Unidad 2 el trabajo matematico

Programa desarrollado Unidad 2. El trabajo matemático

Licenciatura en matemáticas

5° cuatrimestre

Programa de la asignatura: Didáctica de las matemáticas

Unidad 2.El trabajo matemático

Clave: 060920520/ 050920520

Universidad Abierta y a Distancia de México

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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Programa desarrollado Unidad 2. El trabajo matemático INDICE

Contenido Unidad 2. El trabajo matemático......................................................................................... 3 Presentación de unidad ....................................................................................................... 3 Propósitos ............................................................................................................................. 3 Competencia específica ...................................................................................................... 3 Actividad 1. Las estrategias y rasgos de las matemáticas ............................................. 3 2.1 Objetivo de ser matemático .......................................................................................... 4 2.1.1 Estrategias de determinación de contenidos ...................................................... 4 2.1.2 Rasgos característicos de las matemáticas......................................................... 5 2.2 Modelización y resolución de problemas.................................................................... 6 Actividad 2 Identificación de métodos de solución de un problema matemático. ...... 7 2.2.1 Razonamiento matemático ..................................................................................... 8 2.2.2 Lenguaje y comunicación ...................................................................................... 8 Actividad 3 Uso del lenguaje empleado en la solución de problemas .......................... 8 2.2.3 El deslizamiento meta cognitivo ............................................................................ 9 Autoevaluación ................................................................................................................... 15 Evidencia de aprendizaje. Identificación del método .................................................... 16 Autorreflexiones ................................................................................................................. 16 Cierre de la unidad ............................................................................................................. 16 Para saber más ................................................................................................................... 17 Fuentes de consulta ........................................................................................................... 17

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Programa desarrollado Unidad 2. El trabajo matemático Unidad 2. El trabajo matemático

Presentación de unidad Será en esta unidad donde abordaremos el trabajo matemático, es decir, conoceremos de las estrategias propuestas por la didáctica para poder entender dicho trabajo y lo realizaremos mediante el conocimiento de las estrategias y rasgos propios de las matemáticas, así como la identificación de los métodos que se utilizan para la solución de un problema.

Propósitos Identificar las características y rasgos propios de la disciplina “matemáticas” para conceptualizar las estrategias utilizadas por la didáctica para la enseñanza de las matemáticas.

Identificar la aplicación de las competencias en las matemáticas

Competencia específica Utilizar el razonamiento inductivo y deductivo para la representación y resolución de problemas mediante estrategias propuestas por la didáctica.

Actividad 1. Las estrategias y rasgos de las matemáticas A través de esta actividad podrás Identificar las estrategias y rasgos característicos de las matemáticas 1. Ingresa al foro de discusión que lleva por nombre “Las competencias en las matemáticas” 2. Participa activamente en el foro de discusión, contestando las preguntas. ¿Cuáles son las estrategias utilizadas en las matemáticas? ¿Cuáles son los rasgos que distinguen a las matemáticas?

3. Comenta la respuesta de dos de tus compañeros argumentando la postura de tu respuesta.

En caso de utilizar información textual de una fuente, es indispensable que la cites

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Programa desarrollado Unidad 2. El trabajo matemático según el estilo APA. Consulta la rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la sección Material de apoyo.

2.1 Objetivo de ser matemático Si alguien te pregunta ¿qué son las matemáticas?, ¿qué responderías?, realmente nos encontraríamos en una dificultad enorme, pues no podemos dar una definición que exprese realmente lo que son, de ahí encontramos la necesidad de estudiarla y de esta manera entenderla, pues solo así nos podemos dar cuenta de la gran cantidad de aplicaciones que tiene, de la gama de problemas que podemos resolver con su ayuda, de la magnífica cualidad que tiene en la abstracción que nos permite aislar un objeto para comprenderlo mejor; y considerarla como la veía Bertrand Russell, “una gimnasia para el cerebro”, pues son un ejercicio para el desarrollo de la mente y ejercicio intelectual. Y aunque muchos de nosotros el objetivo que perseguimos al estudiar matemáticas surgió a partir del gusto por las mismas y por querer seguir potencializando las bondades que anteriormente mencionamos de las mismas.

2.1.1 Estrategias de determinación de contenidos De acuerdo con Batanero (2003) las matemáticas “constituyen hoy un conjunto amplio de modelos y procedimientos de análisis, cálculo, medida y estimación, útiles para establecer relaciones espaciales, cuantitativas y de otros tipos entre diferentes aspectos de la realidad”, lo cual nos lleva a ver que las matemáticas son un campo en expansión y que debe estar presente en la educación, de esta forma el currículo debe presentar la forma de construcción del conocimiento matemático, pues en la sociedad es necesario el manejo de conceptos matemáticos en diferentes áreas de la vida social como por ejemplo en la economía donde se planean gastos y pagos de bienes y servicios en la distribución del tiempo para el desarrollo de actividades, al realizar las compras de la despensa para determinar la cantidad suficiente de alimentos, al revisar nuestro peso y talla, al obtener promedios de nuestras calificaciones en la escuela, entre otras cosas.

De acuerdo con González (2009) “las Matemáticas constituyen un conjunto de conocimientos, técnicas y destrezas que son claves para el desarrollo individual, sociocultural y científico, por lo que deben ocupar un lugar destacado en procesos educativos” (pag. 2) lo cual exige que la educación este orientada a dar una formación matemática desde la formación básica, y ésta se debe hacer cada vez más compleja conforme se avanza en cada grado escolar, pues se requiere del manejo de un lenguaje

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Programa desarrollado Unidad 2. El trabajo matemático matemático más rico que permita entender su relación con otras ciencias como las naturales y sociales.

Los procesos de resolución de problemas constituyen uno de los ejes principales de la actividad matemática, pues en ella se desarrollan diferentes habilidades que permiten no solo resolver problemas matemáticos sino también de otras áreas; además de acuerdo con González (2009) la resolución de problemas es importante ya que tiene “un valor instrumental, un valor utilitario o funcional y un valar formativo”(pag. 4), es decir, la resolución de problemas es importante ya que se tiene el aprendizaje de los conceptos matemáticos, se busca ver su utilidad y aplicación en la vida diaria y esto permite que se refuerce lo aprendido y se busquen nuevas formas de solucionar problemas.

2.1.2 Rasgos característicos de las matemáticas El aprendizaje de las matemáticas es importante y dado su relevancia y relación con otras áreas podemos destacar los rasgos que la caracterizan como son: Modelización y resolución de problemas, al resolver problemas podemos adquirir un concepto matemático y este aprendizaje depende de la forma del problema y de la modelización que se da de la situación.

Razonamiento, históricamente la construcción del conocimiento matemático se hizo de manera inductiva, al observar situaciones, analizarlas y encontrar una forma de explicarlas, lo que permitió obtener una abstracción del concepto obtenido.

Lenguaje y comunicación, las matemáticas tienen un sistema de comunicación muy amplio, pues la forma en cómo se expresan le ha permitido estar en muchos lugares ya que se apoya de símbolos, fórmulas, gráficas y tablas, entre otras.

Estructura interna, las matemáticas cuentan con una estructura muy clara que permite verla desde los conceptos más simples hasta los más complejos y también podemos ver como estos conceptos se van relacionando unos con otros de una forma muy clara.

Naturaleza relacional: las matemáticas al estar ligadas a las actividades del hombre y a las cosas nos han permitido establecer relaciones entre los objetos que nos han llevado a la abstracción, lo cual nos permite aplicarla en otras situaciones, tal como la comparación de tamaños en los objetos, contar piezas, etc.

Exactitud y aproximación, una cualidad de las matemáticas es su precisión pues se conoce como una ciencia exacta, sin embargo, al relacionarse con situaciones de la vida real las matemáticas se han adaptado a las situaciones y podemos

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Programa desarrollado Unidad 2. El trabajo matemático encontrar aproximaciones que permiten describir algunos fenómenos, por ello las matemáticas tienen una dualidad entre exactitud y aproximación.

2.2 Modelización y resolución de problemas La resolución de problemas y la elaboración de modelos para solucionar problemas, son herramientas importantes no solo para resolver problemas matemáticos también nos dan una base para la solución de problemas en otros campos del saber. Por ello, los conocimientos que se quieren proporcionar a un niño a un joven o adulto deben estar dirigidos de acuerdo a su nivel, su grado de conocimientos y su entorno, para que de ésta manera se pueda llegar a una verdadera comprensión y construcción de un conocimiento matemático.

En la resolución de problemas no existe un método exacto para la solución de los mismos, sin embargo podemos identificar algunas estrategias u orientaciones en base a experiencias que nos pueden ayudar a resolverlos. Dentro de las más útiles podemos encontrar las “etapas o fases” y las “herramientas y técnicas heurísticas”.

Etapas o fases De acuerdo con Polya (1945) y Echenique (2006) se identifican las siguientes etapas:  Comprensión del problema  Planificación  Ejecución de un plan  Valoración de la respuesta Barnsford y Stein (1984), proponen el método IDEAL el cual es útil en la modelización de problemas:  I Identificación  D definición y representación  E exploración  A actuación  L logros Puig y Cerdán (1988), proponen las siguientes etapas para resolver problemas aritméticos:  Lectura  Comprensión  Traducción  Cálculo  Solución

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Programa desarrollado Unidad 2. El trabajo matemático  Revisión y comprobación Herramientas y técnicas Heurísticas Se trata de estrategias que pueden ayudar en las diferentes etapas de solución de un problema, algunas de ella son: Para comprender el problema: se propone leerlo en voz alta y repetirlo, identificar los objetivos o lo que el problema pide, representar la información.

Para representar y organizar la información: identificar la información y ver cual es primaria y secundaria, hacer representaciones que puedan guiar en la búsqueda de la solución, ver que se sabe y que no se sabe y construir modelos.

Para idear un plan de solución: se puede estudiar casos similares o hacer ensayos de prueba y erros, también se pueden buscar ejemplos similares o con menor número de variables.

En general, podemos decir que para resolver un problema no basamos en algunas de estas acciones: a. Ensayo y error b. Construir un modelo c. Análisis-síntesis d. Resolver un problema más simple e. Hallar alguna regularidad f. Utilizar una tabla o un esquema.

Actividad 2 Identificación de métodos de solución de un problema matemático.

Crear un ejercicio matemático en el que se identifique su método de solución de problemas.

1. Revisa: el ejemplo que observaste en el desarrollo del contenido.

2. Construye: un ejercicio en el que identifiques el método de solución de un problema matemático.

3. Guarda: tu documento con la siguiente nomenclatura DTM_U2_A2_XXYZ.

Sustituye la XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

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Programa desarrollado Unidad 2. El trabajo matemático Envía cuadro de doble entrada a tu facilitador (a) mediante la sección de Tareas.

2.2.1 Razonamiento matemático La matemática históricamente se ha desarrollado al partir de situaciones que tiene características o propiedades comunes, de las cuales se selecciona un aspecto de interés y se proporcionan símbolos para encontrar leyes que reflejan las relaciones existentes y permite formular una teoría o ley; de esta forma, las matemáticas formulan de manera simbólica descripciones, principios y leyes .

Podemos encontrar diversas formas de obtener un conocimiento matemático y de ésta depende la construcción del aprendizaje y lo útil que este puede ser, pues podemos considerar a las matemáticas como “una ciencia abstracta” o como “una herramienta de la ciencia”.

2.2.2 Lenguaje y comunicación Las matemáticas como ciencia tienen una gran cantidad de conocimientos y dado que es una ciencia que sigue en expansión necesita un modo de representar y comunicar sus conceptos, de este modo podemos ver que esta ciencia cuenta con un sistema de comunicación muy amplio, pues cuenta con símbolos, representaciones gráficas, tablas y formulas que permites expresar diversas situaciones y conceptos matemáticos.

El lenguaje es esencial en matemáticas para dar a conocer el resultado de un problema, de acuerdo con Batanero (2003) “por medio de la formulación, sea esta oral o escrita, y la comunicación, las ideas pasan a ser objetos de reflexión, discusión, revisión y perfeccionamiento”, así cuando un grupo de personas comparten sus reflexiones sobre un problema pueden hacer nuevas conexiones, obtener nuevas ideas y mejoran su comprensión de las matemáticas.

El lenguaje matemático de acuerdo con Batanero tiene dos funciones:  Representacional: pues permite la abstracción de los objetos.  Instrumental: pues es una herramienta del trabajo matemático, ya que dada la situación podemos dar una representación y significa a algo.

Actividad 3 Uso del lenguaje empleado en la solución de problemas

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Programa desarrollado Unidad 2. El trabajo matemático Identificar el uso del lenguaje empleado en la solución de problemas.

1. Revisa: el ejemplo que observaste en el desarrollo del contenido al respecto del lenguaje empleado en la solución de problemas.

2. Identifica:, el lenguaje matemático que se emplea en el ejercicio que creaste en la actividad dos 3. Coloca: en dicho ejercicio lo solicitado.

Guarda: tu documento con la siguiente nomenclatura DTM_U2_A3_XXYZ.

Sustituye la XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

Envía cuadro de doble entrada a tu facilitador (a) mediante la sección de Tareas.

2.2.3 El deslizamiento meta cognitivo Una vez que ya hemos visto los conceptos, que hemos resuelto problemas, que hemos construido un concepto matemático y que hemos dicho que ya tenemos un concepto matemático, ¿cómo podemos estar seguros de que realmente ese conocimiento se ha construido y que podemos aplicarlo o usarlo cuando sea necesario?, la metacognición nos permite reflexionar sobre nuestro proceso de aprendizaje y permite describir el mismo, de este modo cuando un conocimiento se ha construido es importante que pueda describirlo con sus propias palabras, ya que al hacerlo está reflexionando en los procesos mentales que empleo para la resolución de un problema y forma una estructura que dice paso por paso como lo realizó. De esta forma podemos verificar que un conocimiento se ha adquirido y construido, y si no se ha obtenido nos permite ver en que fases se necesita reforzamiento o más trabajo.

El estudio de la metacognición se inicia con J. H. Flavell, un especialista en psicología cognitiva, y la define como "La metacognición hace referencia al conocimiento de los propios procesos cognitivos, de los resultados de estos procesos y de cualquier aspecto que se relacione con ellos; es decir el aprendizaje de las propiedades relevantes que se relacionen con la información y los datos”.

Podemos afirmar que la metacognición es un proceso realmente importante en el aprendizaje de las matemáticas, pues al tener una conciencia y control de nuestro proceso de aprendizaje podemos tener mayor éxito en la construcción de conceptos matemáticos y su recuperación para su aplicación en diferentes situaciones.

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Programa desarrollado Unidad 2. El trabajo matemático A continuación se muestra una serie de ejercicios donde se muestra la identificación de método de solución de un problema

1. Felipe tiene un balón, una caja para guardar pelotas y un sombrero de fiestas, ¿de cuántas maneras diferentes puede acomodarlos?

2. En la siguiente tabla se muestran diferentes figuras geométricas regulares, a partir de un vértice traza una diagonal(es) para obtener el número de triángulos y diagonales que se pueden obtener. Completa la siguiente tabla Figura

Número de lados

Número de triángulos

3

1

Número de diagonales 0

Polígono de n lados

3. ¿Cuál es el número que falta?

4

6

10

18

34

?

A continuación se enlistan algunas estrategias para solucionar problemas, ¿Reflexiona cuál de ellas elegiste para solucionar los problemas anteriores? a. Ensayo y error b. Construir un modelo c. Análisis-síntesis d. Resolver un problema más simple e. Hallar alguna regularidad f. Utilizar una tabla o un esquema.

A continuación se muestra la solución

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Programa desarrollado Unidad 2. El trabajo matemático 1. Felipe tiene un balón, una caja para guardar pelotas y un sombrero de fiestas, ¿de cuántas maneras diferentes puede acomodarlos?

Existen 6 formas diferentes de acomodar los objetos.

En este caso usamos la representación de la colección de objetos.

Podemos observar que a través de ensayo y error llegamos a una solución acomodando los elementos en diferente orden; pero debemos de considerar que conforme vamos avanzando en el conocimiento de las matemáticas, la solución puede darse a través de una permutación a través de lo estudiado en probabilidad.

2.

Ya completa la siguiente tabla, queda de la siguiente manera: Figura

Polígono de n lados

Número de lados

Número de triángulos

Número de diagonales

3

1

0

4

2

1

5

3

2

6

4

3

n

n-2

n-3

La estrategia de solución fue completar la tabla y encontrar una regularidad al ver la relación entre el número de lados y el número de triángulos, así mismo se encontró una regularidad entre el número de lados y el número de diagonales, lo cual nos permitió modelar la expresión que vemos en el polígono de n lados.

3. ¿Cuál es el número que falta?

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4

6

10

18

34

?

6-4=2 10-6=4 18-10=8 34-18=16 ?-34=32 Al encontrar la diferencia podemos ver que ésta se duplica, si podemos determinar la diferencia entre 34 y el número que falta, la cual es 32, podemos sumar 34+32, por lo que el número que falta es 66.

En este caso encontramos una regularidad en la diferencia de los términos de la serie de números, la cual nos ayuda a encontrar la solución.

A continuación se muestran ejemplos de ejercicios sobre el uso del lenguaje empleado en la solución de problemas.

En los siguientes ejercicios falta describir el significado de las expresiones que se presentan.

1. 2 Triángulo .

L 2. La siguiente gráfica muestra el tiempo promedio en minutos que tardan al azar 150 personas en ir en el Distrito Federal a su trabajo y regresar.

¿Qué interpretación puedes dar de la gráfica?

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Programa desarrollado Unidad 2. El trabajo matemático 3.

Ahora se muestra la solución: 1. 2 Triángulo Figura de tres lados .

La suma de sus ángulos interiores es 180° L Número tres Tres ángulos

2. La gráfica nos permite ver que la mayoría de la gente (barra más grande) tarda entre 94.78 y 99.64 minutos en ir y regresar de su trabajo; sin embargo, podemos dar múltiples interpretaciones conforme vamos analizando el comportamiento de la gráfica.

3. La fórmula que se muestra calcula el área de un círculo a través de la magnitud de su radio en donde  es una constante.

A continuación se muestran ejercicios sobre el proceso de metacognición en la solución de problemas

1. Juan tiene 12 monedas más que Enrique y entre ambos tienen 78. ¿Cuántas monedas tiene cada uno? (establece solo el modelo matemático)

2. Un grupo de 20 excursionistas llevan provisiones para 15 días. Si al momento de partir, el grupo aumenta a 24 excursionistas, ¿Cuántos días durarán las provisiones?

3. Traza un ángulo de 55°.

Solución 1.

Número de monedas de Juan J Número de monedas de Enrique J-12 Entre ambos tienen 78 monedas El modelo que expresa el total de monedas es: (J)+(J-12)=78

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Programa desarrollado Unidad 2. El trabajo matemático Para resolver el problema:  Leí el problema e identifique los datos  Establecí una variable para las monedas de Juan.  Establecí la cantidad de monedas de Enrique en función de las monedas de Juan  Establecí la relación que existe entre las monedas de Juan y Enrique

2. Se establece una regla de proporción de acuerdo con el numero de excursionistas y los días calculados con ciertas provisiones Excursionistas Días de provisiones Total

20 15 300

Como aumenta el número de excursionistas, la duración de las provisiones será afectada y para calcular la nueva duración, se establece una regla de 3 Excursionistas Días de provisiones Total

20 15 300

24 x 300

Notamos que el total debe de mantenerse, por lo que despejamos a la variable x y tenemos que:

Por lo tanto decimos que las provisiones solamente durarán 12.5 días.

Para resolver el problema:  Leí el problema e identifique los datos  Establecí una regla de proporción para el número de excursionistas y los días de duración de las provisiones.  Establecí una nueva regla de proporción para el nuevo número de excursionistas y los días de duración de las provisiones que se convierte en una variable.  Establecí la regla de 3 correspondiente sabiendo que el total no debe alterarse.  Despejé la variable para encontrar la solución.

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Programa desarrollado Unidad 2. El trabajo matemático 3. Para trazar un ángulo de 55°, solamente trazamos una línea horizontal, escogemos un punto que sirva como vértice y con el trasportador medimos el ángulo a partir de la línea horizontal, colocamos una marca y trazamos otra línea a partir del vértice y la marca obtenida.

Actividad 4. Proceso de metacognición en la solución de problemas Identificar el proceso de metacognición en la solución de problemas.

1. Revisa: el ejemplo que observaste en el desarrollo del contenido al respecto del proceso de metacognición en la solución de problemas.

2. Identifica: en el ejercicio que creaste en la actividad dos, el proceso de metacognición en la solución del problema.

3. Coloca: en dicho ejercicio lo solicitado.

4. Guarda: tu documento con la siguiente nomenclatura DTM_U2_A4_XXYZ.

Sustituye la XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

Envía cuadro de doble entrada a tu facilitador (a) mediante la sección de Tareas.

Autoevaluación Felicidades, haz llegado al final de la unidad.

Para verificar los conocimientos adquiridos en la unidad, deberás ingresar a la autoevaluación y responder las preguntas que ahí se te plantean.

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Programa desarrollado Unidad 2. El trabajo matemático Evidencia de aprendizaje. Identificación del método Al finalizar serás capaz de:   

Identificar los métodos de solución de los problemas planteados.

Establecer una estrategia de solución adecuada Determinar la solución a los problemas descritos en el archivo.

1. Descarga el documento llamado “identificación del método)” 2. Establece el método adecuado para determinar el proceso de solución de los ejercicios planteados.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura DMA_U2_EA_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

4. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones Además de enviar tu trabajo de la Evidencia de aprendizaje, es importante que ingreses al foro Preguntas de Autorreflexión y consultes las preguntas que tu facilitador(a) presente. A partir de ellas, debes: Elaborar tu Autorreflexión en un archivo de texto llamado ED1_U2_ATR_XXYZ. Enviar tu archivo mediante la herramienta Autorreflexión.

Cierre de la unidad Durante esta unidad se establecieron las estrategias, por los cuales se resuelven problemas matemáticos. Es de vital importancia que como estudiantes debamos tener conocimiento de estos conceptos, ya que la licenciatura permite incursionar en varios campos profesionales. Es por eso de la importancia de que como profesionistas, tengan el conocimiento necesario para poder brindar información, dar clases o desarrollar proyectos educativos.

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Programa desarrollado Unidad 2. El trabajo matemático Así pues te invito a que sigas buscando el conocimiento constantemente y tengas la confianza en desarrollar nuevos conocimientos.

Para saber más Aquí encontraras, diversos temas de la didáctica de las matemáticas Apuntes de didáctica de las matemáticas En el siguiente link, te brindará los recursos necesarios para planear, organizar y solucionar diferentes tipos de problemas.

Estrategias para la solución de problemas

Fuentes de consulta Libros: Godino, Batanero y Font. (2003). Fundamentos de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas para maestros. Granada. Departamento de didáctica de la matemática.

Martínez, Murillo y Rosas. (1972). Manual de Didáctica de las Matemáticas. UNAM. Centro de didáctica.

Ensayo Gonzalez, M. (2009). Fundamento y practica de la competencia matemática.

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