Libro_Olimpiadas 2011-2012

Publicaciones AFAMaC

OMPR Olimpiadas de Matem´ aticas de Puerto Rico 2011-2012 C´ esar A. Barreto Luis F. C´ aceres Arturo Portnoy Departamento de Ciencias Matem´ aticas Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayag¨ uez

Este Material Educativo es para ser distribuido de forma gratuita exclusivamente. Su venta esta estrictamente prohibida.

This educational material is to be distributed free of cost only. Its sale or resale is strictly prohibited.

Primera Edici´ on, 2012 c Derechos AFAMaC Director: Dr. Luis F. C´ aceres

Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida ni retransmitida por ning´ un medio, electr´ onico, mec´ anico, fotocopiado, grabado u otro, excepto con el permiso previo por escrito de AFAMaC. Esta producci´ on ha sido subvencionada por el proyecto AFAMaC mediante proyectos del Departamento de Educaci´ on Puerto Rico. Contrato #2011-AF-0217

Realizado por C´ esar A. Barreto Luis F. C´ aceres Arturo Portnoy Departamento de Ciencias Matem´ aticas Universidad de Puerto Rico, Recinto Universitario de Mayag¨ uez Impreso y hecho en Puerto Rico

ii

Pr´ ologo Cada a˜ no, en OMPR dedicamos tiempo y esfuerzo para producir el librito con los problemas que sirvieron de filtros para el ciclo Ol´ımpico del a˜ no anterior; el a˜ no acad´emico 2011-2012 no es la excepci´on. Este librito contiene una colecci´on de problemas que adem´as de usarse durante el ciclo anual, representan una selecci´on cuidadosa de problemas retadores, entretenidos y hermosos.

Este librito representa para la mayor´ıa de los estudiantes de Puerto Rico, la u ´nica oportunidad de conocer y enfrentar problemas matem´aticos de este nivel y de esta naturaleza, pues mucho del material de Olimpiadas no se cubre en el curr´ıculo regular de escuela.

Es parte de los objetivos de OMPR ofrecer a todos los maestros y estudiantes de Puerto Rico materiales educativos gratuitos de calidad. Este librito a˜ nade un tomo a la biliboteca de OMPR. Esperamos que muchos estudiantes y maestros le den uso, y que ´este contribuya a elevar las destrezas y los est´andares educativos en la Isla.

iii

AFAMaC Alianza para el Fortalecimiento del Aprendizaje de las Ciencias y las Matem´aticas.

Este proyecto est´ a subvencionado por el Departamento de Educaci´ on de Puerto Rico y es realizado en el Departamento de Ciencias Matem´ aticas del Recinto Universitario de Mayag¨ uez de la Universidad de Puerto Rico.

iv

Tabla de Contenido

P´agina Examen de Primera Fase: Nivel Elemental Examen de Primera Fase: Nivel Intermedio Examen de Primera Fase: Nivel Superior Examen de Segunda Fase: Nivel Elemental Examen de Segunda Fase: Nivel Intermedio Examen de Segunda Fase: Nivel Superior Examen de Tercera Fase: Nivel Elemental Examen de Tercera Fase: Nivel Intermedio Examen de Tercera Fase: Nivel Superior Examen de Selecci´on Soluciones al Examen de Primera Fase: Nivel Elemental Soluciones al Examen de Primera Fase: Nivel Intermedio Soluciones al Examen de Primera Fase: Nivel Superior Soluciones al Examen de Segunda Fase: Nivel Elemental Soluciones al Examen de Segunda Fase: Nivel Intermedio Soluciones al Examen de Segunda Fase: Nivel Superior Soluciones al Examen de Tercera Fase: Nivel Elemental Soluciones al Examen de Tercera Fase: Nivel Intermedio Soluciones al Examen de Tercera Fase: Nivel Superior Soluciones al Examen de Selecci´on

5

6 13 20 26 30 35 39 41 44 46 47 54 63 71 76 81 88 92 97 102

´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO Primera Fase 2011-2012 EXAMEN NIVEL ELEMENTAL(4to, 5to y 6to) 1. Un elevador tarda del primero al tercer piso 6 segundos. ¿Cu´antos segundos tardar´a del primero al s´eptimo? a) 12

d ) 20

b) 14

e) 24

c) 18

2. Arturo selecciona un n´ umero y le suma 1. Al resultado le resta 2.

El n´ umero obtenido lo multiplica por 3, luego, divide el n´ umero encontrado entre 4 y su resultado es 6. ¿Cu´al fue el n´ umero que seleccion´o Arturo? a) 6

d ) 10

b) 8

e) 12

c) 9

3. Este a˜ no celebramos el cumplea˜ nos n´ umero 40 de mi t´ıo. Cuando pens´e en sus hijos, los cuales tienen 5, 6, y 7 a˜ nos, se me ocurri´o una pregunta: ¿cu´antos a˜ nos deber´an pasar para que la suma de las edades de sus hijos sea igual a la edad que mi t´ıo tenga en ese momento? a) 7

d ) 18

b) 11

e) 21

c) 14

6

4. ¿Cu´al es la mayor cantidad de enteros positivos diferentes tales que su suma sea 43? a) 5

d) 8

b) 6

e) 9

c) 7

5. Tenemos tres tarjetas con los n´ umeros 8, 9 y 9. Con ´estas podemos formar, por ejemplo, el n´ umero 989 y tambi´en el n´ umero 986 (ya que un 9 al rev´es es un 6). ¿Cu´antos n´ umeros diferentes podemos formar con las tres tarjetas? a) 6 b) 8

9 8

c) 9

9

d ) 10 e) 12

6. ¿Cu´al estrella aparece en la posici´on 2011, en la siguiente sucesi´on?

a)

d)

b)

e)

c)

7

7. Pedro escribi´o los n´ umeros del 1 al 9 dentro de los c´ırculos en la figura, de tal forma que la suma de los tres n´ umeros a lo largo de cada l´ınea es divisible entre 5. ¿Cu´al es el n´ umero que debe estar en el centro? ´ a) Unicamente el 2 ´ b) Unicamente el 5 ´ c) Unicamente el 8 d ) 2, 5 y 8 e) 1 al 9 8. ¿Cu´antos n´ umeros de tres d´ıgitos podemos formar usando los d´ıgitos 0, 1, 2, 3 y 4 una sola vez? a) 48 b) 60 c) 64 d ) 100 e) 125 9. Lina construye una cerca de cubos alrededor de un ´area cuadrada para animales y ella utiliza 36 cubos del mismo tama˜ no. Luego decide no jugar con los animales y llena el a´rea con cubitos. ¿Cu´antos cubos utiliz´o Lina en total? a) 36 b) 49 c) 64 d ) 81 e) 100 8

10. Si construimos una lista en orden ascendente con todos los n´ umeros de cuatro d´ıgitos cuya suma de d´ıgitos es 4, ¿cu´al es la posici´on en donde se encuentra el 2011? a) 7 b) 8 c) 9 d ) 10 e) 12 11. ¿Cu´antos n´ umeros enteros positivos de tres d´ıgitos, donde el producto de sus d´ıgitos es igual a 24, hay? a) 12 b) 15 c) 18 d ) 21 e) 24 12. ¿Cu´al es el a´rea, en cent´ımetros cuadrados, de la figura mostrada a continuaci´on si puntos vecinos en cada fila y en cada columna de la cuadr´ıcula distan 1 cm entre s´ı? a) 18.5 cm2 b) 19 cm2 c) 19.5 cm2 d ) 20 cm2 e) 20.5 cm2

9

13. La siguiente figura consta de diez cubitos pegados. Usando esta figura como base, la menor cantidad de cubitos que faltan para construir un cubo s´olido es: a) 17 b) 25 c) 54 d ) 64 e) Ninguna de las anteriores.

14. En la siguiente figura se observa que un c´ırculo y un cuadril´atero pueden separar un plano en 7 partes. ¿Cu´al es el mayor n´ umero de partes en las que un c´ırculo y un cuadrilatero pueden separar un plano? a) 7 3

1

b) 8

2

c) 9

5 7

d ) 10

6

4

e) 11

15. Tenemos tres puntos que definen un tri´angulo y queremos dibujar un paralelogramo agregando un punto para el cuarto v´ertice. ¿De cu´antas formas diferentes podemos seleccionar el cuarto punto? a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) Depende del tri´angulo inicial.

10

16. Juliana pegar´a tres cuadrados que se superponen sobre una manta cuadrada de 90 cm de lado. Los m´as peque˜ nos miden 40 cm de lado y el m´as grande mide 50 cm de lado. Ella quiere que las partes que se superponen sean cuadrados congruentes (cuadrados sombreados de la figura). ¿Cu´anto debe medir el lado de los cuadrados superpuestos? a) 10 cm b) 20 cm c) 50 cm d ) 90 cm e) 100 cm 17. ¿Cu´antos n´ umeros de tres d´ıgitos hay, cuya suma de sus d´ıgitos es igual al producto de sus d´ıgitos? a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) Ninguna de las anteriores.

18. El tri´angulo PQR es is´osceles con PQ = QR. Los segmentos PQ y RS son paralelos. ¿Cu´anto mide el P RS? a) 52◦

Q

P

◦

b) 76

c) 104◦ d ) 109◦ e) 142◦

O

38 R 11

S

19. En un parque hay 100 personas, 50 de ellas son italianos, 60 son hombres y 90 vegetarianos. ¿Cu´al es la m´ınima cantidad de personas que, podemos estar seguros, son hombres italianos vegetarianos? a) 0 b) 1 c) 10 d ) 40 e) 50 20. Rellene las celdas vac´ıas de la tabla con n´ umeros enteros de modo que la suma de los n´ umeros en cualesquiera tres celdas vecinas de cada fila y de cada columna sea siempre la misma. Encuentre el n´ umero marcado por ?. a) 0

1

2

b) 1

? c) 2

1 d) 3

4

e) Imposible llenar.

12

3

´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO Primera Fase 2011-2012 EXAMEN NIVEL INTERMEDIO(7mo, 8vo y 9no) 1. Si RP Q = 20◦ y RQU = 120◦ , ¿cu´al es la medida, en grados, de SRT ?

S

a) 60◦

T

b) 140◦ c) 80◦ d ) 100◦

R

e) 120◦

Q

P

U

2. Carlos tiene 6 sellos: dos de 3 centavos, dos de 5 centavos y dos de 9 centavos. Utilizando a lo m´as 4 sellos puede obtener todas las cantidades entre 8 y 26 centavos, excepto una. ¿Cu´al es la cantidad que no puede obtener? a) 26 centavos

d ) 20 centavos

b) 25 centavos

e) 17 centavos

c) 18 centavos 3. Sean ABCDE un pent´agono regular y DF GE un cuadrado. ¿Cu´anto mide el a´ngulo GAE?

B

a) 9◦ b) 12◦

C

A

◦

c) 6

D

d ) 10◦

E

e) 4◦

F 13

G

4. Andrea escribi´o los n´ umeros del 1 al 9 dentro de los c´ırculos en la siguiente figura, de tal forma que la suma de los tres n´ umeros a lo largo de cada l´ınea es divisible entre 4. ¿Cu´al o cu´ales n´ umeros deben estar en el centro? ´ a) Unicamente el 1. ´ b) Unicamente el 5. ´ c) Unicamente el 9. d ) 1, 5 y 9 e) 1 al 9

5. Esta figura consiste de cuadrados. Se muestran las a´reas, en unidades cuadradas, de cuatro de los cuadrados. Dado que x y y son tambi´en cuadrados, sus respectivas ´areas son: a) 16 y 25 b) 16 y 36 x

c) 25 y 36

y

d ) 25 y 64 1

1

e) 25 y 100 9

4

6. ¿Cu´antos enteros en el conjunto {100, 101, 102, . . . , 999}, no contienen ninguno de los d´ıgitos 1, 2, 3 o´ 4? a) 150

d ) 300

b) 180

e) Ninguna de las anteriores.

c) 240 14

7. Sof´ıa tiene 7 palitos de 2, 4, 6, 7, 8, 9 y 10 cent´ımetros de longitud.

De todos los rect´angulos que puede formar, utilizando los 7 palitos, ¿cu´al es el de mayor a´rea? a) 140 cm2 b) 126 cm2 c) 118 cm2 d ) 102 cm2 e) 130 cm2 8. Luis ha ganado una rifa y el premio es darle cada d´ıa el doble de lo que recibi´o el d´ıa anterior durante 8 d´ıas. Si el primer dia recibi´o 4 pesos, ¿cu´anto dinero recibir´a al final? a) 4 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 b) 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 c) 28 d ) 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 e) Ninguna de las anteriores.

9. En una calculadora, la tecla A, transforma el n´ umero x que est´a en 1 umero que est´a en la pantalla en y la tecla B, multiplica por 2 el n´ x la pantalla. Si el n´ umero 2 est´a en la pantalla y tecleamos 499 veces la secuencia AB, ¿qu´e n´ umero aparecer´a en la pantalla? a) 1 b) 2−498 c) 2−500 d ) 2499 e) 2500 15

10. PQRS es un rect´angulo con: PQ = 4 m, PS = 3 m y QS = 5 m.

PT es la perpendicular de P a QS. ¿Cu´al es la longitud, en metros, de PT? P

a) 2.1

Q

4m

b) 2.2 c) 2.3 5m

3m

d ) 2.4

T

e) 2.5 S

R

11. Ver´onica, Ana y Carmen fueron a pescar y capturaron menos de 100 peces. El n´ umero de peces que Ver´onica captur´o fue, exactamente, tres veces el n´ umero de peces que hab´ıa capturado Ana y cuatro veces el n´ umero de peces que hab´ıa capturado Carmen. El mayor n´ umero de peces que Ver´onica pudo haber capturado fue: a) 48 b) 50 c) 60 d ) 66 e) 72 12. ¿Cu´antos d´ıgitos 9 tiene la expansi´on de 10100 − 2011? a) 96 b) 97 c) 98 d ) 99 e) 100 16

13. Sea ABCD un rect´angulo cuyo largo es el doble del ancho. Si el ancho es 4 unidades y M y N son los puntos medios de los segmentos AD y BC, respect´ıvamente, ¿cu´al es el a´rea del pol´ıgono MOPD? a) b) c) d) e)

M

A

4 6 8 16 32

D

O P B

N

C

14. Fu´ı a una librer´ıa y me d´ı cuenta que cada uno de los libros con carpeta blanda, costaba $5 y cada uno de los libros con carpeta dura, costaba $7. Yo gast´e, exactamente, $86 en libros de los dos tipos. ¿Cu´al es el m´aximo n´ umero de libros que pude haber comprado? a) 10

d ) 18

b) 14

e) 20

c) 16 15. Tenemos un cuadrado de lado 1 m y queremos dividirlo con dos segmentos de la misma longitud x, como se muestra en la figura. Si las tres partes que se obtienen deben tener la misma a´rea, ¿cu´anto debe valer x? √

a) b) c) d) e)

13 3

m

2 m 3 √ 5 m 3

x

x

13 m 9 √ 10 m 3

17

16. La suma de 20 n´ umeros enteros es 200. De ´estos, ¿cu´al es la mayor cantidad de n´ umeros que pueden ser mayores que 20? a) 20

d) 9

b) 19

e) 8

c) 10

17. ¿Cu´antos n´ umeros del 1 hasta el 50 tienen, exactamente, 4 divisores positivos? a) 11

d ) 15

b) 12

e) Ninguna de las anteriores.

c) 13

18. El punto (k, 17) yace sobre la l´ınea que une a los puntos (1, 5) y (4, 11). El valor de k es: a) 37

d) 6

b) 14

e) 7

c) 8

19. Considera todos los n´ umeros de tres d´ıgitos distintos que se pueden formar con los d´ıgitos 0, 1, 2, 3 y 5. ¿Cu´antos de estos n´ umeros son m´ ultiplos de 6? a) 4

d ) 15

b) 7

e) 20

c) 10

18

20. Un encuestador se dirige a una casa donde es atendido por una mujer: - ¿Cantidad de hijos? - dijo el encuestador.

- Tres hijas - contest´o ella.

- ¿Edades? - pregunt´o el encuestador.

- El producto de las edades es 36 y la suma es igual al n´ umero de la casa que usted conoce - respondi´o ella.

El encuestador se va, pero al rato vuelve y le dice a la mujer que hacen falta datos. La mujer se queda pensando y le responde: Tiene raz´on. A la mayor le gusta el chocolate. ¿Qu´e edades tienen las hijas? a) 2, 2 y 9

c) 1, 3 y 12

b) 3, 3 y 4

d ) 2, 3 y 6

19

e) 1, 3 y 9

´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO Primera Fase 2011-2012 EXAMEN NIVEL SUPERIOR(10mo, 11mo y 12mo) 1. El se˜ nor y la se˜ nora L´opez tienen dos ni˜ nos. Cuando ellos van en su autom´ovil familiar, dos personas se sientan adelante y las otras dos atr´as. Si o bien el se˜ nor L´opez o bien la se˜ nora L´opez debe sentarse en el asiento del conductor, ¿cu´antas diferentes formas de sentarse son posibles? a) 4 b) 12 c) 16 d ) 24 e) 48 2. ¿Cu´antos n´ umeros de 2 d´ıgitos son el producto de dos primos distintos? a) 14 b) 27 c) 37 d ) 31 e) 29 3. Se escribieron en una pizarra los n´ umeros enteros del 1 hasta 10000. Luego se borraron todos los n´ umeros divisibles por 5 y 11. De la lista obtenida, ¿qu´e n´ umero se encuentra en la posici´on 2011? a) 2011 b) 2555 c) 6012 d ) 2764 e) Ninguna de las anteriores.

20

4. En el diagrama, x es igual a: a) 140 b) 122 xo

c) 80 d ) 90

o

140

o

122

e) 98 5. ¿Cu´anto vale la suma de los d´ıgitos del n´ umero 3216 · 12525 ? a) 5

d ) 32

b) 16

e) 125

c) 25 6. Luisa escribe tres n´ umeros de 3 d´ıgitos en la pizarra. Luego calcula la suma de los tres n´ umeros y obtiene 1575. Juan cambia el d´ıgito de las unidades por el de las decenas de los tres n´ umeros y calcula su suma. ¿ Cu´antos resultados distintos puede obtener Juan? a) 3

d) 9

b) 1

e) 11

c) 6 7. Janet tiene dos hermanas m´as chicas que ella. El producto de las tres edades es 396 y su suma es 23. ¿Cu´antos a˜ nos tiene Janet? a) 6

d ) 12

b) 7

e) 18

c) 11

21

8. Si x y y son n´ umeros reales positivos, ¿cu´al de los siguientes n´ umeros es mayor? a) xy b) x2 + y 2 c) (x + y)2 d ) x2 + y(x + y) e)

x3 + y 3 x+y

9. En un recipiente hay 200 dulces de los cuales 99 % son rojos. ¿Cu´antos dulces rojos tenemos que quitar para que el 98 % de los restantes sean rojos? a) 1 b) 2 c) 98 d ) 100 e) 101 10. En el diagrama, los tri´angulos PQT, QTS, QRS son is´osceles y el PQR es un a´ngulo recto. Los a´ngulos PQT y RQS miden 2x◦ y el ´angulo QTS mide 5x◦ . El valor de x es: a) 10

Q

P

2x o

b) 12

2x o

c) 14

T

5x o

d ) 15 S

e) 20

R

22

11. ¿Cu´al es el u ´ltimo d´ıgito de 6 × 82009 ? a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 12. PQRS es un rect´angulo. X es el punto medio de PQ, YQ es la tercera parte de QR y RZ es un cuarto de RS. ¿Qu´e fracci´on del a´rea de PQRS es el a´rea del cuadril´atero XYZS? a) b) c) d) e)

1 2 7 12 2 3 3 4 3 5

S

R

Z

Y P

Q

X

13. Se muestra una botella con dimensiones en cent´ımetros parcialmente llena de agua (figura 1).

Se sella la botella y luego se pone de cabeza (figura 2). La altura h, en cent´ımetros, del aire en la botella volteada es: 1

a) 2 1 3 7 c) 2 25 1 d) 2 5 3 e) 2 25

3

b) 2

h 2 2

4 5

figura 1

23

figura 2

14. Para n´ umeros reales x y y, se define x♠y = (x + y)(x − y).¿Cu´al es el valor de 3♠(4♠5)? a) -72

d ) 24

b) -27

e) 72

c) -24 15. Mary est´a viajando hacia el este con una velocidad de 3 millas por hora, Nicole tambi´en est´a viajando al este, pero con una velocidad de 5 millas por hora. Si Nicole est´a ahora a una milla al oeste de Mary, ¿cu´antos minutos le tomar´a a Nicole alcanzar a Mary? a) 30

d ) 90

b) 50

e) 120

c) 60 16. ¿Cu´antos n´ umeros enteros pares de tres d´ıgitos tienen la propiedad de que sus d´ıgitos, al leerse de izquierda a derecha, est´en en orden estrictamente creciente? a) 21

d ) 72

b) 34

e) 150

c) 51 17. Un objeto en el plano se mueve de un punto con coordenadas enteras a otro con coordenadas enteras. En cada paso, el objeto se puede mover una unidad hacia la derecha, una unidad hacia la izquierda, una unidad hacia arriba, o una unidad hacia abajo.

Si el objeto comienza en el origen y recorre un camino de diez pasos, ¿cu´antos puntos diferentes podr´ıan ser el punto final? a) 120

d ) 230

b) 121

e) Ninguna de las anteriores.

c) 221 24

18. En un tri´angulo con lados de longitudes enteras, la longitud de un lado es igual a tres veces la longitud de un segundo lado y la longitud del tercer lado es 15. ¿Cu´al es el mayor per´ımetro que el tri´angulo puede tener? a) 43

d ) 46

b) 44

e) 47

c) 45 19. ¿Cu´al de las siguientes opciones no puede ser el u ´ltimo d´ıgito de la suma de los cuadrados de siete n´ umeros consecutivos? a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 20. Carlos tiene 8 fichas numeradas del 1 al 8. Las divide en dos montones de forma que cada mont´on tenga al menos dos fichas y que ning´ un n´ umero sea igual al promedio de cualesquiera dos n´ umeros del mismo mont´on. ¿Cu´al de las siguientes ternas de n´ umeros no puede estar en el mismo mont´on? a) 1, 8, 2 b) 1, 2, 6 c) 4, 3, 7 d ) 8, 4, 3 e) 1, 2, 5

25

´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO Segunda Fase 2011-2012 EXAMEN NIVEL ELEMENTAL (4to, 5to y 6to grado) 1. Carmen pulsa 50 caracteres cada 10 segundos, mientras Roxanna pulsa s´olo 40 caracteres en el mismo tiempo. ¿Cu´antos segundos emplear´an entre las dos para pulsar 450 caracteres en total? a) 10

d ) 60

b) 30

e) No se puede determinar

c) 50 2. En uno de los platillos de una balanza hay 6 naranjas, y en el otro 2 melones. Se coloca 1 mel´on en el platillo de las naranjas y la balanza se equilibra. ¿Cu´antas naranjas pesan lo mismo que un mel´on? a) 2

d ) 12

b) 3

e) No se puede determinar

c) 6 3. ¿Cu´antos palillos se necesitan para formar la figura que ocupa el lugar 20?

a) 64

d ) 62

b) 60

e) 63

c) 61

26

4. Un examen de 25 preguntas se corrige de la siguiente manera: 5 puntos por cada respuesta correcta, 0 puntos por cada respuesta en blanco y pierde 3 puntos por cada respuesta incorrecta. Si Jos´e contest´o 20 preguntas de las que 16 eran correctas, ¿cu´al fue su calificaci´on? a) 78

d ) 68

b) 92

e) 60

c) 65 5. El ayudante de cocina del bar estaba preparando bocaditos de chorizo. Si met´ıa cuatro ruedas en cada uno, le sobraban tres ruedas y si pon´ıa cinco le faltaban 7 ruedas. ¿Cu´antos bocaditos estaba preparando? a) 6

d ) 12

b) 8

e) 14

c) 10 6. Considera los n´ umeros de 5 cifras formados por los d´ıgitos 1 y 2.

Hallar en cu´antos de ellos el 1 aparece m´as veces que el 2. a) 10

d ) 16

b) 12

e) 18

c) 14 7. En la figura el tri´angulo ABC es is´osceles con AC = BC. La medida del ´angulo CAB es:

A

a) 30◦

B

b) 50◦ c) 70◦

C

d ) 80◦ e) No se puede determinar O

30

27

O

70

8. Decimos que un n´ umero es ascendente si cada uno de sus d´ıgitos es mayor que el de su izquierda. ¿Cu´antos n´ umeros ascendentes hay entre 4000 y 5000? a) 8

d ) 11

b) 9

e) 12

c) 10 9. Una bolsa est´a llena de fichas de 20 colores distintos. Al azar se van sacando fichas de la bolsa. ¿Cu´al es el m´ınimo n´ umero de fichas que debe sacarse para poder garantizar que en la colecci´on tomada habr´a al menos 100 fichas del mismo color? a) 101

d ) 2000

b) 1980

e) 2001

c) 1981 10. Los n´ umeros que aparecen en los cuadrados son la suma de los n´ umeros que est´an en los c´ırculos adyacentes a ´el. ¿Cu´al es la suma de los n´ umeros de los c´ırculos? x 5

7

y

z 10

a) 8

d ) 11

b) 9

e) 12

c) 10

28

11. La figura del dibujo est´a compuesta de un rect´angulo y un tri´angulo equil´atero. El largo del rect´angulo es el doble del ancho. Si el a´rea del rect´angulo es 8 cm2 , ¿cu´al es el per´ımetro de la figura?

12. ¿C´ uantos n´ umeros entre 1 y 201 utilizan s´olamente dos d´ıgitos diferentes al escribirlos?

13. ABCD es un cuadrado de lado 10 cm. AMTD es un rect´angulo cuyo lado m´as corto mide 3 cm. ¿Cu´antos cent´ımetros es el per´ımetro del cuadrado ABCD mayor que el per´ımetro del rect´angulo AMTD? A

M

B

D

T

C

14. Un n´ umero de 5 cifras que termina en 7 se pas´o 4 n´ umeros de un n´ umero capic´ ua y le faltaban 7 n´ umeros para el capic´ ua siguiente. ¿Qu´e n´ umero es?

Nota: Se dice que un n´ umero es capic´ ua si se puede leer lo mismo de izquierda a derecha que de derecha a izquierda, como por ejemplo el n´ umero 1771.

15. En una reuni´on con 47 participantes, Ana es conocida por 16 hombres, Berta por 17, Zoraida por 18, . . . , Carmen, la u ´ltima mujer, es conocida por todos los hombres que asistieron a la reuni´on. ¿Cu´al es el n´ umero m´aximo de mujeres que puede haber en el grupo?

29

´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO Segunda Fase 2011-2012 EXAMEN NIVEL INTERMEDIO (7mo, 8vo y 9no grado) 1. Encuentra el n´ umero de 6 cifras que cumple las siguientes condiciones: → Ninguna cifra es impar. → La primera es un tercio de la quinta y la mitad de la tercera (la primera cifra es la de las unidades). → La segunda es la menor de todas. → La u ´ltima es la cuarta menos la quinta. a) 264402

d ) 266422

b) 266402

e) 268422

c) 268402 2. ¿Cu´antas piezas faltan para completar la figura que se muestra a continuaci´on?

a) 22

d ) 25

b) 23

e) 26

c) 24 30

3. Dos corredores recorren una pista circular y parten juntos de un punto A, el primero recorre la pista en 5 minutos y el segundo en 6 minutos. Si corren durante 1 hora. ¿Cu´antas veces se vuelven a encontrar juntos en el mismo punto A? a) 2

d ) 11

b) 5

e) 30

c) 6 a 4. Definimos la operaci´on por a b = + ba y la operaci´on por b b a b = . ¿ A qu´e valor es igual (8 4) 2? a 1 17 b) 7

a)

c) 17 17 2 2 e) 17

d)

5. En un rect´angulo como en la figura hay 14 puntos en la frontera. ¿Cu´antos puntos habr´a en la frontera de un rect´angulo de tama˜ no 2011×2012? a) b) c) d) e)

4023 8040 8042 8046 8050

31

6. En la figura AD = DC, AB = AC, el a´ngulo ABC mide 75◦ y el a´ngulo ADC mide 50◦ . ¿Cu´anto mide el ´angulo BAD? a) 75◦

A

b) 80◦ c) 85◦

o

50

d ) 95◦

D

o

75

B

e) 100◦

C

7. Un equipo de Soccer est´a compuesto por 11 jugadores. Si cada vez que ganan un juego todos se saludan d´andose un abrazo, ¿cu´antos abrazos se dan en total cada vez que ganan un partido? a) 11

d ) 55

b) 22

e) 66

c) 45 8. Cuatro amigos asisten al cine pero solamente tres han pagado la entrada. El portero les pregunta para saber quien es el que no la ha pagado: -

Yo no he sido, dice Keila.

Ha sido Jos´e, dice Astrid.

Ha sido Laura, dice Jos´e.

Astrid miente, dice Laura.

Si se sabe que s´olo uno de ellos miente, ¿qui´en no ha pagado la entrada? a) Keila b) Astrid c) Laura d ) Jos´e e) No hay suficiente informaci´on.

32

9. En la figura se encuentran tres cuadrados donde los v´ertices de los cuadrados interiores son los puntos medios de los lados. Si el ´area del cuadrado grande es 16 cm2 , ¿cu´anto es el a´rea del cuadrado peque˜ no? a) b) c) d) e)

2 cm2 4 cm2 6 cm2 8 cm2 √ 8 cm2

10. ¿Cu´antos n´ umeros entre 2012 y 8012 tienen la propiedad de que el producto de sus cifras es 125? a) 2

d) 5

b) 3

e) 6

c) 4 11. Las maestras Ana, Beatr´ız y Carmen tienen apellido Alvarez, Blanco y Castro, no necesariamente en ese orden. Determina el apellido de Carmen sabiendo que el nombre y el apellido no tienen las mismas iniciales y que adem´as, la maestra Castro es vegetariana y Ana no lo es.

12. Vamos a repartir este cordero dijo el Le´on, dirig´ıendose al mono y al zorro. Puesto que somos tres, me toca en primer lugar un tercio; es justo. Seguidamente, como Rey de la selva me corresponde, adem´as, la mitad del cordero. El resto lo reparten en partes iguales entre ustedes. ¿Cu´anto le correspondi´o en la repartici´on al mono y al zorro?

13. La medida del a´ngulo A en el tri´angulo ABC es 40◦ . Si M es el punto donde se cortan las bisectrices de los ´angulos B y C del tri´angulo, hallar la medida del a´ngulo BMC. 33

14. ¿Cu´al es la mayor ´area de un rect´angulo cuyo per´ımetro es 26 cm y sus lados son n´ umeros enteros?

15. Considera todos los n´ umeros naturales entre 1 y 1000, ambos inclusive, ¿cu´antos hay que no son divisibles ni por 6 ni por 9?

34

´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO Segunda Fase 2011-2012 EXAMEN NIVEL SUPERIOR (10mo, 11mo y 12mo grado) 1. ¿Cu´antos productos diferentes podemos obtener al multiplicar dos n´ umeros diferentes escogidos entre los n´ umeros 1, 2, 3, 4 y 5? a) 8

d ) 11

b) 9

e) 12

c) 10 2. Hay 5 loros en una jaula. El costo promedio es de 60 pesos por loro. Un d´ıa se escapa un loro y entonces el costo promedio de los 4 loros que quedaron es de 50 pesos por loro. ¿Cu´al era el precio del loro que se escap´o? a) 10 pesos b) 50 pesos c) 60 pesos d ) 100 pesos e) 110 pesos

3. Se jug´o un partido de f´ utbol entre dos equipos, los Pumas y las Panteras. Los dos equipos hicieron un total de 34 puntos y los Pumas ganaron con una diferencia de 14 puntos. ¿Cu´antos puntos hicieron las Panteras? a) 10

d ) 20

b) 14

e) 24

c) 17

35

4. Juan tiene dos hermanas m´as chicas que ´el. El producto de las tres edades es 396 y su suma es 23. ¿Cu´antos a˜ nos tiene Juan? a) 6

d ) 12

b) 7

e) 18

c) 11 5. La base de un rect´angulo ABCD mide 8 cm y su altura 3 cm. Dividimos la diagonal AC en tres partes iguales mediante los puntos E y F. ¿Cu´anto mide el ´area del tri´angulo BEF? a) 12 cm2

D

b) 6 cm2

C F

c) 4 cm2

E

3 cm

d ) 8 cm2 e) 10 cm2

A

8 cm

B

6. Los n´ umeros a y b son reales no negativos tales que a3 +a < b−b3 .

Entonces, a) b < a < 1

d) a < b < 1

b) a = b = 1

e) 1 < a < b

c) a < 1 < b 7. Todos los a´ngulos interiores de este pol´ıgono convexo son menores que 160◦ . El n´ umero de lados de este pol´ıgono puede ser a lo m´as: a) 12

d ) 17

b) 14

e) 18

c) 15

36

1 8. Los n´ umeros x, y son distintos y satisfacen la igualdad x − = x 1 y − . ¿Cu´al es el valor de xy? y a) 4 d ) -4 b) 1

e) No se puede determinar

c) -1 9. Tengo 72 piedras repartidas en tres montones con diferente cantidad de piedras en cada uno. Del primer mont´on paso al segundo tantas piedras como piedras hay en ese segundo mont´on para que se duplique su n´ umero. Despu´es, de las piedras que ahora hay en el segundo mont´on paso al tercero tantas piedras como piedras hay en ese tercer mont´on para que se duplique su n´ umero. Por u ´ltimo, del tercer mont´on paso al primero tantas piedras como piedras ahora hay en ese primer mont´on para que se duplique su n´ umero. Al terminar observo con curiosidad que en los tres montones qued´o el mismo n´ umero de piedras. ¿Cu´antas piedras ten´ıa originalmente en el primer mont´on? a) 72

d ) 36

b) 24

e) 33

c) 12 10. ¿Cu´al es el m´aximo com´ un divisor de todos los n´ umeros que son iguales al producto de cinco n´ umeros impares positivos consecutivos? a) 1

d ) 15

b) 3

e) 105

c) 5 11. Una recta que pasa por el punto medio de uno de los lados iguales de un tri´angulo isosceles y por el v´ertice opuesto divide su per´ımetro en dos partes de 15 y 16 cent´ımetros. Los lados del tri´angulo tienen medidas enteras, ¿cu´anto miden dichos lados?

37

12. ¿Cu´al es el mayor n´ umero menor que 2012, que tambi´en tiene 6 divisores?

13. Una nave rescata 30 naufragos. Antes de esto la nave ten´ıa provisiones para 60 d´ıas, pero con las personas adicionales s´olo alcanza para 50 d´ıas. ¿Cu´antas personas hab´ıa a bordo de la nave antes de recoger a los naufragos?

14. El rombo ABCD es semejante al rombo BFDE. El ´area del rombo ABCD es 24 y BAD = 60◦ . ¿Cu´al es el a´rea del rombo BFDE? C

D F E A

B

15. Los lados iguales de un tri´angulo is´osceles miden 5 cm. ¿Qu´e longitud deber´a tener el tercer lado para conseguir que el tri´angulo tenga la m´axima ´area posible?

38

´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2012 Tercera Fase 2011-2012 EXAMEN NIVEL ELEMENTAL(4to, 5to y 6to) 1. ¿Cu´al es el m´aximo n´ umero de cuadrados que puede encontrar en la siguiente figura?

2. En la figura QR = 6cm, RS = 3cm y P Q es 1cm m´as largo que ST . Si el per´ımetro de P QRST U es 36cm, ¿cu´al es el a´rea en cm2 de P QRST U ?

P

Q

6 cm

R

3 cm

S

T

U

3. El tri´angulo ABC es is´osceles con AB = AC. Si el a´ngulo B mide 35◦ , ¿cu´anto mide el ´angulo DAC? D A

O

35

C

B

39

4. En cierto almac´en se pueden comprar fichas de diferentes formas.

El vendedor desea hacer una oferta de un modo interesante presentando la siguiente informaci´on: = = = $ 30

Si yo quisiera comprar una ficha de cada forma, ¿cu´anto tendr´e que pagar por las tres fichas?

5. Un par de n´ umeros enteros se denominan n´ umeros buenos si la suma de ellos es igual a su producto. Determine cu´antas parejas de n´ umeros buenos hay.

6. ¿Cu´antos n´ umeros de dos d´ıgitos tienen la propiedad que el producto del n´ umero con la suma de los d´ıgitos es igual a 90? ´ 7. Andres, su padre y su abuelo pesan 40 kg, 90 kg y 70 kg, respect´ıvamente. Ellos desean cruzar un rio en un bote el cual tarda 3 minutos en cruzar el rio. Si el peso transportado no excede 120 kg, ¿cu´al es la m´ınima cantidad de tiempo que les tomar´a a los tres cruzar a la otra orilla del rio?

8. En el desierto hay camellos de una y dos jorobas (dromedarios y camellos). Si en un grupo hay 28 cabezas y 45 jorobas, ¿cu´antos camellos de una joroba hay?

9. ¿Cu´antos ceros hay al final del producto 1 · 2 · 3 · . . . · 23 · 24 · 25?

10. En cierta clase, se pueden seleccionar 3 ni˜ nas en cualquier grupo de 10 estudiantes y 4 ni˜ nos de cualquier grupo de 18 estudiantes. ¿Cu´al es el m´aximo n´ umero de estudiantes que se pueden tener en esa clase?

40

´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2012 Tercera Fase 2011-2012 EXAMEN NIVEL INTERMEDIO (7mo, 8vo y 9no)

1. Brenda compr´o una bolsa de manzanas en un supermercado. Ella le dio la mitad de las manzanas a Ana. Luego le dio a Catalina 3 manzanas, qued´andose con 4 manzanas para ella. ¿Cu´antas manzanas compr´o Brenda?

2. Un n´ umero entero impar entre 600 y 800 inclusive, es divisible por 7 y por 9. ¿Cu´al es la suma de sus d´ıgitos?

3. Si 29a031 × 342 = 100900b02, ¿cu´al es el valor de a + b?

4. ¿Cu´antos n´ umeros enteros positivos de 3 d´ıgitos tienen d´ıgitos cuyo producto sea igual a 24?

5. El jard´ın de la figura tiene forma rectangular. Este jard´ın est´a dividido en tres regiones triangulares. Las ´areas de dos de esas regiones est´an indicadas en la figura. ¿Cu´al es el a´rea de la tercera regi´on triangular?

2

32 m

48 m

41

2

6. En un tri´angulo equil´atero XY Z se dividen los lados en tres partes iguales. Llamemos a las divisiones A, B, C, D, E y F como se muestra en la figura. ¿Cu´al es el ´area de la figura sombreada, si el ´area del tri´angulo XY Z es 18?

X

A

Y

1 0 1F 0 11111111111111111 00000000000000000 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000E B11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 1 0 1 0 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 0 1 0 1 00000000000000000 11111111111111111 0 1 0 1

C

Z

D

7. En un cubo de lado 2, M, N, P y Q son puntos medios de las aristas mostradas. ¿Cu´al es la distancia m´axima entre un punto de M N y otro P Q?

N

M

Q

P

8. Una escalera tiene numerados los escalones como 0, 1, 2, 3, 4, . . .

Una rana est´a en el escal´on 0, salta cinco escalones hacia arriba hasta el escal´on 5 y luego dos para abajo hasta el escal´on 3, despu´es sigue saltando alternando, cinco escalones para arriba y dos para abajo. La sucesi´on de escalones que pisa la rana es 0, 5, 3, 8, 6, . . . ¿Cu´al de los siguientes escalones NO pisa la rana: 1997, 1998, 1999, 2000?

42

9. Se tiene que llenar la siguiente cuadr´ıcula con los n´ umeros del 1 al 5, de tal forma que cada n´ umero aparezca u ´nicamente una vez en cada columna y en cada rengl´on. ¿Cu´al es el n´ umero que va en el centro de la cuadr´ıcula?

3 2

4

1

5

2 1

3 5 4

10. ¿Cu´antos n´ umeros diferentes de cinco cifras se pueden formar con los d´ıgitos 1, 1, 2, 2, 3?

43

´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2012 Tercera Fase 2011-2012 EXAMEN NIVEL SUPERIOR (10mo, 11mo y 12mo) 1. ¿Cu´antos n´ umeros enteros positivos impares menores que 1000 cumplen que el producto de sus d´ıgitos es igual a 252?

2. ¿Cu´antos subconjuntos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} con 7 elementos hay tales que la suma de sus elementos es m´ ultiplo de 3?

3. Se tiene un tri´angulo rect´angulo ABC, cuyo a´ngulo recto est´a en A, y tal que AB = 3 y AC = 4. Se traza una recta l que pasa por C y es paralela a AB. La bisectriz del a´ngulo CAB corta a l en un punto D. Sea E el punto de corte de las rectas DB y AC. Hallar la longitud de AE. 4. Pedro organiza los n´ umeros impares en una lista sin separarlos, de modo que obtiene 13579111315 . . . ¿Cu´ales son los d´ıgitos en las posiciones 2010, 2011 y 2012 de la lista?

5. ¿Cu´antos n´ umeros se pueden representar como suma de algunos de los n´ umeros 1, 2, 4, 8, 16 donde cada n´ umero se escoge a los m´as una vez? (Por ejemplo el 11 se puede representar como 1 + 2 + 8).

Las sumas con un s´olo sumando est´an permitidas.

6. Cien personas respondieron a un cuestionario formado por 3 preguntas. Cada pregunta deb´ıa contestarse, s´ı o no, y s´olo una de estas respuestas era correcta. Si sabemos que: 8 personas contestaron bien las tres preguntas 9 personas contestaron bien s´olo la primera y la segunda 11 personas contestaron bien s´olo la primera y la tercera 6 personas contestaron bien s´olo la segunda y la tercera 55 personas contestaron bien al menos la primera pregunta 32 personas contestaron bien al menos la segunda pregunta 49 personas contestaron bien al menos la tercera pregunta ¿Cu´antas personas respondieron mal a todas las preguntas?

44

7. Recuerdo el problema de las dos se˜ noras quienes empezaron simult´aneamente de dos pueblos una hacia la otra, encontr´andose al mediod´ıa y llegaron a las ciudades opuestas a las 4 pm. y a las 9 pm. respect´ıvamente. La pregunta era, cuando hab´ıan empezado su viaje.

8. Sea ABC un tri´angulo y G su circunc´ırculo. Sea D el pie de la altura desde A al lado BC. La recta BM , donde M es el punto medio de AD, corta a G nuevamente en N . La recta N E, donde E es el punto medio de AC, corta a G nuevamente en P . Demuestre que AP es un di´ametro de G. 9. El siguiente juego se efect´ ua entre dos jugadores: se colocan 13 fichas sobre la mesa y los jugadores tiran en forma alternada, cada tirada consiste en tomar 1, 2, 3 o´ 4 fichas y gana el que se quede con la u ´ltima ficha. ¿Cu´antas fichas debe tomar el primer jugador en la primera tirada para asegurar su triunfo?

2 10. Si a + a1 = 3, entonces a3 + a13 es igual a:

45

´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO ´ 2012 EXAMEN DE SELECCION 1. Sean x y y z enteros consecutivos tales que 1 1 1 1 + + > x y z 45 ¿C´ ual es el mayor valor que puede tomar x + y + z?

2. Se forma un cono con un pedazo de papel semicircular, con radio de 10 (como se muestra en la figura). Encuentra la altura del cono.

3. ABC es un tri´angulo que est´a inscrito en un c´ırculo. Las bisectrices de A, B, C se encuentran en el c´ırculo en D, E, F , respect´ıvamente. Demuestre que AD es perpendicular a EF. 4. Si a, b, c, d son d´ıgitos tales que d > c > b > a ≥ 0, ¿cu´antos n´ umeros de la forma 1a1b1c1d1 son m´ ultiplos de 33?

5. Un punto P est´a fuera de un c´ırculo, a una distancia 13 del centro.

Una secante trazada desde P corta a la circunferencia en Q y R de tal manera que el segmento externo de la secante, P Q, mide 9 y QR mide 7. Encuentra el radio del c´ırculo.

6. La sucesi´on creciente 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, 27, 28, 30, 31, . . . consiste de los enteros positivos que son potencia de 3 o suma de distintas potencias de 3. ¿Cu´al es el n´ umero que est´a en el lugar 100?

7. Supongamos que f es una funci´on de n´ umeros enteros positivos la cual toma valores enteros con las siguientes propiedades: (a) f (2) = 2 (b) f (mn) = f (m)f (n) ∀m y n ∈ Z+ (c) f (m) > f (n) si m > n Encuentra f (2012).

46

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS ´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO Primera Fase 2011-2012 EXAMEN NIVEL ELEMENTAL (4to, 5to y 6to grado) 1. Note que el elevador tarda 6 minutos en subir tres pisos, es decir, que le toma tres minutos en pasar de un piso a otro, por lo tanto, para subir los 7 pisos el elevador tardar´a 18 minutos.

2. Una forma de abordar este problema, es hacer la construcci´on de atr´as hacia adelante. Partimos del resultado que es 6 y vamos a multiplicarlo por 4, (6 × 4) = 24, al resultado obtenido lo vamos a dividir entre 3, es decir, 24 ÷ 3 = 8. A este n´ umero le vamos a sumar 2, 8+2 = 10 y a este resultados finalmente le vamos a restar 1, 10 − 1 = 9. As´ı, el n´ umero que inicialmente habia seleccionado Arturo era el 9.

3. Sea x el n´ umero de a˜ nos que deben pasar para que se cumpla que la suma de las edades de los hijos sea igual a la que tenga el padre.

Por lo tanto, se puede plantear la siguiente ecuaci´on: (5 + x) + (6 + x) + (7 + x) = 40 + x Si solucionamos esta ecuaci´on, podremos encontrar la soluci´on:

(5 + 6 + 7) + (x + x + x) = 40 + x 18 + 3x = 40 + x 3x − x = 40 − 18 2x = 22 x = 11 Luego, deben transcurrir 11 a˜ nos, para que la suma de las edades de los hijos sea igual a la edad del padre.

47

4. Como deseamos tomar la mayor cantidad de terminos debemos seleccionar la mayor cantidad de n´ umeros peque˜ nos cuya suma sea inferior a 43. Es decir, si tomamos los n´ umeros del 1 al 8, la suma de ellos da como resultado 36 y para llegar a 43, tendr´ıamos que sumar 7 nuevamente, por lo tanto, esta opci´on no es aceptable.

Mientras que si tomamos los n´ umeros del 1 al 7 la suma de ellos ser´a 28 y para que de como resultado 43 debemos sumarle 15. Por lo tanto la mayor cantidad de sumandos que podemos tener es: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 15 8 sumandos.

5. Si usamos las cartas para representar los d´ıgitos 8, 9 y 9, u ´nicamente tenemos tres posibles n´ umeros, 989, 998 y 899, de la misma forma si utilizamos los d´ıgitos 8, 6 y 6, tendremos tambi´en tres posibles n´ umeros, 686, 668 y 866. Ahora bien, si tomamos los d´ıgitos 6, 8 y 9, es posible formar 6 n´ umeros diferentes; 689, 698, 869, 896, 968 y 986. Por lo tanto, podemos formar un total de 12 n´ umeros de tres cifras diferentes con estas cartas.

6. Notemos que hay 10 estrellas antes que se empiece a repetir nuevamente la serie. Por otro lado, por el algoritmo de la divisi´on el 2011 se puede escribir como 2011 = 201 · 10 + 1, as´ı, la primera estrella de la serie es la ubicada en la posici´on 2011.

7. Observemos que si utilizamos el n´ umero 8 en el centro las posibles combinaciones de n´ umeros cuya suma es divisble por 5 son: (i) 8

1

6

(ii) 8

2

5

(iii) 8

3

4

(iv) 8

3

9

(v) 8

5

7

Por lo tanto, el n´ umero 8 no podr´ıa ir en el centro puesto que no hay 4 combinaciones de esta lista que utilicen todos los n´ umeros del 1 al 9. De hecho, note que se debe usar la opci´on (ii) ya que es 48

el u ´nico sitio donde aparece el n´ umero 2, pero autom´aticamente se descartar´ıa la opci´on (v), de modo que el n´ umero 7 no se usar´ıa.

Esto descarta las respuestas (iii), (iv) y (v).

El siguiente diagrama muestra que el n´ umero 5 es posible:

9 4

8

3

5

2

7

6 1

Con esto podemos concluir que la respuesta es b.

8. Si hacemos uso del principio de la multiplicaci´on, obtendremos que para el d´ıgito de las centenas podremos escoger cuatro opciones (1, 2, 3 y 4), esto debido a que el cero no puede ocupar esta posici´on ya que el n´ umero a formarse debe ser de 3 d´ıgitos. Para el d´ıgito de las decenas tenemos nuevamente cuatro opciones, ya que el cero ingresa como una opci´on y tenemos un d´ıgito menos que se uso en las centenas. Finalmente para el d´ıgito de las unidades nos quedan tres opciones. Por lo tanto se pueden formar 4×4×3 = 48 n´ umeros de tres cifras, usando cada n´ umero una sola vez.

9. Observemos que si a 36 cubos le quitamos los 4 de las esquinas, quedar´an 32 cubos para cubrir los lados. Es decir, en cada uno de los lados se usar´an 32 = 8 cubos. Por lo tanto, para cubrir el 4 interior se requieren 8 × 8 = 64 cubos.

10. A continuacion listamos los posibles n´ umeros de cuatro cifras menores o iguales a 2011, tal que la suma de sus d´ıgitos es igual a 4: 49

1003 1012 1021 1030

1102 1111 1120 1201

1210 1300 2002 2011

Note que estan ubicados en forma ascendente, por lo tanto, el 2011 esta ubicado en la posici´on 12.

11. Sabemos que la descomposici´on de 24 = 1 · 2 · 2 · 2 · 3. Para que el producto de tres d´ıgitos de como resultado 24, tenemos cuatro posibilidades: 1, 4 y 6 o 1, 3 y 8 o 2, 3 y 4 o 2, 2 y 6. Con las primeras tres posibilidades obtenemos 6 n´ umeros y con la u ´ltima posibilidad obtenemos 3 n´ umeros diferentes de tres d´ıgitos. Por lo tanto, se pueden formar 6 + 6 + 6 + 3 = 21 n´ umeros diferentes de tres d´ıgitos.

12. Para resolver este problema, podemos dividir el poligono de forma conveniente de la siguiente forma:

A

B C

D

As´ı, podemos hallar el a´rea de cada una de las figuras. Note que A y C son tri´angulos de base 4 y altura 1, por tanto el a´rea de cada tri´agulo es 4·1 = 2 cm2 , Por otro lado, la figura B es un rect´angulo 2 de 4 cm de alto por 3 cm de largo, as´ı, el ´area del rect´angulo es 4 · 3 = 12 y como D es un tri´angulo de base 3 y altura 2 su ´area = 3 cm2 . Por lo tanto, el ´area del pol´ıgono es: es 3·2 2 ´ Area = A + B + C + D = 2 + 2 + 12 + 3 = 19 cm2 50

13. Notemos que para construir un cubo se debe tener que el largo, el ancho y la altura tengan el mismo n´ umero de cubitos. Como se debe tener la figura dada como base, debemos formar entonces un cubo de 4 × 4 × 4. Por lo tanto, el cubo constar´a de 64 cubitos, pero como inicialmente teniamos 10 cubitos, entonces tendremos que adicionar 64 − 10 = 54 cubitos.

14. Si dejamos los v´ertices del cuadril´atero fuera del c´ırculo, podemos generar m´as particiones que si los dejamos dentro del circulo o sobre la circunferencia. Por lo tanto, si dejamos cada uno de los v´ertices del cuadril´atero fuera de la circunferencia, podemos obtener la mayor´ıa de particiones del plano, tal como se muestra en la figura a continuaci´on: 2 3

9

1

8

4

10 7

5 6

Por lo tanto, se puden hacer m´aximo 10 particiones del plano.

15. Como tenemos 3 puntos iniciales que forman el tri´angulo, para poder formar un paralelogramo debemos ubicar un punto adicional teniendo en cuenta la definici´on de paralelogramo. Una forma sencilla de hacerlo es tomar cada vertice del tri´angulo y reflejarlo a trav´es de su lado opuesto como se muestra en la figura.

11 00 11 00 11 00 11 00

11 00 11 00

11 00 11 00 11 00 00 11

11 00 00 11

11 00 00 11

51

11 00 00 11

11 00 11 00

As´ı, por cada v´ertice se puede crear un paralelogramo diferente, luego con tres puntos que forman un tri´angulo, se pueden formar 3 paralelogramos.

16. Para poder obtener que los cuadrados sombreados sean congruentes, el cuadrado del centro debe estar centrado dentro del cuadrado grande. Como la longitud del lado es de 50 y la otra es de 90 podemos ubicarlo como se muestra en la figura.

50

20

20 50

20

90

As´ı que cuando se ubiquen los cuadrados de lado 40, los cuadrados sombreados quedaran de longitud 20. Por lo tanto, el lado de los cuadrados debe medir 20 cm.

17. Los u ´nicos d´ıgitos que satisfacen esta propiedad son el 1, 2 y 3.

Por lo tanto, por el principio multiplicaci´on tenemos 3 · 2 · 1 = 6 posibles n´ umeros de tres cifras cuyo producto de sus d´ıgitos es igual a la suma de sus d´ıgitos.

18. Dado que P Q es paralelo a RS, entonces, QRS = P QR = 38◦ .

Ahora bien, como la suma de los a´ngulos internos de un tri´angulo debe ser 180◦ , los dos a´ngulos restantes del tri´angulo deben sumar 180◦ − 38◦ = 142◦ . Como el tri´angulo P QR es is´oceles, QP R = P RQ, por lo tanto P RQ = 142 = 71◦ . De donde P RS = 2 P RQ + QRS = 71◦ + 38◦ = 109◦ .

19. Haciendo uso de los diagramas de Venn, podemos establecer, diferentes formas en los que se pueden ubicar las 100 personas que 52

est´an en el parque. Si hacemos el tanteo, podemos encontrar la posibilidad que se muestra en la figura.

I

V 40

0

0 0 10

50 0 H

Lo que quiere decir que 10 personas son hombres italianos, 40 italianos vegetarianos y por u ´ltimo 50 son hombres vegetarianos.

Con lo cual logramos ubicar las 100 personas sin que haya hombres italianos vegetarianos. Por lo tanto, la cantidad m´ınima pedida es 0.

20. Sean a y b dos d´ıgitos que se ubican tal como en la siguiente figura: 1

a

2

b 1

3

4

Luego 1 + a + 2 = 1 + a + b, de donde tenemos que b = 2. Con este valor, podremos llenar la tabla de la siguiente manera: 1

4

2

1

3

2

2

3

3

1

3

3

1

4

2

1

53

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS ´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO Primera Fase 2011-2012 EXAMEN NIVEL INTERMEDIA (7mo, 8vo y 9no grado) 1. Por a´ngulos suplementarios P QR = 180◦ − RQU = 180◦ − 120◦ = 60◦ . Como P QR es un tri´angulo, la suma de los a´ngulos interiores debe ser 180◦ , por lo tanto QRP = 180◦ − 60◦ − 20◦ = 100◦ . Ahora, como SRT es opuesto por el v´ertice con QRP , estos dos a´ngulos son iguales. Por lo tanto, SRT = 100◦ .

2. Es f´acil ver que se pueden construir los n´ umeros del 8 al 15 con tres sellos o menos y tambi´en que se pueden construir los n´ umeros pares del 16 al 26 con ex´actamente cuatro sellos exceptuando al 18, que se construye a partir de las dos fichas de 9 centavos. Finalmente, el 19, 21 y 23, se pueden construir con ex´actamente tres sellos. Por lo tanto, el u ´nico n´ umero que no es posible construir con 4 sellos o menos es el 25.

3. Al ser un pentagono regular, tenemos que todos sus ´angulos y sus lados son iguales. Asi, DEA = 108◦ , como DF GE es un cuadrado, GED = 90◦ , as´ı AEG = 360◦ − 108◦ − 90◦ = 162◦ . Ahora bien, notemos que el lado EG es congruente al lado AE, puesto que el cuadrado comparte un lado con el pent´agono y asi todos los lados, tanto del pent´agono como del cuadrado son iguales. Por lo tanto, el tri´angulo AEG es un tri´angulo is´osceles. As´ı, GAE =

18◦ 180◦ − 162◦ = = 9◦ 2 2

4. Observemos que para descartar la respuesta e) basta con ubicar el n´ umero 8 en el centro. Con esto el n´ umero 4 debe estar conectado con ´el y no ser´a posible encontrar un tercer n´ umero que sumado con 8 y 4 sea m´ ultiplo de 4. Observemos que si ubicamos el n´ umero 9, el n´ umero 5 o el n´ umero 1 en el centro se puede completar el diagrama como se muestra en la siguiente figura: 54

1 8

4

1 2

3

9

5

8

4

2

5

9

7 6

3

7 6

9 8

2

4

1

5

3

7 6

As´ı, podemos concluir que en el centro se pueden ubicar el 5, el 9 o el 1.

5. Como la figura consta de cuadrados, contamos con la siguiente informaci´on, la longitud del lado del cuadrado de ´area 4 es 2 y la longitud del cuadrado de a´rea 9 es 3. Como el lado del cuadrado x tiene la misma longitud que la suma del lado del cuadrado de a´rea 9 m´as el lado del cuadrado de ´area 4, entonces el cuadrado x tiene lado de longitud 5, por lo tanto, el a´rea del cuadrado x es 25. Ahora, el lado del cuadrado y tiene la misma longitud del lado del cuadrado de ´area 9 m´as el lado del cuadrado x, esto es, 3 + 5 = 8, por lo tanto, el ´area del cuadrado y es 64.

6. Debemos descartar todos los n´ umeros del 100 al 499, debido a que cada n´ umero de estos posee al menos uno de los d´ıgitos 1, 2, 3 o 4. Ahora bien, analizaremos los n´ umeros del 500 al 599.

Nuevamente tenemos que descartar del 510 al 549. Y si tomamos grupos de 10 n´ umeros en los restantes siempre hay que descartar cuatro n´ umeros, es decir que del 500 al 509, nos sirven 6 n´ umeros, 55

usando este mismo razonamiento encontramos que del 550 al 599 tenemos 30 n´ umeros que nos sirven. Por lo tanto del 500 al 599 tenemos 36 n´ umeros. Si realizamos este mismo an´alisis veremos que del 600 al 999 tenemos 36 × 4 = 144. Por lo tanto en el conjunto del 100 al 999 hay 36+144 = 180 n´ umeros que satisfacen esta condici´on.

7. Como debemos hacer uso de los 7 palitos, podemos inferir que el per´ımetro del rect´angulo ser´a 2 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 46, pero como el per´ımetro de un rect´angulo de lado a y altura b es 2 · a + 2 · b = 2 · (a + b), entonces a + b = 23. A continuaci´on mostramos todos las posibles parejas que suman 23: 22 y 1 19 y 4 16 y 7 13 y 10

21 y 2 18 y 5 15 y 8 12 y 11

20 y 3 17 y 6 14 y 9

De esto podemos observar que el que tiene mayor ´area es el rect´angulo de 12 × 11, pero es f´acil verificar que no es posible formar un rect´angulo con los palitos de las longitudes dadas. La segunda mayor ´area es 130 que esta dada por el rect´angulo de 13 × 10. como se muestra en la figura:

8

2

6 9 7 4 10 Este si es posible formarlo, as´ı que el rect´angulo de mayor a´rea es de 130 cm2 .

8. Vamos a guiarnos a trav´es de la siguiente tabla para ver cuanto recibe Luis diariamente, adem´as agregamos una columna que nos permitir´a visualizar mejor la ganancia: 56

Dia 1 2 3 4 5 6 7 8

Dinero Entregado 4 2 · 22 2 · 23 2 · 24 2 · 25 2 · 26 2 · 27 2 · 28

Potencia de 2 22 23 24 25 26 27 28 29

As´ı que lo que Luis recibi´o en total es la suma de la u ´ltima columna de la tabla, es decir: 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 9. Veamos si partiendo del n´ umero 2 en la pantalla, logramos encontrar alg´ un patr´on. Al aplicar la tecla A obtenemos como resultado 1 y luego al aplicarle la tecla B, obtenemos 1 como resultado al fi2 nal de la primera secuencia. Aplicando la tecla A partiendo con el 1, obtenemos 1 y si luego aplicamos la tecla B obtenemos 2 como resultado al final de la segunda secuencia. Con lo que se repetiria la secuencia. As´ı, si la secuencia se realiza un n´ umero impar de veces vamos a obtener como resultado 1 al final de la secuencia y si por el contrario la secuencia se realiza un n´ umero par de veces, vamos a obtener como resultado 2 al final de la secuencia. Por lo tanto, como 499 es un n´ umero impar, el resultado ser´a 1.

10. Notemos que P QS es un tri´angulo rect´angulo de ´area 6 m2 , adem´as P T al ser perpendicular al segmento QS, resulta ser una altura del tri´angulo P QS, con base QS. Por lo tanto: b·h 2 5 · PT 6= 2

A=

As´ı, que si despejamos P T , obtenemos que P T = 2.4 metros.

57

11. Puesto que el n´ umero de pescados que Ver´onica captur´o fue el triple que el n´ umero de peces de Ana y el cuadruple de los capturados por Carmen, entonces el n´ umero de capturas de Ver´onica debe ser un n´ umero divisible entre tres y cuatro al mismo tiempo.

Por tanto, los n´ umeros que estamos buscando son m´ ultiplos de 12. As´ı, Ver´onica pudo haber capturado 12, 24, 36, 48, 60 o 72 peces. Si Ver´onica captur´o 72 peces, Ana captur´o 24 y Carmen captur´o 18 peces, pero esta opci´on no es posible, debido a que entre las tres capturaron menos de 100 peces. Si por otro lado Ver´onica captur´o 60 peces, entonces Ana captur´o 20 peces y Carmen captur´o 15 peces, es decir que en total capturaron 95 peces.

Luego el n´ umero m´aximo de peces que pudo capturar Ver´onica fue 60 peces.

12. Sabemos que 10100 tiene 100 ceros a la derecha del 1. Por tanto, al realizar la resta obtendremos lo siguiente.

95 veces

1

0

z }| { 0...0

0

0

0

0

− 9

9| .{z . . 9}

2 0 1 1 7 9 8 9

95 veces

Con lo cual luego de realizada la resta obtendremos 98 nueves.

13. Note que los tri´angulos ABM y DN C son iguales puesto que M y N son los puntos medios. Si unimos estos tri´angulos formaremos un cuadrado cuya a´rea es 16 unidades cuadradas. Como AC es la diagonal del rect´angulo, el pol´ıgono M BN D se divide en dos partes de igual ´area. Entonces, al restar el ´area del rect´angulo al a´rea del cuadrado, obtendremos el a´rea del pol´ıgono M BN D, es decir, 32 − 16 = 16 unidades cuadradas. Y como el a´rea de M OP D es la mitad de esto, tendremos que el a´rea sombreada ser´a 8 unidades cuadradas.

14. Sabemos que los m´ ultiplos de 5 siempre son n´ umeros que terminan en 0 o en 5, asi que para que la suma de 86 debemos tener que el 58

d´ıgito de las unidades de la multiplicaci´on del n´ umero de libros de pasta dura por 7 sea a 1 o 6. De esto tenemos 2 casos, 7 × 3 = 21 o bien 7 × 8 = 56. Si elegimos comprar 3 libros de pasta dura, entonces, se deben comprar 13 libros de pasta blanda, puesto que 13 × 5 = 65 y asi 21 + 65 = 68, es decir que se compraron un total de 16 libros. Si observamos el segundo caso, veremos que s´olo se pueden comprar 14 libros. Por lo tanto, m´aximo se pueden comprar 16 libros.

15. Como el cuadrado es de lado 1, entonces su a´rea es 1 m2 , ahora bien como la tres partes obtenidas luego de la divisi´on tienen la misma ´area, entonces si tomamos uno de los tri´angulos rect´angulos formados, este tendr´a 13 de a´rea. Si hacemos uso de la f´ormula del a´rea de un tri´angulo, tenemos que:

Area =

b·h 2

como conocemos el a´rea del tri´angulo y su altura, ya que esta resulta ser un lado del cuadrado, entonces, podemos conocer la base del tri´angulo:

1 b·1 = 3 2 1 b = 3 2 2 b= 3 por lo tanto, encontramos la base del tri´angulo rect´angulo. Ahora bien, notemos que x resulta ser la hipotenusa del tri´angulo rect´angulo, cuyos catetos tienen longitud 1 y 32 . Luego usando Pit´agoras tenemos que: 59

s x=

12

2 2 + 3

r

4 1+ 9 r 13 = 9 √ 13 = 3

=

√

Por lo tanto x debe tener una longitud de

13 3

metros.

16. Como debemos usar la mayor cantidad de n´ umeros mayores de 20, entonces, utilizamos la mayor cantidad de n´ umeros 21. Luego debemos utilizar 9, ya que 21 × 9 = 189, como nos faltan 11 n´ umeros para completar los 20 n´ umeros de la suma y y esta suma debe ser 11, para completar los 200, entonces estos 11 n´ umeros deben ser 1. Por lo tanto, podemos utilizar m´aximo 9 n´ umeros mayores que 20.

17. Los n´ umeros que tienen la forma p3 , donde p es un n´ umero primo poseen cuatro divisores positivos (ya que sus divisores son 1, p, p2 y p3 ). De esta forma hay dos n´ umeros 23 y 33 que son menores que 50 y poseen ex´actamente 4 divisores. Por otro lado, si el n´ umero en su factorizaci´on prima cuenta con dos primos diferentes p y q y es de la forma p · q, entonces este n´ umero posee ex´actamente 4 divisores (1, p, q y p · q), con esto podemos listar los n´ umeros menores que 50: 2×3 2×5 2×7 2 × 11

2 × 13 3 × 5 2 × 17 3 × 7 2 × 19 3 × 11 2 × 23 3 × 13

5×7

As´ı encontramos que hay 13 n´ umeros que satisfacen esta condici´on.

Por lo tanto, hay 2 + 13 = 15 n´ umeros del 1 al 50 que poseen ex´actamente 4 divisores positivos.

60

18. Podemos en primera instancia, hayar la ecuaci´on de la recta que pasa por los dos puntos dados. Para esto hayamos primero el valor de la pendiente de la recta asi: m=

11 − 5 6 = =2 4−1 3

ya con la pendiente y eligiendo uno de los puntos, calculamos la ecuaci´on de la recta usando la ecuaci´on: y − y0 = m(x − x0 ) y − 5 = 2(x − 1) y = 2x − 2 + 5 y = 2x + 3 Ahora bien, como el punto (k, 17) esta sobre la recta, entonces este punto debe satisfacer la ecuaci´on que hayamos, es decir 17 = 2k + 3, por lo tanto si despejamos el valor para k, otenemos: 17 = 2k + 3 2k = 17 − 3 2k = 14 k=7 as´ı, el valor de k que satisface la ecuaci´on es 7.

19. Puesto que los n´ umeros que estamos buscando son m´ ultiplos de 6, estos n´ umeros deben ser divisibles entre 6 y esto quiere decir que son divisibles entre 2 y 3 al mismo tiempo. Entonces, para que el n´ umero buscado sea divisible entre 2, el d´ıgito de las unidades debe ser 0 o 2. Ya teniendo fijo el d´ıgito de las unidades, debemos controlar los otros dos d´ıgitos, con el fin de obtener un n´ umero que sea divisible entre 2 y 3 al mismo tiempo y para que un n´ umero sea divisible entre 3, debe cumplir que la suma de sus d´ıgitos sea un m´ ultiplo de 3.

Si fijamos el d´ıgito de las unidades en 0, entonces, los n´ umeros de tres d´ıgitos pueden ser: 120, 210, 510, 150. y si por el contrario 61

fijamos el d´ıgito de las unidades en 2, los posibles n´ umeros son: 102, 132 y 123. Por lo tanto, en total encontramos 7 n´ umeros que resultan ser m´ ultiplos de 6.

20. Primero podemos descomponer el 36 para luego tener las posibles combinaciones de tres n´ umeros, sabemos que 36 = 22 ·32 , entonces: Ni˜ na 1 1 1 1 1 1 2 2 3

Ni˜ na 2 1 2 3 4 6 2 3 3

Ni˜ na 3 36 18 12 9 6 9 6 4

Suma de Edades 38 21 16 14 13 13 11 10

Si observamos bien la tabla, las u ´nicas opciones que generar´ıan dudas en el encuestador ser´ıan las ternas, (1, 6, 6) y (2, 2, 9), puesto que son las u ´nicas sumas cuyos resultados son los mismos. Ahora, la afirmaci´on de que la mayor le gusta el chocolate, nos indica que existe una ni˜ na que es la mayor, por lo tanto, decartamos la terna (1, 6, 6), debido a que existirian dos mayores, contradiciendo la afirmaci´on de la mujer. As´ı, las edades de las tres ni˜ nas son 2, 2 y 9.

62

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS ´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO Primera Fase 2011-2012 EXAMEN NIVEL SUPERIOR (10mo, 11mo y 12mo grado) 1. Haciendo uso de la regla multiplicativa analizamos el problema de la siguiente forma. En el asiento del conductor tenemos dos opciones, de tal forma que en el otro asiento de adelante podr´ıan sentarse cuanquiera de los tres restantes. Ahora bien, en uno de los asientos traseros puede ser ocupado por una de las dos personas que quedan y finalmente el otro asiento trasero ir´a ocupado por la u ´nica persona que queda. Por lo tanto se pueden sentar de 2 · 3 · 2 · 1 = 12 formas diferentes.

2. Note que el menor primo que tenemos es 2 as´ı que el mayor n´ umero por el que lo podemos m´ ultiplicar para obtener un n´ umero de 2 d´ıgitos debe ser menor que 50. Como el mayor primo menor que 50 es 47, entonces consideraremos el siguiente conjunto de primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47} Entonces al fijar el n´ umero 2, tendremos 14 posibles m´ ultiplicaciones, mientras que si fijamos el 3, tendremos u ´nicamente 9 posibles m´ ultiplicaciones, ya que el n´ umero primo m´as grande por el que se puede m´ ultiplicar el 3 para obtener un n´ umero de 2 d´ıgitos es el 31. Si pensamos de este mismo modo al fijar el 5, obtendremos 5 posibles resultados y finalmente si tomamos el 7 obtendremos 2 posibles resultados. Ya no continuamos analizando los primos desde 11, porque cualquier multiplicaci´on de cualesquiera dos elementos va a arrojar como resultado un n´ umero de m´as de dos d´ıgitos.

As´ı que en total podemos construir un total de 14 + 9 + 5 + 2 = 30 n´ umeros, pero debemos descartar el u ´nico n´ umero que es de un d´ıgito que es el 6. Luego en total podemos escribir 29 n´ umeros de 2 d´ıgitos como el producto de dos primos diferentes.

3. Note que por cada 11 n´ umeros se deben eliminar 3, por lo tanto, de los 11 n´ umeros quedan 8. Entonces: 63

Hasta el n´ umero 11 quedan 8 n´ umeros.

Hasta el n´ umero 2 × 11 = 22 quedan 2 × 8 = 16 n´ umeros.

Hasta el n´ umero 3 × 11 = 33 quedan 3 × 8 = 24 n´ umeros. .. .

Hasta el n´ umero 252 × 11 = 2772 quedan 252 × 8 = 2016 n´ umeros.

Luego vemos que el n´ umero 2771 es el n´ umero correspondiente al n´ umero 2016 de los que quedan, de modo que si empezamos a contar hacia atr´as descartando los m´ ultiplos de 5 y de 11, podremos encontrar el n´ umero correspondiente a la posici´on 2011. As´ı 2769 ocupar´a la posici´on 2015, 2768 la posici´on 2014, 2767 la posici´on 2013, 2766 la posici´on 2012 y finalmente tenemos que el n´ umero 2764 ocupar´a la posici´on 2011.

4. Tomemos en cuenta el siguiente diagrama:

A

Xo

B C

140o

122o E

F

Notemos que ABC es un tri´angulo y que x es una ´angulo externo al tri´angulo, entonces, x = BCA+ ABC. Como BCA es un a´ngulo suplentario a F CB, entonces, BCA = 180 − 140 = 40◦ de forma an´aloga, ABC = 180 − CBE = 180 − 122 = 58◦ . Por lo tanto: x = 58 + 40 = 98◦

5. Sabemos que 3216 = (25 )16 = 280 y tambi´en sabemos que 12525 = (53 )25 = 575 , con esto podemos reorganizar el producto de la siguiente manera: 280 · 575 = (2 · 5)75 · 25 = 1075 · 25 64

Con esto tenemos que 25 = 32 y como 1075 es 1 y 75 ceros, entonces el producto de estos dos n´ umeros sera 32 y 75 ceros a la derecha.

Por lo tanto la suma de los d´ıgitos es igual a 5.

6. Si primero nos concentramos en el d´ıgito de las unidades los posibles resultados al sumar los d´ıgitos de las unidades de cada uno de los tres n´ umeros ser´an 5, 15 o 25, ya que la mayor suma de tres d´ıgitos no puede ser mayor a 27 (9 + 9 + 9 = 27). Con esto podemos construir los posibles casos de las decenas, es decir: Si consideramos que la suma de los d´ıgitos de las unidades es 5, entonces la suma de los d´ıgitos de las decenas podr´an ser 7, 17 o 27.

Si consideramos que la suma de los d´ıgitos de las unidades es 15, entonces la suma de los d´ıgitos de las decenas podr´an ser 6, 16 o 26, para que con el 1 de las unidades de como u ´ltimo d´ıgito el 7. Y finalmente si la suma de los d´ıgitos de las unidades es 25, entonces la suma de los d´ıgitos de las decenas podr´an ser 5, 15 o 25. Ahora si se invierten los d´ıgitos de las unidades con las decenas, entonces, podremos construir bajo este mismo an´alisis las 9 posibles sumas diferentes de los tres n´ umeros de 3 d´ıgitos.

7. Descomponiendo a 396 en sus factores primos obtenemos, 396 = 22 · 32 · 11. Ahora bien, lo que debemos buscar es una combinaci´on de tres n´ umeros, que sean divisores de 396, tal que la suma de ellos sea 23. Por lo tanto, observamos que 6, 6 y 11, son los n´ umeros que nos satisfacen esta condici´on. As´ı tenemos que Janet tienen 11 a˜ nos.

8. Como sabemos que x, y, son n´ umeros reales positivos y adem´as 2 2 2 (x + y) = x + 2xy + y , entonces, (x + y)2 es mayor que xy y que x2 + y 2 . Ahora bien, como x2 + y(x + y) = x2 + xy + y 2 , entonces (x + y)2 resulta ser mayor. Finalmente como (x + y)(x2 − xy + y 2 ) x3 + y 3 = = x2 − xy + y 2 x+y x+y resulta menor que (x+y)2 . Por lo tanto, (x+y)2 da como resultado un n´ umero mayor que las expresiones anteriores.

65

9. Sea x el n´ umero de dulces rojos que sacaremos de la bolsa. As´ı, podemos establecer la siguiente relaci´on: 0.98(200 − x) = (0.99 · 200) − x Solucionando esta ecuaci´on obtendremos que: 196 − 0.98x = 198 − x 0.02x = 2 x = 100 Por lo tanto se deb´en sacar de la bolsa 100 dulces rojos para satisfacer la condici´on dada.

10. Sea y = T QS, como P QR = 90◦ , entonces se puede establcer la ecuaci´on y = 90 − 2x − 2x = 90 − 4x Por otro lado tenemos que QT S = T SQ, ya que QT S es un tri´angulo is´osceles, asi que: 5x + 5x + y = 10x + y = 180◦ Asi que reemplazando la primera ecuaci´on en la segunda, obtenemos: 10x + (90 − 4x) = 180 6x = 90 x = 15 11. Analizaremos primero el d´ıgito de las unidades del n´ umero 82009 , para esto observamos el d´ıgito de las unidades en las potencias de 8 y encontramos que siguen el patr´on, 8, 4, 2, 6, 8, 4, 2 . . . , con lo que observamos que se repiten cada 4 n´ umeros. Ahora bien, como 2009 = 502 · 4 + 1, entonces el d´ıgito de las unidades de 82009 es 8.

Ahora cuando lo multiplicamos por 6 obtenemos que este d´ıgito es 8.

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12. Sea m la longitud del segmento P Q y n la longitud del segmento QR. Notemos que P XS es un tri´angulo de base P X y altura SP , como X es el punto medio del segmento P Q, entonces la longitud de P X = m2 de donde el ´area de P XS es mn . De forma an´aloga 4 n m XQ = 2 y como QY = 3 , entonces, el a´rea del tri´angulo Y XQ = mn . Por u ´ltimo el tri´angulo RZY tiene base m4 y una altura de 12 2n , de donde tenemos que su a´rea es de mn . As´ı que si sumamos 3 12 las a´reas de los tres tri´angulos tenemos que estos comprenden un total de: 5mn mn mn mn + + = 4 12 12 12 Ahora bien, como el a´rea del rect´angulo es mn. Si restamos el ´area de los tri´angulos al a´rea del rect´angulo, obtenemos que la fracci´on 7 . del rect´angulo que corresponde al cuadril´atero, es 12 13. Si dividimos la parte vacia del cilindro de la figura 1, podemos calcular que el volumen de aire que se encuentra en esta parte es la suma del que hay en el cilindro peque˜ no m´as la que se encuentra en el cilindro grande, esto es: 2 2 5 1 ·3+π· ·2 V =π· 2 2 3π 25π + = 4 2 53π = 4 Como al girar la botella el volumen del aire no va a cambiar por lo tanto: 2 5 V =π· ·h 2 53π 25 =π· ·h 4 4 As´ı que si despejamos para h tenemos que h=

53 3 =2 25 25

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Luego la atura de la parte que queda con aire en la botella ser´a de 3 2 25 .

14. Resolviendo tenemos: 3♠(4♠5) = 3♠ [(4 + 5)(4 − 5)] = 3♠(−9) = (3 + (−9))(3 − (−9)) = (−6)(12) = −72 15. Supongamos que Mary y Nicole se encuentran en un punto al tiempo t (medido en horas). As´ı que en ese momento dMary = dNicole − 1. Como la velocidad de Mary es de 3 millas por hora, entonces la distancia que ella recorri´o ser´a 3t, mientras Nicole a una velocidad de 5 millas por hora recorri´o en ese mismo tiempo una distancia de 5t − 1. Entonces 3t = 5t − 1 y solucionando esta ecuaci´on obtenemos que t = 12 . Por lo tanto, como t est´a medido en horas, lo que tard´o Nicole en alcanzar a Mary fueron 30 minutos.

16. Como deben ser n´ umeros pares de tres cifras, el u ´ltimo d´ıgito de cada n´ umero debe ser un n´ umero par, por lo tanto, el u ´ltimo d´ıgito puede ser 0, 2, 4, 6 u 8. Ahora como sus d´ıgitos deben ser crecientes de izquierda a derecha, debemos descartar el 2 y el 0. Si fijamos el 4 en el d´ıgito de las unidades, podemos utilizar el d´ıgito 1, en el de las centenas y asi tener dos opciones en el d´ıgito de las decenas (el 2 y el 3). Tambi´en podemos usar el d´ıgito 2 en las centenas con lo que tenemos una opci´on m´as. As´ı que podemos construir 3 n´ umeros de tres d´ıgitos crecientes finalizados en 4. Ahora si fijamos el d´ıgito 6 en las unidades, en el d´ıgito de las centenas podremos ubicar los d´ıgitos del 1 al 4, de tal forma que si fijamos cada uno de estos d´ıgitos, obtendremos 4, 3 , 2 y 1 posibilidades respect´ıvamente en el d´ıgito de las decenas, para as´ı tener un total de 10 n´ umeros de tres d´ıgitos crecientes finalizados en 6. Por u ´ltimo, si fijamos el 8 en el d´ıgito de las unidades, en el d´ıgito de las centenas podremos ubicar los d´ıgitos del 1 al 6 y para cada uno de ellos en el d´ıgito de las decenas tendremos 6, 5, 4, 3, 2 y 1 posibilidades, teniendo as´ı 21 68

opciones. Por lo tanto, en total se pueden construir 34 n´ umeros pares de tres cifras cuyos d´ıgitos son estrictamente crecientes de izquierda a derecha.

17. Debemos considerar los puntos del plano (x, y) que satisfacen |x| + |y| ≤ 10, ya que lo que se va a recorrer son 10 pasos en cualquier direcci´on (horizontalmente o verticalmente). Debemos tener en cuenta que los u ´nicos puntos a los que podemos llegar son puntos donde |x| + |y| es par, es decir: |x| + |y| = 0

|x| + |y| = 2

|x| + |y| = 4

|x| + |y| = 6

|x| + |y| = 8

|x| + |y| = 10

Para cada una de estas sumas el n´ umero de puntos de llegada ser´a 4 veces el resultado de la suma, es decir para, |x| + |y| = 2 hay 4 · 2 = 8 posibles puntos de llegada, por lo tanto hay (4 · 2) + (4 · 4) + (4 · 6) + (4 · 8) + (4 · 10) = 120 Y en el caso de |x| + |y| = 0 corresponde a un u ´nico punto (el origen). As´ı encontramos que luego de 10 movimientos podemos ubicarnos en 121 puntos diferentes.

18. Sea x un n´ umero entero que denotar´a la longitud de un lado del tri´angulo, asi que el tri´angulo tendr´a lados x, 3x y 15. As´ı que por la desigualdad del tri´angulo tenemos que: x + 3x > 15 15 + x > 3x 15 + 3x > x

(1) (2) (3)

Como debemos encontrar el per´ımetro maximo, tomamos la desigualdad (2) y encontramos 15 > 2x, as´ı, el m´aximo valor que puede asumir x es 7. Por lo tanto, el per´ımetro ser´a 7 + 3(7) + 15 = 43.

19. Podemos plantear la suma de los cuadrados de 7 n´ umeros consecutivos de la siguiente manera: x2 + (x + 1)2 + · · · + (x + 6)2 69

Si resolvemos la suma obtenemos: 7x2 + 42x + 91. Ahora si consideramos cada uno de los casos y an´alizamos u ´nicamente el u ´ltimo d´ıgito en cada uno de los t´erminos del resultado anterior y posteriormente lo sumamos podremos obtener el resultado del u ´ltimo d´ıgitos. Por ejemplo en el caso en el que el u ´ltimo d´ıgito sea 1, en la 2 ´ltimo d´ıgito ser´a 7, mientras que en la expresi´on expresi´on 7x el u 42x, el u ´ltimo d´ıgito ser´a 2 y en el t´ermino 91, el d´ıgito siempre sera 1, de modo que la suma ser´a 7 + 2 + 1 = 10, de donde el u ´ltimo d´ıgito es 0. Si realizamos este mismo razonamiento podemos construir la siguiente tabla: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

7x2 0 7 8 3 2 5 2 3 8 7

42x 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8

91 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Suma 1 0 3 0 1 6 5 8 5 6

De donde podemos obervar que el u ´nico d´ıgito que no est´a presente es el 7.

20. Si analizamos la alternativa a) observamos que 1, 8, 2 no pueden estar en el mismo mont´on, ya que el 5 inmediatamente tendr´a que estar en el segundo mont´on, el 3 no puede estar en el primer mont´on, luego tiene que estar con el 5, por lo que implica que el 4 ir´a con el 1, 8, 2. De modo que en el primer mont´on ahora estar´an el 1, 8, 2, 4 y en el segundo mont´on estar´an el 3 y el 5.

Luego el 6 tiene que estar en el segundo mont´on, pero entonces el 7 ya no podr´a estar en ninguno de los dos montones.

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS ´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO Segunda Fase 2011-2012 EXAMEN NIVEL ELEMENTAL (4to, 5to y 6to grado) 1. Como Carmen pulsa 50 caracteres cada 10 segundos, podemos decir que ella pulsa 5 caracteres por segundo, de la misma forma Roxanna al pulsar 40 caracteres en 10 segundos, decimos que en cada segundo ella pulsa 4 caracteres. De modo que entre las dos pulsan un total de 9 caracteres por segundo, por lo tanto, las dos tardar´an 50 segundos en pulsar los 450 caracteres.

2. Al insertar un mel´on en el platillo de las naranjas, tenemos entonces en la balanza un platillo con 6 naranjas y un mel´on y otro platillo con 2 melones. Como suponemos que los melones pesan lo mismo, podemos remover un melon de cada platillo, de modo que la balanza continue en equilibrio. As´ı, encontramos que 1 mel´on es equivalente en peso a 6 naranjas.

3. Debemos buscar el patr´on que rige la secuencia. Para esto notemos que la primera figura consta de 6 palillos. En la segunda figura, lo que se esta haciendo es agregando 3 palillos m´as a la primera figura y para el caso de la tercera figura se agregan 6 palillos a la primera figura. As´ı, podemos ver que si agregamos 3 · (n − 1) palillos a la primer figura, podemos obtener el n´ umero de palillos necesarios para construir la n-´esima figura. Por lo tanto para construir la figura n´ umero 20, necesitamos 6 + 3 · (20 − 1) = 6 + 3 · (19) = 63 palillos.

4. Como por cada respuesta correcta obtiene 5 puntos y Jos´e contesto 16 preguntas de forma correcta, entonces obtuvo por esto 80 puntos. Pero Jos´e contest´o 4 preguntas erroneas, luego, del puntaje obtenido se deben restar 4·3 = 12 puntos. Por lo tanto, como las preguntas que Jos´e no contest´o no aportan ninguna puntuaci´on, entonces Jos´e obtuvo 80 − 12 = 68 puntos en el examen.

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5. Sea n el n´ umero de bocaditos de chorizo que el ayudante estaba preparando. entonces la frase si met´ıa cuatro ruedas en cada uno, le sobraban tres ruedas la podemos escribir en forma matem´atica como 4 · n + 3 y la frase si ponia cinco le faltaban 7 ruedas en la ecuaci´on 5 · n − 7. Como estas dos cantidades deben ser iguales, entonces 4 · n + 3 = 5 · n − 7, de donde obtenemos que n = 10. Por lo tanto, el ayudante de cocina estaba preparando 10 bocaditos de chorizo.

6. Para que el d´ıgito 1 aparezca m´as veces que el d´ıgito 2, el d´ıgito 1 debe aparecer m´ınimo tres veces. As´ı, consideremos la situaci´on m´as sencilla, esto es el caso en que el d´ıgito 1 aparece las 5 veces, para este caso el u ´nico n´ umero que podemos formar es el 11111.

La segunda situaci´on ocurre cuando el d´ıgito 1 aparece 4 veces y el d´ıgito 2 aparece 1 vez, en este caso, el d´ıgito puede ubicarse en cualquiera de las 5 posiciones formando un n´ umero diferente, luego los n´ umeros que podemos formar son 11112, 11121, 11211, 12111 y 21111. Y la tercera y u ´ltima situaci´on es cuando el d´ıgito 1 aparece 3 veces y el d´ıgito 2 aparece 2 veces, para esta situaci´on podemos fijar uno de los d´ıgitos 2 mientras el otro va rotando en las otras posiciones, esto es: 11122

11212

12112

21112

12211

21211

11221 12121

21121 22111

con lo que podemos formar un total de 10 n´ umeros de 5 d´ıgitos.

Por lo tanto, podremos formar un total de 1+5+10 = 16 n´ umeros de 5 cifras que satisfacen las caracter´ısticas pedidas.

7. Sea D el v´ertice cuyo a´ngulo mide 30◦ y E el v´ertice cuyo a´ngulo mide 70◦ . Como DEC es un tri´angulo, la suma de los a´ngulos interiores debe ser 180◦ , entonces DCE = 180 − 30 − 70 = 80◦ .

Ahora bien, ACB = DCE = 80◦ por ser ´angulos opuestos por el v´ertice. Como ABC es un tri´angulo is´osceles, tal que AC = BC, entonces CAB = ABC, de modo que CAB + ABC = 100◦ , por lo tanto, CAB = 50◦ .

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8. Una forma de resolver este ejercicio es fijando el d´ıgito de las centenas y observa cuantos posibles n´ umeros podremos formar. Esto es, si fijamos el d´ıgito de las centenas en 5, entonces los posibles n´ umeros ascendentes que podemos formar son 4567, 4568, 4569, 4578, 4579 y 4589. Si ahora fijamos el d´ıjito de las centenas en 6, los n´ umeros ascendentes que tendremos son: 4678, 4679 y 4689.

Y finalmente si fijamos el d´ıgito de las centenas en 7, obtenemos un u ´nico n´ umero ascendente es 4789. Por lo tanto tenemos 10 n´ umeros ascendentes entre 4000 y 5000.

9. Como hay que garantizar que se obtengan 100 fichas del mismo color, debemos considerar el peor de los escenarios y este es, en el que se tienen 99 fichas de cada color, es decir, que se deben extraer un total de 99 × 20 = 1980 fichas, de modo que en la extracci´on de la ficha 1981 se tiene la certeza de que se van a completar las 100 fichas de alguno de los 20 colores.

10. Como las sumas de los cuadrados son iguales a los n´ umeros que estan adyacentes a el, entonces podemos formar las siguientes ecuaciones:

x+y =5 x+z =7 y + z = 10

(4) (5) (6)

Sumando las ecuaciones se obtiene que 2x + 2y + 2z = 22 y si dividimos entre 2 a ambos lados de la ecuaci´on obtenemos que x + y + z = 11.

11. Sea a el ancho del rect´angulo, as´ı que el largo del rect´angulo ser´a 2a. De modo que a · 2a = 8, resolviendo esta ecuaci´on de la siguiente manera encontraremos el valor del ancho.

2a · a = 8 2a2 = 8 a2 = 4 a=2 73

Como el tri´angulo de la figura es un tri´angulo equil´atero que comparte uno de los lados con el rect´angulo, entonces, el per´ımetro de la figura es: P = a + 2a + a + a + 2a = 7a Por lo tanto, el per´ımetro de la figura es 14 cent´ımetros.

12. Notemos que los n´ umeros de un s´olo d´ıgito salen autom´aticamente del conteo. Ahora si tomamos los n´ umeros de 2 d´ıgitos, hay 81 n´ umeros de dos d´ıgitos diferentes ya que debemos descartar los 9 n´ umeros que tienen los dos d´ıgitos iguales (11, 22, . . . , 99). Si tomamos los n´ umeros de tres d´ıgitos; del 100 al 109, u ´nicamente hay dos n´ umeros con dos d´ıgitos diferentes (100 y 101), si seguimos tom´andolos cada 10 de esa manera, encontramos 16 n´ umeros m´as del 120 al 199. Ahora bien si tomamos los n´ umeros de 110 al 119, tenemos 9 n´ umeros ya que s´olo descartamos el 111. Y si finalmente contamos el 200, tenemos que hay 81+2+16+9+1 = 109 n´ umeros con u ´nicamente dos d´ıgitos diferentes.

13. Tenemos que el per´ımetro del cuadrado es 4·10 = 40 cm, mientras que el per´ımetro del rect´angulo es 2 · 3 + 2 · 10 = 26 cm, por lo tanto la diferencia entre los per´ımetros es de 14 cm.

14. Como el n´ umero que estamos buscando es cercano a dos n´ umeros capic´ ua, uno mayor y otro menor que el, la u ´nica forma de obtenerlo es que los tres d´ıgitos centrales sean 9, de tal forma que cuando se tome el cuarto n´ umero delante de el, los tres d´ıgitos centrales ser´an iguales y ser´an cero. As´ı que nos concentraremos en el primer d´ıgito. Como sabemos que el n´ umero termina en 7 y se paso 4 n´ umeros de un n´ umero capic´ ua, entonces, el primero y el u ´ltimo d´ıgito deben ser iguales, por lo tanto, el u ´ltimo d´ıgito del n´ umero capic´ ua es 3, de modo que el primer d´ıgito del n´ umero que estamos buscando es el 3. As´ı tenemos que el n´ umero es 39997.

15. Supongamos que numeramos a las mujeres de la reuni´on. Sea mi , la mujer i − esima del grupo, de modo que el n´ umero de hombres 74

que conocer´ıa a esa mujer estar´ıa dado por hi = 16 + (i − 1). Note que mi + hi = 47, as´ı tenemos que: i + 16 + (i − 1) = 47 Al solucionar esta ecuaci´on tenemos que i = 16, con lo cual podemos concluir que debe haber m´aximo 16 mujeres en la reuni´on.

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS ´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO Segunda Fase 2011-2012 EXAMEN NIVEL INTERMEDIA (7mo, 8vo y 9no grado) 1. De la primera y segunda informaci´on tenemos que al ser el primer d´ıgito un tercio del quinto d´ıgito, el d´ıgito par que es divisible entre 3 es el 6 (no puede ser cero, ya que esto producir´ıa un n´ umero con s´olo ceros), por lo tanto el quinto d´ıgito debe ser 6, el primer d´ıgito es el 2 y el tercer d´ıgito es 4. El segundo d´ıgito al ser el menor, debe ser 0. Ahora bien, como el cuarto d´ıgito menos el quinto d´ıgito se restan y el quinto 6, el u ´nico d´ıgito par mayor que 6 es 8, entonces 8 debe ser el cuarto d´ıgito y asi 2 debe ser el sexto d´ıgito. Luego el n´ umero de 6 d´ıgitos es 268402.

2. Podemos trazar los segmentos faltantes para asi poder contar el n´ umero de hex´agonos que se pueden formar dentro del espacio.

Con esto vemos que podemos formar un total de 25 hex´agonos para poder completar la figura.

3. Notemos que los dos corredores se encuentran a los 30 minutos por primera vez y luego de eso cada 30 minutos se vuelven a encontrar, de modo que luego de transcurrida una hora los dos corredores se han encontrado 2 veces.

4. Debemos resolver primero el par´entesis por tanto, 8 4 = 84 +8·4 = 2 1 2 + 32 = 34 y teniendo esto podemos resolver 34 2 = 34 = 17 .

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5. Notemos que podemos representar este c´alculo como la suma de los puntos de los lados del rect´angulo, pero debemos tener en cuenta que cada una de las 4 esquinas las hemos contado dos veces (una con el largo y otra con el ancho), asi que debemos descontarlas.

Por lo tanto, tenemos que para cualquier rect´angulo el n´ umero de puntos que hay en la frontera es el per´ımetro del rectangulo menos 4. De modo que para un rect´angulo de lado 2012 por 2011, su per´ımetro es: 2 · 2011 + 2 · 2012 = 4022 + 4024 = 8046 y a este resultado le descontamos los 4 puntos de las esquinas, obteniendo un total de 8046 − 4 = 8042 puntos en la frontera.

6. Notemos que el BAD = BAC + CAD. De modo que hallando cada uno de estos a´ngulos lograremos resolver el problema. Si tomamos el tri´angulo ABC, tenemos que es un tri´angulo is´osceles y dado que ABC = 75◦ , tenemos que BCA = 75◦ , as´ı, BAC = 180 − 75 − 75 = 30◦ . Ahora bien, si consideramos el tri´angulo ACD, el cual es is´osceles, tenemos que DAC = = 65◦ .

ACD, y como ADC = 50◦ , entonces DAC = 180−50 2 ◦ ◦ ◦ Por lo tanto, tenemos que BAD = 30 + 65 = 95 .

7. Suponemos que el abrazo s´olo se lo dan entre dos personas. Adem´as veamos que es lo mismo que el jugador 1 abrace al jugador 2 que el jugador 2 abrace al jugador 1. Por lo tanto, una forma de encontrar este conteo es realizando una combinacion de los 11 jugadores tomando 2 a la vez. De modo que C(11, 2) =

11!

11! = = 55 2!(11 − 2)!

2! · 9!

As´ı, cuando los jugadores ganan se dan un total de 55 abrazos.

8. Supongamos que Keila es la que miente, si fuera asi, ella no habr´ıa pagado su entrada, pero como todos los dem´as dicen la verdad, entonces Jos´e y Laura tampoco habr´ıan pagado su entrada, lo cual es falso. Ahora si suponemos que Astrid miente, Laura, Keila y Jos´e dicen la verdad, de modo que Keila Pag´o su entrada y Jos´e tambi´en la pag´o ya que Astrid miente y Laura dice la verdad, as´ı que seg´ un Jos´e, quien dice la verdad, la que no pag´o su entrada fue Laura.

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9. Como el cuadrado grande tiene a´rea 16, indica que cada lado de este tiene una longitud de 4 unidades. Si tomamos el cuadrado cuyos v´ertices est´an sobre los puntos medios del cuadrado grande, vemos que se forman 4 tri´angulos rect´angulos cuyos catetos miden 2 unidades y cuya hipotenusa resulta ser el lado del cuadrado interior. Luego aplicanndo √el teorema de Pit´agoras, obtenemos que √ la hipotenusa es √8 = 2 2, con lo que la longitud de los lados del cuadrado es 2 2. Ahora si tomamos este u ´ltimo cuadrado y realizamos el mismo procedimiento con el cuadrado que tiene sus v´ertices sobre sus puntos medios, entonces obtenemos que por el teorema de Pit´agoras la longitud de la hipotenusa es 2. Por lo tanto, el ´area de este cuadrado es 4.

10. Como sabemos que 125 = 53 , entonces tenemos 3 d´ıgitos y como estamos buscando n´ umeros entre 2012 y 8012, tal que el producto de sus d´ıgitos sea 125, debemos completar el cuarto d´ıgito con el d´ıgito 1. Luego debemos observar cuantos n´ umeros podemos formar con los d´ıgitos 1, 5, 5 y 5. Como las unidades de mil, no pueden ser 1 ya que los n´ umeros deben ser mayores a 2012, entonces esta posici´on debe ser ocupada por uno de los 5. De modo que nos concentraremos en ver cuantos n´ umeros diferentes podemos formar con los d´ıgitos 5, 5 y 1. Como s´olo se pueden formar los n´ umero 551, 515 y 155, entonces los u ´nicos n´ umeros que satisfacen la condici´on son 5551, 5515 y 5155, es decir tres n´ umeros.

11. Teniendo en cuenta que el nombre y el apellido no pueden empezar con la misma letra y que Ana no puede ser Castro, ya que Ana no es vegetariana y Castro si lo es, entonces tenemos que el apellido de Ana es Blanco. Por lo tanto, el apellido de Carmen debe ser Alvarez.

12. Como al le´on le corresponde un tercio y adem´as la mitad del cordero, entonces el le´on tiene 13 + 12 = 56 , del total del cordero, de modo que restan 16 del cordero para dividirlo entre el mono y el zorro. Y como a estos les correspondia por mitades, entonces les 1 corresponde 16 · 12 = 12 .

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13. Si construimos una gr´afica que represente esta situaci´on, observamos que en el tri´angulo ABC, 40 + 2γ + 2β = 180◦ , de donde 2γ + 2β = 140◦ , as´ı, γ + β = 70◦ .

A

M µ β

γ

β

γ

B

C

Ahora bien, si tomamos el tri´angulo BM C, tenemos que γ + β + µ = 180◦ 70 + µ = 180◦ µ = 110◦ Por lo tanto, el a´ngulo BM C es igual a 110◦ 14. Supongamos que deseamos construir un rect´angulo de largo a y ancho b. De modo que el per´ımetro de este rect´angulo ser´a 2a + 2b = 26, de esta ecuaci´on tenemos que a + b = 13. Como sabemos el rect´angulo que posee la mayor a´rea, ocurre cuando a = b, por lo tanto, consideraremos dos n´ umeros cercanos cuya suma sea 13, los cuales son 7 y 6. Luego la mayor a´rea para el rect´angulo cuyo per´ımetro es 26, es 42 cm2 15. Podemos hallar la cantidad de n´ umeros divisibles entre 9, hallaremos los m´ ultiplos de 9 entre 1 y 1000, para esto sabemos que 1000 = 111 · 9 + 1, as´ı que tenemos un total de 111 n´ umeros que son divisibles entre 9. De la misma forma tenemos que 1000 = 166 · 6 + 4, as´ı que los m´ ultiplos de 6 son 166. Ahora bien, para hacer uso del principio de inclusi´on exlusi´on, debemos encontrar los m´ ultiplos de 6 y 9 a la vez. Tengamos en cuenta que si tomamos 79

los m´ ultiplos de 9, la u ´nica forma para que sean a la vez m´ ultiplos de 6, es que sean n´ umeros pares, por lo tanto de estos 111, hay 55 n´ umeros pares. As´ı que por el principio de inclusi´on exlusi´on hay 111 + 166 − 55 = 222 n´ umeros que son divisibles entre 6 o 9.

Ahora bien, como lo que necesitamos son los que no son divisibles por ellos, tenemos que 1000 − 222 = 778 n´ umeros que satisfacen la propiedad.

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS ´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO Segunda Fase 2011-2012 EXAMEN NIVEL SUPERIOR (10mo, 11mo y 12mo grado) 1. Podemos hacer uso de la combinatoria para contar el n´ umero de productos que podremos obtener de estos 5 d´ıgitos, como seleccionamos u ´nicamente dos n´ umeros, lo que estamos buscando es 5!

C(5, 2) = 2!(5−3)! = 10. Por lo tanto, se pueden construir 10 n´ umeros.

2. Sea xi , el precio del i-´esimo loro. Tenemos que x1 + · · · + x4 = 50 4 de donde tenemos que x1 + · · · + x4 = 200. Por otro lado, sabemos que el promedio de los 5 loros es 60, es decir x1 + · · · + x4 + x 5 = 60 5 de modo que 200 + x5 = 60 5 y solucionando para x5 , obtenemos que x5 = 300 − 200 = 100.

As´ı el costo del loro que se escap´o es de 100 pesos.

3. Sea x el puntaje de los pumas y y el puntaje de las panteras. Si entre los dos hicieron 34 puntos, esto se traduce matem´aticamente como x + y = 34, ahora como la diferencia entre los pumas y las panteras fue de 14 y los pumas fueron los ganadores, entonces x − y = 14. De esta u ´ltima ecuaci´on x = 14 + y. Si sustituimos en la primera ecuai´on, tenemos que: 14 + y + y = 34 2y = 34 − 14 20 y= 2 y = 10 81

De modo que el puntaje de las panteras en el juego fue de 10 puntos.

4. Puesto que el producto de las tres edades es 396, podemos iniciar el problema tomando la factorizaci´on prima, es decir 396 = 22 ·32 ·11.

Ahora debemos buscar tres n´ umeros cuya suma sea 23, estos son 11, 6 y 6 o bien 11, 9 y 4. Como Juan es mayor que las dos hermanas, entonces la edad de Juan es 11 a˜ nos.

5. Notemos que se forman tres tri´angulos AEB, EF B y F CB. Puesto que tienen la misma base ya que AE = EF = F C y si trazamos la altura desde B, tenemos que estos tres tri´angulos poseen la misma altura, entonces, estos tri´angulos tienen la misma a´rea. Por lo = 12 cm2 el a´rea del tanto, como el a´rea del tri´angulo ACB = 24 2 tri´angulo BEF = 12 = 4 cm2 .

3 6. Al factorizar a ambos lados de la desigualdad, tenemos que a(a2 + 1) < b(1 − b2 ), y para que esto se cumpla 1 − b2 > 0, por tanto b < 1 ya que a y b son reales no negativos. De modo que nos resta verificar la relaci´on entre a y b. Puesto que a2 + 1 siempre sera mayor que 1 − b2 , independiente de los valores de a y b, as´ı que para que se mantenga la desigualdad inicial es necesario que a < b.

Por lo tanto, a < b < 1.

7. Sea n el n´ umero de lados del pol´ıgono convexo, por lo tanto, podemos trazar n − 1 diagonales y asi obtener n − 2 tri´angulos. Luego los a´ngulos internos del pol´ıgono se pueden determinar a trav´es de la ecuaci´on: (n − 2) · 180 n como sabemos que es un pol´ıgono regular, cuyos ´angulos interiores miden menos de 160◦ , entonces: 160 >

(n − 2) · 180 n

82

Como n es una cantidad positiva, podemos solucionar la inecuaci´on: 160n > 180n − 360 360 > 20n 360 >n 20 n < 18 De modo que la cantidad de los lados deben ser menores que 18, por lo tanto, el m´aximo n´ umero de lados que puede tener el pol´ıgono es 17 lados.

8. Manipulando la ecuaci´on tenemos que: 1 1 =y− x y 2 2 y −1 x −1 = x y 2 y(x − 1) = x(y 2 − 1) yx2 − y = xy 2 − x yx2 − xy 2 = y − x xy(x − y) = y − x y−x xy = x−y −(x − y) xy = x−y xy = −1 x−

Por lo tanto, xy = −1 9. Sean x, y y z, el n´ umero de piedras que hay en el primero, segundo y tercer mont´on respect´ıvamente. Como inicialmente ten´ıamos 72 piedras, planteamos el ecuaci´on x + y + z = 72. Los movimientos los podemos resumir en la siguiente tabla: 83

Movimiento Inicial 1 2 Final

Mont´on 1 x x−y x−y 2(x − y)

Mont´on 2 y 2y 2y − z 2y − z

Mont´on 3 z z 2z 2z − (x − y)

Como en el movimiento final todos lo montones quedaron con el mismo n´ umero de piedras entonces: 2(x − y) = 2y − z = 2z − (x − y) si resolvemos la ecuaci´on del segundo mont´on con la del tercer mont´on, tenemos que 3z − x − y = 0. Ahora, si sumamos esta ecuaci´on con la ecuaci´on x + y + z = 72 tenemos que z = 18.

Si igualamos las piedras del mont´on 1 con las del mont´on 3, tenemos que: 2(x − y) = 2z − (x − y) teniendo en cuenta que z = 18 y simplificando esta ecuaci´on tenemos que x − y = 12 y si nuevamente tomamos x + y + z = 72 y simplificamos con z = 18, tenemos que x + y = 54. De modo que al sumar x − y = 12 con x + y = 54, obtenemos que x = 33.

As´ı que el en primer mont´on ten´ıamos inicialmente 33 piedras.

10. En cinco n´ umeros impares consecutivos siempre existe un m´ ultiplo de 3 y un m´ ultiplo de 5. Por ejemplo 1·3·5·7·9 y 11·13·15·17·19, son dos casos particulares que muestran la propiedad. Como podemos observar en ambos casos el producto es s´olamente divisible por 15, por lo tanto el m´aximo com´ un divisor de ellos es 15.

11. Se´an x, y y z los valores de los segmentos como se muestran en la figura.

A y l x y B

z

84

C

Supongamos que x + y = 16, como el tri´angulo es is´osceles, entonces x = 2y, por lo tanto, 2y +y = 16, pero esta ecuaci´on no nos lleva a una soluci´on entera. Por lo tanto x + y = 15. As´ı 3y = 15, de donde y = 5, as´ı que el segmento x = 2 · 5 = 10. Y como y + z = 16, entonces, z = 11. Luego los segmentos del tri´angulo son 10, 10 y 11.

12. Tenemos que 2012 = 22 · 503, de donde obtenemos que los seis n´ umeros que dividen a 2012 son 1,2, 4, 503, 1006 y 2012, de modo que para que un n´ umero tenga seis divisores, este debe tener en su factorizaci´on prima 3 factores primos, de los cuales dos de ellos sean iguales. Teniendo en cuenta esto, verificamos que 2011 es un n´ umero primo y 2010 = 2 · 3 · 5 · 67, luego va a tener m´as de 6 divisores. Mientras que 2009 = 72 ·41, el cual satisface la condici´on, por lo tanto el mayor n´ umero menor de 2012 con 6 divisores es 2009.

13. Sea x el n´ umero de pasajeros en el barco antes del rescate, de modo que podemos plantear la siguiente regla de tres: Pasajeros x

D´ıas 60 −→

x+30

50

Puesto que a mayor n´ umero de pasajeros, la comida durar´a menos d´ıas, entonces tenemos que existe una relaci´on inversa entre los pasajeros y los d´ıas, por lo tanto, establecemos la siguiente relaci´on: x=

50(x + 30) 60

Al solucionar esta ecuaci´on obtenemos que x = 150, de modo que antes de realizar el rescate en el barco hab´ıan 150 pasajeros.

14. Sean R y S la diagonal mayor y el lado del rombo ADCB respect´ıvamente y r y s la diagonal mayor y lado del rombo EDF B respect´ıvamente, como se muestra en la figura: 85

D

C s F R

r

E A

S

B

√ luego tenemos que r = S y R = 3S. Si llamamos A y a las a´reas de los rombos ADCB y EDF B respect´ıvamente, tomando en cuenta que el a´ngulo es 60 grados, tenemos que: √ 2 RS 3S A= = 2 2 y rs r2 S2 a= = √ = √ 2 2 3 2 3 Por tanto

a A

= 41 , entonces a =

A 4

=

24 , 4

por lo tanto a = 6.

15. Supongamos que las medidas de los lados del tri´angulo son 5, 5, 2a, como se muestra en la figura:

5

5

a

a

La altura h del tri´angulo√ podemos hallarla a trav´es de Pit´agoras: 2 2 25 = h + a . Luego h = 25 − a2 . Entonces el a´rea del tri´angulo es: √ √ 2a · 25 − a2 = a 25 − a2 A= 2 p Si ubicamos la a dentro de la ra´ız, tenemos que a2 (25 − a2 ). El a´rea es m´axima cuando (25 − a2 )a2 es m´aximo. Note que si y = a2 obtenemos (25 − y)y = −y 2 + 25y 86

Y esta ecuaci´on cuadr´atica alcanza su valor m´aximo en el v´ertice, y = −25 = 25 . As´ı a2 = 25 , de modo que a = √52 , por lo tanto el −2 2 2 tercer lado del tri´angulo mide √102 .

87

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS ´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2012 Tercera Fase 2011-2012 EXAMEN NIVEL ELEMENTAL (4to, 5to y 6to) 1. Si consideramos los cuadraditos de tama˜ no 1, observamos que hay 20 cuadritos. Notemos que si unimos cuatro cuadritos de tama˜ no 1, podemos formar otro cuadrado, es decir los cuadrados de la forma

De estos hay 9 cuadrados. Por lo tanto, en la figura se pueden formar 20 + 9 = 29 cuadrados.

2. Sabemos que el per´ımetro de la figura es: P Q + QR + RS + ST + U T +P U = 36. Si consideramos a x como la longitud del segmento ST , entonces P Q = x + 1 y notemos que P U = QR + ST de modo que P U = 6+x y finalmente U T = P Q+RS = (x+1)+3 = x+4.

As´ı, si sutituimos tenemos que: (x + 1) + 6 + 3 + x + (x + 4) + (6 + x) = 36 y solucionando para x tenemos que 4x + 20 = 36, de donde obtenemos que x = 4, luego ST = 4, P Q = 5, P U = 10 y U T = 8.

Ahora como lo que queremos encontrar es el a´rea del cuadrilatero, lo podemos dividir en dos rect´angulos como se muestra en la figura: 5cm

P

Q

6cm

3cm R

S

4cm

U

O

88

T

De modo que el a´rea del primer rect´angulo es 5 · 10 = 50 y el del segundo rect´angulo es 4 · 3 = 12, por lo tanto el a´rea total es 50 + 12 = 62cm2 .

3. Como el tri´angulo ABC es un tri´angulo is´osceles, ABC = BCA = 35◦ . N´otese que DAC es un a´ngulo exterior al tri´angulo ABC, por lo tanto, DAC = ABC + BCA De modo que DAC = 35◦ + 35◦ = 70◦

4. Representemos los cuadrados mediante la letra r, los c´ırculos con la letra s y los tri´angulos mediante la letra t, de modo que: 2r = 3t 2r = 2s 2r + 3t + s = 30

Notemos que podemos sustituir la primera ecuaci´on dentro de la u ´ltima, de modo que 2r + 2r + s = 30. de la segunda ecuaci´on se tiene que r = s, luego 2s + 2s + s = 30. Asi que solucionando para s, tenemos que 5s = 30, de donde s = 6. Por lo tanto, el valor de un c´ırculo es $6 y el valor de un cuadrado ser´a tambi´en de $6. Y sustituyendo en la primera eciaci´on tenemos que 2 · 6 = 3t de donde 3t = 12, por lo tanto, t = 4, es decir el costo de un tri´angulo es de $4. De modo que comprar una ficha de cada tipo cuesta 6 + 6 + 4 =$16.

5. Como se debe satisfacer que a + b = a · b, entonces se tiene que: b= Entonces

b a

b a+b =1+ a a

es un entero, luego a es un divisor de b. Adem´as a=

a+b a = +1 b b 89

Entonces ab es un entero, luego b es un divisor de a. Por lo tanto a = ±b. Si consideramos el caso en el que a = b entonces: b=

b +1=1+1=2 b

luego a = b = 2. Y si consideramos el caso en el que a = −b, entonces: −b b= + 1 = −1 + 1 = 0 b luego a = b = 0. Por lo tanto, encontramos dos posibles parejas.

6. Si descomponemos el 90 en sus factores primos tenemos que 90 = 2·32 ·5. Combinando esta informaci´on podemos buscar dos n´ umeros cuyo producto sea 90. Estos son 2 · 45, 6 · 15, 5 · 18, 9 · 10, 3 · 30 y 1 · 90. Y de estos debemos verificar cual o cuales de ellos poseen la propiedad de que uno sea el resultado de la suma de los d´ıgitos del otro. En este caso tenemos que 6 y 15 satisfacen esta propiedad y tambi´en el 3 y 30. Por lo tanto hay 2 n´ umeros con esta propiedad.

7. Puesto que el peso no debe exceder los 120 Kg. el padre de Andr´es siempre debe viajar solo en el bote. Sea A la orilla donde estan todos y B la orilla a donde desean llegar. En el primer viaje desde A, Andr´es debe viajar con su abuelo, as´ı que luego de llegar a la orilla B y dejar a su abuelo, debe hacer un segundo viaje s´olo de la orilla B a la orilla A. Luego de llegar all´ı, debe viajar su padre solo en un tercer viaje desde A hasta B y luego de llegar el abuelo de Andr´es deber´a viajar solo en un cuarto viaje de la orilla B a la orilla A, en donde se subira Andr´es y finalmente realizar´an un quinto viaje de A hasta B, donde quedar´an todos en B. Como se realizaron 5 viajes y cada viaje dura 3 minutos, el tiempo total que invirtieron para llegar a la otra orilla fue de 5·3 = 15 minutos.

8. Denotemos por x al n´ umero de camellos de una sola joroba y por y al n´ umero de camellos de dos jorobas. El probema nos dice que hay 28 cabezas, quiere decir que en total hay 28 camellos, lo que traducido en forma de ecuaci´on es que x + y = 28. Si por otra parte, tenemos que hay 45 jorobas entonces x + 2y = 45. Luego despejando y de la primera ecuaci´on, tenemos que: y = 28 − x y 90

sustituyendo este resultado en la segunda ecuaci´on obtenemos que x + 2(28 − x) = 45 y solucionando para la variable x tenemos que x + 56 − 2x = 45. De modo que 56 − x = 45, por lo tanto x = 11, as´ı tenemos que el n´ umero de camellos de una joroba es 11.

9. Es suficiente contar el n´ umero de cincos que hay en esta multiplicaci´on ya que los ceros se obienen al multiplicar 5 × 2 y hay m´as 2 que 5. Los m´ ultiplos de 5 en esta lista son 5, 10, 15, 20, 25 y cada uno posee un 5 en su factorizaci´on prima excepto el 25 que posee dos 5. Luego hay seis 5 en la multiplicaci´on, por lo tanto, hay seis ceros al final del producto.

10. Sabemos que el grupo mas peque˜ no debe tener 18 estudiantes, donde debe haber m´ınimo 4 ni˜ nos. Si consideramos que cada grupo de 10 estudiantes debe tener 3 ni˜ nas, entonces podemos considerar el caso extremo en el que en el grupo de 10 estudiantes hay 7 ni˜ nos y 3 ni˜ nas, as´ı que en el grupo de 18 estudiantes debe haber 7 ni˜ nos y 11 ni˜ nas, con lo que garantizamos que para cada grupo de 10 estudiantes, siempre se pueden seleccionar 3 ni˜ nas y en cada grupo de 18 estudiantes se puedan seleccionar 4 ni˜ nos.

Como debemos conseguir el m´aximo grupo que se puede formar, vamos agregando estudiantes, hasta que no se cumpla alguna de las dos condiciones. Note que al grupo de estudiantes no podemos agregar ni˜ nos, puesto que al agregar un ni˜ no mas, se puede formar un grupo de 10 que s´olo tiene 2 ni˜ nas. As´ı que se deben agregar tantas ni˜ nas, hasta completar el caso extremo para el grupo de 18 estudiantes, es decir, podemos agregar 3 ni˜ nas mas de tal forma que haya 14 ni˜ nas y 7 ni˜ nos, de esta forma se pueden formar grupos de 10 estudiantes donde siempre hay 3 ni˜ nas y grupos de 18 estudiantes en los que siempre hay 4 ni˜ nos. Por lo tanto, el grupo m´aximo puede tener 14 + 7 = 21 estudiantes.

91

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS ´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2012 Tercera Fase 2011-2012 EXAMEN NIVEL INTERMEDIO (7mo, 8vo y 9no) 1. Este tipo de problemas se pueden abordar de atr´as hacia a delante, para as´ı obtener la catidad inicial de manzanas que compr´o Brenda. Partimos del hecho que ella termin´o con 4 manzanas, como le di´o a Catalina 3 manzanas, entonces Brenda antes de encontrarse con Catalina ten´ıa 4 + 3 = 7 manzanas. Como estas 7 manzanas fue lo que le qued´o luego de darle la mitad a Ana, entonces antes de encontrarse con Ana, Brenda ten´ıa 7 × 2 = 14 manzanas. Por lo tanto, la bolsa que compr´o Brenda en el supermercado ten´ıa 14 manzanas.

2. Como el m´aximo com´ un divisor entre 9 y 7 es uno, entonces podemos considerar que si es divisible por 7 y por 9, entonces debe ser divisible por 63. As´ı que lo que buscamos son los n´ umeros que son divisibles por 63, entre 600 y 800. O de forma equivalente los m´ ultiplos de 63 entre 600 y 800. Para esto usamos el hecho que 600 = 63·9+33, luego los m´ ultiplos de 63 entre 600 y 800, son 630, 693 y 756. Como el n´ umero es impar, la soluci´on que buscamos es 693. Por lo tanto la suma de sus d´ıgitos es 6 + 9 + 3 = 18.

3. Puesto que b es el d´ıgito de las centenas, es posible determinarlo si efectuamos el producto de la siguiente manera.

2

+

9

a × ··· ··· ··· ···

0 3 1 3 4 2 0 6 1 2 4 3 6 0 1

De modo que b = 6. Y as´ı, podemos dividir 100900602 entre 342, dando como resultado 295031, para obtener que a = 5. Por lo tanto, a + b = 5 + 6 = 11.

92

4. Si descomponemos el 24 en sus factores primos tenemos que 24 = 23 ·3. Con esto podemos encontrar todos las posibles combinaciones de 3 d´ıgitos que multiplicados den 24 y las denotaremos a partir de ternas. Estos son (2, 4, 3), (8, 3, 1), (6, 2, 2) y (6, 4, 1). Para cada una de las ternas (2, 4, 3), (8, 3, 1) y (6, 4, 1), se pueden formar, 6 n´ umeros de tres cifras diferentes, asi que llevamos un total de 18 posibles n´ umeros de tres cifras que cumplen la propiedad. Mientras que para la terna (6, 2, 2) u ´nicamente podemos formar 3 n´ umeros diferentes. Por lo tanto, se pueden formar en total, 18 + 3 = 21 n´ umeros de tres cifras que cumplen la propiedad.

5. Sea T1 el tri´angulo de a´rea 32m2 , T2 el tri´angulo de a´rea 48m2 y T3 el u ´ltimo tri´angulo. Notemos que T2 tiene como base el mismo largo del rect´angulo y como altura, el mismo ancho del rect´angulo, as´ı que al calcular el a´rea de T2 tenemos que: T2 =

b·a = 48 2

de donde tenemos que b · a = 96, entonces encontramos que el ´area del rect´angulo es 96m2 . Con esta informaci´on tenemos que: T3 = 96 − T1 − T2 = 96 − 32 − 48 = 16 Por lo tanto el a´rea del tri´angulo es 16m2 .

6. Tracemos los segmentos BC y AF como se muestra en la figura.

Note que Z = 60◦ y como DZ = EZ, entonces 4EDZ es equil´atero, luego 4EDZ es semejante 4XY Z. X

A

B

Y

F

1111111111111 0000000000000 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000E 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 C

93

D

Z

Llamemos H y B la altura y la base del tri´angulo XY Z respect´ıvamente y h y b la altura y la base del tri´angulo EDZ. Entonces por semejanza podemos concluir que h = H3 . Por lo tanto podemos establecer que:

1 B 13 H bh 3 = 2 2 de donde obtenemos que 1 bh = BH 9 De esto tenemos que el ´area de 4EDZ es un noveno del a´rea de 4XY Z. N´otese que 4XAF ∼ = 4BY C ∼ = EDZ y por lado, como F AB es suplementario a XAF y BCD es suplementario a Y CB, entonces F AB ∼ = BCD, de modo que 4ABF ∼ = 4BCD. Ahora observemos que el ´area de 4BY C es la misma que el ´area de 4BCD, ya que poseen la misma base y la misma altura, por lo tanto los tri´angulos XAF , BY C, EDZ, ABF y BCD poseen la misma ´area, as´ı que el ´area no sombreada de la figura corresponde a 95 4XY Z, de modo que el a´rea sombreada es 4 18 = 8.

9 7. Observamos que la mayor distancia se obtiene cuando se unen los puntos medios N Q, como se muestra en la siguiente figura: N

Q M

Y observemos tambi´en que podemos formar un tri´angulo rect´angulo N QM , donde N M = 2 y QM lo podemos encontrar usando pit´agoras en el cuadrado que se muestra en la figura: 94

Q 11 00 00 11

1 1

01 M

Con esto, aplicando el teorema de Pit´agoras en N M Q, tenemos que: q√ QN = ( 2)2 + 22 √ = 2+4 √ = 6 √ Por lo tanto, la mayor distancia es 6.

8. Si observamos el recorrido de la rana, ella siempre deber´a pisar los m´ ultiplos de 3 cuando salta hacia adelante y los m´ ultiplos de 3 mas 2 cuando salta hacia atr´as. Por lo tanto, si escribimos los n´ umeros mediante el algoritmo de la divisi´on, podremos identificar cuales escalones pis´o la rana. Esto es: 1997 = 665 · 3 + 2 1998 = 666 · 3 1999 = 666 · 3 + 1 2000 = 666 · 3 + 2 de esto observamos que 1998 es m´ ultiplo de tres y fue un escalon pisado por la rana al igual que los escalones 1997 y 2000, ya que son un m´ ultiplo de 3 mas 2. Por lo tanto, el u ´nico escal´on de estos que no fue pisado por la rana fue el 1999.

9. Como no se puede repetir ning´ un n´ umero por fila ni por columna, entonces podemos descartar autom´aticamente los n´ umeros 1, 2 y 3 para el centro de la cuadricula, es decir los u ´nicos n´ umeros que pueden ocupar esa posici´on son el 4 y el 5. Si suponemos que 95

debe ser el 4, inmediatamente encontramos que cuando se intenta ubicar el 4 de la primera columna es imposible ya que los u ´nicos espacios que hay son en la tercera y quinta fila, las cuales ya tienen un 4 cada una. Por lo tanto, en el centro de la cuadricula debe ir un 5.

10. Sabemos que con 5 d´ıgitos diferentes se pueden construir 5! n´ umeros diferentes de 5 cifras, sin embargo, en este ejercicio los d´ıgitos 1 y 2 se repiten dos veces cada uno, raz´on por la cual se debe hacer una operaci´on adicional. Como el d´ıgito 1, se repite 2 veces y puede ir en dos posiciones diferentes contamos con 2! repeticiones, al igual que el n´ umero 2. Por lo tanto, tomamos el n´ umero total de n´ umeros de 5 cifras que se pueden formar y lo dividimos entre el producto de esas repeticiones, es decir: 120 5! = = 30 2! · 2!

2·2 De donde obtenemos que se pueden formar 30 n´ umeros diferentes de 5 cifras, con los d´ıgitos 1, 1, 2, 2 y 3.

96

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS ´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2012 Tercera Fase 2011-2012 EXAMEN NIVEL SUPERIOR (10mo, 11mo y 12mo) 1. Como debemos buscar todos los n´ umeros menores que 1000, debemos buscar n´ umeros de tres cifras. Podemos empezar a descomponer el 252 en sus factores primos: 252 = 22 · 32 · 7, ahora con ayuda de esto debemos formar triplas de un d´ıgito, sabiendo que uno de los d´ıgitos de la tripla debe ser 7. De modo que, las u ´nicas triplas que podemos formar son (4, 9, 7) y (6, 6, 7). Si formamos todos los posibles n´ umero impares con la primera tripla obtenemos 479, 497, 749 y 947. Y con la segunda tripla u ´nicamente podremos formar el 667. Por lo tanto, en total podremos formar 5 n´ umeros menores que 1000 cuyo producto de sus d´ıgitos es igual a 252.

2. Podemos observar que la suma de los elementos del conjunto es igual a 45, el cual es m´ ultiplo de 3, si extraemos 7 elementos del conjunto, es porque debemos descartar 2, de modo que la suma de los 7 elementos ser´a igual a 45−(x+y) y este debe ser un m´ ultiplo de 3, por lo tanto, x+y debe ser un m´ ultiplo de 3. As´ı que podemos buscar parejas cuya suma sea m´ ultiplo de 3. Dentro del conjunto tenemos, (1, 2), (1, 5), (1, 8), (2, 4), (2, 7), (3, 6), (3, 9), (4, 5), (4, 8), (5, 7), (6, 9) y (7, 8). Por lo tanto, 12 subconjuntos de 7 elementos producen una suma de elementos m´ ultiplo de 3.

3. Al trazar la bisectriz de A, se forma el tri´angulo CDA, el cual es un tri´angulo rect´angulo con a´ngulo recto en C, como CAD = 45◦ , entonces ADC = 45◦ , por lo tanto, AC = DC = 4. l

D B

3 E C 4

A

x

97

note que M EAB ∼M CDE, puesto que tienen un a´ngulo de 90◦ y comparten el E. Luego podemos establecer que: CE CD = AE AB

Si consideramos a x como la longitud del segmento AE, obtenemos que: 4 4+x = x 3 y solucionando esta ecuaci´on, obtenemos que 12 + 3x = 4x, de donde x = 12. Por lo tanto, tenemos que AE = 12.

4. Podemos observar que existen 5 n´ umeros impares de 1 d´ıgito, 45 n´ umeros impares de 2 d´ıgitos y 450 n´ umeros impares de 3 d´ıgitos.

Luego podemos decir que el d´ıgito de las unidades del n´ umero 999 esta en la posici´on: 5 + 2(45) + 3(450) = 1445 Ahora bien, como 2009 − 1445 = 564, entonces, el d´ıgito 564 de todos los n´ umeros impares de 4 cifras se encuentra en la posici´on = 2009. As´ı, que el n´ umero de 4 cifras es el n´ umero impar 564 4 141. Luego el n´ umero que estamos buscando es el resultado de 141(2) + 999 = 1281. Por lo tanto el n´ umero 1282 tiene el 1 en la posici´on 2010, el 2 en la posici´on 2011 y el 8 en la posici´on 2012.

5. Tenemos que verificar que todas las posibles sumas dan resultados diferentes, por lo cual el conteo se puede realizar de la siguiente forma. Primero las sumas que s´olo tienen un sumando, las cuales se pueden formar de 5 maneras diferentes. Las de 2 sumandos, las cuales las podemos contar a trav´es de una combinatoria C(5, 2) = 10, las de 3 sumandos que de igual forma ser´an C(5, 3) = 10, las de 4 sumandos que arrojan C(5, 4) = 5 y finalmente la de 5 sumandos, que producen una sola suma. Por lo tanto, se pueden representar 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31 n´ umeros como sumas de los n´ umeros dados.

6. Este tipo de problemas resultan m´as manejables si se desarrollan mediante diagramas de Venn. Si definimos tres conjuntos, cada 98

uno que represente la cantidad de personas que respondieron bien cada pregunta. Como estos conjuntos est´an anidados, debemos completar primero la intersecciones de los tres conjuntos, luego con las intersecciones de dos conjuntos y finalmente la parte de cada conjunto que no se intersecta con nada. Es decir: 2da

1ra 9

9

27 8 11

6 24 3ra

6

Si sumamos los n´ umeros que se encuentran en el diagrama, obtenemos que es 94. Por lo tanto, los 6 restantes corresponden a las personas que no respondieron ninguna pregunta correcta.

7. Supongamos que en el tiempo t, A y B se encuentran. Supongamos que A recorri´o x unidades y B recorri´o y unidades. La velocidad de A es vA = xt y la velocidad de B es vB = yt . Adem´as vA = y4 y vB = x9 , si asumimos velocidades constantes. Entonces: y x = t 9

x y = t 4 Despejando

x y

en la ecuaci´on de la izquierda se tiene que: x t = y 4

y sustituyendo en la ecuaci´on de la izquierda se tiene que: t 9 = 4 t Luego t2 = 36, de donde t = 6. Entonces como se encontraron al medio d´ıa, ellas salieron a las 12 − 6 = 6am.

99

8. N BC = N AC pues estos a´ngulos abren el mismo arco. Notemos que EM es paralelo a BC pues son los puntos medios de un tri´angulo, entonces N BC = N M E. N A

B

1010 100 110 100 110 M10 1010 1010 100 101 01D

E

01 C

P

Por lo tanto, N AC = N M E. Luego N AM E es un cuadril´atero c´ıclico. Por lo tanto AN P = 180◦ − AM E

Notemos que AM E = ADC = 90◦ ya AD es perpendicular a BC. Por lo tanto, AN P = 180◦ − 90◦ = 90◦ . Entonces AP es un di´ametro.

9. Podemos notar que el juego se puede ganar cuando se deja al oponente en la pen´ ultima jugada con 5 fichas sobre la mesa. Si el primer jugador toma en la primera jugada 4 fichas, sobre la mesa quedan 9 fichas, de las cuales el segundo jugador quitar´a 4, dejando as´ı 5 sobre la mesa, con lo que el jugador 2 ganar´a el juego. Si por el contrario el primer jugador toma 3 fichas, quedan 10 fichas sobre la mesa, luego el jugador 2 tiene opci´on de tomar 1, 2, 3 o 4 fichas. Para cada una de estas opciones del jugador 2, el jugador 1 podr´a siempre tomar las fichas necesarias para dejar 5 sobre la mesa y asi ganar el juego. Por lo tanto, al tomar 3 fichas en la primera jugada, el jugador 1 siempre podr´a ganar.

100

10. Como a +

1 2 a

= 3, entonces:

a+

1 √ = 3 a

´o

a+

√ 1 =− 3 a

Si consideramos el primer caso, y lo elevamos al cubo obtenemos que:

3 √ 3 1 a+ = 3 a √ 1 1 1 a3 + 3a2 + 3a 2 + 3 = 33 a a a √ 1 1 a3 + 3a + 3 + 3 = 3 3 a a Si reorganizamos y asociamos convenientemente tenemos que:

√ 1 1 3 a + 3 +3 a+ =3 3 a a Ahora si sustituimos

√ √ 1 3 a + 3 +3 3=3 3 a y despejando obtenemos que: a3 +

1 =0 a3

Si realizamos este mismo procedimiento con el segundo caso tambi´en obtendremos este mismo resultado. Por lo tanto tenemos que: a3 +

101

1 =0 a3

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS ´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO ´ 2012 EXAMEN DE SELECCION 1. Como debemos encontrar el mayor entero tal que: 1 1 1 1 + + > n−1 n n+1 45 Entonces

1 n(n + 1) + (n2 − 1) + n(n − 1) > 2 n(n − 1) 45

Luego 1 n2 + n + n2 − 1 + n2 − n − >0 2 n(n − 1) 45 Entonces

3n2 − 1 1 − >0 2 n(n − 1) 45

Luego 135n2 − 45 − n3 + n >0 45n(n2 − 1) Como el denominador podemos suponerlo positivo, entonces lo que estamos buscando es el mayor valor de n tal que: 135n2 − 45 − n3 + n > 0 Note que este es un polinomio c´ ubico decreciente. Adem´as con n = 135 es claramente positivo, sin embargo, con n = 136 se puede verificar que es negativo. Entonces el valor que estamos buscando es n = 135. Por lo tanto, la respuesta es 134 + 135 + 136 = 405.

2. Como el radio de la semicircunferencia es 10, la longitud del arco AB es 10π. Si unimos los puntos A y B, obtenemos un cono cuya base circular se forma con el arco AB. Luego 10π = 2π · r, as´ı tenemos que el radio de la base circular del cono es r = 5.

102

10π 10 h

A

r

B

Luego de formado el cono, podemos trazar la altura desde el v´ertice hasta la base del cono formando un tri´angulo rect´angulo, cuya base es r, la altura es h y la hipotenusa es 10, ya que coincide con la longitud del radio de la semicircunferencia. Por lo tanto, al hacer uso del teorema de Pit´agoras tenemos que: 102 = r2 + h2 h2 = 100 − 52 h2 = 100 − 25 √ h = 75 √ h=5 3 √ Luego la altura del cono ser´a 5 3.

3. Trazamos las bisectrices de A, B y C y trazamos tambi´en los segmentos EF , BD y DC como se muestra en la figura: A F

α α β

P

E

δ

O δ β

B

γ

β

γ α

C

2β

D

Note que F ECB es c´ıclico, de modo que EF C = β. Tambi´en tenemos que ABDC es c´ıclico y de esto tenemos que ADC = 2β y adem´as BCD = α. Por otro lado tenemos que 2α + 2β + 2γ = 103

180◦ , de donde podemos concluir que α + β + γ = 90◦ . Ahora bien, sea δ = COD, entonces para el tri´angulo DOC, tenemos que: δ + 2β + α + γ = 180◦ , de donde δ + β = 90◦ .

Puesto que COD es opuesto por el v´ertice a AOF , entonces AOF = δ. Por lo tanto en el tri´angulo P F O, al ´angulo OP F debe ser recto. As´ı llegamos a que AD es perpendicular a EF .

4. Como el n´ umero 1a1b1c1d1 es un m´ ultiplo de 33 y 33 = 3 · 11, entonces 1a1b1c1d1 debe ser divisible por 3 y por 11 a la vez. Si el n´ umero es divisible por 3, la suma de sus d´ıgitos debe ser divisible por 3 y si el n´ umero es divisible por 11 la resta de los d´ıgitos en posici´on par con los d´ıgitos de posici´on impar debe ser divisible por 11. Como hay menos divisores de 11 que de 3, analizaremos las posibilidades de los m´ ultiplos de 11. Como la suma de los d´ıgitos en la posici´on impar es 1+1+1+1+1 = 5 y la suma de los d´ıgitos en posici´on par es a + b + c + d = m, entonces m − 5 = 11k, para k = 0, 1, . . . note que 6 ≤ m ≤ 30, de modo que los valores de k que satisfacen esta u ´ltima condici´on son k = 2 y k = 3. As´ı que m = 16 o m = 27. Por otro lado, m + 5 debe ser divisible entre 3, y el u ´nico que satisface esta condici´on es cuando m = 16, por lo tanto, solamente un n´ umero de la forma 1a1b1c1d1 satisface que es m´ ultiplo de 33.

5. Trazamos una tangente desde el punto P a la circunferencia de tal modo que RSP es a´ngulo recto. Sea a el radio de la circunferencia y b la longitud del segmento desde P al punto de tangencia S, tal como se muestra en la figura: 7

R

Q

9

P

13

a

00 11 O

b

a

S

104

Entonces podemos formar dos ecuaciones por medio del teorema de Pit´agoras para los tri´angulos RP S y OP S asi: 162 = (2a)2 + b2 256 = 4a2 + b2

132 = a2 + b2 169 = a2 + b2

Ahora si resolvemos esto restando las dos ecuaciones obtenemos que: 87 = 3a2 As´ı tenemos que a2 = 29, de donde el radio de la circunferencia es √ a = 29.

6. Las primeras potencias de 3 son 1, 3, 9, 27, 81, 243. Estas potencias estar´an en la lista: 6. Podemos hacer C(6, 2) = 15, sumas de dos de estas potencias, C(6, 3) = 20 de 3 de estas potencias, C(6, 4) = 15 de 4 de estas potencias, C(6, 5) = 6 de 5 de estas potencias y C(6, 6) = 1 de 6 de estas potencias. En total tenemos 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63 t´erminos en la sucesi´on. El t´ermino 64 ser´a la siguiente potencia de 3 que es 729. Podemos listar las 36 sumas siguientes en orden ascendente:

729+1 729+3 729+3+1 729+9 729+9+1 729+9+3 729+9+3+1 729+27 729+27+1 729+27+3 729+27+3+1 729+27+9 729+27+9+1

729+27+9+3 729+27+9+3+1 729+81 729+81+1 729+81+3 729+81+3+1 729+81+9 729+81+9+1 729+81+9+3 729+81+9+3+1 729+81+27 729+81+27+1 729+81+27+3 105

729+81+27+3+1 729+81+27+9 729+81+27+9+1 729+81+27+9+3 729+81+27+9+3+1 729+243 729+243+1 729+243+3 729+243+3+1 729+243+9

Por lo tanto, la respuesta que estamos buscando ser´a 729 + 243 + 9 = 981.

Otra forma de realizar este ejercicio de manera mas r´apida es escribiendo el n´ umero 100 en binario, el cual obtenemos que es 1100100. Luego de esto lo podemos interpretar en base 3, de donde tenemos que 36 + 35 32 = 981, el cual es el n´ umero que estabamos buscando.

7. Observamos que por la primera y la segunda propiedad: f (2) = 2 f (4) = f (2 · 2) = f (2)f (2) = 4 f (8) = f (2 · 4) = f (2)f (4) = 8 Es decir si un n´ umero x es potencia de dos, el resultado luego de aplicarle la funci´on ser´a el mismo n´ umero x, gracias a las propiedades (a) y (b).

Mediante la propiedad (c) podemos calcular el valor de f (3). Por un lado tenemos que como 2 < 3, entonces f (2) < f (3) y por otro lado tenemos que como 3 < 4, entonces f (3) < f (4). Luego f (2) < f (3) < f (4), asi que 2 < f (3) < 4 y como el u ´nico n´ umero entero entre 2 y 4 es 3, entonces f (3) = 3. Si continuamos analizando casos siempre obtendremos que f (x) = x, para todo x entero positivo. Por lo tanto, f (2012) = 2012.

106