Rel 2014 matemáticapontal anexo 56 by Estagiário PIBID

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência PIBID/UFU-CAMPUS DO PONTAL Subprojeto: Matemática- Pontal Escola Estadual Coronel João Martins

NÚMEROS INTEIROS

Professora supervisora: Ana Carolina Igawa Barbosa. Licenciandas: Luciana e Silvia. Tema/tópico: 14.0 Números Inteiros Ano: 7º ano Objetivos / Habilidades do CBC:

 14.1 reconhecer a necessidade da ampliação do conjunto dos números naturais por meio de situações contextualizadas e/ou resolução de problemas;

 14.2 utilizar a ordenação no conjunto e localizar números inteiros na reta numérica;

 14.3 reconhecer, no contexto social, diferentes significados dos números inteiros;

 14.4 operar com números inteiros: adicionar, multiplicar, subtrair, dividir, calcular potências e raiz n-ésima de números inteiros que são potências de n.

 14.5 resolver problemas que envolvam operações com números inteiros. Metodologia: A metodologia do trabalho será descrita abaixo em etapas. 1ª ETAPA - Atividade: números negativos Materiais utilizados:

 Folha de papel sulfite xerocada; caderno, lápis, borracha, cola, lousa e giz. Primeiramente a professora deverá discutir com os alunos onde os mesmos

podem encontrar situações que tenham números negativos. Posteriormente à discussão,

a professora passará na lousa algumas situações nas quais estão presentes os números negativos. Onde encontramos números negativos? Você já sabe que os números 1, 2, 3, 4, 5, ... surgiram pela necessidade de contar. Sabe também que as frações e os números decimais foram criados para representar certas quantidades não inteiras muito presentes nos problemas de medidas. E os números negativos? Eles vieram para resolver situações do tipo: “3 – 5 quanto dá?”, que provavelmente surgiram com o desenvolvimento do comércio e o aparecimento das dívidas, dos prejuízos .... Vamos examinar uma situação comum nos dias de hoje. Quem tem cheque especial pode gastar mais do que possui na sua conta bancária até certo limite, e ficar devendo ao banco. Uma pessoa, por exemplo, tem R$100,00 na conta e faz uma retirada de R$120,00. O resultado da subtração 100 – 120 não é um número natural. Usaremos o número negativo – 20 para representar o saldo dessa pessoa após a retirada. 100 – 120 = - 20 O sinal de “menos” indica que ela deve R$20,00 ao banco. Você já deve ter visto números negativos em outras situações:

 No registro de temperatura abaixo de zero, por exemplo: Cidade

Temperatura

Amsterdã

Chicago

-4

Nova York

-1

Assunção

-3

Lima

-2

Paris

 Ou para registrar profundidades abaixo do nível do mar

Associa-se o nível do mar à altitude zero. Profundidades abaixo do nível do mar são indicadas por números negativos.  Ou para representar prejuízos No gráfico, temos que em 2003, houve um lucro (+) de R$20.000,00 e em 2004, um prejuízo (-) de R$10.000,00.

Portanto, conhecemos os números positivos, que podem vir ou não do sinal (+)  +2 ou simplesmente 2;

 +34 ou 34;

 +478 ou 478;

 +61,02 ou 61,02;

7 7   ou . 8 8

... e os números negativos DEVEM vir precedidos pelo sinal (-); por exemplo:  -5

 -67

 -8,23

5   . 9

Discussão: O número zero é positivo ou negativo? A situação pode ser relacionada ao dinheiro se eu não tenho nada (0) eu não tenho dinheiro no bolso (+) e nem estou devendo nada (-), então o número zero não tem sinal algum. Posteriormente a professora deverá esclarecer que os sinais + e – são utilizados para indicar se um número é positivo ou negativo, ou apenas para indicar as operações de adição ou de subtração. Sinal da operação

Sinal do número

Adição

Subtração

+14

-14

Positivo

Negativo

+15

-15

Exercícios Página 57, do 1 ao 7. 2º ETAPA- Definição do conjunto dos números inteiros Iremos discutir que, anteriormente, vimos os números naturais cujo conjunto é representado por N. N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Agora, por meio das situações discutidas acima, discutimos a existência dos números negativos, e o conjunto que engloba os números negativos, positivos e o

número zero é denominado conjunto dos números inteiros e é representado pelo símbolo Z. Z = { ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0 +1, +2, +3, +4, +5, ...} O conjunto dos números inteiros sem o zero é: Z* = { ..., -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, ...} 3ª ETAPA: Representação na reta numérica Materiais utilizados:

 caderno, lápis, borracha, reta numérica (anexo), cartaz confeccionado pelos licenciandos do PIBID, lousa e giz. Inicialmente a professora irá fixar o cartaz contendo a reta numérica em uma das

paredes da sala de aula, e cada aluno, receberá uma reta numérica confeccionada pelos licenciandos. A professora irá discutir com os alunos a disposição dos números positivos e dos números negativos.

A partir da reta e das discussões das disposições dos números negativos e positivos, a professora irá passar alguns números inteiros na lousa de forma que os alunos irão marcar na reta numérica os seguintes números a partir das situações:     

sete graus abaixo de zero; quatro graus acima de zero; seis metros de altitude; Ana mora no 9º andar; a garagem está no 3º subsolo. Posteriormente será solicitado que os alunos façam os exercícios do livro didático.

4ª ETAPA: Módulo ou valor absoluto de um número inteiro A professora deverá explicar que módulo refere-se à distância e toda distância é positiva. O módulo de um número inteiro, ou valor absoluto, é a distância de um número até o zero na reta dos inteiros.

A distância entre o ponto que representa o 6 e o ponto que representa o zero é 6.

Por isso, 6  6 (lemos: módulo de 6 é igual a 6). Da mesma forma,  6  6 .

5ª ETAPA: Números opostos ou simétricos Primeiramente a professora fará a seguinte pergunta; Alguém sabe o que significa oposto? Em seguida a professora indicará na reta numérica relacionando que dois números inteiros são opostos quando são representados por pontos que estão à mesma distância do 0, mas de lados opostos na reta. Quando dois números inteiros são opostos podemos dizer que eles também são simétricos.

Pela figura dada acima, vemos que 6  6 e  6  6 , como os números 6 e -6 estão a uma mesma distância do ponto zero, concluímos que 6 e -6 são simétricos ou opostos. Exemplos:

O simétrico de +7 é -7, pois  7  7 e  7  7 . O oposto de +5 é -5, pois  5  5 e  5  5 .

O oposto de -10 é +10, pois  10  10 e  10  10 .

O oposto de -34 é +34, pois  34  34 e  34  34 . Obs: Indica-se o oposto de um número colocando o sinal de (-) à sua esquerda. Exemplos: O oposto de +9 é indicado como –(+9), ou seja, - (+9 )= - 9.

O oposto de -20 é indicado como –( – 20) = + 20.

O oposto de +5 é indicado como – (+5) = - 5. O oposto de – 3 é indicado como – ( - 3) = + 3. Exercícios: 1) Determine: a. O oposto de -2; b. O oposto de -64; c. O oposto de -57; d. – (- 6) = e. – (+5) = f. – (-10) = g. – (+23) = 6ª ETAPA: Comparação de números inteiros O trabalho envolvendo a comparação de números inteiros será iniciado a partir de algumas situações problemas de algumas situações mencionadas abaixo: É importante saber comparar números. Dentre dois números qual é o menor? Em certo dia de inverno, um jornal publicou as temperaturas mínimas em algumas cidades do Sul do Brasil. A cidade de São Joaquim foi a que registrou a temperatura mais baixa nesse dia. Uma temperatura -3°C é menor do que uma temperatura de -1°C, e as duas temperaturas negativas são menos do que a temperatura de 0°C em Curitiba e do que a temperatura positiva e 4°C em Porto Alegre. Tempo no Sul do Brasil Cidade

Tempo

Temperatura mínima

Curitiba (PR)

chuvoso

0°C

São Joaquim (SC)

nublado

-3°C

Porto Alegre (RS)

claro

4°C

Gramado (RS)

nublado

-1°C

Pensando nas temperaturas fica mais fácil comparar números positivos e negativos:

 -3 < 4

 -3 < 0

 -3 < -1  Uma empresa de atacado apresentou, em sua última reunião, o seguinte gráfico com os rendimentos e os prejuízos que a mesma teve em cada setor da loja. Com base nos dados é possível fazer algumas relações, tais como:

Agora você e seus colegas vão dizer qual é o menor número:

 -6 ou 0?

 -1,2 ou 4?  -2 ou -8?

 0,5 ou -20?

Página 59 exercícios: 8 ao 15. 7ª ETAPA- Adição com números inteiros Materiais utilizados:

 Lousa, giz, lápis, caderno, borracha e folha xerocada.

Primeiramente a professora deverá passar na lousa as seguintes questões indagando os alunos, as situações de dívida (números negativos) e de dinheiro no bolso (números positivos).  De uma dívida de R$80,00 vou pagar R$30,00. Ficarei devendo ou com dinheiro no bolso? Devia 80, paguei 30, fiquei devendo 50 - 80 + 30 = - 50  Meu saldo era de R$400,00 negativos, depositei R$500,00. Qual é o meu saldo atual? Devia 400, depositei 500, fiquei com 100. - 400 + 500 = +100  Meu saldo é de R$40,00 negativos. Depositando R$40,00. Qual será o saldo da minha conta? Devia 40, depositei 40, não fiquei devendo nada - 40 + 40 = 0  Minha empresa teve prejuízo de R$4.000,00 em janeiro e de R$3.000,00 em fevereiro. O prejuízo acumulado foi de quanto? Prejuízo de 4.000 em janeiro e outro de 3.000 em fevereiro, então o total de prejuízo foi de -7.000,00 - 4.0000 - 3.000 = - 7.000 Com base nessas situações, faça estas outras expressões: a) +15+9 =

b) +5 – 5 =

c) +7 – 2 =

d) -22+31 =

e) -7 + 5 =

f) - 5 – 4 =

g) -13-15 =

h) – 13 – 20 =

i) + 7 + 3=

j) +29 – 4 =

k) – 13 + 8 =

l) + 25 – 12 =

m) – 36 + 17 =

n) + 31 – 19 =

o) + 12 – 12 =

Agora chegou a vez de calcular as expressões com parênteses: a) (+7) + (-2) =

b) (-3) + (+4) =

c) (+4) + (-6) =

d) (+5) + (-5) =

e) (+1) + (+4) =

f) (-2) + (-1) =

g) 7 + (-1) =

h) -6 + (-2) =

i) 3 + (+4) =

j) 0 + (-2) =

k) 0 + (+6) =

l) -1 + (+1) =

Vamos analisar a movimentação da conta bancária da Julia.

Em seguida a professora irá realizar algumas indagações aos alunos. a) O saldo inicial da Julia era de R$790,00 ela depositou no dia 11/03 R$970,00. Com quanto Julia ficou? b) Pagando uma conta com um cheque de R$200,00, Julia ficará com o saldo de quanto? c) Julia tinha o saldo inicial de R$790,00, no dia 11/03 ela depositou R$970,00, no dia 12/03 ela pagou uma conta com um cheque de R$200,00 e no dia 13/03 ela depositou R$ 260,00. Com quanto Julia ficou de saldo no banco? Atividade 1

A professora irá entregar para os alunos uma tabela e os alunos deverão representar a situação bancaria de acordo com a movimentação. Movimentação

Crédito

Débito

Saldo atualizado

Inicial: 1500,00 Pizzaria: 90,00 Deposito: 20,00 Dentista: 400,00 Supermercado: 235,45 Sorveteria: 35,45 Deposito: 589,87 Hospital: 1150,50 Exercício Página: 57, nº 1, 2, 3, 4, 7. Página 62, n° 16 ao 24. Página: 64, nº 26, 28,29,30, 32, 37. Página 65, nº. 25 ao 29.

9ª ETAPA – Adição com mais de duas parcelas Para trabalharmos com mais parcelas, partiremos de algumas situações problemas: O dono de uma microempresa montou uma tabela e representou em um gráfico de barras seus resultados nos primeiro semestre do ano. Os números positivos indicam lucros e números negativos indicam prejuízos. Mês

Lucro / Prejuízo (em milhares de reais)

Janeiro

-2

Fevereiro

Março

-1

Abril

Maio

-5

Junho

A empresa acumulou lucro ou prejuízo nesse semestre? Quanto? Para responder a essa pergunta, recorremos a uma adição: (-2) + (+7) + (-1) + (+8) + (-5) +(+2) - 2 +7 – 1 + 8 – 5 + 2 –8

+17 9

Somamos o total de lucros com o total de prejuízos:

adição

envolvendo

números

negativos,

podemos

associar as parcelas!

Concluímos que a empresa teve lucro de R$9.000,00 no semestre. Os resultados dos balanços do 1º semestre de 2012 do supermercado “Preço Ótimo” estão representados no gráfico abaixo:

De acordo com esse gráfico, responda: a) a expressão que utilizada para determinar o saldo final da empresa; (+10.000) + (-15.000) + (+25.000) + (-10.000) + (-5.000)+(+25.000) b) qual o saldo final da empresa “Preço Ótimo”? (+10.000) + (-15.000) + (+25.000) + (-10.000) + (-5.000)+(+25.000) +10.000 – 15.000 + 25.000 – 10.000 – 5.000 +25.000 +60.000 – 30.000 +30.000 Página 66, nº. 31 ao 34, 35 e 36.

10ª ETAPA- Subtração com números inteiros

A subtração será trabalhada conforme foi desenvolvida a ideia de números opostos, pois os mesmos podem ser representados por –(-6) = +6 que significa o oposto de -6 é +6, assim será necessário calcular o oposto e depois efetuar a operação final. 1. Elimine os parênteses e, posteriormente, calcule: a) 6 – (-2) =

e) -9 – (+1) =

i) –(9) – (-3) =

b) 5 – (+1) =

f) 89 – (-11) =

j) 15 – (+3) =

c) 9 – (+9) =

g) 50 – (+15) =

k) -100 – (-10) =

d) -7 – (-5) =

h) 34 – (-10) =

l) -99 – (+13)

Exercícios do livro didático: pág. exercícios: 11ª ETAPA- Multiplicação com números inteiros Nesta etapa, iremos começar por meio da multiplicação com números positivos, partindo do pressuposto do somatório de parcelas iguais. Desta forma temos: 4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 ou (+4) x (+3) = 4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 Conservando a mesma ideia, temos: 4 x (-3) = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = - 3 - 3 - 3 - 3 = - 12 E quanto seria (-3) x 4? Ora, sabemos que a ordem dos fatores não altera o produto, assim sabemos que (-3) x 4 = (4 x (-3) = 12. Ou então, sabemos que -3 = - (+3), assim, (-3) x 4 = -(+3) x 4 = [(+3) x 4] = [+12] = -12. Outra forma de se chegar a este resultado é por meio da observação de alguns padrões: 3 x 4 = 12 2x4=8

Por meio da observação de padrões temos que a primeira

1x4=4

parcela diminui de um em um e que o produto diminui de

0x4=0

4 em 4.

Tentando manter o mesmo padrão, devemos ter: (-1) x 4 = -4 (-2) x 4 = -8 (-3) x 4 = -12 E assim por diante!

Em seguida a professora irá solicitar aos alunos analisem as primeiras operações e que encontrem as regularidades e posteriormente, às discussões, preencham o restante dos produtos. 5 x (-3)= -15

5 x (-5) = -25

4 x (-3)= -12

4 x (-5) = -20

3 x (-3)= -9

3 x (-5) = -15

2 x (-3)= -6

2 x (-5) = -10

1 x (-3)= -3

1 x (-5) = -5

0 x (-3)= 0

0 x (-5) = 0

(-1) x (-3)= +3

(-1) x (-5) = +5

(-2) x (-3)= +6

(-2) x (-5) = +10

(-3) x (-3)= +9

(-3) x (-5) = +15

(-4) x (-3) = +12

(-4) x (-5) = +20

(-5) x (-3) = +15

(-5) x (-5) = +25

Logo após a professora irá perguntar aos alunos se os mesmos conseguiram encontrar alguma regularidade. Esperamos que estes, consigam enxergar que o primeiro termo está diminuindo de 1 em 1, e os resultados estão aumentando, no primeiro caso, de 3 em 3, e os resultados do segundo caso, aumentavam de 5 em 5. Após a discussão entre as regularidades esperamos também que os alunos percebam ainda as seguintes regularidades:  Quando os sinais são iguais, o produto será positivo (+) Ex:

(+5) x (+3) = + 15

(-5) x (-3) = + 15

(+4) x (+9) = +36

(-4) x (-9) = +36

(+3) x (+2) = +6

(-3) x (-2) = +6

 Quando os sinais são diferentes, o produto será negativo (-) Ex:

(-5) x (+6) = -30

(+5) x (-4) = -20

(-2) x (+3) = -6

(+6) x (-7) = -42

Posteriormente, os alunos irão fazer os exercícios abaixo propostos. Exercícios: 50 ao 60 da página 73.

12ª Etapa: Divisão com números inteiros Em relação à divisão, iremos retomar que a divisão é a operação inversa da multiplicação, utilizando essa ideia, pretendemos efetuar algumas divisões envolvendo números negativos, tais como: 36 : (+6) = +6 porque (+6) x (-6) = 36 12 : (+3) = +4 porque (+3) x (+4) = 12 20 : (+4) = +5 porque (+5) x (+4) = 20 30 : (-5) = -6 porque (-6) x (-5) = 30 45 : (-9) = -5 porque (-9) x (-5) = 45 6 : (-2) = -3 porque (-2) x (-3) = 6 (-15) : (+3) = -5 porque (+3) x (-5) = -15 (-9) : (+3) = -3 porque (+3) x (-3) = -9 (-18) : (+3) = -6 porque (+3) x (-6) = -18 (-30) : (-6) = +5 porque (-6) x (+5) = -30 (-42) : (-7) = +6 porque (-7) x (+6) = -42 (-50) : (-10) = +5 porque (-10) x (+5) = -50 Por meio das operações e pela discussão promovida pela professora, espera-se que os alunos percebam as regularidades percebidas anteriormente e posteriormente, será novamente definida as regras da divisão:

 o quociente entre dois números de mesmo sinal é um número positivo;

 o quociente entre dois números de sinais diferentes é um número negativo. Página 75 exercícios: 61 ao 72. 13ª Etapa: Potenciação com números inteiros Inicialmente, a professora irá relembrar os termos da potenciação, os quais são: 25= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32, onde:  25 é a potência,

 2 é a base,

 5 é o expoente,

 32 é o valor da potência.

Será relembrado, com os alunos, que a potenciação é uma multiplicação de fatores iguais e que quando a base é um número positivo, a potência é um número positivo:

 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81

 33 = 3 x 3 x 3 = 27  32 = 3 x 3 = 9  31 = 3

 30 = 1

(+4)4 = (+4) x (+4) x (+4) x (+4) = + 256) (+4)3 = (+4) x (+4) x (+4) = +64 (+4)2 = (+4) x (+4) = +16 (+4)1 = +4 (+4)0 = 1

E posteriormente, faremos uma exposição na lousa, com o intuito de retirar algumas generalizações dos próprios alunos como, por exemplo, serão trabalhadas duas situações, como apresentadas abaixo: (-2)0 = 1 (-2)1 = -2 (-2)2 = (-2) x (-2) = 4 (-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) = -8 (-2)4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16 (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = -32 (-2)6 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 64 Posteriormente, iremos trabalhar com outras potências agora na base -4, assim como é mostrado abaixo: (-4)1 = -4 (-4)2 = (-4) x (-4) = 16 (-4)3 = (-4) x (-4) x (-4) = -64 (-4)4 = (-4) x (-4) x (-4) x (-4) = 256 (-4)5 = (-4) x (-4) x (-4) x (-4) x (-4) = -1024 (-4)6 = (-4) x (-4) x (-4) x (-4) x (-4) = 4096 A partir da exposição e da construção conjunta, por meio do diálogo estabelecido entre a professora e os alunos, a professora irá destacar se os alunos conseguiram encontrar alguma regularidade nas operações. Espera-se que os alunos

percebam que quando a base é negativa e o expoente é par, o resultado é positivo, caso contrário, é negativo. Posteriormente, a esta situação será solicitado aos alunos que preencham com os resultados a próxima situação: (-3)0 = 1 (-3)1 = -3 (-3)2 = (-3) x (-3) = 9 (-3)3 = (-3) x (-3) x (-3) = -27 (-3)4 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 81 (-3)5 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = -243 (-3)6 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 729 E finalmente, os alunos terão que preencher as seguintes lacunas com base com o que foi discutido em sala de aula:

 A base é positiva: o resultado é sempre positivo;

 a base é negativa e o expoente é par: o resultado é sempre um número positivo;

 a base é negativa e o expoente é ímpar: o resultado é sempre um número negativo. Além destas propriedades, também será recordado que todo número elevado à

zero é igual um. Agora, iremos propor também aos alunos alguns desafios tais como:     

(-3)1 (+2)1 (-1)1000 (+1)101 (+101)1

Exercícios da página 77 do 73 ao 83.

14ª Etapa: Radiciação com números inteiros Nesta etapa, pretendemos relembrar com os alunos que:

   

49 = 7 porque 72 = 49, 36  6 , porque 62 = 36

121  11 , porque 112 = 121

25  5 , porque 52 = 25

E, posteriormente a alguns exemplos, iremos discutir com os alunos se eles conseguem determinar: 

 9 ,  25 ,  36 ,  81 , etc.

Esperamos que os mesmos percebam que não existe raiz quadrada de números negativos, pois todo número elevado ao quadrado terá como resultado uma potência positiva, portanto, raiz quadrada de número negativo não existe.

Exercícios do livro didático.

15ª ETAPA - Avaliações – Atividades Práticas - Jogos A avaliação será realizada por meio de uma dinâmica em duas etapas, sendo a primeira denominada “Corrida Maluca” e a segunda “Criatividade em Matemática”. Nessa primeira atividade os alunos terão que resolver as potenciações seguindo a ordem da raça dos cachorros, iniciando pelo Fusca até chegar ao Camaro. A professora entregará as colunas uma a uma por aula. Assim que os alunos terminarem a primeira coluna, estes receberão a segunda e assim sucessivamente. Quando o aluno conseguir resolver todos os exercícios daquela etapa na linha correspondente ao seu nome no cartaz confeccionado pelas licenciandas receberá um adesivo de forma a indicar que o aluno progrediu de nível e que aquela etapa foi conquistada pelo mesmo. A atividade não forçará o aluno a fazer os exercícios rapidamente, eles irão entregar as folhas para as licenciandas cada um ao seu tempo, espera-se que haja competitividade entre os alunos em relação ao avanço do nível. A segunda atividade de avaliação é intitulada Criatividade em Matemática, onde cada aluno receberá uma folha (Folha 01), na qual terá que escrever uma expressão definindo o nível da mesma (fusca, camaro, etc.) após esta escrita, caberá ao mesmo resolver e repassar a folha para a professora. O aluno deverá saber que a expressão

criada por ele será repassada para um colega de sala resolver. Depois que a professora corrigir cada uma das expressões criadas pelos alunos entregará a folha 02, na qual eles deverão reescrever a expressão para o colega resolver. Quando o colega resolver, volta para quem fez e ele decide se está certo ou errado.

JOGO: O INTEIRO É MEU CARTAS:

 0 ao 10: 2 cartas de cada; 

-1 ao -10: 2 cartas de cada;

 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100: 1 carta de cada;  +-x:

( )² ( )³ oposto de: 4 cartas de cada

TOTAL DE CARTAS: 42 + 7 + 32= 81 cartas NÚMERO DE JOGADORES: 4 a 5 jogadores OBJETIVO DO JOGO: Montar uma expressão cujo resultado é retirado em uma carta. REGRAS: 1) Cada jogador deverá receber quatro cartas com números. Por exemplo: -10, +3, +5, 0. 2) Depois das cartas com números serem distribuídas, deverá ser retirada uma carta com número para ser o resultado da expressão que cada jogador deverá formar. Essa carta deverá ficar virada para cima para que todos vejam o seu valor. 3) As cartas de números que sobrarem deverão ficar voltadas para baixo em um monte que servirá de compras. As cartas com as operações devem ficar separadas viradas para cima, pois todos devem ver as operações disponíveis para formar a expressão. 4) Para começar o jogo os participantes deverão multiplicar suas cartas, deve-se considerar o sinal de cada uma delas. O participante que tiver o maior valor começa comprando. Caso houver empate cada um escolhe uma carta do monte para ver qual a carta maior, se as cartas forem iguais basta repetir esse processo. Deve-se seguir o sentido horário. 5) Ele pode escolher entre comprar uma carta numérica ou uma carta de operação, ou então não comprar nenhuma carta. Pode ser comprada apenas uma carta por vez.

6) O jogador também pode fazer a opção de descartar uma carta depois da compra quando achar necessário. Essa carta ficará em um monte que chamaremos de lixo. 7) Ao descartar uma carta, seja ela de número ou operação, o próximo jogador pode pegá-la no lugar de fazer uma compra. Se for um número deverá dizer: O INTEIRO É MEU! Se for uma operação deverá dizer: A OPERAÇÃO É MINHA! 8) O jogador deverá ficar atento, pois as cartas em suas mãos não poderão passar de sete. 9) No momento em que conseguir montar uma expressão cujo resultado seja o procurado o jogador deverá abaixar todas as suas cartas e pedir que todos confiram o resultado. Se ele tiver errado suas cartas deverão voltar aos dois montes (números e operações) e será entregue novamente para ele 4 cartas. 10) Se faltar apenas uma carta ao jogador para que ele forme sua expressão e essa carta for jogada no lixo, ele poderá pegá-la mesmo que não for a sua vez. Porém deverá dizer antes do jogador que iria comprar: O INTEIRO É MEU ou A OPERAÇÃO É MINHA! Lembrando que ele poderá ganhar apenas se tiver

   com no mínimo 4 cartas ou no máximo 7.

11) Se as cartas do monte de números ou operações acabarem, deverá pegar as cartas do lixo, embaralhar e colocá-las novamente nos montes.

CARTAS DO JOGO:

  

 



OPOSTO DE:



OPOSTO DE:

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

10 10

-10 -10 16 25 36 49 64 81 100

ESCOLA ESTADUAL CORONEL JOÃO MARTINS NOME "CORRIDA MALUCA" !!!

Nº

FUSCA

UNO

ASTRA

5 + 4=

(-36) + (+17) =

-5+7+3=

- [ ( +4 ) + (- 6 ) ] + (+8) =

( - 11 ) - ( - 17 )=

CAMARO

Nº

10 + 9 + ( 13 – 8 ) - 5 =

( + 4 ) + [ ( + 3 ) + ( - 7 ) ] + ( + 1 )=

- ( - 3 ) + { - [ ( + 8 ) + ( - 10 ) ] + ( - 5 ) }=

(+15) - [ (-13) - (-19)] =

129 + ( - 134 ) - ( - 289 ) =

- { 16 + [ -27 - ( 4 – 9 ) ] }=

- 8 + 7 - 12 + 15 – 4=

- (-3) + 9 – 8 - (-4) + (-7) + (+2) =

- 33 + [ ( - 12 + 0 ) + ( - 5 )=

45 - { 51 + [ (-3) - (+8) ] }=

-(+5–2)-9=

- 11 + ( -10 -5 ) + ( +4 + 7 ) +1 =

- [ - 5 + ( + 12 + 3 ) - ( - 7 – 2 ) ] =

- ( - 8 + 4 ) + { - [ ( + 3 + 2 ) + ( - 9 – 8 ) + 0 ] }=

( + 2 ) x ( - 10 ) =

( - 3 ) x ( - 2 ) x ( - 4 )=

( - 6 – 12 ) + ( + 6 ) x( -6 ) =

( - 3 ) x ( 4 – 2 ) x ( - 6 )=

(-1)x(+9)=

( - 5 ) x ( + 3 ) x ( - 2) =

( 6 x (-5) +2) : ( - 4 - 3 ) =

- { 7 x [ ( -55 + 20 ) x ( - 10 + 10 ) ] }=

(-25) : (+5) =

( - 81 ) : ( - 27 ) : (+3) =

2 - ( - 7 + 2 x 5 ) : ( - 1 )=

( - 3 ) x ( - 9 + 3 ) - ( 2 ) x ( - 7 + 2 - 1) =

(-20) : (-4) =

( 105 ) : ( 3) : ( - 5 ) =

16 – 30 : [ 6 – 2 x ( 3 – 1 ) + 3 ] =

[ ( + 23 ) + ( - 5 ) ] : [ 12 - ( + 3 ) x ( - 2 ) ]=

(+6) : (+3) =

( - 99 ) : ( + 3 ) : ( - 11 )=

27 x ( 5 – 2 ) x 8 =

(-3)² =

(-21)¹ =

(+5) =

14 15 16 17

 81  9  0

(-3) =

121 

- 5 + 2 - ( 8 + 7)=

(-3) x(-4) =

(-3-3) x1 2

25  2 =

[ ( + 5 )³ x ( + 2 ) ] =

144  2 = 4

[ ( + 5 )³ - ( + 2) ] =

= 2

( - 4 + 2) : ( - 2)³ x ( - 5 + 4) =

27 x ( 5 – 2 ) x 8 =

( 150 – 140 ) : ( - 10 ) =

36  (6)  2 = [(2)5 : (2)²]  ( 25  16 ) = 49  81  64  4  16  9 = 6

(2) + ( - 3 – 2 )² - ( 14 + 15) =

(-8) : (-2) x( 5–2) =

(-5) :5 =

(- 9 + 1) - ( 7 – 5 ) =

( - 2) x ( 3 ) =

[ ( + 3 ) x ( - 2) + 8 ] : ( 2 – 2) =

( - 7)² : ( 7 ) - [ ( 12 - 8) x ( - 24 - 15) ]=

81 : 3 + 10 x 2 – 5 = [(4)²  2³  5] : (3  64  100 

3  100  ( 9 )² : 3  2 =

16 17

Escola Estadual Coronel João Martins Profª Ana Carolina Igawa Barbosa 7º ano ..........

CRIATIVIDADE EM MATEMÁTICA: minha expressão COM NÚMEROS INTEIROS

CRIATIVIDADE EM MATEMÁTICA: minha expressão COM NÚMEROS NEGATIVOS

tipo ..........................(OPTATIVO)

Minha expressão para o meu colega resolver: Minha expressão e minha própria resolução:

Assinado:____________________ Devolvo a expressão com minha resolução para o colega:

Assinado:____________________ Assinado:____________________

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência PIBID/UFU-CAMPUS DO PONTAL Subprojeto: Matemática- Pontal EECJM-– Escola Estadual Coronel João Martins Sequência didática Números Reais Professora Supervisora: Ana Carolina Igawa Barbosa. Licenciandos: Anália, Carlos, Mizael, Níffer. Ano: 8º Ano do Ensino Fundamental. Datas: 03/2013 Objetivos: 



  



introduzir o conjunto dos números reais; revisar os conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais; apresentar o conjunto dos números irracionais por meio de atividades diferenciadas e com o uso da calculadora. operar com números reais: adição, subtração, multiplicação, divisão, radiciação, potenciação; resolver problemas que envolvam números reais; representar números reais na reta numérica.

Conteúdos: conjuntos numéricos: naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais. Materiais utilizados: cartazes, caderno, lousa, lápis, calculadora e borracha. Parte 1 Conjuntos Inicialmente, a professora começará a aula mostrando aos alunos que na Matemática existem alguns conceitos que não se definem, pois estes constituem a base de todas as outras definições que são estudadas na Matemática. A professora poderá usar o exemplo de reta, o ponto e o plano.

Em seguida, a professora poderá indagar aos alunos como definir um ponto? Então é esperado que os alunos percebam que o ponto não precisa de uma definição, mas a partir dele há todo o estudo da Geometria. Semelhantemente acontece com os “conjuntos”, um conceito matemático primitivo que não apresenta definição. Após a definição de conjunto, a professora irá revisar os conjuntos dos números Naturais, Inteiros, Racionais e Irracionais, para poder chegar a definição do conjunto dos números Reais. Nessa revisão indagará os alunos antes de apresentar a definição de cada conjunto, em seguida irá anotar as ideias que os alunos forem falando na lousa, para discutir com outros alunos, definindo ao final cada conjunto. Conjunto dos Números Naturais Dando continuidade, a professora irá perguntar aos alunos quais números pertencem ao conjunto dos números naturais e anotará no quadro as respostas para que posteriormente estas sejam discutidas. Após a socialização a professora definirá o conjunto dos números naturais. Como segue abaixo: Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos, incluindo o zero. Esse conjunto é representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves, como é apresentado abaixo. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13...} Quando for representar o Conjunto dos Naturais não nulos (excluindo o zero) devemos colocar * ao lado do N. Representamos assim por: N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... } A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um elemento. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... } Conjunto dos Números Inteiros

Os números inteiros positivos foram os primeiros números trabalhados pela humanidade e tinham como finalidade contar objetos, animais, enfim, elementos do contexto histórico no qual se encontravam. Enquanto que o conjunto dos números inteiros contempla também os números inteiros negativos, constituindo o seguinte conjunto representado pela letra : = {…,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8…} O professor poderá indagar os alunos onde podem encontrar em situações reais números Inteiros. Números Racionais Número racional é todo aquele que pode ser escrito na forma

com a e b

com b ≠0. Discutir com os alunos porque b não pode ser zero. A professora irá indagar quais números são racionais e irá começar uma discussão: 2 pode ser escrito na forma 2=

? Se puder, então ele será racional.

etc., logo 2 é racional. Podemos dizer que todo número natural

também é racional? O professor pode questionar com outros exemplos para chegar a generalização. Conclusão: Todo número Natural é Racional. E os números negativos? Podem ser escritos na forma de fração? Tome por exemplo o número -4. -4 =

, etc. Logo -4 é racional. Então podemos dizer que todo

número inteiro é racional? O professor pode questionar com outros exemplos para chegar a generalização. Conclusão: Todo número Inteiro é Racional. Vamos pensar agora nos números escritos na forma de fração. já está escrito na forma de fração. É racional? Podemos dizer que todo número fracionário é decimal? O professor pode questionar com outros exemplos para chegar a generalização. Conclusão: Todo número Fracionário é Racional. E as porcentagens? Como posso representar o número 20%?

20%=

= . Então podemos dizer que toda porcentagem pode ser escrita

na forma de fração? Dessa forma toda porcentagem é um número racional? O professor pode questionar com outros exemplos para chegar a generalização. Conclusão: Todo porcentagem é Racional.

♦ Números decimais com finitas ordens decimais ou extensão finita: Será que 0,3 pode ser escrito na forma de fração? Como? E o número 0,25? Como podemos escrever o número -0,75 em forma de fração?

Conclusão: todo número decimal com finitas ordens decimais é Racional.

Esses

números

têm

forma

com

≠

♦ Número decimal com infinitas ordens decimais ou de extensão infinita periódica. São dízimas periódicas simples ou compostas:

O professor irá questionar como os alunos podem fazer para descobrir a fração que forma essas dízimas periódicas, já que são consideradas Números Racionais. Para isso, irá fazer a próxima atividade. Atividade descobrindo a fração geratriz

Qual seria a representação decimal da fração

? O que podemos fazer para

descobrir? O professor deverá explicar que basta dividir um número pelo outro. Neste caso o número de casas decimais da representação desta fração na forma decimal, não será um número finito. 76 dividido por 495 será algo como 0,1535353... Se continuarmos o processo de divisão, iremos indefinidamente acrescentar um dígito 5, depois um 3, depois um 5 e assim por diante, sendo que sempre poderemos continuar acrescentando mais um dígito. A isto damos o nome de dízima periódica. As dízimas periódicas podem ser simples ou composta, no caso do exemplo acima temos uma dízima periódica composta. A dízima periódica composta 0,1535353... foi gerada a partir da fração

, por

isto esta fração é chamada de fração geratriz da dízima periódica. Classificando as Dízimas Periódicas em Simples e Compostas A dízima periódica 0,1535353... é composta, pois ela possui um ante período que não se repete, no caso o número 1, e um período formado pelo número 53, que se repete indefinidamente. Se fosse apenas 0,535353... teríamos uma dízima periódica simples, pois ela possui apenas um período, 53, mas não um anteperíodo. Veja abaixo alguns exemplos: Exemplos de Dízimas Periódicas Simples 0,111... período igual a 1 0,252525... período igual a 25 0,010101... período igual a 01 0,123123123... período igual a 123 Exemplos de Dízimas Periódicas Compostas 0,2333... anteperíodo igual a 2 e período igual a 3 0,45222... anteperíodo igual a 45 e período igual a 2 0,171353535... anteperíodo igual a 171 e período igual a 35 0,32101230123... anteperíodo igual a 32 e período igual a 0123

A professora irá explicar que existem algumas regras que os alunos podem seguir para fazer as transformações. Transformando Dízimas Periódicas Simples em Frações Geratrizes Um método prático para se obter a fração geratriz no caso de dízimas periódicas simples, consiste em utilizarmos o período como numerador e utilizarmos como denominador um número formado por tantos dígitos 9, quantos forem os dígitos do período. Vejamos: a) 0,2222… Período: 2

Coloca-se o período no numerador da fração e, para cada algarismo dele, colocase um algarismo 9 no denominador.

Nesse caso, temos uma dízima simples e a parte inteira diferente de zero. Uma estratégia é separar parte inteira e parte decimal:

Transformando Dízimas Periódicas Compostas em Frações Geratrizes Aqui, a dica é um pouco diferente: para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 no denominador. Mas, agora, para cada algarismo do anteperíodo se coloca um algarismo zero, também no denominador. No caso do numerador, faz-se a seguinte conta: (parte inteira com antiperíodo e período) – (parte inteira com antiperíodo). Observe os exemplos: a) 0,27777…

b) 1,64444…

c) 21,308888… (o período tem 1 algarismo e o antiperíodo tem 2 algarismos)

d) 2,4732121212… (o período tem 2 algarismos e o antiperíodo tem 3 algarismos)

E por que isso dá certo?

1) Chama-se a fração geratriz de x:

2) Para achar o valor de x, encontram-se múltiplos dele com apenas o período na parte decimal:

E subtraem-se as duas igualdades

3) Assim, cria-se uma equação e elimina-se a parte infinita dos números envolvidos, achando-se a fração geratriz. Note que, no método mais prático, a conta sugerida é a mesma que aparece na equação: 164 – 16, e o denominador fica exatamente com os mesmos algarismos. No caso do exemplo D, deve-se multiplicar x por números ainda maiores, para se achar a mesma parte decimal nos dois números a serem subtraídos:

Conjunto dos Números Irracionais Números irracionais são aqueles que em sua forma decimal são números decimais infinitos e não periódicos. Porque são chamados de números irracionais? Pois eles não entram no conjunto dos racionais, ou seja, eles não podem ser escritos na forma de fração. São aqueles números que possuem infinitas casas decimais e em nenhuma delas obteremos um período de repetição. O conjunto dos números irracionais é representado pela letra I (i maiúscula). Números

irracionais

obtidos

pela

raiz

quadrada

número:

Atividade: Descobrindo alguns números Irracionais Materiais utilizados: tabela, calculadora. 1. O professor irá pedir que os alunos calculem o valor de

na calculadora. É possível

aceitar esta resposta? Anote o valor encontrado para raiz de 2. Multiplique este valor por ele mesmo. A resposta é 2? O professor deverá explicar que o resultado não será 2 pois a raiz quadrada de 2 na calculadora é uma aproximação.

2. Para tentar alcançar o verdadeiro valor de

, pode-se tentar calcular por meio de

aproximações sucessivas. O método de cálculo por aproximações sucessivas é o apresentado a seguir: Sabemos

que é um número entre 1 e 2.

a) Tente 1,5. Eleve ao quadrado. 1,5 é maior do que

b) Tente 1,4. Eleve ao quadrado. 1,4 é menor do que

c) Tente 1,45. 1,45 é maior ou menor do que

d) Tente 1,41. 1,41 é maior ou menor do que

e) Tente 1,42. 1,42 é maior ou menor do que

f) Tente 1,415. 1, 415 é maior ou menor do que

g) Tente 1, 414. 1, 414 é maior ou menor do que h) Tente 1, 4145. 1, 4145 é maior ou menor do que

? ?

Podemos continuar com estes cálculos muitas e muitas vezes. Nunca encontraremos um número exato de casas decimais para

. Também nunca encontraremos um período.

3. Que tipo de número é então a raiz quadrada de 2? Para responder essa pergunta o professor deverá questionar os alunos se ele pode ser um Número Inteiro ou um Número Racional. Primeira pergunta:

é inteiro?

fosse um número inteiro, deveria existir um inteiro n tal que n² = 2.

Utilize a calculadora para listar, na tabela abaixo, os quadrados dos primeiros vinte números inteiros. Algum destes números quadrados é igual a 2? n n²

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2n² 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

* Conclua:

é inteiro? Sim ou Não?

Os alunos deverão chegar a conclusão que

não é um inteiro, pois não existe nenhum

número inteiro que elevado ao quadrado dá como resultado o número 2. Segunda pergunta? Se

é racional? Pode ser escrito como uma fração?

fosse uma fração então existiriam dois inteiros, a e b, tais que a²/b² = 2.

Então teríamos, dois inteiros tais que a² = 2. b². Ou seja, teríamos dois números quadrados tais que um é o dobro do outro. Utilize a calculadora para listar, na tabela acima, o dobro de todos os números quadrados. Algum destes números é também um número quadrado? Existem dois quadrados tais que um é o dobro do outro? * Conclua:

é racional? Sim ou não?

Os alunos deverão chegar a conclusão que

não é um número Racional, por isso não

pode ser escrito na forma de fração. Logo ele é IRRACIONAL.

Atividade do número π (Pi) Materiais utilizados: embalagem ou objeto circular. (Usaremos um copo no passo a passo), barbante, régua, folha em branco, lápis.

Materiais utilizados (figura 1) Solicitaremos aos alunos que tragam embalagens em formato circular, como por exemplo, tampas de achocolatado e, leite em pó, tampa de manteiga, cd, dentre outros. Posteriormente, estas serão analisadas pelos licenciandos para verificar se é possível desenvolver a atividade sugerida, no dia da atividade será necessário que a professora, assim como os licenciandos, levem também objetos circulares caso haja algum imprevisto. Está atividade pode ser feita tanto em duplas quanto em individual, estamos propondo que seja executada em duplas. Após a formação das duplas, a professora deve pedir aos alunos que escolham o objeto que será utilizado e que façam uma circunferência em uma folha, com o contorno do objeto respectivo da dupla, conforme a figura 2.

Contornando o objeto ( figura 2)

Contorno do objeto (figura 3)

Nesta etapa, quando cada dupla tiver sua circunferência, a professora pode escolher duas maneiras para desenvolver esta etapa, uma é pedir para os alunos que recortem a circunferência, dobrem ao meio e achem o diâmetro ou pedir para os alunos acharem o diâmetro utilizando somente a régua, sabendo que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Pedir para os alunos acharem o diâmetro e anotarem a medida do mesmo, no exemplo achamos o diâmetro da boca do copo que foi de aproximadamente 8,7 cm Após ter encontrado o diâmetro e ter anotado sua medida, precisaremos achar a medida do comprimento da circunferência. Para achar o comprimento da circunferência os alunos vão medir com barbante o comprimento pelo objeto e

posteriormente medirão o barbante com a régua. No exemplo, achamos a medida de aproximadamente 27,3 cm. Conforme a figura 4 e 5.

Contorno com o barbante (figura 4)

Medida do barbante (figura 5)

A professora deve fazer um quadro na lousa e ir anotando os resultados das duplas conforme o quadro abaixo, lembrando que nessa etapa só serão preenchidas as quatro primeiras colunas. Dupla

Objeto

Diâmetro ( d)

Comprimento (C)

37,7

utilizado Benicio

Copo

Helena

Após o preenchimento do quadro, a professora deverá pedir para os alunos que façam a divisão do comprimento da circunferência (C) pelo diâmetro (d), em nosso exemplo achamos 3,13, a professora pode decidir em fazer com calculadora ou não, se optar por não fazer com calculadora decidir quantas casas decimais vão ser trabalhadas. Neste momento ir passando entre as duplas vendo os resultados, os que tiverem muito longe de aproximadamente 3,14, pedir para olhar direito as medidas e falar que tem alguma coisa errada, indagar os alunos como um adivinhador, usando frases como: “Você mediu alguma coisa errado, por que eu já previ o resultado.”, “Olha revisa os comprimentos, pois essa mágica nunca falha.”. Após os alunos terem efetuado a divisão ir preenchendo a quarta coluna chamando a atenção dos alunos para o preenchimento, fazer como uma disputa quando aparecer alguma divisão muito próxima ou exatamente 3,14, dar parabéns para a dupla pela medida. Quando todas as duplas tiverem dados seus números onde todos darão

aproximadamente 3,14, socializar com os alunos que por volta no século XVII provouse que este quociente constante é um número irracional. E esse número é denotado pela letra grega π (lê-se “pi”), que é a inicial da palavra “contorno” em grego. E mostrar a demonstração desse número. Dem: comprimento da circunferência (C) = 2.π. r Podemos reescrever a segunda parte da igualdade como 2.r.π e sabemos que 2.r é igual ao diâmetro (D) , então podemos reescrever como: C = d.π Isolando π temos: π= Exercícios do livro didático pág. ex.:

Conjunto dos Números Reais Socializar com os alunos que todos os números naturais e todos os números inteiros são números racionais. Juntando os números racionais e os números irracionais num único conjunto, obtemos o conjunto dos números reais, o qual é denotado por R. Dinâmica: construção de conceito dos números reais Materiais:

 Reta numérica ampliada para a fixação na sala.

 Folha a com a reta numérica (distribuição aos alunos).

 Diagrama dos conjuntos numéricos ampliado para a fixação.  Caixa para sorteio com fichas de números.  Fichas de números.  Calculadora  Canetão Metodologia: Inicialmente, a professora irá fixar a reta numérica ampliada na parede da sala junto com o diagrama. Essa reta irá conter somente o marco zero e os traços de uma

régua convencional, lembrando que além do zero a reta não irá conter nenhum algarismo, como na figura abaixo:

O diagrama será construído com cartolina colorida conforme a figura abaixo.

A caixa será confeccionada pelos licenciandos contendo as fichas com números naturais, inteiros, racionais e irracionais. A dinâmica se iniciará com um aluno por vez retirando uma ficha da caixa. Ao retirar esta ficha o aluno terá que classificá-la oralmente, a qual conjunto a mesma pertence, e achar sua localização na reta numérica, fixando a ficha na reta ampliada. Com o pincel atômico o aluno deverá escrever o mesmo número no diagrama ampliado. Para encaminhar esta atividade lembramos que o aluno deverá apresentar para toda a sala sua ficha, bem como sua classificação e será socializada sua resposta para posteriormente ser fixada na reta. Quando o aluno tirar uma ficha com alguma raiz quadrada ou com alguma divisão que não saibam fazer, deverá utilizar a calculadora que será entregue pela professora para verificar se a dízima formada é periódica ou não. Os alunos deverão preencher simultaneamente a folha com a reta e construir o diagrama com os conjuntos em seu caderno.

A professora deverá ficar atenta aos erros, criando um ambiente onde todos possam participar e discutir as classificações. Enquanto as fichas forem retiradas da caixa e classificadas pelo aluno, a professora usará o caderno para escrever os conceitos. Tabela dos números para a dinâmica.

100%

-2

-7

-2,3333....

-5,7

-4

-3

5,5

50%

-3,25252525....

4,5

√5

√6

√2

√3

√30

6,9

Atividade: Descobrindo se a fração irredutível é decimal exato ou periódico Dada uma fração irredutível, sem fazer a divisão, como descobrir se é um número decimal exato ou periódico? A professora pedirá que os alunos completem a tabela como mostrado: Fração

Fatoração do

Resultado

Maior

denominador

expoente

fatoração

encontrado

4= 2²

4 2 2 2

Divisão/classificação

1,75 Decimal exato

1 125 5 25

125 = 5³

0,568 Decimal exato

80 2 40 2

80=

20 2

1,1625 Decimal exato

10 2 5

1 9 3

9=3²

1,77777...

3 3

Dízima

simples

77 7

77=7x11

periódica

0,558441558441...

11 11

Dízima

simples

periódica

117 3 39

117= 3²x13

0,068376068376... Dízima

periódica

simples

15 3 5

15=3x5

0,1333.... Dízima

periódica

composta 52 2 26 2

52=2²x13

1,44230769230769...

12 13

Dízima

composta

periódica

300 2 150 2

300

2²x3x5

0,0366666... Dízima composta

periódica

A professora irá pedir que os alunos observem os fatores primos encontrados nos decimais exatos. Os alunos deverão chegar a conclusão que só foram encontrados os números 2 ou 5. Em seguida pedirá que observe o maior expoente encontrado e o número de casas decimais, mostrando que há uma relação de igualdade entre os dois. Nesse caso a professora irá perguntar: quando uma fração irredutível é um decimal exato? Os alunos deverão responder que uma fração irredutível se transformará numa decimal exato quando seu denominador contiver apenas os fatores primos 2, 5 ou 2 e 5. O número de ordens, ou casas decimais, será dado pelo maior expoente dos fatores 2 ou 5. Dando continuidade, a professora pedirá que os alunos observem os fatores primos encontrados na fatoração dos denominadores. Espera-se que eles observem que não apareceu o número 2 ou o 5. E que nesse caso o maio expoente encontrado não representa nada. Nesse caso a professora irá perguntar: quando uma fração irredutível é uma dízima periódica simples? Os alunos deverão responder que uma fração irredutível se transformará numa dízima periódica simples quando seu denominador contiver apenas fatores primos diferentes dos fatores primos 2 , 5 ou 2 e 5. Posteriormente a professora irá pedir que os alunos prestem atenção nas dízimas periódicas não simples e na fatoração do denominador da fração irredutível. Espera-se que os alunos falem que além do 2, do 5, e do 2 e 5 foram encontrados outros números. Dessa forma, a professora irá perguntar: como saber se a fração irredutível é uma dízima periódica composta? Os alunos deverão responder que uma fração irredutível se transformará numa dízima periódica composta quando seu denominador, além dos fatores primos 2, 5 ou 2 e 5, contiver outros fatores primos quaisquer. O número de ordens, ou casas decimais, do anteperíodo será dado pelo maior expoente dos fatores 2 ou 5. Radiciação A professora iniciará a aula, relembrando o conceito de radiciação, o qual é a operação inversa à potenciação, exemplificando com alguns exemplos:



25 = 5, porque 52 = 25 3

1000 = 10, porque 103 = 1000

81 = 3, porque 34 = 81

Posteriormente, para efetuar a radiciação em

, a professora iniciará uma

discussão acerca das propriedades, para isto, representará a raiz de índice n de um número real a, escrevendo:

a . Desta maneira, a professora irá expor as seguintes

possibilidades: 1. a é um número real positivo e n é um número natural par diferente de zero: a raiz enésima de a é o número positivo b tal que bn = a. Exemplos: 



81 = 9, porque 92 = 81 4

1000 = 10, porque 104 = 1000

2. a é um número real negativo e n é um número natural par diferente de zero. Nessa situação, a raiz enésima de a não existe no conjunto , pois não há número real que elevado à expoente par resulte em um número negativo. Exemplos:



 16 não existe em , pois não há número real que elevado à quarta potência dê resultado negativo, como por exemplo, 24 = 16 e (-2)4 = 16 4

3. a é um número real e n é um número natural ímpar maior do que 1. A raiz enésima de a é um número b tal que bn = a. Nesse caso, teremos duas opções:  

Se a for positivo, teremos b positivo. Se a for negativo, teremos b negativo.

Exemplos:



 27 = -3, porque (-3)3 = -27

27 = 3, porque (3)3 = 27

4. Se a = 0, então a raiz enésima de a é igual a zero para qualquer n natural maior do que 1. Exemplos: 

0=0

Após a discussão das propriedades da radiciação, a professora passará alguns exercícios do livro didático, utilizado na sala de aula, da página 57, para que os alunos resolvam e depois haja uma socialização dentre os mesmos perante as respostas. Em outro momento, a professora abordará a concepção de raízes exatas e de raízes não exatas. Primeiramente, com a utilização da calculadora, pedirá para os alunos extrair a raiz quadrada de alguns números, como por exemplo: 



 

18496 65536 35721 1887

1085

Após os alunos perceberem que algumas raízes quadradas podem resultar ou não em números naturais, a professora socializa então a ideia de raízes exatas e não exatas. Além disso, destacará o conceito de quadrado perfeito, isto é, se é o quadrado de um número natural. Posteriormente, a professora novamente pedirá aos alunos para extrair a raiz quadrada de alguns números, sem a utilização da calculadora, dessa maneira, explicará o método da fatoração e da simplificação dos expoentes e do índice.

Resultado

Raiz exata

625

25 36 28900 1296

1225

Aplicação das atividades

Raiz não exata

A sequência didática, elaborada pelo PIBID/Matemática/Pontal, abordou o trabalho com conjunto dos números reais, com foco na aprendizagem significativa, para tal, durante a execução da mesma, foi desenvolvida uma revisão, no 8° ano do ensino fundamental, de todos os conjuntos, abordando-se as definições conceituais dos conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, por meio de aulas expositivas e

discursivas, onde os alunos foram convocados a participar constantemente, expondo suas conclusões e ideais, cabendo ao professor encaminhar as discussões. Inicialmente realizou-se uma breve discussão acerca dos elementos que compõe o conjunto dos números naturais, discutindo-se também um pouco sobre a história do surgimento e da necessidade de algumas representações. Posteriormente, apresentou-se também o conjunto dos números inteiros, discorrendo-se acerca da necessidade de sua utilização e de alguns contextos nos quais os mesmos são abordados em nosso cotidiano, vale a pena ressaltar que alguns alunos lembraram de exemplos que foram apresentados aos mesmos no 7° ano, relacionando-os a questões pertinentes a lucros, prejuízos, temperaturas, altitudes, etc. Discorreu-se também sob a hierarquia dos conjuntos naturais e inteiros, os próprios alunos, por meio de questionamentos realizados pela professora, conseguiram concluir que todo número natural é inteiro, porém que a recíproca é falsa, pois nem todo número inteiro é natural. Nas aulas, enfatizaram-se os conceitos dos números racionais e irracionais. O primeiro por ser um dos conjuntos que os alunos apresentam maior dificuldade em relação aos próprios conceitos e procedimentos, segundo a experiência da própria professora, e o segundo, pelo fato de que este conjunto será trabalhado pela primeira vez, no 8° ano. Foi possível perceber dificuldades relacionadas ao próprio conceito de número racional, pelo fato da turma atual, ter sido enturmada, ou seja, houve uma mistura de alunos de duas salas distintas, sendo assim, metade da sala é composta por ex alunos da própria professora e a outra metade advindos de uma outra docente, a qual, segundo estes, no ano anterior não abordou o conceito de número racional com os alunos, estes, em suas concepções alegavam que o conjunto dos números racionais era constituído apenas pelas frações. Inicialmente foi passada na lousa a definição de número racional, ou seja, todo número que pode ser escrito na forma de

a , com a e b inteiros, com b  0 . A priori, b

discorreu-se acerca do fato do porque o número representado pela letra b não poder ser igual à zero, alguns alunos lembraram-se de uma atividade desenvolvida no ano anterior, onde os mesmos utilizaram a calculadora e perceberam que qualquer número divido por zero, na calculadora, apresentava a letra “E”, a qual significa erro, assim os

mesmos lembraram que não é possível haver divisão por zero, portanto, b é necessariamente diferente de zero. Para darmos início à escrita de números que podem ser escritos sob a forma de fração, começamos pelo conjunto dos números naturais e, posteriormente pelos números inteiros, apresentando alguns destes elementos e indagando os alunos se estes podem ser escritos sob a forma de fração. Os alunos, em sua maioria, ficaram quietos, sem argumentos, desta forma, coube à professora conduzir questionamentos tais como: todo número racional pode ser representado sob a forma

a , assim o sinal que está b

compreendido entre as letras a e b nos remete à que operação elementar? Logo, os alunos se lembraram da divisão. Assim, por exemplo, apresentou-se o número natural 2, e a partir da dedução da operação, os próprios alunos concluíram que 2 poderia ser representado sob a forma de fração tal como 2  concluir que 2 

20 2 4   ...   ... assim, pôde-se 10 1 2

2 4 20   ...   ... além de serem naturais, inteiros, também são 1 2 10

racionais. Foram dados outros exemplos, para que se pudesse generalizar que todo número natural pode ser representado sob a forma de fração, logo todo natural é também racional. O mesmo procedimento foi realizado, com o conjunto dos números inteiros com o objetivo de concluir que todo número inteiro pode ser representado sob a forma de fração, logo todo inteiro é também racional. Também se fez necessário apenas ressaltar que todo número já representado sob a forma de fração, pela definição em si já é um número racional. Posteriormente, trabalhou-se com as porcentagens, relembrando com os alunos que toda porcentagem também pode ser representada sob a forma de fração por meio de alguns exemplos, concluindo que toda porcentagem também é um número racional. Após a abordagem das porcentagens, enfatizou-se a representação de números decimais com finitas ordens, inicialmente por meio da leitura destes números e fechando com a representação dos mesmos sob a forma de frações, trabalhando-se simultaneamente, as simplificações e as frações equivalentes. Assim, foi possível concluir que todo a partir dos próprios alunos que todo número decimal com finitas ordens é racional.

E, finalmente, ainda, dentro do conjunto dos números racionais, foram trabalhadas questões pertinentes às dízimas periódicas simples ou compostas, apresentando-se as definições das mesmas, além de se abordar os procedimentos de como se determinar as frações geratrizes, concluindo-se, desta forma, que toda dízima periódica simples ou composta, pode ser representada sob a forma de fração, logo também compreende o conjunto dos números racionais. Assim, posteriormente, a todas as discussões, os alunos concluíram que todos os números naturais, inteiros, as porcentagens, as frações, os números decimais exatos e as dízimas periódicas simples ou compostas podem ser representados sob a forma de frações, logo também são números racionais. Como o conjunto dos números irracionais é abordado, especificamente no 8° ano do ensino fundamental, este foi o primeiro conceito a ser construído juntamente com os alunos. As atividades referentes a este conjunto tiveram início após algumas apresentações dos resultados de algumas raízes tais como

2 , 3, 5 dentre outras,

foram discutidos com os alunos que estes resultados são representados por dízimas não periódicas. Na primeira atividade, deste bloco, os alunos foram desafiados a tentar alcançar um resultado para a

2 , assim, por meio de aproximações sucessivas, os mesmos

perceberam que não foi possível determinar um número exato de casas decimais, não sendo possível, desta forma, encontrar um período, logo não era possível determinar a fração geratriz, pois para o cálculo da mesma o período é necessário. Após discussões pertinentes a este aspecto, os alunos foram indagados a que conjunto estes números, dízimas não periódicas, pertenciam, pois não eram naturais, nem inteiros, tampouco racionais. Neste momento apresentou-se a definição de número irracional, os quais são aqueles que em sua forma decimal são considerados infinitos e não periódicos, e a representação do conjunto é dada pela letra I, assim, após a apresentação do conjunto, foi concluído que toda raiz representada por um número decimal infinito e não periódico é um número irracional. Posteriormente, a esta atividade, trabalhou-se também em sala de aula, com a definição do número π, por meio de uma atividade prática, onde os alunos levaram para a sala de aula materiais tais como tampas, cd’s, etc..., os quais foram avaliados,

com antecedência, pela professora se seriam válidos para o desenvolvimento da prática. Definidos, os materiais, os alunos em duplas, foram solicitados a determinar o comprimento das circunferências que compunham os objetos selecionados, com auxílio de barbante e régua e, anotar estas medidas nas tabelas construídas pelos mesmos, juntamente com a professora. Após a determinação do comprimento da circunferência, os alunos calcularam também o diâmetro da circunferência do objeto, por meio da representação na mesma no papel e com o auxílio da dobradura, determinadas as medidas dos comprimentos da circunferência e do diâmetro, estes foram solicitados a realizar a divisão entre estas duas medidas seguindo esta mesma ordem com o auxílio da calculadora, como é mostrado nas figuras 1 e 2.

Figuras 1 e 2: desenvolvimento da atividade prática – definição do número π

Ao final, as medidas encontradas por cada dupla, foram socializadas na lousa, e todas as duplas conseguiram obter um número decimal entre 3 e 4, mesmo com objetos distintos, assim, foi apresentado que esta aproximação encontrada por todas as duplas é o número π, o qual gerava inúmeras especulações em sala de aula. Coube ainda ressaltar, aos alunos, que as aproximações não foram exatas, devido alguns erros de arredondamento e que os materiais utilizados não são precisos para fazer a medição exata dos objetos. Houve na sala de aula, uma inquietação, quando a professora disse que para qualquer objeto se fizermos o mesmo procedimento, encontraremos o mesmo número, os alunos ficaram inconformados que este cálculo ainda valeria para uma roda de caminhão, de bicicleta, etc.

Após a apresentação, as discussões realizadas perante o conjunto dos números irracionais foi apresentado o conjunto dos números reais, os quais compreendem o conjunto dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais, o qual é representado pela letra R. Retornando o trabalho desenvolvido com os conjuntos numéricos, é necessário ressaltar que também se enfatizou as operações elementares, como forma de revisão, por meio de listas de exercícios elaboradas pelo PIBID e alguns do próprio livro didático adotado pela escola, com o objetivo de sanar dúvidas relacionadas aos cálculos a fim de se trabalhar com as questões pertinentes aos procedimentos de resolução. Desde o trabalho desenvolvido com os números naturais os alunos tiveram a necessidade de se trabalhar com as questões hierárquicas destes conjuntos, assim, foram elaborados exercícios e questionamentos durante a execução das aulas de forma a contemplar este tópico. Posteriormente, ao trabalho desenvolvido por meio das atividades, aqui apresentadas, foi promovida uma atividade que contemplasse as questões de hierarquia entre os conjuntos numéricos compreendendo todos os conjuntos trabalhados até o momento: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais, com o objetivo de fechar os estudos relacionados a este bloco e verificar se aprendizado em relação aos conteúdos. Assim, foi construído um diagrama de Venn e uma reta numérica em tamanhos maiores pelos licenciandos do PIBID/Matemática/Pontal, conforme são apresentadas nas figuras 3 e 4. Os alunos também receberam os materiais elaborados, de forma que também pudessem acompanhar e fazer o registro da atividade no caderno.

Figuras 3 e 4: desenvolvimento da atividade de fechamento abordando questões hierárquicas

Os alunos formaram um círculo para o desenvolvimento da atividade. A proposta era basicamente que cada aluno teria que se dirigir ao meio da sala, retirar um número de um envelope, dizê-lo para a sala, e classificá-lo dentre os conjuntos trabalhados, segundo as definições. No envelope havia diferentes tipos de números, naturais, inteiros, porcentagens, decimais exatos, frações, dízimas periódicas simples ou compostas, irracionais e o número π. Em alguns casos, principalmente em relação aos números racionais, o aluno dirigia-se à lousa de forma a encontrar a fração que correspondia aquele número sorteado, isto ocorreu, especificamente, quando o aluno foi contemplado com uma dízima periódica simples ou composta, cabia ao mesmo, determinar a fração geratriz que correspondente. Em relação aos outros conjuntos, alguns alunos conseguiam verbalizar a definição, enquadrar o número e definir em que conjunto este estava compreendido. Definido o conjunto, no qual o número sorteado se encontrava, a professora realizava alguns questionamentos pertinentes ao mesmo, como por exemplo, foi sorteada a fração

4 , alguns alunos diziam imediatamente que era um número racional, 2

pois estava escrito na forma de fração, assim, discutiu-se novamente as frações equivalentes e os alunos conseguiram fechar que

4 2 4   2 , logo a fração também 2 1 2

era um número natural. Assim, o aluno concluiu que

4 é um número natural, inteiro, 2

racional, e real, baseando-se na disposição dos conjuntos a partir do diagrama de Venn. Também foram discutidos os números negativos, como por exemplo, foi sorteado o número -7, o aluno imediatamente classificou-o como inteiro, e o dispôs no diagrama de Venn, e posteriormente, concluiu que -7 era um número inteiro, racional e racional, mas que não era natural, pois o conjunto dos números naturais compreendiam apenas os inteiros positivos. Posteriormente a esta atividade, o aluno ainda necessitava situar o número situado na reta numérica, neste momento, foi disponibilizada uma calculadora, pois caso o aluno sorteasse um número irracional, esta poderia ser utilizada pelo mesmo, porém antes era necessário que o aluno fizesse ao menos uma primeira aproximação, como por exemplo, o aluno, sorteou

35 , então ele teria que fazer uma estimativa

baseando-se nas raízes exatas que ele conhecia, neste caso,

25 e

36 então,

35 está

compreendida entre os números 5 e 6 e só depois disso poderia utilizar a calculadora para obter uma aproximação mais exata na reta numérica. Nesta atividade, houve participação ativa de 22 alunos, os quais participaram, discutiram, tiraram dúvidas dos colegas e apenas 5, se recusaram a sortear os números do envelope, participando apenas no acompanhamento e no registro dos números sorteados tanto no diagrama de Venn quanto na reta numérica.

Universidade Federal de Uberlândia (UFU) Faculdade de Ciências Integradas do Pontal (FACIP) Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID) Escola Estadual Coronel João Martins

Introdução a Álgebra Professora supervisora: Ana Carolina Igawa Barbosa. Licenciandos: Carlos e Cássia. Ano: 7º Ano do Ensino Fundamental. Datas: outubro/2014 Conteúdos: 



Expressões e sentenças, Resolução de equações intuitivamente, Resolução de equação a partir do Método da Balança, Conjunto universo, Conjunto solução ou raiz de uma equação, Equações.

Objetivos / Habilidades: 

 



Traduzir informações dadas em textos ou verbalmente para a linguagem algébrica; Utilizar valores numéricos para constatar a igualdade ou desigualdade de expressões ou equações; Calcular o valor numérico de uma expressão; Utilizar a linguagem algébrica para a resolução de problemas; Identificar o elemento desconhecido de uma equação como a incógnita; Identificar o primeiro membro e o segundo membro de uma equação; Identificar os conjuntos numéricos como conjuntos universos de uma equação; Determinar o conjunto solução de uma equação em um dado conjunto universo.; Verificar que o conjunto solução é um subconjunto do conjunto universo;

    



 



Identificar a solução de uma equação como a raiz dessa equação em um dado conjunto universo; Verificar que uma equação pode ter raiz em determinado conjunto universo e em outro não; Verificar se um número dado é ou não raiz de uma equação em determinado conjunto universo; Reconhecer que existem equações que, em um mesmo conjunto universo, apresentam o mesmo conjunto solução (não vazio); Representar, simbolicamente, a resposta de um problema; Representar, por meio de uma equação, o enunciado do problema e resolver a equação obtida; Interpretar a solução da equação de acordo com o problema e dar a resposta conveniente; Reconhecer fórmulas matemáticas como equações; Usar a resolução de equações para determinar o valor de um elemento desconhecido em uma fórmula matemática.

Materiais utilizados: folha com o quadro, caderno, lousa, lápis, borracha. Parte 1: sentenças e expressões Metodologia: Para começar a introduzir a matéria de equações, vamos revisar com os alunos o princípio de sentenças e expressões, pois vimos que a definição de equação é trazida nos livros didáticos como uma sentença matemática com sinal de igualdade, que envolve números desconhecidos representados por letras denominadas incógnitas. Porem será que nossos alunos têm em mente o que vem a ser uma sentença sendo ela matemática ou não? E o que é uma expressão? Tendo em vista essa reflexão trabalharemos inicialmente com o que vem a serem sentenças e expressões, para então depois trabalhar com as expressões algébricas. Atividade: Distribuiremos para os alunos a folha conforme anexo 1, com frases, para os alunos classificarem em sentenças ou expressões, inicialmente as separações serão feitas

pelos alunos nas cinco primeiras linhas, para conseguir ter uma idéia do que os mesmos trazem de conhecimento a respeito do que vem a ser sentença e expressões. Após o preenchimento das cinco primeiras linhas a professora deverá interferir na atividade voltando na primeira linha, pedir para os alunos leiam a primeira frase e perguntar se a frase pode ser considerada uma sentença ou uma expressão, se as respostas dos alunos forem corretas escolher um aluno para tentar explicar o porquê da resposta, se o aluno conseguir responder de forma satisfatória não deixar de reforçar a fala do mesmo. A professora deverá ir indagando os alunos com as falas “vejam que falta sentido nestas palavras, portanto é uma expressão; esta outra tem sentido completo (o VERBO dá o sentido), então podemos considerar como sentença.” Após algumas linhas a professora deverá deixar que os alunos completem o restante da folha sem sua intervenção. Após todo o preenchimento da folha a professora deverá definir o que vem a serem sentenças e expressão e pedir para os alunos escreverem em seu caderno. Definições: “Expressão é um conjunto de palavras que não possui sentido completo; Sentença é um conjunto de palavra com sentido completo”. Após a definição do que vem a ser uma expressão, pedir para os alunos colarem a folha em seu caderno logo abaixo da definição. Frases

Expressões

Sentenças

A professora de matemática.

A professora de matemática é boazinha.

4+2=6

1-5=4

Duas vezes um número

Minha bicicleta.

Um número mais.

A soma ½ + ½ é um número inteiro

Todo quadrado é retângulo.

Cinco mais três é igual a oito.

2 + 10

Quatro mais cinco é menor que dois

X x

Um número mais dez é igual a 14.

Minha mochila.

54 + 46 < 101

89 – 45

82 + 2 > 85

Dois é menor

Soma de dois números

Quatro mais cinco e diferente de sete

Vinte e um menos um é diferente de dezenove

x x X X

Quadro 1: Folha preenchida conforme as classificações das frases em sentença ou expressão

Posteriormente, iremos socializar com os alunos quanto à classificação, que as sentenças e as expressões podem ser matemáticas ou não. Assim, os alunos irão retornar na folha e, juntamente com a professora, irão classificá-las em matemática ou não matemáticas, conforme é mostrado abaixo. Expressões matemáticas: 5,7,11,16,18 e 19. Expressões não matemáticas: 1,6 e 14. Em seguida dar a classificação das sentenças, socializar que elas podem ser matemáticas ou não matemáticas pode ser verdadeiras ou falsas, outras são abertas ou fechadas definir sentença fechada .que não iremos trabalhar com elas. E fazer a classificação conforme exemplo acima. Deixando os alunos completarem todas as classificações a professora pode deixar como tarefa de casa. Se o professor preferir fazer com os alunos, desenvolver a atividade passo a passo, primeira a classificação de sentenças matemáticas e não matemáticas, em seguida as verdadeiras e as falsas e posteriormente as abertas sempre relembrando da definição de sentença aberta. Lembrando que se o professor preferir como atividade para casa não deixar de corrigir e tirar as supostas dúvidas dos alunos Sentença aberta: Sentença matemática aberta é quando tem elementos desconhecidos, não se conhece quem é a pessoa ou o número Sentenças fechadas: Sentenças matemáticas fechadas ou simplesmente sentenças fechadas são expressões que podemos identificar como verdadeiras ou falsas.

Sentenças matemáticas: Sentenças não matemáticas: Sentença matemática fechada: Sentenças verdadeiras: 3,8,9,10,15 e 21 Sentenças falsas: 4,12,17 e 20 Sentenças abertas:2 e 13.

Parte 2: Expressões Algébricas Metodologia: Para iniciar está parte a professora deverá começar a seguinte conversa com alunos de forma informal, sem que eles copiem, só prestem atenção nas falas quanto da professora quanto dos alunos. “e eu pedi pa a o João dize u ú e o ue ele pe sou, ele os diz ue é 5, o ue faço pa a a ha , po exe plo, o do o desse ú e o? Esperamos que os alunos cheguem em 2 x 5, é importante ressaltar que não estamos interessados na resposta 10 e sim na forma de representação 2 x 5 Se a Marta pensa em um número, e diz que é o número 7, o que faço para achar o triplo do número dela? Da mesma forma do exemplo anterior esperamos a representação 3 x 7, e não a resposta. Então, se a Patrícia pensa em um número, mas não nos diz qual é, como faço para achar o dobro do número que ela pensou se nós não sabemos quanto ele vale? Em matemática dá para escrever o resultado, sabem como? A gente chama o número da Patrícia de uma letra. Por exemplo de n. Então o dobro do número que a Patrícia pensou tem resultado sim, eu escrevo que é 2xn. Concordam? Acham estranho? Formalizar com os alunos que 2xn é uma expressão, ela está indicando o dobro de um número qualquer. E podemos escrever também 2.n ou simplesmente 2n. Terminar essa conversa com a seguinte situação: Se eu pedir para o Wesley pensar em um número, dobrar esse número e depois somar com 1 e se ele não disser qual é o número, dá para, mesmo assim, escrever o resultado em? Esperamos que os alunos percebam que a escrita da expressão só é possível na forma de uma expressão com letra. Assim, aguardaremos que eles concluam como ficaria a expressão. Caso isto não ocorra será necessária a intervenção da professora.

Parte 2:

Metodologia: Inicialmente serão escritas, na lousa, algumas situações problemas onde os alunos deverão resolver juntamente com a professora com o objetivo de detectar a generalização do problema com a introdução das letras, não com o intuito de incógnitas nesse primeiro momento, apenas para a generalização das situações apresentadas. Situação 1 Helena quer comprar um vestido que custa R$ 45,50. Escreva o valor que ela gastará nas seguintes situações: 1ª Situação: Se Helena comprar dois vestidos? Gastará 45,50 x 2 = 91,00 2ª situação: Se ela comprar 5 vestidos ? Gastará 45,50 x 5 = 227,50 3ª Situação: Se ela comprar uma quantidade qualquer de vestidos? Gastará 45,50 x X ou 45,50x. A professora deverá combinar com os alunos, qual letra será usada para representar a generalização, e deve socializar que em matemática a letra x é muito usada, nesses casos. Situação 2 Silvia está trabalhando como professora em uma escola, durante algumas horas por dia. Silvia ganha R$30,00 por hora trabalhada. Escreva o valor que ela receberá nas seguintes situações: 1ª Situação: Se prestar serviços por 10 horas no total? Receberá 30 x 10 = 300 2ª situação: E se no total ela trabalhar 100 horas? Receberá 30 x 100 = 3000 3ª situação: E se no total forem x horas? Receberá 10.x = 10x Situação 3 Carlos hoje tem 12 anos. Que idade terá Carlos daqui a 2 anos? Terá 12 + 2 = 14 anos Daqui a 20 anos? Terá 12 + 20 = 32 anos. Daqui a t anos? Terá 12 + t anos Situação 4

O professor sempre vai à cantina para tomar café que custa R$3,00 e ainda paga um doce no valor de R$1,50 para um aluno que o acompanha. Quanto o professor pagará se 2 alunos o acompanharem? Pagará 3 + (1,50 x 2) = 3 + 3 =6 E se forem 4 alunos? Pagará 3 + (1,50 x 4) = 3 + 6 = 9 E se forem 10 alunos? Pagará 3 + (1,50 x 10) = 3 + 15 = 18 E se forem y alunos? Pagará 3 + 1,50.y Situação 5 A mãe de Carlos foi ao supermercado Bom de Preço e encontrou o pacote de arroz por R$7,00. Quanto a mãe de Carlos pagará se ela levar 4 pacotes de arroz? Pagará 7 x 4 = 28 E se ela resolver levar 7 pacotes? Pagará 7 x 7 = 49 E se ela levar p pacotes? Pagará 7 x p = 7p Posteriormente as discussões das cinco situações apresentadas acima caberá a professora indagar os alunos se podemos classificar as resoluções que utilizamos letras em expressões ou sentenças. Como não há sentido completo, esperamos que os alunos classifiquem-nas em expressões, pois o sentido das mesmas é incompleto, e que além disto, estas também são classificadas como expressões matemáticas e que comumente as utilizamos para generalizar algumas situações do nosso cotidiano, representando quantidades desconhecidas, expressando relações e que a parte da Matemática que realiza este estudo é a Álgebra e, as expressões matemáticas formadas por letras e números são chamadas de expressões algébricas.

Indicamos a dinâmica conforme o anexo 2. Exercícios propostos. 1. Escolha uma letra para representar um número e traduza, em seu caderno, para a linguagem simbólica da Matemática cada expressão relativa a esse número: a. O triplo desse número mais dez; b. Esse número menos quatro; c. O quádruplo desse número;

d. A terça parte desse número; e. Três quartos desse número. 2. Indique a expressão algébrica que se obtém segundo este programa:

3. Nas expressões, a seguir, a letra x representa um número. Identifique cada expressão escrita na linguagem comum

com a expressão algébrica

correspondente, escrevendo o número romano e a letra que estão associadas a elas. I. o dobro do quadrado de x; II. o quadrado do dobro de x; III. a diferença entre o dobro de x e 3; IV. o dobro da diferença entre x e 3; V. a divisão da soma de x com 3 por 2; VI. a soma dos quadrados dos números x e 3; VII. o quadrado da soma dos números x e 3. 4. Nas figuras abaixo, as letras x, y e z representam a medida de um segmento. Indique a expressão algébrica correspondente à medida do segmento AB em cada caso:

Parte 3: Valor numérico

Metodologia: apresentaremos aos alunos, exercícios que possuem expressões algébricas, onde é dado o valor do x ou do y, a professora deve explicar que em toda expressão algébrica, cada letra representa um número racional. Quando substituímos cada letra por um determinado número e efetuamos as operações indicadas, o resultado é o valor numérico dessa expressão para os números escolhidos. Valor numérico de uma é o resultado que se obtém quando se substituem as variáveis/incógnitas em uma determinada expressão algébrica por valores numéricos e se efetuam as operações indicadas Exercícios propostos. 1- Joaquim foi a uma loja, para comprar uma camiseta que custa x reais e uma bermuda que custa y reais. Qual é o valor total desses dois produtos? (x+y) reais Responda as seguintes situações. a) Na loja D a camiseta custa 25 reais e a bermuda custa 27 reais. Qual é o Valor desses dois produtos nesta loja? (25 + 27 = 52 reais) b) Na loja E a camiseta custa 22 reais e a bermuda custa 27 reais. Qual é o valor desses dois produtos nesta loja? (22 + 27 = 49 reais) c) Na loja F a camiseta custa 20 reais e a bermuda custa 39 reais. Qual é o valor desses dois produtos nesta loja? (20 + 39 = 59 reais) 2 Determine o valor numérico de cada expressão algébrica para x = 12 a) x + 2 = 14 b) x² + 2x = 168 c) x + 52 = 64 d) x -25 = - 13 e)

+52 = 56

3 Calcule o valor numérico das expressões: a) x – y (para x =5 e y = -4) = 9

b) 3x + a (para x =2 e a=6) = 12 c) 2x + m ( para x = -1 e m = -3) = -5 d) m – 2 a ( para m =3 e a = -5) = 13 e) x + y ( para x = ½ e y = -1/5) = 3/10 f) a –b ( para a =3 e b = -1/2) = 7/2 Parte 4: Termos algébricos Simplificação de termos semelhantes Metodologia: Para iniciar esta atividade a professora deverá falar para seus alunos, observar o que ela vai escrever na lousa, logo em seguida de cada exemplo a professora deverá dar um tempo para seus alunos copiarem no caderno. Inicialmente ela iniciará a atividade com a seguinte frase “Pessoal, vamos escrever alguns produtos de outra maneira.” Deve começar indagando os alunos sobre o que vem a ser 2.5 ? Espera-se que os mesmos respondam 5+5 ou 2+2+2+2+2, nestes casos o importante não é a resposta 10 e sim a representação do produto. Deve continuar com este processo conforme exemplos a seguir: Exemplos: Como posso representar 2.6 ? ( 6 + 6 ou 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2) Como posso representar 8.4? ( 8 + 8 + 8 + 8 ou 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4) Como posso representar 7.3? ( 7 + 7 + 7 ou 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3) Após os exemplos e a discussão sobre os produtos indagar os alunos sobre a representação da seguinte soma de produto: 2.5 + 4.5 ? (5+5+5+5+5+5), indagar os alunos se podemos escrever 6.5 ? Continuar com os exemplos e questionar os alunos o que eles estão percebendo. Exemplos: Como posso escrever 3.10 + 2.10? (10 + 10 + 10) + (10 + 10)= 5.10 Como posso escrever 4.8+3.8? (8 + 8 + 8 + 8) + (8 + 8 + 8) = 7.8 Como posso escrever 9.6+5.6? (6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6) + (6 + 6 + 6 + 6 + 6) = 14.6 Continuar a atividade colocando na lousa a seguinte expressão: 7.4 - 3.4, e perguntar como podemos representar a mesma. Representação: (4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4) - (4 + 4 + 4) = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 – 4 – 4 - 4 = 4.4 Exemplos:

Como posso escrever 7.3 – 2.3? Como posso escrever 5.5 – 2.5? Como posso escrever 9.9 – 8.9? Trabalhamos com soma e diferença de produto, para nos ajudar na parte algébrica. A professora deverá colocar no quadro a expressão x + x + x e questionar se é a mesma coisa do que 3.x ? Continuar a atividade com os exemplos abaixo: Posso escrever 5m como m + m + m + m + m ? Posso escrever d + d + d + d + d + d + d + d como 8.d ? Posso escrever a + a + a + a + a + a como 6.a ? A professora deverá socializar com os alunos que na matemática esses termos são denominados termos algébricos que são representadas por um número, uma incógnita ou pelo produto de número ou incógnita. Os termos algébricos possuem dois elementos que chamamos de coeficiente e parte literal, onde os coeficientes são os números e que as letras são denominadas a parte literal. 1) Separe a parte literal e os coeficientes dos seguintes termos algébricos

Termos algébricos

Coeficiente 7

7 -1

Parte literal

Em continuidade a professora deverá perguntar aos alunos como fica a expressão 5m + 3m? (Resposta: m + m +m + m + m + m + m + m = 8m). E a expressão 6x - 4x? (Resposta x + x + x + x + x + x – x – x – x = 2x) Acreditamos que os alunos já irão relacionar conforme os exemplos anteriores, se não houver esse entendimento trabalhar este exemplo conforme os anteriores. Formalizar com os alunos que esse forma reduzida chamamos de simplificação, que essa simplificação acontece quando a parte literal é a mesma podemos simplificar a expressão e consideramos como termos semelhantes, quando forem diferentes não podemos simplificar a expressão. Questionar os alunos como ficaria a seguinte expressão simplificada: 2x + 5x10x - 9x? E se fosse 10y + 4x como ficaria? Exercícios: 2) Simplifique as expressões. a) 7c + 5c b) 15k + 30k c) y + y + 6y d) 9 x – 3x e) 75w -25w f) 48r – 24r 3) Marque (V) para verdadeiro e (F) para falso: a) 17f + 15f = 32 b) 18c - 3c = 18c c) 9y + 7c= 19yc d) 54i + 105i = 159i

e) 97x + 100x = 197x 4) Podemos simplificar a expressão 34x - 8y? Por quê?

5) Represente o perímetro de cada figura, simplificando se possível:

K K

X +5 K

T +1

X +5

Y+8

X +5 Z +2

T +1

X +5

Parte 5: Sentenças Metodologia: Inicialmente relembrar com os alunos a primeira parte da sequência onde definimos o que é sentença e como podem ser classificadas. A professora passará na lousa novamente a definição de sentenças e sua classificação. Definição: Sentença é um conjunto de palavras com sentido completo. Muitas delas, especialmente as sentenças matemáticas podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas. Logo após a professora passará na lousa as sentenças matemáticas abaixo: a) cinco mais três é igual a oito. b) Quatro mais cinco é menor que dois. c)Dois é menor que vinte. d) Dez mais oito é igual a vinte. e) Sete é diferente de nove. f) seis é menor que três. g) Doze é o dobro de seis. h) o quadrado de três é maior que o cubo de dois.

Z +2 Y -3

i) a soma de três negativo com dois negativo é diferente ao oposto de cinco positivo. j) vinte é igual ao produto obtido por cinco e o quadrado de dois. k) dois elevado à quarta potência é igual de quatro elevado à segunda potência. A professora socializará com os alunos que essas sentenças podem ser escritas na linguagem matemática e podem ser classificadas em verdadeiras e falsas, depois juntamente com os alunos irá reescrevê-las para a linguagem matemática e classificalas. a) 5 + 3 = 8; Verdadeira b) 4 + 5 < 2; Falsa c)2 < 20; Verdadeira d)10 + 8 = 20; Falsa e) 7 ≠ 9; Verdadeira f) 6 < 3; Falsa g)12 = 2.16; Verdadeira h) 3² > 2³; Verdadeira i) -3 + (-2) ≠ -5; Verdadeira j) 20 = 5.2²; Verdadeira l) 24 = 4²; Falsa Parte 6: Sentenças expressas por uma igualdade, primeiro e segundo membro. Metodologia: A professora passará na lousa algumas sentenças matemáticas e indagará aos alunos o que elas têm em comum. Socializar que todas essas sentenças possuem sinal de igualdade. 2 + 5 + 7 = 10 + 4

2.x + x = 3x

x + 3x = 4

Em seguida irá pedir aos alunos que resolvam as sentenças abaixo para que elas se tornem verdadeiras. 11 + ____ = 26

÷ 7 = 0 + ____

2 ∙ ____ = - 14

7 – ____ = 4 ÷ 2

21=7×____

____ ∙ 5 = 125 ÷ 5

17 - ____ = 9

36 ÷ ____ = 4

15=3+____

Após completar as sentenças e socializar como os alunos fizeram e o que perceberam, será formalizado que: “a sentença matemática à esquerda do símbolo = é denominado 1° membro da igualdade” e “a sentença matemática à direita do símbolo = é denominado 2° membro da igualdade”. Parte 7: Equações Metodologia: Inicialmente a professora indagará aos alunos que irá fazer uma brincadeira, onde ela pergunta, o aluno responde e ela adivinhará o resultado como nos exemplos a seguir. A professora pergunta: 1- Carlos pense em um número. Multiplique esse número por 2. Agora some 3 ao resultado. Quanto deu? Carlos respondeu 13. Quando ele der a resposta, a professora adivinha. 2- Carla pense em um número par. Divide esse número por 2. Quanto deu? Carla respondeu 4. 3- Eduardo pense em um número. Eleve esse número ao cubo. Agora subtrai por 4 o resultado. Quanto deu? Eduardo respondeu 60. 4- Patrícia pense em um número negativo. Multiplica esse número por -2. Agora some por 6 o resultado. Quanto deu? Patrícia respondeu 30. 5- Bruna pense em um número par maior que 6. Divide esse número por 4. Agora some por 2 o resultado. Quanto deu? Bruna respondeu 4. Utilizando o que os alunos aprenderam sobre expressões, sentenças verdadeiras e falsas, sentenças abertas e fechadas, a professora escreve que o número pensado pode ser representado por uma letra e passará na lousa as seguintes sentenças matemáticas seguindo da definição de equações. Carlos  2x + 3 = 13 Carla  x : 2 = 4

Eduardo  x³ - 4 = 60

Patrícia -2. (-x) +2 = 30

Bruna  x : 4 +2 = 4

Equação: é uma sentença matemática com sinal de igualdade que envolve números desconhecidos representados por letras, denominadas incógnitas. Em continuidade a professora deverá apresentar algumas situações para os alunos descobrirem qual o número que a letra x está representando, neste momento a professora deverá indagar aos alunos a chegarem a uma equação, para então resolverem a mesma intuitivamente. 1- A professora falou para João pensar em um número somar 6 em seguida adicionar 10, em seguida João respondeu que o resultado deu 20. Qual o número que João pensou? 2- A professora falou para Alisson pensar em um número somar com 50 e subtrair por 15 em seguida Alisson respondeu que o resultado foi 42. Qual o número que Alisson pensou? 3- A professora pediu para Anderson pensar em um número negativo e em seguida subtrair 20 e somar 10 em seguida Anderson respondeu que o resultado foi -40. Qual foi o número que Anderson pensou? 4- Carol pensou em um número negativo e multiplicou este número pelo oposto de 6 e somou 9, em seguida Carol revelou que o resultado foi 21. Qual foi o número que Carol pensou?

5- Leandro pensou em um número e elevou o mesmo número ao quadrado e somou 53 e respondeu que o resultado 678. Qual foi o número que Leandro pensou? Em seguida a professora socializará com os alunos que os números que são representados pelas incógnitas, para tornar a sentença verdadeira são denominados raiz das equações. Trabalhando com as linguagens

A professora deverá entregar as sentenças abaixo ou passar no quadro, com o intuito de trabalhar a linguagem materna passando para a matemática. Após esta atividade pedir para os alunos resolverem as equações. Linguagem Materna

Linguagem Matemática

O quadrado de um número mais cinco é igual a um.

x2 + 1 = 5

Oitenta multiplicado por um número mais quarenta e cinco é 80.y + 45 = 25 igual a vinte e cinco. Dez multiplicado por um número menos sete é igual a 3.

10.x – 7 = 3

Dobro da diferença entre um número e um é igual a dois Seis mais um número é igual ao dobro do número

6 + x = 2x

Duas vezes um número mais seis é igual a dez

2x + 6 =10

Um número menos o seu triplo é igual a seis.

x – 3x = 6

Quatro vezes um número mais sete é igual a sete.

4 (7 + x) = 7

A diferença entre o quadrado de um número e o seu triplo é

x² - 3x = 15

igual a quinze. Seis mais um número menos o seu dobro é igual a menos

6 + x - 2x = -2

dois Atividade prática: Encontrando a equação. Pedir para os alunos escreverem em seu caderno 3 números quaisquer. Depois que os alunos escolherem estes números, a professora que está coordenando a aula deverá orientá-los para cada aluno fazer uma equação onde o número que o mesmo escreveu vai ser a raiz da equação criada. Depois das equações prontas, trocar as folhas dos alunos entre eles mesmos, para cada um resolver as equações e ver se está correto. Outra maneira de fazer esta atividade é recortar números, e colocar dentro de um saco e cada aluno retirar três números, e esses números seriam as raízes das equações que os alunos terão que criar. Exemplo: Carlos escreveu os seguintes números em seu caderno. 15, 7, 21 Equações: 2x + 5 = 35

3x = 21

2x + 8 =50

Exercícios 1) O número 2 é raiz da equação 4x – 21 = x +5? Justifique sua resposta 2) Qual dos números a seguir é raiz da equação 4y + 8 = y +17 ? -5 , 3 ou 5 ? 3) Verifique se 2 é raiz das equações a seguir: c) 2x = 4

b) – 2x = 4

a) x² = 4

d) x -2 = 4

9ª parte: Método da balança Metodologia: A professora deverá passar no quadro a seguinte balança. E perguntar aos alunos qual a equação que representa a balança.

10g

10g 8g

Equação representada pela balança: x + x +10 = x + 8 + 10

Em continuidade a professora deverá chamar a atenção dos alunos para os pesos que aparecem nos dois pratos, questionar os alunos se retirar um peso de x de cada lado se a balança ainda vai ficar representando uma igualdade.

10g

Podemos perceber que a balança continua em equilíbrio e que a equação correspondente é x +10 = 10 +8

A professora deverá questionar os alunos se ainda tem algum peso de mesma massa que podemos retirar dos dois pratos e a balança ainda continuará em equilíbrio. Esperamos que os alunos respondam que ainda podem retirar o peso de massa 10 g, resultando

Podemos perceber que a balança ainda continua em equilíbrio e a equação corresponde é x = 8

A partir do método da balança, encontramos a solução da equação, neste caso, x = 8, a qual também é solução das equações 2x + 10 = x + 18 e x +10 = 18 , por este fato, dizemos que estas equações são denominadas equações equivalentes duas ou mais equações do primeiro grau, que possuem a mesma solução no mesmo conjunto universo.

10ª parte: Principio aditivo e multiplicativo, resolução de equações. Metodologia: A professora passará na lousa: a resolução de equações do primeiro grau com uma incógnita e feita transformando cada equação em uma equação equivalente e mais simples, ate que a solução seja obtida. Somando ou subtraindo um mesmo numero aos dois membros de uma equação, obtemos uma equação equivalente a primeira. Exemplos: 2x – 1 = x + 5

Somando 1 aos dois membros da equação temos:

2x – 1 + 1 = x + 5 +1

Reduzindo os termos semelhantes temos:

2x = x + 6

Subtraindo x dos dois membros temos:

2x - x = x + 6 – x

Reduzindo os temos semelhantes temos:

x=6 Verificando: 2.6 – 1 = 6 + 5 12 – 1 = 11 11 = 11 Relembrar com os alunos que o numero 6 é denominado raiz da equação 2x – 1 = x + 5, Multiplicando ou dividindo os dois membros de uma equação por um número diferente de zero, obtemos uma equação equivalente à equação dada. 4x = 9x – 35

Subtraindo -9x de cada membro da equação temos:

4x – 9x = 9x – 35 -9x

Reduzindo os temos semelhantes temos :

-5x = -35

Multiplicando os dois membros da equação por -

-5x . - = -35 . -

Resolvendo a multiplicação de fração temos:

x=7 Verificando: 4.7 = 9.7 – 35 28 = 63 – 35 28 = 28 Relembrar com os alunos que o numero 7 é denominado raiz da equação 4x = 9x – 35. 11ª Parte: Equacionando problemas

Com estes problemas, tentaremos utilizar com os alunos a metodologia resolução de problemas, visando promover momentos de discussão entre os alunos, discutindo os erros, os acertos, os meios de resolução deixando com os mesmos, com o intermédio da professora consigam chegar a um consenso. A seguir alguns exercícios que podem ajudar na fixação do conteúdo.

Anexo 1 Frases 1

A professora de matemática

A professora de matemática é boazinha.

4+2=6

1-5 = 4

Duas vezes um número

Minha bicicleta.

Um número mais.

A soma ½ + ½ é um numero inteiro

Todo quadrado é retângulo.

Cinco mais três é igual a oito.

2+10

Quatro mais cinco é menor que dois

Um número mais dez é igual a 14.

Minha mochila.

54+46<101

89-45

82+2>85

Dois é menor

Soma de dois números

Quatro mais cinco e diferente de sete

Vinte e um menos um é diferente de dezenove

Expressões

Sentenças

Anexo 2. “Eu tenho, quem tem?” Dinâmica: A dinâmica consiste em um total de 35 cartas que possuem uma expressão na linguagem matemática e em seguida uma expressão com a linguagem materna. A professora deverá entregar uma carta para cada aluno (se sobrar carta a professora deverá ficar com uma, e os licenciandos presentes com as outras), após a entrega a professora deverá começar a dinâmica lendo sua carta, ou escolher um aluno para começar. Ao discorrer a atividade, a professora deverá acompanhar passo a passo, ficando na lousa para se caso houver dúvida sobre a sentença na forma materna, indagar os alunos sobre qual é a expressão correspondida. As cartas foram feitas em um ciclo, onde todas as cartas iram ser utilizadas. A atividade tem duração de uma aula, se a professora perceber que ha dificuldade no decorrer da atividade, aproveitar a atividade para aprofundar a transformação de linguagens.

Eu tenho 2 x.

Quem tem meu número mais um?

Eu tenho 2x+1.

Eu tenho 4x+2.

Quem tem quádruplo de um número mais dois?

Quem tem triplo de um número mais o oposto de quatro?

Eu tenho 3x-4.

Quem tem cinco vezes um número mais meio?

Eu tenho -2x.

Quem tem um quarto de um número vezes quatro?

Eu tenho 25 x + 9.

Quem tem o oposto do dobro de um número mais cinco quartos?

Eu tenho 10x + 20.

Eu tenho 5x + .

Quem tem o triplo de um número menos seu oposto?

Eu tenho

x.4

Quem tem nove vezes um número somado com o oposto de cinco?

Eu tenho – 2x + .

Quem tem sete vezes um número mais três quinze avos?

Eu tenho 5x + 25.

Eu tenho o 0.

Quem tem o meu número menos o dobro de x?

Eu tenho 9 x – 5. Quem tem vinte cinco vezes um número mais o oposto de menos nove?

Eu tenho 7x +

Quem tem dez vezes um número mais o dobro dele?

Eu tenho 3 + 5x.

Quem tem cinco vezes um número mais oposto de -25?

Quem tem três mais o quíntuplo de número?

Eu tenho 3x +

Eu tenho 4x +

Quem tem quatro vezes um número mais quatro vinte avos?

Quem tem quatro vezes Quem tem o oposto de -5 mais um número mais o oposto oito vezes um número? de -4?

Eu tenho 4x + 4.

Eu tenho 4x – 5.

Eu tenho 6x + 12.

Quem tem o dobro de duas vezes um número mais o oposto de +5?

Quem tem seis vezes um número mais o mais o dobro dele?

Quem tem sete vezes um número mais o dobro dele?

Eu tenho x. 6

Eu tenho 7 + 5x

Quem tem o triplo de um número x, somado com a sua metade?

Eu tenho 5 + 8x.

Eu tenho

x – 15.

Quem tem o oposto de menos sete mais cinco vezes um número?

Quem tem meio de um número mais o oposto de mais quinze?

Eu tenho 35x +

Eu tenho 0.

Quem tem trinta e cinco vezes um número mais nove vinte cinco avos?

Quem tem o dobro de um número menos o seu oposto?

Eu tenho 3x + 20.

Eu tenho 40x +

Quem tem quarenta vezes um número mais oito trinta avos?

Quem tem o oposto de mais seis mais cinco vezes um número?

Quem tem triplo de um número mais o oposto de menos vinte?

Eu tenho - 6 + 5x.

Quem tem o dobro de um número ?

Anexo 3. Batalha das Equações O jogo O jogo consiste em um painel que será confeccionado pelo grupo com os envelopes contendo as perguntas, seis envelopes de cor vermelha, para ver a ordem de participação dos grupos e um cronometro para marcar o tempo de cada grupo. Painel. Batalha das equações. A

1 2 3 4 5 6

Regras: A professora deverá dividir a sala em 4 ou 6 grupos, onde cada grupo deverá conter de 4 a 5 integrantes. ( A divisão dos grupos deverá ser em uma quantidade em que não sobre envelopes no painel, que possui 36 envelopes.) Para começar o jogo cada grupo deverá escolher um líder, que irá escolher um envelope de cor vermelha, que contém uma equação. O líder deverá resolver a equação que contém no envelope junto ao grupo, o grupo que tiver a raiz da equação maior começará o jogo.

O líder deve escolher um envelope do painel, indicando a letra e o número, por exemplo, C 5. O coordenador da atividade deverá ler a pergunta ou questão do envelope em voz alta para que o grupo responda. O grupo terá 30 segundos para responder a questão, se responder corretamente ganha um ponto. Se não souber a resposta passa a vez para o grupo seguinte, se responder de forma incorreta perde um ponto. Ganha o grupo que tiver maior pontuação.

Questões que estarão nos envelopes. Envelopes vermelhos :      

x + 20 + 4x = 8x 10x + 30 = 6x – 10 x+6= x x + 3 = 67 – 15 x 6 m +43 = 20m + 1 3p – 38 = 52 + p

(x=10) (x=-10) (x=10,9) (x=4) (m=- 3) (p= 45)

Envelopes para o painel: 1. O que é uma equação? 2. Cinco mais três é igual a oito. Esta frase é uma expressão ou sentença ? Qual sua classificação? 3. Crie uma sentença matemática verdadeira 4. Crie uma sentença matemática falsa 5. Represente na linguagem matemática a seguinte expressão: O dobro da diferença entre x e 3 6. Represente na linguagem matemática a seguinte expressão: A divisão da soma de x com 3 por 2 7. Calcule 3x + 5, para x = -18 8. Calcule a² - 2ab + b² para a = -5 e b=2 9. Verdadeiro ou falso: 56x +4x²=60x ? 10. Verdadeiro ou falso: 5x+8y=13xy ? 11. Verdadeiro ou falso: 5x + 8x+10x= 23x ? 12. Verdadeiro ou falso: Coeficiente e a letra que acompanha o número em um termo algébrico? 13. Quando podemos simplificar uma expressão algébrica ? 14. No termo algébrico 10568xy, qual é a parte literal e qual é o coeficiente? 15. A sentença 3x + 4< 8x é uma equação ?Por que ? 16. Simplifique a expressão algébrica -2(2x-4)+5(-2x-10).

17. Escreva a equação que tem por primeiro membro 4x + 15 e segundo membro 9x+39 18. Qual é a raiz da equação x + 2 = 6 19. O número 2 é raiz da equação 4x - 21 = x + 5 20. Resolva a equação: 2x + 10 = x + 8 + 10 21. Resolva a equação: 2x – 1 = x + 5 22. Carol, Carlos e Cássia são irmãos. Hoje, a idade de Carol é o triplo da idade de Carlos, e a idade de Cássia e o quíntuplo da idade de Carlos. Qual é a idade de cada irmão se juntos, eles têm 36 anos ? 23. Uma batedeira e um liquidificador custam juntos, 151 reais. A batedeira custa 21 reais a mais que o liquidificador. Qual é o preço da batedeira? 24. Danilo estava participando de uma competição de bicicleta que tinha em seu percurso uma parte de asfalto e mais 6 metros de terra, sabendo que Danilo deu duas voltas no percurso, e que andou no total da competição 17 km, quantos quilômetros possui a parte asfaltada? 25. Resolva a equação: 5 (2x – 1) = 2 (x + 4) 26. Resolva a equação x – 2(x – 1) = 4 – 3(x-2) 27. 2x – 3(4 – x) = 5 + 4(2x + 1) 28. Um número menos 12 é igual a do mesmo número. Que número é esse ? 29. Descubra três números inteiro consecutivos cuja soma seja 345. 30. Tatiana irá iniciar o cultivo de uma horta em um terreno de perímetro igual a 308m. O terreno tem forma retangular e um dos lados mede 14m. Quais são as medidas desse terreno? 31. Calcule o valor numérico da expressão 3x² + 5, para x = 0,5 32. Calcule a equação 0,5 x + 0,8 x = 2,6 33. O dobro de um número, mais a sua terça parte, mais sua quarta parte somam 31. Determine o número. 34. Resolva a equação 2x + x + 3 = 9 x 3 = x – 19 35. Calcule a equação 3 36. Represente na linguagem matemática sete vezes um número mais o dobro dele?

Trabalho de Matemática Nome: ________________________________________________________________

1) Em uma viagem, o motorista fez uma parada depois de percorrer

2 do trajeto. 3

Antes de retornar à estrada, ele verificou que faltavam 15km para chegar a seu destino. Qual era a medida desse percuso? 2) Tatiane irá iniciar o cultivo de uma horta em um terreno de perímetro igual a 308m. O terreno tem forma retangular e um dos lados mede 14m. Quais são as medidas desse terreno? 3) Descubra três números inteiro consecutivos cuja soma seja 345. 4) Em uma prova com 30 questões de múltipla escolha, a cada questão certa era dado 1 ponto, e a cada questão errada era descontando 1 ponto. Quantas questões Joaquim acertou se, respondendo a todas as questões, obteve 16 pontos? 5) Paulo comprou um terreno para a construção de uma casa que ocupará

1 da área 3

total. Os 600 m2 restantes formam uma área livre. Qual é a área total do terreno? 6) Numa sala de aula, 30% dos alunos vão participar de um curso de teatro, e os 28 alunos restantes não participarão. Quantos alunos há nessa sala? 7) Em um sala de aula, há 20 alunos. Certo dia, faltaram 6 meninas, e o número de meninos e de meninas ficou igual. Dos 20 alunos, quantos são meninos e quantas são meninas? 8) Num campeonato de futebol, os dois melhores artilheiros pertencem ao time vencedor. Durante o campeonato, só esses dois jogadores marcaram 32 gols. Se o segundo artilheiro marcou um terço do número de gols do primeiro, quantos gols cada jogador marcou? 9) Descubra as medidas dos lados de um triângulo, sabendo que x, y e z são as medidas dos lados desse triângulo de perímetro igual a 32cm. A medida x é o dobro da medida y, e z é igual a 14cm. Quais são as medidas de x e y?

Trabalho de Matemática – 7° Ano “A” Nome: ____________________________________________________________ n°. ________ Professora: Ana Carolina Igawa Barbosa 1. Considere que x indica um número qualquer e represente-o por meio de expressões algébricas: a) x aumentado de 6

b) O triplo de x

c) O quadrado de x

d) A diferença entre 8 e a terça parte de x

e) O dobro da soma de 6 com x

f) O dobro do consecutivo de x

g) x aumentado de 16

h) O dobro de x somado com 57

i) O dobro da soma de 6 com x

j) x diminuído de 9

k) A metade de x

l) O dobro de x somado com 7

m) A soma do quadrado de x com 1

n) A diferença entre o dobro de x e o cubo

de x o) O sucessor somado ao antecessor de x

p) x diminuído de 39

2. Calcule o valor numérico das expressões algébricas: a) 5x – 8, para x = 4

b) 3 – x², quando x = 3

c) a² – 5b, se a = 4 e b = –1

d) x + 2y, para x = 41 e y = 31

e) 3x² + 1, para x = 0,7 3. Resolva as equações do 1º grau com uma incógnita:

4. Para a situação a seguir, separe os dados do problema, escreva uma equação e em seguida resolva, dando a solução para ele. Marcelo tinha certa quantia em dinheiro. Ganhou a mesma quantia de seu pai e passou a ter R$250,00. Quanto Marcelo tinha inicialmente? 5. Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?

6. (FUVEST-SP) Calcule x tal que

1 x 1   3 2 4

7. (FUVEST-SP) Resolva a equação:

8. (UNESP-SP) Resolva a equação:

1  1  x  6  x . 2 3 

3x  2( x  5) 

3x 5  0 2 2

9. (UGF-RJ) A solução da equação 5(x + 3) – 2(x – 1) = 20 é (Assinale a opção correta, justificando-a com os cálculos.) a) 0

b) 1

c) 3

d) 9

10. (ENCCEJA-MEC) Considere a balança em equilíbrio na figura. O valor representado pela letra x é __________.

11. As caixas abaixo têm o mesmo número de canetas coloridas:

a) Qual equação determina o número de canetas em cada caixa? b) Quantas canetas há em cada caixa? 12. O perímetro de um retângulo mede 92cm. Quais são suas medidas, sabendo-se que o comprimento tem 8cm mais que a largura?

13. (FUVEST-SP) O dobro de um número, mais a sua terça parte, mais sua quarta parte somam 31. Determine o número.

14. Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas. Determine o número de bicicletas e de carros.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência PIBID/UFU-CAMPUS DO PONTAL Subprojeto: Matemática- Pontal EECJM-– Escola Estadual Coronel João Martins Sequência didática de Monômios e Polinômios Professora Supervisora: Ana Carolina Igawa Barbosa. Licenciandos: Anália, Leandro, Mizael e Níffer. Ano: 8º Ano do ensino fundamental. Datas: Conteúdos:

 Padrões algébricos;

 Expressões algébricas;

 Monômios: parte literal, coeficiente, termos semelhantes e operações elementares;

 Polinômios e operações elementares. Materiais utilizados: cartazes, caderno, lousa, lápis, calculadora e borracha. DESCOBRINDO PADRÕES ALGÉBRICOS Para iniciar o conteúdo de Álgebra, o professor deverá propor alguns exercícios para que eles generalizem ou achem a regularidade em cada um deles. 1) Observe a sequência abaixo e descubra sua regra de formação e continue desenhando:

a) Qual é o 12º elemento da sequência? b) Qual o 23º elemento da sequência?

c) E o 54º elemento? d) Como você descreveria a regra de formação desta sequência? Ou seja: para uma posição n qualquer, como ficaria o desenho? 2) Observe a sequência das figuras abaixo:

a) Desenhe a quarta figura da sequência. b) Desenha a sexta figura da sequência. c) Construa uma tabela relacionando a posição de cada figura com seu número de bolinhas. d) A 10ª figura tem quantas bolinhas? e) E a 21ª tem quantas bolinhas? f) O que fazer para descobrir o número de bolinhas de qualquer figura da sequência? Escreva uma regra para uma figura de ordem n. 3) Observe a sequência abaixo e responda:

a) Desenhe a próxima figura da sequência. Quantas bolinhas ela tem? b) Desenhe a sétima figura da sequência. Quantas bolinhas ela tem? c) Construa uma tabela relacionando a posição de cada figura com o seu número de bolinhas. d) A 16ª figura tem quantas bolinhas? e) E a 25ª figura? f) O que fazer para descobrir o número de bolinhas de uma figura de ordem n da sequência?

4) Observe as sequências abaixo:

a) Quantas pessoas conseguimos acomodar usando 3 mesas? b) Quantas pessoas conseguimos acomodar usando 4 mesas? c) Quantas pessoas conseguimos acomodar usando 10 mesas? d) Quantas mesas são necessárias para acomodar 42 pessoas? e) É possível acomodar 86 pessoas utilizando essa disposição? De quantas mesas precisaríamos? f) Você consegue descrever uma regra que associe, de forma geral, o número de mesas com o número de pessoas? 5) Diofanto foi um matemático famoso que viveu na Grécia antiga. Tudo o que se sabe ao seu respeito está escrito em seu túmulo sob a forma de um enigma Matemático. Observe as frases e passe para a linguagem algébrica. Na linguagem do túmulo 'Aqui jaz Diofanto,'. Através da arte algébrica, a pedra diz o quão velho. Deus lhe deu a infância um sexto da sua vida. Uns doze avos mais como jovem enquanto

bigodes

cresciam

frequentemente; E ainda depois uns dezessete avos o casamento começava; Depois de cinco anos veio saltando um

Na linguagem algébrica

novo filho. Ai de mim! O querido filho do mestre e sábio. Depois de alcançar a metade da medida da vida de seu pai o destino frio o levou Depois de consolar o seu destino com a ciência dos números por quatro anos, ele terminou sua vida. Agora responda: a) Quantos ele viveu? b) Com quantos anos se casou? c) Quantos anos ele tinha quando perdeu o filho? A partir da resolução desses exercícios os alunos terão produzido as seguintes generalizações: 3+n, 2n+2, O professor irá explicar que essas generalizações são chamadas de expressões algébricas. Em seguida, irá explicar que essas expressões são exemplos de monômios e polinômios. Desta forma, será promovida uma discussão acerca do que os alunos entendem pelo prefixo “mono” e “poli”, induzindo-os a pensar que é um termo e vários termos e, posteriormente, a esta discussão, será formalizado na lousa os conceitos de monômios e polinômios. Após a discussão, os alunos serão solicitados a classificar as expressões discutidas anteriormente em monômios e polinômios. Expressão

Monômio ou polinômio?

Posteriormente, ao preenchimento e a classificação será apresentado aos alunos que nos monômios a parte numérica é chamada de coeficiente e a parte literal é formada pelas letras, também chamadas de incógnitas ou variáveis. Agora faça você!

Monômio

Coeficiente

Parte literal

x 6

7ª2b3

13xy 6

a2b3 xy

MONÔMIOS SEMELHANTES OU TERMOS SEMELHANTES O professor deverá mostrar os monômios formados no problema de Diofanto, mostrando que possuem a mesma parte literal, ou seja, x. Esses monômios são chamados de monômios semelhantes ou termos semelhantes e irá mostrar outros exemplos: x³, 8x³, 27x³,

2 x³ 3

1 2ab, - ab , 5ab e 20ab. 3 O professor irá pedir aos alunos que identifiquem os em seguida se os monômios são semelhantes ou não: a) 4x² e 4x³ b) 5xy² e 7xy c) 9y e -2y d)

3 x E –x 5

e) 7ab e 6ba f) 4xy³ e 4x g) 9x e 9y

3 8 ae a 3 8

2) Escreva em seu caderno: a) Dois monômios semelhantes cujos coeficientes são números opostos. b) Dois monômios semelhantes cujos coeficientes são números inversos. c) Dois monômios semelhantes a 5ax². d) Um monômio que não é semelhante a 5ax².

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MONÔMIOS Dando continuidade o professor irá para a lousa, e falará com a turma, sobre como escrever alguns produtos de outra maneira. Indagando os mesmos se todos sabem que o produto de: 2 x 5 é o mesmo que 5 + 5? Então pode se dizer que 4 x 5 é o mesmo que 5 + 5 + 5 + 5? Então posso escrever que 2 x 5 + 4 x 5 = (5 + 5) + (5 + 5 + 5 + 5) = 6 x 5? Em seguida, pedirá aos mesmos que escrevam o produto de 3x10 + 2x10, como no exemplo acima. Escreverá em seguida na lousa, se aconteceria o mesmo no 7x3 – 2x3 poderia ser (3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 ) – (3 + 3)? Ou então 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 – 3 - 3= 5x3? Dando continuidade na sequência, o professor irá indagar o que significa 3x, é esperado que os alunos saibam que é a soma x + x + x. Posteriormente, ele indagará se o mesmo acontece nos casos na tabela abaixo, pedindo que façam os exercícios: 3x + 2x

(x + x + x) + (x + x)

x+x+x+x+x

8m + 2m

(m + m + m + m + m

m+m+m+m+m

10m

+ m + m +m) + (m +

+ m + m +m + m +

(y) + (y) + (y + y + y

y+y+y+y+y+y

y + y + 5y

5a – 3a 3m – 5m

+ y + y)

(a + a + a + a + a) –

a+a+a+a+a–a

(a + a + a)

–a–a

(m + m + m) – (m +

m+m+m–m–m

m + m + m + m)

–m–m–m

2a -2m

Logo depois, o professor deve indagar aos alunos se é sempre possível escrever desta forma? Se eles conhecem outra forma de escrever? Se conseguem fazer de uma forma simplificada? Após estas indagações, deve pedir aos alunos que deem mais exemplos e anotálos na lousa, resolvendo os mesmos com eles. Dando continuidade a aula o professor dará algumas situações problemas na lousa: Exemplos: Um aluno meu uma vez escreveu que 8x – x = 8 e argumentou que era só cortar o x. Ele estava certo? Então como é o correto? O professor deve deixar claro aos alunos que a adição algébrica de monômios semelhantes é obtida adicionando-se algebricamente os coeficientes e mantendo-se a parte literal. Em seguida pode passar alguns exercícios na lousa para fixação, como: 2a + 3a=

5x + 7x=

13n + 18n =

7b + 5b=

10y - 5y=

17k -1k=

5i + 2i + 7i = 5m2 + 3m2 = 6xy – 4xy = 2a + 3b= MULTIPLICAÇÃO ALGÉBRICA Para explicar a multiplicação de monômios, o professor dará inicio a aula, usando apenas números, inicialmente ele irá perguntar aos alunos, como pode resolver o seguinte exercício: 2x4x5x4

O professor deve perguntar aos alunos se tem algum numeral que se repete? É esperado que os alunos notem que o número 4 apareceu duas vezes, em seguida perguntar aos mesmo como podem escrever esta multiplicação de outra forma. Sempre transcrevendo as respostas no quadro, algum dos alunos deve falar que a multiplicação pode ser escrita como: 2 x 5 x 4² Após estas socializações o professor pode perguntar como ficaria a multiplicação de 2c x 3c? 2c x 3c = 2 x 3 x c x c = 6 c² E a multiplicação de 3y x 4y x 2y? 3 x 4 x 2 x y x y x y. Quanto é 3 x 4 x 2? E y x y x y? O resultado da multiplicação dos coeficientes é 24, e a da parte literal é y³. E se fosse 4m2 x 3 m2? Posso dizer que 4m2 x 3m2 = 4 x m x m x 3 x m x m = 4 x 3 x m x m x m x m = 12 m4, o professor deve instigar aos alunos a lembrar das propriedades de potência, quando se tem um produto de potência de mesma base, somam-se os expoentes e conserva-se a base. Pois foi esta a propriedade aplicada no produto de 4m2 x 3 m2 = 4 x m x m x 3 x m x m = 4 x 3 x m x m x m x m = 4 x 3 x m1 +1+1+1

= 12 m4

Em seguida, deve fazer a seguinte pergunta: “Posso fazer a multiplicação de 3y x 5y2 pois sabemos que pela propriedade de potência isto acontece, mas o que acontece na soma de 3x + 5x2?” Os alunos devem ser lembrados que não podem somar, já que os termos não são semelhantes. Dando continuidade a aula o professor deve propor alguns exercícios de fixação: a) -3(a + y) b) 7(a - 2y) c) -2a(a + y) d) 4a (a + b) e) 2a(a² - 2a + 5) f) (a - 5) x (a + 2) g) (3a + 2) x (2a + 1) h) (a + 7) x (a - 4) i) (3a + 4) x (2a - 1) j) (a - 4y) x (a - y) k) (5a - 2) x (2a - 1) l) (3a + 1) x (3a - 1)

m) (2a + 5) x (2a - 5) n) (6a² - 4) x (6a² + 4) o) (3a² - 4a - 3) x (a + 1) p) (a² - a - 1) x (-a - 3) q) (a - 1) x (a - 2) x (a - 3) r) (a + 2) x (a - 1) x (a + 3) s) (a³ - 2) x (a³ + 8) t) (a² + 2) x (a² + 6) Então o professor pode concluir que para multiplicar dois monômios, eles não precisam ser semelhantes.

DIVISÃO DE MONÔMIOS Depois disso, o professor deverá explicar a divisão de monômios. Nesse caso se utiliza a propriedade da divisão de potência de mesma base. O professor inicialmente deve perguntar aos alunos qual é o resultado de 8 x2: 4x? Em seguida irá resolver na lousa como descrito abaixo, 8 x2: 4x =

8.x.x  2x 4.x

Perguntando aos mesmos se eles acreditam na resolução. Se estes ainda demonstrarem dúvidas, o professor dará o exemplo de que 6 : 2 = 3, demonstrando que 3 x 2 = 6. Em seguida, o professor irá escrever na lousa 10y : 5y = 2y e perguntará aos alunos se alguém saberia dizer se está correto. Se ainda restar dúvidas o mesmo pode montar resolver a expressão abaixo: 10y : 5y =

10.y 2 5y

Posteriormente, será dado outro exemplo na lousa: 10 x 3 : 5 x 3 = 2 x 3. Está correto? Exemplifique no quadro demonstrando que a afirmação é falsa.

10 . 3 10   2 o que é diferente de 2 x 3. 5.3 5 Em seguida, escreva 10y : 5y e peça para os alunos resolverem. Dará 2 Dando continuidade, continue mostrando mais exemplos: 18m : 2m = 9; 3r : 3r = 1;

2 x 2 2.x.x 1x x    (lembrar que nem sempre dá para dividir os coeficientes!) 4x 4x 2 2 12x6 : 3x² =

12.x.x.x.x .x.x 12x 6 .  4 x 4 ( veja que aqui o aluno vai recordando que é .= 3.x.x 3x ²

só subtrair os expoentes quando as bases são iguais).

8.x.x.x..x 2x ² 8x 4 8x : 12x² = . . .= 12 x.x 3 12 x² 4

4am 5 4.a.m.m.m.m.m 2.a.m.m.m.m 4am 2m = . . = 2am4 .= 2m 1 2m 5:

(Concluir com os alunos que pode-se fazer direto, pode pegar os mesmos exemplos e fazer apenas: dividindo os coeficientes e subtraindo os expoentes da parte literal, quando possível).

Após esta exposição, o professor passará alguns exercícios de fixação na lousa. a) (35x8) : (5x²) b) (7a²) : 7a c) m5: m² d) (8x) : 4x³ e) 30x³ : 5x³ f) (18x³y²) : (3xy²) g) 20x² : 5x h) 8x6 : 7x i) 16x³ : 14x² j) 3x : 4 k) 3x³ : 4x³ l) 27x7b² : 15xb² POTENCIAÇÃO COM MONÔMIOS

Dando continuidade, o professor irá para lousa e escreverá alguns exemplos algébricos com potenciação. (2. 3)²= (2. 3)x(2 . 3) = 2. 3. 2. 3 = 2 . 2 . 3 . 3 = 2². 3² Por meio da demonstração iremos padronizar que (2. 3)² = 2². 3² e, posteriormente, será dada continuidade a partir do preenchimento do quadro apresentado abaixo:

EXPRESSÃO

SIMPLIFICAÇÃO

(5 . 2)²

5². 2²

(5 . 3)³

5³. 3³

(5 . 4)4

54 . 44

(5 . 5)5

55 . 55

(5 . 6)6

56 . 56

(5 . 7)7

57 . 77

(5 . 8)8

58 . 88

(5 . x) ³

5³. x³

(5. x . y) ³

5³. x³. y³

Em seguida, o professor passará na lousa alguns exemplos de potenciação com mesma base, relembrando algumas propriedades: (a2)3 = a2. a2. a2 = a.a.a.a.a.a = a6 (usando definição de potência). (a2)3 = a2. a2. a2 = (a.a).(a.a).(a.a) = a.a.a.a.a.a = a6 = a2+2+2 (usando multiplicação de potências de mesma base). (a2)3 = a2. a2. a2 = a2+2+2 = a6 = a2x3 (usando a propriedade de potência de potência).

Posteriormente será passado na lousa a seguinte expressão (5x³)² e solicitado que os alunos resolvam utilizando duas das propriedades apresentadas acima: (5x³)² = 5². (x³)² = 52 . x³x² = 52 . x6 = 25x6. Ou pode ser feito assim também: (5x³)² = (5x³). (5x³) = 5 . 5 . x³. x³ = 25x6 (-2xy²)³ = (-2)³. x³. (y²)³ = -8x³y6 (4x²)-1 = 4-1. (x²)-1 = ¼. X-2 = ¼. 1/x² =, com x ≠ 0.

(4 x )  4 .( x )  4 .x 2 1

1

2 1

1

2

1 1 1 1 1    .   . 2  2 , com x ≠ 0. 4 x 4x 4  x

(3x)4 = 34. x4 = 81x4 (2x) -2 = 2-2. x-2 =, com x ≠ 0. (5a³b²)4 = 54 . (a3)4 . (b2)4 = 625a12b8

Depois o professor deve pedir para os alunos que efetuem as potenciações: a) (9x9)² b) (-3x²y)4 c) (7y)² d) (-x)³ e) (2a²b)5 Em seguida, o professor deve propor algumas operações com monômios: a) 3x4 + 12x4 b) 9xy - xy c) (3x³) . (2x²) d) (16x10) : (2x²) e)

, para x ≠ 0

f) (2x4) : (2x³), para x ≠ 0 g) (4x³) . (2x²) h) 9x²y + 3x²y

Polinômios

O professor deverá fazer a seguinte figura na lousa, destacando o valor das áreas, como é mostrado abaixo:

III I

Área I = x² Área II = xy Área III = y² Área total = x² + xy + y²

É esperado que os alunos percebam que esta expressão indica uma soma algébrica, assim, o professor explicará aos mesmos que a adição ou a subtração de monômios não semelhantes, é chamada de polinômio.

O professor deve dar exemplos como: 2x2 – 5x3 + 6 5b – 7b2 + 4b3 – 5 m3 + m – 1 5y – 3y2 + y3 Em seguida, será explicado que conforme o número de parcelas ou termos com partes literais diferentes, um polinômio recebe nomes especiais. Exemplo:

Número de termos

Nome

Exemplo

Monômio

2xy

Binômio

a² - 2ab

Trinômio

x² + 2xy + y²

Um número qualquer

Polinômio

a³ - 3a²b + 3ab² + b³

O professor pode propor que os alunos resolvam este exercício: Dê o nome dos polinômios de acordo com o número de termos: a) 6x² - 4x + 9 b) -3r + s c) -2abc d) 4x4 Redução de termos semelhantes

Dando continuidade a aula o professor deve fazer com que os alunos notem que em uma mesma expressão, se tiverem dois ou mais termos semelhantes, eles podem reduzi-los todos a um único termo.

Exemplos: 5x + 3x – 2x = 6x 7xy – xy + 5xy = 11xy 2x + 3y + 3x + x – 2y = 6x + y

O professor pode propor alguns exercícios de fixação:

1. Reduza os termos semelhantes: a) 8a + 2a b) 7x – 2x c)2x2 – 9x2 d) 4a2 – a2

Se o professor achar que os alunos já conseguem trabalhar com a eliminação de parênteses, colchetes e chaves pode aplicar também estes exercícios, mas fica a critério do professor.

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r)

GRAU DE UM MONÔMIO E GRAU DOS DEMAIS POLINÔMIOS O grau de um monômio é dado pela soma de todos os expoentes de sua parte literal. Por exemplo, temos que 7x2y é um monômio do 3º grau, já que 7x2y1 é o mesmo que 2 + 1 = 3; -4 é um monômio de grau zero, pois (-4x0) e 3xy é monômio de 2º grau, porque 3x1y1 é o mesmo que 1 + 1 = 2. Por outro lado, o grau de um polinômio é dado pelo seu termo de maior grau, depois de reduzidos seus termos semelhantes. Por exemplo, temos que 4x3 – 3x2 + 5 é

um polinômio do 3º grau, pois 4x3 é seu termo de maior grau e 2x + xy – 6y é um polinômio do 2º grau, pois xy é seu termo de maior grau. EXERCÍCIO: INDIQUE O GRAU DOS POLINÔMIOS ABAIXO: a) 9x5 b) 19abc c) 5x4 + 3x2 – 5 d) 2xy2 – 4x2y ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS Dados os polinômios A = 3x2 + 2x e B = 2x2 + x, vamos indicar a soma por A + B e a diferença por A – B. Para calculá-las, reduzimos os termos semelhantes: A + B = (3x2 + 2x) + (2x2 + x) = 3x2 + 2x + 2x2 + x = 5x2 + 3x. Assim, A + B = 5x2 + 3x A – B = (3x2 + 2x) – (2x2 + x) = 3x2 + 2x – 2x2 – x = x2 + x. Assim, A – B = x2 + x EXERCÍCIO: EFETUE ESTAS ADIÇÕES E SUBTRAÇÕES EM SEU CADERNO a) (x2 + 3x – 1) + (-2x +3) = b) (-ab2 + ab – 4) + (2ab2 – ab -5) = c) (a3 + 2a2 – 5) – (a3 – a2 – 5) = d) (4x3 – 4x2 + 2x + 1) – (2x3 – 3x2 + x + 2) = e) (a2 – a + ab – b) – (a + 2ab – b) MULTIPLICAÇÃO DE MONÔMIO POR POLINÔMIO Você pode também trabalhar com números. Por exemplo: 4. (3+7) é o mesmo que 4. 3 + 4. 7 ? (Façam as flechinhas) 3. (3 + 5 + 6) é o mesmo que 3.3 + 3.5 + 3.6?

Nós fazemos isso quando multiplicamos, por exemplo 25 . 6, podendo fazer: 25 x6

20 + 5 x__ 6 120 + 30 150

Assim, dá para recordar a propriedade distributiva. Realizada a atividade com os números partiremos para uma situação problema. Vamos determinar a área da região retangular ABCD. Calculamos separadamente as áreas das regiões I e II e somamos: X 3x

I: 3x. x = 3x2

II: 7. 3x = 21x Área total: 3x2 + 21x

Mas veja que a região toda é retangular de largura 3x e comprimento x +7. Logo, sua área pode ser escrita como uma multiplicação de um monômio (3x) por um binômio (x + 7). Assim, podemos escrever: (3x). (x + 7) = 3x2 + 21x, que é um exemplo de multiplicação de monômio por polinômio de dois ou mais termos, assim basta aplicar a propriedade distributiva. Outros exemplos:  (4x2) (x2 – 3x + 5) = 4x4 – 12x3 + 20x2  a (a – b + 2) = a2 – ab + 2ª

 9a3(3a2 + 4a) = 27a5 + 36a4 Então a(x + 3y) = a.x + a.3y = ax + 3ay EXERCÍCIO: EFETUE ESTAS MULTIPLICAÇÕES EM SEU CADERNO a) 3ab (2a+ 4b) = b) (2x + y) 3x2 = c) 4a3 (a3 + a2 – a + 1) = d) -2x (x2 – 3x + 2) =

e) (–5x) (x – 2y) = MULTIPLICAÇÃO DE BINÔMIO POR BINÔMIO Pense em trabalhar também com números; Será que (3+6). (1 + 4) é o mesmo que 3.1 + 3.4 + 6.1 + 6.4? Lembrar que 25. 16 pode ser escrito (20 + 5) x (10 + 6) 20 + 5 10 + 6 Tente fazer mudando todas as ordens, começando por 10.5 etc. Dado um retângulo com dimensões (x + 2) e (x + 5), a área desta região é dado como:

x+2 x+5

 Aplicando a propriedade distributiva e reduzindo os termos semelhantes: AABCD = (x + 2).(x + 5) = x . x + 5 . x + 2 . x + 2. x + 2 . 5 = x2 + 5x + 2x + 10 = x2 + 7x + 10

 Método prático:

x+5 x+2 x2 + 5x eu sigo a ordem do algoritmo da multiplicação! 2x + 10 2

x + 7x + 10 EXERCÍCIO: EFETUE ESTAS MULTIPLICAÇÕES EM SEU CADERNO. USE O PROCEDIMENTO QUE PREFERIR a) (a + 1)(a + 2) = b) (4x2 – 3)(x + 1) =

c) (3m - 5)(2m - 1) = d) (x – 7)2 = e) (x3 + x)(x2 – 1) = f) (x2 – x + 3) (x2 – 4x + 1) = g) (x2 – 2x + 1)2 =

REFERÊNCIAS http://dspace.bc.uepb.edu.br:8080/xmlui/bitstream/handle/123456789/835/PDF%20%20Ana%20%C3%89lyda%20de%20Lima%20Silva.pdf?sequence=1 http://www.biblioteca.pucminas.br/teses/EnCiMat_HankeTA_1.pdf http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/sd/textos/Leila_Modanez%2096.pdf GIOVANNI JÚNIOR, J. R. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 2009.

Reflexões sobre a sequência de Monômios e Polinômios Na aula em que os alunos precisavam generalizar ou achar regularidades eles entenderam, mostrando que com desenhos conseguiam enxergar as generalizações, o resultado desta atividade foi surpreendente, cerca de 90% dos alunos forneceram a solução correta. Quanto às maiores dificuldades na sequencia, o grupo entende que está na interpretação, e que muitas vezes o aluno nem lê o enunciado da questão. Percebemos que o fato dos alunos não terem formado conceitos de séries anteriores também é um fator que compromete o estudo de Álgebra. Compreendemos que a exploração das situações problema, ocasionaram a curiosidade dos alunos na busca de soluções, surgindo assim a possibilidade de um desenvolvimento do pensamento algébrico. Na utilização de desenhos, a professora fez algumas representações de área e perímetro para contextualizar o estudo algébrico, mais alguns alunos tiveram dificuldades em calcular a área, pois não conseguiram entender que a soma é a das áreas das figuras que compõem a figura maior, notamos que a Geometria está totalmente associada à Álgebra. Muitos alunos invés de representar a área, representaram o perímetro, demonstrando uma confusão sobre esses conceitos. Talvez não tenham lido com atenção o enunciado da questão. Outra dificuldade observada é que os alunos somam apenas os lados que possuem suas medidas identificadas na figura, assim percebemos que o conceito de perímetro para esses alunos não está bem definido. Muitos alunos tiveram dificuldades em fazer a tradução da linguagem corrente para a linguagem algébrica, a resolução de muitos problemas foram feitas na lousa pela professora, o grupo entendeu que esta dificuldade pode ter sido ocasionada pela exigência de que o aluno utiliza-se os conhecimentos que fazem parte dos procedimentos algébricos, logo os alunos trazem consigo as dificuldades da Aritmética. Alguns alunos se sentiam desmotivados quando estas dificuldades apareciam, tornando-se barreiras para o sucesso no estudo de outros tópicos matemáticos. Logo, esta é uma questão que requer reflexão,sendo capaz de mostrar que muitas vezes o uso apenas do livro didático pode ser limitador, já que foi realizada uma sequencia didática para sanar estas dificuldades.

Compreendemos que grande parte da dificuldade de interpretação está relacionada com o fato dos alunos terem uma deficiência na linguagem escrita, mas quando pedíamos para eles explicarem verbalmente o que estava escrito nos enunciados, muitos alunos mostravam o desenvolvimento da capacidade de expressão do próprio raciocínio, promovendo o desenvolvimento da capacidade de compreensão matemática, apenas tendo lido a equação, alguns alunos efetuavam todos os cálculos de cabeça, e apresentava apenas a resposta escrita, sem desenvolvimento. Eles eram capazes de explicar passo a passo o que tinha feito, mas relutavam em registrar esse processo por escrito. Muitos resultados foram insatisfatórios e as experiências em sala de aula nos levaram a observar que o interesse pela álgebra não tem sido demonstrado pelos alunos, o grupo considerou que isso ocorre, porque os alunos acham esse tópico da matemática complicado, apresentando dificuldades em realizar associações entre os conteúdos ensinados e tarefas propostas em sala. Nos momentos em que os alunos tinham uma participação mais efetiva, percebemos que questionar eles, tornava o ambiente desafiador e investigativo, proporcionando assim um diálogo no qual os alunos expunham o que pensavam, essas interlocuções propiciaram aos alunos a compartilharem ideias, pois os mesmos tinham que aprimorá-las, pensar sobre o que o colega havia pensado e que até então, eles não sabiam que o problema poderia ter uma outra forma de resolução. Podemos observar também que alguns alunos com maior facilidade dizem entender sempre na primeira explicação da professora, mais são poucos os que entendem logo na primeira, a maioria da sala precisa de mais de uma explicação, e os que necessitam de mais explicações muitas vezes, nem sempre pedem que a professora explique, muitos pedem que os colegas expliquem, muitas vezes de forma errada, já que a maioria da sala precisa que a professora explique novamente. Dando ênfase à explicação dos conteúdos a professora fez grandes quantidades de exercícios, em sala de aula, o que ajudou a maioria dos alunos e entenderem, melhor.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência PIBID/UFU-CAMPUS DO PONTAL Subprojeto: Matemática- Pontal EECJM-– Escola Estadual Coronel João Martins Sequência didática de Monômios e Polinômios Professora Supervisora: Ana Carolina Igawa Barbosa. Licenciandos: Anália, Leandro, Mizael e Níffer. Ano: 8º Ano do ensino fundamental. Datas: Conteúdos: Álgebra

PRODUTOS NOTÁVEIS Quadrado da soma de dois termos

O professor deverá pedir que os alunos calculem primeiramente (3+2)² e depois 3² + 2². Eles deverão concluir que (3+ 2)² ≠ 3² + 2² Pedir que eles continuem concluindo que: (10 + 10)² ≠ 10² + 10². (5+ 8)² ≠ 5² + 8². Então generalizar que (a + b)² ≠ a² + b². Depois disso o professor deve fazer junto com os alunos a distributiva (3+ 2)² = (3 + 2)x(3+ 2) = faz uma passagem aqui = 3² +3.2 + 2.3+ 2² (5+ 8) = (5+8)x(5+8) = 5² + 5.8 + 8.5 + 5² Fazer com parênteses e também “em pé”: 5+8

x 5+8 40+ 64 25+40____ 25+2x40+64 = 25 + 80 + 64 = 169

bom!

E então concluir que (a + b)² = (a+b) x (a+b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab+ b². O professor também pode fazer essa conta “em pé”.

O professor também pode propor a seguinte metodologia:

Materiais: 1. Isopor 2. Fichas, xerocadas na folha chamex 3. Lousa 4. Giz 5. Apagador

Inicialmente o professor irá confeccionar os quadrados com o isopor, de modo que os pedaços se encaixem para que os alunos possam compreender a diferença de área entre os fragmentos, sendo estes de cores diferentes, como na imagem abaixo:

Os números e medidas devem ser fixados em algarismos grandes, o professor deve atribuir estes números para que os alunos tenham uma noção de como será o andamento do trabalho. Por exemplo: 3 unidades para o lado do quadrado azul e 1 unidade para o lado do quadrado amarelo. Indique esses valores na figura e, com a participação dos alunos, complete as medidas dos outros lados dos retângulos:

Em seguida o professor deve mostrar aos alunos quais são as formas que se pode calcular a área:

1ª Forma: Calcular a área do quadrado maior, de lado (1 + 3): área = (1 + 3)² = 4² = 16. 2ª Forma: Somar as áreas dos quatro quadriláteros que formam o quadrado maior: Área = 1² + 1.3 + 1.3 + 3² = 1 + 2.1.3 + 9 = 9 + 6 + 1 = 16

O professor deve fazer mais alguns exemplos, alterando apenas as medidas dos lados dos quadrados (atribuindo sempre valores numéricos), para a fixação. Introduza então, um valor numérico para a medida do lado de um dos quadrados e uma variável para representar o lado do outro quadrado. Por exemplo, 1 e n:

O professor deve induzir os alunos que cheguem a seguinte conclusão: (n+ 1)² = n²+ 2 n + 1

Se o professor notar que há dificuldade nos alunos, repita o procedimento para, por exemplo, lados 2 e b:

O professor deve induzir os alunos que cheguem a seguinte conclusão: (b + 2)² = b² + 4b + 4

Dando continuidade a aula o professor irá pedir que os alunos se dividam em duplas e que o ajudem com o seguinte quadrado:

Fazendo as seguintes indagações: - Quanto mede o lado do quadrado de área x²? - Quanto mede o lado do quadrado de área 9?

Após estas indagações o professor deve encaminhar a aula perguntando para os alunos se é possível determinar as áreas das superfícies I e II, sempre justificando as respostas dos mesmos. Dando continuidade a aula o professor irá entregar a essas duplas a seguinte ficha:

Carlos e Silvia estavam determinando a área total do quadrado abaixo. Silvia acha que para encontrar a área total ela deve desenvolver a potência e aplicar a propriedade distributiva da adição em relação à multiplicação por meio do registro (x + 2)² = (x + 2) (x + 2). Carlos acredita que há uma forma mais rápida de resolver a questão: (x + 2)² = x² + 2².

O professor deve transcrever as respostas no quadro e depois da socialização das mesmas deve Fundamentar as respostas dos alunos usando registros algébricos ou geométricos:

Se os alunos apresentarem dificuldade na assimilação do conteúdo abordado o professor pode usar um contra exemplo, propondo a substituição da variável x por um número qualquer. Para a generalização que se pretende obter, é interessante que a turma realize esse registro com diferentes números. O professor deve transcrever no quadro as respostas de alguns alunos, promovendo uma socialização, incentivando assim a participação de todos nas justificativas. Exemplo:

Ao final como avaliação dos alunos o professor entregara aos mesmos a seguinte tabela:

Cálculo Proposto

Resultado

2x * 3x = (3 * 2) * (x * x) = 6 * x² =

6x²

4x * 6z = (4 * 6) * (x * z) = 24 * xz =

24xz

5b² * 10b² * c³ = (5 * 10) * (b² * b² * c³)

50b4c³

= 50 * b4c³ = 4a²x³ * (–5ax²) = [4*(–5)] * (a²x³ * ax²) =

–20a³x5

–20 * a³x5 = 17x³ + 20x³ = (17 + 20)x³ =

37x²

2ax² + 10b – 6ax² – 8b = (2 – 6)ax² + (10

–4ax² + 2

– 8)b = –4xy + 6xy – 5xy = (–4 + 6 –5)xy =

– 3xy

5b³ + 7c³ + 6b³ – 2c³ = (5 + 6)b³ + (7 –

11b³ + 5c³

2)c³ = ( x+3)²=

X² + 6x + 9

( x+5)²=

X² + 10x + 25

( x+5)²=

X² + 8x + 16

Cubo da soma e diferença de dois termos

Materiais: 1) Cartolina, cola e tesoura para confecção dos cubos. Ao iniciar a aula, a professora desenhará na lousa nove figuras, sendo elas: um cubo de aresta a, três paralelepípedos de arestas a, a e b, três paralelepípedos de arestas a, b e b e um cubo de aresta b, a fim de que os alunos encontrem o volume das mesmas. Logo após, a professora pedirá que os alunos somem os resultados dos respectivos volumes. Quando encontrado a expressão, a professora introduzirá a ideia do cubo de uma soma indicada por (a + b)3, o qual geometricamente (a + b)3 indica o volume de um cubo com arestas medindo a + b. Os pibidianos podem confeccionar os objetos para que a professora monte o cubo durante a aula, com as peças que havia indicado no quadro. Após demonstrar a ideia geometricamente, a professora indica que a expressão (a + b)3, pode ser reescrita da seguinte maneira: (a + b)(a + b)(a + b), o que equivale a dizer que (a + b)(a + b) 2, consequentemente, (a + b)(a2 + 2ab + b2), o que resulta em a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3, somando os termos semelhantes teremos o seguinte resultado a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. Desta forma, a professora conclui que (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. Posteriormente, a professora explicará o cubo de uma diferença indicada por (a 3

- b) , desta maneira, irá utilizar de forma análoga, a ideia de que a expressão (a - b)3, pode ser reescrita do seguinte modo: (a - b)(a - b)(a - b), o que equivale a dizer que (a - b)(a - b)2, consequentemente, (a - b)(a2 - 2ab + b2), o que resulta em a3 - 2a2b + ab2 ba2 + 2ab2 - b3, somando os termos semelhantes teremos o seguinte resultado a3 - 3a2b + 3ab2 - b3. Desta forma, a professora conclui que (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.

Produto da soma pela diferença de dois termos Material utilizado: • Papel cartão • Tesoura Ao iniciar a aula, a professora desenhará a figura 1, na, lousa, o qual é um retângulo cujos lados medem (x + y) e (x – y). Após a explicação do mesmo, recortará da figura 1 o tracejado, formamos a figura 2. Desta maneira, discutirá com os alunos, qual seria a área da figura 1 e da figura 2. Após uma socialização, chegaram à conclusão que a figura 1 tem como área: (x + y)(x – y), e a área da figura 2 é dada por: (x – y)y + x(x – y) = xy – y2 + x2 – xy = x2 – y2 Assim, a professora irá instigar os alunos a pensarem a respeito dos resultados das áreas, induzindo-os a relacionar a igualdade entre as mesmas. Obtendo assim: (x + y)(x – y) = x2 – y2 Concluirá então, que produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. Logo após, pedirá que os alunos resolvam alguns exercícios do livro didático.

DIVISÃO DE POLINÔMIO POR MONÔMIO

A expressão

6 x 3  12 x é equivalente à divisão (6x3 – 12x) : (3x). Desta forma, 3x

temos que: (6x3 – 12x) : (3x) = (6x3) : (3x) – (12x) : (3x) = 2x2 – 4 ou, de outra maneira:

6 x 3  12 x 6 x 3 12 x 6 x 3  12 x = = 2x2 – 4. Assim, = 2x2 – 4, para todo x ≠ 0. 3x 3x 3x 3x EXERCÍCIO:

EFETUE

ESTAS

DIVISÕES

CONSIDERANDO

DENOMINADORES DIFERENTES DE ZERO

a) b) c) d)

10a 3b 3  8ab2 = 2ab2

9x 2 y 3  6x 3 y 2 = 3x 2 y

2 x 4  3x 3  2 x 2  x x

3x  6 x 2  9 x 4 3x

Fatoração de expressões algébricas

1º caso de fatoração: colocação de um termo em evidencia:

O professor pode começar a aula pedindo que os alunos escrevam cada fator das expressões, por exemplo: 2x²y³ = 2.x.x.y.y.y 4xy²= 2.2.x.y.y Em seguida irá questionar aos alunos quais os fatores que aparecem nas duas expressões. Depois disso explicar que o 2, o x e o y² são os fatores que repetem nas duas expressões ao mesmo.

Dessa forma se quisermos fatorar a soma dessas duas expressões, poderíamos colocar o fator que aparece nas duas ao mesmo tempo em evidência, sendo:

2x²y³ + 4xy²= 2xy² (xy + 2)

Em seguida, o professor deve expor no quadro a seguinte expressão: ax + bx + cx E perguntar aos alunos qual é o termo semelhante na equação, é esperado que os mesmos notem que é a letra x, então o professor ira expor na lousa colocado o x em evidência: ax + bx + cx = x . (a + b + c) O x é fator comum e foi colocado em evidência.

Exemplos Vamos fatorar as expressões 1) 3x + 3y = 3 (x + y) 2) 5x² - 10x = 5x ( x – 2) 3) 8ax³ - 4a²x² = 4ax²(2x – a) O professor pode dar este exemplo, considere o polinômio 8x³ - 6x. Você vai fatorá-lo, ou seja, vai escreve-lo na forma de uma multiplicação. Antes, observe que 8x³ pode ser escrito com 4x² . 2x, e 6x, como 3. 2x. a) Escreva o polinômio 8x³ - 6x de tal forma que apareça um fator comum em ambos os termos. b) Escreva esse polinômio como uma multiplicação de dois fatores c) Por fim, faça a verificação.

a) 4x + 4y = b) 7a – 7b = c) 5x – 5 = d) ax – ay e) y² + 6y f) 6x² - 4a g) 4x⁵ - 7x² = h) m⁷ - m³ = i) 2a – 2m + 2n = j) 5a + 20x + 10 = l) 4 – 8x – 16y =

m) 55m + 33n = n) 35ax – 42ay= 2º caso de fatoração: Agrupamento:

O professor irá começar a aula questionando aos alunos se 2.3 +4.3 + 2.5 + 4.6 é a mesma coisa de: (2.3 + 2.5) + (4.3 + 4.6) = 2( 3+5) + 4(3+6).

Os alunos deverão realizar o quadro para confirmar.

Em seguida, o professor deve expor no quadro a seguinte expressão: ax + bx + ay + by

E perguntar aos alunos qual é o termo semelhante na equação, é esperado que os mesmos notem que é a letra x e y são o termo semelhante, então o professor ira expor na lousa colocado o x e o y em evidência: ax + bx + ay + by ax + bx + ay + by x( a + b) + y ( a+ b) (a + b) .( x +y)

Explicando passo a passo aos alunos como chegou a este resultado, pois nos dois primeiros temos “x em evidencia”. Nos dois últimos o “y em evidência”. Finalmente “(a + b) em evidência”. É esperado que eles notem que aplicando duas vezes a fatoração utilizando o processo do fator comum. Em seguida dar alguns exemplos para fixação:

Exemplos: Vamos fatorar as expressões: 1º exemplo 5ax + bx + 5ay + by x.( 5a + b) + y (5a + b) (x + y) (5a + b)

2º exemplo x² + 3x + ax + 3a x(x + 3) + a ( x + 3) (x + 3) . ( x + a)

EXERCÍCIOS

1) Fatore as expressões:

a) 6x + 6y + ax + ay = b) ax + ay + 7x + 7y= c) 2a + 2n + ax +nx= d) ax + 5bx + ay + 5by =

REFLEXÕES A sequência didática foi aplicada conforme foi apresentada e estruturada, porém não conseguimos obter êxito, pois devido à passividade dos alunos, nada que solicitamos foi feito, trabalhamos com o papel quadriculado, de forma a tentar formar o conceito de área, porém nada foi aprendido ou sequer memorizado pelos alunos. Os trabalhos e as tarefas de casa também não foram feitos pelos alunos, as dinâmicas implementadas durante o ano também não funcionaram pois dependemos da participação dos alunos. Há um descompromisso com os estudos que atinge praticamente toda a sala de aula.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência PIBID/UFU-CAMPUS DO PONTAL Subprojeto: Matemática- Pontal Escola Estadual Coronel João Martins TRIÂNGULOS Professora supervisora: Ana Carolina Igawa Barbosa. Licenciandas: Silvia, Luciana, Leandro, Carlos, Cássia e Nyffer. Tema: triângulos Ano: 7° / 8° ano do ensino fundamental. Conteúdos: 



Triângulos: elementos, condição de existência, classificação em relação à medida dos lados e ângulos, soma dos ângulos internos de um triângulo; Quadriláteros: elementos, classificação, propriedades, soma dos ângulos internos de um quadrilátero;

Objetivos/ Habilidades: 



reconhecer triângulos e seus elementos; classificar triângulos de acordo com as medidas dos lados e ângulos internos.

ATIVIDADE 1: ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO  

A professora deverá explicar que os alunos viram que os polígonos de três lados e três ângulos recebem o nome de triângulos. Em seguida, deverá desenhar o seguinte triângulo na lousa: A professora deverá explicar que esse é o triângulo ABC ou

ABC .

 Os lados do triângulo são os segmentos de reta:

AB, BC, CA

   Os ângulos internos são o Â, B, C .

ATIVIDADE 2: CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO

Materiais utilizados: linha 10, canudos, régua e tesoura 

A professora irá perguntar o seguinte: vocês acham que sempre é possível termos um triângulo com quaisquer três medidas de lados?



Para que eles verifiquem isso, entregaremos três pedaços de canudos de diferentes medidas para que interliguem a fim de formar um triângulo. Serão confeccionados 3 conjuntos de 15 canudos:

1° conjunto (cor azul, marrom, marrom: 15 cm, 6 cm, 4 cm. (não existe) 2° conjunto (cor marrom): 10 cm, 6 cm, 4 cm. (não existe) 3°conjunto (cor verde): 10 cm, 6 cm, 8 cm. (existe) 4° conjunto (cor azul): 15 cm, 8 cm , 8 cm (existe) 5° conjunto (cor branco): 5cm, 3 cm, 6 cm (existe) 6° conjunto (cor marrom, verde, branco): 6cm, 6cm, 6cm (existe) 7° conjunto (cor marrom, verde, marrom): 6cm, 8cm, 4cm (existe ? = sim) 8° conjunto (cor azul, verde, verde): 15cm, 6cm, 8 cm (existe ? = não) 

Cada conjunto será entregue aleatoriamente aos alunos e assim que eles começarem a unir os canudos com a linha irão perceber que somente os canudos de cores branca, rosa e azul irão formar o triângulo. Então a professora pedirá que os alunos expliquem por que isto aconteceu.



A professora passará no quadro o seguinte conceito: Para que um triângulo exista a soma de dois de seus lados deve ser maior que a medida do terceiro lado.



Para complementar a atividade a professora irá perguntar aos alunos se algumas EXERCÍCIO 1) Quais destas medidas irão formar um triângulo? a) 5 cm, 6 cm, 7 cm b) 2 cm, 6 cm, 3 cm c) 15 cm, 20 cm, 25 cm d) 100 cm, 200 cm, 300 cm



A professora irá desenhar na lousa três segmentos de retas nomeados por a, b e c. a b c

A professora irá perguntar o que deve acontecer para que esses segmentos formem um triângulo. A partir das discussões com os alunos deverão chegar que: “dados três segmentos de reta de medidas a, b e c, o triângulo irá existir se a < b+c ; b < a+c;

c < a+c ”. c



Dessa forma, irá pedir que os alunos escolham três medidas e verifiquem se dá para formar um triângulo.

Tarefa para casa Consultar e resolver os exercícios do livro Matemática 6º ano. Autor: Edwaldo Bianchini. 6. Ed. – São Paulo: Moderna, 2006. ATIVIDADE 3: CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS EM RELAÇÃO ÁS MEDIDAS DOS LADOS E DOS ÂNGULOS Materiais utilizados: triângulos; régua; transferidor; 

No segundo momento os alunos receberão um saquinho com vários triângulos numerados (em anexo). A professora perguntará qual o formato geométrico



dessas peças e se todas são iguais. Depois da discussão feita entre os alunos e a professora, mostraremos que podemos classificar os tipos de triângulos segundo a medida do seu lado e ângulos.



A professora pedirá que os alunos meçam os lados desses triângulos e seus ângulos e preencham somente a coluna das medidas em relação aos lados e ângulos.



E depois questionará: Olhando esses triângulos o que podemos afirmar em relação à medida dos seus lados e a medida de seus ângulos? Eles deverão chegar à conclusão que existem triângulos que todos os lados possuem a mesma medida; que existem triângulos com apenas dois lados de mesma medida e triângulos com todos os lados diferentes. Além disso, eles deverão perceber que existem triângulos com ângulos retos, agudos e obtusos.



A professora irá formalizar os seguintes conceitos: Classificação dos triângulos em relação às medidas dos lados

Triângulo escaleno possui três lados com medidas diferentes. Triângulo isósceles possui dois lados de mesma medida. Triângulo equilátero possui todos os lados congruentes (mesma medida). Classificação dos triângulos em relação às medidas dos ângulos Triângulo acutângulo possui três ângulos são agudos. Triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.

Triângulo retângulo o triângulo que possui um ângulo reto. Em seguida irá pedir que os alunos preencham a tabela em relação as colunas da classificação dos triângulos. Após o preenchimento da tabela, será discutido com os alunos algumas regularidades, pois é necessário que eles percebam que:    

se os lados são iguais, então os ângulos também serão iguais (congruentes); se dois lados são congruentes, então dois ângulos também serão iguais (congruentes) se os três lados são diferentes então os três ângulos serão diferentes. O ângulo maior é aquele que é oposto ao maior lado.

Tarefa para casa Consultar e resolver os exercícios do livro Matemática 6º ano. Autor: Edwaldo Bianchini. 6. Ed. – São Paulo: Moderna, 2006. ATIVIDADE 3: SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO Materiais utilizados: papel, régua, tesoura, lápis de cor, cola, transferidor. Para visualizarmos a soma das medidas dos lados de um triângulo, solicitaremos aos alunos que desenhem em uma folha sulfite um triângulo escaleno qualquer, posteriormente os alunos irão destacar com lápis de cor, utilizando três cores distintas, os ângulos internos dos triângulos e nomear os ângulos internos do triângulo. Lembrando-se que as letras dos vértices devem estar dentro do triângulo. Após o desenho os alunos irão medir com o transferidor os ângulos internos do triângulo desenhado. Em seguida, os alunos irão recortar o triângulo com a tesoura. Pensamos em utilizar a dobradura e não o recorte dos pedaços. Assim, a professora irá fazer a atividade na frente junto com os alunos para que eles visualizem e façam os procedimentos com as

suas próprias figuras. Os alunos encostarão um dos vértices no lado oposto, farão o vinco, e posteriormente, farão com que os outros vértices se alinhem ao lado do primeiro ângulo, conforme é mostrado na figura abaixo.

Espera-se que com esta atividade os alunos percebam que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, pois os triângulos foram diversos e todos chegaram a uma mesma medida. Posteriormente, o conceito será formalizado na lousa: Dado um triângulo qualquer ABC, temos que:

med ( Â )  med ( Bˆ )  med (Cˆ )  180 , ou seja, a soma

das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°.

Outra maneira é replicar o triângulo e girar de modo a verificar a mesma coisa.

Tarefa para casa

Consultar e resolver os exercícios do livro Matemática 6º ano. Autor: Edwaldo Bianchini. 6. Ed. – São Paulo: Moderna, 2006. ATIVIDADE 4: CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS COM RÉGUA E COMPASSO Nesta parte da sequência iremos trabalhar com as construções geométricas dadas as medidas de seus lados, utilizaremos como o apoio o livro didático nas páginas 250 e 251 como é mostrado abaixo. Vamos traçar um triângulo ABC de lados AB = 4cm, BC = 3cm e AC = 2cm. Para fazer também esta construção, serão utilizadas régua e compasso. 1. Trace um dos lados, por exemplo, AB = 4cm. 2. Use a régua para ter abertura igual à medida de um dos outros lados, por exemplo, AC = 2cm. Com a ponta seca do compasso em A, trace um arco, como você vê na ilustração. 3. Use a régua para obter abertura igual à medida do terceiro lado, BC = 3cm. Com a ponta seca do compasso em B, trace o arco como na ilustração. Você determinou o ponto C, o qual é a intersecção dos dois arcos. 4. Trace com auxílio da régua, os segmentos AC e BC, obtendo o triângulo ABC. Após a construção dos triângulos propostos abaixo, os alunos irão anotar os dados na tabela e classificá-los em relação à medida dos lados. Posteriormente, com o transferidor, será necessário, que os alunos meçam os ângulos e façam a classificação em relação a estas medidas. Triângulo

Classificação em relação Medidas dos

Medida dos

à medida dos lados

ângulos (°)

lados (em

Classificação em relação à medida dos lados

centímetros) Triângulo ABC

ESCALENO

104

OBTUSÂNGULO

Triângulo DEF

8,5

ISÓSCELES

RETÂNGULO

Triângulo JKL

EQUILÁTERO

ACUTÂNGULO

Triângulo MNO

ISÓSCELES

ACUTÂNGULO

Triângulo PQR

1,5

2,5

ISÓSCELES

110

OBTUSÂNGULO

Triângulo STU

ESCALENO

ACUTÂNGULO

Triângulo WYK

ESCALENO

RETÂNGULO

Triângulo KYZ

EQUILÁTERO

ACUTÂNGULO

Em segui, os alunos serão questionados se é possível que um triângulo seja ao mesmo tempo: 



Equilátero e acutângulo? Equilátero e retângulo? Equilátero e obtusângulo? Isósceles e acutângulo? Isósceles e retângulo? Isósceles e obtusângulo? Escaleno e acutângulo? Escaleno e retângulo? Escaleno e obtusângulo? Conforme os alunos forem respondendo às questões, os mesmos devem

também apresentar a justificativas das respostas. Para finalizar, os alunos irão sintetizar as ideias discutidas preenchendo o quadro a seguir:

QUADRO 4 Acutângulo

Retângulo

Obtusângulo

Equilátero

XXXXX

Isósceles

XXXXX

Escaleno

XXXXX

1) Podemos construir um triângulo com dois de seus ângulos medindo 88° e 95°? Por quê? ATIVIDADE 5: SIMETRIA NOS TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS E ISÓSCELES

 Simetria no triângulo isósceles:

Os alunos receberão um triângulo isósceles com medidas 15cm, 10cm, e 10cm. Assim, irão marcar e nomear as medidas dos ângulos, recortando a figura com cuidado. O lado de medida diferente é chamado de base do triângulo isósceles. Â e Bˆ são os ângulos da base. Cˆ é chamado ângulo do vértice.

Dobre o triângulo pela linha representada ao lado, fazendo coincidir os lados

AB e BC . A linha de dobra é o eixo de simetria do triângulo. O eixo de simetria de uma figura divide-a em duas partes idênticas que se sobrepõem perfeitamente quando dobramos a figura por esse eixo. Todo triângulo isósceles tem um único eixo de simetria.

Como os ângulos Â e Bˆ se sobrepõem perfeitamente, temos que a = b. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes. Essa propriedade vale para todo triângulo isósceles. Aqui constatamos sua validade usando dobraduras e simetria. No volume do 8° ano provaremos que ela é sempre válida. Ainda podemos explorar um pouco mais nossa figura: o eixo de simetria divide o ângulo Cˆ em dois ângulos congruentes. O eixo de simetria determina a bissetriz do ângulo do vértice.  Simetria no triângulo equilátero Todo triângulo equilátero têm três eixos de simetria. Traçamos esses eixos no triângulo equilátero abaixo. Cada eixo de simetria divide o triângulo equilátero em duas partes idênticas que se sobrepõem perfeitamente, quando dobramos a figura pelo eixo.

Reproduza o triângulo acima em papel sulfite e recorte-o. Dobre o triângulo sobrepondo exatamente AB e AC. A linha de dobra é um dos eixos de simetria do triângulo. Observe que os ângulos Bˆ e Cˆ se sobrepõem perfeitamente. Daí b = c. Agora faça outra dobra, sobrepondo AB e BC. A linha de dobra é outro eixo de simetria. Os ângulos Aˆ e Cˆ se sobrepõem perfeitamente, ou seja, a = c. Se B = c e a = c, temos que a = b = c. Os três ângulos internos de um triângulo equilátero são congruentes. Essa propriedade é válida para todo triângulo equilátero. AVALIAÇÃO Para avaliar os alunos o professor deverá propor um jogo dentro da sala de aula. A sala será dividida em duas equipes. Cada equipe receberá um saquinho com algumas frases. Um aluno representante de cada equipe deverá retirar um papel e ler a afirmação para a equipe adversária, que responderá se é falsa ou verdadeira. Se responderem que é falsa, deverão justificar o porquê.

FALSAS É POSSÍVEL FORMAR UM TRIÂNGULO COM DOIS ÂNGULOS RETOS. NUM TRIÂNGULO ISÓSCELES OS TRÊS LADOS SÃO IGUAIS. UM TRIÂNGULO ESCALENO POSSUI APENAS DOIS LADOS IGUAIS. EXISTEM TRIÂNGULOS QUE SEJAM EQUILÁTEROS E RETÂNGULOS AO MESMO TEMPO. NUM TRIÂNGULO ISÓSCELES SE OS LADOS SÃO 4cm E 6cm O OUTRO LADO PODE MEDIR 5cm. NUM TRIÂNGULO ESCALENO SE OS LADOS SÃO 4 cm, 10 cm O TERCEIRO LADO PODE SER 5 cm. O TRIÂNGULO ACUTÂNGULO POSSUI APENAS UM ÂNGULO AGUDO. O TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO POSSUI DOIS LADOS OBTUSOS. TODO TRIÂNGULO ACUTÂNLO É TAMBÉM ISÓSCELES. TODO TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO É TAMBÉM ESCALENO. A SOMA DOS ÂNGULOS INTENOS DE UM TRIÂNGULO É 60º.

O TRIÂNGULO DEF É ESCALENO

O TRIANGULO GHI É ISOSCELES

O TRIÂNGULO OPN É OBTUSÂNGULO

O TRIÂNGULO QTR É ACUTÂNGULO

O TRIÂNGULO UVW É OBTUSÂNGULO VERDADEIRAS EXISTEM TRIÂNGULOS QUE SEJAM ISÓSCELES E RETÂNGULO AO MESMO TEMPO. O TRIÂNGULO EQUILÁTERO POSSUI TODOS OS LADOS IGUAIS. TRIÂNGULO RETÂNGULO POSSUI UM ÂNGULO RETO. AS MEDIDAS 3cm, 4cm E 5cm PODEM FORMAR UM TRIÂNGULO. AS MEDIDAS 4cm, 4cm e 4cm FORMAM UM TRIÂNGULO ISÓSCELES. AS MEDIDAS 4cm, 5 cm e 6 cm FORMAM UM TRIÂNGULO ESCALENO. O TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO POSSUI APENAS DOIS ÂNGULOS AGUDOS. NUM TRIÂNGULO ISÓSCELES, SE UM ÂNGULO MEDE 90º OS OUTROS DOIS MEDIRÃO 45º CADA. NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO, AS MEDIDAS DE SEUS ÂNGULOS PODEM SER 90º, 30º e 60º. O TRIÂNGULO ACUTÂNGULO POSSUI OS TRÊS ÂNGULOS AGUDOS. PODEMOS CONSTRUIR UM TRIÂNGULO COM QUAISQUER MEDIDAS. PARA QUE UM TRIÂNGULO EXISTA A SOMA DE DOIS DE SEUS LADOS DEVE SER MAIOR QUE A MEDIDA DO TERCEIRO LADO.

O TIÂNGULO ABC É RETANGULO

O TRIÂNGULO JKL É EQUILÁTERO

A SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO É 180º.

O TRIÂNGULO OPN É OBTUSANGULO

O TRIÂNGULO UVW É RETÂNGULO REFLEXÕES

ANEXO 2 TRIÂNGULOS

Reflexão sobre a sequência de triângulos (construção) A aplicação da sequência iniciou-se com a explicação da professora supervisora, na qual ela inicialmente questionou aos alunos se eles lembravam o que era um compasso e o que significava ponta seca do mesmo. A seguir, ela junto deles traçou na lousa um segmento de reta e identificou os pontos A e B. Em seguida, ela juntamente com os alunos abriu o compasso em cm com o auxilio de uma régua como mostra a figura 1. Logo, colocou a ponta seca do compasso em um dos pontos do segmento feito por ela na lousa e traçou um arco como mostra a figura 2. Em seguida fez o mesmo procedimento com o outro ponto. Então, ela perguntou aos alunos em que lugar do arco havia um ponto de interseção. E concluiu que no encontro dos arcos havia um ponto e o denominou de ponto C. Consequentemente, ela traçou um segmento ligando o ponto A no ponto C e um segmento ligando o ponto B no ponto C, como mostra a figura 3. Finalizando então a construção de um triângulo. Em seguida, a professora realizou uma atividade, na qual os alunos construiriam alguns triângulos utilizando régua e compasso. Durante a realização da atividade, pode ser observado que alguns alunos tinham dificuldade quanto ao manuseio do compasso (segura-lo corretamente), conseguiram traçar os arcos e identificar o ponto de interseção, porém não ligavam os pontos corretamente para concluir o triângulo, como mostra a figura 4. Eles mostraram dificuldade quanto a alguns procedimentos, como ligar os pontos corretamente. O que segundo Coll e valls, (1992), os conhecimentos procedimentais fazem referência a um conjunto de ações ordenadas e orientadas para atingir uma meta. Essa atividade pode ser classificada como um procedimento simples e ao mesmo tempo complexo para o entendimento dos alunos; Ainda pode ser notado na atividade os procedimentos como destreza, técnicas e estratégias, no qual os alunos utilizaram deles na construção dos triângulos ao manusear o compasso e a régua.

Figura 1: Abertura do compasso com o auxílio da régua.

Figura 3: Traçando os segmentos para a construção do triângulo.

Figura 5: Triângulo construído corretamente.

Figura 2: Traçando o arco para encontrar o ponto final para a construção do triângulo.

Figura 4: Triângulo construído mostrando o erro cometido pelo aluno.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência PIBID/UFU-CAMPUS DO PONTAL Subprojeto: Matemática- Pontal Escola Estadual Coronel João Martins QUADRILÁTEROS Professora supervisora: Ana Carolina Igawa Barbosa. Licenciandas: Carlos, Cássia, Luciana, Silvia, Leandro, Nyffer. Tema: quadriláteros Ano: 7° / 8° ano do ensino fundamental. Conteúdos:

 quadriláteros: elementos, classificação, propriedades, soma dos ângulos internos de um quadrilátero;

Objetivos/ Habilidades:

 classificar quadriláteros de acordo com as medidas dos lados e os ângulos internos.

Materiais utilizados: diagrama de Venn (anexo), folha de quadriláteros (anexo), réguas, lápis, borracha, giz. Metodologia: 1ª ETAPA Será apresentada a definição de quadriláteros: “Quadrilátero é um polígono de quatro lados”. Observe o quadrilátero a seguir. Destacamos quatro elementos dos quadriláteros: vértices, lados, ângulos internos e diagonais.

 Vértices: A, B, C e D.

 Lados: AB, BC, CD, DA

 Ângulos internos: Â, Bˆ , Cˆ , Dˆ .

 Diagonais: BD, AC.

Quadriláteros

Não quadriláteros

Os alunos receberão um kit com figuras que são quadriláteros e não quadriláteros (anexo). Em seguida, a professora irá apresentar o conteúdo na lousa e os alunos simultaneamente irão fazer a classificação, primeiramente, os alunos irão separar os quadriláteros que possuem apenas um par de lados paralelos, os que possuem dois pares de lados paralelos e os que não possuem nenhum. Tipos de quadriláteros Existem quadriláteros que são chamados de trapézios e outros que são chamados de paralelogramos. Existem também os que não são paralelogramos nem trapézios.

 Aos quadriláteros que têm só um par de lados paralelos são chamados de trapézios.

 Aos quadriláteros que têm dois pares de lados paralelos são chamados de paralelogramos. Os alunos irão colar no Diagrama de Venn, os quadriláteros quaisquer e os trapézios. Os alunos continuarão com os paralelogramos nas mãos. Posteriormente, a professora irá passar na lousa as classificações dos paralelogramos: Tipos de paralelogramos Entre os quadriláteros que são paralelogramos, alguns recebem nomes especiais, veja:  retângulos: têm os quatro ângulos internos retos.

 losangos: têm os quatro lados com medidas iguais

Posteriormente, os alunos terão que classificar as demais figuras em retângulos e losangos. Espera-se que haja discussão a partir das propriedades destas figuras, pois to quadrado é também um retângulo e um losango, mas a recíproca não é válida. Após as discussões encaminhadas, será definida a intersecção entre os dois conjuntos: o quadrado que é retângulo, por ter todos os ângulos retos e um losango, por ter todos os lados iguais. Ao final, as figuras serão coladas no Diagrama de Venn.

AVALIAÇÃO: Materiais utilizados:

 Folha impressa com atividades (anexo 4). 2ª ETAPA

Atividade 1: Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero Materiais: papel sulfite, régua, tesoura, cola, lápis de cor, tesoura e cola. Para construirmos este conceito, serão apresentados aos alunos duas atividades:

Para visualizarmos a soma das medidas dos lados de um quadrilátero, solicitaremos aos alunos que desenhem em uma folha sulfite um quadrilátero convexo qualquer, posteriormente os alunos irão destacar com lápis de cor, utilizando quatro cores distintas, os ângulos internos do quadrilátero e nomear os ângulos internos do mesmo. Lembrando-se que as letras dos vértices devem estar dentro do desenho. Após o desenho os alunos irão medir com o transferidor os ângulos internos e escrever no próprio desenho. Em seguida, os alunos irão recortar o quadrilátero com a tesoura. E, posteriormente, irão recortar o quadrilátero em quatro partes, de forma que cada uma contenha apenas um vértice. A professora irá fazer a atividade na frente junto com os alunos para que eles visualizem e façam os procedimentos com as suas próprias figuras, conforme é mostrado nas figuras abaixo.

Espera-se que com esta atividade os alunos percebam que a soma dos ângulos internos de quadrilátero convexo é 360°, pois os quadriláteros foram diversos e todos chegaram a uma mesma medida. Para construirmos este conceito, iremos fazer a seguinte experiência: 1. Desenhe um quadrilátero convexo qualquer na folha sulfite ABCD. 2. Trace uma das diagonais. 3. Perceba que existem dois triângulos.

o A

m n p

4. Ressaltar com os alunos que dividindo o quadrilátero por uma de suas diagonais, alguns ângulos se mantém (no caso, o A e o C), mas os ângulos B e D ficam repartidos, cada um, em 2 partes (não necessariamente do mesmo tamanho). Renomeando os ângulos, fica assim: Â+B+C+D=? m+n+p+r+p+o= (m+n+o)+(p+q+r)= 180 + 180 = 360°

Posteriormente a estas duas atividades, a professora irá formalizar o conceito:

“Em um quadrilátero convexo ABCD qualquer, a soma das medidas dos ângulos internos é 360°. C

med ( Â )  med ( Bˆ )  med (Cˆ )  med ( Dˆ )  360 3ª ETAPA Atividade 1: Quebra cabeça poligonal Materiais utilizados: papel colorido, tesoura, régua. Habilidades: composição e decomposição de figuras planas.   

Será pedido que os alunos criem a partir de alguns polígonos uma figura. Essa figura deverá ser recortada para que forme um quebra-cabeça. A professora poderá pedir que os alunos troquem entre si os quebra-cabeças formados entre eles, para que o outro colega tente montá-lo. Veja abaixo alguns exemplos onde a figura de um barco foi decomposta em triângulos e a figura da estrela foi decomposta em triângulos e quadriláteros.

Rerefências

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=43089 Acesso em 26 de agosto de 2013.

http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pde/kleber-geometria-espacial.pdf http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/files/file/estudo%20de%20prismas.pdf

Anexo 4 - AVALIAÇÃO

Atividade 1:

 O professor entregará uma folha impressa para cada aluno com as atividades abaixo e pedir para os mesmos respondam em V ou F, em seguida será realizada a correção. a) Os quadriláteros que possuem 2 pares de lados paralelos são chamados de trapézios ( ) b) Não existem quadriláteros não convexos. ( ) c) O quadrado é considerado um losango e um retângulo. ( ) d) Todo quadrilátero é um paralelogramo. ( ) e) Os quadriláteros que possuem os quatro ângulos retos são chamados de losango. ( ) f) Os quadriláteros que tem os quatro lados iguais são chamados de retângulo. ( ) Atividade 2: Escreva três propriedades dos seguintes quadriláteros:

Exercício de quadriláteros 1- Observe as figuras e marque V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas.

abcdefgh-

A é quadrado (F) B é paralelogramo (V) C é paralelogramo ( F ) D é quadrado (V) E é losango (V) F é retângulo (F) B é quadrado (F) E é retângulo (F)

2- Observe o quadrilátero.

Identifique nesse quadrilátero: a) Pares de lados opostos. PM com ON e MN com PO b) Um par de ângulos opostos. PeN

3- O quadrilátero da figura ao lado é um paralelogramo?

Qual é o nome desse paralelogramo? Sim. Retângulo.

4- Observe a figura e responda:

a) Existem lados opostos paralelos? Quais são esses lados? Sim. CD, AB b) Qual é o nome desse quadrilátero? Trapézio isósceles 5- Complete as afirmações. a) b) c) d) e) f)

Trapézio é um quadrilátero que tem apenas......dois....lados paralelos. O quadrilátero que tem os lados opostos paralelos chama-se..paralelogramo... Os lados paralelos de um trapézio recebem o nome de.base maior e base menor... Retângulo é um paralelogramo com os quatro ângulos..retos........ Um trapézio é escaleno quando os lados não paralelos não são..congruêntes. O trapézio que tem dois ângulos retos (90º) recebe o nome de trapézio retângulo.

6- Identifique se é paralelogramo ou trapézio.

Respectivamente: trapézio, paralelogramo, paralelogramo, trapézio, paralelogramo, trapézio, trapézio, paralelogramo, paralelogramo.

7- Identifique cada um dos trapézios como retângulo ou isósceles e explique:

Respectivamente: retângulo porque possui dos ângulos retos, isósceles porque possuem 1 par de lados (não paralelos) e 2 pares de ângulos iguais.

8- Identifique como paralelogramo, retângulo, losango ou quadrado:

Retângulo, losango, quadrado, paralelogramo

9- Considere as seguintes afirmações: a) ( V ) A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero convexo é 360°. b) ( V ) Todo quadrado é um retângulo. c) ( F ) Todo losango é um quadrado. d) ( V ) Qualquer quadrilátero convexo tem duas diagonais. e) ( V ) As diagonais de um retângulo são congruentes. f) ( F ) As diagonais de retângulo formam ângulos de 90° (são perpendiculares). g) ( F ) Se as diagonais de um quadrilátero são perpendiculares, então ele um quadrado.

9- Complete com o nome do quadrilátero adequado à definição dada. a) Paralelogramo é um quadrilátero convexo que apresenta os lados opostos. paralelos. b) Retângulo é um paralelogramo que apresenta os quatro ângulos internos. congruentes. c) Trapézio é um quadrilátero convexo que apresenta dois lados paralelos. d) Losango é um paralelogramos que apresenta os quatros lados congruentes. e) Quadrado é um paralelogramo que apresenta os quatro lados e os quatro ângulos internos congruentes.

10- O quadrado e o losango são polígonos que tem algumas propriedades geométricas em comum. Escreva três propriedades em comuns ao quadrado e ao losango. -O quadrado e o losango são quadriláteros e o número de lados é 4. -Têm os lados opostos paralelos. -Os lados desses quadriláteros são iguais (tem a mesma medida). -As diagonais cortam-se ao meio e são perpendiculares.

11- Observe os polígonos representados na figura seguinte

Complete o quadro com verdadeiro ou falso.

Polígono

As minhas diagonais se Interseccionam

As minhas diagonais são perpendiculares

As minhas diagonais têm o mesmo comprimento

Quadrado

Retângulo

Losango

Paralelogramo

Trapézio isósceles

ANEXO ( QUADRILÁTEROS)

Reflexão da sequencia de Quadriláteros: O objetivo deste trabalho era verificar se os alunos identificariam as propriedades fundamentais de quadriláteros, como congruência de lados e de ângulos, paralelismo e perpendicularismo etc. A professora iniciou a aula com a identificação das propriedades dos quadriláteros a partir dos conhecimentos prévios dos alunos. Escolhendo definir o quadrilátero como uma figura de quatro lados. Para auxiliar os alunos a perceberem a medida dos ângulos, a professora entregou a cada aluno duas réguas, assim em toda a aula os alunos descreviam as características de cada um desses quadriláteros, colando apenas os quadriláteros quaisquer e os trapézios no diagrama de Veen. Dando continuidade as indagações muitos alunos só reconheciam, o quadrado como um quadrilátero, mais não percebiam que quando rotacionado virava um losango, não levando em consideração as características de cada um deles. Assim utilizando ainda a régua a professora encaminhou uma discussão acerca da medida dos ângulos dos paralelogramos, fazendo com que os alunos percebessem que o retângulo e o paralelogramo têm as mesmas medidas de seus lados iguais, mas seus ângulos internos são diferentes. Os alunos notaram que os ângulos internos do retângulo são todos iguais, isto é, medem 90º, todos ângulos retos. Já o paralelogramo tem ângulos opostos iguais. O mesmo acontecendo para o quadrado e o losango. Os mesmos mostraram indícios de que entenderam que um quadrado é um losango, mas, que nem todo losango é um quadrado. Após esta discussão os alunos identificaram a interseção entre os dois conjuntos e terminaram de colar as figuras no diagrama. Foi perceptivo a maneira rápida e significativa com que os alunos compreenderam os conceitos de quadriláteros, pois os alunos estabeleceram semelhanças e diferenças, perceber regularidades e singularidades nas figuras, logo a confecção do kit, como material de apoio foi essencial. Na aula de soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero, foi solicitado aos alunos que os mesmos desenhassem em uma folha sulfite um quadrilátero convexo qualquer, em

seguida os mesmos destacaram com quatro lápis de cores distintas, os ângulos internos do quadrilátero, nomeando cada ângulo interno do mesmo. Após os alunos colorirem, a professora entregou uma tesoura a cada um e pediu que os mesmos recortassem o quadrilátero em quatro partes, de forma de cada um continha apenas um vértice, a todo momento a professora realizou esta atividade na frente dos alunos, para que os mesmos visualizassem e fizessem os procedimentos corretamente com suas próprias figuras. As vantagens de se ter trabalho com os recortes foram boas, pois além da possibilidade de interação e visualização que permitiram os alunos a compreender melhor as noções trabalhadas, os ajudou a organizar o seu “pensamento geométrico”. Os alunos entenderam que o quadrilátero é um polígono que possui quatro lados, cuja soma dos ângulos internos é 360º, e a soma dos ângulos externos, assim como qualquer outro polígono, é 360º. Por fim a professora fixou um mural com proporções maiores do diagrama de Veen que continha as divisões dos quadriláteros na sala de aula.

Mural fixado na sala de aula

Aluno classificando os quadriláteros

Aluno colando seus quadriláteros no diagrama de Veen de acordo com suas classificações

Esta atividade foi elaborada para ser trabalhada em grupos, de no máximo seis alunos, onde os mesmos estarão dispostos com as carteiras frente a frente dois a dois, formando uma mesa única. Será utilizado um kit por grupo composto por sólidos que contemplam todas as atividades, o tempo para aplicação das atividades foi calculado para três horas/aulas.

Atividades Primeira atividade: corpos redondos x poliedros Inicialmente a professora irá entregar um kit, contendo sólidos geométricos, para cada grupo e uma folha contendo o mapa conceitual em branco a ser trabalhado em aula. Após a entrega dos kit’s, a professora, dará o comando para os alunos colocarem os sólidos sobre a mesa. A partir dos sólidos disponibilizados, a professora irá iniciar a separação a partir de alguns exemplos, tais como: a esfera e o cilindro irão compor o grupo A, o cubo e a pirâmide o grupo B. A partir dos exemplos espera-se que os alunos consigam fazer a separação a partir das semelhanças dos sólidos geométricos. O papel dos bolsistas que estarão presentes na atividade é fundamental para o desenvolvimento da aula, com o objetivo de tornar a aula mais dinâmica, pegando algum sólido e perguntando em qual grupo o determinado sólido vai se enquadrar, para ajudar os alunos a deduzirem a classificação de forma satisfatória nos grupos em que irão auxiliar. Após os alunos terminarem a primeira separação os bolsistas juntamente com a professora, deverão conferir se os sólidos que compõem cada grupo estão corretos, caso contrário, haverá a necessidade da intervenção seja da professora, ou do licenciando, de modo a indagar os motivos da separação e conduzir à separação correta. Posteriormente à separação correta dos sólidos pelos grupos haverá a nomeação dos mesmos em corpos redondos e poliedros. Após a nomeação dos grupos, os alunos irão preencher o mapa conceitual da seguinte forma como é apresentado abaixo.

[L1] Comentário: Neste momento porque não realiza algumas indagações como: vocês conhecem algumas dessas figuras? Quais?

Posteriormente ao preenchimento do mapa conceitual, os alunos guardarão os poliedros na caixa, e sobre a mesa ficarão apenas os corpos redondos, os quais serão utilizados na atividade seguinte. Segunda atividade: separação dos corpos redondos – esfera, cone, cilindro e outros A partir dos sólidos dispostos sobre a mesa a professora solicitará aos alunos que façam uma nova separação, agora em quatro grupos distintos. Espera-se que os mesmos consigam separar os corpos redondos em esferas, cones, cilindros e outros. Durante todo o processo da separação dos grupos, haverá o auxílio da professora e dos licenciandos presentes, indagando, discutindo as regularidades, de forma a compor toda a separação. Posteriormente, a este processo haverá a discussão acerca das separações de cada corpo redondo a partir das ponderações e das discussões promovidas em sala de aula. Os quatro grupos serão nomeados como: cone, esfera, cilindro e outros (secções de cones, secção de cilindros, secção de esferas e outros sólidos que não se encaixam nos grupos citados acima). A professora e os licenciandos durante a separação dos quatro grupos deverão relacionar os sólidos com objetos do cotidiano dos alunos, a partir de alguns exemplos e solicitando a eles que mencionem objetos tais como, por exemplo, a lata de óleo, a lata de leite condensado, a lâmpada, algumas embalagens de batons, brilhos, dentre outros objetos possuem a forma de um cilindro.

Poderão ser dados outros exemplos e promovidas outras discussões tais como: “Um copo do tipo americano pode ser considerado um cilindro? Existem copos com formato cilíndricos?” “O miolo do rolo do papel higiênico pode ser classificado como um cilindro? Por quê? “Aqui na sala, temos algum objeto que pode ser considerado um cilindro e na casa de vocês?”. Estas indagações serão promovidas a partir da separação dos quatro grupos. Após a separação e a socialização de objetos do cotidiano, haverá a discussão acerca da nomenclatura dos grupos, esperamos que os alunos saibam algumas das classificações realizadas de modo a preencher o mapa conceitual entregue anteriormente como é mostrado abaixo.

Em seguida, a professora e os licenciados irão promover uma discussão acerca das propriedades dos quatro subgrupos que compõem os corpos redondos. Após o levantamento das propriedades estas serão registradas no mapa conceitual entregue anteriormente, como é mostrado a seguir:

Após a separação, a discussão e o registro das propriedades da classificação dos corpos redondos estes serão devolvidos à caixa e retirados todos os poliedros, caso a aula tiver findado os sólidos serão todos guardados e na aula posterior haverá a necessidade da reclassificação dos sólidos geométricos em corpos redondos e poliedros, onde estes últimos trabalhados. Terceira atividade: elementos e nomenclatura dos poliedros em relação ao número de faces Materiais utilizados: kit com sólidos geométricos, folhas (mapa conceitual e tabelas) em anexo. A partir dos poliedros que deverão estar dispostos sobre as carteiras pretendemos definir o que é poliedros, seus elementos, assim como a classificação em relação à quantidade de faces.

Inicialmente a professora socializará com os alunos que o nome poliedro origina da língua grega, onde poli quer dizer vários; edros quer dizer faces, e que então a palavra poliedro significa várias faces. Após a definição de poliedros a professora escolherá um poliedro aleatório para mostrar para os alunos as faces, assim como a quantidade de faces. Os grupos terão que escolher um outro poliedro e socializar com o restante da sala, a quantidade de faces que o poliedro possui. Posteriormente, a professora deverá encaminhar uma discussão acerca da quantidade mínima de faces que um poliedro pode ter. Espera-se que os alunos façam a imagem mental ou observem os poliedros que estarão nas carteiras. É importante ressaltar que caberá à professora indagar os alunos se é possível ter poliedros com duas faces, com três faces e com quatro faces. Ao final, será concluído que só é possível ter poliedros de no mínimo quatro faces, como um tetraedro ou uma pirâmide de base triangular. Caso algum grupo não conseguir responder ou realizar a imagem mental dos poliedros de quatro faces, deverá ser utilizado o kit sobre as carteiras solicitando aos alunos que encontrem o poliedro com menor número de faces. Posteriormente a professora solicitará aos alunos que organizem em fila os grupos de poliedros de acordo com o número de faces: 4, 5, 6, 7, e 8. Após o processo de agrupamento dos poliedros segundo o número de faces, será trabalhado o número de faces e a nomenclatura dos mesmos, baseando-se na tabela apresentada abaixo. Os alunos receberão uma tabela em branco, a mesma será reproduzida na lousa, e os nomes serão socializados e registrados pelos alunos. Ressalta-se que as tabelas serão coladas no caderno dos alunos. A seguir, é apresentada a tabela a tabela, contendo o número de faces e as nomenclaturas de alguns poliedros. Poliedros Número de faces

Nomenclatura

Tetraedro

Pentaedro

Hexaedro

Heptaedro

Octaedro

Eneaedro

Decaedro

Undecaedro

Dodecaedro

Pentadecaedro

Icosaedro

Após a atividade de nomenclatura dos poliedros em relação à quantidade de lados, serão trabalhadas questões acerca da regularidade dos mesmos, para isto, os poliedros serão reagrupados em apenas um grupo. Em prosseguimento, a professora indagará aos alunos se os mesmos podem mostrar a partir dos poliedros disponíveis alguns que sejam regulares. Caso nada seja apresentado a professora poderá pegar um cubo e mostrar que o mesmo é regular, pois todas as faces são congruentes. A partir do exemplo, os alunos terão que encontrar todos os polígonos regulares que estão presentes nos kits. Nestes, existem tetraedros, hexaedros, octaedros, dodecaedros e icosaedros. Após a separação dos poliedros regulares, serão socializados os nomes dos sólidos a partir da tabela contida na folha distribuída aos alunos, conforme é mostrado abaixo. Poliedros Regulares Nome do poliedro

Número de faces

Tipo de face

Tetraedro

Hexaedro

Triângulo equilátero Quadrado

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

Triângulo equilátero Pentágono Triângulo equilátero

Trabalhados os nomes dos poliedros regulares estes serão reunidos aos demais para dar prosseguimento à próxima atividade.

Quarta atividade: separação dos poliedros (prismas, pirâmides, outros)

Posteriormente à atividade anterior, todos os poliedros serão reagrupados sobre as carteiras. A professora deverá escolher uma pirâmide qualquer, desde que seja das “tradicionais” e informar aos alunos que pirâmide é todo solido geométrico que possui um único ponto que não pertence ao plano da base, como a professora vai estar com uma pirâmide em mãos mostrar para os alunos o vértice fora do plano da base. Neste momento a professora deverá pegar um prisma qualquer, para poder definir o que vem a ser um prisma, e definir que todo poliedro que possui duas faces paralelas e congruentes com as demais faces formadas por paralelogramos é intitulado prismas. Após as definições desses dois grupos, pedir para os alunos separarem os poliedros que estiverem sobre a carteira em prismas e pirâmides e se tiver algum que não se encaixem em nenhum dos grupos fazer outro grupo para esses poliedros. Ou seja, os alunos terão em cima da carteira, o seguinte grupo:

No momento em que a professora perceber que os alunos estiverem terminado a classificação e os bolsistas tiverem conferido a classificação junto com o grupo, a professora deverá explorar os prismas, pedindo para os alunos que deixem os outros dois grupos separados, porém que neste momento iremos trabalhar com os prismas.

Para trabalharmos os diferentes prismas, a professora deverá pedir para que os alunos separem os prismas de acordo com o polígono da base, fazendo um grupo para os primas de base triangular, um grupo para os prismas de base quadrangular, um grupo para os primas de base pentagonal e assim por diante, após a separação dos grupos, a professora contará com o auxilio de outra tabela conforme exemplo abaixo. Prismas Nome do prisma

Polígono da base

Número de lados da base

Número e forma das faces laterais

Número de vértices

Número de arestas

Prisma triangular

Triângulo

3 retângulos

Número de arestas que se encontram em cada vértice 3

Prisma quadrangular

Quadrado

4 retângulos

Prisma pentagonal

Pentágono

5 retângulos

Prisma hexagonal

Hexágono

6 retângulos

Prisma heptaedro

Heptágono

7 retângulos

É importante a professora socializar com os alunos que os prismas com todas as faces são paralelogramos, possuem um nome especial que são os paralelepípedos.

Pirâmides Nome da pirâmide

Número de lados do polígono da base

Nome do polígono da base

Quadrangul ar

Quadrado

Númer o de lados das bases laterais 4

Nome do polígono das faces laterais

Númer o de vértices

Número de arestas

Triângulo

Pentagonal

Pentágono

Triângulo

Hexagonal

Hexágono

Triângulo

Os alunos encontraram prismas com faces de paralelogramos, assim a professora pode conceituar os paralelepípedos como aqueles prismas cujas faces são todas, paralelogramos. Haverá prismas cujas bases são polígonos que não aparecem nos livros didáticos, assim, alguns sólidos são formados por prismas retos e oblíquos, regulares e não regulares. A professora pode indagar aos alunos se eles sabem aonde podemos encontrar prismas no nosso dia a dia? Dando a continuidade a aula a professora pegará um sólido geométrico (segurando a pirâmide) e mostrar deslizando o dedo pela base que só ela tem contato com a superfície, as outras não, e pedir que os mesmos separem no tipo de faces (pirâmide de base quadrada, hexagonal, triangular e etc.). A professora deve conceituar pirâmide, mostrando na separação que todos os vértices pertencentes ao um mesmo plano (base), com exceção de um deles. Assim a professora pedirá que os mesmos separem as pirâmides pelo polígono da base, como na tabela abaixo: Prismas Nome do prisma

Polígono da base

Número de lados da base

Número e forma das faces laterais

Número de vértices

Número de arestas

Prisma triangular

Triângulo

3 retângulos

Número de arestas que se encontram em cada vértice 3

Prisma quadrangular

Quadrado

4 retângulos

Prisma pentagonal

Pentágono

5 retângulos

Prisma hexagonal

Hexágono

6 retângulos

Prisma heptaedro

HeptĂĄgono

7 retĂ˘ngulos

Torre de Hanói Ensino de Função Exponencial PIBID Matemática UFU – FACIP

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O jogo: a torre de Hanói, também conhecida por torre de bramanismo ou quebra-cabeças do fim do mundo, foi inventada e vendida como brinquedo, no ano de 1883, pelo matemático francês Edouard Lucas. O objetivo é transferir a torre inteira para um dos outros pinos, movendo apenas um disco de cada vez e nunca colocando um disco maior em cima de um menor.

Layout de Título e Conteúdo com Lista A lenda

Lucas anexou ao seu brinquedo à seguinte lenda romântica “No tempo de Benares, cidade santa da Índia, sob a cúpula que marcava

centro do mundo, existia uma bandeja de bronze com três agulhas de

diamantes, cada uma de um palmo de altura e da grossura do corpo de uma abelha. Durante a Criação, Deus colocou 64 discos de ouro puro em uma das agulhas, o maior deles imediatamente acima da bandeja e

os demais, cada vez menores, por cima. Esta torre foi chamada de Torre de Brahma. Dia e noite os sacerdotes trocavam os discos de uma agulha para outra, de acordo com as leis imutáveis de Brahma.

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Essa lei dizia que o sacerdote do turno não poderia mover mais de um disco por vez, e que o disco fosse colocado na outra agulha, de maneira que o debaixo nunca fosse menor do que o de cima. Quando todos os 64 discos tivessem sido transferidos da agulha colocada por Deus no dia

da Criação para outra agulha, o mundo deixaria de existir. Dizem os sábios que o mundo foi criado há 4 bilhões de anos aproximadamente e os monges, desde a criação, estão movendo os discos na razão de 1 disco por segundo”. Será que veremos o mundo acabar?

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Agora é a sua vez! Formem duplas ou trios e comecem a jogar com os 5 discos! Lembrem-se de ir anotando a quantidade de

movimentos!

Movimento com um disco

Movimento com dois discos

Movimento com trĂŞs discos

Movimento com quatro discos

Movimento com cinco discos

Layout de Título e Conteúdo com Lista Quantidade de discos das torres

Quantidade de movimentos de cada peça Peça 1

Peça 2

Peça 3

Peça 4

Peça 5

Total de movimentos

4 8

: . É possível calcular o total de movimentos se aumentarmos ainda mais a quantidade de discos? Como ficaria a generalização para n discos? Será que vocês conseguem calcular quantos movimentos são possíveis se Deus tivesse colocado os 64 discos como diz a lenda?

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É possível encontrar uma relação entre a quantidade de discos e a quantidade mínima de movimentos?

Qual a fórmula matemática que evidencia esse processo?

O que acontece com a quantidade de movimentos a medida que aumenta o número de discos?

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2¹

2²

2³

16 Conseguimos escrever esse aumento da quantidade de movimentos em uma potência?

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Quantidade de discos

Total de movimentos

2¹=2

-1

2²=4

-1

2³=8

-1

Layout de Título e Conteúdo com Lista

Qual a ge e alização ue elacio a o total de

É uma função?

ovi e tos co

a ua tidade

de discos?

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Exemplos:

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Divisão de Polinômios Considere dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo. Dividir P(x), que é o dividendo, por D(x), que é o divisor, significa determinar os polinômios Q(x) e R(x), quociente e resto, respectivamente, que satisfazem as duas condições.

 P(x) = Q(x) x D(x) + R(X)

Como vocês dividiriam o polinômio P(x) = 8x³ + 4x² + 1 por D(x) = 4x² + 1?

Veja passo a passo, como se faz a divisão. Escrevemos ordenadamente dividendo e divisor

8x³ + 4x² + 1 4x² + 1

Dividimos o termo de maior grau de P(x) pelo termo de maior grau de D(x).

8x³ + 4x² + 1 4x² + 1 2x

Multiplicamos o termo encontrado pelo divisor e subtraímos o dividendo o resultado obtido

8x³ + 4x² + 1 4x² + 1 -8x³ - 2x 2x 0+4x² -2x +1

Dividimos o termo de maior grau do resto parcial pelo termo de maior grau do divisor, obtendo o próximo termo do quociente. Repetimos o passo anterior para obtermos um novo resto .

8x³ + 4x² + 1 4x² + 1 -8x³ - 2x 2x +1 0+4x² -2x +1 -4x² -1 -2x

A divisão termina quando o grau do resto é menor que o grau do divisor, ou quando obtermos o resto zero.

8x³ + 4x² + 1 = (2x+1)(4x² + 1) -2x Q(x) = 2x + 1

R(x) = -2x

Divis茫o de Polin么mios Dispositivo de Briot-Ruffini

Vocês já aprenderam a fazer a divisão de um polinômio da forma:

G(X) é o dividendo de grau N ≥ 1 D (X) é o divisor Q (X) é o quociente R (X) é o resto

Observação: O resto em uma divisão de polinômio por polinômio pode ser: • Igual à zero, nesse caso a divisão é exata, ou seja, o dividendo é divisível pelo divisor. • Ou o resto pode ser diferente de zero, podendo assumir um valor real ou pode ser um polinômio, nesse caso será considerado resto um valor ou polinômio menor que o divisor.

Quando queremos dividir um polinômio P(x) por um binômio (x – a) podemos utilizar um algoritmo desenvolvido pelo matemático italiano Paolo Ruffini (1765 – 1822) e pelo matemático francês Charles A. A. Briot (1817 – 1882). Dispositivo Prático de Briot- Ruffini

Esse dispositivo é possível apenas em termos dos coeficientes de P(x), de grau N ≥ 1, e com a raiz de um binômio (x – a), que é o divisor de P(x), encontrando um quociente de grau N – 1.

Importante!

Para fazer a divisão de um polinômio P(x) por outro polinômio Q(x), utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, é fundamental que o polinômio Q(x) seja da forma x + a ou x – a, isto é, deve ser um binômio de 1° grau. Através desse dispositivo, podemos identificar facilmente o quociente e o resto da divisão.

Agora pense... • Podemos então dividir o polinômio 2x4 – 2x2 + 3x +1 por x – 1 pelo dispositivo? Sim!

• Pode os dividi o poli ô io 2x² + x + 3? Não!

x³ – 4x +9 por

Como fazer a divisão? Façamos primeiramente o esboço do dispositivo, sendo que queremos P(X) dividido por Q(X). Termo isolado de P(X)

Coeficientes de P(X)

Raíz de Q(X)

Agora, se P(X) = 2x4 – 2x2 + 3x +1 e Q(x)= x – 1, teremos: 1

-2

Por que o zero? Pois é o coeficiente que acompanha o termo x³.

Copiamos o primeiro coeficiente de P(X) na segunda linha:

+ + 2

Agora, nós multiplicamos o 2 por 1 e somamos o resultado com o segundo coeficiente de P(x), o número 0, isto é, fazemos 2.1 +0 = 2. O resultado 2 deve ser escrito embaixo do coeficiente 0. Repetimos o procedimento agora multiplicando o resultado que nós encontramos, que seria o 2 por 1 e somamos com o terceiro coeficiente, isto é, fazemos 2.1+ (-2) = 0. O resultado deve ser escrito embaixo do coeficiente -2. Continua-se fazendo a multiplicação de 0.1+3 = 3. E depois 3.1+1=4.

P(X) : Q(X) = K (X)

Coeficientes de K(X) P(X) = 2x4 – 2x2 + 3x +1 Q(x)= x – 1

Resto da divisão

Termo isolado de K(X)

Quem é K(X)? K(X) = 2x³ + 2x² + 0x + 3 O último termo que aparece na segunda linha é o resto da divisão. 2x4 – 2x2 + 3x +1 : x – 1 = 2x³ + 2x² + 3

O dispositivo de Briot-Ruffini tem as seguintes propriedades: • O primeiro coeficiente do quociente é igual ao primeiro do dividendo. • O segu do coeficie te do uocie te é igual ao primeiro do quociente multiplicado por a, mais o segundo do dividendo. • O esto é igual ao últi o coeficie te do quociente multiplicado por a, mais o último do dividendo. • O g au do uocie te é se p e u a u idade inferior ao grau do dividendo.

‘Universidade Federal de Uberlândia (UFU)

Faculdade de Ciências Integradas do Pontal (FACIP) Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID) Instituto Federal de Ciências e Tecnologia do Triângulo Mineiro

Função Exponencial Professora Supervisora: Carlos Eduardo Petronilho Boiago Licenciandos: Cícero, Anália, Adriele, Gérsica, Mizael. Ano: 1º Ano do Ensino Médio. Datas: 06 a 10 de outubro. Conteúdo: Função Exponencial. Objetivos / Habilidades: Desenvolver ações, utilizando a torre de Hanói, que possibilitam os alunos a formarem o conceito de função exponencial. Materiais utilizados: Pré-requisitos:

Metodologia A aula terá início com o professor expondo aos alunos em slide a lenda que rege o jogo Torre de Hanói: “A torre de Hanói é uma recreação criada por Edouard Lucas em 1883. Segundo ele, o jogo que era popular na China e no Japão veio do Vietnã. Edouard usou como inspiração uma lenda Hindu: “No começo dos tempos, Deus criou a Torre de Brahma, que contém três pinos de diamante e colocou no primeiro pino

discos de ouro maciço. Deus então chamou seus

sacerdotes e ordenou-lhes que transferissem todos os discos para o terceiro pino, seguindo as regras acima. Os sacerdotes então obedeceram e começaram o seu trabalho, dia e noite. Quando eles terminarem, a Torre de Brahma irá ruir e o mundo acabará”. Fonte: http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2012/02/torre-de-hanoi.html.

Em sequência o professor organizará a sala em duplas ou trios distribuindo a cada grupo uma torre de Hanói com cinco discos, explicando aos alunos as regras do jogo: o problema consiste em transferir, todos os discos do primeiro pino para o terceiro pino, movimentando um disco de cada vez, usando qualquer outro pino como auxiliar, de maneira que um disco maior nunca fique em cima de outro menor em nenhuma situação. Nessa sequência, foram construídos 13 jogos pelos próprios licenciandos com EVA, isopor e palitos de churrasco. Para construção, encapou-se com papel laminado pequenos pedaços de isopor para fazer a base do jogo. Em seguida, fixou-se palitos de churrasco para representação dos pinos. Os discos foram confeccionados de EVA e perfurados no centro.

A princípio o docente deixará os alunos livres para jogar com a quantidade total de peças (cinco), orientando-os que anotem a quantidade de movimentos feitos. Nesta etapa, os alunos iram sentir dificuldades quando avançarem o número de peças, assim o professor irá sugerir junto com os alunos que façam uma peça de cada vez e observem quantas vezes são movimentadas as peças, para auxilio o professor entregará tabela para que os alunos anotem a quantidade de jogadas, como a tabela abaixo: Número de Peça 01

Peça02

Peça03

Peça04

Peça 05

Total

peças.

movimentos

01 02 03 04 05

Assim ao movimentar uma das peças os alunos irão anotar a quantidade de movimento de cada peça, o professor os orientará para que busquem o menor número de movimentos possíveis. Como por exemplo: Para mover o disco 01, precisamos de apenas um movimento:

Para duas peças são necessários três movimentos: Movemos o disco menor para B; o segundo para C e depois o menor de B para C. Fizeram-se três movimentos. Vejamos as figuras:

Assim os alunos irão anotar na tabela:

Número

Peça 01

Peça 02

Peça 03

Peça 04

Peça 05

de peças.

Total

movimentos

Após o professor ter completado a tabela juntamente com os alunos, o mesmo deverá indagar se é possível calcular o total de movimentos se aumentarmos ainda mais a quantidade de discos e encontrar uma relação entre a quantidade de discos com a quantidade mínima de movimentos. Em seguida deverá instigar os alunos sobre a generalização para n discos e se eles conseguem calcular quantos movimentos são possíveis se Deus tivesse colocado os 64 discos como diz a lenda. Pra maior resolução das questões acima espera-se que os alunos usem a tabela que lhes foi concedidas e como auxilio o professor mostrará aos alunos o comportamento dos movimentos das peças: Número de Peças

Número de Movimentos

Número de Movimentos de uma peça para outra em relação a anterior.

Espera-se que os alunos possam visualizar a sequência que for formulada, isto é, que a cada peça aumentada dobra-se o número da diferença de jogadas da peça anterior para a posterior. Assim o docente indagará os alunos se pode transformar essa diferença em uma potencia de base dois. Dado isso, os alunos deverão responder que para a

diferença do número de jogadas com 01 peça e duas peças é uma potência de assim sucessivamente, até os alunos considerarem que será sucessivo até a

, e

Chegando nessa generalização o professor irá dizer que conseguiram encontrar o padrão

e perguntará se podemos falar que n é o número de discos. Em seguida o professor irá juntamente com os alunos provar a veracidade dessa

expressão. Como na tabela a seguir. Expressão

Número de Movimentos

=16

=32

A primeira reação dos alunos é constatar o erro, pois se n é o número de discos, teríamos o seguinte: com 1 disco fazem 2 movimentos, com 2 discos fazem 4 movimentos, com 3 discos fazem 8 movimentos, com 4 discos fazem 16 movimentos e com 5 discos 32 movimentos. Porém, isso de fato não acontece. Pois o número mínimo de movimentos para cada disco é 1, 3, 7, 15 e 32 respectivamente. Se formos comparar as duas soluções encontradas, veremos que temos que tirar sempre 1 do padrão

assim o professor induzirá os alunos a chegarem a conclusão que a expressão esperada é -1. Com a expressão encontrada o professor poderá voltar-se a última questão inicial: Será que vocês conseguem calcular quantos movimentos são possíveis se Deus tivesse colocado os 64 discos como diz a lenda? Espera-se que os alunos respondam afirmativamente, e para tal, o professor aconselhará a eles que façam uso da calculadora,

= 18.446.744.073.709.551.615 jogadas.

Posteriormente o docente encaminhará a discussão evidenciando que esta relação da quantidade de discos em relação à quantidade mínima de movimentos tratase de uma função, pois para cada número de discos é possível encontrar uma quantidade de movimentos. E essa função é denominada função exponencial:

O professor ainda poderá expor aos alunos os casos de restrição a>0 e a≠ 1, pois: 1º Caso: a

ex=

A função f(x) = ax não é definida em R, por exemplo, seja a=-8 e x=1/2. F(x)=

(

não pertence ao conjunto dos números reais)

2º Caso a=0 e x negativo A função f(x)=ax também não se define em R. 3º Caso: a=1 e x qualquer número real A função f(x)=ax seria uma função constante. E para finalizar a discussão o docente pedirá aos alunos que montem o gráfico utilizando a função f(n)=

, como mostrado a seguir:

Analogamente o docente apresentará aos alunos outros exemplos de funções exponenciais pedindo-os que façam os gráficos e observem as características. Podendo usar os seguintes exemplos: a) y= b) c) y= 2-

REFLEXÕES Na aplicação do jogo os alunos começaram a testar os movimentos sem fazer o processo de contagem, era apenas o jogo pelo jogo, no qual eles tinham que fazer um primeiro contato com o material e entender as regras. Depois dessa etapa eles começaram a competir um com o outro para saber quem conseguia passar os discos mais rápido. O professor começou pedindo que eles jogassem com 1, 2, 3, 4 e por último com os 5 discos da pilha, respectivamente. Nesse momento eles começaram a se questionar sobre se tivessem mais discos, qual seria a quantidade de jogadas necessárias, este foi o encaminhamento para a introdução do conceito de função exponencial, os alunos perceberam que existiam uma relação matemática envolvida e o professor os induziu a chegar essa conclusão. Como percebeu-se os alunos tiveram algumas dificuldades ao identificar, assim foi necessária a intervenção do professor com questionamentos para a finalização da expressão. Após o entendimento os alunos não tiveram dificuldades ao processo de elaboração de gráficos, surgiram algumas dúvidas que foram sanadas pelo professor. A sequência desenvolvida é uma das formas de introduzir o conceito, concluímos que ela foi validada de forma promissora, desde que o professor tenha domínio da sala e do conteúdo apresentado.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência PIBID/UFU-CAMPUS DO PONTAL Subprojeto: Matemática- Pontal IFTM – Instituto Federal do Triângulo Mineiro Sequência didática Função quadrática Professor Supervisor: Carlos Eduardo PetronilhoBoiago Licenciandos: Daniel, Cícero, Gérsica, Anália e Mizael Ano: 1º Ano do Ensino Médio Conteúdo: Função quadrática Objetivos / Habilidades: Fazer com que os alunos saibam o conceito de função quadrática. Compreendam a construção do gráfico de função do 2º grau como expressões de proporcionalidade entre uma grandeza e o quadrado da outra, sabendo caracterizar os intervalos de crescimento e decrescimento, os sinais da função e os valores extremos (ponto de máximo ou de mínimo). Materiais utilizados: lápis, papel sulfite, data-show, computador, GeoGebra.

DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE Inicialmente, o professor irá expor em slide a seguinte situação problema: os alunos de quatro salas do terceiro ano estão organizando uma formatura em um espaço retangular. Os cantos serão destinados aos camarotes onde sentarão os familiares dos formandos. Já o espaço restante, será destinado à pista de dança e as outras mesas. Suponha que quem organizará a festa terá que otimizar o espaço, para comportar nos camarotes uma área que seja suficiente para caber todos os familiares dos alunos. Sabendo que as dimensões do terreno são 20 metros por 15 metros, e que serão formados quatro camarotes de mesma área e esses terão sua forma quadrada. Posteriormente solicitará que os alunos façam um desenho da planta da organização do evento. Como segue-se:

x x

Pista de dança

x x

Em seguida, o professor fará o seguinte questionamento aos alunos, sabendo que as áreas dos camarotes variam de acordo com a quantidade de familiares presentes no evento, e não pode alterar o seu formato quadrangular para evitar discussões, determine a lei de formação que representa a área total do evento em função da área dos quatros camarotes. Neste sentido, os alunos serão induzidos pelo professor a otimizar o problema utilizando uma tabela. Quando a dimensão do camarote for de um 1 metro a área de cada camarote será 1 m2 e como consequência, a área da pista de dança será a área do

espaço todo (20m x 15m), menos a área de cada camarote (300 – 4 = 296). Repetindo esta ação por algumas vezes, o professor indagará os alunos o que aconteceria com a área da pista de dança, se as dimensões do camarote fossem igual a x? A expressão encontrada é um polinômio? Qual o grau desse polinômio? É uma função? Qual é a variável? Qual é a lei de formação? Dimensões do camarote

Área do camarote

Área da pista de dança

300 – 4.1= 296

300 – 4.4 = 284

300 – 4.9 = 264

300 – 4.16 = 236

300 – 4x2

Concluindo assim, que a área da pista de dança poderá variar em relação às dimensões dos camarotes, cuja lei de formação é igual a f(x) = 300 – 4x2. Assim, o professor apresentará a definição de Função Polinomial de 2º Grau, ou seja: Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a

Após a formalização do conceito, por meio da problematização, o professor estabelecerá junto com os alunos, a relação entre o conceito de Função Polinomial de 2º Grau com a área da pista de dança. Na sequência, o professor irá apresentar outros exemplos em slides e questionará aos alunos se são ou não funções polinomiais do 2º grau.

Neste momento, o professor solicitará que os alunos esbocem o gráfico da função obtida por meio do problema sobre a otimização da área da pista de dança. Como mostrado abaixo:

Finalizando esta etapa o professor formalizará com os alunos que o gráfico de uma função quadrática ou do 2º grau forma uma parábola e que a função do problema proposto tem a concavidade virada para baixo. Neste momento o professor relacionará a forma de concavidades da parábola, podendo estar para baixo ou para cima seguindo os critérios abaixo: 



Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Após a verificação do gráfico o professor indagará aos alunos sobre as características que o gráfico possui, como os interceptos no eixo das abscissas e o intercepto no eixo das ordenadas, e que ela possui um “pico”, assim irá introduzir o conceito de zero das funções e estudo do sinal da função. Para isso o professor deverá levantar o conhecimento prévio sobre equação do segundo grau. Como segue-se: Encontrar as raízes ou zeros da função do 2º grau é encontrar os pontos em que a parábola da equação f(x) = ax2 + bx + c, a 0, intercepta o eixo x tais que f(x) = 0. Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

O professor indagará aos alunos sobre a demonstração da fórmula e junto com eles irá expor a resolução por meio de slides.

Feito a demonstração o professor poderá expor as propriedades dos zeros da função: A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando  Quando  Quando iguais);  Quando

, chamado discriminante, a saber: é positivo, há duas raízes reais e distintas; é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes é negativo, não há raiz real.

A seguir a explicação o professor pedirá aos alunos que calculem a área máxima que os camarotes devem possuir de modo que não sobre área reservadas a pista de dança, e que agora, o espaço seja divido em 4 ambientes, sendo esses destinado as 4 salas de terceiro ano. Temos então que o aluno terá que igualar a função a zero e resolvê-la de acordo com o conceito de zero das funções apresentado pelo professor em slide. Finalizando a resolução do problema o professor indagará aos alunos sobre a característica apresentada pelo gráfico quando a parábola atinge o ponto de máximo, então o professor irá adentrar no conceito de vértice da parábola. Para isso o docente irá seguir os passos abaixo: Para determinar o vértice V(xv,yv), parte-se do ponto P(0,c) onde o gráfico de f intercepta o eixo Oy. Para y=c em y=ax²+bx+c, temos: C=ax²+bx+c

ax²+bx=0 x(ax+b)=0 x=0 ou x=

Para b≠0, existe um outro ponto da parábola ordenada c: o ponto (

,c). Como

se sabe que a parábola possui um eixo de simetria, este será distinto de Oy. Como (

,c) e (0,c) dever se eqüidistante do eixo de simetria, então todos os

pontos desse eixo têm abscissa igual à metade de Em particular, o vértice V tem abscissa Xv=

, ou seja, =

e sua ordenada yv é a imagem

de xv pela função: Yv= a Yv= a.

+b -

-+c

= = = Portanto o professor formalizará com os aluno que o vértice da parábola poderá ser representado por

Assim poderá determinar através da expressão encontrada, f(x)=300-4x², os pontos de vértice que o gráfico possui. Como segue em slides:

Finalizando a explicação sobre vértices da parábola,o professor irá questionar os alunos: Suponhando-se que aja mais espaço para construção ao redor. Qual deverá ser a área do camarote para que supere a áreal total do espaço. O professor irá juntamente com os alunos desenvolver a resolução e com o mesmo construir o conceito de inequeção do segundo grau. A princípio o professor irá demonstrar como ficará a expressão, como segue-se: 4x² > 300 Depois questionará os alunos que tipo de expressão é essa. Assim formalizando que é chamado de desigualdade. Dando continuidade a resolução: x² > x² > 75 x>

Portanto deverão concluir que, para que o espaço seja maior do que 300, a área do camarote deverá ser maior do que

O professor dirá aos alunos que o tipo de relação apresentada pela expressão do problema é denominada desigualdade ou inequação do segundo grau, sendo sob a forma: ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c ≥ 0 ax² + bx + c ≤ 0 onde a, b e c pertencem ao conjunto dos números reais e a ≠ 0. Para concluir a aplicação da sequência e como consequência avaliar o entendimento dos alunos, ficará como sugestão ao professor pedir para que os alunos resolvam os exercícios do livro didático, neste caso o livro “Matemática Contexto £ Aplicações” do autor Dante.

Conclusões: A sequência foi realizada por meio de slides para a introdução do conteúdo de função quadrática, os alunos se mostraram entusiasmado com a forma da exposição, no entanto houve algumas dificuldades dos alunos no inicio da aplicação para o entendimento da proposta, que ao decorrer da aplicação foi-se sanando, e os alunos demonstrando entendimento dos conteúdos. Em suma foi uma aplicação positiva, e com slides a aula fica mais dinâmica, no entanto o professor necessita ter dominio do conteúdo e estar com tudo planejado para não ocorrer erros.

Universidade Federal de Uberlândia (UFU) Faculdade de Ciências Integradas do Pontal (FACIP) Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID) Instituto Federal de Ciências e Tecnologia do Triângulo Mineiro

Função Afim Professora Supervisora: Carlos Eduardo PetronilhoBoiago Licenciandos: Gérsica e Cícero. Ano: 1º Ano do Ensino Medio. Datas: Conteúdo: Função Afim. Objetivos / Habilidades: Conceitualização de função afim. Materiais utilizados: Software Geogebra, quadro, papel quadriculado.

Metodologia A sequência será dividida em várias etapas como segue abaixo: 1º Etapa: Modelagem com planos de telefonia celular O professor irá direcionar os alunos a discussão de um problema que, hoje em dia, afeta a maiorias dos nossos alunos: os custos e benefícios dos planos pré-pagos oferecidos pelas operadoras de telefonia celular. Eles, normalmente, utilizam planos pré-pagos sem pensar para que e por que contratar. Portanto, o professor questionará os alunos sobre o seguinte: Temos consciência do custo-benefício do plano de telefonia de celular que utilizamos? E depois fazer a pergunta: Qual operadora oferece o melhor plano pré-pago de acordo com a sua utilização? Está será retomada e respondida após a análise dos modelos obtidos. Após esta discussão os alunos receberão uma folha contendo a seguinte dados e atividades: TABELA 1: Tabela de tarifas

Tim (Operadora 1) CTBC (Operadora 2)

Ligações para a mesma operadora 0,25

Ligações para outra operadora/minuto 1,59(por minuto)

Mensagem para mesma operadora 0,75

0,20

0,20 (por chamada)

0,50

Internet

0,50

Observando a tabela acima, responda: a) Se atribuirmos C para o custo de uso do celular e x para a quantidade de chamadas realizadas poderíamos escrever esses dados em uma expressão matemática? Suponha-se então que usássemos o celular nas duas operadoras por um dia e preencha a tabela abaixo com as respectivas expressões.

Operadora 1

Ligações para a mesma operadora+ internet

Ligações para mesma operadora+Internet+Torpedos

0.25x+0,75

0,25x + 0,75

Somente Ligações para mesma operadora.

Somente o uso da internet.

Operadora 2

0,20x+0,50

0,20x + 1,00

b) Podemos dizer que o gasto com o uso do celular é uma função? c) Suponha-se que uma pessoa realize quatro ligações em um dia para mesma operadora e usa-se a internet, qual seria o valor pago em cada operadora? d) Determine o valor para o uso de 2, 3, 4 e 7 chamadas em um dia por uma pessoa que usasse internet e torpedos. e) Esboce o gráfico das funções do exercício anterior. Determine o domínio e a imagem Em seguida a entrega da folha com as questões aos alunos o professor começará a discutir cada uma das alternativas, separadamente, pedindo então que os alunos resolvam inicialmente a questão de letra A e B, orientando-os a preencher a tabela de acordo com os dados citados. (Obs.: O professor conversara com os alunos que foram escolhidas as operadoras e situações mais utilizadas, pois não haveria como abrange todos os casos.) Para prosseguir ao segundo exercício, o B, espera-se que os alunos tenham domínio sobre o conceito geral de função e façam a relação das fórmulas apresentadas com este conceito. Após esta etapa será dado início ao processo de construção da definição de função afim. Para isso o professor seguirá os seguintes passos: 1º Passo: Relembrar com os alunos os conhecimentos sobre polinômios, para isso o professor poderá utilizar as fórmulas apresentadas pelos alunos, questionando-os sobre as semelhanças que elas possuem. Acredita-se que os alunos irão responder que a semelhança poderá ser a variável x, o valor fixo que sucede a variável, o professor relatará aos alunos que aqueles valores que acompanham o x e o que está sozinho nada mais são do que valores reais que podem ser representados por letras. Neste momento o docente questionará os alunos se eles lembram sobre o conceito de polinômios. Espera-se que os alunos possam responder afirmativamente, caso contrário o professor deverá fazer uma rápida demonstração do que vêm a ser polinômios. Como segue-se: Polinômios em uma variável são séries de monômios (ou termos) em uma variável, que por sua vez são expressões matemáticas na forma de n= 0, torna-se a constante a). O professor deverá exemplificar: 2x (monômio) 3y (monômio)

(que, no caso

4x+4y (binômio)

Realizada a discussão com os alunos o professor investigará com estes se as fórmulas obtidas são polinômios e finalizar demonstrando aos alunos que as funções obtidas através dos exercícios são chamadas de Funções Polinomiais. Assim o professor pode expô-las aos alunos e compará-las com os exemplos citados acima.

Ligações

Ligações para mesma

Somente

Somente o

para a mesma

operadora+Internet+Torpedos

Ligações

uso da

operadora+

para mesma

internet.

internet

operadora.

Operadora 1

0.25x+0,75

0,25x+0,75

025x

0,75

Operadora 2

0,20x+0,50

0,20x+1

0,20x

0,50

Usando como base a tabela o professor demonstrará aos alunos que o valor que acompanha o x pode ser chamado de a e o que sucede pode ser chamado de b, assim teremos a expressão polinomial ax+b e por ser uma função poderá ser representado por f(x)=ax+b 2º Passo: Conceituar. Após a verificação e constatação que as fórmulas dos alunos são funções polinomiais, o professor, ainda, partindo do conceito de polinômios questionará aos alunos se é possível graduar esses polinômios em primeiro, segundo e n grau. Espera-se que os alunos respondam corretamente que o grau do polinômio é dado pelo maior expoente que está presente na função. Caso não ocorra o professor poderá exemplificar e demonstrar a dedução do grau de um polinômio, usando de exemplo o polinômio de segundo grau: ax²+bx+c mostrando aos alunos que essa, além de ser uma equação do segundo grau, é um polinômio de grau dois, pois o maior expoente da variável x é 2.

Ao finalizar a constatação do grau do polinômio o professor fechara com os alunos que as fórmulas apresentadas são de grau um assim denominando-as de função polinomial do primeiro grau. Formalizado isso com os alunos o professor poderá expor a eles o conceito de função do primeiro grau. Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.

Após esta etapa o professor exemplificará o conceito de função afim com as próprias funções apresentadas questionando os alunos a relatarem quais das apresentadas nas tabelas se parecem com função afim. Neste momento os alunos deveram responder corretamente relacionando a função afim com as quatro primeiras fórmulas apresentadas:

Ligações para a

Ligações para mesma

mesma

operadora+Internet+Torpedos

operadora+ internet Operadora 1

0.25x+0,75

0,25x+0,75

Operadora 2

0,20x+0,50

0,20x+1

Neste momento o professor irá introduzir as particularidades de função afim. Tendo ela a Função linear, o professor usará como base a tabela de funções relacionadas a ligações para a mesma operadora.

Somente

Ligações

mesma operadora. 025x

para

0,20x

O docente interrogará aos alunos novamente a semelhança que essas funções possuem e a diferença em relação à inicial. Acredita-se que os alunos façam a relação da falta do valor de b e a presença apenas do valor de a, assim o professor formalizará aos alunos o conceito de função linear.

Chama-se função linear à função definida por uma equação da forma y=ax em que a é um número real.

Por fim o professor usará as duas últimas funções comparando-as com as anteriores vendo que ela difere apenas por não possuir o valor de a e neste caso não se tem os valores de ligações somente o uso de internet. Assim o professor usará os valores da tabela para formalizar o conceito de função constante.

Somente o uso da internet. 0,75 0,50

Assim temos: Função constante é toda função f :R→R, tal que f(x)=b, em que b é uma constante real.

Concluindo a apresentação dos conceitos de função afim e suas particularidades o professor pode pedir para que os alunos respondam as questões de letras d, e.

2º Etapa: Construção e análise dos gráficos A construção e análise de gráficos da função afim será feito no laboratório de Informática utilizando o software GEOGEBRA, para isto será apresentado para os alunos uma introdução sobre a utilização do software, como segue no Anexo 2. Depois desta atividade o professor retomará a pergunta: Qual operadora oferece o melhor plano pré-pago de acordo com a sua utilização? Neste momento o professor começara a analisar situação por situação para tentar verificar pela sentença algébrica qual será a operadora mais em conta. Chegará apenas em uma situação imposta em que é necessária a ajuda de uma análise gráfica para afirmar qual operadora é melhor, para tanto será entregue uma folha de atividades para os alunos como segue abaixo:

Ficha de Atividades 1º) Faça o gráfico do caso em que a pessoa faz apenas ligações para a mesma operadora, utiliza a internet e torpedo, nas duas operadoras, considerando o período de um mês. Após a construção é possível dizer qual operadora compensa mais? Se sim qual? ___________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 2º) Continue no Geogebra e siga as seguintes instruções:  Crie dois controles deslizantes;  Digite no Campo de Entrada: f(x)=ax+b Considerando a função construída no Geogebra: 1. Qual o domínio e imagem da função? 2. Após alterar de positivo para negativo, o termo a é possível notar uma diferença no gráfico para estas situações. Qual é a diferença entre uma função afim com o a negativo, positivo e igual a zero? 5. Descreva o que acontece com a função quando altera o termo b.

Na primeira atividade os alunos chegaram a um gráfico como segue abaixo:

O professor os questionara a partir do gráfico qual operadora compensa mais nesta situação imposta. Espera-se que os alunos notem que até um número x de chamadas a Operadora 2 e mais barata, depois e mais cara. Será pedido para os alunos que encontrem este valor x. Depois desta atividade o professor pode concluir a pergunta dada no inicio da aula. Ou seja, o professor juntamente com os alunos concluirão que para verificar qual operadora compensa mais, primeiramente deve se analisar casos específicos, por exemplo uma pessoa que faça ligações para a mesma operadora, utilize internet e torpedos, o plano que vai compensar mais depende da quantidade de ligações. Nas 2º atividade o professor irá introduzir o conceito de coeficiente angular e linear, juntamente com o conceito de função crescente e decrescente.

3º Etapa: Exercícios

1º) Exercícios do livro didático dos alunos. 2º) Segue abaixo algumas sugestões de exercícios.

ngAtividade 1 Leia atentamente as afirmações sobre variação de sinal da função afim e, a seguir, esboce sua representação gráfica. 1ª afirmação

A função se anula para x = 3; A função é negativa para todo x real, menores que 3 (x < 3); Essa função é do tipo f(x) = ax + b; Para valores de x maiores que a raiz (-b/a) a função é positiva, ou seja, tem o mesmo sinal do coeficiente angular (a = 2). 2ª afirmação

Devemos ter f(x2)<f(x1) com x2>x1; Os valores de x para os quais f(x) é negativo (f(x)<0) são as soluções da inequação –2x – 6 <0.

3ª afirmação Temos f(0)=0; A função é positiva para todo x real, maiores que 0 (x>0); As coordenadas do ponto A(2,4) pertencem ao gráfico da função.

Considerações: A experiência vivenciada contribuiu para as discussões no âmbito do PIBID e para a constatação de que a metodologia adotada requer domínio de conhecimento, criatividade, bem como a preparação correta do material a ser utilizado. Considera-se que o sucesso da aplicação depende também do envolvimento do professor com o assunto – que traz, como consequência, o envolvimento do aluno. Apesar disso, realça-se que um dos aspectos mais difíceis da modelagem matemática na sala de aula é estabelecer o “diálogo matemático” com os alunos. Isso se refere a interpretar a situação com base nos conceitos e na linguagem simbólica da matemática. Finalmente, pondera-se que talvez este não seja o melhor método para ensinar função; mas, a coragem de tomar decisões que almejem a aprendizagem contextualizada dos conteúdos escolares consiste em um dos desafios do PIBID.