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Mecânica
FRENTE 1
MĂ“DULO 24
Teorema da Energia CinĂŠtica e MĂŠtodo GrĂĄfico
1. TEOREMA DA ENERGIA CINÉTICA
2
2
V – V0 f γ Δs = ––––––––– 2
A energia cinĂŠtica (Ec) ou de movimento de um corpo de massa m e velocidade escalar V ĂŠ dada por:
Substituindo-se
í˘”
í˘” em í˘“, vem: 2
2
V f – V0 τF = m ––––––––– 2
m V2 Ec = ––––––– 2
2
O teorema da energia cinĂŠtica permite calcular o trabalho total realizado sobre um corpo:
2
mV f mV 0 τF = ––––– – ––––– 2 2 N
Ď„0B = ĂĄrea (A1)
τF = ΔEcin
N
τBC = – årea (A2) N
τ0C = årea (A1) – årea (A2) 2. MÉTODO GRà FICO 3.
Considere um corpo levantado com velocidade escalar constante (ou partindo do repouso e voltando ao repouso) de uma altura H, sob → seu peso P e de ação exclusiva de → uma força motriz F.
Ď„F + Ď„F + ... + Ď„F = 1 2 n 2
2
m Vf m V0 = ––––––– – ––––––– 2 2 O TEC pode ser usado para qualquer tipo de força resultante: constante ou variĂĄvel, conservativa ou dissipativa. Podemos demonstrar o TEC para o caso particular de uma força resultante constante que atua em uma partĂcula que se move em trajetĂłria retilĂnea.
→
→
τF = | F | | d | cos θ τF = m γ Δs cos 0°
í˘“
Da Equação de Torricelli: 2
2
V = V 0 + 2 γ Δs f
TRABALHO NO LEVANTAMENTO DE UM CORPO
Seja o gråfico do valor da componente tangencial da força resultante Ft em um corpo, em função da distância percorrida d pelo corpo, ao longo de sua trajetória. A årea sob o gråfico da função Ft = f(d) mede o trabalho realizado no deslocamento considerado. Note que apenas a componente tangencial da força resultante realiza trabalho sobre o corpo. à REA (FORÇA x DISTÂNCIA) MEDE O TRABALHO REALIZADO
Aplicando-se o TEC, temos:
Quando o gråfico indicar valor positivo para Ft, o deslocamento (suposto→crescente) se då no sentido de Ft e o trabalho Ê positivo. Quando o gråfico indica valor negativo para Ft, o deslocamento (suposto crescente) se då em sentido contrårio ao de Ft e o trabalho Ê negativo.
Sendo τP = – m g H (subida) e ΔEcin = 0 (movimento uniforme ou Vf = V 0 = 0), temos:
τF + τP = ΔEcin
τF – m g H = 0 τF = m g H = PH
– 97
FĂ?SICA BDE
A soma dos trabalhos de todas as forças atuantes em um corpo (internas e externas) mede a variação de sua energia cinÊtica:
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→
O trabalho de F não dependerá da trajetória ou do tempo de trajeto. 4.
TRABALHO INTERNO
O trabalho total, que mede a variação da energia cinética, é a soma dos trabalhos de todas as forças externas e internas ligadas ao sistema físico em estudo. Por vezes, o trabalho da força resultante externa é nulo e o trabalho interno é responsável pela variação da energia cinética do sistema estudado. Considere os seguintes exemplos: Exemplo 1: um rapaz sobre patins, em um plano horizontal sem atrito, aplica sobre a parede vertical uma força horizontal e passa a se mover sobre o plano horizontal.
porém seu trabalho é nulo, porque não há deslocamento de seu ponto de aplicação. A energia cinética adquirida pela pessoa é proveniente do trabalho interno realizado pelas forças musculares da pessoa. Note que estas forças internas não têm nenhum papel no processo de aceleração da pessoa, porém seus pontos de aplicação deslocam-se de modo a realizar trabalho e transformar energia interna da pessoa em energia cinética. Exemplo 2: considere uma pessoa andando com movimento acelerado em um plano horizontal, despreze o efeito do ar e admita que os pés da pessoa não escorreguem em relação ao chão.
FÍSICA BDE
As forças externas atuantes no rapaz, durante a interação com a parede, são: 1) o peso do rapaz; 2) as reações normais do chão; →
3) uma força horizontal F aplicada pela parede. A resultante externa responsável pela aceleração do rapaz é a força → horizontal F aplicada pela parede,
98 –
As forças externas que agem na pessoa são: → a) o peso P; b) a reação normal do chão; c) a força de atrito aplicada pelo chão. A resultante externa responsável pela aceleração da pessoa é a força de atrito aplicada pelo chão, porém seu trabalho é nulo, pois o atrito entre o pé e o chão é estático, uma vez que os pontos de contato entre o pé e o chão têm velocidade nula como condição para que não haja escorregamento entre eles. O trabalho nulo do atrito pode ser interpretado pelo fato de não haver transferência de energia mecânica do chão para a pessoa.
A variação da energia cinética da pessoa é proveniente do trabalho interno realizado pelas forças musculares da pessoa. Observe mais uma vez que a força de atrito é a resultante externa responsável pela aceleração da pessoa, porém a variação da energia cinética é proveniente do trabalho interno das forças musculares. Exemplo 3: considere um automóvel, em movimento acelerado, em um plano horizontal, despreze o efeito do ar, admita que os pneus não derrapem e que as rodas traseiras sejam as rodas motrizes.
As forças externas que agem no carro são: → a) o peso P; b) as reações normais do chão; c) as forças de atrito que o chão aplica nos pneus. A resultante externa responsável pela aceleração do carro é a resultante das forças de atrito que o chão aplicou nos pneus, porém o trabalho dessa resultante externa é nulo, pois o atrito entre os pneus e o chão é estático, uma vez que os pontos de contato entre os pneus e o chão têm velocidade nula como condição para que os pneus não derrapem. A variação da energia cinética do carro é proveniente do trabalho interno: a expansão dos gases nos cilindros do motor originam forças internas, algumas das quais realizam trabalho. A força de atrito é a resultante externa responsável pela aceleração do carro, porém a variação da energia cinética é proveniente do trabalho interno das forças ligadas à expansão dos gases nos cilindros do motor.
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MÓDULO 25
Potência
1. CONCEITO A potência mecânica de uma força mede a rapidez de realização de trabalho, isto é, a velocidade com que a energia mecânica está sendo transferida ou transformada.
u(τ) J u(Pot) = –––– = –– (joule por segundo) u(t) s A unidade de potência no SI é chamada de watt (W). J 1 watt (W) = ––– = J . s–1 s
2. POTÊNCIA MÉDIA →
Consideremos uma força F que realiza um trabalho τ em um intervalo de tempo Δt. Define-se potência média da → força F pela relação:
q
1MW (megawatt) = 106W 1mW (miliwatt) = 10–3W 1µW (microwatt) = 10–6W
τ = –––– Δt
q
Da definição de trabalho, vem: →
τ = | F | | d | cos θ Dividindo-se toda a expressão por Δt: → τ → |d| –––– = | F | –––– cos θ Δt Δt →
q
Dimensões Da definição de potência média, vem: τ Potm = –––– Δt [τ] ML2 T–2 [ Pot ] = –––– = –––––––– [Δt ] T
→
Fazendo Δt → 0, chegamos aos valores instantâneos: →
Pot = | F | | V | cos θ →
→
θ é o ângulo formado entre F e V.
Existem ainda unidades práticas de potência. 1cv = 735W 1hp = 746W
Potm = | F | | Vm | cos θ
→
Potência em uma queda d'água Considere um rio com vazão Z e uma cachoeira, nesse rio, de altura H. Admitamos que a água no ponto mais alto da cachoeira tenha velocidade desprezível.
1kW (quilowatt) = 103W
3. POTÊNCIA INSTANTÂNEA →
São também usados alguns múltiplos e submúltiplos do watt.
q
[ Pot ] =
ML2T –3
A potência tem dimensão 1 em relação à massa, dimensão 2 em relação ao comprimento e dimensão –3 em relação ao tempo. q
Método gráfico No gráfico da potência instantâ→ nea de uma força F, em função do tempo, a área sob o gráfico Pot = f(t) → mede o trabalho realizado por F no intervalo de tempo considerado. 4. UNIDADES E DIMENSÕES
A potência média do peso da água que cai é dada por: τP mgH Potm = –––– = ––––––– Δt Δt em que m g é o peso da água que está caindo e Δt é o tempo em que o trabalho do peso é realizado. Sendo µ a densidade da água e Vol o volume de água escoado no tempo Δt, temos: μ Vol g H m = μ Vol e Potm = ––––––––– Δt Vol A razão –––– corresponde à vaΔt zão do rio, indicada por Z.
Portanto:
Potm = µ Z g H
q
Unidade no SI Da definição de potência média, temos: τ Potm = –––– Δt
Essa é a potência teórica (desprezamos as perdas) que podemos retirar de uma queda-d'água para aproveitamento hidroelétrico.
– 99
FÍSICA BDE
Potm
ÁREA (POTÊNCIA x TEMPO) MEDE O TRABALHO REALIZADO
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MÓDULOS 26 e 27
Energia Mecânica
1. CONCEITUAÇÃO
3. ENERGIA CINÉTICA
Um corpo ou um sistema físico qualquer tem energia mecânica, em relação a um certo referencial, quando tiver possibilidade de se modificar espontaneamente realizando trabalho.
A energia cinética (Ec) ou de movimento de um corpo de massa m e velocidade escalar V é dada por:
ENERGIA MECÂNICA TRADUZ CAPACIDADE PARA REALIZAR TRABALHO
Em outras palavras: um corpo tem energia mecânica, em relação a um certo referencial, quando estiver em movimento ou quando tiver possibilidade de entrar em movimento.
2. MODALIDADES DE ENERGIA MECÂNICA A energia mecânica pode-se manifestar sob duas formas:
m V2 Ec = –––––– 2
5. ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA q
Lei de Hooke Consideremos uma mola elástica ideal submetida a uma força deformadora de intensidade F. Seja x a deformação sofrida pela mola (alongamento ou encurtamento da mola).
Notas 1) A energia cinética nunca será negativa, pois m > 0 e V2 ⭓ 0. 2) A energia cinética depende da velocidade e, portanto, depende do referencial adotado. Por exemplo: um passageiro sentado no banco de um ônibus a 50km/h, em relação ao solo, tem energia cinética nula para um referencial ligado ao ônibus e energia cinética não nula para um referencial ligado ao solo.
A Lei de Hooke estabelece que: A intensidade da força deformadora (F) e a deformação produzida (x) são diretamente proporcionais.
q
FÍSICA BDE
Energia potencial Está ligada à posição do corpo, que lhe dá a possibilidade de entrar em movimento. A energia mecânica, na forma potencial, pode ser de dois tipos: • Energia potencial de gravidade: está associada à posição do corpo no campo de gravidade criado pela Terra.
F=kx 4. ENERGIA POTENCIAL DE GRAVIDADE Para medirmos a energia potencial de gravidade de um corpo de massa m, situado a uma altura H, acima do plano horizontal de referência, basta calcular o trabalho do peso do corpo, de sua posição inicial até o plano de referência.
A constante de proporcionalidade k é uma medida da rigidez da mola e é chamada de constante elástica da mola.
q
Gráfico da Lei de Hooke Sendo F diretamente proporcional a x, temos:
• Energia potencial elástica: está associada à deformação de um sistema elástico, como, por exemplo, uma mola elástica ou a borracha de um estilingue. q
Energia cinética Está associada ao movimento do corpo e, portanto, depende de sua velocidade escalar. N
tg α = k Ep = τp ⇒
100 –
Ep = m g H
No SIU, a constante elástica é medida em N/m.
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q
Energia Elástica Para medirmos a energia elástica, armazenada em uma mola deformada, basta calcular o trabalho realizado por um operador, na tarefa de deformar a mola. O cálculo do trabalho é feito pela medida da área sob o gráfico F = f(x).
7. UNIDADE Todas as manifestações de energia têm as mesmas unidades e dimensões. Portanto, a energia mecânica terá a mesma unidade de trabalho. u(Em) = u(τ) = joule (J) = N . m
Exemplo 4: Em uma Máquina de Atwood, ideal, os blocos ficam sob a ação exclusiva de seus pesos e das forças aplicadas pelo fio, e a energia mecânica total do conjunto dos dois blocos permanece constante. Exemplo 1 EA = EB = EC
8. SISTEMA DE FORÇAS CONSERVATIVO Um sistema de forças, aplicado a um corpo, é dito conservativo quando não altera a energia mecânica do corpo. SISTEMA CONSERVATIVO Ee = τop = área (F x d) x.kx Ee = ––––––– ⇒ 2
kx2 Ee = ––––– 2
⇑ ⇓ ENERGIA MECÂNICA CONSTANTE Exemplos de sistemas conservativos: Exemplo 1: Quando um corpo está sob ação exclusiva da força de gravidade, sua energia mecânica permanece constante. O corpo pode estar
Exemplo 2 EA = EB = EC = ED
FÍSICA BDE
N
a) em queda livre vertical; b) subindo verticalmente; c) em trajetória parabólica (movimento balístico); Observe que, à semelhança da energia cinética, a energia elástica nunca será negativa, pois k > 0 e x2 ⭓ 0. 6. ENERGIA MECÂNICA A energia mecânica de um corpo é a soma das energias potencial e cinética. EM = Epot + Ecin A energia mecânica depende do referencial adotado e pode ser positiva, negativa ou nula.
d) em movimento orbital em torno da Terra (órbita circular ou elíptica).
Exemplo 3 EA = EB = EC = ED
Exemplo 2: Quando um corpo desliza livremente ao longo de uma trajetória sem atrito, ele fica sob a ação exclusiva de seu peso e da reação normal de apoio, e sua energia mecânica permanece constante. Exemplo 3: Quando um pêndulo ideal está oscilando, a esfera pendular fica sob a ação exclusiva de seu peso e da força aplicada pelo fio ideal, e sua energia mecânica permanece constante.
Exemplo 4 E = Epot + Ecin + Epot + A
A
B
+ Ecin = constante B
– 101
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é a equação que traduz a simetria citada, porque a posição do eixo de simetria é dada pela média aritmética entre as ordenadas E1 e E2. 10. SISTEMAS NÃO CONSERVATIVOS Um sistema de forças é dito não CONSERVATIVO quando, ao ser aplicado a um corpo, provoca aumento ou diminuição da energia mecânica do corpo.
9. GRÁFICO DE ENERGIAS EM UM SISTEMA CONSERVATIVO Os gráficos da energia potencial e da energia cinética de um corpo, em função do tempo ou da posição (definida por uma coordenada de posição x), são simétricos em relação a um eixo correspondente à metade da energia mecânica total. Exemplo
Exemplo 1: Força de resistência do ar Quando um corpo está em movimento sob a ação de seu peso e da resistência do ar, sua energia mecânica diminui, pois a força de resistência do ar realiza um trabalho negativo, transformando ener gia mecânica em térmica. Exemplo 2: Força de atrito Quando um corpo está movendo-se ao longo de uma trajetória com atrito, sob a ação exclusiva de seu peso e da força do apoio, sua energia mecânica diminui, pois a força de atrito realiza um trabalho negativo, transformando energia mecânica em térmica. Nos exemplos (1) e (2), o trabalho das forças dissipativas (atrito e/ou resistência do ar) é medido pela variação da energia mecânica do corpo:
FÍSICA BDE
τForças dissipativas = ΔEmecânica
Exemplo 3: Colisões não elásticas Nas colisões não elásticas (também chamadas de inelásticas ou anelásticas), há diminuição de energia mecânica com a consequente produção de energia térmica, energia sonora e trabalho em deformações permanentes.
E1 = Energia Cinética E2 = Energia Potencial Em = Energia Mecânica A demonstração dessa propriedade é imediata, pois: E1 + E2 = Em
e
E1 + E2 Em –––––––– = ––––– 2 2
102 –
Exemplo 4: Explosões Em uma explosão, as forças internas provocam aumento de energia mecânica, transformando outra forma de energia (potencial química ou nuclear) em energia mecânica. NAS EXPLOSÕES, HÁ AUMENTO DE ENERGIA MECÂNICA.
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Ondulatória e Hidrostática
FRENTE 2
MÓDULO 24
Equação Fundamental da Ondulatória
1. PERÍODO, FREQUÊNCIA, AMPLITUDE E COMPRIMENTO DE ONDA Suponhamos que um homem, segurando uma das extremidades de uma corda tensa, passe a movimentar ritmadamente sua mão para cima e para baixo.
Se a unidade de tempo for o segundo (s), decorrerá que: 1 unid (f) = –– = s–1 = hertz (Hz) s
Recordemos que: 1kHz = 103Hz, 1MHz = 106Hz e 1GHz = 109Hz
Esses movimentos cadenciados da mão do homem produzirão uma sucessão de ondas senoidais que percorrerão a corda com velocidade de intensidade V, conforme ilustra o esquema acima.
Chama-se período (T) da onda o intervalo de tempo necessário para que um ponto vibrante realize um ciclo completo.
No caso do exemplo, o período da onda é igual ao intervalo de tempo gasto pela mão do homem para executar uma oscilação, isto é, um sobe e desce completo. Chama-se frequência (f) da onda o número de ciclos realizados por um ponto vibrante numa unidade de tempo.
Matematicamente:
n f = –––– Δt
Se n = 1 ciclo, teremos Δt = T. Assim: 1 1 f = ––– ou T = ––– T f
Chama-se comprimento de onda (λ) a distância percorrida pela perturbação durante um período.
Referindo-nos ao exemplo da corda, podemos dizer que o comprimento de onda λ é a distância entre duas cristas ou entre dois vales consecutivos. É evidente que a distância entre uma crista e um vale consecutivos equivale a meio comprimento de onda (λ/2).
2. RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA ONDULATÓRIA Geralmente, uma onda propaga-se em movimento uniforme, valendo a relação: Δs V = –––– Δt
Recordando que durante um período (T) a perturbação percorre um comprimento de onda (λ) e que a frequência (f) é o inverso do período, podemos escrever que: λ V = –––– = λ f T
– 103
FÍSICA BDE
Admitamos que o intervalo de tempo decorrido em um sobe e desce da mão seja sempre constante e que a altura da posição mais alta da mão em relação à posição mais baixa seja invariável.
Chama-se amplitude (A) da onda a distância de uma crista ou um vale ao nível de equilíbrio.
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MÓDULO 25 1. BATIMENTO É o fenômeno resultante da superposição de duas ondas de mesma direção, mesma amplitude e frequências próximas. Consideremos os dois diapasões esquematizados abaixo; suas frequências naturais de vibração valem, respectivamente, f1 e f2, com f1 bem próxima de f2.
FÍSICA BDE
Percutindo-se os dois diapasões simultaneamente e com a mesma intensidade, as ondas sonoras emitidas por ambos interferirão, gerando um som resultante de frequência constante, porém de intensidade oscilante entre máximos e mínimos bem determinados. Cada vez que a intensidade do som resultante passa por um máximo, dizemos que ocorreu um batimento.
Fenômenos Ondulatórios Para que os batimentos sejam percebidos distintamente pelo ouvido humano, fb não deve exceder 10Hz. q
Cálculo da frequência da onda resultante (fr) f1 + f2 fr = ––––––– 2
2. RESSONÂNCIA
4. EXPLICAÇÃO DA DIFRAÇÃO: PRINCÍPIO DE HUYGENS
É o fenômeno que ocorre quando um sistema recebe energia periodicamente numa frequência igual a uma de suas frequências próprias de vibração. Na ilustração abaixo, o garoto está emitindo uma nota musical de frequência igual a uma das frequências próprias de vibração da lâmina de cristal.
Cada ponto de uma frente de onda comporta-se como uma nova fonte de ondas elementares, que se propagam para além da região já atingida pela onda com a mesma frequência da onda original.
Neste caso, a lâmina entra em ressonância com o agente excitador (onda sonora), passando a vibrar com amplitude crescente. Dependendo da duração da ressonância e da intensidade do som emitido pelo garoto, a lâmina de cristal, cuja espessura é relativamente pequena, poderá quebrar-se. 3. DIFRAÇÃO
Na figura acima, está esquematizada a onda resultante da superposição dos sons dos diapasões (1) e (2). Os batimentos estão indicados por (B). q
Cálculo da frequência dos batimentos (fb) fb =
104 –
| f 2 – f1 |
É o fenômeno que consiste em uma onda “contornar” obstáculos. Isso ocorre quando a dimensão dos obstáculos ou fendas é menor ou da ordem do comprimento de onda. Na ilustração a seguir, a largura da fenda (d) é menor que o comprimento de onda (λ). Nesse caso, a onda difrata-se intensamente, transpondo a fenda e atingindo a região à direita do anteparo.
5. POLARIZAÇÃO É o fenômeno que consiste em todos os pontos atingidos por uma onda vibrarem numa mesma direção e num mesmo plano. Apenas as ondas transversais podem ser polarizadas.
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MÓDULO 26
Cordas Sonoras tiva. Esses pontos vibram com amplitude máxima Av , dada por:
q
Apresentação Admitamos que um homem provoque numa das extremidades de uma corda tensa uma sucessão de ondas harmônicas de amplitude a. Essas ondas sofrerão reflexão na extremidade fixa da corda e, ao retornarem, irão superpor-se às ondas incidentes, que continuam sendo produzidas pelo homem. Isso determinará interferência entre as ondas incidentes e as ondas refletidas, dando como produto final ondas estacionárias.
Av = a + a ⇒
Av = 2a
Nós (ou nodos): são pontos onde ocorre sempre interferência destrutiva. Esses pontos vibram com amplitude An nula. An = a – a ⇒
An = 0
É importante frisar que tanto os ventres como os nós não se propagam, apresentando-se durante todo o tempo nas mesmas posições.
Ondas estacionárias são resultantes da superposição de ondas iguais que se propagam em sentidos opostos em um mesmo meio. As ondas estacionárias, embora sejam portadoras de energia, não transmitem essa energia, pois têm velocidade de propagação nula, daí o seu nome. Ao longo da corda, poderão ser observados ventres e nós (ou nodos), conforme ilustra a figura. Ventres: são pontos onde ocorre sempre interferência constru-
MÓDULO 27
Propriedades das ondas estacionárias
P.1. Ventres vibram com amplitude 2a. P.2. Nós não vibram (amplitude de vibração nula). P.3. Pontos intermediários entre nós e ventres vibram com amplitudes entre 0 e 2a. P.4. Todos os pontos de um mesmo “gomo” ou lóbulo vibram em concordância de fase.
q
Uma situação importante Colocando-se uma fonte sonora diante da boca de um tubo fechado, pode-se observar a formação de ondas estacionárias. O som incidente interfere com o som fechado do tubo, determinando ventres e nós, conforme ilustra o esquema a seguir.
P.5. A velocidade de propagação de uma onda estacionária é nula. Por isso, embora tenham energia, as ondas estacionárias não propagam essa energia. P.6. Distância entre: • nós consecutivos: λ/2. • ventres consecutivos: λ/2. • ventres e nós consecutivos: λ/4.
Densidade, Pressão e Lei de Stevin
1. OBJETO DE ESTUDO A Hidrostática é a parte da Física que estuda as propriedades associadas aos líquidos em equilíbrio. A Hidrostática fundamenta-se em três leis básicas: a) Lei de Stevin b) Lei de Pascal c) Lei de Arquimedes 2. DENSIDADE ABSOLUTA q
q
Definição de densidade absoluta de um corpo Considere um corpo de massa m que ocupa um volume V.
Define-se densidade absoluta do corpo (µ) como a razão entre sua massa (m) e o volume ocupado (V): m µ = –––– V q
Densidade ou massa específica de um material ou substância Não se deve confundir a densidade de um corpo com a densidade do material (substância) que o constitui. Se o corpo for maciço e homogêneo, a densidade do corpo coincidirá
com a densidade do material, porém quando o corpo apresentar partes ocas, a densidade do corpo será menor do que a densidade do material. Assim, uma esfera oca de alumínio pode flutuar em água por ter densidade menor que a da água, ao passo que uma esfera maciça de alumínio afunda por ser mais densa do que a água. q
Unidades de densidade • No sistema internacional, temos: uni(m) kg uni (µ) = –––––––– = –––– = kg . m–3 uni (V) m3
– 105
FÍSICA BDE
1. ONDAS ESTACIONÁRIAS
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• No sistema CGS, temos: uni(m) g uni (µ) = –––––––– = ––––– = g . cm–3 uni (V) cm3
• Relação entre as unidades Sendo 1kg = 103g e
Define-se pressão média sobre a superfície como a grandeza escalar dada pela razão entre a intensidade da componente normal da força atuante e a área da superfície.
1m3 = 106cm3, vem:
Sendo mos ainda:
103kg
• Sistema internacional
g t 1 ––––– = 1 ––––– 3 cm m3 q
uni(F) N uni(p) = ––––––– = –––2 = N . m–2 uni(A) m A unidade de pressão do SI recebe o nome de pascal, Pa: N Pa = –––– m2
Densidade da água A densidade da água é dada por: g
kg
cm
m
m=µV=µAh
(2)
Substituindo-se (2) em (1), vem:
µAhg pH = –––––––– ⇒ A
pH = µ g h
A pressão exercida por uma coluna líquida é chamada pressão hidrostática ou pressão efetiva e não depende da espessura da coluna líquida e sim de sua altura. Surge então a ideia de se medir pressão por meio de altura de coluna líquida. q
µágua = 1,0 ––––– = 1,0 . 103 –––– = 3 3 t kg = 1,0 –––– = 1,0 –––– 3 m ᐉ
FÍSICA BDE
Se a densidade relativa de um corpo for igual a n (sem especificar em relação a que), devemos entender que: µcorpo = n . µágua
Unidades de pressão
(1)
m Sendo µ = –– e V = A . h, vem: V
→
q
= 1t (tonelada), te-
→
mg |P | pH = –––– = –––– A A
| FN | p = ––––– A
kg 103g g 1 ––––– = ––––––– = 10–3 ––––– 3 6 3 m 10 cm cm3 g kg 1 ––––– = 103 –––– 3 cm m3
A força exercida pelo líquido sobre a base do recipiente tem intensidade igual ao peso do líquido:
g = n –––––– cm3
• Unidade prática: atm A pressão exercida pela atmosfera no nível do mar é tomada como unidade de pressão e indicada por atm:
q
Definição Considere uma superfície plana → de área A submetida a uma força F.
pH = µM g hM pH = 1,0 . 105 Pa; g = 9,8m/s2;
1 atm = 1,01 . 105 Pa
kg
µM = 13,5 . 103 –––– m3
4. PRESSÃO EXERCIDA POR UMA COLUNA LÍQUIDA EM EQUILÍBRIO q
3. PRESSÃO
Pressão em “cm de Hg” Calculemos que altura de coluna de mercúrio exerce pressão de uma atmosfera:
Pressão hidrostática (pH) Considere um recipiente cilíndrico de área de base A, contendo um líquido homogêneo, de densidade (µ) e em equilíbrio. Calculemos a pressão exercida por esta coluna líquida, de altura h, na base do recipiente.
1,0 . 105 = 13,5 . 103 . 9,8 . hM hM ≅ 0,76m Uma coluna de mercúrio de altura 76cm exerce uma pressão de 1,0 atm. q
Pressão em “metros de água” Calculemos que altura de água exerce pressão de uma atmosfera: pH = µagha pH = 1,0 . 105 Pa; g = 10m/s2;
µa = 1,0 . 103kg/m3
→
A força F pode ser decomposta em uma componente tangencial →
→
Ft e uma componente normal FN. →
Dessas componentes, apenas FN está ligada ao efeito de pressão.
106 –
1,0 . 105 = 1,0 . 103 . 10 ha ha = 10m Uma coluna de água de altura 10m exerce uma pressão de 1,0 atm.
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5. LEI DE STEVIN A Lei de Stevin permite calcular a diferença de pressão entre dois pontos de um fluido homogêneo, em equilíbrio e sob a ação da gravidade.
Assim, para um gás contido em um recipiente de dimensões normais, consideramos a pressão como a mesma em todos os pontos da massa gasosa. 6. APLICAÇÕES DA LEI DE STEVIN q
Substituindo-se (2) em (1), vem:
q
Para obtermos a pressão total em um ponto A do líquido, basta aplicar a Lei de Stevin entre o ponto A e um ponto O da superfície do líquido.
Paradoxo hidrostático Consideremos recipientes com formatos diferentes contendo o mesmo líquido homogêneo e em equilíbrio sob a ação da gravidade. Admitamos que a altura líquida H seja a mesma em todos os recipientes.
pA – pO = µ g h Como o ponto O está em contato com a atmosfera, a pressão p0 é igual à pressão atmosférica. Assim:
pA = patm + µ g h pA = pressão total ou absoluta no ponto A. patm = pressão atmosférica local. µ g h = pressão hidrostática ou efetiva. A pressão, no interior de um líquido, aumenta linearmente com a profundidade. q
A pressão que o líquido exerce no fundo do recipiente é dada por: p = p0 + µ g H
pA – patm = µ g h
A relação obtida traduz a Lei de Stevin:
NOTA: A Lei de Stevin é válida para líquidos e gases, porém como a densidade de um gás é relativamente pequena, a diferença de pressão só se torna relevante para alturas muito grandes.
N
tg ϕ = ( µ g ) Quanto mais denso for o líquido (maior µ), maior será o ângulo ϕ.
pB – pA = µ g h
A diferença de pressão entre dois pontos quaisquer de um fluido homogêneo, em equilíbrio e sob a ação da gravidade, é dada pelo produto do peso específico do fluido (µg) pelo desnível (diferença de profundidade) entre os pontos considerados.
As retas representativas são paralelas e o ângulo ϕ é tal que:
Gráficos de pressão Mostremos os gráficos das pressões hidrostática e total em função da profundidade h.
e será a mesma em todos os casos esquematizados (mesmo líquido e mesma altura), não importando a forma do recipiente nem a quantidade de líquido. A força que o líquido exerce no fundo do recipiente tem intensidade dada pelo produto da pressão pela área (A) da base do recipiente: F = p . A. Se todos os recipientes tiverem a mesma área de base, as forças também terão a mesma intensidade. O fato de a pressão e a força não dependerem da forma do recipiente nem da quantidade de líquido é chamado de PARADOXO HIDROSTÁTICO.
– 107
FÍSICA BDE
Consideremos um fluido homogêneo contido em um recipiente qualquer e em equilíbrio. Desejamos obter a diferença de pressão entre dois pontos quaisquer, A e B, com desnível h. Admitamos um ponto C na mesma horizontal de A e na mesma vertical de B. A diferença de pressão entre os pontos B e C é dada pela pressão da coluna fluida de altura h: pB – pC = µ g h (1) Por outro lado, como os pontos A e C estão à mesma profundidade (mesma altura h’ de coluna fluida acima dos pontos), eles suportam a mesma pressão: pA = pC (2)
Pressão total em um ponto de um líquido em equilíbrio Consideremos um líquido homogêneo, em equilíbrio e sob ação da gravidade, contido em um recipiente exposto à atmosfera.
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Eletricidade
FRENTE 3
MÓDULO 24
Campo Elétrico Resultante
Quando várias cargas são geradoras de um mesmo campo elétrico, então, em cada ponto do campo, o vetor campo elétrico resultante será a soma dos vetores produzidos pelas cargas individualmente.
O módulo do vetor campo elétrico resultante é dado pela expressão
1. CAMPO ELÉTRICO GERADO POR DUAS CARGAS PUNTIFORMES
Observação: se as cargas fossem ambas positivas ou ambas negativas, apenas mudariam a direção → e o sentido do vetor Eres. Na figura (a) a seguir, temos duas partículas eletrizadas com cargas elétricas positivas e iguais a + Q e na figura (b) as partículas estão eletrizadas com cargas elétricas +Q (positiva) e –Q (negativa). Elas estão situadas nos vértices A e B de um triângulo equilátero. Nas figuras representamos os vetores campo par→ → ciais EA e EB, ambos de mesmo módulo E e o vetor campo resultante → Eres.
Sejam as cargas puntiformes Q1 e Q2, de sinais opostos, criando campo elétrico em P. A carga positiva (Q1) gera em P →
FÍSICA BDE
um vetor campo elétrico (E1) de afastamento. A carga negativa (Q2) gera em → P um vetor campo elétrico (E2 ) de aproximação. O vetor campo elétrico resultante → em P (E res) será dado pela soma ve→ → torial de E1 e E2.
Eres =
E21 + E22 + 2 . E1 . E2 cos α
→ → → Eres = E1 + E2
Fig b. EA = EB = E Eres = E
2. CAMPO ELÉTRICO GERADO POR N CARGAS PUNTIFORMES Sejam agora n cargas puntiformes, Q1, Q2, Q3, …, Qn, criando campo elétrico em um ponto P. As cargas negativas criarão, in→ dividualmente, vetores (E j) de aproximação. As cargas positivas→criarão, individualmente, vetores (E i) de afastamento. O vetor campo elétrico resultante será dado pela soma vetorial de todos os vetores parciais. → → → → → Eres = E1 + E2 + E3 + ... + En
Cada campo parcial tem intensidade dada por |Q1| E1 = K . –––– d12 |Q2| E2 = K . –––– d22
108 –
Fig a. EA = EB = E 3 Eres = E .
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MÓDULO 25
Potencial Elétrico e Energia Potencial
1. DEFINIÇÃO
4. POTENCIAL ELÉTRICO
Potencial elétrico é a medida do nível de energia potencial elétrica associada a um ponto do campo elétrico. Tomemos uma carga de prova (q) e a coloquemos em um ponto P de um campo elétrico. Ela adquire uma energia potencial elétrica (εpot). Definimos o potencial elétrico (V) associado ao ponto P como a grandeza escalar dada por
Para calcular o potencial elétrico em P, retomemos as equações seguintes.
6. GRÁFICO DO POTENCIAL Obedecendo à equação: Q V = K0 –––– d
εpot = K0 –––––– (1) d
ε
pot V = –––––– q
o potencial colocado em gráfico em função da distância d nos dará uma hipérbole equilátera.
(2)
Substituindo (1) em (2), vem
εpot
V = –––––– q
⇒
εpot = q . V
q.Q K0 ––––––– d V = ––––––––––––––––– q
2. UNIDADES DO SI unid. (εpot) = joule (J)
Ao cancelarmos q, podemos dizer que o potencial em P não dependerá do valor da carga de prova.
unid. (V) = volt (V) Q V = K0 –––– d 3. ENERGIA POTENCIAL 5. OBSERVAÇÕES SOBRE O POTENCIAL
FÍSICA BDE
Consideremos o campo elétrico gerado pela carga Q e o ponto P a uma distância d, no vácuo (Fig. 1)
1.a) Trata-se de uma grandeza escalar. 2.a) Seu valor em P não depende de uma eventual carga de prova ali colocada. 3.a) O sinal do potencial elétrico acompanha o da carga-fonte.
Fig.1.
A energia potencial elétrica que a carga elétrica puntiforme q adquire ao ser colocada em P é dada por q.Q
εpot = K0 ––––––– d
O referencial adotado para a medida da energia potencial que q adquire é o infinito.
Q>0
→
V>0
Q<0
→
V<0
4.a) Agora temos em P duas grandezas associadas: uma vetorial, → o campo elétrico (E ), e a outra escalar, o potencial elétrico (V). 5.a) Se o meio não for o vácuo, a constante eletrostática (K) assume um valor diferente de K0.
Fig.2.
7. ENERGIA POTENCIAL DE UM PAR DE CARGAS PUNTIFORMES O sistema de duas cargas puntiformes, Q1 e Q2, no vácuo, colocadas próximas uma da outra, conforme a Fig. 3, adquire a energia potencial elétrica igual a
Fig.3 – Par de cargas puntiformes.
Q .Q
1 2 εpot = K0 –––––––––
d
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MÓDULO 26
Potencial Elétrico Gerado por Diversas Cargas VA = potencial resultante no ponto A.
1. INTRODUÇÃO Consideremos um campo elétrico gerado por n cargas elétricas puntiformes: Q1, Q2 … Qn. Neste campo, fixemos, ainda, um ponto P.
VB = potencial resultante no ponto B. Uma carga de prova (q) é transportada de A para B por um operador (Fig. 2). Durante este transporte, as forças elétricas do campo que atuam em (q) executam um trabalho τAB, dado pela equação:
τAB = q(VA – VB) Esta equação pode ser demonstrada pela diferença entre as energias potenciais da carga de prova (q) nos pontos A e B. Fig. 1.
Para calcular o potencial elétrico resultante (Vres) no ponto P, procedemos da seguinte maneira: 1.o) Calculamos, isoladamente, o potencial gerado por cada carga elétrica em P, usando a fórmula anterior: Q1 V1 = K0 –––– d1
FÍSICA BDE
Q2 V2 = K0 –––– d2
Fig. 2.
Qn Vn = K0 –––– dn
3. TEOREMA DE ENERGIA CINÉTICA
2.o) O potencial resultante no ponto P é dado pela soma algébrica dos potenciais parciais. O potencial é uma grandeza escalar e "cumulativa".
"O trabalho de todas as forças que atuam em q é igual à variação de sua energia cinética ao passar do ponto A para o ponto B."
Vres = V1 + V2 + V3 + … + Vn
τres = εcin – εcin
Observação Podemos, ainda, substituir as expressões parciais na equação acima. Vres
Q2 Qn Q1 = K0 ––– + K0 ––– + … + K0 ––– d1 d2 dn
Vres = K0
(
)
Q Q2 Qn –––1 + ––– + ... + ––– d1 d2 dn
B
Sendo apenas duas as forças atuantes em q, a do operador e a do campo elétrico, teremos
τoper + τAB = εcin – εcin B
Considere dois pontos, A e B, de um campo elétrico onde
110 –
A
Caso particular A partícula é tirada do repouso em (A) e levada até (B), onde foi colocada em repouso. Neste caso, teremos: εcin = 0 e εcin = 0 A
2. TRABALHO DO CAMPO ELÉTRICO
A
B
τoper + τAB = 0 τoper = – τAB
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MÓDULO 27 1. DEFINIÇÃO Campo elétrico uniforme é aquele que apresenta a mesma intensidade, a mesma direção e o mesmo sentido em todos os pontos da região que ocupa. Suas linhas de força são retas paralelas, orientadas no mesmo sentido e uniformemente distribuídas pela região.
Campo Elétrico Uniforme b) O campo elétrico uniforme pode ser obtido por um sistema constituído por duas placas infinitas (teóricas). Uma delas é eletrizada positivamente e a outra eletrizada negativamente, com o campo elétrico uniforme formado na zona intermediária de ambas (Figuras 3a e 3b).
3. O POTENCIAL NO CEU Embora o campo elétrico tenha intensidade constante em qualquer ponto do campo elétrico uniforme, o potencial varia uniformemente ao longo de cada linha de força (Fig. 4).
Fig. 1 – Linhas de força de um CEU.
2. FONTES DE CAMPO ELÉTRICO UNIFORME
Fig. 3a – Duas placas infinitas eletrizadas com cargas de sinais contrários (vista de perspectiva).
Esta placa infinita divide o espaço em dois semiespaços. Em cada um deles teríamos um campo elétrico uniforme.
Fig. 2 – Placa plana infinita. Em cada um dos semiespaços temos um campo elétrico uniforme.
FÍSICA BDE
a) O campo elétrico uniforme pode ser obtido nas vizinhanças de uma distribuição plana, uniforme e infinita de cargas elétricas de um mesmo sinal. Imaginemos que existisse uma placa metálica (plana), de tamanho infinito. Se a eletrizássemos, suas cargas ficariam uniformemente distribuídas (Fig. 2).
Fig. 4 – Linhas de força.
Fig. 3b – O campo elétrico uniforme forma-se no espaço entre as placas (vista de perfil).
Na prática, obtemos o CEU usando duas placas metálicas, de tamanhos limitados. Usa-se o recurso de diminuir a distância d entre elas a tal ponto que seja muito menor do que os lados de cada placa. Costuma-se colocar uma substância sólida e isolante entre as placas. Ao conjunto chamamos de capacitor ou condensador plano.
Se percorrermos uma linha de força no seu sentido, notaremos que o potencial decrescerá uniformemente, como mostra o gráfico anterior. Partindo-se de um ponto A, cujo potencial é VA, para um ponto B, de potencial VB, teremos
U = VA – VB (diferença de potencial entre os pontos A e B). d = distância entre os pontos A e B. E = intensidade do campo elétrico.
– 111
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Relação importante:
Assim,
E.d=U
1V/m = 1N/C
Demonstração Vamos levar uma carga de prova (q > 0) de A para B. O trabalho do campo elétrico será
τAB = q(VA – VB) = q . U
(1)
Como o campo é uniforme, pode-se dizer que a força elétrica tem direção, sentido e intensidade constantes. Então, vale τAB = F . d
(2)
Comparando-se (1) e (2), F . d = q . U
5. MOVIMENTO DE UMA PARTÍCULA ELETRIZADA COM CARGA ELÉTRICA q NUM CAMPO ELÉTRICO UNIFORME Uma partícula eletrizada, com carga elétrica q e de massa m, abandonada ou lançada na direção das li→ nhas de força de um campo elétrico uniforme E, realiza um movimento retilíneo e uniformemente variado com |q| . E aceleração de módulo a = –––––– . m
(3)
Sendo F = q . E, vem q . E . d = q . U E.d=U
4. UNIDADE OFICIAL DE CAMPO ELÉTRICO Do teorema anterior, pode-se expressar o campo Se a partícula for lançada perpendicularmente ou obliquamente às linhas de força, descreverá um movimento parabólico, tendo aceleração na direção do campo elétrico.
por
FÍSICA BDE
U E = –––– d Então, conclui-se que a unidade do campo elétrico fica Unidade (U) Unidade (E) = –––––––––––– Unidade (d) volt Unidade (E) = –––––––– metro
no SI
Esta unidade de campo elétrico é considerada a oficial para o SI. Evidentemente há uma equivalência entre esta unidade e aquela que já conhecemos (N/C).
112 –