Numeros Reales M12

N (-) (-) = + R U E M A E L R E O S S

( X+ 2Y ) ( 5X – 4Y )

U-

U

1+ U

V

(-)(+)= –

(X) -

(Y)

(X + Y) (X – Y )

1

UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE FILOSOFÍA NIVELACIÓN 2018-2019 ASIGNATURA: MATEMÁTICA DOCENTE: ING. ARNALDO ANDRADE TALLER GRUPAL INTEGRANTES: Clara Soriano Jamilex Cruz Leandra Sánchez Joel Bohórquez Jean-Luc Van de Bosch Dayana Obando Odalys Camba Esther Navarrete Shirley Berruz Jessica Velasco PARALELO: FFC-N-04-MA-12

INDIC E

2

1.- Números reales………………………………………………..…………......6 1.1Términos- Definición………………………………...................................6 1.2 Reducción de términos……………………………………………………7 1.2.1 Leyes de signos……………………….………..................................7 1.3 Operaciones con fracciones……………………………………………...7 1.3.1Material de apoyo……………………………….…………………..7 1.3.2 Ejercicios resueltos……………………………..…………………..7 2.- Propiedades de los exponentes…………………………………………….8 2.1

Propiedades de la potencia con exponente 0………………………….8

2.2 2.3

Propiedades de la potencia con exponente 1…………………………...8 Multiplicación con la misma base……………………………………...8

2.4

División de potencia con misma base…………………………………..8

2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12

Multiplicación de potencias con base distinta y mismo exponente…….8 División de potencias con base distinta y mismo exponente…………...9 Potencia de una potencia……………………………………………….9 Potencia con exponente negativo……………………………………….9 Potencia con exponente fraccionario…………………………………...9 Potencia con exponente fraccionario de numerador 1………………….9 Material de apoyo………………………………………………………9 Ejercicios resueltos……………………………………………………..9

3.- Producto Notable Factorización…………………………………………..10 3.1 Cuadrado de un binomio…………………………………………………10 3.2 Cubo de un binomio……………………………………………………...11 4.- Factor Común……………………………………………………………...12 4.1 Factor Común por agrupación de término………………………………..13 4.2 Diferencia de cuadrado perfecto………………………………………….14 4.3 Trinomio cuadrado perfecto………………………………………………15 4.4 Material de apoyo…………………………………………………...16

5.- Trinomio cuadrado de la forma x2+bx+c………………………..16 3

5.1 Regla para factorizar un trinomio…………………………………………16 5.2 Material de apoyo………………………………………………………….17 6.- Trinomio cuadrado de la forma ax2+bx+c………………………………..18 6.1 Definición…………………………………………………………………18 6.2 Material de apoyo…………………………………………………………19 7.- Cubo perfecto de un binomio……………………………………………...19 7.1 Definición…………………………………………………………………19 7.2 Ejercicio Resuelto…………………………………………………………20 7.3 Material de apoyo…………………………………………………………20 8.- Suma o diferencia de Potencia Impares…………………………………..21 8.1 Ejemplificación…………………………………………………………..21 8.2 Ejercicio Resuelto………………………………………………………..22 8.3 Material de apoyo………………………………………………………...22 9.- Razones y Proposiciones…………………………………………………...22 9.1 Razones (definición)………………………………………………………22 9.1.1 Ejemplos…………………………………………………………….23 9.1.2 Material de apoyo…………………………………………………...24 9.2 Proposición……………………………………………………………….25 9.2.1 Clasificación………………………………………………………...26 9.2.1.1 Ejercicio Resuelto…………………………………………...26 9.2.1.2 Material de apoyo…………………………………………...26 9.2.2 Propiedades de las proposiciones…………………………………...27 9.2.2.1 Material de apoyo…………………………………………...27 9.3 Teoremas relativos a la serie de razones iguales………………………...28 9.3.1 Definición………………………………………………………….28 9.3.2 Propiedades………………………………………………………...28 9.3.3 Ejercicio Resuelto………………………………………………….28 4

9.3.4 Material de apoyo………………………………………………….28 9.4 Proporcionalidad………………………………………………………….29 9.4.1 Definición…………………………………………………………..29 9.4.2 Ejercicio…………………………………………………………….29 9.4.3 Material de apoyo…………………………………………………..30 10.- Regla de Tres Simple, Compuesta y Porcentaje………………………..30 10.1 Regla de tres…………………………………………………………….30 10.2 Regla de tres Simple Directa……………………………………………30 10.2.1 Material de apoyo………………………………………………..31 10.2.2 Ejercicio Resuelto………………………………………………..31 10.3 Regla de tres Simple Inversa……………………………………………31 10.3.1 Material de apoyo………………………………………………..32 10.4 Regla de tres Compuesta Directa………………………………………..32 10.4.1 Material de apoyo………………………………………………..32 10.5 Regla de tres Compuesta Inversa………………………………………..32 10.5.1 Material de apoyo………………………………………………...33 10.5.2 Ejercicio Resuelto………………………………………………...33 10.6 Porcentaje……………………………………………………………….33 10.6.1 Material de apoyo………………………………………………...34 10.6.2 Ejercicio Resuelto………………………………………………...34 11.- Fuente Bibliográfica…………………………………………………..34-35

5

1.

NUME ROS EXPRESIONES ALGEBRAICAS REALE S

Monomio # Letras

Binomio

Trinomio

1.1 TERMINOS .

Definición.

Son expresiones separadas por + o -. Ejemplo.

9 – 6 + 3(2) – 4 (3 – 5)

4 términos.

9 – 6 + 6 – 4 (– 2) 9–6+6+8 23 – 6 17

(+). (+)

1.2 REDUCCION DE TERMINOS.

+ (–). (– ) (– ). (+)

6

(+). (– )

–

1.2.1 LEY DE SIGNOS

Signos iguales: -

Escribir el mismo signo Sumar las cantidades

Signos diferentes: -

Escribir el signo de la cantidad mayor Restar las cantidades

1.3 OPERACIONES CON FRACCIONES.

Se multiplica

1

+ 3

2

7

= 7 + 6 = 13 14

14

2 1

7

2

7

7

= 14

M. C. M

1

Se divide

1.3.1 MATERIAL DE APOYO.  

https://youtu.be/HCx6pPHGyEQ Fundamentos de Matemáticas para bachillerato ESPOL (libro)

1.3.2 EJERCICIOS RESUELTOS 

https://ekuatio.com/apuntes-de-matematicas/numeros-aritmetica/los-numerosracionales-fracciones/operaciones-con-fracciones-paso-a-paso/

2. PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES 7

A3

Exponente

Base

A: indica el número que se multiplicara por sí mismo.

3: indica la cantidad de veces que el número se multiplicara por sí mismo.

2.1 Propiedades de las potencias con exponente 0: Cuando una potencia tiene como exponente “0” el resultado siempre será 1. a0=1 200= 1

150= 1

2.2 Propiedades de las potencias con exponente 1: Toda potencia con exponente 1 el resultado será su base. a1=a 551= 55

1021= 102

2.3 Multiplicación con misma base: El producto de dos potencias con misma base, es una potencia de misma base y el exponente es la suma de los exponentes. am⋅an=am+n 182⋅185=18(2+5)= 187

2.4 División de potencias con misma base: El cociente de dos potencias con misma base, es otra potencia de misma base y el exponente es la resta de los exponentes. am: an=am-n 22:25=2(2−5)=23

2.5 Multiplicación de potencias con base distinta y mismo exponente: El producto de dos potencias con mismo exponente es otra potencia donde la base es la multiplicación de sus bases y se conserva su exponente. am⋅bm= (a⋅b) m 52⋅52= (5⋅5)2= 252

2.6 División de potencias con base distinta y mismo exponente: El cociente de dos potencias con mismo exponente es otra potencia donde la base es la división de sus bases y se conserva su exponente. am:bm=(a:b)m 252:52= (25:5)2=52 8

2.7 Potencia de una potencia: El resultado es otra potencia que conserva la base y el exponentes es el producto de los exponentes. (am)n=am⋅n (252)5=25(2⋅5)=2510

2.8 Potencia con exponente negativo: No se pueden resolver, el exponente debe pasar a positivo. a−m=1/am 25−2=1/252

2.9 Potencia con exponente fraccionario: Es igual al radical donde el denominador es el índice de la raíz y el numerador es el exponente de la raíz. an/m= n√an= (m√a)n

2.10 Potencia con exponente fraccionario de numerador 1: Es igual al radical donde el denominador es el índice la raíz. a1/m = m√a

2.11 material de apoyo 

https://youtu.be/bnwBXIcIi2k

2.12 ejercicios 

https://www.matesfacil.com/resueltos-potencias.htm

3. PRODUCTOS NOTABLE FACTORIZACIÓN 9

3.1CUADRADO DE UN BINOMIO Un binomio es una suma o una diferencia de dos números (o expresiones numéricas) y es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo. (a + b) 2 = a 2 + 2 · a · b + b 2

(a − b) 2 = a 2 − 2 · a · b + b 2

Ejemplos:

● (x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9]

● (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3

2

= 4x2 −

12 x + 9

● (3a – 5b)² = (3a)² - 2(3a)(5b) + (5b)² = 9a² - 30ab + 25b² ● (p - q)² = p² - 2pq + q²

● (2 + x)² = 2² + 2(2)(x) + x² = 4 + 4x + x²

3.2 CUBO DE UN BINOMIO 10

Corresponde al cubo del primer término, más (o menos) el triple del cuadrado del primer término multiplicado por el segundo, más el triple del primer término multiplicado por el cuadrado del segundo y más (o menos) el cubo del segundo, así:

(a +- b)³ = a³ +- 3a²b + 3ab² +- b³

Ejemplos ● (a + 3)³= a³ + 3(a)²(3) + 3(a)(3)² + (3)³ = 27 + 9a² + 27a + 27 ● (2 – a)³ = 2³ – 3(2)²(a) + 3(2)(a)² – a³ = 8 – 12a + 6a² - a³ ● (1 – 3y)³ = (1)³ – 3(1)²(3y)+3(1)(3y)²- (3y)³ = 1 – 9y + 27y² - 27y³ ● (x + 2)³ = x³ + 3(x)²(2) + 3(x)(2)² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8

11

4.FACTOR COMÚN Es el caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos).

Ejemplos: ● 2x³ + x² - 5x = x (x³ + x - 5) ● 9ab² + 3ab - 6a²b = 3ab (3b + 1 - 2a) ● 9x3 - 6x2 + 12x5 - 18x7 = 3x 2. (3x - 2 + 4x 3 - 6x 5)

12

4.1 FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.

Ejemplo con explicación: Hacer que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará más fácil resolver este ejercicio 2cx + 2dx - cy + 5c - dy + 5d Se agrupan los términos que tienen un factor común (2cx - CY + 5a) + (2dx - dy + 5d) Saco el factor común de cada grupo: A (2x - y + 5) + d (2x - y + 5) Como las expresiones en que están entre paréntesis son iguales se tiene: (2x -y +5)(c + d)

Ejercicios: ● 17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz = a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z) = (17x +3y +7z)(a – m) ● m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2)

= (x + 2)(m + 3) -1(x + 2) = (x + 2)[(m + 3) – 1] 13

= (x + 2)(m + 3 – 1)

4.2 DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.

Pasos a seguir: 1. Se extrae la raíz cuadrada de los dos términos.

2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo término del binomio negativo es la raíz del término del binomio que es negativo).

Ejemplos: ● 9x²y⁴ - m² = 3²x²(y²)² - m² = (3xy² + m)(3xy² - m) ● 121m² - 49n⁶ = 11²m² - 7²(n³)² = (11m + 7n³)(11m - 7n³) ● 625r² - z⁶y⁸ = 25²r² - (z³)²(y⁴)² = (25r + z³y⁴)(25y - z³y⁴)

14

4.3 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio.

Ejemplo: Todo trinomio de la forma: a2 +2ab +b2 es un trinomio cuadrado perfecto ya que (a + b)2=(a + b)(a + b)=a2 +ab +ab +b2 Siendo la regla: El cuadrado del primero más el doble del primer por el segundo término más el cuadrado del segundo término.

Cómo saber si es un TCP ● Un trinomio ordenado con relación a una letra. ● Es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término son cuadrados perfectos. ● El segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Ejercicios: ● x2 − 2x + 1 = = (x − 1)2 ● x2 + 14x +49 = = (x + 7)2 ● x2 + 10x + 25 = = (x + 5)2 15

4.4 Material de apoyo:   





https://www.ditutor.com/polinomios/binomio_cuadrado.html http://eca-algebra.blogspot.com/2011/08/cuadrado-de-un-binomioejercicios.html https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/algebra/cuadrado-de-unbinomio-l10940http://eca-algebra.blogspot.com/2011/08/cubo-delbinomio.htm https://brainly.lat/tarea/523919l https://www.ecured.cu/Trinomio_cuadrado_perfecto

5.TRINOMIO CUADRADO DE LA FORMA x 2 + bx +

c Este tipo de características: 

Tienen

un

trinomio término

cuadrado y con coeficiente 1 (

tiene

las

positivo

siguientes elevado

al

).

Posee un término que tiene la misma letra que el término anterior pero elevada a 1 (bx) (puede ser negativo o positivo). 



Tienen un término independiente de la letra que aparece en los otros dos (+ o -).

5.1 Reglas para factorizar un trinomio 1.

Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la

raíz cuadrada del término .

2.

El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.

3.

Si los dos factores tienen signos iguales entonces se buscan dos números cuya suma sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, estos números son los segundos términos de los factores binomios.

4.

Si los dos factores tienen signos diferentes entonces se buscan dos números cuya diferencia sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, el mayor de estos números será el segundo

16

término del primer factor binomio, y el menor de estos números será el segundo término del segundo factor binomio.

Ejemplos explicativos:

Factorizar:

x

2

-7x+12

(x-4) (x-3)

12 6

2 2

3 3 1

5.2 Material de apoyo: 

https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/algebra/trinomio-cuadrado-de-laforma-x2-bx-c-l10952



Fundamentos de Matemáticas para bachillerato ESPOL (libro)

6. TRINOMIO CUADRADO DE LA FORMA ax 2 + bx + c 6.1 Definición Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el término al cuadrado ( ) se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo). Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual detallamos a continuación:

17

1.

Multiplicamos el coeficiente “a” del factor

“a”

” por cada término del trinomio, dejando

esta multiplicación indicada en el término “bx” de la manera “b (ax)”, y en el término “a manera 2.

” de la

.

Se descompone el trinomio en dos factores

binomios cuyo primer término será la raíz cuadrada del término 3.

la que sería “ax”.

al producto resultante lo dividimos entre

el factor “a”, con el fin de no variar el valor del polinomio.

4.

El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “bx”, el

signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.

5.

Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro

del caso del trinomio anterior.

Ejemplos explicativos :

1)

2)

2x

2

-5x-3

2( 2 x 2 )-2(5x)-3(2)

2

2

x

2

-5(2x)-6 2

(2 x )

-5(2x)-6

(2 x−3)(2 x +2) 2

= (x-3) (2x+1)

6.2 Material de apoyo:

18



https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/algebra/trinomio-cuadrado-de-laforma-x2-bx-c-l10952



Fundamentos de Matemáticas para bachillerato ESPOL (libro)

7. CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO 7.1 Definición Una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra es un cubo perfecto, Si cumple las siguientes condiciones: 1). Tener cuatro términos 2). El primer y último término sean cubos perfectos (tienen raíz Cúbica exacta).

3). El segundo término es tres veces el producto del cuadrado De la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del Último término.

4). El tercer término sea tres veces, el producto de la raíz del Primer término por el cuadrado de la raíz del último término.

5). El primer y tercer términos son positivos, el segundo y el Cuarto términos tienen el mismo signo (positivo o negativo).

Si todos los términos son positivos, el polinomio dado es el Cubo de la suma de las raíces cúbicas del primer y último Términos. Y si los términos son alternadamente positivos y negativos el polinomio Dado es el cubo de la diferencia de las raíces.

Ejercicio: Verificar si el siguiente polinomio es cubo perfecto y factorizarlo.

19

1) 8x3 + 12x2 + 6x + 1 La raíz cúbica de 8x3 es 2x La raíz cúbica de 1 es 1 2

3(2x) (1) = 3(4x2) (1) = 12x2, segundo término 2

3(2x) (1) = 6x, tercer término La expresión dada es el cubo de (2x + 1) o (2x + 1) es la raíz cúbica de la expresión.

Luego, 3

2

8x + 12x + 6x + 1 = (2x + 1)

3

2) X9 -18x6 y5 +108x3 y10 -216 y15 6x3 y5 +36xy-72

X3

3

R// (x3 -6y5)

6y5

7.2 Ejercicio resuelto 

https://youtu.be/8rAgVL4udRI

7.3 Material de apoyo:  

https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/algebra/trinomio-cuadrado-de-laforma-x2-bx-c-l10952 Fundamentos de Matemáticas para bachillerato ESPOL (libro)

8. SUMA o DIFERENCIA DE POTENCIAS IMPARES 8.1 Ejemplificación

Este caso solo aplica para potencias impares iguales, porque para las potencias pares iguales se puede factorizar por suma o diferencia de cuadrados

20

Se debe tener en cuenta que ambos términos estén elevados a una potencia impar mayor o igual que “5”. Este proceso también demuestra la suma y diferencia de cubos, ya que “3” es un número impar Veamos cómo resolver un ejercicio de este caso paso a paso:

1. Se saca la raíz enésima de ambos términos. En este caso n=5, por lo tanto se saca la raíz quinta de ambos términos. Ésas son “x” y “y” 2. Se abren dos paréntesis. En el primero se ponen a sumar, si es una suma de potencias iguales, pero si es una resta se ponen a restar. En este caso como es una suma los vamos a poner a sumar en el primer paréntesis

3. Ahora en el segundo paréntesis vamos a poner a sumar todos los términos de tal forma que el primer término vaya mermando su exponente desde “4” hasta “0” y el segundo vaya aumentando de “0” hasta “4”, de la siguiente manera:

Simplificando tenemos

Cuando es una suma de potencias impares iguales el segundo paréntesis lleva los signos intercalados empezando por más. Pero si fuera una diferencia de potencias impares iguales el segundo paréntesis llevaría todos los signos positivos La expresión factorizada queda:

Ejemplo:

Antes de empezar vemos que las potencias no son iguales, pero el “b^14” se puede tener como una potencia elevada a la “7”, simplemente expresamos el “b^14” como “(b^2) ^7”

21

8.2 Ejercicio resuelto:  https://youtu.be/CCdhPv4byzM 8.3 Material de apoyo: 

https://zonaintelectual.wordpress.com/suma-y-diferencia-de-potenciasimpares-iguales/

9. RAZONES Y PROPORCIONES 9.1 RAZONES (definición) Es una comparación entre dos o más cantidades también se puede escribir como: A: b 

;

a/b

;

se expresa mediante fracción, pero

a b

Se lee a es, a b

9.1.1 Ejemplos: 1) La edad de 2 personas están en la relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. Hallar las edades.

Solución: Si las edades son a y b Cuando nos hablan de relación o razón entre dos cantidades sabemos que nos están hablando de una comparación entre dos cantidades. Por lo tanto expresamos los datos como una razón:

22

Ahora volvemos a los datos del problema: Nos indican que la suma de los 2 números nos tiene que dar 84. Esto se expresa así:

Ahora lo que debemos hacer es trabajar con una constante, que en este caso será " X”. Por lo tanto:

Reemplazando los datos en la ecuación tenemos:

Ahora que tenemos el valor de x podemos reemplazar para obtener los valores de a y b :

Respuesta: Por lo tanto podemos decir que las edades son 30 y 54.

23

2) Si la razón entre 2 números es 2:3 y ambos suman 10. ¿Cuáles son los números?

a b

=

2 3

a=2x=2(2)=4

a+b=10

b= 3x=3(2)=6 a=4

2x+3x=10 5x=10 10 x= 5 x= 2

b=6

9.1.2 Material de apoyo:  

https://www.portaleducativo.net/septimo-basico/293/Razones-proporciones Fundamentos de Matemáticas para bachillerato ESPOL (libro)

9.2 Proporción Es una igualdad entre 2 razones

a b

=

24

c d

existen 2 tipos:

Directa: Proporcionalidad directa Cuando dos magnitudes están relacionadas de modo que los valores de una de ellas se obtienen multiplicando por un mismo número los valores correspondientes en la otra.

Proporciones

a.d=b.c

Inversa: En estos casos, si los

valores de una aumentan, los valores correspondientes en la otra disminuyen.

a.d=c.d

Ejercicio:

Para armar una mesa se necesita 14 tornillos. ¿Cuántos tornillos necesitamos para armar 9 mesas?

Mesas 1

tornillo s 14

9

x

X= 9(14)=126

9.2.1 CLASIFICACIÒN:

25

Ahora veamos las proporciones, no olvides que una proporción es la igualdad de 2

razones:

Finalmente, no podemos dejar de mencionar que existen 2 tipos de proporción, la continua y la discreta. En la continua, los términos medios son iguales, mientras que la discreta tiene 4 términos diferentes:

9.2.1.1 Ejercicios Resueltos: 

https://youtu.be/Ft6b1UI_2C4

9.2.1.2 Material de apoyo:  https://matemovil.com/razones-y-proporciones-ejercicios-resueltos/  Fundamentos de Matemáticas para bachillerato ESPOL (libro)

26

9.2.2 PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES Las propiedades de las proporciones son las siguientes: 

Cuando hay proporción, si multiplicas los extremos entre si te da el mismo resultado que si multiplicas los medios.



Si sumas el antecedente y el procedente de cada razón y la dividís por el antecedente, ambas te dan el mismo resultado. Lo mismo sucede si lo dividís por el procedente.



Si restas el consecuente al antecedente y lo dividís por el procedente, en ambas razones debe dar lo mismo. Sucede de igual manera si lo dividís por el antecedente.



La diferencia del antecedente y el consecuente de la primera razón, dividida la suma de ambos es igual en ambas razones por separado. Si realizas la suma y luego dividís por la diferencia también te da el mismo resultado en ambas razones.

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9.2.2.1 Material de apoyo: 

https://neetescuela.org/propiedades-de-las-proporciones/

27

9.3 TEOREMAS RELATIVOS A LA SERIE DE RAZONES IGUALES 9.3.1 Definición Una razón es el cociente entre dos números.

- El numerador es el antecedente y el denominador el consecuente de la razón.

- Cuando cociente entre el numerador y el denominador de una razón es igual al cociente entre el numerador y el denominador de la otra razón, se dice que son razones iguales.

- Se llama proporción en una serie de razones iguales el cociente de todas es k.

- K es la constante de proporcionalidad.

9.3.2Propiedades: 1) El producto de extremos es igual al producto de medios, (x,w son los extremos de la razón, y,z son los medios de la razón) es decir, x*w=y*z 8×3=6×4 24=24 2) El cociente entre la suma de los antecedentes y la suma de los consecuentes es igual a cualquiera de las razones.

3) Si intercambiamos entre sí los medios y los extremos da lugar a una nueva proporción.

9.3.3 Ejercicio resuelto: 

https://youtu.be/-KxpKLzKnyw

9.3.4 Material de apoyo: 

https://brainly.lat/tarea/788957

28

9.4 PROPORCIONALIDAD 9.4.1 Definición La proporcionalidad es la conformidad o proporción (igualdad de dos razones) de unas partes con el todo o de elementos vinculados entre sí , o más formalmente, resulta ser la relación entre magnitudes medibles.

Existen dos tipos de proporcionalidad, una inversa y otra directa, aunque, ambas sirven para resolver aquellos problemas en donde se conoce una razón y tan solo un dato de la segunda.

Entonces, dos magnitudes serán directamente proporcionales si al producirse el aumento de una de ellas, en el doble, triple o cuádruple, las cantidades que corresponden a la otra también aumenta en las mismas cantidades, es decir, el doble, el triple, el cuádruple.

Y por el contrario, dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción.

9.4.2 Ejercicios 1) Al llegar al hotel nos han dado un mapa con los lugares de interés de la ciudad, y nos dijeron que 5 centímetros del mapa representaban 600 metros de la realidad. Hoy queremos ir a un parque que se encuentra a 8 centímetros del hotel en el mapa. ¿A qué distancia del hotel se encuentra este parque?

Vamos a resolver el problema : Como 5 centímetros representan 600 metros, 1 centímetro representará…

600: 5 = 120 metros Como 1 centímetro representa 120 metros, 8 centímetros representarán…

120 x 8 = 960 metros Solución: El parque se encuentra a 960 metros del hotel.

2) Ayer 2 camiones transportaron una mercancía desde el puerto hasta el almacén. Hoy 3 camiones, iguales a los de ayer, tendrán que hacer 6 viajes para transportar la misma cantidad de mercancía del almacén al centro comercial. ¿Cuántos viajes tuvieron que hacer ayer los camiones?

Vamos a resolver el problema: Como 3 camiones necesitan hacer 6 viajes, 1 solo camión necesitaría hacer…

3 x 6 = 18 viajes Como 1 solo camión necesitaría hacer 18 viajes, los 2 camiones tuvieron que hacer…

18: 2 = 9 viajes Solución: Ayer los 2 camiones hicieron 9 viajes cada uno.

29

9.4.3Material de apoyo:





https://www.definicionabc.com/ciencia/proporcionalidad.php https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursosdidacticos/problemas-de-proporcionalidad.

10.- REGLA DE TRES SIMPLE, COMPUESTA, PORCENTAJE. 10.1 REGLA DE TRES Es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres valores conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados. Regla de tres es la operación de hallar el cuarto término de una proporción conociendo los otros tres.

10.2REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Se utiliza cuando el problema trata de dos magnitudes directamente proporcionales. Podemos decir que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida respectivamente por el mismo número.

EJEMPLO:

30

100 * 20 = 2000 = 200 10 10

10.2.1 MATERIAL DE APOYO

 https://youtu.be/hP6F-0oDvGk 10.2.2 EJERCICIOS DE APOYO



http://www.bartolomecossio.com/MATEMATICAS/regla_de_tres_simple_y_direc ta.html

10.3 REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Se utiliza cuando el problema trata de dos magnitudes inversamente proporcionales. Podemos decir que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por un número, la otra se divide por el mismo, y viceversa.

EJEMPLO:

2 * 30 = 60 = 6 10

10

10.3.1 MATERIAL DE APOYO 

https://youtu.be/X_2Ooogxqn4

10.4 REGLA DE TRES COMPUESTA DIRECTA Será una sucesión de reglas de tres simples directas.

EJEMPLO: Tres obreros pueden fabricar 18 piezas en31 5 horas. ¿Cuantas piezas fabricaran 5 obreros en 6 horas cada uno?

OBREROS

HORAS

PIEZAS

3

5

18

5

6

X

18 = 3 * 5 X

5

6

18 = 3 X

6

= 18 = 2 X

= X = 18 * 2 = 36

PIEZAS

10.4.1 MATERIAL DE APOYO.



https://youtu.be/oWDzbIp7x_M

10.5 REGLA DE TRES COMPUESTA INVERSA Es aquella en la que las magnitudes tienen una relación inversamente proporcional con la magnitud de la que desconocemos uno de sus valores. Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra o cuando al disminuir una, aumenta la otra.

3 pintores tardan 15 días en pintar una nave industrial, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días tardarán 5 pintores trabajando 7 horas diarias?

10.5.1 MATERIAL DE APOYO 32

 https://youtu.be/kQ_K5Hho_ls 10.5.2 EJERCICIOS RESUELTO  https://ekuatio.com/regla-de-tres-compuesta-directa-e-inversa-ejerciciosresueltos-paso-a-paso/

10.6 PORCENTAJE Considerar que un dato de los porcentajes, aunque no nos lo den es 100, nos permite tratar muchos problemas de porcentaje como un tipo de regla de tres directa en la que una de las cantidades es 100.

Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7,5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

%

$

100%

8800$

7,5%

x

x = 8800 x 7, 5

= 660

100 8800 - 660 = 8140$ hay que pagar.

10.6.1 MATERIAL DE APOYO

 https://youtu.be/7PauGP5HVC8

10.6.2 EJERCICIOS  https://es.slideshare.net/JessicaPaolaLopez19831116/regla-detres-y-porcentajes

11.- Fuentes bibliográficas: 

https://youtu.be/HCx6pPHGyEQ

33

 

Fundamentos de Matemáticas para bachillerato ESPOL (libro) https://ekuatio.com/apuntes-de-matematicas/numeros-aritmetica/los-numerosracionales-fracciones/operaciones-con-fracciones-paso-a-paso/

   

https://youtu.be/bnwBXIcIi2k https://www.matesfacil.com/resueltos-potencias.htm https://www.ditutor.com/polinomios/binomio_cuadrado.html http://eca-algebra.blogspot.com/2011/08/cuadrado-de-un-binomioejercicios.html https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/algebra/cuadrado-deun-binomio-l10940http://eca-algebra.blogspot.com/2011/08/cubo-delbinomio.htm https://brainly.lat/tarea/523919l https://www.ecured.cu/Trinomio_cuadrado_perfecto







     

 



https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/algebra/trinomio-cuadrado-dela-forma-x2-bx-c-l10952



https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/algebra/trinomio-cuadrado-dela-forma-x2-bx-c-l10952

 

https://youtu.be/8rAgVL4udRI



https://youtu.be/CCdhPv4byzM



https://zonaintelectual.wordpress.com/suma-y-diferencia-de-potenciasimpares-iguales/



https://www.portaleducativo.net/septimo-basico/293/Razones-proporciones



https://youtu.be/Ft6b1UI_2C4



https://matemovil.com/razones-y-proporciones-ejercicios-resueltos/



https://neetescuela.org/propiedades-de-las-proporciones/

  

https://youtu.be/-KxpKLzKnyw

https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/algebra/trinomio-cuadrado-dela-forma-x2-bx-c-l10952

https://brainly.lat/tarea/788957 https://www.definicionabc.com/ciencia/proporcionalidad.php https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-didacticos/problemasde-proporcionalidad https://youtu.be/hP6F-0oDvGk http://www.bartolomecossio.com/MATEMATICAS/regla_de_tres_simple_y_ directa.html https://youtu.be/X_2Ooogxqn4 https://youtu.be/oWDzbIp7x_M https://youtu.be/kQ_K5Hho_ls https://youtu.be/7PauGP5HVC8 https://es.slideshare.net/JessicaPaolaLopez19831116/regla-de-tres-yporcentajes 34