U4 funciones elementales

PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales

Licenciatura en matemáticas

7° cuatrimestre

Programa de la asignatura: Variable compleja I

Unidad 4. Funciones elementales

Clave: 060920517/ 050920517

Universidad Abierta y a Distancia de México

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales

INDICE Contenido Unidad 4. Funciones elementales......................................................................................................... 3 Presentación de la unidad ...................................................................................................................... 3 Propósitos de la unidad .......................................................................................................................... 3 Competencia específica ......................................................................................................................... 3 4.1. Funciones polinomiales y racionales ............................................................................................ 3 4.1.1. Definición y propiedades ......................................................................................................... 3 Actividad 1.Funciones elementales ...................................................................................................... 7 Actividad 2. Funciones polinomiales y racionales .............................................................................. 7 4.2. Exponencial compleja ..................................................................................................................... 8 4.2.1. Definición y propiedades ......................................................................................................... 8 Actividad 3. Exponencial compleja ..................................................................................................... 12 4.3. Logaritmo complejo ....................................................................................................................... 12 4.3.1. Definición y propiedades ....................................................................................................... 12 Actividad 4. Logaritmo complejo ......................................................................................................... 18 4.4. Funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas............................................................... 18 4.4.1. Definición y propiedades ....................................................................................................... 19 4.5. Funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas inversas ............................................... 28 4.5.1. Definición y propiedades ....................................................................................................... 29 Actividad 5. Funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas e inversas ............................ 31 Autoevaluación....................................................................................................................................... 32 Evidencia de aprendizaje. Funciones elementales .......................................................................... 33 Autorreflexiones ..................................................................................................................................... 34 Cierre de la unidad ................................................................................................................................ 34 Para saber más ...................................................................................................................................... 34 Referencias bibliográficas .................................................................................................................... 35

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales Unidad 4. Funciones elementales

Presentación de la unidad En esta unidad se estudian las funciones elementales de variable compleja que resultan de extender de manera natural las funciones elementales de variable real. Se comenzará estudiando las funciones polinomiales y racionales. Posteriormente se continúa con las funciones exponencial y logarítmica, finalizando con las funciones trigonométricas e hiperbólicas.

Propósitos de la unidad Que el alumno analice las funciones holomorfas elementales como extensión natural de las funciones elementales de variable real.

Competencia específica Utilizar las definiciones de las distintas funciones elementales y sus propiedades para complementar sus conocimientos de funciones complejas.

4.1. Funciones polinomiales y racionales En esta sección se presenta la definición de las funciones polinomiales y racionales de manera análoga a como se presentan las funciones polinomiales y racionales de variable real.

La importancia del estudio de las funciones polinomiales radica en el hecho de que son las funciones no triviales más sencillas.

4.1.1. Definición y propiedades Dado n  , un polinomio con coeficientes complejos en la indeterminada z es un objeto de la forma: p( z )  a0  a1 z 

n

 an z n   ak z k , donde ak  k 0

y an  0

El grado del polinomio es n y se denota por gra( p)  n .

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales A partir de la expresión anterior, se puede definir una función polinomial p como la función que a cada z 

se le asigna el número complejo p( z ) que resulta de evaluar z en la

expresión anterior. En símbolos se tiene que toda función polinomial tiene la siguiente forma: p( z )  a0  a1 z   an z n .

Tomando z  x  iy se observa que el polinomio p( z)  u( x, y)  iv( x, y) donde u( x, y), v( x, y) son polinomios de dos variables reales. Hay que tener cuidado ya que una función f ( x, y)  u( x, y)  iv( x, y) donde u( x, y), v( x, y) son polinomios de dos variables complejas no necesariamente implica que f ( z ) sea un polinomio.

Ejemplo: La función polinomial p( z )  z 2 tiene componentes u( x, y)  x2  y 2 y v( x, y)  2 xy . Si se toma la función g ( z)  x  iy resulta que g ( z )  z , lo cual no es un polinomio en la variable

z.

El conjunto de todos los polinomios con coeficientes complejos en la indeterminada z se denota por

 z  , este conjunto se definen las siguientes operaciones: Dados

p( z )  a0  a1 z 

(i).

 an z n y s( z)  b0  b1 z 

 bm z m dos polinomios con coeficientes complejos,

la suma de p y s es el polinomio: p( z)  q( z)  (a0  b0 )  (a1  b1 ) z 

(ii).

La diferencia de p y s es el polinomio: p( z)  q( z)  (a0  b0 )  (a1  b1 ) z 

(iii).

 (al  bl ) z l , donde l  max n, m .  (al  bl ) z l , donde l  max n, m .

El producto de p y q es el polinomio: p( z)q( z)  c0  c1 z 

(iv).

 cmn z m n

El algoritmo de la división: existen polinomios q( z ), r ( z ) , cociente y residuo respectivamente, tales que p( z)  s( z)q( z)  r ( z ) , donde 0  gra(r )  m .

Cabe mencionar que dado que las operaciones anteriores coinciden con las definiciones de suma, resta, producto y algoritmo de la división dadas para polinomios con coeficientes reales, los métodos de operación son los mismos.

En (iv) si se toma s( z )  z  z0 se tiene que p( z)  ( z  z0 )q( z)  r , sustituyendo z  z0 se tiene que p( z0 )  r , es decir, evaluar p( z0 ) en z0 es equivalente a el residuo, este resultado se conoce como el Teorema del residuo, particular p( z0 )  0 si y solo si p( z)  ( z  z0 )q( z) este es el Teorema del factor. De la última observación se tiene que: para z0 

y un polinomio

p( z ) se dice que z0 es una raíz o un cero de p( z ) si y solo p( z0 )  0 . Así el teorema del

factor dice que encontrar los ceros de un polinomio es equivalente a factorizar dicho polinomio.

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales Ejemplo: Aplicar el teorema del residuo a los polinomios p( z)  z 2  3z  4 y el polinomio s( z )  z  1 .

Solución: Aplicando el algoritmo de la división, hay que recordar que es el mismo que el dado en el caso de polinomios con coeficientes reales, se tiene lo siguiente: z4 z 1

z 2  3z  4  z2 z 4z  4  4z  4 8

Por consiguiente r  8 . Por otro lado, evaluando p en z  1 se tiene lo siguiente: p(1)  (1)2  3(1)  4  1  3  4  8 .

Ejemplo: El polinomio p( z )  15  17 z  7 z 2  z 3 tiene las raíces z1  2  i, z2  2  i y z3  3 y es fácil verifica que p( z)  ( z  2  i)( z  2  i)( z  3) .

La observación anterior marca una distancia muy grande entre un polinomio con coeficientes complejos y un polinomio con coeficientes reales, dicha a diferencia se conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, dicho resultado es el siguiente: Teorema: Todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz.

Cabe mencionar que el teorema anterior es un resultado existencial y no proporciona un método para encontrar dichas raíces, encontrar raíces de polinomios no es una tarea fácil. El Teorema de Liouville proporciona una demostración muy elegante y hasta cierto punto trivial del teorema fundamental, el cual es parte del curso de variable compleja II. Como consecuencia inmediata del teorema anterior y aplicando el teorema del factor se tienen los siguientes resultados: Corolario: Todo polinomio con coeficientes complejos se puede descomponer como productos de factores de grado uno, dicha descomposición es única salvo el orden de los factores.

Corolario: Todo polinomio de grado n con coeficientes complejos tiene exactamente n raíces.

En la sección anterior se mostró que todo polinomio con coeficientes complejos es una función entera, en símbolos, p( z)  a0  a1 z   an z n entonces p '( z)  a1  2a2 z   nan z n1 .

En consecuencia, los polinomios son funciones continuas en todo el plano complejo.

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales El algoritmo de la división dices que el resultado de dividir polinomios no necesariamente es un polinomio, lo que motiva a la definición de función racional: Una función racional es el cociente de dos polinomios, en símbolos, si h( z ) es una función racional existen dos polinomios p( z ) y q( z ) tales que h( z ) 

p( z ) . Si gra( g )  m entonces el teorema fundamental q( z )

del álgebra garantiza que h( z ) no está definida en a lo más m valores, es decir, el dominio

\ z ûg ( z )  0 . Como p( z ) y q( z ) son funciones enteras, entonces h( z )

de h es el conjunto

es analítica en su dominio de definición.

z4 es analítica y calcular h '( z ) .

20  8 z  z 2 Solución: Para hallar el conjunto donde la función h( z ) es holomorfa, basta encontrar los Ejemplo: Hallar el conjunto donde la función h( z ) 

valores donde 20  8z  z 2  0 . Aplicando la fórmula general al polinomio anterior tomando a  1, b  8 y c  20 se tiene lo siguiente: z 

2 b  b 2  4ac (8)  (8)  4(1)(20) 8  64  80   2a 2(1) 2

8  16 8  4i   4  2i.

2 2

De donde se desprende que el domino donde h( z ) es holomorfa es

\ 4  2i , gráficamente

se tiene lo siguiente:

Para calcular h '( z ) solo hay que aplicar la fórmula de un cociente de funciones derivables, lo que nos proporciona lo siguiente:

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales d  z4   h '( z )    2  dz  20  8 z  z 

20  8 z  z 2 

d d  z  4   z  4  20  8 z  z 2  dz dz 2  20  8z  z 2 

 20  8z  z  1   z  4  8  2 z    20  8z  z    32  2 z    20  8z  z   20  8z  z  2

2

2 2



20  8 z  z 2  32  2 z 2

 20  8z  z 

2 2



2

2 2

52  8 z  z 2

 20  8 z  z 

2 2

.

Actividad 1.Funciones elementales A través de esta actividad podrás analizar que es una función polinomial y su relación con la raíces de tales funciones.

1.

A través de lo visto hasta ahora, relaciona las funciones polinomiales y de qué manera los números complejos están relacionados con las raíces de funciones polinomiales

2.

3. Ingresa al foro, y anota tus comentarios 4. Revisa la respuestas de tres de tus compañeros (as) aceptando o rechazando sus respuestas.

5. Consulta la rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la sección Material de apoyo.

Actividad 2. Funciones polinomiales y racionales A través de esta actividad, Resolverás, ejercicios de funciones polinomiales y racionales, utilizando variables complejas.

Instrucciones: 1. Descarga el archivo “Actividad 2.Funciones polinomiales y racionales”.

2. Resuelve los ejercicios que en el documento se proponen 3. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura MCO1_U4_A2_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4 Mb. 4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a).

4.2. Exponencial compleja La función exponencial surge como una extensión natural de la función exponencial real, la idea de definir esta función es el sentido de que cuando se aplique a números complejos que tengan exclusivamente parte real, esta coincida con la exponencial real. La mayoría de las propiedades de la exponencial compleja son similares a la su análoga real.

4.2.1. Definición y propiedades La función exponencial compleja se define de la siguiente forma: Dado z  exponencial de z es

con z  x  iy la

e z  exp( z)  e x cos y  i sen y 

A partir de la definición anterior se obtienen las siguientes propiedades: (i).

e z  e x y arg( e z )  y .

(ii).

Img(e z ) 

(iii).

e0  1 .

(iv).

e z  0 para todo z  , ya que e x  0 para todo x 

(v).

e es periódica y de periodo 2 i , es decir, e  e obtiene de observar lo siguiente:

\ 0 .

z

z

. z  2 i

para todo z  . Esto se

e z  2 i  e x  yi  2 i  e x  y  2 i  e x cos  y  2   i sen  y  2   e x cos y  i sen y   e x iy  e z .

(vi).

Si z es real, entonces las exponencial de z es la exponencial real. Estos se obtiene del hecho que z  x  0i , aplicando a la definición de exponencial se tiene:

e z  e x 0i  e x cos0  i sen 0  e x 1  0i   e x . (vii).

La derivada deja invariante a e z . Te tiene que se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en las funciones u( x, y)  e x cos y y v( x, y)  e x sen y :

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales  u ( x, y )  e x cos y x  v( x, y )  e x sen y x

 u ( x, y )  e x sen y y  v( x, y )  e x cos y y

Por lo tanto e z es derivable y su derivada es: d z   e   e x cos y   i e x sen y   e x cos y  ie x sen y dz x y  e x cos y  i sen y   e z.

(viii).

Dados z1 , z2 

se tiene que e z1 e z2  e z1  z2 . En efecto, sean z1  x1  iy1 y

z2  x2  iy2 entonces

e z1 e z2   e x1 cos y1  i sen y1   e x2 cos y2  i sen y2 

(ix).

Dado z 

 e x1  x2 cos  y1  y2   i sen  y1  y2    e z1  z2 .

1 se tiene que e z  z . Esto se obtiene de lo siguiente: e

 cos y  i sen y   x cos y  i sen y 1 1 1  x  e x e z e e cos y  i sen y  cos y  i sen y  cos y  i sen y  cos 2 y  i sen 2 y  e x cos   y   i sen   y    e x iy  e z . (x).

La gráfica de la función exp( z ) se construye del siguiente modo. Sea horizontal, entonces para todo z 

1

1

una recta

se tiene que z  x  y0i , donde y0 es

constante.

Aplicando exp( z ) a

1

se obtiene:

e z  e x iy0  e x cos y0  i sen y0  Donde se obtiene que u  e x cos y0 y v  e x sen y0 . Así la imagen de

1

bajo exp( z )

es parte positiva de la recta con vector de dirección (cos y0 ,sen y0 ) . En resumen se tiene lo siguiente:

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales

Por otro lado, sea

una recta vertical, entonces para todo z 

2

2

se tiene que

z  x0  yi , donde x0 es constante.

Aplicando exp( z ) a

2

se obtiene:

e z  e x0 iy  e x0 cos y  i sen y  Donde se obtiene que u  e x0 cos y y v  e x0 sen y . Elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro las dos relaciones anteriores se tiene:



u 2  v 2  e x0 cos y

  e 2

x0

sen y



2

 e2 x0 cos 2 y  e2 x0 sen 2 y

 e2 x0 cos 2 y  sen 2 y   e2 x0 .

Así la imagen de

2

bajo exp( z ) es un círculo de radio e x0 con centro en el origen.

En resumen se tiene lo siguiente:

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En resumen la función exp( z ) transforma una malla de rectas horizontales y verticales en una malla de círculos y semirayos que inician en el origen de coordenadas, en resumen se tiene lo siguiente:

Ejemplo: Calcular e3 4i .

Solución: Solo hay que aplicar la definición de la función exp( z ) , del siguiente modo:

e3 4i  e3 cos 4  i sen 4 .

Ejemplo: Calcule la derivada de f ( z )  e z

2

3 z

.

Solución: Hay que observar que f ( z ) es la composición de las funciones e z y z 2  3z por consiguiente el resultado se obtiene al aplicar la regla de la cadena del siguiente modo: 2 2 2 d d f '( z )  e z 3 z   e z 3 z  z 2  3z    2 z  3 e z  2 z .  dz  dz Ejemplo: Calcule la derivada de f ( z )  z 2 e3 z .

Solución: La función f ( z ) es el producto de las funciones z 2 y e3z , por consiguiente hay que aplicar la fórmula para derivar el producto de dos funciones derivables:

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales f '( z ) 

d 2 3z d d d    z e   z 2 e3 z   e3 z  z 2   z 2 e3 z 3z   e3 z  2 z  dz  dz dz dz  

 3z 2 e3 z  2 ze3 z   3z 2  2 z  e3 z .

Actividad 3. Exponencial compleja Mediante esta actividad, demostrarás que una función exponencial real, puede representarse como una función compleja.

Instrucciones: 1. Descarga el archivo “Actividad 3.Exponencial y compleja”.

2. Resuelve los ejercicios que en el documento se proponen 3. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura MCO1_U4_A3_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4 Mb. 4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a).

4.3. Logaritmo complejo De manera similar a lo presentado en la parte anterior, la motivación de estudiar el logaritmo nace de la necesidad de estudiar una función que sea la extensión natural del logaritmo real al conjunto de los números complejos.

4.3.1. Definición y propiedades La función logaritmo complejo se define del siguiente modo: Dado z  logaritmo de z es el número complejo: log( z )  ln r  i

con z  rei el

Antes de continuar hay que realizar unas observaciones: (i).

Dado que arg(0) no existe, el dominio de definición de log( z ) es el conjunto (ii).

\ {0} .

Dado que arg( z ) toma un número infinito de valores, la función log( z) es una función multivaluada.

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales (iii).

Si denota al argumento principal de z por Arg( z ) , entonces la función logaritmo se escribe del siguiente modo: log( z)  ln r  i  Arg( z)  2 k  con k  .

(iv).

elog( z )  eln r i  eln r  cos  i sen    r  cos  i sen    z .

(v).

log(e z )  log e x  cos y  i sen y   ln  e x   i  y  2 k   x  iy  i 2 k  z  2 ki .

Para el estudio de la derivada de la función log( z ) hay que observar que la función arg( z)   no es continua, en efecto, si se toma un rayo que pase por z0 y supóngase que Arg( z0 )   para cualquier punto que este sobre dicha recta la función arg( z)   es discontinua, ya que tomando z de una lado de la recta, entonces arg( z ) tiende a  cuando z tiende z0 y tomando a z del otro lado del rayo arg( z)    2 cuando z tiende z0 , como lo ejemplifica la siguiente figura:

Sin embargo, si se fija al ángulo  y solo se toman todos los números complejos z , mientras no se cruce la semirrecta que inicia en el origen con inclinación  , la función arg( z ) es continua y solo toma un valor.

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales En consecuencia, la función log( z ) se compone de un número infinito de funciones univaluadas cuyo dominio son el plano complejo quitándole una semirrecta que inicia en el origen.

Por las observaciones (iv) y (v), la gráfica de la función log( z ) se presenta en la siguiente figura:

En general, una rama de una función multivaluada f es una función univaluada F que es holomorfa en algún dominio de z donde la función F ( z ) es algún valor de f ( z ) . Al conjunto de elementos donde se pasa de una rama a otra se lo llama corte de ramificación.

En consecuencia, cada rama de la función log( z ) es de la forma:

f k ( z)  ln r  i   2 k  , donde k 

y      .

En consecuencia cada rama de la función logarítmica, es la transformación del plano, sin la semirrecta seleccionada, en una banda horizontal infinita de altura 2 como lo muestra la siguiente figura:

El corte de ramificación es la semirrecta que inicia en el origen y tiene inclinación  . En efecto, tomando las funciones u(r , )  ln r y v(r, )    2 k , se tiene lo siguiente:

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales  1 u ( r , )  r r  v ( r , )  0 r

 u ( r , )  0   v( r , )  1 

De donde se sigue que

u 1 v  r r 

y

v 1 u  r r 

Recordando que la derivada de una función f ( z ) en la forma polar es:    f '( z )  ei  u (r , )  i v(r , )  r  r 

Sustituyendo se tiene: 1 1 1  f k '( z )  ei   0i   i  z r  re

Este resultado es independiente de la rama que se tome. Por lo tanto d 1  log( z )   dz z Ejemplo: Calcular la derivada de la función f ( z )  log( z 2  3z) .

Solución: Se tiene que la función f ( z ) es la composición de las funciones log( z ) y z 2  3z , entonces basta aplicar la regla de la cadena a las dos funciones anteriores: d 1 d 2 2 z 2  3z  z  3z   2 . f '( z )  log( z 2  3z )   2 dz z  3z dz z  3z Por convenio, el corte de ramificación de la función log( z ) en este curso es la parte negativa del eje real, es decir, el conjunto de todos los z tales que Re( z)  0 y Im( z)  0 , de donde se sigue que log( z )  ln r  i   2 k  con      y k  . En particular, la rama principal del logaritmo se denota por Log( z)  ln y  i para      .

Además se tiene la relación log( z1·z2 )  log( z1 )  log( z2 ). En efecto sean z1  r1ei1 y z2  r2ei2 entonces

log( z1·z2 )  log  r1ei1  r2 ei2    log  r1r2 ei (1 2 )   ln  r1r1   i 1  2   ln r1  ln r2  i1  i 2   ln r1  i1    ln r2  i 2   log( z1 )  log( z2 ).

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales La anterior relación hay que tomarla en sentido conjuntista, es decir, dado z  log( z1·z2 ) existen z1  log( z1 ) y z2  log( z2 ) tales que z  z1  z2 . Como consecuencia de lo anterior se tiene la siguiente relación:

z  log  1   log( z1 )  log( z2 )  z2  Ejemplo: Dados z1  i y z2  1  i , muestre que Log( z1·z2 )  Log( z1 )  Log( z2 ) .

Solución: Gráficamente los números z1 , z2 y z3 se ubican de la siguiente manera:

Basta realizar las siguientes operaciones: 

i

Log( z1 )  Log(1·e 2 )  ln1 



i



i 2 3 i 3 1 3 Log( z2 )  Log( 2·e 4 )  ln 2   i  ln 2   i 4 2 4 3  i 3 1 3 Log( z1·z2 )  Log( 2·e 4 )  ln 2   i  ln 2   i 4 2 4 2

Solo hay que observar que 3  1 5    1 Log( z1 )  Log( z2 )   i    ln 2   i   ln 2   i 4  2 4  2  2 1 3  ln 2   i  Log( z1·z2 ).

2 4

Ejemplo: Calcule el corte de ramificación de la función f ( z)  log(2 z  1  3i) .

Solución: Basta calcular Re(2 z  1  3i)  0 y Im(2 z 1  3i)  0 . Sea z  x  iy entonces 2 z  1  3i  2( x  iy)  1  3i  (2 x  1)  i(2 y  3) .

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales En consecuencia, 2 x  1  0 y 2 y  3  0 , es decir, x 

1 3 y y   . Por lo tanto, el corte de 2 2

ramificación se muestra en la siguiente figura:

A partir de la función logaritmo se puede definir un exponente complejo, del siguiente modo: Dados w, z  se tiene que wz  e z log( w) . Dado un número complejo c  0 , la función con exponente c se define por z c , para su derivada en la rama   arg( z)    2 , se realizan las siguientes operaciones:

d c  z   dzd  ec log( z )   ec log( z ) dzd  c log( z )   cz ec log( z ) dz c  z c  cz c 1 z Finalmente, dado un número complejo c  0 , la función exponencial con base c se define por c z  e z log(c ) . Luego su derivada es: d z d d c   e z log( c )   e z log( c )  z log(c)  log(c)e z log( c ) dz   dz  dz  log(c)c z .

Ejemplo: Calcular (1  i)i en la rama principal. 

i

Solución: Primero hay que observar que en la rama principal 1  i  2e 4 , por la definición de exponente complejo se tiene que    i  ln 2  i  4 

(1  i)i  ei Log(1i )  e 

Ejemplo: Calcular

e



  i ln 2 4

e



 4

cos 2  i sen 2  .  

d  ( z 2  3z ) 4  2i  . dz

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales Solución: La función a derivar es la composición de las funciones z 2  3z y z 42i . Solo hay que aplicar la regla de la cadena del siguiente modo: 4  2i (4  2 i ) 1 d (3 2 i ) d z 2  3z    4  2i   z 2  3z  z 2  3z    4  2i   z 2  3z   2 z  3   dz dz .





  4  2i  2 z  3  z 2  3z 



(3 2 i )



2 d (2  4i) z 5 z . dz Solución: La función a derivar es la composición de las funciones (2  4i) z y z 2  5z . Por la

Ejemplo: Calcular

regla de la cadena se tiene lo siguiente: 2 2 d d (2  4i) z 5 z  (2  4i) z 5 z log(2  4i)  z 2  5 z  dz dz





  2 z  5 log(2  4i)(2  4i) z

2

5 z

.

Actividad 4. Logaritmo complejo A través de esta actividad podrás, resolver ejercicios que involucren una función exponencial y compleja, así como la obtención de su fórmula, raíces o su logaritmo.

Instrucciones: 1. Descarga el archivo “Actividad 4.Logaritmo complejo”.

2. Resuelve los ejercicios que en el documento se proponen 3. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura MCO1_U4_A4_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4 Mb. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a).

4.4. Funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas Las funciones trigonométricas surgen del estudio de las relaciones existentes entre los lados y los ángulos internos de un triángulo rectángulo. El concepto de radián permite ver a un ángulo

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales como un segmento de recta y en consecuencias las funciones trigonométricas se convierten en funciones de variable real. En esta sección se presenta la forma natural de definir las funciones seno y coseno complejos, a partir de estas dos y de las identidades trigonométricas usuales se define el resto de las funciones trigonométricas. Finalmente, las funciones hiperbólicas se convierten en un caso particular de las funciones trigonométricas.

4.4.1. Definición y propiedades La fórmula de Euler establece una relación entre un la exponencial compleja y las funciones seno y coseno a partir de la igualdad siguiente: Para cualquier   se tiene lo siguiente: ei  cos  i sen  Sustituyendo  por  la relación anterior se convierte en: ei  cos  i sen  Sumando miembro a miembro cada igualdad se tiene que: ei  ei  cos  i sen    cos  i sen    2cos .

Similarmente restando la segunda relación de la primera se obtiene: ei  ei   cos  i sen     cos  i sen    2i sen  En conclusión se llega a las siguientes identidades:

ei  ei ei  ei y sen   2 2i Las relaciones anteriores permiten definir las funciones seno y coseno para números complejos del siguiente modo: Dado z  la función seno y coseno complejos de z son: eiz  eiz eiz  eiz cos z  y sen z  2 2i Sea z  x  iy entonces las componentes de la función coseno se obtienen del siguiente cos 

modo: eiz  e  iz 1  i  x iy  1  e  e i  x iy    eix  y  e ix  y  2 2 2 1 y  e  cos x  i sen x   e y  cos x  i sen x   2  e y  e y   e y  e y   cos x   i sen x    2  2   

cos z 

 cos x cosh y  i sen x senh y.

De lo anterior se sigue que:

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales cos z   cos x cosh y    sen x senh y  2

2

2

 cos 2 x cosh 2 y  sen 2 x senh 2 y  cos 2 x cosh 2 y  1  cos 2 x  senh 2 y  cos 2 x  cosh 2 y  sen 2 y   senh 2 y  cos 2 x  senh 2 y De manera análoga las componentes de la función seno son las siguientes: eiz  e iz 1  i  x iy  i  x iy   1 ix  y  e e  e  e  ix  y   2i 2i 2i 1 y  e  cos x  i sen x   e y  cos x  i sen x   2i  e y  e  y   e y  e y   i cos x   se n x    2 2    

sen z 

 sen x cosh y  i cos x senh y.

De lo anterior se sigue que:

sen z   sen x cosh y    cos x senh y  2

2

2

 sen 2 x cosh 2 y  cos 2 x senh 2 y  sen 2 x cosh 2 y  1  sen 2 x  senh 2 y  sen 2 x  cosh 2 y  senh 2 y   senh 2 y  sen 2 x  senh 2 y Por la forma en cómo se definen, las funciones sen z y cos z funciones enteras ya que son la suma y diferencia de las funciones enteras eiz y e iz respectivamente. La derivada de la función cos z se obtiene de la siguiente forma: d d  eiz  e iz  ieiz  ie iz i  ieiz  ie iz  eiz  eiz    cos z      dz dz  2  2 i 2 2i  

eiz  eiz   sen z.

2i

De manera similar para la función sen z se tiene: iz  iz d d  eiz  eiz  ieiz  ieiz i e  e  eiz  eiz    sen z     dz dz  2i  2i 2 2i

 cos z.

Una relación importante entre las funciones seno y coseno viene dada del siguiente cálculo:

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20

PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales 2

2

 eiz  eiz   eiz  e iz  e2iz  2  e 2iz e2iz  2  e 2iz sen 2 z  cos 2 z          2  4 4  2i   

 e2iz  2  e2iz  e2iz  2  e2iz  1.

4

Es importante conocer el conjunto donde se anulan las funciones seno y cose, para obtener dicho conjunto supóngase que sen z  0 con z  x  iy entonces se tiene que: sen x cosh y  0 y cos x senh y  0

Como cosh y  0 para cualquier y 

, se sigue que sen x  0 , es decir, x   k con k  .

Luego, como cos x  0 se tiene que senh y  0 , lo que implica que y  0 . Por lo tanto, sen z  0 implica que z   k para k  .

De manera similar, supóngase que cos z  0 con z  x  iy entonces se tiene que: cos x cosh y  0 y sen x senh y  0



  k con k  .

2 Luego, como sen x  0 se tiene que senh y  0 , lo que implica que y  0 . Por lo tanto, cos z  0 Como cosh y  0 para cualquier y 

, se sigue que cos x  0 , es decir, x 



  k para k  . En resumen, las funciones seno y coseno solo se 2 anulan en los valores usuales. implica que z 

El resto de las funciones trigonométricas se definen en términos de las identidades usuales estudiadas en un curso elemental de trigonometría que son las siguientes: sen z cos z tan z  cos z  cos z sen z 1 1 sec z  csc z  cos z sen z

Donde tan, cot, sec, csc denotan la función tangente, cotangente, secante y cosecante respectivamente. El dominio de las funciones tan z y sec z es el conjunto para el dominio de las funciones cot z y csc z el dominio es el conjunto

  \    k ûk   , 2  

\  k ûk 

.

La relación que existe entre la función tangente y secante es la siguiente: sen 2 z sen 2 z  cos 2 z  sen z  tan z  1    1   1   cos 2 z cos 2 z  cos z  2

2

2



1  1    sec 2 z.

2  cos z  cos z 

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales De manera análoga la relación que hay entre la función cotangente y cosecante es la siguiente: cos 2 z cos 2 z  sen 2 z  cos z  cot z  1    1   1   sen 2 z sen 2 z  sen z  2

2

2



1  1    csc 2 z.

2  sen z  sen z 

La derivada de las funciones antes definidas son las siguientes:  Para la función tangente: d d cos z  sen z   sen z  cos z  d d  sen z  dz dz   tan z    2 dz dz  cos z   cos z  

cos z cos z  sen z   sen z 

cos 2 z cos 2 z  sen 2 z 1    sec 2 z.

2 cos z cos 2 z



Para la función cotangente: d d cos z    cos z    dz dz  sen z  

sen z

d d  cos z   cos z  sen z  dz dz 2  sen z 

sen z   sen z   cos z cos z

sen 2 z  sen 2 z  cos 2 z 1     csc 2 z.

2 sen z sen 2 z



Para la función secante: d d 1  d  1 2 d   sec z     cos z      cos z   cos z    dz dz  cos z  dz dz  sen z sen z    tan z sec z.

2 cos z cos z cos z



Para la función cosecante: d d 1  d  1 2 d   csc z     sen z      sen z   sen z    dz dz  sen z  dz dz cos z cos z     cot z csc z.

2 sen z sen z sen z

Ejemplo: Demuestre que sen  z1  z2   sen z1 cos z2  sen z2 cos z1 para cuales quiera z1 , z2 

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.

22

PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales Solución: cuando se tenga que mostrar un identidad basta aplicar la definición de las funciones involucradas y realizar las operaciones indicadas, se recomienda tomar la expresión que tenga más términos ya que usualmente en la expresión que tiene un número menor términos tiene simplificaciones que no son identificables a simple vista. Partiendo de la sugerencia anterior se procede de la siguiente forma:  eiz1  e  iz1  eiz2  eiz2   eiz2  eiz2  eiz1  e iz1  sen z1 cos z2  sen z2 cos z1       2i 2 2i 2       1 i  z1  z2   e  ei  z1  z2   ei  z2  z1   e  i  z1  z2  4i 1 i  z1  z2   e  ei  z2  z1   ei  z1  z2   e  i  z1  z2  4i 1 1 i  z1  z2   i  z1  z2   2ei  z1  z2   2e i  z1  z2   e e 4i 2i  sen  z1  z2  .

 

  







Ejemplo: Demostrar que la función sen z es impar, es decir sen   z    sen z .

Solución: Basta aplicar la definición de la función seno y seguir las operaciones indicadas del siguiente modo:

sen   z  

ei (  z )  ei (  z ) e zi  eiz eiz  eiz     sen z .

2i 2i 2i

Ejemplo: Mostrar que la función sen z transforma una malla de líneas horizontales y verticales en una malla de hipérbolas y elipses.

Solución: Se tiene que la función seno es la siguiente: sen z  sen x cosh y  i cos x senh y .

Sea

1

una recta horizontal, entonces para todo z 

1

se tiene que z  x  y0i , donde y0 es

constante.

Aplicando la función sen z se tiene lo siguiente: sen z  sen x cosh y0  i cos x senh y0 .

De donde se obtiene lo siguiente:

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales u  sen x cosh y0

y v  cos x senh y0

Cuando y0  0 se tiene que senh y0  0 lo que implica que: u  sen x y cosh y0

v  cos x senh y0

Elevando al cuadrado ambas igualdades y sumando miembro a miembro permite obtener lo siguiente: u2 v2   sen 2 x  cos 2 x  1 cosh 2 y0 senh 2 y0 Como cosh y0  senh y0 la relación anterior representa una elipse horizontal con ejes en los ejes coordenados, como lo muestra la siguiente figura:

En particular cuando y0  0 se tiene que cosh y0  1 y senh y0  0 por consiguiente, se tiene que u  sen x y v  0 , su gráfica es el segmento de recta que va del punto (1,0) al punto (1,0) , este segmento puede considerarse como una elipse deformada, como lo muestra la

figura siguiente:

Por otro lado, sea

2

una recta vertical, entonces para todo z 

2

se tiene que z  x0  yi ,

donde x0 es constante.

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales

Aplicando la función sen z se tiene lo siguiente: sen z  sen x0 cosh y  i cos x0 senh y .

De donde se obtiene lo siguiente: u  sen x0 cosh y y v  cos x0 senh y Cuando x0  k y x0 

 2

 k con k 

se tiene que sen x0  0 y cos x0  0 , lo que implica

que: u  cosh y y sen x0

v  senh y cos x0

Elevando al cuadrado ambas igualdades y restando miembro a miembro permite obtener lo siguiente: u2 v2   cosh 2 y  senh 2 y  1 sen 2 x0 cos 2 x0 Dicha relación representa una hipérbola con ejes en los ejes coordenados, como lo muestra la siguiente figura:

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales Cuando x  k con k 

se tiene que u  0 y v   1 senh y , lo que gráficamente se k

representa el eje coordenado vertical recorrido de abajo hacia arriba si k es par o de arriba hacia abajo si k es impar, como lo muestra la figura:



 k con k  se tiene que u   1 cosh y y v  0 lo que representa un la 2 semirrecta horizontal que comienza en (1,0) y se extiende por la derecha cuando k es par y Cuando x0 

k

la semirrecta horizontal que comienza en (1,0) y se extiende por la izquierda cuando k es impar, como lo muestra la siguiente figura:

En resumen, gráficamente se tiene lo siguiente:

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales

Ejemplo: Demostrar que la función sen z es periódica y de periodo 2 .

Solución: hay demostrar que cos( z  2 )  cos z . Para ello se hará uso de la identidad

sen  z1  z2   sen z1 cos z2  sen z2 cos z1 Para los valores z1  z y z2  2 para obtener lo siguiente:

sen  z  2   sen z cos  2   sen  2  cos z  sen z 1   0  cos z  sen z .

Ejemplo: Calcular





d tan  z 2  3z  . dz

Solución: solo hay que aplicar la regla de la cadena a las funciones tan z y z 2  3z , del siguiente modo: d d tan  z 2  3z   sec2  z 2  3z   z 2  3z    2 z  3 sec2  z 2  3z  . dz dz





Para finalizar esta sección toca el turno de presentar las funciones hiperbólicas, de manera similar a las definiciones presentadas en curso de cálculo de una variable, las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico se definen de la siguiente manera:

cosh z 

e z  e z 2

y senh z 

e z  e z 2

El estudio de las funciones hiperbólicas no es detallado debido a las siguientes observaciones:

e z  e z e i z  ei z e  iiz   eiiz  cosh z     cos  iz  2 2 2 2

2

e z  e  z i e  i z  ei z eiiz   eiiz    i  i sen  iz  2 i 2 2i 2

senh z 

2

Por consiguiente, las funciones hiperbólicas son un caso particular de las funciones trigonométricas. El resto de las funciones hiperbólicas se definen del siguiente modo: senh z cosh z tanh z  coth z  cosh z senh z 1 1 sech z  csch z  cosh z senh z Ejemplo: Demostrar que cosh 2 z  senh 2 z  1 para todo z  .

Solución: Solo basta aplicar las identidades anteriores a la relación dada del siguiente modo:

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales cosh 2 z  senh 2 z  cos  iz      i sen  iz  2

2

 cos  iz     i  sen  iz   2

2

 cos  iz     1 sen  iz   2

2

2

 cos  iz    sen  iz    1.

2

2

d  cosh z   senh z . dz Solución: Solo hay que aplicar la regla de la cadena del siguiente modo: d d d  cosh z    cos  iz     sen  iz   iz  dz dz dz   sen  iz  i   senh z.

Ejemplo: Demostrar que

Otra manera de obtener el mismo resultado es a partir de la definición dada en términos de la función exponencial: d z z e e  d d  e z  e z  dz    cosh z     dz dz  2  2 e z  e z   senh z.

2 d Ejemplo: Calcular  tanh z  . dz Solución: Basta aplicar la derivada de un cociente a la definición de la función tanh z , como se muestra a continuación: d d senh z   tanh z     dz dz  cosh z  d d cosh z  senh z   senh z  cosh z  dz dz  2 cosh z   cosh z cosh z  senh z senh z 1  2 cosh z cosh 2 z  sech 2 z.



4.5. Funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas inversas En la sección anterior se presentó las funciones trigonométricas y su relación con las funciones hiperbólicas, estas funciones se definen en términos de la función exponencial compleja, por consiguiente sus funciones inversas se definen en términos del logaritmo complejo.

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales 4.5.1. Definición y propiedades Las definiciones de las funciones trigonométricas inversas se obtienen realizando un “despeje” algebraico, dichas definiciones dependen del logaritmo complejo. Se comienza estudiando las funciones inversas del seno y coseno respectivamente, las cuales se definen del siguiente modo: sen 1 z  w si y solo si sen w  z

cos z 1  w si y solo si cos w  z Partiendo de la primera relación se tiene lo siguiente:

z  sen w 

eiw  eiw 2i

La idea central de “despejar” a w por medio de la siguiente cadena de igualdades: eiw  e iw 2i 1 e 2iw  1 2iz  eiw  iw  e eiw iw 2 iw 2ize  e  1 z

e 2iw  2izeiw  1  0

Tomando u  eiw y sustituyendo en la última igualdad se llega a la siguiente ecuación cuadráticas con respecto a u . u 2  2izu  1  0

Aplicando la fórmula general para las ecuaciones cuadráticas se obtiene lo siguiente: u

  2iz  

 2iz  2 1

2

 4 1 1

2   2iz  4 z 2  4 2 iz  1  z     iz  1  z 2 .

2 2

Por consiguiente eiw  iz  1  z 2 . Aplicando la función logaritmo a ambos lados de la igualdad se tiene:

  iw  log  iz  1  z  w  i log  iz  1  z  .

log  eiw   log iz  1  z 2

2

2





Por lo tanto se define sen 1 z  i log iz  1  z 2 . Para su derivada hay que realizar las siguientes operaciones:

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales



d iz  1  z 2 d d  d  1 2  2  dz  sen z   dz i log iz  1  z   i dz log iz  1  z   i dz iz  1  z 2 1 1 d z i i 1  z 2  i  2 1  z 2  2 z 2 dz 2 1 z 1  z2  i  i  i iz  1  z 2 iz  1  z 2 iz  1  z 2















i 1  z2  z  i

i 1  z2  z 1  z 2  iz 1 1  z 2  i   .

2 iz  1  z 1  z2 iz  1  z 2 1  z 2 iz  1  z 2 1  z 2









De manera similar, para la función coseno inverso se tiene lo siguiente: eiw  eiw z  cos w  2 Despejando a w se tiene lo siguiente: eiw  e  iw 2 1 e2iw  1 2 z  eiw  iw  e eiw 2 zeiw  e2iw  1 z

e 2iw  2 zeiw  1  0

Tomando u  eiw y sustituyendo en la última igualdad se llega a la siguiente ecuación cuadráticas con respecto a u . u 2  2 zu  1  0

Aplicando la fórmula general para las ecuaciones cuadráticas se obtiene lo siguiente: 2 2     2 z    2 z   4 11 2 z  4 z 2  4 2  z  z  1 u    z  i 1  z2 .

2 1 2 2 Aplicando la función logaritmo a ambos lados de la igualdad se tiene:

  iw  log  z  i 1  z  w  i log  z  i 1  z  .

log  eiw   log z  i 1  z 2

2

2





Por lo tanto se define cos 1 z  i log z  i 1  z 2 . En consecuencia

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales



d z  i 1  z2 d d  d  1 2  2  dz  sen z   dz i log z  i 1  z   i dz log z  i 1  z   i dz z  i 1  z2 i i d iz 1 1 1  z 2  1  2 1  z 2  2 z 2 dz 2 1 z 1  z2  i  i  i z  i 1  z2 z  i 1  z2 z  i 1 z2















1  z 2  iz  i

1  z 2  iz i 1 z2  z 1 1  z 2  i   .

2 z  i 1 z 1  z2 z  i 1  z2 1  z2 z  i 1  z2 1  z2









El resto de las funciones trigonométricas e hiperbólicas se resuelven de manera similar a las funciones seno y coseno inverso.

d sen 1  2 z  . dz Solución: Basta aplicar la regla de la cadena a las funciones sen 1 z y 2z , como se muestra a continuación: d 1 d 2 sen 1  2 z    .

2z    2 dz 1  4z2 1   2 z  dz Ejemplo: Calcular

Ejemplo: Calcular

d  1  z   cos    . dz   4 

Solución: Basta aplicar la regla de la cadena a las funciones cos1 z y

z , como se muestra a 4

continuación: d  1  z   cos     dz   4 

1 1 1 d z 1 4 4 4 .     2 dz  4  2 2 2 1   2 z 16  z 16  z z 16  z 1 1   4 16 16 4 1

Actividad 5. Funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas e inversas A través de esta actividad. Resolverás funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas y su inversa.

Instrucciones:

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales 1. Descarga el archivo “Actividad 5.Funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas e inversas”.

2. Resuelve los ejercicios que en el documento se proponen 3. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura MCO1_U4_A5_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4 Mb. 4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a).

Resolver los siguientes ejercicios.

Autoevaluación Es momento de realizar la autoevaluación, esto te servirá para medir el grado de conocimiento obtenido durante la unidad.

1. Escoger el polinomio cuyas raíces son z1  3  4i , z2  3  4i y z  5 . a.

p( z)  125  55z  11z 2  z 3 .

b.

p( z)  145  55z  10 z 2  z 3 .

c.

p( z)  100  55z  5z 2  5z 3 .

d.

p( z)  150  20 z  11z 2  z 3 .

2. Hallar el corte de ramificación de la función log  z 2  2 z  . a. El segmento de recta abierto que va del punto (0,0) al (2,0) junto con la recta vertical que pasa por el punto (1,0) . b. El arco de parábola que pasa por los puntos (1,1) , (0,0) y (1,1) . c. La semirrecta que inicia en el punto (0,0) y divide al tercer cuadrante en dos parte iguales. d. El segmento de recta que va del punto (1,0) al (1,0) junto con el eje coordenado vertical.

3. Calcule todos los valores que satisfagan la relación sen  z 2  2 z   0 . a.

z  1  k  1 con k  .

b.

z  k  k  1 con k  .

c.

z    k  1 con k  .

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales d.

z      k con k  .

4. Calcular 1  i 

1i 3

a.

2e

b.

2e

c.

2e

d.

2e

5. Calcule a. b. c. d.



3 4

3 4



  1   1   cos  4  2 3 ln(2)   i sen  4  2 3 ln(2)   .     

  1   1   cos  4  2 3 ln(2)   i sen  4  2 3 ln(2)   .     

3 4

3 4

en la rama principal.

   1    1   cos   4  2 3 ln(2)   i sen   4  2 3 ln(2)   .     

  1   1   cos  4  2 3 ln(2)   i sen  4  2 3 ln(2)   .     

d  1 2 sen  z  4 z   . dz  4  2z .

1  16 z 2  8 z 3  z 4 2 z .

1  16 z 2  8 z 3  z 4 4  2z .

9  6 z 2  3z 3  z 4 4  2z .

1  16 z 2  8 z 3  z 4

RETROALIMENTACION 1-3 aciertos. Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente el contenido de la unidad.

4-5 aciertos. Tienes un conocimiento claro de los conocimientos de la Unidad, sigue adelante.

Evidencia de aprendizaje. Funciones elementales A través de esta actividad, podrás resolver ejercicios de funciones elementales, tomando en cuenta los conocimientos adquiridos durante la unidad.

Resolver los siguientes ejercicios.

1. Resuelve los siguientes ejercicios. a) Hallar todos los valores z tales que e2 z  3  i .

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales b) ¿Qué condición cumple z para que se cumpla qué e z  ? c) De las siguientes expresiones escoger la que es equivalente a

sen  z1  z2  sen  z1  z2  : d) Calcular

d  tan  z i  z   . dz 

3z  z 2 es holomorfa: 5z  4 z 2  z3 2. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCO1_U4_EA_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. e) Hallar el dominio donde la función f ( z ) 

3. Envía tu reporte al Portafolio de Evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

4. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad En esta unidad se estudiaron las funciones elementales de variable compleja. Se comenzó estudiando las funciones polinomiales y racionales. Aprendiste las funciones exponencial y logarítmica, y finalizaste estudiando las funciones trigonométricas e hiperbólicas.

Para saber más Para comprender mejor el Teorema Fundamental del Álgebra puedes consultar la siguiente dirección: http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_algebra

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 4. Funciones elementales Referencias bibliográficas Bak, J. y Newman, D. (2010). Complex analysis. USA: Springer-Verlag.

Churchill, R. y Brown, J. (2010). Variable compleja y aplicaciones. México: McGraw-Hill.

Lang, S. (1998). Complex analysis. USA: Springer-Verlag.

Marsden, J. y Hoffman, M. (1996). Análisis básico de variable compleja. México: Trillas.

Marsden, J. y Tromba, A. (2009). Cálculo vectorial. México: Pearson.

McMahon, D. (2008). Complex variables demystified. USA: McGraw-Hill.

Spiegel, M. (2011). Variable compleja. México: McGraw-Hill.

Zill, D. y Shanahan, P. (2008). A first course in complex analysis with applications. USA: Jones & Bartlett Publishers.

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