III CONGRESSO DE PRÁTICAS EDUCACIONAIS – NOVAS FORMAS DE ENSINAR E APRENDER
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Escola Estadual Coronel João Martins; Rua dos Mognos, 552 – Bairro Alvorada, (34) 3268-5548 Ituiutaba/MG; diretora: Eidna Aparecida da Costa, SRE/Ituiutaba.
APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA DE CONJUNTOS NUMÉRICOS Ana Carolina Igawa Barbosa1, Anália Barreto Souza2, Odaléa Aparecida Viana3 Contexto do relato Não há dúvidas de que, em geral, a maioria dos professores de matemática almeja que seus alunos aprendam conceitos e procedimentos de modo significativo. Por aprender significativamente entende-se relacionar os conhecimentos novos com as ideias já estabelecidas, conforme teoria de Ausubel (2003). Com base em nossa experiência com o ensino fundamental, pode-se afirmar que um dos assuntos que tradicionalmente são ensinados sem requerer do aluno uma participação mais efetiva no processo de construção conceitual são os conjuntos numéricos. A partir da definição e de alguns exemplos, em geral os alunos apenas indicam, em uma lista de exercícios, se o número é ou não natural, inteiro, racional ou real. Apesar da apresentação do diagrama de Venn, a inclusão hierárquica dos conjuntos numéricos N, Z, Q, I e R raramente é entendida. Os professores, por sua vez, parecem acreditar que o estabelecimento de diálogos para esse tema seja desnecessário ou inadequado. Os conteúdos escolares são classificados, de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) em conceituais, procedimentais e atitudinais. Nesse trabalho, destacam-se os conceituais, ou seja, aqueles conteúdos formados, principalmente, por conceitos e princípios que devem ser aprendidos de maneira significativa. A aprendizagem significativa é o processo que permite que uma nova informação recebida pelo sujeito se relacione com um aspecto relevante da sua estrutura cognitiva. A nova informação pode interagir com uma estrutura de conhecimento específica, onde existem os chamados conceitos subsunçores. Se existir pouca associação com conceitos relevantes, a aprendizagem pode ser chamada de mecânica. A aprendizagem mecânica ou memorística é aquela em que os conteúdos estão relacionados entre si de uma maneira arbitrária, carecendo de significado para a pessoa que está aprendendo (AUSUBEL, 2003). Para aprender uma proposição – ou seja, uma ideia composta que se expressa verbalmente em uma frase contendo significados de palavras e relações entre as palavras – são necessários os processos de diferenciação progressiva (isto é, quando o sujeito consegue 1
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Escola Estadual Coronel João Martins/PIBID/UFU, carol_igawa@mat.pontal.ufu.br 2 3 Universidade Federal de Uberlândia/PIBID/UFU, analia@mat.pontal.ufu.br, odalea@pontal.ufu.br
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diferenciar os significados das ideias) e o de reconciliação integrativa (quando o mesmo busca integrar os significados, delineando as diferenças e as similaridades entre ideias relacionadas). O autor sugere que o desenvolvimento do pensamento lógico está, em grande parte, ligado ao desenvolvimento da capacidade linguística. A linguagem contribui para a formação de conceitos, pois as propriedades representativas das palavras facilitam os processos de transformação envolvidos no pensamento. Quanto às condições para a aprendizagem significativa, apontadas por Ausubel (2003), destaca-se o material a ser apresentado ao aluno. Este deve ter uma organização interna (estrutura lógica ou conceitual explícita) e ser apresentado por meio de vocabulário e terminologia adaptados ao aluno. Nesta perspectiva, apresenta-se este relato de experiência com o objetivo de evidenciar uma sequência didática aplicada na aula de matemática a alunos do oitavo ano do ensino fundamental, da Escola Estadual Coronel João Martins, da cidade de Ituiutaba/MG, elaborada pelo subprojeto Matemática/Pontal, do Programa Institucional de Bolsa de Incentivo à Docência (PIBID), tendo como meta favorecer a aprendizagem significativa dos conjuntos numéricos. Descrição das atividades As aulas foram expositivas e os alunos foram incentivados a participar constantemente, expondo suas ideias e conclusões, cabendo à professora encaminhar as discussões. Com vistas a mobilizar os conhecimentos prévios, foi realizada uma revisão do conjunto dos números naturais, em que se recorreu à história da matemática para discutir sobre o surgimento e a necessidade de algumas representações para os números. Posteriormente, apresentou-se também o conjunto dos números inteiros, discorrendose acerca da necessidade de sua utilização em contextos do cotidiano. Abordou-se também sobre a hierarquia dos conjuntos naturais e inteiros; os próprios alunos, por meio de questionamentos realizados pela professora, conseguiram concluir que todo número natural é inteiro, mas nem todo número inteiro é natural. Para introduzir as primeiras ideias acerca dos números racionais, foram colocados no quadro os números naturais 2; 5 e 30 e a professora deu início aos questionamentos. A partir do diálogo estabelecido, os alunos concluíram que, como 2 poderia ser representado sob a forma de fração a , tal como 2 2 4 ... 20 ... , então 2 era um número natural, e também b
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racional. O mesmo questionamento foi feito com relação aos números naturais 5 e 30 e os estudantes conseguiam generalizar que todo número natural era racional. O mesmo procedimento foi realizado para números inteiros, fracionários, porcentagens, decimais exatos e periódicos. Concluiu-se, então, que esses números podiam ser chamados de racionais. Visando construir o conceito de número irracional os alunos foram desafiados a encontrar um resultado para
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sucessivas, os mesmos perceberam que não era possível determinar um número exato de casas decimais nem identificar um período para o número procurado. Logo, não era possível determinar a fração geratriz. Após discussões pertinentes a este aspecto, os alunos foram indagados a responder a qual conjunto pertenciam os decimais não exatos e não periódicos – já que não eram racionais. Neste momento, apresentou-se a ideia de número irracional e também a representação do conjunto dos números irracionais pela letra I: concluiu-se que toda raiz não exata era um número irracional. Algumas discussões ainda aconteceram e logo após foi apresentado o conjunto dos números reais, representado pela letra R, que incluía os demais conjuntos (naturais, inteiros, racionais e irracionais). A sequência didática prosseguiu com lista de exercícios contendo procedimentos de cálculos com os números estudados. A relação hierárquica entre os conjuntos estudados, bem como a localização dos números na reta numérica, foram temas de uma atividade específica. Foram construídos, em papel manilha, um diagrama de Venn e uma reta numérica e ambos foram pregados na parede posterior da sala (Figura 1). Os alunos receberam as mesmas figuras em folha de papel, de maneira a acompanhar a atividade e fazer o registro da mesma no caderno.
Figura 1: Disposição dos alunos (à esquerda) e aluno completando o diagrama (à direita).
Os alunos formaram um círculo para o desenvolvimento da atividade. Cada um deles dirigia-se ao centro da sala, retirava um número de um envelope e dizia em voz alta a qual conjunto numérico o mesmo pertencia, justificando sua resposta. No envelope havia números
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naturais, inteiros, porcentagens, decimais exatos, frações, dízimas periódicas simples e compostas, raízes exatas e não exatas e o número π. Caso o número sorteado estivesse representado na forma decimal, o aluno deveria ir até a lousa encontrar a fração correspondente. A seguir, deveria situar o número no diagrama que estava na parede. A atividade era finalizada quando o aluno, após situar o número no diagrama de Venn, localizava o mesmo na reta numérica pregada na parede. Caso fosse retirado um número irracional na forma de raiz, era necessário fazer ao menos uma primeira estimativa de resultado, confirmando o número por meio da calculadora. Análise e discussão Conforme apontado por Ausubel (2003), a aprendizagem de proposições (por exemplo, a definição de número racional) implica nos processos de diferenciação progressiva e de reconciliação integrativa. Isto acontecia quando os alunos diferenciavam os significados de número natural, inteiro e racional, e buscavam integrar os significados de divisão, de número decimal e de fração geratriz, delineando as diferenças e as similaridades entre ideias relacionadas. Essas ideias tornaram-se relevantes em sua estrutura cognitiva de modo a integrar o novo conceito a ser aprendido: o de número racional. Nota-se, por meio dos diálogos estabelecidos, a importância da linguagem no processo de formação do conceito. Tanto na aula expositiva, como na atividade em que os alunos deveriam classificar o número sorteado, o aluno se valia da linguagem para facilitar os processos de transformação envolvidos no pensamento. Assim, quando diziam: “todo número racional também é real” ou “é inteiro, não é natural, portanto é racional” parece, assim como sugere Ausubel (2003), que o desenvolvimento do pensamento lógico estava, em grande parte, ligado ao desenvolvimento da capacidade linguística. Espera-se que a experiência apresentada possa contribuir para a elaboração de sequências didáticas em que o conteúdo seja apresentado de maneira lógica e com linguagem adequada e que permita aos alunos estabelecer relações entre os conceitos, atribuindo significados ao que aprende. Saber estruturar sua prática faz parte das atribuições do professor de matemática e dos seus compromissos em promover a aprendizagem significativa. Referências AUSUBEL, D. P. Aquisição e retenção de conhecimentos: Uma perspectiva cognitiva. Tradução de Lígia Teopisto. Lisboa: Plátano, 2003. BRASIL. MEC/Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, 1998.
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Escola Estadual Coronel João Martins; Rua dos Mognos, 552 – Bairro Alvorada, (34) 3268-5548 Ituiutaba/MG ;diretora: Eidna Aparecida da Costa, SRE/Ituiutaba.
A UTILIZAÇÃO DE MATERIAIS CONCRETOS NO PROCESSO DE FORMAÇÃO CONCEITUAL DE POLÍGONOS Ana Carolina Igawa Barbosa1, Anália Barreto Souza2, Odaléa Aparecida Viana3 Contexto do relato Um dos conceitos que merecem atenção especial, na matemática do ensino fundamental, é o de polígono, visto que o trabalho com segmentos e ângulos perpassa toda a geometria plana. Na tentativa de facilitar a aprendizagem desse tema, existem várias sugestões de atividades em que se evidencia o uso de materiais concretos. No entanto, a simples manipulação de materiais pode não contribuir para o entendimento de conceitos. Além disso, nem sempre o material é adequado para o que se pretende atingir. A decisão pelos materiais mais adequados é, sem dúvida, do professor. A ação pedagógica exige do educador uma constante postura reflexiva de sua prática, conforme anuncia Perrenoud (2002). Rêgo e Rêgo (2006, p.54), sugerem que o professor tome alguns cuidados com a utilização dos materiais: dar tempo para que os alunos conheçam o material (inicialmente é importante que os alunos o explorem livremente); incentivar a comunicação e a troca de ideias – além de discutir com a turma os diferentes processos, resultados e estratégias envolvidos – e mediar, sempre que necessário, o desenvolvimento das atividades, por meio de perguntas ou da indicação de materiais de apoio, solicitando o registro individual ou coletivo das ações realizadas, conclusões e dúvidas. Os autores indicam que a escolha do material deve ser realizada de maneira responsável e criteriosa e que é conveniente planejar com antecedência as atividades, procurando conhecer bem os recursos a serem utilizados: assim, estes podem ser explorados de forma eficiente e adaptados às necessidades da turma. Sugerem, ainda, que seja estimulada, sempre que possível, a participação do aluno e de outros professores na confecção do material.
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Escola Estadual Coronel João Martins/PIBID/UFU, 1carol_igawa@mat.pontal.ufu.br Universidade Federal de Uberlândia/PIBID/UFU, 2analia@mat.pontal.ufu.br; 3odalea@pontal.ufu.br
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Fiorentini e Miorim (1990) levantam uma reflexão sobre a efetiva aprendizagem a partir do uso de materiais concretos. O professor não pode restringir sua metodologia de ensino a algum tipo de material por ser atraente ou lúdico. Em alguns momentos, o mais importante não é o material, mas toda a discussão atrelada a ele, podendo esta ser voltada à resolução de um problema, ao estabelecimento de relações ou à análise de propriedades. Nesse sentido, o professor deve ficar atento ao planejamento de suas aulas. Antes de se trabalhar com o material concreto é necessário que se pense primeiramente qual tipo será utilizado, se é conveniente e necessário e como ele será aplicado, pois os alunos podem interpretar os conceitos de forma equivocada ou se confundirem na realização de procedimentos matemáticos. Assim, defendendo a utilização de materiais concretos no ensino da geometria e, ao mesmo tempo, realçando o processo reflexivo do professor diante das decisões a serem tomadas, relata-se, neste texto, uma experiência obtida no âmbito do subprojeto Matemática/Pontal, do Programa de Iniciação à Docência da Universidade Federal de Uberlândia (PIBID), da Escola Estadual Coronel João Martins, em Ituiutaba, MG. Temse como objetivo destacar algumas reflexões realizadas na aplicação de uma sequência a alunos do sexto ano do ensino fundamental. Descrição das atividades A experiência é relativa à elaboração, aplicação, adaptação e reflexão a partir da observação e do registro das ações executadas em sala de aula com auxílio de materiais concretos: canudos de plástico, papel colorset colorido, cartolinas e cola. A atividade tinha por objetivo a aprendizagem de polígonos a partir do conceito de linhas poligonais. Pretendia-se, também, favorecer o desenvolvimento de atitudes favoráveis à geometria, já que as atividades pareciam favorecer a criatividade dos alunos – fugir-se-ia, assim, do contexto apresentado por livros didáticos de matemática. A princípio, os alunos receberam uma folha em branco, canudos de diferentes cores, cola e tesoura. A partir destes materiais, eles tiveram que criar diferentes figuras com o objetivo de, posteriormente, classificá-las de acordo com as definições apresentadas na aula. A Figura 1 ilustra alguns momentos da atividade.
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Figura 1: Alunos criando as figuras a partir dos canudos.
As folhas com as produções dos alunos foram recolhidas para que a atividade pudesse ser avaliada. A aula teve continuidade com as explicações da professora sobre segmentos de reta consecutivos e colineares e linhas poligonais com suas classificações: abertas, fechadas, simples e não simples. Durante as explicações, diferentes figuras eram expostas na lousa e a professora incentivava os alunos a fazer outros desenhos e discutir suas características, sendo também apresentados vários contra exemplos. Na sequência, foram distribuídos aqueles desenhos que tinham sido construídos com os canudos e cada aluno deveria analisar e classificar a sua figura de acordo com os conceitos trabalhados anteriormente na aula. Outras atividades foram realizadas objetivando o conceito de polígono como linha poligonal fechada simples; discorreu-se ainda acerca da convexidade, sendo analisadas algumas figuras. De modo a fixar o conceito de polígono, foi aplicada uma atividade na qual os alunos receberam um envelope com diferentes figuras numeradas e uma espécie de mapa conceitual de polígono (1ª imagem, Figura 2). A tarefa, feita em grupo, consistia no sorteio e na classificação de uma figura; esta era, então, colada no fluxograma feito na forma de cartaz e pregado na parede (2ª imagem, Figura 2).
Figura 2: Atividade prática de formação de conceito de polígono/ “Meu Mundo Poligonal” criado pelos alunos
Visando o fechamento das atividades, os alunos receberam uma folha sulfite e outra, de papel colorset colorido, objetivando realizar a atividade intitulada “Meu mundo poligonal”. Eles foram solicitados a representar objetos com a forma de polígonos no papel colorido; após a elaboração da imagem, esta foi recortada e colada
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na folha sulfite, sendo destacados os vértices e os ângulos internos e feita a classificação (polígono convexo ou não convexo, nome em função do número de lados etc.), conforme mostra, acima, a terceira imagem da Figura 2. Análise e discussão Durante as semanas em que a sequência foi aplicada, foi possível refletir sobre os objetivos, os recursos, as operações envolvidas, os resultados esperados etc, o que exemplifica a reflexão na ação, conforme indicação de Perrenoud (2002). Foi possível também se distanciar da ação e refletir sobre os resultados e a continuidade dos trabalhos. Avaliou-se que as atividades de desenhar e recortar papel colorido na forma de polígonos pareceu ter levado os alunos a serem criativos e a identificar os elementos do conceito aprendido nas suas próprias construções. Desde o inicio das atividades, notouse a motivação dos alunos para trabalhar com os materiais e estabelecer as relações necessárias à formação dos conceitos, o que permite afirmar que o mais importante não foi o material, mas a discussão atrelada a ele (FIORENTINI E MIORIM, 1990). Os canudos foram selecionados para a atividade, pois se acreditava que este material poderia representar, de maneira “concreta”, os segmentos de reta. Unindo-se os canudos, os alunos poderiam formar linhas poligonais e, se estas fossem fechadas e não simples, a composição final poderia ser chamada de polígono. Esse relato permitiu abrir uma discussão sobre a experiência do uso de materiais manipuláveis que por si só não tornam a aprendizagem significativa. De fato, essa utilização permite aos alunos movimentar peças, compor formas, modificar percepções e estabelecer relações – ações que, se forem dadas oportunidades de os alunos interagirem uns com os outros em discussões mediadas pelo professor, podem trazer um novo olhar à geometria como campo de investigação matemática. Referências FIORENTINI, D; MIORIM, M. A. Uma reflexão sobre o uso de materiais concretos e jogos no Ensino da Matemática. Boletim da SBEM-SP. São Paulo, Ano 4, n. 7, jul-ago de 1990. PERRENOUD, P. A prática reflexiva no ofício de professor: profissionalização e razão pedagógica. Porto Alegre: Artmed, 2002. P. 29 – 45. RÊGO, R. M.; RÊGO, R. G. Desenvolvimento e uso de materiais didáticos no ensino de matemática. In: LORENZATO, Sérgio. Laboratório de Ensino de Matemática na formação de professores. Campinas: Autores Associados, 2006. p. 39-56.