Unidad 1 series de fourier

Transformaciones y series Unidad 1. Series de Fourier Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

8° Semestre

Transformaciones y series

Unidad 1. Series de Fourier

Clave: 05144844

Ciencias Exactas, ingenierías y tecnologías Licenciatura en Matemáticas

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Transformaciones y series Unidad 1. Series de Fourier

Índice Unidad 1. Series de Fourier............................................................................................. 3 Introducción ..................................................................................................................... 3 Espacios vectoriales ....................................................................................................... 4 Propiedades del producto interno ................................................................................... 4 Definición Norma o longitud de un vector: ...................................................................... 4 Funciones ortogonales ................................................................................................... 5 Definición producto interno de dos funciones: ................................................................ 5 Definición de función ortogonal: ..................................................................................... 5 Funciones ortonormales ................................................................................................. 7 Definición funciones ortonormales.................................................................................. 8 Cierre de la Unidad .......................................................................................................... 9 Fuentes de consulta ........................................................................................................ 9

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Transformaciones y series Unidad 1. Series de Fourier Unidad 1. Series de Fourier

IntroducciĂłn Dentro del ĂĄrea de las matemĂĄticas se utiliza el concepto de vector como un conjunto ordenado de đ?‘› cantidades por ejemplo [đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘› ] đ?‘‡ . En los casos particulares de vectores bidimensionales (đ?‘› = 2) y tridimensionales (đ?‘› = 3), se utilizan en la prĂĄctica representaciones alternativas que comprenden magnitudes y ĂĄngulos. En tĂŠrminos matemĂĄticos se prefiere la notaciĂłn cartesiana por ser mĂĄs general, lo cual es vĂĄlido para todo entero positivo ( đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘’đ?‘ đ?‘› = 0, 1, ‌ . ), donde cada componente đ?‘Ľ1 se toma del conjunto de los nĂşmeros reales â„? o de los nĂşmeros complejos â„‚.

Durante esta unidad revisarĂĄs, los espacios vectoriales ademĂĄs de las funciones ortogonales dentro de un plano tridimensional.

Dentro de esta misma unidad revisarĂĄs las funciones ortogonales que se considera como una generalizaciĂłn de un vector, ademĂĄs de sus dos conceptos vectoriales (Producto interno y ortogonalidad que abarcan las funciones.

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Transformaciones y series Unidad 1. Series de Fourier Espacios vectoriales

Propiedades del producto interno Un espacio ecuclideando es un espacio vectorial complejo H junto con una funciĂłn que asocia a cada par ordenado de vectores đ?‘Ľ, đ?‘Ś đ?œ– đ?‘Ż un nĂşmero complejo. Entonces ⌊đ?‘Ľ, đ?‘ŚâŒŞ es llamado producto interno de đ?‘Ľ e đ?‘Ś. De tal manera que cumple con las siguientes condiciones: 1.

2.

3.

4.

5.

⌊đ?’™, đ?’šâŒŞ = Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… ⌊đ?’™, đ?’šâŒŞ ⌊đ?’™ + đ?’š, đ?’›âŒŞ = ⌊đ?’™, đ?’›âŒŞ + ⌊đ?’™, đ?’šâŒŞ ⌊đ?œ†đ?’™, đ?’šâŒŞ = đ?œ†âŒŠđ?’™, đ?’šâŒŞ, ∀ đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ đ?‘Ż; con đ?œ† un escalar ⌊đ?’™, đ?’™âŒŞ ≼ 0, ∀ đ?‘Ľ ∈ đ?‘Ż ⌊đ?’™, đ?’™âŒŞ = 0 sĂ­ y solo sĂ­ đ?’™ = 0

De acuerdo a la propiedad 4, es posible definir la norma de un vector en un espacio de Hilbert.

DefiniciĂłn Norma o longitud de un vector: Si đ??‹ ∈ đ?‘Ż, con H un espacio vectorial, y đ??‹đ?&#x;? , đ??‹đ?&#x;? , ‌ , đ??‹đ?’? una base de x, y đ?œ† un escalar.

Entonces se dice que la longitud o norma del vector x estĂĄ definida por: ‖đ??‹â€– = √⌊đ??‹, đ??‹âŒŞ = √⌊đ?œ‘1 , đ?œ‘2 , ‌ , đ?œ‘đ?‘› âŒŞâŒŠđ?œ‘1 , đ?œ‘2 , ‌ , đ?œ‘đ?‘› âŒŞ = √đ?œ‘12 + đ?œ‘22 + â‹Ż + đ?œ‘đ?‘›2 La norma de un vector posee las siguientes propiedades: 1.

2.

3.

4.

5.

‖đ?œ†đ??‹â€– = |đ?œ†|‖đ??‹â€– đ?œś ∙ đ?œˇ = ‖đ?œśâ€–‖đ?œˇâ€– cos đ?œƒ. Producto interno de đ?œś đ?‘?đ?‘œđ?‘› đ?œˇ ‖đ??‹â€–2 = (đ??‹, đ??‹) |(đ??‹đ?&#x;? , đ??‹đ?&#x;? )| ≤ ‖đ??‹đ?&#x;? ‖‖đ??‹đ?&#x;? ‖ ∀ đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ đ?‘Ż . Desigualdad de Schwartz ‖đ??‹đ?&#x;? + đ??‹đ?&#x;? ‖ ≤ ‖đ??‹đ?&#x;? ‖ + ‖đ??‹đ?&#x;? ‖ ∀ đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ đ?‘Ż. Desigualdad del TriĂĄngulo

DefiniciĂłn 1 Ciencias Exactas, ingenierĂ­as y tecnologĂ­as Licenciatura en MatemĂĄticas

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Si definimos la distancia entre x,y como đ?‘‘(đ??“đ?&#x;? , đ??“đ?&#x;? ) = ‖đ??“đ?&#x;? − đ??“đ?&#x;? ‖, se dice que H es un espacio mĂŠtrico.

DefiniciĂłn 1 Un espacio euclideano H recibe el nombre de espacio de Hilbert si toda sucesiĂłn de Cauchy converge en H, es decir, si H es completo con la mĂŠtrica inducida por el producto interno.

Funciones ortogonales En relación con geometría, se dice que dos líneas son ortogonales si el ångulo formado entre ambas es de 90°. Este resultado se puede extender al estudio de los vectores y mås aún al de las funciones a travÊs del estudio del producto interno.

DefiniciĂłn producto interno de dos funciones: Sea đ?‘“1 y đ?‘“2 dos funciones definidas en el intervalo cerrado [đ?‘Ž, đ?‘?]. Entonces se define el producto interno entre đ?‘“1 y đ?‘“2 como: đ?‘?

⌊đ?‘“1 , đ?‘“2 âŒŞ = âˆŤđ?‘Ž đ?‘“1 (t) đ?‘“(đ?‘Ą)2 đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘?đ?‘œđ?‘› đ?‘Ą đ?‘˘đ?‘› đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;ĂĄđ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ Dado que đ?‘“1 y đ?‘“2 inducen un producto interno, entonces cumplen con las propiedades planteadas al principio de ĂŠste capĂ­tulo.

Tomando en cuenta que el producto interno entre funciones induce una norma, y tomando en cuenta las propiedades de la norma anteriormente dadas, se tiene lo siguiente: đ?‘?

1 2

‖đ?‘“‖ = (âˆŤ đ?‘“ 2 (đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą,) đ?‘Ž

DefiniciĂłn de funciĂłn ortogonal:

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Transformaciones y series Unidad 1. Series de Fourier Se dice que dos funciones đ?‘“1 y đ?‘“2 son ortogonales en el intervalo cerrado [đ?‘Ž, đ?‘?] si: đ?‘?

⌊đ?‘“1 , đ?‘“2 âŒŞ = âˆŤ đ?‘“1 (t) đ?‘“(đ?‘Ą)2 đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘Ž

Al generalizar esta definiciĂłn a un conjunto de funciones {đ?œ™đ?‘– } đ?‘?đ?‘œđ?‘› đ?‘– = 1, ‌ , đ?‘›. Se dice que dos funciones đ?œ™đ?‘› , đ?œ™đ?‘š con đ?‘› ≠đ?‘š son ortogonales si: đ?‘?

1. ⌊đ?œ™đ?‘› , đ?œ™đ?‘š âŒŞ = âˆŤđ?‘Ž đ?œ™đ?‘› (đ?‘Ą)đ?œ™đ?‘š (đ?‘Ą) = 0 đ?‘ đ?‘– đ?‘› ≠đ?‘š đ?‘?

2. ⌊đ?œ™đ?‘› , đ?œ™đ?‘› âŒŞ = âˆŤđ?‘Ž đ?œ™đ?‘› (đ?‘Ą)đ?œ™đ?‘› (đ?‘Ą) = 1 Hay que observar que si los Ă­ndices de las funciones anteriores son diferentes entonces el producto interno serĂĄ cero, y si los Ă­ndices son iguales el producto interno serĂĄ uno. En resumen se tendrĂĄ que para cualesquiera dos funciones đ?‘“đ?›ź , đ?‘“đ?›˝ , ortogonales, entonces el producto interno entre estas dos serĂĄ el siguiente: đ?‘?

⌊đ?‘“đ?›ź , đ?‘“đ?›˝ âŒŞ = âˆŤ đ?‘“đ?›ź 2 (đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą = đ?›żđ?›źđ?›˝ = {

1, 0,

đ?‘ đ?‘– đ?›ź ≠đ?›˝ đ?‘ đ?‘–đ?›ź = đ?›˝

đ?‘Ž

En donde a la siguiente expresión ��� = {

1, 0,

đ?‘ đ?‘– đ?›ź ≠đ?›˝ đ?‘ đ?‘– đ?›ź = đ?›˝

se le denomina delta de Kronecker.

Ejemplo1: Sea đ?‘ƒđ?‘› el espacio generado por el conjunto de los polinomios {2đ?‘Ą 2 − 1, 2đ?‘Ą, }.

Demostrar que los elementos de la base son ortogonales en el intervalo de [0,1].

DemostraciĂłn: Sea đ?‘ƒ1 = 2đ?‘Ą y đ?‘ƒ2 = 2đ?‘Ą 2 − 1, entonces por definiciĂłn de producto interno se puede escribir 1

1

⌊đ?‘ƒ1 , đ?‘ƒ2 âŒŞ = âˆŤ(2đ?‘Ą)(2đ?‘Ą 2 − 1)đ?‘‘đ?‘Ą = âˆŤ(4đ?‘Ą 3 − 2đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą 0

0 1

đ?‘Ą4 đ?‘Ą2 =4 −2 ] =0 4 2 0 Ejemplo 2 Ciencias Exactas, ingenierĂ­as y tecnologĂ­as Licenciatura en MatemĂĄticas

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Sea el conjunto de las funciones {đ?œ‘đ?‘› = đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œ”đ?‘Ą)} con đ?œ” = 0,1,2,3, ‌ , đ?‘›. Demostrar que es ortogonal en el intervalo cerrado [– đ?œ‹, đ?œ‹].

DemostraciĂłn: Por definiciĂłn de producto interno se tiene đ?œ‹

đ?œ‹

–đ?œ‹

–đ?œ‹

1 ⌊đ?œ‘đ?‘› , đ?œ‘đ?‘š âŒŞ = âˆŤ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘›đ?‘Ą)đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘šđ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą = âˆŤ(đ?‘?đ?‘œđ?‘ [(đ?‘› + đ?‘š)đ?‘Ą] + cos[(đ?‘› − đ?‘š)đ?‘Ą]) 2 đ?œ‹

1 đ?‘ đ?‘’đ?‘›[(đ?‘› + đ?‘š)đ?‘Ą] đ?‘ đ?‘’đ?‘›[(đ?‘› − đ?‘š)đ?‘Ą] = ( + ) = 0 đ?‘ đ?‘– đ?‘› ≠đ?‘š 2 đ?‘›+đ?‘š đ?‘›âˆ’đ?‘š –đ?œ‹ MĂĄs aun que el conjunto de {đ?œ‘đ?‘› = đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œ”đ?‘Ą)} = {1, đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘Ą), đ?‘?đ?‘œđ?‘ (2đ?‘Ą), ‌ } forma un conjunto ortogonal en e intervalo [– đ?œ‹, đ?œ‹].

Del ejemplo 2 se puede generalizar para las funciones seno y coseno que si un conjunto de funciones đ?œ™đ?‘– (đ?‘Ą) es ortogonal en un intervalo [đ?‘Ž, đ?‘?]. Se considera cualesquiera dos funciones đ?œ™đ?‘› (đ?‘Ą) đ?‘Ś đ?œ™đ?‘š (đ?‘Ą) del conjunto ortogonal, entonces se cumple que: đ?‘?

âˆŤ đ?œ™đ?‘› (đ?‘Ą)đ?œ™đ?‘š (đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą = { đ?‘Ž

1, đ?‘&#x;đ?›ź ,

đ?‘ đ?‘– đ?›ź ≠đ?›˝ đ?‘ đ?‘–đ?›ź = đ?›˝

Funciones ortonormales El punto de partida para el estudio de las funciones ortonormales, comienza a partir del estudio de las funciones ortogonales. La idea intuitiva es que si se tiene una base linealmente independiente que genera a todo el espacio vectorial. Entonces los componentes de esta base se ortogonalizan y es posible obtener una base ortogonal que tambiĂŠn que tambiĂŠn genera al espacio. Entonces al obtener la norma de cada uno de los vectores de la base, se obtiene una base ortonormal que tambiĂŠn genera al espacio vectorial.

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Transformaciones y series Unidad 1. Series de Fourier DefiniciĂłn funciones ortonormales Sea {đ?œ™đ?‘— } đ?‘?đ?‘œđ?‘› đ?‘— = 0,1, ‌ , đ?‘› un conjunto ortogonal de un espacio vectorial V. Y sea ‖đ?œ™đ?‘— ‖ con đ?‘— = 0,1, ‌ , đ?‘› la norma del vector. Entonces se define un conjunto đ?œ™

ortonormal como {‖đ?œ™đ?‘— ‖} con đ?‘— = 0,1, ‌ , đ?‘› đ?‘—

Ejemplo 3: Del ejemplo 2, construir un conjunto ortonormal.

Sea đ?œ‘đ?‘› un elemento del conjunto de las funciones {đ?œ‘đ?‘› = đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œ”đ?‘Ą)} con đ?œ” = 0,1,2,3, ‌ , đ?‘›. Entonces se calcula la norma de đ?œ‘đ?‘› . Por definiciĂłn de norma se tiene el siguiente resultado: đ?œ‹

1 2

đ?œ‹

1 2

1 ‖đ?œ‘đ?‘› ‖ = ( âˆŤ đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (đ?‘›đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą) = ( âˆŤ[1 + đ?‘?đ?‘œđ?‘ (2đ?‘›đ?‘Ą)]đ?‘‘đ?‘Ą) = √đ?œ‹ 2 −đ?œ‹

−đ?œ‹

Para đ?œ‘đ?‘› = đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œ”đ?‘Ą) con đ?œ” = 1,2,3, ‌ , đ?‘›. se tiene el siguiente conjunto ortogonal: {1, đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘Ą), đ?‘?đ?‘œđ?‘ (2đ?‘Ą), ‌ , } con đ?œ” = 0,1,2,3, ‌ , đ?‘› Dado que ‖đ?œ‘đ?‘› ‖ = √đ?œ‹ con đ?‘› = 0,1,2, ‌ Dividiendo el conjunto ortogonal {1, đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘Ą), đ?‘?đ?‘œđ?‘ (2đ?‘Ą), ‌ , } entre su norma √đ?œ‹. Se tiene: 1 đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘Ą) đ?‘?đ?‘œđ?‘ (2đ?‘Ą) { , , ,‌,} √đ?œ‹ √đ?œ‹ √đ?œ‹ Se dice que es un conjunto ortonormal.

Series de Fourier Con el fin de estudiar ciertos fenĂłmenos periĂłdicos en la FĂ­sica y en la IngenierĂ­a como pueden ser: el estudio de una onda de sonido, una seĂąal elĂŠctrica de algĂşn tipo, o el movimiento de un sistema mecĂĄnico que vibra. El estudio de estos fenĂłmenos se basa en la idea de aproximar la funciĂłn mediante funciones periĂłdicas seno y coseno.

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Cierre de la Unidad En esta unidad se pretende que tengas en cuenta los espacios vectoriales para poder resolver ejercicios sobre series de Fourier, así mismo, estás te ayudarán en la unidad 2 a resolver problemas de diversas series que se verán, así como diversas transformadas.

Fuentes de consulta Castellet, M y Llerena, I. Álgebra Lineal y Geometría, Reverté, Barcelona, 2000.

Merino, L. y Santos, E. Álgebra Lineal con Métodos Elementales, Thomson, 1999.

Romero, A. Álgebra Lineal y Geometría, La Madraza, Granada, 1986.

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