2a_Fase_2012-2013_Elemental

Examen de 2a fase, Olimpiadas MatemĂĄticas de Puerto Rico 2012-2013 Nivel Elemental: 4to, 5to y 6to grados 1. En el Hotel Salado los cuartos con nĂşmero impar estĂĄn todos del mismo lado del pasillo, empezando con el 1.

El dueùo es muy supersticioso, así que no quiso que ninguno de los cuartos tuviera un número que incluya al dígito 3. Si hay 15 cuartos en ese lado del pasillo, žquÊ número lleva el último cuarto?

In Hotel Salado, rooms with an odd number are all on the same side of the hallway, starting with 1. The owner is very supersticious, and for that reason he did not want any of the room numbers to include the digit 3. If there are 15 rooms on that side of the hallway, what is the number of the last room? (a) 27

(b) 29

(c) 41

(d) 43

(e) 47

En cada decena hay 4 impares que no terminan en 3. Eliminando los que llevan 3 como unidad antes de llegar a 30, hemos enumerado 12 cuartos. Luego continuamos con el 41, 45 y nalmente 47.

SoluciĂłn:

2. Un camino peatonal tiene franjas blancas y negras alternadas, cada una de ellas con 25 cm de ancho. Si el camino comienza y termina con una franja blanca y en total tiene 18 franjas blancas, žcuål es el ancho total del camino?

A pedestrian walkway alternates between white strips and black strips, each 25 cm wide. If the walkway starts and ends with a white stripe and it has a total of 18 white stripes, how wide is the walkway? (a) 6.25 m

(b) 8.75 m

(c) 9.5 m

(d) 10 m

(e) 11.5 m

Como tenemos 18 franjas blancas y entre medio de cada una de ellas tenemos una negra, hay 17 de Êstas. Entonces la longitud de la calle es (18 + 17) ¡ 25 = 35 ¡ 25 = 875 cm.

SoluciĂłn:

3. Considerar todos los nĂşmeros de tres dĂ­gitos tales que la suma de sus dĂ­gitos es 9. La suma del mayor de ellos con el menor de ellos es

Consider all 3-digit numbers such that the sum of their digits is 9. The sum of the largest of them and the smallest of them is (a) 808

(b) 1008

(c) 1016

(d) 1032

(e) 1040

SoluciĂłn:

El nĂşmero mĂĄs pequeĂąo es 108 y el mĂĄs grande es 900 y su suma es 900 + 108 = 1008.

4. El diagrama muestra tres cuadrados. El cuadrado mediano tiene como vÊrtices los puntos medios de los lados del cuadrado grande. El cuadrado pequeùo tiene como vÊrtices los puntos medios de los lados del cuadrado mediano. El årea del cuadrado pequeùo es 4 cm2 . žCuål es la diferencia entre las åreas del cuadrado grande y el cuadrado pequeùo?

The following diagram illustrates three squares. The vertices of the medium square are the midpoints of the sides of the big square. The vertices of the little square are the midpoints of the sides of the medium square. The area of the small square is 4 cm2 . What is the di erence between the area of the big square and the area of the small square? (a) 4 cm2

(b) 6 cm2

(c) 8 cm2

(d) 10 cm2

1

(e) 12 cm2

El ĂĄrea del cuadrado mediano es el doble de la del cuadrado pequeĂąo: 8 cm2 . El ĂĄrea del cuadrado grande es el doble de la del cuadrado mediano: 16 cm2 . AsĂ­ que la diferencia entre el ĂĄrea del cuadrado grande y el cuadrado pequeĂąo es: 16 − 4 = 12 cm2 .

SoluciĂłn:

5. žCuål es el dígito de las unidades de 42012 ?

What is the units digit of 42012 ? (a) 1

(b) 2

(c) 4

(d) 6

(e) 8

Sabemos que: 40 = 1, 41 = 4, 42 = 16, 43 = 64, 44 = 256, ... Se puede observar que el dĂ­gito de las unidades serĂĄ siempre 1, 4 Ăł 6. Sin embargo, el 1 sĂłlo aparece cuando es 40 . Para el resto de las potencias, el orden en que aparecen es: 4, 6, 4, 6, 4, 6, 4, 6, ... El 6 aparece como el dĂ­gito de las unidades cuando la potencia es mĂşltiplo de 2. Como 2012 es mĂşltiplo de 2, el dĂ­gito de las unidades de 22012 es el 6.

SoluciĂłn:

6. La maestra de inglÊs pidió una libreta de 100 hojas. Como tarea, hay que numerar todas las påginas (anverso y reverso de cada hoja). La libreta tiene 4 påginas con låminas, que no se numeran. žCuåntas veces habrå que escribir el número 5?

The English teacher asked for a notebook of 100 sheets. As homework, all pages (the front and back of each sheet) must be numbered. The notebook has 4 pages with pictures,that are not numbered. How many times will the number 5 be written? (a) 19

(b) 20

(c) 38

(d) 39

(e) 40

SoluciĂłn: Cada hoja tiene 2 pĂĄginas. Como la libreta tiene 100 hojas, hay 200 pĂĄginas. De esas, hay 4 que no se numeran; por lo tanto, los nĂşmeros de las pĂĄginas van del 1 al 196. Del 1 al 100 se escribe el 5 veinte veces, en los siguientes nĂşmeros: 5, 15, 25, 35, 45, 65, 75, 85 y 95 (nueve veces) y 50, 51, ... , 59 (11 veces).

De igual manera, el 5 se escribe veinte veces del 101 al 196. El total de veces que se escribe el nĂşmero 5 es 20 + 20 = 40.

7. María tiene bolitas azules, blancas y rojas, muchas de cada color. Le quiere regalar 6 bolitas de 2 colores distintos a su hermanito. žDe cuåntas maneras puede hacerlo?

MarĂ­a has blue, white and red balls, many of each color. She wants to give 6 balls of two di erent colors to her brother. In how many ways can she do this? (a) 6

(b) 8

SoluciĂłn:

(c) 10

(d) 15

(e) 30

Hay 3 formas de elegir 2 colores de bolitas: azul azul blanco

-

blanco rojo rojo

Una vez elegido el color, puede regalar bolitas de 5 modos distintos: 2

1 bolita de un color y 5 del otro 2 bolitas de un color y 4 del otro 3 bolitas de un color y 3 del otro 4 bolitas de un color y 2 del otro 5 bolitas de un color y 1 del otro En total hay 3 Ă— 5 = 15 maneras de hacerlo.

8. Con una botella de refresco se llenan 6 vasos. DespuÊs de la esta quedaron 15 botellas vacías y 5 botellas por la mitad. žCuåntos vasos se habían llenado en la esta?

A soda bottle lls 6 glasses. After the party there were 15 empty bottles and 5 half-full bottles. How many glasses were lled at the party? (a) 90

(b) 95

(c) 100

(e) No hay su ciente informaciĂłn. Not enough information.

(d) 105

Solución: Con la botella totalmente llena de refresco llenamos 6 vasos, por lo tanto, con media botella de refresco se llenarå 3 vasos. Sí quedaron 15 botellas vacias, entonces se llenaron 15 ¡ 6 = 90 vasos. Y como quedaron 5 botellas a mitad, entonces se llenaron 5 ¡ 3 = 15 vasos mås. Por lo tanto, se llenaron 90 + 15 = 105 vasos de refresco.

9. žCuåntos números primos de dos cifras cumplen que la suma de sus dígitos es 13?

How many two-digit prime numbers have the sum of their digits equal to 13? (a) 0

(b) 1

(c) 2

(d) 4

(e) 6

SoluciĂłn:

Los nĂşmeros que satisfacen la condiciĂłn que la suma de sus dĂ­gitos sea 13 son 94, 49, 85, 58, 76 y

2012Ă—2.012 201.2Ă—20.12

=

67. De estos, el Ăşnico primo es el 67.

10.

(a) 0.01 SoluciĂłn:

(b) 0.1 Note que

(c) 1

(d) 10

(e) 100

2012 Ă— 2012 2012 Ă— 2.012 1000 = 1. = 2012 2012 201.2 Ă— 20.12 Ă— 10 100

11. Si en cada cuadrito de la expresiĂłn se escribe uno de los sĂ­mbolos + Ăł −, žcĂłmo podemos obtener que el resultado de la expresiĂłn sea 100?

If in each little square of the expression one of the symbols + or − is written, how can we get a result of 100 from the expression?

9 15 57 77 96

Si restaramos el 96, necesitarĂ­amos que antes de llegar a este nĂşmero llevaramos 196, lo cual no es posible por que si sumamos: 9 + 15 + 57 + 77 = 156. AsĂ­ que necesitamos que el 96 sea sumado. Si eliminamos el 9 y el 96, el resultado restante debe ser −5. Si restaramos el 15, deberĂ­amos obtener 10 sumando o restando 57 y 77, lo cuĂĄl no es posible. AsĂ­ que debemos sumar el 15 y ahora debemos obtener −20 con 57 y 77, asĂ­ que restamos 77 y sumamos 57: SoluciĂłn:

9 + 15 + 57 − 77 + 96 = 100.

12. Al sumar el nĂşmero de 4 dĂ­gitos ABCD mĂĄs el nĂşmero de 3 dĂ­gitos BCD mĂĄs el nĂşmero de 2 dĂ­gitos CD mĂĄs el nĂşmero de 1 dĂ­gito D, el resultado es 2000. Hallar el nĂşmero ABCD si cada letra representa un dĂ­gito diferente.

By adding the 4-digit number ABCD plus the 3-digit number BCD plus the 2-digit number CD plus the 1-digit number D, the result is 2000. Find the number ABCD if each letter represents a di erent digit.

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Como ABCD + BCD + CD + D = 2000, entonces D + D + D + D termina en 0, luego D = 0 ó D = 5. Si D = 0 entonces como C + C + C termina también en 0, tendríamos que C = D y esto no es posible.

Luego D = 5. Entonces C + C + C + 2 termina en 0, luego C = 6. Sumando obtenemos que B + B + 2 termina en 0 lo que implica que B = 4 ó B = 9. Si B = 9 entonces al sumar se llevarían 2 a las unidades de mil y entonces A sería 0 y esto no es posible porque ABCD es un número de cuatro cifras. Entonces B = 4 y así A = 1. El número es 1465.

Solución:

1465 465 65 5 2000 13. Un número capicúa es uno que se escribe igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda, como por ejemplo el 282. ¾Cuántos números capicúas de tres dígitos hay?

A palindrome number is one that is written the same way from left to right or from right to left, such as 282. How many three-digit palindrome numbers are there?

Un número capicúa de tres dígitos se escribe de la forma aba, donde a ocupa la posición del primer y tercer dígitos, que tienen que ser iguales. Hay nueve posibilidades para el primer dígito, que tiene que ser del 1 al 9; el 0 no es posible pues no sería un número de tres dígitos. Hay diez posibilidades para el segundo dígito (el valor de b), pues el 0 sí es posible en este lugar y también podría repetirse el dígito de la primera posición (un número como 333 es capicúa). Para la última posición hay solamente una posibilidad, pues tiene que ser idéntico al primero. Por el Principio de Conteo hay 9 · 10 · 1 = 90 posibilidades.

Solución:

14. En la clase de matemáticas hay la misma cantidad de niños y niñas. Sin embargo, el día de hoy faltaron 9 niñas y 4 niños, y resultó que la tercera parte de los asistentes eran niñas. ¾Cuántas niñas vinieron hoy a clase?

In the math class there are the same number of boys and girls. However, today 9 girls and 4 boys were not present, and it turned out that a third of the attending students were girls. How many girls were in class today?

Hoy tenemos una tercera parte de los presentes son niñas, mientras que dos terceras partes son niños, es decir, hay dos veces más niños que niñas. Como también sabemos que hoy vinieron 9 − 4 = 5 niños más que niñas, hoy asistieron 5 niñas.

Solución:

15. En la gura ABE es un triángulo equilátero, BC = CD = DE y BE = CE . El perímetro del triángulo BCE es 28cm. El perímetro del triángulo CDE es 26cm. ¾Cuál es el perímetro del polígono ABCDEA?

in the picture is an equilateral triangle, BC = CD = DE and BE = CE . The perimeter of the triangle BCE is 28cm. The perimeter of the triangle CDE is 26cm. Find the perimeter of the polygon ABCDEA. ABE

D E

C

A B

4

Solución: Si denotamos CD = a y AB = b, y como el perímetro del triángulo BCE es 28cm, entonces b + b + a = 28 y como el perímetro del triángulo CDE es 26cm, entonces a + a + b = 26. Luego tenemos que:

2a + b = 26

a + 2b = 28

Si despejamos a de la segunda ecuación, entonces: a = 28 − 2b

Y reemplazando en la primera ecuación obtenemos que: 2(28 − 2b) + b = 26

56 − 26 = 3b

por lo tanto b = 10 y a = 8. Note que el perímetro de ABCDEA es: b + a + a + a + b = 3a + 2b

Por lo tanto el perímetro es 44.

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