Rel 2014 matemáticapontal anexo 50 by Estagiário PIBID

HipĂŠrbole Matheus Eduardo da Silva Ramos Michael Julian Alves Milcilene Aparecida Natalia Fernandes da Costa Sirly Henrique Junquera ThaĂs Francisca Arantes Yann Almeida Batista

Z I U

Questão 01 Construa o gráfico da hipérbole cuja equação é: x² - y² = 1. 9 16 Determine eixo real, eixo imaginário, e distância focal.

Questão 02 Qual a equação da hipérbole a seguir?

a) y² - x² = 1 a² b²

Questão 03

b) x² - y² = 1 a² b² c) (x-xo)² - (y-yo)² = 1 a² b² d) (x-0)² - y² = 1 a² b² e) (y-yo)² - (x-xo)² = 1 a² b²

Assinale as equações que indicam hipérboles horizontais:

Questão 04 De acordo com a equação -(x-2)² + (y-3)², 16 9 determine: a) Distancia focal b) Eixo transverso ou real c) Eixo imaginário d) Excentricidade e)Esboce o gráfico da hipérbole

Atividades Atividade 1

Abrir a tela do GeoGebra. Em seguida, realizar os procedimentos para a construção das parábolas, mostrando a relação que há entre os coeficientes a, b e c da função f(x)=ax2+bx+c e sua representação no plano cartesiano. Entrar no menu exibir e marcar a opção malha.

Digitar na Barra de Entrada a função dada, exemplo f(x) = x2- 2x - 3 e clicar em Enter, repetir o processo com outras funções.

Observar onde a parábola corta o eixo “x”(raízes), e sua concavidade depois vai a interseção de dois objetos, em seguida, clicar sobre a parábola e sobre o eixo x. Atividade 2

Criar um objeto a (coeficiente de x2), digitando a=2 na Barra de Entrada, que após clicar Enter, aparecerá na coluna que está do lado esquerdo na tela. Clicar sobre o objeto a com o botão direito do mouse, e

selecionar a opção exibir objeto. Repetir o processo do item anterior para criar os objetos b (coeficiente de x) e c (termo independente).

4. 5.

Digitar na Barra de Entrada a função f(x)=a*x^2+b*x+c e clicar em Enter. Para observar a relação do coeficiente a com a curva, deve-se selecionar a ferramenta mover, em seguida, clicar sobre a bolinha dos valores de a que aparece na tela principal sobre uma reta, e movê-la. Haverá uma alteração de valores, que poderá ser observada graficamente.

Para observar a relação que há entre o coeficiente b e a curva, deve-se clicar sobre a bolinha dos valores de b e movê-la.

Para observar a interferência do termo independente c, na função, deve se clicar sobre a bolinha dos valores de c e movê-la.

geogebra online: http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO TRIÂNGULO MINEIRO - Campus Ituiutaba CURSO TÉCNICO EM AGROINDÚSTRIA INTEGRADO AO ENSINO MÉDIO 3º ANO

Adrielle Dias Amanda Franco Gerson Cassiano Jander Costa Júlia Durães Júlio Henrique Maressa Duarte Nayara Gabriela Thaciane Portela Thalía Rissa Victor Oliveira

Parábola

Prof. Carlos Eduardo Boiago Petronilho

ITUIUTABA, MG 2014

Sumário Histórico ............................................................................................................................. 3 Definição ............................................................................................................................ 4 Componentes da párabola .................................................................................................... 4 Equação reduzida da parábola .............................................................................................. 4 Concavidade da parábola ...................................................................................................... 5

Intersecção da parábola e Coordenadas do vértice .......................................................... 6 Excentricidade da parábola .................................................................................................. 7 Aplicações da parábola ........................................................................................................ 8 Referências ......................................................................................................................... 9

Histórico ► Menaecmus foi o primeiro matemático a referir a parábola e a hipérbole como ferramentas de resolução do problema da duplicação do cubo. Este estudo levou-o a perceber que a parábola se obtém através do corte efetuado num cone reto por um plano perpendicular à geratriz, se o plano é paralelo apenas a uma geratriz, a curva obtida é uma parábola.

► Arquimedes foi um célebre cientista, matemático e inventor grego que é muitas vezes lembrado pelo Princípio de Arquimedes. É atribuído a Arquimedes a notável determinação da área de um segmento parabólico. Provou que a área da figura formada por um arco de parábola e um segmento de reta é igual a 4/3 da área de um triângulo cuja base seja o mesmo segmento e cujo terceiro vértice seja a intersecção de uma tangente à parábola que seja paralela ao segmento dado. ► Galileu foi um Astrónomo e Matemático italiano que entre muitas outras descobertas científicas provou que a Terra se move em volta do Sol. Galileu usou a parábola para descrever o movimento dos projeteis .

Definição ► Parábola é o conjunto dos pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo F e de uma reta fixa d, F Ɇ d, do plano.

► Se P é equidistante de F e d, isto é, d(F,P)=d(P,d), P pertence à parábola. Assim, P é chamado de parâmetro da parábola.

Componentes da Parábola Foco da parábola: ponto F Reta diretriz : é a reta d Eixo de simetria: é a reta que passa pelo foco F e é perpendicular à diretriz Vértice da parábola: é o ponto V, ponto médio do segmento FD, isto é, VF= VD

Equação reduzida da parábola ► Parábola com vértice na origem e eixo de simetria sobre o eixo y , assim: d( P,F) = d( P,d)

√(x-o)2 + (y-p)2 = √(x - x)2 + (y + p)2 ou através da equação

► Com essa relação de distâncias chegamos a equação reduzida da parábola de foco (0, p) e diretriz y= -p 4

y2= 4px ou x= y2/4p

► Parábola com vértice na origem e eixo de simetria sobre o eixo x. Troca-se o x por y nas equações anteriores e obtem-se :

X2= 4py ou y= x2/4p

Concavidade da parábola ► Se p >0 ou ( a > 0), a parábola tem a concavidade voltada para cima. ► Se p <0 ou (a < 0), a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

► Se p > 0, a parábola tem a concavidade voltada para a direita. ► Se p < 0, a parábola tem a concavidade voltada para a esquerda.

Intersecção da parábola e Coordenadas do vértice ► A parábola representa o gráfico da função de 2° grau. Conhecendo a equação de 2º grau a intersecção se dá quando o f(x)=y=0. Logo, os pontos no eixo x são as raízes da função: f(x) = ax2 + bx + c

► A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido na equação: ∆=b2−4ac

► Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

► Na determinação do vértice da parábola tem-se que encontrar o par ordenado de pontos que constituem as coordenadas da parábola, que pode ser calculado com base nas expressões matemáticas envolvendo os coeficientes da função do 2º grau.

V (XV,YV)

► Sendo que

Xv= −b / 2a e Yv = −∆ / 4a

► A partir do foco e da diretriz, é possível determinar o vértice V (Xv, Yv) e o valor do c, encontrando assim a equação e a posição da parábola no plano. ► Assim, é visto que quando o ∆ > 0, haverá dois pontos de intersecção na parábola pois terá duas raízes reais. Se a > 0 a concavidade é voltada pra cima. ► Se ∆ = 0, haverá apenas um ponto de intersecção na parábola, admitindo uma raiz real. ► Se ∆ < 0, não haverá ponto de intersecção na parábola, pois não admite raiz real

Excentricidade da Parábola A excentricidade (e) da parábola indica a razão das distâncias de qualquer um dos seus pontos ao foco e à diretriz. Tem-se, portanto, e = 1.

=1 7

Aplicações da parábola ► A parábola é uma curva plana muito utilizada no dia-a-dia, embora na maioria das vezes as pessoas não percebam que estão se servindo dessa figura tão importante. Exemplo: ao acendermos os faróis do carro, os raios de luz, provenientes da lâmpada, incidem num espelho parabólico e são refletidos paralelamente ao eixo de simetria.

► Em uma região da França onde a incidência de luz do Sol é intensa, foi construído um grande espelho côncavo, que é usado como “forno solar”. Como a distância do Sol à Terra é de cerca de 150 milhões de quilômetros, quando o feixe de luz solar nos atinge seus raios já estão praticamente paralelos. Portanto, ao se refletirem no espelho, os raios desse feixe convergem para seu foco, onde haverá uma grande concentração de energia, tanto luminosa quanto térmica. Assim, no foco do espelho há uma elevação de temperatura e, nesse ponto, é colocado o dispositivo que irá utilizar a energia concentrada.

► As antenas parabólicas, apesar de não refletirem luz, são espelhos. Se as ondas eletromagnéticas emitidas por um satélite, atingirem a antena parabólica, ocorrerá a reflexão desses raios a um ponto chamado foco da parábola, onde está um aparelho

receptor que converterá as ondas eletromagnéticas em um sinal que a TV transformará em ondas, que serão os programas que passam e as pessoas assistem diariamente.

► As pontes pênseis ou suspensas, juntas com as estaiadas, são aquelas que possibilitam os maiores vãos. Nelas o tabuleiro contínuo é sustentado por vários cabos metálicos atirantados ligados a dois cabos maiores que, por sua vez, ligam-se às torres de sustentação. Nas pontes pênseis os tirantes são espaçados regularmente, então a carga da ponte é uniformemente distribuída nos cabos e estes formam uma parábola.

Referências Internet ► MACHADO, M.T.G; PARÁBOLAS – AS CURVAS PRECIOSAS. Acesso no dia 16 de maio,2014. Disponível em < http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pde/mirtes-parabolascurvas-preciosas.pdf > ► Função quadrática. Acesso no dia 16 de maio,2014. Disponível em < http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php > 9

► Parábola. Acesso no dia 16 de maio,2014. Disponível em < http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/parabola.htm > ► CAMPAGNER, C.A; Parábola (1): Estudo do gráfico da função quadrática . Acesso no dia 16 de maio,2014. Disponível em < http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/parabola-1-estudodo-grafico-da-funcao-quadratica.htm > ► Cônicas. Acesso no dia 16 de maio,2014. Disponível em < http://www.mat.uc.pt/~adsg/AM4conicas.pdf > ►Breve História. Acesso no dia 16 de maio,2014. Disponível em < http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm26/brevehistoria.htm > ► Cônicas- Parábola. Acesso no dia 16 de maio,2014. Disponível

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/AulaParabola.pdf >

Livro ► Giovanni, J.R e Bonjorno, J.R; Matemática completa -2 ed. Renov.- São Paulo:FTD, 2005.- coleção matemática completa. Pág – 124 à 128.

A parábola É uma curva plana que se obtém quando um plano intercepta um cone reto de modo paralelo à sua geratriz. Na parábola, todos os pontos estão a uma mesma distância de um ponto fixo, denominado foco, e de uma reta fixa, chamada diretriz. Se o conjunto dos pontos de um plano equidistante de um ponto fixo F e de uma outra reta fixa D A parábola vamos obter. Temos também o eixo de simetria que é a reta que passa pelo foco e é perpendicular á diretriz D E tem o vértice da parábola que é o ponto V Se o eixo de simetria é sobre o eixo Y com vértice na origem, descobrimos a equação reduzida da parábola de foco (0,p) e diretriz y= - p

Y2 = 4XP

Mas, se o eixo de simetria for sobre o eixo X a troca XY deve fazer pra equação ser Pra parábola feliz ser P> 0 deve ter O contrário, se P < 0 for A parábola será um horror Se p >0 e x> 0 for Concavidade pra direta deve por Se p< 0 e x<0 acontecer Concavidade pra esquerda deve mover. A parábola é a mais fantástica, Pois representa a função quadrática. E pra função valer, A equação de ∆ você deve saber. A partir dai as raízes reais que obter da formula de Bhaskara Vai ser os pontos de intersecção da parábola. E para a parábola montar O vértice ( Xv,Yv) você deve encontrar Sendo Xv= -B/2a e Yv= -∆/4 a Essas formulas vc deve guardar Lembrando que quando ∆>0 for Dois pontos de intersecção na parábola vou por.

X2 = 4YP

Se ∆=o um ponto resolve o mistério. Mas, se ∆ for menor que 0 Nenhum ponto vai ser certo, pq é muito complexo. Enfim, meus amigos, a parábola é bastante utilizada. Dos faróis de carro, raios de luz à lâmpada usada. O foco, o vértice ou usando o eixo de simetria Isso tudo se faz rimar nossa poesia. E se algo aqui vc não entendeu Na aula do Cadu ele vai explicar Melhor do que eu!!...

Elipse

História • No período de 300 a 200 anos a.C., na chamada “Idade Áurea”, um dos grandes destaques foi Apolônio de Perga, este desenvolveu o conceito das secções cônicas (parábola, hipérbole e elipse).

• As secções cônicas, são as curvas que resultam da intersecção de um plano com uma superfície cônica. • Elas representam uma parte muito importante no estudo da matemática. As suas equações e os seus gráficos são muito utilizados em vários ramos da matemática, pois, são muitas as aplicações de cônicas na história da sociedade. • Apolônio de Perga ficou conhecido como “O Grande Geómetra”, tendo deixado uma vasta obra, que em muito contribuiu para o desenvolvimento matemático, apesar de se terem perdido vários dos seus trabalhos ao longo dos anos.

• Antes do tempo de Apolônio, as cônicas eram obtidas como secções de três tipos diferentes de cone circular reto, conforme o ângulo no vértice fosse agudo, reto ou obtuso. • Apolônio mostrou então que não e necessário tomar secções perpendiculares a um elemento do cone e que, variando a inclinação do plano de secção, as três espécies de cônicas podiam ser obtidas de um único cone; também introduziu os nomes elipse, parábola e hipérbole e estudou as retas tangentes e normais a uma cônica.

• Coube a Pierre de Fermat (1601-1665) a descoberta das equações cartesianas da reta e da circunferência, e as equações mais simples da elipse, da parábola e da hipérbole. Ele aplicou uma transformação equivalente à atual rotação de eixos para reduzir uma equação do 2° grau à sua forma mais simples.

Origem • Para descobrir a elipse é necessário fazer um corte inclinado em um cone circular reto, que intersecte todas as geratrizes do cone.

Elipse

Definição e elementos • Considere inicialmente, dois pontos fixos F1 e F2 (focos) tais que a distância entre eles seja 2c, esta distância é denominada distância focal. F2

• Marcaremos então uma serie de pontos de forma que suas distâncias aos pontos fixos F1 e F2 seja sempre constante e maior que 2c.

O segmento de reta que passa pelos dois focos da elipse chama-se eixo maior (vermelho)

E o segmento de reta que passa pelo ponto mĂŠdio do eixo maior e ĂŠ perpendicular a ele chama-se eixo menor (azul)

Os elementos da elipse são: O centro (C, que e a intersecção dos eixos da elipse e ponto médio de F1F2, AA’, BB’) ; O eixo maior (AA’ = 2a); o eixo menor (BB’ = 2b); os focos (F1 e F2); e os vértices (A, A’, B, B’).

• Assim definimos que elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano, tais que a soma de suas distâncias a dois pontos fixos, F1 e F2, seja constante, igual a 2a e maior que a distância entre os focos (2a > 2c).

Excentricidade • Fixando o comprimento do eixo maior e diminuindo o comprimento do eixo menor, obtêm-se elipses cada vez mais próximas de um segmento de reta. • A Excentricidade indica quando a elipse se aproxima de um segmento de reta ou de uma circunferência, conforme seu valor se aproxima de 1 ou 0. (0 < e < 1)

2c a c

Excentricidade é a razão entre a distância focal e o eixo maior, logo:

e=c a Observação Importante ! 1º) BF2 = CA’, pois ambos tem medida a; 2º) No triangulo BCF2, podemos notar que a²= b² + c²

Métodos de construção da Elipse Método do jardineiro O método do jardineiro consiste em espetar duas hastes verticais no chão, atar as extremidades de uma corda a uma das hastes e com um pau encostado à corda ir traçando a elipse no chão, mantendo sempre a corda esticada. O comprimento da corda deve, obviamente, ser superior à distancia entre as hastes.

Método do alongamento O método do alongamento da circunferência consiste em, partindo de uma circunferência de um determinado diâmetro, com centro na origem de referencial, multiplicar as abcissas de todos os pontos da circunferência por um fator de alongamento. O diâmetro deve ser igual ao eixo menor da elipse que se pretende traçar. O fator de alongamento deve ser escolhido por forma a que quando multiplicado pelo diâmetro da circunferência dê a medida do eixo maior da elipse.

Equações da Elipse • Primeiramente, vamos considerar a elipse com as extremidades do eixo maior nos pontos A1(-a,0) e A2(a,0), do eixo menor em B1(0,b) e B2(0,-b), e consequentemente, o centro O(0,0). Consideremos também, um ponto P(x,y) qualquer da curva. • Pela definição observamos que: PF1+PF2=A1F1+A1F2= A1A2=2a

(

• Se os focos da elipse estão sobre o eixo Oy e o centro na origem, conforme a figura a equação o reduzida da elipse e dada por:

Exemplos 1- Vamos determinar a equação da elipse de focos F1(3, 0) e F2(-3, 0),

e vértices que são a extremidade do eixo maior A1(5, 0) e A2(-5, 0).

2- Uma elipse tem os focos nos pontos F1(0,3) e F2 (0, -3). Se o comprimento do eixo menor da elipse é 2, vamos determinar a equação dessa elipse.

Considerando o centro da elipse um ponto qualquer O(x,y) e os eixos paralelos ao eixos X e Y: 1ยบ)F1F2 e paralelo ao eixo X, a= OA1=B1F1, b = OB1 e a>b.

2ยบ) F1F2 e paralelo ao eixo Y, a= OA1=B1F1, b = OB1 e a>b.

Exemplo • Encontre a equação da elipse abaixo: B(6, 10) F1(2, 7) F2(10, 7)

Aplicações • As primeiras aplicações apareceram no início do século XVII. • A astronomia encontrou, nas secções cônicas, grande aplicação. Copérnico, Kepler, Halley e Newton, por exemplo fizeram uso de suas configurações para explicar fenômenos físicos como a trajetórias dos planetas ou a trajetória descrita por um projétil.

• Há uma propriedade usada na reflexão da luz e de ondas sonoras: “Qualquer luz ou sinal que dispare de um foco será refletido em direção ao outro foco”.

• Também encontramos formas elípticas na arquitetura e na engenharia.

Atividade no GeoGebra

Atividades 1) (ITA-SP) A distância focal e a 2) Vamos determinar os focos excentricidade da elipse com e as extremidades do eixo centro na origem e que passa maior da elipse de equação pelos pontos (1, 0) e (0, -2) são 4x²+25y²=100. respectivamente: a) √3 e ½ b) ½ e √3 c) (√3)/2 e ½ d) √3 e (√3)/2 e) 2√3 e (√3)/2.

Conclusão • Concluímos que graças a Apolônio de Perga, ouve uma grande evolução nos conhecimentos sobre as cônicas (Elipse, Parábola e Hipérbole). • Aprendemos que existem varias aplicações de elipse em nossas vidas e que existem vários métodos para sua construção, e que cada uma possui uma equação que varia de acordo com os focos da elipse e sua localização cartesiana .

Referências(acessado em:) • http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:ElipseAnimada.gif (11/04/2014) • http://pt.wikipedia.org/wiki/Elipse (11/04/2014) • http://www.ebah.com.br/content/ABAAAesbYAB/conicas-historiaapresentacao-aplicacoes (12/04/2014) • http://pt.slideshare.net/hpaivajunior/aplicaes-da-elipse (19/04/2014) • http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm33/historia.htm (19/04/2014) • http://www.matematicaemexercicios.com/aulas/conicas/conicas.html (24/04/2014)

• http://estatisticando-elipse.blogspot.com.br/2009/12/conicas-elipse.html (19/04/2014) • http://www.dignow.org/posts/elipse (19/04/2014) • http://www.trabalhosfeitos.com/ensaios/Trabalho-De-Matem%C3%A1ticaSec%C3%A7%C3%A3o-C%C3%B4nica/343595.html (19/04/2014) • http://www.profcardy.com/exercicios/assunto.php?assunto=Elipse (24/04/2014) • Dante. Matemática: Conceito e Aplicação, 1º edição. São Paulo. Editora Cármen Matricardi, Volume 3.

Alunos: Anelise Queiroz Daruick Fagundes Cunha Giullia Hanna Dib T. D. Santos João Vitor S. Clementino Lucca Manzi Furtado Luiz Henrique A. Barbosa Paulo Gustavo Lima Rafaela Luiza Franco Penha Thaís Ferreira de Menezes Thales Divino Lemes

3º informática - IFTM PROF.: Carlos Eduardo

Elipse

Geometria- História A palavra geometria é de origem grega, que deriva do grego geo (terra) e metron (medida).Originalmente, o assunto da geometria de medição era terra. Com o tempo, no entanto, tanto o sujeito como o método de geometria foram alterados.

Os gregos, porém, não eram muito bons em álgebra. Mais do que isso, somente no século XVII a álgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a geometria.

Ocorre porém que o fato de haver condições para uma descoberta não exclui o toque de genialidade de alguém. E no caso da geometria analítica, fruto dessa fusão, o mérito não foi de uma só pessoa. Dois franceses, Pierre de Fermat (16011665) e René Descartes (1596-1650).

A descoberta da elipse.

(Menecmo/ Menaechmus) descobriu a elipse pesquisando sobre a parábola e a hipérbole, pois ofereciam as propriedades necessárias para a solução da duplicação do cubo.

A elipse como curva geométrica foi estudada por (Menecmo/ Menaechmus) investigados por Euclides, e seu nome é atribuído a Apolônio de Perga. O foco e a diretriz da seção cônica de uma elipse foram estudados por Pappus.

O tratado sobre as c么nicas estava entre algumas das mais importantes obras de Euclides, por茅m se perdeu pelo fato do trabalho escrito por Apol么nio ser mais extenso.

A obra de nível mais avançado foi precisamente àquela feita por Apolônio de Perga, que substituiu qualquer estudo anterior. O tratado sobre as Cônicas certamente foi uma obra-prima de Apolônio e teve grande influência no desenvolvimento da matemática. Devido fundamentalmente a este estudo sobre as cônicas ele era conhecido como o "Geômetra Magno".

O que é elipse? Definição: Dados dois pontos quaisquer do plano F1 e F2 e seja 2c a distância entre eles, elipse é o conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a.

Comparação:

Como fazer uma elipse.

Os elementos da elipse são: o centro, o eixo maior, o eixo menor, os focos e os vértices. Os eixos de simetria da elipse são: x=0 e y=0.

F1 e F2 → são os focos C → Centro da elipse 2c → distância focal 2a → medida do eixo maior • 2b → medida do eixo menor • c/a → excentricidade • • • •

Excentricidade.

Quando a excentricidade é 1 digamos que é uma reta, enquanto se for 0 é um círculo perfeito. Excentricidade é representada pela letra e. Dada pelas seguintes fórmulas:

Como obter a equação reduzida da elipse? Para o estudo que vamos fazer consideremos que a elipse tem os focos sobre o eixo dos xx e é centrada na origem, ou seja, no ponto (0,0) . Designaremos os focos da elipse por F1,F2 e por V1 ,V2, V3, V4 os seus vértices.

F1(-c,0) V1(-a,0) V3(0,b) F2(c,0) V2(a,0) V4(0,-b)

Equação Geral do Elipse d(F1,P1) + d(F2,P2)= 2a √((x+c)² ) (y-0)²+ √((x-c)² )+(y-0)²=2a √((x+c)² )+y² = 2a - √((x-c)² )+y² (√((x+c)² )+y² )²=(2a -√((x-c)² )+y² )² (x+c)²+y²=4a²-4a( √((x-c)² )+y²)+ x² - 2cx + c² + y² 4a(√(x-c)+y² )=4a²-4cx a√(x-c)+y²=(4a²-4cx)/4 a²[(x-c)+y²] =(a²-xc)² a²(x²-2xc+c²+y²=a^4-2a²+c² x² a²x²-c² x²+a²y²=a²(a²-c²)

Equação Reduzida da Elipse. Como a > c então a2 - c2 > 0. Temos a2-c2=b2, pelo teorema de Pitágoras. b²x² - a²y² = a²b² b²x²/a²b² - a²y²/a²b² = a²b²/a²b² x² + y² = 1 a² b²

E quando a dist창ncia focal estiver no eixo Y?

Nesse caso a < b, utilizamos a mesma fórmula. b²x² - a²y² = a²b² b²x²/a²b² - a²y²/a²b² = a²b²/a²b² x²/a² + y²/b² = 1

E quando a elipse n達o tiver como centro (0,0)?

Utilizamos a fórmula anterior, porém com variação para nos valores de X e Y.

Aplicação prática • Jardinagem

• Astronomia

Responda rรกpido...

Certo ou errado. Errado ou certo. O Sol ocupa o centro da trajetória elíptica descrita pelo planeta quando este completa seu período.

Errado. O Sol ocupa um dos focos da elipse.

Complete e explique. Os planetas mais próximos do Sol completam a sua revolução num tempo que os mais distantes.

Menor. Explicação: de acordo com a 3a lei de Kepler (lei dos períodos).

Seja a suposta equação reduzida da elipse de Mercúrio x²/10 + y²/8 = 1, quais são os 2 possíveis locais onde encontramos o sol.

Com a suposta fórmula da elipse do Mercúrio x²/10 + y²/8 = 1 , determine a excentricidade.

ReferĂŞncias: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/el ipse.htm http://www.guidg.com/docs/mat/alga1_conicas-2-elipses.pdf http://www.sato.prof.ufu.br/Conicas/node2.ht ml http://www.youtube.com/watch?v=q0q6ezcBKg U http://www.slideshare.net/Guaxinin/elipse-2

IFTM- Campus Ituiutaba 3º ano Agroindústria Integrado ao Ensino Médio. Disciplina: Matemática Prof.: Carlos Eduardo Alunos(as): Karine Laura Lauriane Lázaro Lunamaris Luana Lorena Maressa Mariana Matheus Mona Isa

Matheus Eduardo da Silva Ramos Michael Julian Alves Milcilene Aparecida Natalia Fernandes da Costa Sirly Henrique Junquera ThaĂs Francisca Arantes Yann Almeida Batista

Questão 01 Construa o gráfico da hipérbole cuja equação é: x² - y² = 1. 9 16 Determine eixo real, eixo imaginário, e distância focal.

Questão 02 Qual a equação da hipérbole a seguir?

Questão 03 a) y² - x² = 1 a² b² b) x² - y² = 1 a² b² c) (x-xo)² - (y-yo)² = 1 a² b² d) (x-0)² - y² = 1 a² b² e) (y-yo)² - (x-xo)² = 1 a² b²

Assinale as equações que indicam hipérboles horizontais:

Questão 04 De acordo com a equação -(x-2)² + (y-3)², 16 9 determine: a) Distancia focal b) Eixo transverso ou real c) Eixo imaginário d) Excentricidade e)Esboce o gráfico da hipérbole

IFTM – Campus Ituiutaba Trabalho de Matemática Professor: Carlos Eduardo Petronilho Boiago 3º ano de Agroindústria

Parábola

Alunos

Adrielle Dias

Maressa Duarte

Amanda Franco

Nayara Gabriela

Gerson Cassiano

Thaciane Portela

Jander Costa

Thalía Rissa

Júlia Durães

Victor Oliveira

Júlio Henrique

Introdução As cônicas são curvas planas obtidas por intersecção de um cone circular reto com um plano. Se o plano intersecta todas as geratrizes do cone, a curva obtida é uma elipse. Se o plano é paralelo apenas a uma geratriz, a curva obtida é uma parábola. Se o plano é paralelo a duas geratrizes, a curva obtida é uma hipérbole.

Introdução

Equação Geral das Cônicas: Ax2+Bxy +Cy2 + Dx+Ey +F = 0 com A, B, C, D, E, F ∈ IR, sendo A, B e C não simultaneamente nulos.

Se B2 −4AC < 0, (1) é a equação de uma elipse. Se B2 −4AC = 0, (1) é a equação de uma parábola. Se B2 −4AC > 0, (1) é a equação de uma hipérbole.

Parรกbola

Histórico

Quando e como descobriram a parábola?

Qual a sua importância?

Introdução

A parábola é uma curva plana, obtida através da intersecção da superfície de um cone com um plano paralelo a uma das geratrizes, e é simétrica.

Introdução

Outra definição aceita é que parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de F e d, sendo F Ɇ d.

Elementos da Parábola

F : foco d : reta diretriz V: vértice ⇒ o ponto mais baixo, ou mais alto, mais à esquerda, ou mais à direita. e : eixo de simetria ⇒ reta que passa pelo foco e pelo vértice e é perpendicular a d.

Equação Reduzida da Parábola

Aplicações da Parábola Faróis de automóveis

Aplicações da Parábola Forno solar

Aplicações da Parábola Antena Parabólica

Aplicações da Parábola Pontes Pênseis

Aplicações da Parábola Outras...

Demonstração... Encontre as coordenadas do foco e do vértice da parábola: (y – 3) = 12 (x – 2)

Resposta: V (5, 3) P = 3, logo F (5,3)

Conclusão Função quadrática;

Construção de objetos;

Prática.

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