Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario by Arturo Portnoy

Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez

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c. 14

COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS 2008-2009: PRIMERA FASE to to to HOJA DE RESPUESTAS: NIVEL ELEMENTAL (4 , 5 y 6 grado) Información del Estudiante:

CLAVE Marque el Grado:

_______4to, _______ 5to, _______6to

Edad: _________________

Tel. Residencial (_______) ___________- __________________ Sexo: __ F __ M Dirección Postal del Estudiante: __________________________________________________ _____________________________Pueblo: ________________ Código Postal____________ Nombre de la Escuela: __________________________________________________________ Pueblo de la Escuela: ________________________

Escuela es: ___ Privada ___ Pública

Instrucciones: Marque con una X sus respuestas.

a 1

c x

x ANULADO

b x

a 11

Envíe esta hoja de respuestas por correo, en o antes del 5 de diciembre de 2008, a la siguiente dirección: Dr. Luis F Cáceres Departamento de Matemáticas Apartado 9018

Mayagüez, PR 00681-9018

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COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS

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PRIMERA FASE 2008-2009

ELEMENTAL 4to, 5to y 6to grado Selecciona la mejor alternativa a las siguientes 20 preguntas. Este examen está diseñado para medir conocimientos y destrezas de estudiantes de 4to a 6to grado. Contesta el mayor número de preguntas que puedas, no te desanimes si no las puedes contestar todas. Contesta el examen individualmente. Envía por correo solamente la hoja de respuestas antes del 5 de diciembre de 2008 a la dirección que aparece en la parte inferior de la hoja de respuestas. Los estudiantes seleccionados en esta primera fase serán anunciados en la página del IFEM a partir del 19 de diciembre de 2008, y serán invitados a participar en la segunda fase, que consiste de un examen controlado que se ofrecerá en el Recinto Universitario de Mayagüez de la Universidad de Puerto Rico. ESCRIBE LAS CONTESTACIONES EN LA HOJA DE RESPUESTAS.

1. Carmela dibuja canguros: uno azul, uno verde, uno rojo, uno negro, uno amarillo, uno azul, uno verde, uno rojo, uno negro, uno amarillo, etc. ¿De qué color es el 28avo canguro? a. azul d. negro b. verde e. amarillo c. rojo 2. Juan empezó a comer un dulce este lunes y cada día siguiente se come uno más que el día anterior. ¿Cuántos dulces habrá comido Juan hasta el miércoles de la siguiente semana? (incluyendo los dulces que se comió ese miércoles) a. 10 d. 55 b. 25 e. 110 c. 45 3. La combinación de una caja fuerte es un número de tres dígitos distintos. ¿Si se sabe que los dígitos son 2, 4 y 6, cuántas combinaciones son posibles? a. 2 d. 8 b. 5 e. 9 c. 6 4. En una calle hay 5 casas numeradas del 1 al 5. Una de ellas es azul, otra es roja, otra es verde, otra es blanca y otra es gris. Se sabe que las casas azul y blanca tienen número par; que la casa roja sólo tiene una casa al lado y que la casa azul está junto a las casas gris y roja. ¿De qué color es la casa 3? a. azul d. blanca b. roja e. gris c. verde

5. En 6 segundos el conejo hace 4 saltos. ¿En cuántos segundos hace 10 saltos? a. 10 d. 18 b. 12 e. 20 c. 15 6. En la cuadrícula de la figura se deben escribir los números 1, 2 y 3 de manera que un número no aparezca dos veces en la misma fila o en la misma columna. ¿Qué números pueden escribirse en la celda que está marcada con *? 1 * 2 1 a. sólo 3 b. sólo 2 c. sólo 1

d. cualquiera de 2 ó 3 e. cualquiera de 1, 2 ó 3

7. En la librería se vende: 1 marcador por $2 y 2 libros de cuentos por $5. María compró 18 libros de cuentos y varios marcadores. Pagó con un billete de $50 y dos billetes de $20 y le dieron $11 de cambio. ¿Cuántos marcadores compró María? a. 14 d. 17 b. 15 e. 18 c. 16 8. Arturo tiene triángulos y rectángulos de madera. ¿Si en total sus piezas tienen 17 esquinas, cuántos triángulos tiene Arturo? a. 1 d. 4 b. 2 e. 5 c. 3 9. Sebastián nació el día en que Ana cumplió 3 años. ¿Cuántos años tendrá Sebastián cuando Ana tenga el doble de años que Sebastián? a. 1 d. 4 b. 2 e. 10 c. 3 10. Dividimos un rectángulo en cuatro partes, un cuadrado y tres rectángulos, como se muestra en la figura. Las áreas están escritas dentro de las partes. ¿Cuánto mide el área total en unidades cuadradas?

a. 15 b. 25 c. 35

d. 40 e. No se puede determinar

11. Los asientos de un carrusel están numerados con los números 1, 2, 3, …. ¿Si Abelardo está sentado en el número 11 y Brenda está sentada en el número 4, diametralmente opuesta a él, cuántos asientos tiene el carrusel? a. 13 d. 17 b. 14 e. 22 c. 16 2

12. Jorge cortó un cuadrado de papel que tenía 20 cm de perímetro y obtuvo dos rectángulos. ¿Si el perímetro de uno de los rectángulos recortados es de 16 cm, cuál es el perímetro del otro? a. 8 cm d. 14 cm b. 9 cm e. 16 cm c. 12 cm 13. Un cubo de madera blanca se mete en una cubeta con pintura azul. Cuando la pintura se ha secado, el cubo se corta en 27 cubitos idénticos. ¿Cuántos cubitos tienen exactamente dos caras pintadas? a. 4 d. 10 b. 6 e. 12 c. 8 14. Arturo, Juan y Francisco tienen 30 canicas entre los tres. Si Francisco le da 5 canicas a Juan, Juan le da 4 canicas a Arturo y Arturo le da 2 canicas a Francisco, todos quedan con la misma cantidad. ¿Cuántas canicas tenía Francisco al principio? a. 8 d. 12 b. 9 e. 13 c. 11 15. ¿Cuántos rectángulos puedes ver en la figura siguiente?

a. 28 b. 29 c. 30

d. 31 e. 32

16. María practica tenis y natación. Juega al tenis todos los jueves y practica natación un día cada 3 (un día sí y los dos días siguientes no). Hoy es jueves y María practicó los dos deportes. Después de cuántos días, a partir de hoy, María volverá a practicar los dos deportes en el mismo día? a. 7 d. 28 b. 14 e. 35 c. 21 17. Lo que tienen Omar y Luis suma $320. Además, el 30% de lo que tiene Omar es igual al 50% del 20% de lo que tiene Luis. ¿Cuánto tiene Omar? a. $ 40 d. $ 90 b. $ 60 e. $ 120 c. $ 80 18. Juan asiste a un campamento de verano donde debe escoger una clase de deporte, una clase de matemáticas, una clase de arte y la clase de ciencias. En deporte puede seleccionar entre tenis, pelota o baloncesto; en matemáticas puede seleccionar entre geometría, aritmética o estadística y en arte puede seleccionar entre pintura o escultura. ¿De cuántas formas posibles puede Juan organizar su campamento de verano? a. 8 d. 18 b. 9 e. 19 c. 10 3

19. Calcular la suma de los dígitos del número 102008 − 2008 . a. 2,008 d. 20,080 b. 18,055 e. Ninguna de las anteriores c. 18,063 20. Encontrar el ángulo u del corbatín:

a. 41o b. 45o c. 53o

d. 94o e. No se puede determinar

FIN

Felicitaciones por haber participado en la Primera Fase de la Olimpiada de Matemáticas de Puerto Rico. No olvides visitar la página del IFEM (http://ifem.math.uprm.edu) a partir del 19 de diciembre de 2008 para ver los seleccionados a la Segunda Fase.

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COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS 2008-2009: PRIMERA FASE mo Vo no HOJA DE RESPUESTAS: NIVEL INTERMEDIO (7 , 8 y 9 grado) Información del Estudiante:

CLAVE Marque el Grado:

_______7mo, _______ 8vo, _______9no

Edad: _________________

Escuela es: ___ Privada ___ Pública

Instrucciones: Marque con una X sus respuestas. 1

a x

3 4

a 11

b x

x x

17 18

x x

Envíe esta hoja de respuestas por correo, en o antes del 5 de diciembre de 2008, a la siguiente dirección: Dr. Luis F Cáceres Departamento de Matemáticas Apartado 9018

Mayagüez, PR 00681-9018

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COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS

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PRIMERA FASE 2008-2009

INTERMEDIO 7mo, 8vo y 9no grado Selecciona la mejor alternativa a las siguientes 20 preguntas. Este examen está diseñado para medir conocimientos y destrezas de estudiantes de 7mo a 9no grado. Contesta el mayor número de preguntas que puedas, no te desanimes si no las puedes contestar todas. Contesta el examen individualmente. Envía por correo solamente la hoja de respuestas antes del 5 de diciembre de 2008 a la dirección que aparece en la parte inferior de la hoja de respuestas. Los estudiantes seleccionados en esta primera fase serán anunciados en la página del IFEM a partir del 19 de diciembre de 2008, y serán invitados a participar en la segunda fase, que consiste de un examen controlado que se ofrecerá en el Recinto Universitario de Mayagüez de la Universidad de Puerto Rico. ESCRIBE LAS CONTESTACIONES EN LA HOJA DE RESPUESTAS. 1. Mario, Pedro, Ignacio, Jorge y Angélica están formados en una fila. Mario está después de Ignacio, Angélica está antes de Mario y justo después de Jorge. Jorge está antes de Ignacio pero Jorge no es el primero en la fila. ¿Cuál es el lugar de Pedro en la fila? a. Primero d. Cuarto b. Segundo e. Quinto c. Tercero 2. ¿Si la longitud b es de 6 cm, cuánto vale el área de la cruz de la figura, formada por cinco cuadrados iguales?

a. 6 b. 12 c. 24

d. 30 e. 36

3. ¿Cuántos sumandos tiene la siguiente suma: 3+10+17+24+…+346? a. 40 d. 60 b. 50 e. 65 c. 52

4. La maestra piensa repartir 20 dulces entre varios niños. ¿Si piensa darle al menos un dulce a cada niño pero no quiere que ninguno tenga la misma cantidad de dulces que otro, cuál es la máxima cantidad de niños a los que la maestra les puede repartir los dulces? a. 5 d. 10 b. 6 e. 20 c. 8 5. En la tabla de la figura hay 12 celdas, que han sido dibujadas usando 4 líneas horizontales y 5 verticales. ¿Cuál es la mayor cantidad de celdas que se pueden obtener dibujando 15 líneas en total?

a. 30 b. 36 c. 40

d. 42 e. 60

6. Una calculadora descompuesta no muestra el número 1 en la pantalla. Por ejemplo, si escribimos el número 3131 en la pantalla se ve escrito el 33 (sin espacios). Pepe escribió un número de seis dígitos en la calculadora, pero apareció 2008. ¿Cuántos números pudo haber escrito Pepe? a. 11 d. 14 b. 12 e. 15 c. 13 7. Hay 60 pájaros en tres árboles. Después de escuchar un disparo vuelan 6 pájaros del primer árbol, 8 pájaros del segundo y 4 pájaros del tercero. ¿Si ahora hay el doble de pájaros en el segundo árbol que en el primero, y el doble en el tercer árbol respecto al segundo, cuántos pájaros había originalmente en el segundo árbol? a. 7 d. 20 b. 11 e. 24 c. 15 8. La figura que se muestra está formada por cuatro cuadrados. Los perímetros de los cuadrados B y C miden respectivamente 16cm y 24cm. ¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado A?

a. 56cm b. 60cm c. 64cm

d. 72cm e. 80cm

9. Jorge pensó en un número entero, Liz multiplicó por 5 ó 6 al número que pensó Jorge, Óscar le sumo 5 ó 6 al resultado de Liz y finalmente Alejandro le restó 5 ó 6 al resultado de Óscar y obtuvo 78. ¿Cuál fue el número que pensó Jorge? a. 10 d. 13 b. 11 e. 14 c. 12 10. Mónica salió a correr durante dos horas. Su recorrido empezó en un terreno plano donde su velocidad fue de 4 km/h y siguió con un terreno inclinado en donde su velocidad fue de 3 km/h. Regresando por el mismo lugar la velocidad en la parte inclinada fue de 6 km/h mientras que la velocidad en la parte plana fue de 4 km/h. ¿Cuál es la distancia total (ida y vuelta) que recorrió Mónica? a. Imposible de determinar d. 8 km b. 6 km e. 10 km c. 7.5 km 11. El primer dígito (el de más a la izquierda) de un número de 4 dígitos es la cantidad de ceros que aparecen en él, el segundo dígito es la cantidad de 1’s, el tercer dígito es la cantidad de 2’s, y el último dígito es la cantidad de 3’s. ¿Cuántos números de cuatro dígitos cumplen con estas condiciones? a. 0 d. 4 b. 2 e. 5 c. 3 12. El dibujo muestra 24 palitos colocados sobre una mesa formando 9 cuadrados iguales. ¿Cuál es el mínimo número de palitos que deben quitarse para que quedan 5 cuadrados completos si cualquiera de los palitos que se queda es el lado de al menos un cuadrado?

a. 2 b. 4 c. 6

d. 8 e. 9

13. En la figura, ABC y CDE son dos triángulos equiláteros iguales. ¿Si el ángulo ACD mide 80º, cuánto mide el ángulo ABD?

a. 25º b. 30º c. 35º

d. 40º e. 45º

14. En una carrera participaron 28 niños. El número de niños que llegaron detrás de Raúl fue el doble del número de niños que llegaron antes que él. ¿En qué lugar llegó Raúl? a. sexto d. noveno b. séptimo e. décimo c. octavo 15. En la figura se muestra un cuadrilátero ABCD con algunos ángulos dados. ¿Si BC = AD , cuánto mide el ángulo ADC ?

a. 30o b. 50o c. 55o

d. 65o e. 70o

16. En la figura, ABCD y EFGH son dos cuadrados iguales, con lados correspondientes paralelos. El área de la región sombreada es 1. ¿Cuál es el área del cuadrado ABCD?

a. 1/2 b. 2/3 c. 3/4

d. 1 e. Depende de la figura

17. ¿Cuántos números n satisfacen al mismo tiempo las 5 condiciones siguientes? 1. n es par. 2. n deja residuo 1 al dividirlo entre 5. 3. n es múltiplo de 7. 4. n es menor que 1000. 5. La suma de los dígitos de n es 23. a. 0 d. 3 b. 1 e. 4 c. 2

18. En la figura, ABCD es un cuadrado y los triángulos ABF y DEC son equiláteros. ¿Si AB=1, cuál es la longitud de EF?

a. 1/2 b. c.

3 2 2

3 −1

e. 3/2

19. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar borrando al menos una de las letras de la palabra ANTENA? Por ejemplo, algunas palabras que se obtienen así son A, TNA, ANTNA. d. 6!− 4! a. 26 − 4 5 e. 6!− 2! b. 2 4 c. 3 ⋅ 2 20. Si a. b. c.

a a = 224 y bb = 318 , hallar a b− a . 8 9 81

d. 216 e. 512

FIN

c. 14 de Puerto Rico Universidad Recinto Universitario de Mayagüez

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COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS 2008-2009: PRIMERA FASE mo mo HOJA DE RESPUESTAS:NIVEL SUPERIOR (10 , 11 y 12mo grado) Información del Estudiante:

CLAVE Marque el Grado:

_______10mo, _______ 11mo, _______12mo

Edad: _________________

Escuela es: ___ Privada ___ Pública

Instrucciones: Marque con una X sus respuestas.

d x

x x

a 11

2 3

e 12

x x

b x

ANULADO x x

Envíe esta hoja de respuestas por correo, en o antes del 5 de diciembre de 2008, a la siguiente dirección: Dr. Luis F Cáceres Departamento de Matemáticas Apartado 9018

Mayagüez, PR 00681-9018

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COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS

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PRIMERA FASE 2008-2009

SUPERIOR 10mo, 11mo y 12mo grado Selecciona la mejor alternativa a las siguientes 20 preguntas. Este examen está diseñado para medir conocimientos y destrezas de estudiantes de 10mo a 12mo grado. Contesta el mayor número de preguntas que puedas, no te desanimes si no las puedes contestar todas. Contesta el examen individualmente. Envía por correo solamente la hoja de respuestas antes del 5 de diciembre de 2008 a la dirección que aparece en la parte inferior de la hoja de respuestas. Los estudiantes seleccionados en esta primera fase serán anunciados en la página del IFEM a partir del 19 de diciembre de 2008, y serán invitados a participar en la segunda fase, que consiste de un examen controlado que se ofrecerá en el Recinto Universitario de Mayagüez de la Universidad de Puerto Rico. ESCRIBE LAS CONTESTACIONES EN LA HOJA DE RESPUESTAS. 1. ¿Cuál es el perímetro de la estrella si se sabe que la estrella está formada por cuatro círculos iguales de radio 5 cm, un cuadrado y cuatro triángulos equiláteros?

a. 40 cm b. 80 cm c. 120 cm

d. 160 cm e. 240 cm

2. Sean x, y, z enteros no negativos tales que x + y + z = 12 . ¿Cuál es el valor más grande de la suma xyz + xy + yz + zx ? a. 62 d. 102 b. 72 e. 112 c. 92 3. Cada tercer día Luis dice la verdad y los demás miente. Hoy Luis ha dicho exactamente 4 de los enunciados de los incisos. ¿Cuál es el enunciado que no dijo hoy? a. Mi nombre es Luis d. Soy amigo de tres personas más altas que yo b. Siempre digo la verdad e. Soy amigo de una cantidad prima de personas c. Tengo la misma cantidad de amigas que de amigos

4. Cuando un profesor lleva corregidos los seis primeros exámenes de una clase, la nota promedio es de

84 puntos. Al corregir el séptimo, la nota promedio sube a 85 puntos. ¿Qué calificación tiene el séptimo examen? a. 64 d. 91 b. 75 e. 99 c. 87

5. Un número tiene 5 cifras y el producto de estas cifras es 100. Sólo una de las siguientes puede ser la suma de sus cifras. ¿Cuál es? a. 10 d. 20 b. 14 e. 100 c. 15 6. En la figura se muestra un cuadrilátero ABCD con algunos ángulos dados. ¿Si BC = AD , cuánto mide el ángulo ADC ?

a. 30o b. 50o c. 55o

d. 65o e. 70o

7. Isabel escoge 8 puntos de los marcados. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de los puntos escogidos sean los vértices de un rectángulo? • • • • • • • • • • • • 1 d. 1 a. 4 1 b. e. no se puede determinar 2 2 c. 3 8. ¿Cuántos enteros positivos tienen la propiedad de que al eliminarles la última cifra (la de las unidades) 1 el nuevo número es del original? 14 a. 0 d. 3 b. 1 e. 4 c. 2 2

9. ¿Cuántos números de 3 dígitos abc (con a ≠ 0 ) son tales que a + 3b + c es múltiplo de 3? a. 100 d. 600 b. 300 e. 990 c. 330 10. Los números reales a ≠ 0 y b ≠ 0 cumplen que ab = a − b . ¿Cuál de los siguientes valores es un valor a b posible para + − ab ? b a a. -2 d. 1/2 b. -1/2 e. 2 c. 1/3 11. Un hombre de treinta años le pregunta a una mujer su edad. La mujer responde: Cuando yo tenga tu edad, tendrás el doble de la edad que tengo ahora. ¿Cuál de las siguientes propiedades tiene la edad de la mujer? a. múltiplo de 3 d. múltiplo de 11 b. múltiplo de 5 e. ninguna de las anteriores c. múltiplo de 7 12. Un pastor al que le gustan mucho las matemáticas tiene entre 80 y 100 ovejas en su rebaño. Un día pensó que el número de ovejas que dormían era igual a 7/8 de las que no dormían. ¿Cuántas ovejas hay en el rebaño? a. 81 d. 95 b. 85 e. 99 c. 90 13. Calcula el área sombreada de una corona circular cuya cuerda tangente mide 10 cm.

a. 5π cm² b. 8π cm² c. 10π cm²

d. 15π cm² e. Ninguna de las anteriores

14. Un coleccionista gasta 100 dólares en comprar sellos de 1, 4 y 12 dólares. ¿Cuántos sellos de 4 dólares compro, si en total ha comprado 40 sellos y si al menos compró uno de cada uno? a. 5 d. 8 b. 6 e. 9 c. 7

15. ¿Puedes determinar la suma de los dígitos de la edad de una persona cuyo número de años en 1998 es igual a la suma de los valores de los dígitos del año de su nacimiento? a. 15 b. 17 c. 18

d. 21 e. 26

16. ¿En qué dígito termina el número 22008 + 22009 ? a. 2 d. 1 b. 4 e. 8 c. 6 17. Los vértices A y C del cuadrado ABCD de lado 1, son el centro de dos circunferencias de radio 1.

¿Cuál es el área de la intersección entre ambos círculos? π 4 −π a. d. 2 2 π −1 b. e. Ninguna de las anteriores 2 π −2 c. 2 18. Mi clave secreta es un número de tres dígitos. Si lo divido entre 9 tengo como resultado un número cuya suma de dígitos disminuye en 9 con respecto a la suma de los dígitos en mi clave. ¿Cuántos números pueden ser mi clave secreta? a. 1 d. 5 b. 2 e. 11 c. 4 19. La lista (1, x2 , x3 , …, xn , 1000) es la sucesión más larga de enteros positivos tal que cada término a partir del tercero es la suma de todos los anteriores. ¿Cuánto vale x2 ? a. 2 d. 124 b. 7 e. 125 c. 8

20. En el triángulo rectángulo ABC cuyos lados tienen longitudes a, b y c, se inscribe una circunferencia.

Del centro de la circunferencia se traza un segmento hasta el vértice C que interseca la circunferencia en el punto D. ¿Cuál es la longitud del segmento CD? a+b+c a+b−c d. ( 2 − 1) a. 2 2 2 a+b+c b. ( 2 − 1) e. Ninguna de las anteriores 2 a+b−c c. 2 2 FIN

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SEGUNDA FASE 24 de enero de 2009

NIVEL ELEMENTAL 4to a 6to grado Instrucciones: Llena la hoja de respuestas. Solamente entregarás la hoja de respuestas al terminar el examen. Los primeros 10 problemas son de opción múltiple, los últimos 5 son de respuesta abierta. Tienes 3 horas para trabajar el examen. ¡Buena suerte! Fill the answer sheet. You will only turn in the answer sheet at the end of the exam. The first 10 problems are multiple choice, the last 5 are open answer. You have 3 hours to complete your work. Good luck!

1. Hay tres jaulas: la pequeña, la mediana y la grande. Una de ellas contiene un gorila, la otra contiene un león y la otra está vacía. Encuentra el gorila, si se sabe que el gorila está en la pequeña o en la mediana y el león no está en la pequeña ni en la grande. We have three cages: small, medium and large. One contains a gorilla, one a lion and one is empty. Find the gorilla if you know that the gorilla is in the small or in the medium cage, and the lion is not in the small or in the large cage. a. jaula pequeña c. jaula grande e. no se puede determinar b. jaula mediana d. mediana o grande

2. Juan divide correctamente un número N por 8 y obtiene como respuesta 0.25. Omar multiplica el mismo número N por 8. ¿Qué respuesta debe obtener Omar? Juan divides N by 8 correctly and obtains 0.25. Omar multiplies the same number N by 8. What answer must Omar obtain? a. 2 c. 8 e. 32 b. 4 d. 16

3. Petra estaba jugando con cuatro fichas y cada una tenía escrito uno de los dígitos 2,0,0,9. ¿Poniendo las cuatro fichas en cualquier orden, cuántos números pudo formar Petra? Petra was playing with four tiles, each tile had one of the digits 2, 0, 0, 9 printed. Placing the four tiles in any order, how many different numbers could Petra form? a. 6 c. 12 e. ninguna de las anteriores b. 9 d. 15

4. María quiere colorear todos los vértices (es decir las esquinas) de un cubo de tal manera que dos vértices unidos por una misma arista (o eje) tengan diferente color. ¿Cuál es el mínimo número de colores que María necesita? Maria wants to color all vertices (that is, corners) of a cube such that two vertices joined by an edge have different colors. What is the minimum number of colors that Maria needs?

a. 2 b. 3

c. 4 d. 5

e. 8

5. Se tienen tres luces intermitentes. Una alumbra cada 2 minutos, otra alumbra cada 2.5 minutos y la tercera alumbra cada 3 minutos. ¿Si las tres luces coinciden en alumbrar a las 9:00 am, cuál es la siguiente hora en que las tres vuelven a coincidir? We have three intermittent lights. One turns on every 2 minutes, another turns on every 2.5 minutes and the third turns on every 3 minutes. If they all turn on at 9:00 am, when will they first all coincide (turn on simultaneously) again? a. 9:10 am c. 9:30 am e. 10:00 am b. 9:20 am d. 9:40 am

6. En la figura se muestran tres líneas que se cortan en un punto. Se dan dos ángulos, hallar la medida del ángulo α . Three lines that intersect in a point are shown in the figure. Two angles are given, find the measure of angle α .

a. 15o b. 25o

c. 35o d. 45o

e. 55o

7. Dos rectángulos tienen las medidas que se muestran en el dibujo. El área sombreada oscura es 31. ¿Cuál es el área de la región sombreada clara? Two rectangles have the measurements shown in the figure. The area of the dark shaded region is 31. What is the area of the light shaded region?

a. 9 b. 31

c. 61 d. 70

e. no se sabe

8. Si a b = ab + a + b y 3 4 = 2 x , entonces x es igual a: If a b = ab + a + b and 3 4 = 2 x , then x equals: 17 a. 5 c. 3 16 d. 6 b. 3

19 3

9. Supongamos que Tomas escribe los números enteros del 1 al 100 sin brincar ningún número. ¿Cuántas veces escribe Tomás el dígito “2”? Suppose Tomas writes the integers from 1 to 100 without skipping any. How many times does Tomas write the digit “2”? a. 10 c. 20 e. ninguna de las anteriores b. 15 d. 25

10.Seis cartones con números solamente en una cara son colocados sobre una mesa, como se muestra en la figura. Los cartones X y Y están con la cara numerada hacia abajo. El promedio de los números de todos los cartones es 5. El promedio del cartón Y y sus dos vecinos es 3. ¿Cuál es el número escrito en el cartón X? Six cards with numbers on one side are placed on a table, as shown in the figure. Cards X and Y are turned over. The average value of all numbers on the cards is 5. The average of numbers on card Y and its two neighbors is 3. What is the number written on card X?

a. 10 b. 11

c. 12 d. 13

e. no se sabe 3

11.Anita tiene escrito en la libreta el número 51379052. ¿Cuál es el menor número impar que ella puede formar borrando cuatro de los ocho dígitos? Anita wrote the number 51379052 on her notebook. What is the smallest odd number that she can form by erasing four of the eight digits in this number?

12.Un número entero se llama ascendente si cada dígito es mayor que el dígito a su izquierda. Por ejemplo, el número 2478 es un número ascendente. ¿Cuántos números ascendentes hay entre 4007 y 5007? An integer is called increasing if every digit in it is greater than the one on its left. For example, number 2478 is and increasing number. How many increasing numbers are there between 4007 and 5007?

13.El número de tres dígitos AB8 es 296 más que el número de dos dígitos AB. ¿Cuál es el número de dos dígitos AB? The three digit number AB8 is 296 larger than the two digit number AB. Which is the two digit number AB?

14.Un número de cuatro dígitos estaba escrito en la pizarra y por error María le borró los dos últimos dígitos y solamente se puede ver el número así: 8 6 ? ? . El número original era divisible por tres, cuatro y cinco. Encontrar el número de cuatro dígitos. A four digit number was written on the board and by mistake Maria erased two of its digits, and one can only see the number like so: 8 6 ? ? . The original number was divisible by three, four and five. Find the four digit number.

15.En una hoja rectangular se dibuja un rectángulo dejando márgenes de 2 cm arriba y abajo y de 3 cm en cada lado. El rectángulo que resulta tiene el lado horizontal igual a las tres cuartas partes del lado vertical y un área de 675cm 2 . ¿Cuáles son las dimensiones de la hoja? In a rectangular sheet of paper a rectangle is drawn, leaving margins of 2 cm above and below and 3 cm on each side of the sheet. The resulting rectangle has a horizontal side of length equal to three fourths of the length of the vertical side, and an area of 675cm 2 . What are the dimensions of the original sheet of paper?

Contesta el mayor número de preguntas que puedas, usa todo el tiempo que tienes. Solve as many problems as you can, use all of the time available. 4

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COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS 2008-2009: SEGUNDA FASE HOJA DE RESPUESTAS Información del Estudiante: Apellidos: ___________________ __________________ Nombre: _____________________ Marca el Grado: 4to ____ 5to ____ 6to ____

7mo___ 8vo___ 9no___

10mo___ 11mo___ 12mo___

CLAVE Marca con una X tus respuestas.

a 1

3 4 5

X X X

Escribe la respuesta correspondiente 1305 11 10 12 32 13 8640 14 34cm x 28.5cm 15

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COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS

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SEGUNDA FASE 24 de enero de 2009

NIVEL INTERMEDIO 7mo a 9no grado Instrucciones: Llena la hoja de respuestas. Solamente entregarás la hoja de respuestas al terminar el examen. Los primeros 10 problemas son de opción múltiple, los últimos 5 son de respuesta abierta. Tienes 3 horas para trabajar el examen. ¡Buena suerte! Fill the answer sheet. You will only hand in the answer sheet at the end of the exam. The first 10 problems are multiple choice, the last 5 are open answer. You have 3 hours to complete the exam. Good luck! 1. En una hoja de papel de 15 cm x 9 cm se cortaron cuadrados en cada una de sus esquinas para obtener una cruz. ¿Si cada uno de los cuadrados tenía un perímetro de 8 cm, cuál es el perímetro de la cruz? From a 15 cm x 9 cm sheet of paper, squares are cut from each corner to obtain a cross. If each of the cut squares had a perimeter of 8 cm, what is the perimeter of the obtained cross? a. 48 cm c. 32 cm e. 16 cm b. 40 cm d. 24 cm 2. Un elevador puede subir 12 adultos o 20 niños. ¿Cuántos niños puede subir con 9 adultos? An elevator can carry 12 adults or 20 children. How many children can it carry with 9 adults? a. 3 c. 5 e. 11 b. 4 d. 8 3. El producto 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅100 se escribe 100! y se lee “cien factorial”. ¿Cuál es la mayor potencia del número 5 que está contenida en 100! ? The product 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅100 is represented by 100! and it is read “one-hundred factorial”. What is the largest power of 5 contained in 100! ? a. 20 c. 22 e. 24 b. 21 d. 23 4. Sabiendo que Knowing that

a. 20º b. 40º

BOD = 140o , BOD = 140o ,

COA = 120o , hallar la medida del ángulo α = COD . COA = 120o , find the measure of angle α = COD .

c. 60º d. 80º

e. 100º 1

5. ¿Si M es el 30% de Q , Q es el 20% de P y N es el 50% de P , cuánto vale If M is 30% of Q , Q is 20% of P and N is 50% of P , what is the value of 3 250 3 b. 25

c. 1 d.

M ? N

4 3

6 5

1 1  = 13  b +  ? b a  How many ordered pairs of positive integers (a, b) with a + b < 100 satisfy the equation 1 1  a + = 13  b +  ? b a  a. 5 c. 9 e. 13 b. 7 d. 11

6. ¿Cuántos pares de enteros positivos (a, b) con a + b < 100 satisfacen la ecuación a +

7. En la figura, los lados AF y CD son paralelos, AB y FE son paralelos y BC y ED son paralelos. Si cada lado tiene longitud 1 y FAB = BCD = 60o , entonces el área del polígono ABCDEF es: In the figure, sides AF and CD are parallel, AB and FE are parallel and sides BC and ED are parallel. If every side has length 1 and FAB = BCD = 60o , then the area contained by the polygon ABCDEF is:

a. b. 1

3 2

c. d.

3 2

e. 2 3

8. Enrique tiene 3 hermanas y 5 hermanos. Su hermana Enriqueta tiene y hermanas y z hermanos. ¿Cuánto vale el producto yz ? Enrique has 3 sisters and 5 brothers. His sister Enriqueta has y sisters and z brothers. What is the value of the product yz ? a. 8 c. 12 e. 18 b. 10 d. 15

9. ¿Si el promedio de 15 enteros positivos distintos en 13, cuál es el valor máximo que puede tomar el segundo número mas grande de estos enteros? If the average of 15 distinct, positive integers is 13, what is the maximum value that the second largest number, of these integers, can take? a. 51 c. 53 e. 55 b. 52 d. 54

10. Un ciclista ha recorrido dos tercios de su trayecto cuando se le explota una llanta. Decide terminar su recorrido a pie, pero este tramo del viaje le toma el doble de tiempo del que hizo en bicicleta. ¿Cuántas veces mas rápido anda en bicicleta que a pie? A cyclist has covered two thirds of his route when he suffers a flat tire. He decides to continue on foot, but the rest of the route takes him twice as long to cover compared to the first part. How many times faster does he ride bike than walk? a. 2 c. 6 e. 10 b. 4 d. 8

11. ¿Cuántos números diferentes de 7 cifras pueden ser formados usando cada uno de los dígitos 1;2;3;4;3;2;1 exactamente una vez, de tal manera que los dígitos impares ocupen lugares impares? How many different 7 digit numbers can be formed using each of the following digits 1;2;3;4;3;2;1 exactly once, in such a way that odd digits occupy odd places in the number?

12. El número M tiene 2009 dígitos, todos ellos iguales a 1: M = 111 ⋅⋅⋅1111 . ¿Cuál es la suma de los dígitos del número 2009 × M ? Number M has 2009 digits, all equal to 1: M = 111 ⋅⋅⋅1111 . What is the sum of the digits of number 2009 × M ?

13. ¿Al menos cuantas personas debe haber en un teatro para poder asegurar que hay al menos dos personas del mismo sexo nacidos en el mismo mes? At least how many people must there be in a theater to be sure that there are at least two people of the same sex born in the same month? _____

______

14. Hallar todos los números de tres cifras abc tales que los números de cuatro cifras abc1 y 2abc ______

_______

satisfagan la igualdad abc1 = 3 × 2abc . _____

______

Find all three digit numbers abc such that the four digit numbers abc1 and 2abc satisfy the ______

_______

equality abc1 = 3 × 2abc . 15. ¿Cuántos divisores tiene 2828 que son cuadrados perfectos? How many divisors does 2828 have that are also perfect squares?

Contesta el mayor número de preguntas que puedas, usa todo el tiempo que tienes. Solve as many problems as you can and use all the time allowed. 3

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7mo___ 8vo___ 9no___

10mo___ 11mo___ 12mo___

CLAVE Marca con una X tus respuestas.

a 1

a 6

X X

Escribe la respuesta correspondiente 18 11 4045 12 25 13 857 14 435 15

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SEGUNDA FASE 24 de enero de 2009

NIVEL SUPERIOR 10mo a 12mo grado Instrucciones: Llena la hoja de respuestas. Solamente entregarás la hoja de respuestas al terminar el examen. Los primeros 10 problemas son de opción múltiple, los últimos 5 son de respuesta abierta. Tienes 3 horas para trabajar el examen. ¡Buena suerte! Fill the answer sheet. You will only hand in the answer sheet at the end of the exam. The first 10 problems are multiple choice, the last 5 are open answer. You have 3 hours to complete the exam. Good luck! 1. Luis tiene el mismo número de hermanos que de hermanas, pero su hermana Ana tiene el doble de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos hermanos y hermanas tiene Luis? Luis has the same number of brothers than sisters, but his sister Ana has twice as many bothers as sisters. How many brothers and sisters does Luis have? a. 2 c. 4 e. 6 b. 3 d. 5 2. ¿Cuántos enteros positivos de dos dígitos son menores que el producto de sus dígitos? How many two-digit positive integers are smaller than the product of their digits? a. 0 c. 2 e. 45 b. 1 d. 3 3. Un par de números enteros se llama “cool” si la suma de estos números es igual que su producto. Determinar cuántos pares de números cool existen. A pair of integers is called “cool” if their sum is equal to their product. Determine how many pairs of cool numbers exist. a. 1 c. 3 e. infinitos b. 2 d. 4 4. Cinco enteros se escriben en círculo de forma que no haya dos o tres números consecutivos cuya suma sea múltiplo de tres. ¿Cuántos de estos cinco números son divisibles entre tres? Five integers are placed in a circle in such a way that there are no two or three consecutive numbers whose sum is a multiple of three. How many of these numbers are divisible by three? a. 0 c. 2 e. no se puede determinar b. 1 d. 3 5. ¿Tendrá la ecuación 9n + 9n + 9n = 32009 soluciones enteras? ¿Si las tiene, cuál de las siguientes es una solución? Does the equation 9n + 9n + 9n = 32009 have integer solutions? If it does, which of the following is a solution? a. 2009 c. 1004 e. No existen soluciones b. 2008 d. 502 1

6. En la figura se dibujaron 9 puntos. ¿De cuántas maneras diferentes se puede dibujar un triángulo de tal manera que los vértices caigan en tres de los puntos de la figura? In the figure, 9 points are drawn. In how many ways can you draw a triangle so that the vertices fall on the points in the figure? • • •

• • • • • • a. 76 b. 84

c. 92 d. 496

e. 504

7. Juan marca una carta con un “1”, dos cartas con un “2”,…,cincuenta cartas con un “50”. Coloca estas 1 + 2 + 3 + ... + 50 = 1275 cartas en una caja y las mezcla. ¿Cuántas cartas necesita sacar al azar Juan para estar seguro que tendrá por lo menos 10 con el mismo número? Juan writes a “1” on one card, “2” on two cards, … , “50” on fifty cards. He places these 1 + 2 + 3 + ... + 50 = 1275 cards in a box and mixes. At least how many cards does he need to randomly draw to make sure that he will at least have 10 with the same number? a. 413 c. 415 e. 417 b. 414 d. 416 8. En un círculo con centro O , AD es un diámetro, ABC es una cuerda, BO = 5 y ABO = 60o como se muestra en la figura. Entonces la longitud de BC es: In a circle with center O , AD is a diameter, ABC is a chord, BO = 5 y ABO = 60o as shown in the figure. Then the length of BC is:

a. 3

c. 5 −

b. 3 + 3

d. 5

3 2

e. ninguna de las anteriores

9. Sea E (n) la suma de los dígitos pares de n . Por ejemplo, E (3458) = 4 + 8 = 12 . ¿Cuál es el valor de E (1) + E (2) + ... + E (100) ? Let E (n) be the sum of even digits of n . For example, E (3458) = 4 + 8 = 12 . What is the value of E (1) + E (2) + ... + E (100) ? a. 200 c. 400 e. 2250 b. 360 d. 900 10. La suma de las longitudes de las 12 aristas de una caja rectangular es 140 y la distancia de una esquina de la caja a la esquina más lejana es 21. ¿Cuál es el área total de la caja? The sum of the lengths of the 12 edges of a rectangular box is 140 and the distance between one corner of the box and the farthest corner of the box is 21. What is the total area of the box? a. 776 c. 798 e. 812 b. 784 d. 800 2

11. En la figura ABDE es un cuadrado, BCD es un triángulo isósceles de base BC y ABC = 160o . Determinar la medida del ángulo AEC . In the figure ABDE is a square, BCD is an isosceles triangle with base BC and ABC = 160o . Determine the measure of angle AEC .

12. Hallar todos los números de cuatro cifras que satisfagan las condiciones siguientes: • La suma de los cuadrados de los dígitos de los extremos es igual a 13. • La suma de los cuadrados de los dígitos del medio es igual a 85. • Si del número buscado se sustrae 1089, resultará un número escrito con las mismas cifras que el buscado pero en orden inverso. Find all the four-digit numbers that satisfy the following conditions: • The sum of the squares of the first and last digits is equal to 13. • The sum of the squares of the middle digits is equal to 85. • If from the wanted number one subtracts 1089, the result will have the same digits as the wanted number but in reverse order. 13. ¿De cuantas formas se pueden acomodar los números del 1 al 9 en una cuadrícula 3 × 3 de tal manera que no haya dos números de la misma paridad en casillas que comparten un lado? In how many ways can one place the number from 1 to 9 in a 3 × 3 table so that no two numbers with the same parity share a side of the 9 squares in the table? 14. Cada una de seis personas tratan de adivinar el número de piedras contenidas en una caja. Sus conjeturas fueron 52, 59, 62, 65, 49 y 42. Las seis se equivocaron y sus errores (por exceso o por defecto) en algún orden fueron de 1, 4, 6, 9, 11 y 12 piedras. ¿Cuántas piedras había en la caja? Each one of six people tried to guess the number of stones in a closed box. Their conjectures were 52, 59, 62, 65, 49 and 42. The six were wrong and their mistakes (by excess or defect) in some order are 1, 4, 6, 9, 11 and 12 stones. How many stones were there in the box? 15. ¿Cuántas ternas x, y, z de números reales positivos satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones? How many triads x, y, z of positive real numbers satisfy the following system of equations? x( x + y + z ) = 26 y ( x + y + z ) = 27 z ( x + y + z ) = 28

Contesta el mayor número de preguntas que puedas, usa todo el tiempo que tienes. Solve as many problems as you can and use all the time allowed. 3

c. 14 de Puerto Rico Universidad Recinto Universitario de Mayagüez

Universidad de Puerto Rico

7mo___ 8vo___ 9no___

10mo___ 11mo___ 12mo___

CLAVE Marca con una X tus respuestas.

1 2 3

e X

X X

a 6

ANULADO X

Escribe la respuesta correspondiente 65 11 3762 12 2880 13 53 14 1 15