Academia Sabatina Nivel Elemental Marzo 17 de 2012
Soluci´on de problemas 1. Encuentra el valor de la suma: 12 + 14 + 16 + · · · + 1100 2. Al detective le han enviado un mensaje con la clave para abrir la caja fuerte donde se encuentran los documentos secretos. El mensaje dice lo siguiente: “La clave es el menor n´umero que se puede dividir exactamente por todos los n´umeros del 1 al 9” Explica c´omo obtendr´ıas el n´umero de la clave que tendr´ıa que utilizar el detective. 3. ¿Cu´antos cuadrados tiene la siguiente figura?
4. Un agricultor lleva melones en el maletero de su coche. Encuentra a tres amigos y les da, al primero, la mitad de los melones m´as dos; al segundo, la mitad de los que le quedan m´as dos y, al tercero, la mitad de los sobrantes m´as dos. A´un sobr´o un mel´on. ¿Cu´antos llevaba al principio? 1
5. Dos n´umeros suman 80 y su m´aximo com´un divisor es 20. ¿Cu´ales son estos n´umeros? 6. Se tiene la siguiente figura formada por fosforos del mismo tama˜no.¿Cu´al es el n´umero m´ınimo de fosforos que se deben retirar para que solo queden 5 cuadrados?
7. Si ABCD es un rect´angulo de a´ rea 12 u2 . ¿Cu´antas unidades cuadradas contiene el a´ rea del cuadrilatero EFBA? C
E
F
A
D
B
8. Cu´ales son los siguientes valores de la sucesi´on? 9, 91, 18, 82, 27, 73, 36, 64, 45, 55, . . . 9. Se define la operaci´on ⋆, de la siguiente manera: a⋆b= Encuentra el valor de
3⋆5 5⋆3 2
a+b a−b
10. Cada letra diferente, equivale a un d´ıgito diferente. Encuentra el valor de cada letra.
H H H H A
E E E E H
11. ABCD es un cuadrado que contiene cuadrados congruentes de a´ rea 4 u2 cada uno. Encuentre el a´ rea del tri´angulo ACE.
B
C
A
E
D
12. Un Caracol se encuentra dentro de un estanque vacio de 8 m de pro´ desea salir del estanque, donde en el d´ıa sube 2 m y en la fundidad . El noche mientras descansa se resbala 1 m. ¿Cu´antos d´ıas necesita para salir del estanque? 13. Escribe los n´umeros del 0 al 10 utilizando unicamente 4 n´umeros cuatro, y las operaciones basicas (suma, resta, multiplicaci´on y divisi´on). Observa el ejemplo: 4×4 2= 4+4 14. ¿Cu´al es el mayor n´umero natural, formado por d´ıgitos distintos, tal que al multiplicar sus d´ıgitos se obtiene como resultado 40? 3
15. Para llegar a su colegio, un alumno debe dar 128 pasos, ¿Cu´antos minutos demorar´a en llegar, si da dos pasos en la cuarta parte de medio minuto? 16. En una habitaci´on hay 11 pelotas amarillas, 13 azules y 17 verdes. Si se le pide a un ciego sacar las pelotas, ¿cu´al es el m´ınimo n´umero de pelotas que debe extraer para que obtenga con total seguridad 11 pelotas del mismo color? 17. Si tres secretarias digitan 200 cartas en 4 horas, ¿cu´antas horas se tardar´an 6 secretarias en digitar las mismas 200 cartas? 18. Coloca los n´umeros del 1 al 9 en un cuadro 3×3 de tal manera que cada fila, columna y diagonal sumen igual. ¿Cu´al es el valor de la suma? 19. El amigo Pedro tiene doce monedas, pero sabe que una de ellas es falsa, esto es, que tiene un peso mayor que el peso de cada una de las restantes. Le dicen que use una balanza. ¿Cu´al es el n´umero m´ınimo de pesadas que debe hacer Pedro para encontrar la moneda falsa? ´ 20. CONVERSACIONES ENTRE MATEMATICOS: Hardy.- Me ha tra´ıdo hasta aqu´ı un taxi con un n´umero de matr´ıcula muy aburrido. Ramanujan.- ¿Y qu´e n´umero era ese? Hardy.- El 1729. Ramanujan.- Pero Hardy, amigo m´ıo, ¿c´omo puedes decir que el 1729 es un n´umero aburrido si es el menor n´umero que se puede escribir de dos maneras diferentes como suma de dos cubos? ¿Cu´ales son esas dos maneras de las que hablaba Ramanujan? Universidad de Puerto Rico Recinto de Mayag¨uez Jairo A. Ayala Godoy
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Olimpiadas Matemáticas de Puerto Rico Academia Sabatina - Aprendamos a Contar César A. Barreto González Marzo 17 de 2012
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② ② ②
❙✐ (❡ ✉(❛♥ ❧♦( 0+❡( ❡❧❡♠❡♥0♦( ✉♥❛ (♦❧❛ ✈❡③✳ ❙✐ 9♥✐❝❛♠❡♥0❡ (❡ ✉(❛♥ ❞♦( ❡❧❡♠❡♥0♦( ② ❝❛❞❛ ✉♥♦ (❡ ✉(❛ ✉♥❛ (♦❧❛ ✈❡③✳ ❙✐ (❡ ✉(❛♥ ❞♦( ❡❧❡♠❡♥0♦( ② (❡ ♣❡+♠✐0❡♥ +❡♣❡0✐❝✐♦♥❡(✳
Contando Listas de Números Ejemplo 2: ❉❡0❡+♠✐♥❛ ❝✉/♥0♦( ♥9♠❡+♦( ❤❛② ❡♥ ❧❛ ❧✐(0❛
② ② ②
1, 2, 3, 4, . . . , 82, 83 8, 9, 10, . . . , 71, 72 3, 6, 9, 12, . . . , 123, 126, 129
Ejercicios:
✶✳ ➽❈✉/♥0♦( ♥9♠❡+♦( ❤❛② ❡♥ ❧❛ ❧✐(0❛ 18, 19, 20, . . . , 69❄ ✷✳ ➽❈✉/♥0♦( ♠9❧0✐♣❧♦( ❞❡ ✼ (❡ ❡♥❝✉❡♥0+❛♥ ❡♥0+❡ ❡❧ ✷✾ ② ❡❧ ✶✷✹❄ ✸✳ ➽❈✉/♥0♦( ♥9♠❡+♦( ❞❡ 0+❡( ❝✐❢+❛( (♦♥ ❝✉❛❞+❛❞♦( ♣❡+❢❡❝0♦(❄ ✹✳ ➽❈✉/♥0♦( ♥9♠❡+♦( ❤❛② ❡♥ ❧❛ ❧✐(0❛ −31, −26, −21, . . . , 60, 65❄ ✺✳ ➽❈✉/♥0♦( ♠9❧0✐♣❧♦( ♣♦(✐0✐✈♦( ❞❡ ✸ ❤❛② )✉❡ (❡❛♥ ♠❡♥♦+❡( ❛ ✷✵✶✷❄ ✻✳ ➽❈✉/♥0♦( ❝✉❜♦( ♣❡+❢❡❝0♦( ❞❡ ✹ ❞H❣✐0♦( ❡①✐(0❡♥❄ ✼✳ ➽❈✉/♥0♦( ♠9❧0✐♣❧♦( ❞❡ ✹ ❤❛② ❡♥0+❡ ✻✸ ② ✷✶✽❄ ✽✳ ➽❈✉/♥0♦( ♥9♠❡+♦( ❞❡ ❞♦( ❞H❣✐0♦( (❡ ♣✉❡❞❡♥ ❢♦+♠❛+ )✉❡ (❡❛♥ ♠9❧0✐♣❧♦( ❞❡ ✸❄ ✾✳ ➽❈✉/♥0♦( ♥9♠❡+♦( ❞✐✈✐(✐❜❧❡( ❡♥0+❡ ✹ ❤❛② ❡♥0+❡ ✷✽ ② ✶✹✸❄
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Principio de Multiplicación ❙✉♣♦♥❣❛♠♦( )✉❡ +❡♥❡♠♦( )✉❡ ,❡❛❧✐③❛, ✉♥❛ +❛,❡❛ )✉❡ (❡ ♣✉❡❞❡ ❤❛❝❡, ❡♥ m ❡+❛♣❛(✳ ❙✐ ❡①✐(+❡♥ n1 ♣♦(✐❜✐❧✐❞❛❞❡( ♣❛,❛ ,❡❛❧✐③❛, ❧❛ ♣,✐♠❡,❛ ❡+❛♣❛ ② n2 ♣♦(✐❜✐❧✐❞❛❞❡( ♣❛,❛ ,❡❛❧✐③❛, ❧❛ (❡❣✉♥❞❛ ❡+❛♣❛ ② ❛(✐ (✉(❝❡(✐✈❛♠❡♥+❡✱ ❡♥+♦♥❝❡(✱ ❧❛ +❛,❡❛ ❝♦♠♣❧❡+❛ (❡ ♣✉❡❞❡ ,❡❛❧✐③❛, ❡♥ n1 × n2 , . . . , ×nm ❢♦,♠❛(✳ Ejemplo 3: ➽❈✉<♥+♦( ,❡(✉❧+❛❞♦( ❞✐(+✐♥+♦( ♣♦❞❡♠♦( ♦❜+❡♥❡, ❛❧ ❧❛♥③❛, ❝✉❛+,♦ ❞❛❞♦( ❞❡ ✻ ❝❛,❛( ❝❛❞❛ ✉♥♦❄ Ejemplo 4: ➽❈✉<♥+♦( ♥?♠❡,♦( ❞❡ +,❡( ❞@❣✐+♦( (♦♥ ♠?❧+✐♣❧♦( ❞❡ ✷❄ Ejercicios:
✶✳ ➽❈✉<♥+♦( ♠?❧+✐♣❧♦( ❞❡ ✺ ② ❞❡ ✷ (❡ ♣✉❡❞❡♥ ❢♦,♠❛, ❝♦♥ ❧♦( ❞@❣✐+♦( 2, 5, 6, 7, 8 ② 0✱ )✉❡ (❡❛♥ ♠❡♥♦,❡( )✉❡ ✷✵✶✷❄ ✷✳ ❊❧ ❞✐,❡❝+♦, ❞❡ ❖▼H❘ ❞❡(❡❛ ❝♦♥❢♦,♠❛, ✉♥ ❝♦♠✐+J ❞❡ ❡✈❡♥+♦( ❝♦♥ ✺✺ ❡(+✉❞✐❛♥+❡( ❞❡ ♥✐✈❡❧ ❡❧❡♠❡♥+❛❧✱ (✐ ❡❧ ❝♦♠✐+J ❝♦♥(+❛ ❞❡ ✉♥ ♣,❡(✐❞❡♥+❡ ② ✉♥ (❡❝,❡+❛,✐♦✱ ➽❈✉<♥+♦( ❝♦♠✐+J( ❞✐❢❡,❡♥+❡( ♣✉❡❞♦ ❢♦,♠❛, (✐ ❝❛❞❛ ♣✉❡(+♦ ❧♦ ❞❡❜❡ ✉❜✐❝❛, ✉♥❛ ♣❡,(♦♥❛ ❞✐❢❡,❡♥+❡❄ ✸✳ ➽❈✉<♥+♦( ♥?♠❡,♦( ❞❡ +,❡( ❞@❣✐+♦( (♦♥ ♠?❧+✐♣❧♦( ❞❡ ✺❄ ✹✳ ➽❈✉<♥+♦( ♥?♠❡,♦( ❞❡ ✸ ❞@❣✐+♦( (❡ ♣✉❡❞❡♥ ❢♦,♠❛, ❝♦♥ ❧♦( ♥?♠❡,♦( 0, 2, 5 ② 7 )✉❡ (❡❛♥ ♠❡♥♦,❡( )✉❡ ✺✼✵✱ (✐ (❡ ♣✉❡❞❡♥ ,❡♣❡+✐, ❧♦( ❞@❣✐+♦(❄ ✺✳ ❙✐ ♣❛,❛ ✈✐❛❥❛, ❞❡ ❙❛♥ ❏✉❛♥ ❛ H♦♥❝❡ ❡①✐(+❡♥ +,❡( ♣♦(✐❜❧❡( ,✉+❛(✱ ♣❛,❛ ✐, ❞❡ H♦♥❝❡ ❛ ❙❛♥ ●❡,♠<♥ ❤❛② ❞♦( ,✉+❛( ② ♣❛,❛ ✐, ❞❡ ❙❛♥ ●❡,♠<♥ ❛ ▼❛②❛❣Q❡③ ❤❛② ❝✉❛+,♦ ,✉+❛(✳ ❉✐❛♥❛ ② (✉ ♠❛❞,❡ ❞❡❜❡♥ ✐, ❛ ✉♥❛ ❛❝❛❞❡♠✐❛ (❛❜❛+✐♥❛ ❞❡ ❖▼H❘ ❡♥ ❧❛ ❝✐✉❞❛❞ ❞❡ ▼❛②❛❣Q❡③✱ ➽❝✉<♥+❛( ♣♦(✐❜❧❡( ,✉+❛( ♣✉❡❞❡ +♦♠❛, ❧❛ ♠❛❞,❡ ❞❡ ❉✐❛♥❛ (✐ ❡❧❧❛ ♣❛,+❡ ❞❡ ❙❛♥ ❏✉❛♥❄ ✻✳ ❙❡ (❛❜❡ )✉❡ ❡❧ +❡(♦,♦ ❞❡❧ ♣✐,❛+❛ ▼♦,❣❛♥ ♣♦(❡❡ ✉♥❛ ❝❧❛✈❡ ❞❡ ❝✉❛+,♦ ❝❛,❛❝+❡,❡(✳ ▲♦( ✐♥✈❡(+✐❣❛❞♦,❡( ❡♥❝♦♥+,❛,♦♥ ❡♥ ✉♥♦( ♣❛♣✐,♦( )✉❡ (✐❡♠♣,❡ ❡♥ ❧❛( ❝❧❛✈❡( ❞❡ (✉( +❡(♦,♦( ❧♦( ❞♦( ♣,✐♠❡,♦( ❝❛,❛❝+❡,❡( ❞❡❜❡♥ (❡, ❞@❣✐+♦( ♥✉♠J,✐❝♦( ② ❡❧ ❝✉❛,+♦ ❝❛,❛❝+❡, ❡( ✉♥❛ ❞❡ ❧❛( ❧❡+,❛( ❞❡ (✉ ❛♣❡❧❧✐❞♦✳ ❙✐ +❡♥❡♠♦( )✉❡ ❡♥ ❡❧ ❛❧❢❛❜❡+♦ ❤❛② ✷✻ ❧❡+,❛( ② ❡♥ ✉♥ ♠❛♣❛ (❡ ❡♥❝♦♥+,T )✉❡ ❡❧ +❡,❝❡, ❝❛,❛❝+❡, (✐❡♠♣,❡ ❡( ✉♥❛ ❧❡+,❛ ➽❝✉<♥+❛( ♣♦(✐❜❧❡( ❝❧❛✈❡( ♣✉❞♦ ❢♦,♠❛, ❡❧ ♣✐,❛+❛ ▼♦,❣❛♥ ♣❛,❛ (✉( +❡(♦,♦(❄ ✼✳ ❊♥ ✉♥❛ ✐(❧❛ ❞❡ ✉♥ ♣❧❛♥❡+❛ ♠✉② ♠✉② ❧❡❥❛♥♦ ❡❧ ❛❧❢❛❜❡+♦ ❝♦♥+✐❡♥❡ ✉♥✐❝❛♠❡♥+❡ ✺ ❧❡+,❛(✱ ❧❛( ❝✉❛❧❡( ❧❛( ❧♦❣,❛♠♦( +,❛❞✉❝✐, ② (♦♥ A✱ I✱ L✱ S ② T✳ ❚♦❞♦( ❧♦( ♥♦♠❜,❡( ❞❡ ❧♦( ❤❛❜✐+❛♥+❡( ❞❡ ❧❛ ✐(❧❛ +✐❡♥❡♥ ✻ ❧❡+,❛(✱ ❡♠♣❡③❛♥❞♦ ② +❡,♠✐♥❛♥❞♦ ❝♦♥ ❝♦♥(♦♥❛♥+❡( ② ❞❡❜❡ ❝♦♥+❡♥❡, ❞♦( ✈♦❝❛❧❡( ❧❛( ❝✉❛❧❡( ♥♦ ♣✉❡❞❡♥ (❡, ❝♦♥(❡❣✉+✐✈❛(✱ ♣♦, ?❧+✐♠♦ +✐❡♥❡ ❧❛ ❝❛,❛❝+❡,✐(+✐❝❛ )✉❡ ❧❛( ❝♦♥(♦♥❛♥+❡( )✉❡ ❡(+<♥ ❝♦♥(❡❝✉+✐✈❛( ❞❡❜❡♥ (❡, ❞✐❢❡,❡♥+❡(✳ ❙❡ ,❡❛❧✐③❛,T♥ ❛❧❣✉♥❛( +,❛❞✉❝❝✐♦♥❡( ❞❡ ♥♦♠❜,❡( ② ❡♥ ❧❛ ❧✐(+❛ (❡ ❡♥❝♦♥+,❛,♦♥ ❛❧❣✉♥♦( ❡❥❡♠♣❧♦(❀ LALALS, SISALT ② TSITIL✳ ➽❈✉❛♥+♦( ♣♦(✐❜❧❡( ♥♦♠❜,❡( ♣✉❡❞❡♥ ❝♦♥(+,✉✐, ❧♦( ❤❛❜✐+❛♥+❡( ❞❡ ❧❛ ✐(❧❛❄
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Academia sabatina - Nivel I OMPR - UPRM ´ rez Angy Carelly Coronel Sua Marzo 17 de 2012 1. [HERMANOS CON HERMANAS]. Tres amigas, Irene, Sandra y Erika, tienen un hermano cada una. Con el tiempo cada chica acaba saliendo con el hermano de una de sus amigas. Un d´ıa Irene se encuentra con el hermano de Sandra y le dice: Mira, ah´ı veo entrar al cine a alguien con tu pareja. ¿Puedes decir c´omo est´an formadas las parejas?
2. [EQUIPOS]. Antonio, Enrique, Luisa, Pedro, Diego, Mar´ıa y Bernardo son amigos y forman la plantilla de un equipo de baloncesto. Para formar un equipo, el entrenador ha de elegir 5 jugadores de la plantilla. ¿Cu´antos equipos distintos podr´a formar si incluye a las dos chicas? ¿Y si incluye solamente a una chica? ¿Y si no incluye a ninguna?
´ 3. [CUADRADO-TRIANGULO]. El segmento AB mide 21 cm de longitud. El punto P se coloca de forma que el cuadrado y el tri´angulo equil´atero tengan el mismo per´ımetro. ¿Cu´anto mide el segmento AP ? ¿Cu´al ser´a el per´ımetro de ambas figuras? A
P
B
1
4. [NARANJAS]. El precio de las naranjas con relaci´on al n´ umero de kilogramos adquiridos viene representado por la gr´afica: $ 20 15 10 5
1
2
3
4
Kg
¿Cu´anto costar´an 3.5 Kg de naranjas? Con $7.5 ¿cu´antos kilogramos de naranjas podr´e adquirir?
5. [BANQUERO]. El banquero ha dejado olvidado el c´odigo de la caja fuerte dentro de ´esta. Afortunadamente recuerda que dicho c´odigo consta de nueve cifras significativas distintas, todas excepto el cero. Adem´as, sabe que, a partir de la izquierda: El n´ umero formado por la primera y la segunda cifras es m´ ultiplo de 2. El n´ umero formado por la segunda y tercera cifras es m´ ultiplo de 3. El n´ umero formado por la tercera y cuarta cifras es m´ ultiplo de 4 . . . y as´ı sucesivamente, hasta El n´ umero formado por la octava y novena cifras es m´ ultiplo de 9. Con estos datos encuentra dos posibilidades. ¿Cu´ales son?
´ 6. [AREA]. Calcular el ´area de la parte sombreada, teniendo en cuenta que las dos curvas son cuartos de circunferencia.
8 cm
8 cm
2
7. [CABRAS]. Antonio tiene dos cabras en un prado rectangular de 40 m por 30 m. Cada cabra est´a atada con una cuerda, una en A y la otra en B (AB es el largo del campo). Antonio no sabe si dar 20 m de cuerda a cada cabra o mejor 30 m a una y 10 m a la otra. ¿En cu´al de los dos casos la superficie de la hierba comida ser´a mayor?
8. [LA MAYOR TOCA EL PIANO]. Daniel y Arturo, dos viejos amigos, vuelven a encontrarse en la calle al cabo de algunos a˜ nos. Despu´es de saludarse, Daniel pregunta: ¿Cu´ antos hijos tienes? Arturo: Tres hijos Daniel: ¿Qu´e edades tienen? Arturo: T´ u mismo lo vas a averiguar. El producto de sus edades es 36. Daniel, despu´es de pensar alg´ un tiempo, le dice a Arturo que necesita m´as datos. Arturo: En efecto, la suma de sus edades es igual al n´ umero de la casa que tenemos enfrente Daniel mira el n´ umero de la casa que le indica Arturo y, qued´andose pensativo durante un par de minutos, dice: ¡No es posible! Con lo que me has dicho no puedo conocer las edades de tus hijos. Me falta un dato m´ as. Arturo: Perdona, Daniel, olvid´e decirte que mi hija mayor toca el piano. Daniel: En ese caso, ya s´e sus edades. ¿Qu´e edades tienen los hijos de Arturo?
9. ACERTIJOS a) Dos damas llegan a buscar hospedaje en un hotel. El administrador les dice, disculpen, pero s´olo tengo una habitaci´on disponible. ¿Qu´e hora era? b) Si en una carrera te le adelantas al segundo, ¿qu´e puesto ocupas? c) Un barco dispone de una escalera colgante por fuera de ´el, la separaci´on entre los barrotes de la escalera es de 40cm. Si por la noche debido a la marea el nivel del agua aumenta 20cm por hora, ¿cuanto tiempo demora el agua en cubrir dos barrotes de la escalera? d ) Se tiene una balanza y 13 bolas del mismo color y tama˜ no indistinguibles entre si, pero hay una de ellas que tiene peso distinto. ¿C´omo encontrar dicha bola con el menor n´ umero de pesadas? e) Se tienen dos relojes de arena uno de ellos mide exactamente 5 minutos y el otro mide 8 minutos. ¿C´omo utilizar ambos para medir 11 minutos?
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Academia Sabatina Nivel Intermedia Marzo 17 de 2012
Nivel INTERMEDIO
Olimpiadas Matemáticas de Puerto Rico
Academia Sabatina OMPR Prof. Yuri Rojas Marzo 17 de 2012
1) ¿Cuál de los siguientes tiene el valor más grande? Which of the following has the largest value? (A) 20111
(B) 12011
(C) 1 x 2011
(D) 1 + 2011
(E) 1 ÷ 2011
2) Un cruce peatonal tiene franjas blancas y negras alternadas, cada una con ancho 50 cm. En una carretera el cruce comienza y termina con una franja blanca. El cruce tiene 8 franjas blancas. ¿Cuál es el ancho total del cruce? A zebra crossing has alternating white and black stripes, each of width 50 cm. On a road the crossing starts and ends with a white stripe. The crossing has 8 white stripes. What is the total width of the crossing? (A) 7 m
(B) 7.5 m
(C) 8 m
(D) 8.5 m
(E) 9 m
3) Mi calculadora divide en lugar de multiplicar y resta en lugar de sumar. Yo escribo (12 x 3) + (4 x 2). ¿Qué muestra la calculadora? My calculator divides instead of multiplying and subtracts instead of adding. I type (12 x 3)+(4 x 2). What does the calculator show? (A) 2
(B) 6
(C) 12
(D) 28
(E) 38
4) Mi reloj digital acaba de cambiar para mostrar 20:11 como la hora. ¿Cuántos minutos más tarde va a mostrar una hora con los dígitos 0, 1, 1, 2 en algún orden? My digital watch has just changed to show the time 20:11. How many minutes later will it next show a time with the digits 0, 1, 1, 2 in some order? (A) 40
(B) 45
(C) 50
(D) 55
(E) 60
5) En mi calle hay 17 casas. Yo vivo en la última casa del lado par, en el número 12. Mi primo vive en la última casa del lado impar. ¿Cuál es el número de su casa? In my street there are 17 houses. I live in the last house on the even side, in number 12. My cousin lives in the last house on the odd side. What number is his home’s number? (A) 5
(B) 7
(C) 13
(D) 17
(E) 21
6) Félix el Gato cogió 12 peces en 3 días. Cada día luego del primero cogió más peces que el día anterior. El tercer día cogió menos peces que los primeros dos días juntos. ¿Cuántos peces Félix cogió el tercer día? Felix the Cat, caught 12 fish in 3 days. Each day after the first he caught more fish than the previous day. On the third day he caught fewer fish than the first two days together. How many fish did Felix catch on the third day? (A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) 9
7) De todos los números de 3 dígitos la suma de cuyos dígitos es igual a 8, se escogen el mayor y el menor. ¿Cuál es su suma? From all 3-digit numbers with sum of digits equal to 8, the largest and the smallest are chosen. What is their sum? (A) 707
(B) 907
(C) 916
(D) 1000
1
(E) 1001
Olimpiadas Matemáticas de Puerto Rico
Nivel INTERMEDIO
8) El dibujo muestra una figura en forma de L hecha de cuatro cuadraditos. Un cuadradito adicional se va a añadir para formar una figura con una línea de simetría. ¿De cuántas maneras esto se puede hacer? The picture shows an L-shape made from four small squares. An extra small square is to be added to form a shape with a line of symmetry. In how many ways can this be done?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 5
(E) 6
9) Cada región de la figura tiene que ser coloreada con uno de cuatro colores: rojo (R), verde (G), azul (B), amarillo (Y). Cualesquiera dos regiones que se toquen deben tener colores diferentes. Por lo tanto, el color de la región X es Each region in the diagram has to be colored with one of four colors: red (R), green (G), blue (B), yellow (Y). Any two regions that touch must have different colors. Then the color of the region X is
(A) rojo red
(B) azul blue
(C) verde green
(D) amarillo yellow
(E)Imposible determinar. Not possible to determine.
10) Lali dibuja un segmento de línea DE de longitud 2 en un pedazo de papel. ¿Cuántos puntos F diferentes puede ella dibujar en el papel de manera que el triángulo DEF es rectángulo y tiene área 1? Lali draws a line segment DE of length 2 on a piece of paper. How many different points F can she draw on the paper so that the triangle DEF is right-angled and has area 1? (A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 8
(E) 10
11) El número positivo a es menor que 1, y el número b es mayor que 1. ¿Cuál de los siguientes números tiene el valor más grande? The positive number a is less than 1, and the number b is greater than 1. Which of the following numbers has the largest value? (A) a · b
(B) a + b
(C) a : b
(D) b
(E) La respuesta depende de a y b. The answer depends on a and b.
12) Cada uno de los tres zorzales, Isaac, Max y Oscar, encontró un nido propio. Isaac dice: “Yo estoy más del doble de lejos de Max que de Oscar”. Max dice: “Yo estoy más del doble de lejos de Oscar que de Isaac”. Oscar dice: “Yo estoy más del doble de lejos de Max que de Isaac”. Por lo menos dos de ellos están diciendo la verdad. ¿Quién está mintiendo? Each of the three blackbirds, Isaac, Max and Oscar, found a nest of their own. Isaac says: ”I’m more than twice as far away from Max as I am from Oscar”. Max says: ”I’m more than twice as far away from Oscar as I am from Isaac”. Oscar says: “I’m more than twice as far away from Max as I am from Isaac”. At least two of them are telling the truth. Which one is lying? (A) Isaac
(B) Max
(C) Oscar
(D) Ninguno. None of them. 2
(E) Imposible decir. Impossible to tell.
Olimpiadas Matemáticas de Puerto Rico
Nivel INTERMEDIO
13) Dibujo un cuadrado con lado 3 cm dentro de un cuadrado con lado 7 cm. Luego dibujo otro cuadrado con lado 5 cm que interseca los primeros dos cuadrados. ¿Cuál es la diferencia entre las áreas de la parte negra y la parte gris? I draw a square with side 3 cm inside a square with side 7 cm. Then I draw another square with side 5 cm which intersects the first two squares. What is the difference between the areas of the black part and the grey part?
(A) 0 cm2
(B) 10 cm2
(C) 11 cm2
(D) 15 cm2
(E) Imposible determinarlo Impossible to determine
14) El área del rectángulo es 13 cm2. A y B son los puntos medios de los lados del trapezoide. ¿Cuál es el área del trapezoide? The rectangle has an area 13 cm2. A and B are the midpoints of the sides of the trapezoid. What is the area of the trapezoid?
(A) 24
(B) 25
(C) 26
(D) 27
(E) 28
15) Nos dan tres puntos para formar un triángulo. Queremos añadir un punto para hacer un paralelogramo. ¿Cuántas posibilidades hay para el cuarto punto? We are given three points that form a triangle. We want to add one point to make a parallelogram. How many possibilities are there for the fourth point? (A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) Depende del triángulo inicial. It depends on the initial triangle.
16) Hay cuatro triángulos rectángulos idénticos dentro del rectángulo, según se muestra en la figura. Halle el área total de todos los cuatro triángulos. There are four identical right-angle triangles inside the rectangle, as shown in the picture. Find the total area of all the four triangles.
(A) 46 cm
2
(B) 52 cm
2
(C) 54 cm
2
(D) 56 cm
2
(E) 64 cm
2
17) Yo quiero dibujar cuatro círculos en la pizarra de tal manera que cualesquiera dos de ellos tengan exactamente un punto en común. ¿Cuál es la mayor cantidad de puntos que pueden pertenecer a más de un círculo? I want to draw four circles on the blackboard such that any two of them have exactly one common point. What is the biggest number of points that can belong to more than one circle? (A) 1
(B) 4
(C) 5
(D) 6 3
(E) 8
Olimpiadas Matemáticas de Puerto Rico
Nivel INTERMEDIO
18) En un mes hay 5 sábados y 5 domingos pero solamente 4 viernes y 4 lunes. En el mes siguiente habrá In one month there are 5 Saturdays and 5 Sundays, but only 4 Fridays and 4 Mondays. In the next month there will be (A) 5 miércoles 5Wednesdays (D) 5 sábados 5 Saturdays
(B) 5 jueves 5 Thursdays (E) 5 domingos 5 Sundays
(C) 5 viernes 5 Fridays
19) Te dan cuatro números positivos a, b, c, d tal que a < b < c < d. Te piden que aumentes uno de ellos en 1 de tal manera que, luego del aumento, el producto de los cuatro números es lo más pequeño posible. ¿Cuál es el que debes aumentar? You are given four positive numbers a, b, c, d such that a < b < c < d. You are asked to increase one of them by 1 in such a way that, after increasing, the product of the four numbers is as small as possible. Which one should you increase? (A) a
(B) b
(C) c
(D) d
(E) b ó c either b or c
20) ¿Cuántos enteros pueden ser formados con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 usando cada dígito solamente una vez de tal manera que el primer dígito es divisible por 1, los primeros dos dígitos forman un número divisible por 2, los primeros tres dígitos forman un número divisible por 3, los primeros cuatro dígitos forman un número divisible por 4, y los cinco dígitos forman un número divisible por 5? How many integers can be formed with the digits 1, 2, 3, 4, 5 using each digit only once such that the first digit of the number is divisible by 1, the first two digits form a number divisible by 2, the first three digits form a number divisible by 3, the first four digits form a number divisible by 4, and the five digits form a number divisible by 5? (A) Es imposible. It is impossible.
(B) 1
(C) 2
(D) 5
4
(E) 10
Academia Sabatina Nivel Superior Marzo 17 de 2012
Olimpiadas Matemáticas de Puerto Rico
Departamento de Ciencias Matemáticas - UPRM
Desigualdades Las desigualdades juegan un rol fundamental en matemática. Existen libros completos dedicados a su estudio, y en las competencias internacionales de matemóticas, estos problemas aparecen con frecuencia. Es importante que ustedes se familiaricen con varias de ellas y con las técnicas generales para su manejo. Es importante que domine las propiedades básicas de las desigualdades entre números reales. La desigualdad fundamental satisfecha por cualquier número real, y de la cual en cierto sentido se derivan todas las demás, es sencillamente: x2 0 con igualdad si y solo si x = 0:En general, dados los números reales x1 ; x2 ; ; xn , se cumple: x21 + x22 + + x2n 0 con igualdad si y solo si x1 = x2 = = xn = 0:
Orden de los números reales Los números reales tienen una importante propiedad que es la de poseer un orden, el orden permitirá comparar dos números y decidir cual de ellos es mayor o si son iguales. Para facilitar el entendimiento, se asume que en los números reales hay un conjunto P que representa el conjunto de números positivos, simbólicamente se escribe x > 0, para decir que un número x está en P: A continuación se enuncian tres propiedades importantes. Propiedad 1 Cada número real x tiene una y sola una de las siguientes caractísticas: 1. x = 0 2. x 2 P (esto es x > 0) 3.
x 2 P (esto es
x > 0)
Propiedad 2 Si x; y 2 P; entonces x + y 2 P (en símbolos x > 0; y > 0 ) x + y > 0) Propiedad 3 Si x; y 2 P; entonces xy 2 P (en símbolos x > 0; y > 0 ) xy > 0) De nición: Se de ne a es mayor que b, si a b, si b a 2 P (en símbolos a < b):
b 2 P (en símbolos a > b). Similarmente, se de ne a es menor que
Nota: a < b es equivalente a b > a: De nición: Se de ne a es memor o igual que b, si a < b ó a = b; en símbolos a b:
Ejemplos
1. Muestre que a < 0; b < 0 ) ab > 0 2. Muestre que a > 0; b > 0 )
a b
>0
3. Muestre que a > 0; b > 0 y a2 < b2 ; entonces a < b
1
p
4. Si x y y son reales no negativos, entonces x
x
p 2 y 0: De la desigualdad anterior se deduce que:
p 2 xy + y 0 o que
x+y 2
p
xy:
Con igualdad si y solo si: x = y: De la desigualdad anterior se tiene que la media aritmética A = p igual que su media geométrica G = xy:
x+y 2
de dos reales no negativos x; y es mayor o
q 2 2 2xy y la media cuadrática C = x +y : Veri que que Otras medias importantesn son la media armónica H = x+y 2 se cumple la siguiente desigualdad: H G A C y que las igualdades se cumplen si y solo si x = y: 2
2
2
5. La desiguldad (x y) +(y z) +(z x) 0 se cumple para cualesquiera números reales x; y; z con igualdad si y sólo si x = y = z: Pruebe que se cumple la desigualdad x2 + y 2 + z 2 xy + yx + zx:
Desigualdades Importantes Desigualdad triangular: Sean x1 ; x2 ; ; xn , números reales, la desigualdad triangular se de ne por: jx1 + x2 + + xn j jx1 j + jx2 j + + jxn j La igualdad se da si y solo si todos los xi no nulos son dell mismo signo. Desigualdad Aritmética-Geométrica (AG): Sean x1 ; x2 ; ; xn , números reales no negativos, entonces: x1 + x2 + + xn p n x1 x2 xn 2 y la igualdad se cumple solamente si x1 = x2 = = xn : Las siguientes desigualdades, en las cuales x1 ; x2 ; ; xn , son números reales positivos, son equivalentes a AG: x21 + x22 + + x2n nx1 x2 xn x2 xn 1 xn x1 + + + + 1 x2 x3 xn x1 n p n x1 x2 xn 1 1 1 + + + x1 x2 xn Observe que la última es la relación entre las medias armónica y geométrica, es decir, H G:
Ejemplos
6. Muestre que si x; y números reales, si x > 0; y > 0 ) x2
xy + y 2 > 0
7. Si a b; x y; entonces ax + by ay + bx 8. ¿Para qué valores de x se cumple la desigualdad 9. Para cualquier número positivo x se tiene que x +
4x2 2 < 2x + 9? p 1 + 2x
1 1 x
2
10. Sean x; y; z números reales positivos: a. Si x + y + z 3; ¿se veri ca necesariamente que b. Si x + y + z 3; ¿se veri ca necesariamente que 2
1 x 1 x
+ y1 + z1 3? + y1 + z1 3?
11. Un grupo de muchachos y muchachas han comido en un restaurant en el que solo se sirven pizzas cortadas en pedazos de 12 porciones. Cada muchacho come 6 ó 7 pedazos y cada muchacha 2 ó 3 pedazos. Se sabe que 4 pizzas no son su ciente y quecon 5 pizzas hubo de sobra. Determine el número de muchachas y muchachos que fueron al restaurant. 12. Considere la inecuación jx 1j < ax, donde a en un número real. a. Discutir la inecuación según los valores de a: b.Caracterizar los valores de a para los cuales la inecuación tiene exactamente dos soluciones enteras. p 13. Sean a; b y c los lados de un triángulo y A su área. Pruebe que a2 + b2 + c2 4 3A demuestre que 14. Dados x1 ; x2 ; ; xn , números reales positivos, 1 1 1 + + + n2 (x1 + x2 + + xn ) x1 x2 xn
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