2a_Fase_2012-2013_Superior

Examen de 2a fase, Olimpiadas Matemáticas de Puerto Rico 2012-2013 Nivel Superior: 10mo, 11mo y 12mo grados 1. Mi abuelo fue de pesca por tres días. Cada día logró pescar más peces que el día anterior. El tercer día pescó menos que la suma de lo que pescó los dos primeros días. Si sumando lo de los tres días obtenemos 12 peces, ¾cuántos pescó el tercer día?

My grandfather went shing for three days.

Each day he was able to catch more sh than the previous

day. The third day he caught less sh than the sum of the rst two days. If we add what he shed during the three days, we obtain 12, How many sh did he catch the third day? (a) 5

(b) 6

(c) 7

(d) 8

(e) 9

Solución: Dado que el tercer día mi abuelo pescó menos que los otros dos ese día debió conseguir menos de

la mitad de la docena de pescados, es decir que a lo mucho pescó 5. Dado que cada día pescó más que los anteriores el tercer día debió conseguir más de la tercera parte de la docena, es decir, 5 a lo menos.

2. Judith escribió en su libreta los números 17, 13, 5, 10, 14, 9, 12 y 16 y calculó su promedio; después tachó dos números de la lista y notó que el promedio era el mismo. ¾Cuáles son los números que tachó Judith?

Judith wrote on her notebook the numbers 17, 13, 5, 10, 14, 9, 12 and 16 and then she calculated the average. After this, she erased two numbers from the list and she realized that the average was the same. Which numbers did Judith erase? (a) 12 y 17

(b) 5 y 17

(c) 9 y 16

(d) 10 y 12

(e) 14 y 10

Solución: El promedio de todos los números de la lista es 12, así que es necesario eliminar una pareja cuya

suma sea 24.

3. (geometría/álgebra) Megan tiene cinco rectángulos iguales y con ellos forma un rectángulo más grande, como se muestra en la gura. Si el área del rectángulo grande es

60

2

cm , ¾cuánto mide el lado más pequeño de los

rectángulos originales?

Megan has ve rectangles of the same dimensions and with them she builds a bigger rectangle, as shown 2 in the gure. If the area of the resulting rectangle is 60 cm , how long is the shortest side of the original rectangles? (a) 2 cm

(b) 3 cm

(c) 4 cm

(d) 5 cm

(e) 6 cm

Solución: Si el lado menor de cada uno de los rectángulos originales es

el área del rectángulo mayor es

5

a

y el lado mayor

b,

5ab = 60 y por lo tanto

ab = 12.

Pero también podemos encontrar el área del rectángulo grande como

A = (a + a + b) · a = 2ab + b2 = 60 y al sustituir

ab = 12,

entonces como

veces más grande que la de los rectángulos originales, obtenemos

obtenemos que

b=6

y por lo tanto

1

a = 2.

4. Una mujer va a una tienda y le dice al vendedor Si usted me da la misma cantidad de dinero que tengo ahora mismo, gastaré $10.00 aquí . Así se hace. La operación se repite en una segunda tienda y una tercera tienda, luego de lo cual la mujer se queda sin dinero. ¾Cuánto dinero le dieron en total en las tres tiendas?

A woman goes to a store and says to the salesman If you give me the same amount of money I have at this moment, I will spend $10.00 here . It is done. The operation is repeated in a second store and a third store, after which the woman is left with no money. How much money was given to her in total in the three stores? (a) $8.75

(b) $16.25

Solución: Si

x

(c) $17.50

(d) $21.25

(e) $30.00

representa la cantidad de dinero que la mujer tenía al principio, tenemos que luego de que

2x − 10. Al 2(2x − 10) − 10 = 4x − 30. De igual manera, al acabar la operación en la tercera tienda, ella tiene 2(4x − 30) − 10 = 8x − 70. El problema se reduce a resolver la ecuación 8x − 70 = 0, de la que se obtiene que x = 8,75, la cantidad de dinero que tenía al principio. Como el vendedor le diera la misma cantidad y ella gastara $10 en la tienda, la cantidad que tiene es acabar la misma operación en la segunda tienda, ella tiene

gastó $30 en total en las tres tiendas, la cantidad de dinero que le dieron en total fue de $30 - $8.75 = $21.25 5. En cada ronda de un torneo de voleibol, el ganador de un partido pasa a la siguiente ronda, mientras que el perdedor se elimina. (si originalmente había un número impar de equipos, uno de estos pasa a la siguiente ronda automáticamente). El torneo continua de esta manera hasta que se corona un campeón. Si en total se jugaron

100

juegos, ¾cuántos equipos participaron del torneo?

In each round of a volleyball tournament, the winner of a game continues on to the next round, while the loser is eliminated from the tournament. (if originally there was an odd number of teams, one of these goes on to the next round automatically). The tournament goes on until only one team is left. If

100

games were

100.

En adición

played, how many teams participated in the tournament? (a)

101

(b)

200

(c)

27

(d)

26

(e) Falta información / Missing information

Solución: En cada juego hay un único perdedor, así que hay tantos perdedores como juegos:

hay un jugador que nunca perdió. Así que hay

101

jugadores.

6. Hallar el menor número de torres que se deben colocar en un tablero de ajedrez de

8×8

de manera que todas

las casillas blancas del tablero estén amenazadas. Nota: Una torre amenaza a todas las casillas de su la y de su columna.

Find the smallest number of towers to be placed on a

8×8

chessboard so that all the white squares on

the board are threatened. Note: A tower threatens all squares in its row and its column. (a) 4

(b) 5

(c) 6

(d) 7

(e) 8

Solución: Una torre amenaza a lo más 8 casillas blancas y para ello tiene que estar en una casilla negra.

Como el tablero tiene 32 casillas blancas, se necesita por lo menos 4 torres. Esto puede lograrse así:

2

7. ¾Cuál es el mayor número de ángulos interiores en un polígono de

At most how many interior angles of an (a)

n−1

(b)

n−2

(c)

n−3

n-sided (d)

interiores que exceden los donde

n−3

180◦

lados que pueden ser mayores que

polygon can be greater than

n−4

Solución: La suma de ángulos internos de un

n

(e)

n-ágono

180◦ ?

180◦ ?

n−5 es

tienen que ser menor que

(n − 2) ∗ 180, por tanto, el número de n − 2. De hecho, se puede construir un

ángulos ejemplo

funciona: pensemos en una forma de cono de helado, donde dos lados largos son los bordes que

terminan el vértice del cono, en un ángulo agudo y los otros lados forman una media luna entre ellos, con ángulos mayores que

180◦ ,

excepto cuando se unen a esos lados largos.

8. Papo lee un libro de 630 páginas. El primer día lee un tercio del libro. La suma de los números correspondientes a cada página que leyó Papo durante el segundo día es de 4410. ¾Cuántas páginas aun tiene que leer Papo para terminar el libro? (la primera página del libro está numerada con un 1)

Papo reads a book with 630 pages. The rst day he reads one third of the book. The sum of the page numbers corresponding to each page Papo read on the second day is 4410. How many pages does Papo still have to read to nish the book? (the rst page of the book is numbered with a 1) (a) 210

(b) 211

(c) 230

(d) 390

(e) 400

Solución: El primer día, Papo lee 210 páginas. Supongamos que el segundo día Papo lee

n

páginas. En-

tonces la suma de los números correspondientes a estas páginas es

211 + 212 + ... + (210 + n) = n210 +

n(n + 1) , 2

210n + n(n + 1)/2 = 4410. Tanteando, vemos que la solución de esta ecuación es n = 20. Por tanto, 630 − 210 − 20 = 400 páginas por leer.

por tanto, le restan

9. Los chicos del vecindario formaron un club. Se reúnen todos los sábados para jugar con guritas de acción.

Compran, entre todos, siempre la misma cantidad de guritas, que al terminar el juego, reparten en partes iguales, sin que sobre ninguna. Un sábado, Rodrigo faltó a la cita, pero como ellos no lo sabían, compraron la misma cantidad de guritas que siempre. Cuando terminaron el juego, al hacer el reparto, no sobró ninguna gurita y cada uno se llevó 7 guritas más que de costumbre. El sábado siguiente, Rodrigo vino con una amiga (que no pertenece al club) y, al terminar el juego, de nuevo el reparto fue exacto y a cada uno le tocaron 5 guritas menos que de costumbre. ¾Cuántos miembros tiene el club?

The kids in the neighborhood formed a club. They meet every Saturday to play with action gures. Together they always buy the same amount of gures which, when they nish playing, they divide among them in equal parts, without being leftovers. One Saturday, Rodrigo did not come to the meeting but, since no one knew about it, they bought the same amount of gures as always. When they nished playing they divided

3

the gures, each one getting 7 more gures than what they usually get and none were left over. The following Saturday, Rodrigo came with a friend (who does not belong to the club) and, when playtime was over, each one got 5 gures less than usual and again none were left over. How many members are there in the club? (a) 9

(b) 8

(c) 7

(d) 6

(e) 5

Solución: Sea x el número de miembros del club, y sea n la cantidad de guritas. Entonces, la cantidad de

n n x . El sábado que Rodrigo no fue le tocaron x−1 a cada n miembro, y el sábado que llevó a su amiga le tocaron x+1 a cada miembro. Como sabemos que el primero de esos dos sábados cada uno se llevó 7 guritas más, tenemos que: guritas que regularmente le tocan a cada miembro es

n n = +7 x−1 x Como sabemos que el último de esos dos sábados cada uno se llevó 5 guritas menos, tenemos que:

n n = −5 x+1 x Despejando por

n x e igualando estas cantidades, tenemos que:

n n −7= +5 x−1 x+1 Al resolver, encontramos que x = 6 y n = 210.

10. Sea

ABC

AB = AC y ∠A = 30◦ . Sea D el punto medio de segmento AD y un punto Q en el lado AB tales que PB =

un triángulo isósceles con

P en ∠P QC .

consideran un punto medida del ángulo

el

ABC be an isoseles triangle with AB = AC and ∠A = 30◦ . sider P in the segment AD and Q on side AB such that P B = P Q. Let

(a)

12◦

(b)15

◦

◦

(c)30

Solución: Note que PC

(d)45

= PB

◦

Let

◦

pues P está en la mediatriz AD. Además PC

P

B

D

C

Entonces:

∠BP Q = 180 − 2β.

Además

∠P CB = α,

se tiene que

∠BP C = 180 − 2α.

Luego

∠CP Q = 360 − (180 − 2α + 180 − 2β), = 2α + 2β.

Como

α + β = 75◦ ,

entonces

∠P QC .

(e)60

Q

β = ∠P BQ.

be the midpoint of

Find the angle

A

Sea

D

∠CP Q = 150◦

y

∠P QC = 15◦ .

4

la base

= PB = PQ.

BC .

Se

PQ. Calcular la

BC .

Con-

11. žCuåntos cuadrados perfectos hay entre

49

y

How many perfect squares are there between SoluciĂłn:

94 = (81)2

y

94 ,

49

excluyendo a estos dos nĂşmeros?

and

94 ,

49 = 218 = (29 )2 = (512)2 .

excluding these two numbers?

Por lo tanto, el nĂşmero de cuadrados perfectos es

512-81-1=430.

12. Determinar el mayor nĂşmero natural que tiene todas sus cifras distintas y es mĂşltiplo de 5, de 8 y de 11.

Find the greatest natural number such that all its digits are di erent and such that it is a multiple of 5, 8 and 11.

SoluciĂłn: Basta analizar los nĂşmeros de la forma

98765abcde

y quedarnos con el mayor. Note que

{a, b, c, d, e} = {0, 1, 2, 3, 4} Como el nĂşmero es mĂşltiplo de 5, entonces

(a) Caso 1:

e = 0.

Como el nĂşmero es mĂşltiplo de 4, entonces

d=2

o

d = 4.

d=2

Como el nĂşmero es mĂşltiplo de 11, entonces

9−8+7−6+5−a+b−c+2−0 es mĂşltiplo de 11. Luego

9 + b − (a + c)

es mĂşltiplo de 11. Es fĂĄcil ver que con

{a, b, c} = {1, 2, 3}

esto

no es posible.

(b) Caso 2:

d = 4.

En este caso

9 − 8 + 7 − 6 + 5 − a + b − c + 4 − 0 = 11 + b − (a + c) es mĂşltiplo de 11 si

b=3

y

a + c = 3.

Como el nĂşmero es mĂşltiplo de 8, entonces

c=2

y

a = 1.

El

nĂşmero 9876512340 funciona.

13. Elena tiene muchos cubos idÊnticos cuyos lados estån pintados de blanco. Primero toma uno de esos cubos y lo pone en una caja vacía. DespuÊs toma un cubo a la vez y le pinta de verde algunos de sus lados, de tal forma que el cubo es distinto de los cubos que ya estån en la caja, y lo pone en la caja. žCuål es el número måximo de cubos que puede haber en la caja?

Elena has many identical cubes with all white sides. First she takes one cube and puts it in an empty box.

Then she takes one cube at a time and paints some of it sides green, in such a way that the cube is di erent from all the other cubes that are already in the box, and then she puts that cube also in the box. At most how many cubes can there be in the box?

SoluciĂłn: Con 0 caras verdes hay uno, con 1 cara verde hay 1, con 2 caras verdes hay 2, con 3 caras

verdes hay 2, con 4 caras verdes hay 2, con 5 caras verdes hay 1 y con 6 caras verdes hay 1. En total hay 10 cubos en la caja.

14. Seis músicos participan en un festival de música. En cada presentación, algunos de esos músicos sólo tocan y los demås sólo escuchan. žCuål es el mínimo número de presentaciones necesarias para que cada músico escuche a todos los demås?

Six musicians participate in a music festival. while the others just listen.

On each presentation, some of the musicians just perform

What is the minimum number of presentations needed to have each musician

listen to all others?

5

Solución:

Si cada presentación requiere solamente un músico, se necesitarán un mínimo de

guna presentación tocan dos músicos al mismo tiempo, digamos músico presentaciones más: una para que

A

escuche a

B

y otra para que

B

A

y músico

escuche a

B,

6.

Si en al-

se necesitan dos

A. Por otra parte si C fue A y B puedan escucharlo.

espectador en la primera presentación, necesitamos una presentación más para que Así que tendríamos un mínimo de

4

presentaciones. Y la situación es realizable:

Presentación Presentación Presentación Presentación

1 2 3 4

A

B

C

B

E

D

A

E

F

C

F

D

15. Ana escribió todos los enteros del 1 a 40 en un renglón sin espacios, obteniendo así el número multidígito 12345...383940. Luego decidió borrar 60 dígitos de este número. ¾Cuál es el mayor número que Ana puede obtener haciendo esto?

Ana wrote all integers from 1 to 40 in a row without spacings, thus obtaining the multidigit number 12345...383940.

Then she decided to erase 60 digits of this number. What is the largest number Ana can get by doing this?

Solución: Queremos dejar los dígitos mas grandes (9, de ser posible) en las posiciones de mayor valor, así que

comenzariámos borrando 12345678, y dejando el 9, luego borrar 1011121314151617181 y dejar el 9. Hemos borrado 27 dígitos. Luego borrar 2021222324252627282, y dejar el 9. Hemos borrado 46 dígitos. seguimos con 30313233343533, dejando el 6. Hemos borrado los 60 dígitos y queda el número: 99967383940, que es el mayor posible.

6