unidad 3. Martingalas

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

8° cuatrimestre

Programa de la asignatura: Probabilidad III

Unidad 3. Martingalas

Clave: 050930831

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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Probabilidad III Unidad 3. Martingalas

Índice Unidad 3. Martingalas ..............................................................................................................................3 Presentación de la unidad......................................................................................................................3 Propósitos de la unidad ..........................................................................................................................3 Competencia específica..........................................................................................................................4 3.1. Definiciones básicas y propiedades ............................................................................................4 3.1.1. Definiciones básicas ................................................................................................................ 5 Actividad 1. Martingalas .........................................................................................................................9 3.1.2. Propiedades ................................................................................................................................ 9 3.1.3. La interpretación de una martingala como juego limpio .............................................. 10 Actividad 2. Propiedades de las martingalas ................................................................................. 11 Autoevaluación ...................................................................................................................................... 12 Evidencia de aprendizaje. Demostraciones sobre martingalas ................................................ 12 Autorreflexiones .................................................................................................................................... 12 Cierre de la unidad ................................................................................................................................ 12 Para saber más....................................................................................................................................... 13 Referencias bibliográficas .................................................................................................................. 13

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Probabilidad III Unidad 3. Martingalas Unidad 3. Martingalas

Presentación de la unidad La presente unidad complementa a las anteriores, tiene como utilidad proporcionarte conceptos que te serán útiles al abordar el estudio del cálculo estocástico, específicamente la integral de Itô, la cual, para el caso indefinido, se constituye como una martingala. Cabe mencionar que las martingalas tienen otras aplicaciones en diversas ramas de las ciencias.

La unidad se conforma por tres subtemas, en los cuales se te presenta la Teoría elemental de martingalas: En el primero se te proporcionan los conceptos básicos; en el segundo, las propiedades de las martingalas y, por último, en el tercero, se te brinda una interpretación de las martingalas como “juego limpio”.

Asimismo, es necesario que contemples lo siguiente:  Los contenidos de esta sección, las definiciones, teoremas y propiedades se resaltan empleando un fondo de color, se debe hacer énfasis en comprender cada uno de éstos, con la finalidad de que los emplees para ir adquiriendo un buen nivel de conocimientos sobre dichos temas.  Aunque este material es suficiente para culminar con éxito el estudio de esta asignatura (si tienes los conocimientos previos adquiridos en las materias anteriores), siempre es recomendable que revises diversos libros sobre el tema que sean reconocidos por la comunidad científica, con la finalidad de que formes tu propio conocimiento.  Cuando no comprendas algún tema de los aquí presentados, debes solicitar apoyo a tu facilitador (a)

Propósitos de la unidad Al término de esta unidad lograrás:     

Comprender el concepto de martingala.

Identificar las propiedades de las martingalas.

Aplicar las propiedades de las martingalas.

Demostrar las propiedades de las martingalas.

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Probabilidad III Unidad 3. Martingalas Competencia específica  Utiliza la Teoría de procesos estocásticos para identificar una martingala, mediante sus definiciones y propiedades.

3.1. Definiciones básicas y propiedades La Teoría de martingalas fue introducida por el matemático francés Paul Pierre Levy (18861971), pero fue su colega norteamericano, Joseph Leo Doob (1910-2004), quien la enriqueció con una estructura matemática que le dio una mejor oportunidad de desarrollo y aplicación. Se ejemplificaría una martingala como un grupo de apuestas sucesivas que se pueden modelar por un proceso estocástico que cumple lo siguiente:

E  X n1 X o  x0 ,..., X n  xn   xn

Por ejemplo, en el juego de la ruleta, una martingala consiste en realizar una apuesta a un número de un color determinado, y si se pierde, repetirla, apostando el doble de la última jugada, y continuar así hasta perder todo o ganar, obteniendo, en este último caso, una pequeña cantidad sobre lo apostado. Por ejemplo, si iniciamos apostando 1 peso y realizamos cinco juegos en los que perdemos, entonces habríamos perdido 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, pero si ganamos, en el sexto juego obtendríamos 32 pesos. Como puedes observar, se obtendrá ganancia neta de 1 peso.

Dado lo anterior, se puede decir que las martingalas son procesos estocásticos especiales; la importancia de su estudio radica en que tienen un gran número de aplicaciones en diversos campos de la ciencia, aunque, reiteramos, el objetivo de presentarlas en este curso es sentar las bases del cálculo estocástico (específicamente el caso de la Integral de Itô).

En la sección Para aprender más podrás hallar algunas lecturas acerca de este tema, las cuales te apoyarán para entender la importancia del estudio de este contenido.

Dado que los contenidos expresados en este documento desarrollan los conceptos básicos y suficientes para cursar la asignatura, es conveniente que te apoyes en la carpeta de material de apoyo, donde podrás revisar muchas aplicaciones de las martingalas dentro del campo

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Probabilidad III Unidad 3. Martingalas estocástico; de igual forma, te auxiliará para poder reforzar los contenidos presentados en esta unidad.

3.1.1. Definiciones básicas El curso se inicia definiendo un concepto de suma importancia para abordar el tema de martingalas: la filtración.

Definición 3.1.1.1. a) (Filtración) Sea  , F , P  un espacio de probabilidades se define a una filtración como una sucesión

F1 , F 2 ,... de  -campos en un espacio muestral  , tales que: F1  F 2  ...  F Una forma alterna de esta definición es la siguiente.

Definición 3.1.1.1. b) (Filtración) La familia  F t , t  0  de  -campos de un espacio muestral  se llama filtración si se cumple que F s  F t para todo 0  s  t .

Como podrás observar, si se consideran dos  -campos, F 1 y F 2 tales que F1  F 2 , entonces es posible decir que F 2 contenga más información que F 1 , en el sentido de que F 2 contiene más  -campos del espacio de probabilidades que F1 . Por tanto, las filtraciones pueden verse como un modelo que representa el incremento de información que se va obteniendo de un suceso conforme pasa el tiempo.

Se denotará a un espacio de probabilidad filtrado mediante la siguiente notación:

 , F ,F 

t t 0

, P

Donde F t t0 representa a la sucesión de  -campos F1 , F 2 ,...

Definición 3.1.1.2.

Un proceso estocástico Y  Yt , t  0  está adaptado a la filtración  F t , t  0  si

 Yt   F t para toda t  0 .

En virtud de lo anterior, se puede decir que la variable aleatoria Yt es F t -medible y, por tanto, reescribir la definición anterior de la siguiente manera.

Definición 3.1.1.3.

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Probabilidad III Unidad 3. Martingalas Sea

 , F ,F 

t t 0

, P

un espacio de probabilidad filtrado y sea

estocástico definido en  , F

 F t , t  0

Yt , t  0 

un proceso

, P  , entonces se dirá que el proceso es adaptado a la filtración

si para toda t  0 se tiene que la variable aleatoria Yt es F t -medible.

A la filtración F t   Ys , 0  s  t  generada por un proceso estocástico Y  Yt , t  0  se le nombra filtración canónica o natural. Algunos autores la representan con F t   Ys , s  t  .

Por otro lado, puede verse que F t es el mínimo  -campo que hace que las variables aleatorias

Ys sean medibles para s   0, t  . Asimismo, al  -campo F t se le denomina “la historia del proceso estocástico al tiempo t”.

Observa que todo proceso aleatorio está adaptado a su filtración canónica.

Considera una definición importante, la cual es un caso particular del tema tratado: Definición 3.1.1.4.

Un proceso estocástico  X t , t  0  es predecible respecto a la filtración  F t , t  0  , si para cada

t  1 , la variable X t es F t 1 -medible.

Con base en lo anterior, es hora de brindar la definición de martingala en tiempo discreto.

Definición 3.1.1.5.

Una sucesión X1 , X 2 ,... de variables aleatorias es una martingala en tiempo discreto con respecto a la filtración F1 , F 2 ,... si: 1. X n es integrable para cada n  1, 2,...

2. X1 , X 2 ,... es adaptado a F1 , F 2 ,...





3. E X n1 F n  X n c.s. para cada n  1, 2,...

La condición 3 indica que X n es la mejor predicción de X n 1 dado F n . Y por otro lado, observa que si en dicha condición se considera Yn1  X n1  X n para n  0,1,... , entonces

E Yn1 F n   0 .





Existen casos en los que el valor esperado E X n 1 F n , de la definición anterior, es mayor o menor que X n , cada uno de los cuales se denominan semimartingalas. Las semimartingalas pueden ser supermartingalas o submartingalas en el sentido de la siguiente definición:

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Probabilidad III Unidad 3. Martingalas (Recuerda que se está tratando el caso discreto).

Definición 3.1.1.6.

I) Una sucesión X1 , X 2 ,... de variables aleatorias es una supermartingala con respecto de la filtración F1 , F 2 ,... si: 1. X n es integrable para cada n  1, 2,...

2. X1 , X 2 ,... es adaptado a F1 , F 2 ,...





3. E X n 1 F n  X n c.s. para cada n  1, 2,...

II) Una sucesión X1 , X 2 ,... de variables aleatorias es una submartingala con respecto de la filtración F1 , F 2 ,... si: 1. X n es integrable para cada n  1, 2,...

2. X1 , X 2 ,... es adaptado a F1 , F 2 ,...





3. E X n 1 F n  X n c.s. para cada n  1, 2,...

Observa que una forma equivalente para indicar que X n es integrable para cada n  1, 2,... , es especificar que E X n   para n  1, 2,... , en virtud de ello existen autores que, en lugar de atender al inciso I, presentado en cada definición, asientan la desigualdad mencionada.

Se proporcionará ahora la definición de martingala en tiempo continuo.

Definición 3.1.1.7.

El proceso estocástico X   X t , t  0  es una martingala en tiempo continuo con respecto de la filtración  F t , t  0  si: 1. E X t   para todo t  0 2. X es adaptado a F1 , F 2 ,...





3. E X t F s  X s c.s. para todo 0  s  t La condición 3, de manera similar que en el caso discreto, indica que X s es la mejor predicción de X t dado F s .

Para ambos casos (discreto y continuo) es usual denotar a la martingala por  X ,  F n   .

Ejemplo 3.1.1.8.

Considerando lo siguiente:

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Probabilidad III Unidad 3. Martingalas a) El proceso estocástico X   X t , t  0,1,... , cuya colección de variables aleatorias son independientes, donde E  X t   0 , para todo t  0 , y t

b) La filtración F t    X1 , X 2 ,..., X t  con Yt   X k .





k 1

Entonces se tiene que el proceso X t , F t t 1 es una martingala.

La afirmación anterior se deriva de que este proceso cumple las tres propiedades de la definición 3.1.1.7., pues: 1. E X t   para todo t  0 .

2. X es adaptado a F t .

Aquí hay que notar que si se tienen dos vectores aleatorios  X1 , X 2 ,..., X t  y  Z1 , Z 2 ,..., Zt  que contienen la misma información, entonces si: i

Yi   X k k 1

Y además: X i  Zi  Zi 1 Para i  1,..., t .

Se tiene que:

E  Zt 1 F t   E  Zt F t   E  X t 1 F t   Zt  E  X t 1 

Como E  X t   0 , para todo t  0 , entonces este proceso debe cumplir también la condición 3 de la definición de martingala, es decir:





3. E X t F s  X s c.s. para todo 0  s  t .

(Sustituyendo Z t 1 por X t y Z t por X s con 0  s  t )

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Probabilidad III Unidad 3. Martingalas Actividad 1. Martingalas A través de esta actividad podrás interactuar con tus compañeros de grupo, con la finalidad de fortalecer lo aprendido.

Instrucciones: 1. Descarga el archivo “Act. 1. Martingalas”, en el que se te presentan diversos tipos de procesos estocásticos, e identifica cuáles de ellos son martingalas, posteriormente define los criterios que puedes emplear de manera general para distinguir una martingala.

2. Ingresa al foro y anota tus conclusiones.

3. Revisa las conclusiones de tres de tus compañeros. Acepta o rechaza su respuesta. * Consulta la Rúbrica general de participación en foros, que se encuentra en la sección Material de apoyo.

3.1.2. Propiedades Se inicia con una propiedad importante sobre las martingalas, la cual puede ayudar a reconocerlas.

Propiedad 3.1.2.1.

La función de esperanzas de una martingala es constante.

Demostración Sea  X ,  F n   una martingala, se tiene por sus propiedades que:

E  X t F s   X s c.s. para todo 0  s  t De las propiedades del valor esperado, se tiene:





E  X s   E E  Xt Fs   E  Xt  Para todo s y t .

Claramente si algún proceso que se presuma martingala no cumple lo anterior, entonces no lo será.

Algunas otras propiedades importantes de las martingalas se describen a continuación: Propiedades 3.1.2.2. a) Si X t es una submartingala, entonces  X t es una supermartingala (y viceversa).

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Probabilidad III Unidad 3. Martingalas b) Si

 X t , t  0

es una submartingala, entonces E  X t  será una función monótona no

decreciente. c) Si  X t , t  0  es una submartingala, y f  x  es una función convexa en  0,   , continua y monótona no decreciente; mientras que E  f  X t     , entonces

 f  X  , t  0 t

es una

submartingala. d) Si  X t , t  0  es una martingala, y f  x  es una función convexa continua y E  f  X t     para t   0,   , entonces

 f  X  , t  0 es una submartingala. t

Por último se dará una definición acerca de un proceso especial llamado transformación martingala.

Definición 3.1.2.3.

El proceso estocástico definido por… n

X 0 , X n   Ci Yi , n  1 i 1

Se llama la transformación martingala de Y por C .

3.1.3. La interpretación de una martingala como juego limpio En un determinado juego, se tiene que cuando la mejor predicción de las ganancias futuras netas por unidad apostada en el intervalo  s, t  es cero, entonces se dice que se trata de un juego limpio. Justamente esta situación se cumple para las martingalas.

Ejemplo.

Considera un juego determinado en tiempo continuo, por tanto se puede definir una variable aleatoria X t que se asocia al resultado del juego en cada instante de tiempo. Se puede decir que  X t , t  0  está adaptado a la filtración  F t , t  0  . Dado lo anterior, es posible considerar la diferencia X t  X s como la ganancia neta obtenida (a futuro) al apostar en el intervalo de tiempo  s, t  . Entonces, la mejor predicción de las ganancias futuras netas dada la información

F s , con s  t está dada por…

E  Xt  X s Fs   E  Xt Fs   E  X s Fs   E  Xt Fs   X s

 Si  X ,  F   es una martingala entonces E  X

  X

pues como X s es F s -medible, entonces E X s F s  X s c.s. t

t

Fs

s

 X s  X s  0 , de donde

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Probabilidad III Unidad 3. Martingalas E  Xt  X s Fs   0 Por tanto, es claro que la afirmación de que una martingala se puede ver como un juego limpio se cumple.

Definición 3.1.1.7.

El proceso estocástico X   X t , t  0  es una martingala en tiempo continuo con respecto de la filtración  F t , t  0  si: 1.

E X t   para todo t  0

2.

X es adaptado a F1 , F 2 ,...

3.

E  X t F s   X s c.s. para todo 0  s  t





E  X s   E E  Xt Fs   E  Xt 

, para todo s y t .

Actividad 2. Propiedades de las martingalas Al finalizar esta actividad podrás resolver problemas de martingalas utilizando sus propiedades.

Instrucciones: 1. Descarga el archivo “Act. 2. Propiedades de las martingalas”.

2. Analiza cada caso presentado en el archivo. Resuelve empleando las definiciones y propiedades presentadas en la unidad.

3. Justifica tus respuestas.

4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura: MVCO2_U2_A1_XXYZ, sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

5. Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación.

Recuerda consultar la Escala de evaluación de la actividad para saber qué aspectos se tomarán en cuenta para su revisión.

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Probabilidad III Unidad 3. Martingalas Autoevaluación Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad, es necesario que resuelvas la autoevaluación.

Ingresa al aula virtual para realizar tu actividad.

Evidencia de aprendizaje. Demostraciones sobre martingalas Es momento de realizar tu evidencia de aprendizaje, donde podrás resolver ejercicios sobre esperanza condicional, auxiliándote de toda la teoría aprendida durante la unidad.

En esta sección terminarás de formalizar tus conocimientos.

Instrucciones: 1. Descarga el documento llamado “EA. Demostraciones sobre martingalas”.

2. Realiza las actividades que se te plantean en el archivo.

3. Argumenta tus respuestas con base en lo que aprendiste en la unidad.

4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura: MVCO2_U2_A1_XXYZ, sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

5. Envía tu trabajo al Portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

Nota: consulta la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones Al finalizar, consulta el foro Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también se toma en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad

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Probabilidad III Unidad 3. Martingalas ¡Felicidades!, acabas de culminar el estudio de los temas previos a un curso de cálculo estocástico. Es altamente recomendable que sigas repasando y haciendo ejercicios para que no olvides los temas estudiados y los tengas presentes para cursos posteriores que se relacionen con la teoría revisada en éste.

Para saber más Revisa los contenidos de la asignatura Probabilidad I, y II, así como los de Procesos Estocásticos, por si tienes alguna duda relacionada con los temas tratados en la unidad.

Lee las siguientes publicaciones para que amplíes tu cultura matemática:    

Martingalas de Pascal http://albertofest.matcuer.unam.mx/Misc43/Ma_Emilia.pdf Algunos resultados sobre martingalas discretas finitas http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=84916714039 Martingalas en la teoría de epidemias http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=89927104 Martingalas y el juego de la ruleta http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=84917310022

Referencias bibliográficas     

Brzezniak, Z. y Zastawniak, T. (1999). Basic stochastic processes. Gran Bretaña: Springer.

Chung, K. L. y Williams, R. J. (1990). Introduction to Stochastic Integration. EUA: Birkhäuser.

Klebaner, F. (2005). Introduction to Stochastic Calculus with Applications. Inglaterra.

Imperial College Press.

Mikosch, T. (2000). Elementary stochastic calculus with finance in view. Singapur: World Scientific Publishing.

Rincón, L. (2012). Introducción a los procesos estocásticos. México: Departamento de Matemáticas-Facultad de Ciencias de la UNAM. Recuperado de http://www.matematicas.unam.mx/lars/Publicaciones/procesos2012.pdf

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