V Semana de Matemática do Pontal & I Colóquio de Análise Matemática do Pontal Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Ciências Integradas do Pontal 28 a 30 de outubro de 2014
OFICINA DE TANGRAM: UMA EXPERIÊNCIA DO PIBID
Luciana de Kássia Catarina Amaral Santos, Cassia Silva Costa, Odaléa Aparecida Viana, Silvia Aparecida de Jesús. Universidade Federal de Uberlândia, Universidade Federal de Uberlândia, Universidade Federal de Uberlândia, Universidade Federal de Uberlândia. luciana@mat.pontal.ufu.br, cassia@mat.pontal.ufu.br, odalea@pontal.ufu.br ,silvia@mat.ufu.br
Resumo O trabalho relata uma oficina ministrada a licenciandos e professores supervisores do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação a Docência (PIBID), Subprojeto de Matemática da Faculdade de Ciências Integradas do Pontal. Os participantes tiveram a oportunidade de conhecer e construir o jogo Tangram a partir de recortes feitos me um quadrado. Por meio da exploração das peças do quebra-cabeça, foram revistos conceitos matemáticos como classificação de triângulos quanto à medida de lados e ângulos, frações, medidas de área e perímetro e semelhança de triângulos, entre outros. A teoria utilizada foi pautada nos níveis de formação conceitual de Van Hiele e nas habilidades geométricas de Hoffer. Espera-se que o trabalho possa contribuir com o processo de formação dos saberes necessários para a atuação docente, em que se evidenciou o conhecimento do conteúdo matemático e também o pedagógico – incluindo o estabelecimento de objetivos para o ensino da geometria do ensino fundamental. Palavras-chave: Tangram; jogo; aprendizagem matemática.
Introdução Nas aulas de matemática do ensino fundamental, trabalhar de forma lúdica tem sido uma opção metodológica cada vez mais frequente; no entanto, torna-se necessário conhecer a potencialidade dos materiais utilizados. O professor deve saber quais objetivos podem ser alcançados com esse tipo de trabalho, sendo necessário estabelecer os conceitos a serem formados e as habilidades a serem desenvolvidas nos alunos, conforme defende Lorenzato (2006).
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Um dos materiais conhecidos é o Tangram, um jogo de quebra-cabeça chinês – Tchi Tchiao Pan, “os sete pedaços inteligentes” – formado por sete polígonos e que pode ser utilizado como um meio de construção e fixação de conteúdos relativos à geometria elementar. Ao que parece, este jogo, cujas peças são mostradas na Figura 1, é pouco explorado no ensino básico.
Figura 1. Figuras construídas com peças do Tangram.
No subprojeto Matemática Pontal do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação a Docência (PIBID) foi realizada uma sondagem com os integrantes do grupo e constatado que poucos conheciam as formas de utilização do Tangram, ou seja, o mesmo era visto como um jogo e não como um meio de explorar os conteúdos. Diante da constatação – e ciente de que faz parte da formação do professor de matemática o conhecimento sobre a potencialidade de recursos didáticos – a coordenadora do subprojeto organizou a Oficina de Tangran tendo como objetivos relembrar conteúdos básicos relativos à geometria plana e mostrar as possibilidades do jogo como recurso nas aulas de matemática – destacando os níveis de formação conceitual e as habilidades que podem ser desenvolvidas. Para tanto, fundamentou-se na teoria de formação conceitual de Van Hiele (1976) e nas habilidades geométricas de Hoffer (1981). Esta oficina foi desenvolvida no Programa Institucional de Bolsa de Iniciação a Docência (PIBID), Subprojeto de Matemática da Faculdade de Ciências Integradas do Pontal,
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aos bolsistas e professores supervisores de escolas da rede estadual e federal de ensino da cidade de Ituiutaba,MG. Serão descritos neste trabalho alguns pressupostos teóricos e também uma parte da exploração conceitual realizada a partir das peças do jogo.
Conceitos e habilidades desenvolvidos com o Tangram Um dos objetivos do ensino da geometria no nível fundamental é desenvolver o chamado pensamento geométrico, em que se inclui a formação de conceitos e o desenvolvimento de habilidades. De acordo com Van Hiele (1976), o pensamento em geometria se desenvolve segundo uma hierarquia conceitual que se inicia com o simples reconhecimento de formas (Nível 1), avança para a análise e o estabelecimento de relações entre propriedades das figuras (Nível 2 e Nível 3) e alcança os níveis formais e de rigor (Nível 4 e Nível 5). No ensino fundamental, é importante explorar as propriedades das figuras em várias situações que permitam ao estudante estabelecer relações, mesmo que estas não sejam formalizadas. Por exemplo, é possível, em um primeiro momento, explorar triângulos “iguais” e “parecidos” para depois, dependendo do nível do aluno, formalizar os casos de congruência e semelhança. Além disso, o próprio vocabulário e a simbologia utilizada para organizar a estrutura conceitual da geometria devem ser desenvolvidos enquanto uma habilidade. Hoffer (1981) estabeleceu cinco habilidades para a geometria: a visual permite ao aluno reconhecer figuras e manipular imagens mentais; a verbal possibilita utilizar a terminologia específica da geometria; a gráfica implica no desenhar com ou sem instrumentos; a lógica permite classificar figuras e relacionar medidas e outras propriedades e a de aplicação que implicar em utilizar a geometria em situações práticas do cotidiano. Estas habilidades deveriam ser desenvolvidas com vistas à formação conceitual e deveriam ser perseguidas pelo professor em todas as suas aulas de geometria – incluindo aquelas nas quais se faz opção por atividades lúdicas. As peças do Tangram podem ser obtidas a partir de recortes feitos em um quadrado de papel e acredita-se que conceitos geométricos possam ser explorados a partir desta
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construção. Por exemplo, o primeiro corte realizado no quadrado é a partir de sua diagonal: cada triângulo obtido têm um ângulo reto e também lados congruentes, podendo ser chamado de triângulo retângulo e isósceles. De posse de um desses triângulos (que são, aliás, conguentes), é possível recortá-lo pela altura relativa à hipotenusa – que também será mediana e bissetriz do ângulo reto – e os dois novos triângulos formados são semelhantes ao triângulo original. Nota-se que a identificação destas e de outras propriedades nas figuras relativas às peças do jogo pode contribuir para elevar o pensamento dos alunos até os níveis 2 e 3 propostos por Van Hiele (1986) – já que propriedades são analisadas e relacionadas. Além disso, as figuras podem ser giradas na mesa – favorecendo a habilidade visual – e as propriedades são verbalizadas o tempo todo, o que ajuda no desenvolvimento da habilidade verbal dos alunos. No entanto, é necessário que o professor organize o material de acordo com o nível de desenvolvimento de seus alunos. Mesmo tendo como foco apenas a habilidade visual, talvez não seja adequado solicitar as montagens a seguir (Figura 2) a alunos dos anos iniciais do ensino fundamental.
Figura 2. Figuras possíveis de ser construídas utilizando Tangram.
Nos sextos e sétimos anos do ensino fundamental, é possível explorar conceitos de fração e de perímetro e área utilizando as peças do Tangram. Aliás, não é raro encontrar alunos que, a princípio, não identificam a equivalência de áreas entre as peças A, B e C, constantes na Figura 3a; já no nono ano, outros têm dificuldade em expressar o perímetro do retângulo (Figura 3b) em função do lado do quadrado original que deu origem às sete peças.
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A
B
C
Figura 3. (a) Peças A, B e C e (b) retângulo formado a partir das sete peças .
Essa última situação foi explorada na oficina que será relatada de forma resumida, a seguir.
Desenvolvimento A oficina foi realizada em duas sessões, nos horários reservados para as reuniões semanais com o grupo, em uma das salas da Faculdade de Ciências Integradas do Pontal, num total de seis horas. A coordenadora iniciou a oficina de Tangram apresentando os objetivos da mesma: 1) Conhecer e construir o jogo Tangram a partir de recortes feitos em um quadrado. 2) Relacionar as atividades propostas com os níveis de formação conceitual (Van Hiele, 1976) e as habilidades em geometria (Hoffer, 1981). 3) Rever conteúdos relativos à geometria plana: classificação de triângulos quanto a lados e ângulos, elementos do triângulo (alturas, bissetrizes, medianas e mediatrizes), casos de congruência e semelhança de triângulos. 4) Rever conceitos de fração enquanto parte de um inteiro contínuo. 5) Estabelecer equivalência de áreas a partir dos recortes. 6) Calcular as medidas de perímetro e área de cada peça – e de algumas composições – a partir do lado l do quadrado inicial. 7) Construção de figuras geométricas a partir das peças do Tangram (exemplo: quadrado com três peças, trapézio com cinco peças etc.)
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8) Construção de figuras variadas (gato, pato, casa, homem etc) e identificar o nível de dificuldade da composição, estabelecendo uma ordem para apresentação do jogo às crianças (Tangram do mesmo tamanho da composição e com as peças demarcadas, composição sem peças demarcadas e com tamanho igual e diferente do original, etc). 9) Cálculo do perímetro e área de cada peça do Tangram dados em função de l, lado do quadrado original. A última atividade será descrita brevemente a seguir. Foi distribuída uma folha de papel sulfite para cada participante e solicitado que dela fosse retirado um quadrado de lado l. Logo após, a coordenadora pediu que os participantes dobrassem o quadrado pela diagonal, formando dois triângulos e que os recortassem pela dobra. Cada um desses triângulos foi recortado pela sua mediana, obtendo assim outros dois triângulos retângulos e isósceles denominados A e B; os catetos foram então calculados, atribuídos a eles o valor l
2 e l à hipotenusa. 2
Em seguida, a coordenadora solicitou que os participantes dobrassem o triângulo maior de modo que o vértice do ângulo reto tocasse o ponto médio da hipotenusa (determinado por dobra): dessa ação, resultariam um triângulo menor, denominado pela letra C, e um trapézio. Então a mesma questionou se o triângulo C era semelhante aos triângulos A e B obtidos anteriormente. Constatando a veracidade da afirmação1 foi indagado qual seria a razão de semelhança entre eles. A figura 4 ilustra a situação.
1
A semelhança dos triângulos foi justificada pelo caso AA.
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A
B
C
Os triângulos A e C são semelhantes? Qual a razão de semelhança?
Figura 4. Questionamento feito sobre semelhança.
Os participantes não tiveram dificuldades em provar a semelhança dos triângulos, mas não determinaram, a princípio, a razão de semelhança – já que vários acreditavam que a razão de semelhança seria ½, uma vez que a área de C era metade da de A. As outras peças foram retiradas por recortes e foi solicitado o preenchimento de um quadro com os perímetros e áreas de cada peça em função de l. O mesmo foi utilizado para calcular a área total e os perímetros das figuras, conforme exemplifica a Figura 5. Calcular perímetro e área de:
Triângulo com 3 peças
Retângulo com 6 peças
Hexágono com 7 peças
Figura 5. Diversas figuras formadas por peças do Tangran para calcular área e perímetro.
Nota-se que o cálculo solicitado requer conhecimento sobre operações com números reais escritos na forma de radical, assunto referente à matemática do nono ano do ensino fundamental.
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Outras atividades foram desenvolvidas na oficina e, ao final, foi feita uma avaliação da mesma. Os participantes declararam que o trabalho desenvolvido ajudou no entendimento dos conceitos e procedimentos propostos bem como no conhecimento acerca do Tangram enquanto recurso didático para o ensino da matemática. A Figura 6 mostra alguns momentos da oficina.
Figura 6. Desenvolvimento da oficina.
Conclusão Conclui-se que são muitas as possibilidades do Tangram, mas é preciso planejar as atividades de modo que os alunos desenvolvam atitudes favoráveis ao aprendizado da matemática. Por meio desse recurso é possível motivar o aluno a realizar atividades que visem à construção de conceitos e ao desenvolvimento de habilidades em geometria. No entanto, acredita-se que conhecer as potencialidades do material é uma das tarefas do professor e isto constitui em um dos saberes específicos da profissão.
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Espera-se que o trabalho possa contribuir com o processo de formação dos saberes necessários para a atuação docente, em que se evidenciou o conhecimento do conteúdo matemático e também o pedagógico – incluindo o estabelecimento de objetivos para o ensino da geometria do ensino fundamental.
Referências HOFFER, A. Geometry Is More Than Proof. Mathematics Teacher, v.74, p.11-18, jan. 1981. LORENZATO, S. Laboratório de Ensino de Matemática na formação de professores. Campinas: Autores Associados, 2006. p. 3-38. VAN HIELE, P. M. Structure and Insight - A Theory of Mathematics Education. Orlando: Academic Press, 1986.