UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE FILOSOFÍA NIVELACIÓN 2018-2019
ASIGNATURA: MATEMÁTICA DOCENTE: ING.ARNALDO MALDONADO TALLER GRUPAL INTEGRANTES:
Clara Soriano Jamilex Cruz Leandra Sánchez Joel Bohórquez Jean-Luc Van de Bosch Dayana Obando Odalys Camba Esther Navarrete Shirley Berruz Jessica Velasco
PARALELO: FFC-N-04-MA-12
TABLA DE CONTENIDO 1.1 Definición de ecuación…………………………………………………………….1 1.1.1Elemento de la ecuación…………………………………………………..1 2.1 Ecuaciones de primer grado……………………………………………………….2 2.1.1 Resolución de ecuaciones lineales (coeficiente entero y fraccionario)…………………………………………………………………………..2 2.1.1.1 Coeficiente entero ……………………………………………….3 2.1.1.2 Coeficiente Fraccionario………………………………………..3 2.1.1.3 Problemas……………………………………………………………4 2.1.1.4 Material de apoyo…………………………………………………5 3.1 Sistema de Ecuaciones………………………………………………………...……5 3.1.1 Definición……………………………………………………………......……5 3.1.2 Método de reducción.........................................................6 3.1.2.1 Ejercicio.....………………………………………………………….6 3.1.2.2 Material de apoyo…………………………………………………9 4.1 Ecuación Cuadrática…………………………………………………...…………….9 4.1.1 Resolución por factorización…………………………………………….9 4.1.1.1 Ejemplo…………………………………………………………….10 4.1.1.2 Material de apoyo.................................................10 4.1.2 Resolución por complementación de cuadrado...................10 4.1.2.1 Ejemplo…………………………………………………............10 4.1.2.2 Material de apoyo……………………………………………….11 4.1.3 Resolución por fórmula general……………………………………..11 4.1.3.1 Análisis del Discriminante………………..……….………...11 4.1.3.2 Ejemplo…………………………………………………………….11 4.1.3.3 Material de apoyo……………………………………………….12
5.1 Planteamiento de problema con ecuaciones……………………………...13 5.1.1 Ejercicio……………………………………………………………………….13 5.1.2 Material de apoyo………………………………………………………...14 6.1 Desigualdad…………………………………………………………………………...14 6.1.1 Ejemplo……………………………………………………………………….15 6.2 Intervalo…………………………………………………………………………………15 6.2.1 Intervalo cerrado………………………………………………………....15 6.2.1.1 Ejemplo…………………………………………………………….16 6.2.1.2 Material de apoyo……………………………………………….16 6.2.2 Intervalo Abierto…………………………………………………………..16 6.2.2.1 Ejemplo…………………………………………………………….17 6.2.2.2 Material de apoyo……………………………………………….17 6.2.3 Intervalo Semi abierto a izquierda………………………………….17 6.2.3.1 Ejemplo…………………………………………………………….17 6.2.4 Intervalo Semi abierto a derecha……………………………………18 6.2.5 Intervalo Finito……………………………………………………………..18 6.2.5.1 Ejemplo…………………………………………………………….19 6.2.6 Material de apoyo…………………………………………………………19 7.1 Inecuaciones…………………………………………………………………………..20 7.2 Pasos para resolver la inecuación…………………………………………….20 7.3 Sistema de inecuaciones de primer grado………………………………….20 7.3.1 Ejemplo……………………………………………………………………….21 7.3.2 Material de apoyo…………………………………………………………22 7.4 Inecuaciones Cuadráticas…………………………………………………………23 8.1 Bibliografía…………………………………………………………………………….26
1.1 Ecuación Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos, desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; también variables o incluso objetos complejos como funciones o vectores, los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras ecuaciones de un sistema, o algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones.
1.1.1.- Elementos de la ecuación En las ecuaciones distinguimos varios elementos: • Incógnita: La letra (o variable) que figura en la ecuación. • Miembro: Es cada una de las dos expresiones algebraicas separadas por el signo =. • Término: Cada uno de los sumandos que componen los miembros de la ecuación. • Grado: Es el mayor de los exponentes de las incógnitas, una vez realizadas todas las operaciones (reducir términos semejantes).
1
Ejemplo:
2.1 Ecuaciones de primer grado Una ecuación es de primer grado cuando
Sólo hay una incógnita (normalmente es x). La incógnita no tiene exponente. Es decir, siempre aparece como x y no de otras formas como x2 o 1/x
Algunas cosas a tener en cuenta: La incógnita sí puede ir precedida de un número, por ejemplo, 2x, pero este número sólo multiplica a la incógnita: 2x significa 2⋅x
2.1.1 Resolución de ecuaciones lineales (coeficiente entero y fraccionario)
2
2.1.1.1 Coeficiente entero 3+x−2=3+1 En el lado izquierdo tenemos los números 3 y -2 que se pueden restar. Los quitamos y escribimos el resultado de la operación: 1+x=3+1 Hacemos lo mismo en el lado derecho con 3 y 1 (sumando): 1+x=41+x=4 Ahora es el momento de cambiar de lado algunos elementos. Dejaremos las incógnitas en el lado izquierdo. Los elementos que suman en un lado pasan restando al otro y viceversa. El 1 de la izquierda está sumando, así que lo escribimos en la derecha restando: x=4−1x=4−1 Restamos el 4 y el 1 de la derecha: x=3x=3 Ya hemos resulto la ecuación porque la última igualdad nos dice que la incógnita es 3. La solución de la ecuación es 3.
2.1.1.2 Coeficiente fraccionario Si escribimos la fracción como un producto, tenemos 2/3⋅x =4 El 2 multiplica a xx, así que pasa al otro lado dividiendo: 1/3⋅x =4 / 2 El 3 divide a xx, por lo que pasa al otro lado multiplicando: 3
x=4⋅3/2 Calculamos el producto: x=12/2 Calculamos la división: x=6 La solución de la ecuación es x=6
2.1.1.3 Problemas Halla tres números consecutivos cuya suma sea 249 Llamamos x al menor de los tres números. Los números consecutivos son x+1, x+2 La ecuación es: Resolvemos:
x+x+1+x+2=249 3x + 3 = 249 3x = 246 x = 246/3 = 82
La solución: Los números son 82, 83 y 84
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2.1.1.4 Material de apoyo https://www.youtube.com/watch?v=4h2-GpUcqwQ Ejercicio Resuelto http://ecuacionesresueltas.com/primer-grado/nivel-
1/ecuaciones-primer-grado-basicas-resueltas-explicadas.html
3.1 Sistemas de ecuaciones 3.1.1. Definición Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones de primer grado, en el cual se relacionan dos o más incógnitas.
En los sistemas de ecuaciones, se debe buscar los valores de las incógnitas, con los cuales al reemplazar, deben dar la solución planteada en ambas ecuaciones. A cada una de las ecuaciones se les denomina también restricciones o condiciones. Todo sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, x e y, tiene las siguientes representaciones:
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Donde x e y son las incógnitas, y a,b,c,d,e y f son coeficientes reales (ℝ). Las incógnitas establecidas en un sistema representan el punto donde se intersectan las rectas en un plano cartesiano (x,y).
3.1.2 MÉTODO DE REDUCCIÓN Un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales es el llamado método de reducción, que consiste en simplificar el sistema realizando operaciones aritméticas entre las ecuaciones.
3.1.2.1 EJERCICIO
Si a la segunda ecuación se le suma la primera se anula la x , con lo que enseguida podemos conocer el valor de y. Se podría expresar la operación de la siguiente forma:
La ecuación resultante es equivalente a la segunda, por lo que puede intercambiarse en el sistema inicial:
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De esta nueva segunda ecuación se deduce inmediatamente que:
Con una de las incógnitas resueltas ya sólo hay que sustituir su valor en la primera ecuación para conocer x:
De modo que la solución al sistema es
Para comprobar que los cálculos son correctos se pueden sustituir los valores en cada una de las ecuaciones y ver que, efectivamente, se cumplen las igualdades. A veces será necesario multiplicar o dividir toda una ecuación por un determinado número para conseguir anular una de las incógnitas de una ecuación Ejemplo:
Se podría multiplicar la segunda ecuación por 4 y sumarla a la primera, con lo que se conseguiría eliminar y , o dividir la primera ecuación entre 2 para luego sumarla a la segunda. Mejor esta última opción, puesto que se eliminan los denominadores:
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La ecuación resultante es equivalente a la primera, así que se pueden intercambiar en el sistema:
La suma de ambas ecuaciones permite conocer el valor de y directamente:
Ahora se puede sustituir este valor en la primera ecuación para hallar el de x:
Luego, la solución al sistema es
Recordatorio: El método de reducción o de eliminación consiste en realizar operaciones aritméticas entre ecuaciones para conseguir ecuaciones equivalentes con menos incógnitas, más fáciles de despejar y calcular. Cabe recordar que si se suman, restan, multiplican o dividen todos los términos de una ecuación con un mismo número (distinto de 0) se obtiene una ecuación equivalente.
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3.1.2.2 Material de apoyo https://www.youtube.com/watch?v=Jx-ZPHpQw68 https://www.youtube.com/watch?v=v6iKv3QXqNs
4.1 Ecuación Cuadrática Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx+ c donde a, b, y c son números reales.
4.1.1 Resolución por factorización La factorización consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
4.1.1.1 Ejemplo Realizar la factorización simple de la ecuación X2 + 2x – 8 = 0
a=1
b=2
c=-8
( x + ) (x - ) = 0
(x
) (x
)=0
[x ·x = x2]
9
(x + 4 ) (x – 2) = 0
4 -2 = 2 4 * -2 = -8
x+4=0
x–2=0
x = -4
x=2
Estas son las dos soluciones.
4.1.1.2 Material de apoyo https://www.youtube.com/watch?v=ChnrjeseQaE
Ejercicio Resuelto http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RE SOURCE/U09_L2_T2_text_final_es.html
4.1.2 Resolución por complementación de
cuadrados En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c siempre la constante de a tiene que ser igual a = 1.
y
4.1.2.1 Ejemplo Para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:
4x2 + 12x – 8 = 0 4 4 4 4 x2 + 3x – 2 = 0
Ahora, a= 1. 10
4.1.2.2 Material de apoyo https://www.youtube.com/watch?v=F51pLctp69c Ejercicio resuelto http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_ TEXT_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_es.html
4.1.3 Resolución por fórmula general Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:
4.1.3.1 Análisis del Discriminante DISCRIMINANTE:
b2 -4ac ˃ 0 b2-4ac = 0 b2-4ac ˂ 0
Respuesta Reales Diferentes Respuesta Reales Iguales Respuesta de Números Complejos.
4.1.3.2 Ejemplos
X2 + 2x – 8 = 0
a = 1, b = 2, c = -8
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x = -2 ± 6 2 X1= -2 + 6 2
x2 = -2 - 6 2
X1 = 4 2
x2 = -8 2
X1 = 2
x 2= - 4
4.1.3.3 Material de apoyo https://www.youtube.com/watch?v=xmzG2xR-oBI&vl=es-419
Ejercicios Resueltos https://www.vitutor.com/ecuaciones/2/2_e.html 12
5.1
Planteamiento
de
problemas
con
ecuaciones Las ecuaciones de segundo grado se aplican a la resolución de problemas. • Comienza por leer detenidamente el enunciado hasta asegurarte de que comprendes bien lo que se ha de calcular y los datos que te dan. • Traduce al lenguaje algebraico las condiciones del enunciado y después resuelve la ecuación planteada. • Una vez resuelta la ecuación da la solución al problema. Puede ocurrir que alguna solución no valga.
5.1.1 Ejercicios o La suma de los cuadrados de dos números naturales es 313. ¿Cuáles son esos números?
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o Tres hermanos se reparten 1300e. El mayor recibe doble que el mediano y este el cuádruple que el pequeño. ¿Cuánto recibe cada uno? Planteamiento: Hermano mayor: 2 (4x) (doble que el mediano) Hermano mediano: 4x (4 veces lo del pequeño) Hermano pequeño: x (llamamos “x”a lo que recibe el pequeño) Ecuación: “Tres hermanos se reparten 1300e” o 8x+4x+x=1300 Resolución: 8x+4x+x=1300 13x=1300 x=1300/13=100 x=100 Solución: Hermano mayor: 2 (4x) = 8.100= 800 Hermano mediano: 4x = 4. 100= 400 Hermano pequeño: x = 100
5.1.2Material de apoyo https://www.youtube.com/watch?v=4irb_C8Ho6I
Ejercicio resuelto https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-problemasecuaciones.html
6.1. Desigualdad Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son: o ≠ no es igual o < menor que
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o > mayor que o ≤ menor o igual que o ≥ mayor o igual que
6.1.1. Ejemplo
6.2 Intervalos Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y contiene a todos los números reales que están comprendidos entre dos cualquiera de sus elementos. Geométricamente los intervalos corresponden a segmentos de recta, semirrectas o la misma recta real. Los intervalos de números correspondientes a segmentos de recta son intervalos finitos, los intervalos correspondientes a semirrectas y a la recta real son intervalos infinitos. Los intervalos finitos pueden ser cerrados, abiertos o semiabiertos. Sean a y b dos números reales tales que a
b.
6.2.1 Intervalo cerrado Es el conjunto de números reales formado por a, b y todos los comprendidos entre ambos. 15
[a, b] {x / a x b}
6.2.1.1. Ejemplo El intervalo [-2, 3] comprende todos los números reales entre -2 y 3. Como es cerrado incluye los extremos. Su representación gráfica es:
I= {x/-2 ≤ x ≤ 3}
6.2.1.2 Material de apoyo https://www.youtube.com/watch?v=-tyegH11pyc
6.2.2 Intervalo Abierto Es el conjunto de los números reales comprendidos entre a y b.
(a, b) {x / a x b}
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6.2.2.1 Ejemplo El intervalo (1, 4) corresponde a todos los números reales entre 1 y 4. Es abierto pues no incluye a los extremos. Gráficamente:
I= {x/1 ˂ x ˂4}
6.2.2.2 Material de apoyo https://www.youtube.com/watch?v=-tyegH11pyc
6.2.3 Intervalo Semi abierto a izquierda (o
semicerrado a derecha) Es el conjunto de números reales formado por b y los números comprendidos entre a y b.
(a, b] {x / a x b} 6.2.3.1 Ejemplo El intervalo (0, 5] comprende todos los números reales entre 0 y 5 incluyendo el extremo 5. Se trata de un intervalo semiabierto a izquierda o bien semicerrado a derecha. Su gráfica es:
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I = {x/ 0 ˂ x ≤ 5 }
6.2.4 Intervalo semiabierto a derecha (o
semicerrado a izquierda) Es el conjunto de números reales formado por a y los números comprendidos entre a y b.
[a, b) {x / a x b}
6.2.5 Intervalo Finito
[a, +) {x / x a}
(, b] {x / x b}
(a, +) {x / x a}
(, b) {x / x b}
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(, + ) R
6.2.5.1 Ejemplo El intervalo es infinito y comprende todos los números reales mayores o iguales a 1. Gráficamente:
I= {x/x ≥ 1 } El intervalo es infinito y comprende todos los números reales menores que 3. Su gráfica es:
I= { x/x ˂ 3}
6.2.6 Material de apoyo https://www.youtube.com/watch?v=mklq6aIHPXc https://www.youtube.com/watch?v=P5B-5LTS7uo
Ejercicios Resueltos https://www.vitutor.com/di/re/r4e.html
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7.1 Inecuaciones Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas Por ejemplo, son inecuaciones: X2−3x+4<3x+1 2x2−x+1≥2−x2
7.2 Pasos para resolver la inecuación o Se resuelve la ecuación asociada que se obtiene al sustituir el signo de desigualdad por el signo de igualdad. o Se señalan las soluciones de la ecuación en la recta real. o Se utiliza un número de cada intervalo de la recta delimitada por las soluciones de la ecuación y se comprueba si cumple la inecuación. Las soluciones de la ecuación también deben tenerse en cuenta. o Finalmente, la solución es la unión de todos los intervalos cuyos números elegidos en el punto anterior cumplen la inecuación.
7.3 Sistema de inecuaciones de primer grado Las desigualdades de primer grado se resuelven igual que las ecuaciones de primer grado, la solución va a cambiar depen diendo de la notación que tenga la desigualdad .
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7.3.1 Ejemplo
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7.3.2 Material de apoyo https://www.youtube.com/watch?v=aAsD-aPY-YM
Ejercicio Resuelto https://www.vitutor.com/ecuaciones/ine/ineActividades.html 22
7.4 Inecuaciones Cuadráticas La inecuación cuadrática o de segundo grado : x 2 − 6x + 8 > 0 La resolveremos aplicando los siguientes pasos: 1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado. x 2 − 6x + 8 = 0
2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
P(0) = 0 2 − 6 · 0 + 8 > 0 P(3) = 3 2 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0 P(5) = 5 2 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
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3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el po linomio.
S = (-∞, 2)
(4, ∞)
x 2 + 2x +1 ≥ 0 x 2 + 2x +1 = 0
(x + 1) 2 ≥ 0
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la Solución x 2 + 2x +1 ≥ 0
(x + 1) 2 ≥ 0
x 2 + 2x +1 > 0
(x + 1) 2 > 0
x 2 + 2x +1 ≤ 0
(x + 1) 2 ≤ 0
x 2 + 2x +1 < 0
(x + 1) 2 < 0
x = − 1
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solución es x 2 + x +1 > 0 x 2 + x +1 = 0
Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si: El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es . El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.
Solución x 2 + x +1 ≥ 0
x 2 + x +1 > 0
x 2 + x +1 ≤ 0 x 2 + x +1 < 0
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7.7.1 Material del apoyo https://www.youtube.com/watch?v=NHARpvYx2xU
Ejercicios resueltos https://www.vitutor.net/2/9/inecuaciones_cuadraticas.html
8.1 Bibliografía https://www.youtube.com/watch?v=4h2-GpUcqwQ http://ecuacionesresueltas.com/primer-grado/nivel1/ecuaciones-primer-grado-basicas-resueltas-explicadas.html
https://www.youtube.com/watch?v=Jx-ZPHpQw68 https://www.youtube.com/watch?v=v6iKv3QXqNs https://www.youtube.com/watch?v=ChnrjeseQaE http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_ TEXT_RESOURCE/U09_L2_T2_text_final_es.html https://www.youtube.com/watch?v=xmzG2xR-oBI&vl=es-419 https://www.vitutor.com/ecuaciones/2/2_e.html https://www.youtube.com/watch?v=4irb_C8Ho6I https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltosproblemas-ecuaciones.html https://www.youtube.com/watch?v=-tyegH11pyc https://www.youtube.com/watch?v=-tyegH11pyc https://www.youtube.com/watch?v=mklq6aIHPXc https://www.youtube.com/watch?v=P5B-5LTS7uo https://www.vitutor.com/di/re/r4e.html https://www.youtube.com/watch?v=aAsD-aPY-YM https://www.vitutor.com/ecuaciones/ine/ineActividades.html https://www.youtube.com/watch?v=NHARpvYx2xU
https://www.vitutor.net/2/9/inecuaciones_cuadraticas.html
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