Funciones by shirley berruz

UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE FILOSOFIA NIVELACION 2018-2019 ASIGNATURA: MATEMATICA DOCENTE: ING.ARNALDO MALDONADO TALLER GRUPAL INTEGRANTES:  CLARA SORIANO  JAMILEX CRUZ  LEANDRA SANCHEZ  JOEL BOHORQUEZ  JEAN-LUC VAN DE BOSCH  DAYANA OBANDO  ODALYS CAMBA  ESTHER NAVARRETE  SHIRLEY BERRUZ  JESSICA VELASCO PARALELO: FFC-N-04-MA-12

Contenido 1.

FUNCIONES ..........................................................................................................................1 1.1

1.2

Material de apoyo ........................................................................................................1 Dominio ...........................................................................................................................1

1.2.1 Restricciones del Dominio ...............................................................................................2 1.2.2

Ejercicios ...................................................................................................................2

1.2.3

Material de apoyo ....................................................................................................2

1.3

Rango de una Función .....................................................................................................3

1.3.1

Procedimiento para determinar el rango .................................................................3

1.3.2

Ejercicio ....................................................................................................................3

1.3.3

Material de apoyo ....................................................................................................3

1.4

Inecuaciones Cuadráticas ................................................................................................3

1.4.1

Ejemplos ...................................................................................................................4

1.4.2

Material de apoyo ....................................................................................................4

1.5.

Función Inyectiva .............................................................................................................5

1.5.1.

Ejemplos de función inyectiva .................................................................................5

1.5.2.

MATERIAL DE APOYO ...............................................................................................6

1.6.

Función Sobreyectiva.......................................................................................................7

1.6.1.

Ejemplos de función sobreyectiva ............................................................................7

1.6.2.

Material de apoyo ....................................................................................................8

1.7.

Función creciente.............................................................................................................9

1.7.1.

Ejemplos de Función Creciente ................................................................................9

1.7.2.

Material de apoyo ..................................................................................................10

1.8.

Función Estrictamente Creciente...................................................................................11

1.8.1.

Ejemplos de la función Estrictamente Creciente ....................................................11

1.8.2.

Material de apoyo ..................................................................................................12

1.9.

Función Decreciente ......................................................................................................12

1.9.1.

Ejemplos de función decreciente ...........................................................................12

1.9.2.

Material de Apoyo ..................................................................................................13

1.10.

Función Par ................................................................................................................13

1.10.1.

Ejemplos de función Par .........................................................................................14

1.10.2.

Material de apoyo ..................................................................................................14

1.11 Función constante .............................................................................................................15 1.11.1 EJEMPLOS ....................................................................................................................15 1.11.2 MATERIAL DE APOYO ..................................................................................................16 1.12 FUNCION PERIODICA .........................................................................................................16

1.12.1 EJEMPLOS ....................................................................................................................16 1.12.2 MATERIAL DE APOYO ..................................................................................................16 1.13 FUNCION ACOTADA ...........................................................................................................17 1.13.1 EJEMPLOS ....................................................................................................................18 1.13.2 MATERIAL DE APOYO ..................................................................................................18 1.14 FUNCION POR PARTES .......................................................................................................19 1.14.1 EJEMPLOS ....................................................................................................................19 1.14.2 MATERIAL DE APOYO ..................................................................................................19 1.15 FUNCION LINEAL ................................................................................................................20 1.15.1 EJEMPLOS ....................................................................................................................20 1.15.2 MATERIAL DE APOYO ..................................................................................................21 1.16 FUNCION CUADRATICA......................................................................................................21 1.16.1 EJEMPLOS ....................................................................................................................22 1.16.2 MATERIAL DE APOYO ..................................................................................................23 2. BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................23

1. FUNCIONES Función de una variable real.- Sean X y Y dos conjuntos no vacíos subconjuntos de los números reales: Una función de variable real de X y Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X un único elemento de Y. Se representa por:

o también

 Todos los elementos de partida tienen que participar UNA SOLA VEZ.

 Usar el criterio de la LINEA VERTICAL (debe tocar un solo punto) para saber si es función.

Si es Función

1.1

No es Función

Material de apoyo

http://www.dma.fi.upm.es/recursos/aplicaciones/calculo_infinitesimal/web/es tudio_funciones/funcion.html

1.2 Dominio

Sea f una funciรณn de variable real: .El conjunto X para el cual se encuentra definida, constituye el dominio de la funciรณn, este conjunto se representa por: dom f

1.2.1 Restricciones del Dominio Debemos tener en cuenta lo siguiente:

1.2.2 Ejercicios

1.2.3

Material de apoyo 2

https://www.vitutor.com/fun/2/a_2.html

1.3 Rango de una Función Sea f una función variable real , el conjunto de todas las imágenes de los elementos del dominio, constituye el rango de la función, se representa por:

rg f

1.3.1 Procedimiento para determinar el rango  

Despejar algebraicamente la variable X en la función. El rango será el conjunto de valores que puede tomar la variable Y, una vez despejada la variable X.

1.3.2 Ejercicio

1.3.3 Material de apoyo https://www.ditutor.com/funciones/rango_funcion.html

1.4 Inecuaciones Cuadráticas También llamadas de segundo grado son desigualdades donde la variable de mayor exponente tiene grado 2 y es en su forma general de una de las formas siguientes: .También puede tener el signo de desigualdad , pero se puede llevar a una de las formas anteriores haciendo transformaciones equivalentes.  Sacar los puntos críticos  Reemplazar valores y comparar los resultados.  Descartar lo que no ayuda envase al problema. 3

1.4.1 Ejemplos

1.4.2 Material de apoyo https://www.ecured.cu/Inecuaciones_cuadr%C3%A1ticas

1.5. Función Inyectiva La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen Y. Reciben también el nombre de funciones “uno a uno”. No siempre todos los elementos del conjunto final Y deben corresponderse con alguno del conjunto inicial X.

Si f (Xa)= f (Xb) entonces Xa = Xb Una comprobación gráfica de la inyectividad de una función es cuando cualquier recta paralela al eje X corta a la misma, como máximo, en un punto.

1.5.1.

Ejemplos de función inyectiva

La función f(x) = 2x+1, con los elementos de su dominio restringidos a los números reales positivos, es inyectiva. Se cumple la función de inyectividad

En esta funciรณn no cumple con la inyectividad, por lo que no es inyectiva

1.5.2.

MATERIAL DE APOYO

http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones-inyectivassobreyectivas-biyectivas/

1.6. Función Sobreyectiva Una función f es sobreyectiva si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.

Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto final Y. Dicho de otra manera, una función es sobreyectiva cuando son iguales su codominio y su dominio.

1.6.1.

Ejemplos de función sobreyectiva

La función en los números reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva.

Esta función sí que es sobreyectiva. Vamos a verlo demostrando que el recorrido de la función son todos los números reales.

El recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y, por lo que la f es sobreyectiva. Es decir, que, con la función f(x), todo número real será imagen de, como mínimo, otro número real. Igualmente, con los mismos argumentos, será sobreyectiva la función:

1.6.2.

Material de apoyo

http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones-inyectivassobreyectivas-biyectivas/

1.7. Función creciente A medida que aumenta el valor de x, aumenta el valor de y. La definición es la siguiente: una función es creciente en un intervalo si se cumple que:

Veamos un gráfico

1.7.1.

Ejemplos de Función Creciente

Cuando X Aumenta Y también aumenta y así se cumple la función

Una Técnica para verificar si una gráfica de una función es creciente, es observar de izquierda a derecha, si la gráfica va hacia arriba como en el ejemplo se dice que la gráfica de la función es Creciente.

1.7.2.

Material de apoyo

https://matemovil.com/funciones-crecientes-decrecientes-y-constantes/ https://www.youtube.com/watch?v=rKjPXCGgyOQ

1.8. Función Estrictamente Creciente Una función

es estrictamente creciente en un intervalo

valores cualesquiera del intervalo,

, si para dos

, se cumple que

Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia arriba:

Una función es estrictamente creciente en el punto de abcisa si existe algún número positivo tal que es estrictamente creciente en el intervalo . De esta esta definición se deduce que si estrictamente creciente en el punto de abcisa

1.8.1.

es derivable en , entonces

Ejemplos de la función Estrictamente Creciente

y .

1.8.2.

Material de apoyo

http://www.wikillerato.org/Funciones_crecientes_y_decrecientes.html https://www.youtube.com/watch?v=7IeDc465rLw

1.9. Funciรณn Decreciente A medida que aumenta el valor de x, disminuye el valor de y. La definiciรณn es la siguiente: una funciรณn es decreciente en un intervalo si se cumple que:

Veamos la siguiente grรกfica

1.9.1.

Ejemplos de funciรณn decreciente

Una Técnica para verificar si una gráfica de una función es decreciente, es observar de izquierda a derecha, si la gráfica, cuando la gráfica se va hacia abajo se dice que la función es decreciente.

1.9.2.

Material de Apoyo

https://www.youtube.com/watch?v=rKjPXCGgyOQ https://matemovil.com/funciones-crecientes-decrecientes-y-constantes/

1.10.

Función Par

Una función f: A→Bf:A→B es par si f(x)=f (−x) f(x)=f (−x) para todo x∈Ax∈A. Nótese que debe considerarse −x∈A−x∈A. La función cuadrado f(x)=x2f(x)=x2 es par ya que F(x)=x2=f(x)=x2= = (−x)2=f (−x)

1.10.1.

Ejemplos de funciรณn Par

1.10.2.

Material de apoyo

https://www.youtube.com/watch?v=jHrDlwC9a7E https://www.matesfacil.com/BAC/funciones/paridad/funcion-par-impar-paridadpropiedades-demostraciones.html

1.11 Función constante En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente. Con una función constante, para cualesquiera dos puntos en el intervalo, un cambio en x resulta en un cambio en cero en f ( x ).

1.11.1 EJEMPLOS Grafique la función f ( x ) = 3.

Sea la función f(x)=-2 , encontrar su representación tabular y gráfica.

f(x)

-3

-2

-1.75

-2

-1

-2

2 1 0 -3

-2

-1

-1 -2

-2

2.99

-2

-3

1.11.2 MATERIAL DE APOYO https://www.youtube.com/watch?v=VBCMPgZAYUQ

1.12 FUNCION PERIODICA Función que repite el mismo valor a intervalos regulares de la variable. Una función f(x) es periódica si existe un número p tal que pueda hacer f(x+p) = f(x) para todas las x. Al menor número p se le llama período. Por ejemplo, y = sen (x) es una función periódica con un período de 2 porque 2 es el menor número p que hace que sen (x+p) = sen (x) para todas las x.

1.12.1 EJEMPLOS

1.12.2 MATERIAL DE APOYO https://www.youtube.com/watch?v=zyxks68nJSI

1.13 FUNCION ACOTADA Decimos que una función está acotada superiormente si existe un valor K tal que no es superado por ningún valor de la función, es decir: f(x)≤K para todo valor de x perteneciente al dominio, como podemos ver en la siguiente imagen:

Decimos que una función está acotada inferiormente si existe un valor k tal que no hay ningún valor de la función que sea inferior a k, es decir: f(x)≥k para todo valor de x perteneciente al dominio, como podemos ver en la siguiente imagen:

1.13.1 EJEMPLOS Un ejemplo claro de funciones acotadas son las funciones trigonométricas f(x)= sen x y f(x)= cos x. Ambas tienen como cota superior K=1, y como cota inferior k=-1.

EJEMPLO 2 k = ½

k ′ = -½

1.13.2 MATERIAL DE APOYO https://www.youtube.com/watch?v=s_Rw3rNFzHQ

1.14 FUNCION POR PARTES Una función definida por partes es aquella que no esta definida por una ecuación sola, sino por dos o más. Cada ecuación es válida para algún intervalo. También se la conoce como función a trozos, función seccionada o función definida por tramos.

1.14.1 EJEMPLOS Considere la función definida como sigue.

1.14.2 MATERIAL DE APOYO https://www.youtube.com/watch?v=VmjXDTKccW8

1.15 FUNCION LINEAL Una función lineal es una función polinómica de grado 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Son funciones rectas de la forma:

La m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación con respecto al eje X (eje de abscisas). Si m es positiva (m > 0), entonces la función es creciente. En cambio, si la m es negativa (m < 0), entonces la función es decreciente. La pendiente m significa que si aumentamos la x en una unidad, la y aumenta en m unidades. Si la mes positiva, según aumente la x la y también irá aumentando (función creciente). En cambio, si m es negativa, cuando aumenta la x la y disminuirá (función decreciente).

1.15.1 EJEMPLOS y = 2x – 1

1.15.2 MATERIAL DE APOYO https://www.youtube.com/watch?v=AoZpzAoC1Qg

1.16 FUNCION CUADRATICA Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c donde a , b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es una ecuación completa , si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta. Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x 2 − 3x – 5

Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x 2 + 2x + 3

1.16.1 EJEMPLOS

1. y = −x² + 4x − 3

1. Vértice x v = − 4/ −2 = 2

y v = −2² + 4· 2 − 3 = 1

V(2, 1)

2. Puntos de corte con el eje OX. x² − 4x + 3 = 0

(3, 0) 3. Punto de corte con el e je OY . (0, −3)

(1, 0)

1.16.2 MATERIAL DE APOYO https://www.youtube.com/watch?v=0pUnHF1FJ2s

2. BIBLIOGRAFIA https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_constante https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/constant-function http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/p/periodicfunction.htm https://matematica.laguia2000.com/general/funciones-acotadas https://www.vitutor.com/fun/2/a_8.html https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/piecewise-definedfunction https://www.vitutor.com/fun/2/r_e9.html http://www.profesorenlinea.cl/matematica/funcion_cuadratica.html

https://www.ditutor.com/funciones/rango_funcion.html