2a_Fase_2012-2013_Intermedia

Examen de 2a fase, Olimpiadas Matemåticas de Puerto Rico 2012-2013 Nivel Intermedio: 7mo, 8vo y 9no grados 1. žCuål es el dígito de las unidades de 22012 ?

What is the units digit of 22012 ? (a) 1

(b) 2

(c) 4

(d) 6

(e) 8

Sabemos que: 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, 26 = 64, 27 = 128, 28 = 256, ... Se puede observar que el dĂ­gito de las unidades serĂĄ siempre 1, 2, 4, 6 Ăş 8. Sin embargo, el 1 sĂłlo aparece cuando es 20 . Para el resto de las potencias, el orden en que aparecen es: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... El 6 aparece como el dĂ­gito de las unidades cuando la potencia es mĂşltiplo de 4. Como 2012 es mĂşltiplo de 4, el dĂ­gito de las unidades de 22012 es el 6.

SoluciĂłn:

2. En un concurso cada participante inicia con 10 puntos y se le hacen 10 preguntas. Por cada respuesta correcta recibe un punto mientras que por cada respuesta incorrecta pierde un punto. Si Edward terminó con 16 puntos, žcuåntas respuestas incorrectas dió?

Each participant in a contest starts with 10 points and has to answer 10 questions. For each correct answer one point is given while for each wrong answer one point is taken away. If Edward nished with 16 points, how many wrong answers did he give? (a) 2

(b) 3

(c) 4

(d) 5

(e) 6

Como Edward obtuvo 6 puntos mĂĄs que 10, los puntos que pudiese haber obtenido de las otras 4 preguntas se cancelaron entre ellos. AsĂ­ que obtuvo 2 incorrectas.

SoluciĂłn:

3. Multiplicamos un número cuyo cubo es igual a 201212 por el cuadrado de 201211 . žQuÊ resultado obtuvimos?

We multiplied a number whose cube is equal to 201212 times the square of 201211 . What result did we obtain? (a) 201258 SoluciĂłn:

es 2012 .

26

(b) 201226

(c) 201234

(d) 201215 (e)

201212

Un nĂşmero cuyo cubo es 201212 es 20124 . El cuadrado de 201211 es 201222 . El producto de estos

4. María tiene bolitas azules, blancas, rojas y verdes, muchas de cada color. Le quiere regalar 6 bolitas de 2 colores distintos a su hermanito. žDe cuåntas maneras puede hacerlo?

MarĂ­a has blue, white, red and green balls, many of each color. She wants to give 6 balls of two di erent colors to her brother. In how many ways can she do this? (a) 5

(b) 6

SoluciĂłn:

(c) 11

(d) 30

(e) 60

Hay 6 formas de elegir 2 colores de bolitas: azul azul azul blanco blanco verde

-

blanco rojo verde rojo verde rojo

Una vez elegido el color, puede regalar bolitas de 5 modos distintos:

1

1 bolita de un color y 5 del otro 2 bolitas de un color y 4 del otro 3 bolitas de un color y 3 del otro 4 bolitas de un color y 2 del otro 5 bolitas de un color y 1 del otro En total hay 6 × 5 = 30 maneras de hacerlo.

5. Un anciano deja una herencia a sus tres hijos, Juan, Pedro y Miguel. En su testamento dice que a Juan le tocará el triple que a Pedro, y que Miguel, que se llevará el doble de lo que se recibirán sus dos hermanos, recibirá $12, 000. ¾Cuánto recibirá Juan?

An old man leaves an inheritance to his three sons Juan, Pedro and Miguel. In his will he states that Juan will receive three times as much as Pedro, and that Miguel, who will receive twice the amount that will receive his two brothers, will get $12, 000. How much will Juan receive? (a) $1, 500

(b) $4, 500

(c) $6, 000

(d) $12, 000

(e) $18, 000

Si dejamos que J sea la cantidad que recibe Juan, P sea la cantidad que recibe Pedro, y M sea la cantidad que recibe Miguel, tenemos que J = 3P , M = 2(J + P ). Dado que M = 12000, tenemos que J + P = 6000. Sustituyendo J = 3P , obtenemos que 3P + P = 4P = 6000, lo que resulta en P = 1500.

Queremos el valor de J = 3P = 3(1500) = 4500.

Solución:

6. ¾Cuántos números de 4 cifras se pueden escribir utilizando únicamente 1's y 2's de forma que resulten múltiplos de 3?

How many 4-digit numbers can be written using only 1's and 2's so that they are multiples of 3? (a) 2

(b) 3

(c) 5

(d) 6

(e) 10

Como los dígitos utilizados son únicamente el 1 y el 2, entonces el valor mínimo de la suma se obtiene cuando todos son 1 y sería 4 y el valor mayor se obtiene cuando todos son 2 y sería 8. Para poder ser múltiplo de 3, esta suma tiene que ser divisible por 3. Para satisfacer ambas condiciones la única suma posible es 6. Si utilizamos el 2 una sola vez la suma sería menor que 6 y si lo utilizamos más de dos veces la suma sería mayor que 6. Así que debemos utilizar el 2 dos veces: Solución:

2211

2121

2112 1122

1212

1221

y estos son todos los números posibles.

7. En una pared rectangular de 12 m de ancho se coloca un portón cuadrado, dejando 3 m a la izquierda y el doble a la derecha. La super cie de pared que queda alrededor del portón es 39 m2 . ¾Cuál es la altura de la pared?

In a rectangular wall 12 m wide, a square gate is placed, leaving 3 m to the left and twice that to the right.

The wall surface around the gate is 39 m2 . What is the height of the wall? (a) 2

(b) 3

Solución:

(c) 4

(d) 5

(e) Falta información / Missing information

La super cie total es igual a la base por la altura, es decir: St = b · a.

2

Como la super cie total St es la suma de la supercie de la pared sin el portón más la super cie del portón, es decir, St = 39 + 9 = 48

Además St = b · a, donde sabemos que b = 12, entonces tenemos: 12 · a = 48.

Así el valor de la altura es, a = 4.

8. Logan cría caballos y vacas. Un día, el número de caballos era el mismo que el número de vacas y mayor que 0. Luego, Logan compró más vacas de tal forma que el número de vacas se incrementó en un 50 %. Ahora sólo 30 % de los animales son caballos. ¾Cuántos caballos tiene Logan?

Logan raises horses and cows. One day, the number of horses was the same as the number of cows and greater than 0. Then, Logan bought more cows so that the number of cows was increased by 50 %. Now, only 30 % of the animals are horses. How many horses does Logan have? (a) 8

tion

(b) 9

Solución:

(c) 10

(d) 11

(e) No tiene solución este problema / This problem has no solu-

Sea c el número de caballos y el número de vacas. Entonces, según el problema tenemos que 0,3(1,5c + c) = c.

Pero esto implica que c = 0, lo cual es imposible.

9. En un 4ABC , ^A = 2^C y 2^B = ^A + ^C . Hallar las medida de ^A.

In the 4ABC , ^A = 2^C and 2^B = ^A + ^C . Find the measure of ^A. (a) 40◦

(b) 60◦

(c) 80◦

(d) 100◦

(e) 120◦

Sean α = ^A, β = ^B y γ = ^C . Sabemos que α = 2γ , 2β = α + γ . Además α + β + γ = 180.

Luego 2β = 2γ + γ , entonces β = 3γ 2 . Por lo tanto

Solución:

2γ +

Entonces

9γ 2

= 180. Luego γ =

360 9 .

3γ + γ = 180.

2

Entonces γ = 40◦ . Luego α = 80◦ .

10. ¾De cuántas formas podemos colocar los números del 1 al 8, un número en cada círculo, de tal forma que dos números consecutivos no estén unidos por un segmento?

In how many ways can we place the numbers from 1 to 8, one number in each circle, so that two consecutive numbers are not connected by a segment? (a) 1

(b) 2

(c) 4

(d) 8

(e) Más de 8 / More than 8

3

Solución: Los números que van en la posición A y B estan conectados con 6 números. Los únicos que pueden ir ahí son el 1 o el 8.

A

B

Supongamos que el 1 va en la posición A y 8 en la posición B. Entonces el 2 debe ir en la posición C y el 7 en la posición D. Entonces el 3 va en la posición E o F. Sí se coloca el 3 en la posición E entonces solo hay una manera de completar el diagrama. Igualmente si el 3 se coloca en la posición F. Por lo tanto hay 4 formas de colocar los números.

D

F

1

E

8

C

11. Sea ABCDE un pentágono regular. Las líneas BC y DE intersecan en el punto F . Determinar los ángulos del triángulo BEF .

Let ABCDE be a regular pentagon. The lines BC and DE intersect at point F . Determine the angles of triangle BEF .

Los ángulos internos de un pentágono regular son de 3(180)/5 = 108◦ . Por tanto, los externos son de 72 . Como BE es paralela a CD, el triángulo BEF tiene los mismo ángulos que el triángulo CDF , cuyos ángulos son 72◦ , 72◦ y 36◦ .

Solución:

◦

12. El perímetro del rectángulo blanco que se muestra en la gura es 80, y el área combinada de los dos cuadrados sombreados es 898. Halle el área del rectángulo.

The perimeter of the white rectangle shown in the gure below is 80, and the combined area of the two shaded squares is 898. Find the area of the rectangle.

4

Si dejamos que a sea la longitud del lado del cuadrado pequeño, y b la longitud del lado del cuadrado grande, tenemos que a + b = 40 y que a2 + b2 = 898. Para hallar ab, el área del rectángulo, sustituimos esos valores en la fórmula:

Solución:

ab =

1 [(a + b)2 − (a2 + b2 )] 2

El área del rectángulo es 351.

13. Un número capicúa es uno que se puede leer igual de izquierda a derecha o de derecha a izquierda, como por ejemplo el 1771. ¾Cuántos números capicúas de cuatro dígitos hay?

A palindrome number is one that is written the same way from left to right or from right to left, such as 1771. How many four-digit palindrome numbers are there?

Un número capicúa de cuatro dígitos se escribe de la forma abba, donde a ocupa la posición del primer y cuarto dígitos, que tienen que ser iguales. De igual manera, b representa el segundo y tercer dígitos.

Hay nueve posibilidades para el primer dígito, que tiene que ser del 1 al 9; el 0 no es posible pues no sería un número de tres dígitos. Hay diez posibilidades para el segundo dígito (el valor de b), pues el 0 sí es posible en este lugar y también podría repetirse el dígito de la primera posición (un número como 3333 es capicúa).

Para la tercera posición hay solamente una posibilidad, pues tiene que ser idéntico al segundo, e igualmente hay solamente una posibilidad para la última posición, que tiene que ser idéntico al primero. Por el Principio de Conteo hay 9 · 10 · 1 · 1 = 90 posibilidades.

Solución:

14. Juan puso 2012 canicas negras en la. Luego reemplazó cada tercera canica en la la por una canica roja.

Luego, reemplazó cada quinta canica en la la por una canica amarilla. Finalmente, reemplazó cada séptima canica negra en la la por una canica azul. Al nal, ¾cuántas canicas negras quedaron en la la?

Juan placed 2012 black marbles in a line. He then replaced each third marble in the sequence by a red marble.

After that, he replaced every fth marble in the sequence by a yellow marble. Finally, he replaced every seventh black marble in the sequence by a blue marble. How many black marbles were left in the sequence?

Enumeremos las canicas del 1 al 2012 en el orden en el que están. Calculemos cuantas canicas negras quedan despues del segundo paso. Como 2012=670(3)+2=402(5)+2=134(15)+2, entonces exactamente 670+402-134=938 canicas negras fueron reemplazadas. Por tanto, después del segundo paso, quedan 1074 canicas negras en la sucesión. Como 1074=153(7)+3, Juan reemplazo 153 canicas negras en el tercer paso. Al nal, quedan 1074-153=921 canicas negras en la sucesión.

Solución:

15. Una máquina escribe unos y ceros de la siguiente manera: 10110111011110 · · · Cada vez que escribe un dígito, la máquina suena si el número obtenido hasta el momento es múltiplo de 6. Si la máquina escribe 35 dígitos, ¾cuántas veces suena?

A machine writes ones and zeros in the following way: 10110111011110 · · · Each time a digit is written, the machine makes a sound if the number obtained up to that point is a multiple of 6. If the machine writes 35 digits, how many times does it sound?

Siempre que la máquina suene debe ser por que acaba de escribir un 0, ya que el número, para ser divisible por 6, debe ser par. Las únicas posiciones que terminan en 0 son: 2, 5, 9, 14, 20, 27 y 35. Para que el número sea múltiplo de 3, es necesario que la suma de los dígitos del número, en este caso la cantidad de 1's que contenga sea múltiplo de 3.

Solución:

# de dígitos 2 5 9 14 20 27 35

# de 1's 1 1+2=3 1+2+3=6 1 + 2 + 3 + 4 = 10 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

5

Divisible por 3 No Sí Sí No Sí Sí No

La mรกquina sonarรก 4 veces.

6