academia_sabatina_3_de_marzo_de_2012 by Arturo Portnoy

Academia Sabatina Nivel Elemental Marzo 3 de 2012

Ejercicios de Geometría Nivel Elemental Prof. Jahzeel Silva 1. 2. 3.

¿Cuántos triángulos se pueden formar que tengan como vértices los vértices de un hexágono regular? Dibuja un triángulo ABC que tenga ÐA = 30º y ÐB = 70º. Sobre la prolongación del AC marca el punto D de tal manera que CD = CB. Completa el triángulo DCB. ¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos? Considera la siguiente figura. Si el área del triángulo es 2, ¿cuál es el área del cuadrado?

El valor de x en el diagrama es:

Se tiene una hoja de papel de forma cuadrada. Si se corta por la mitad formando dos rectángulos iguales, el perímetro de cada uno de ellos es de 18 cm. ¿Cuál es el perímetro de la hoja original? En un rectángulo de 3 metros de ancho por 6 metros de largo se trazan sus diagonales y éste queda dividido en cuatro triángulos. ¿Cuál es el área de cada uno de éstos triángulos? En la siguente figura, los números representan la longitud del segmento en el que se encuentran. ¿Cuál es el área ocupada por la figura, si todos los ángulos son rectos?

6. 7.

En la figura, la longitud del segmento AD es de 12 cm, todos los arcos son semicircunferencias, C es el punto medio de AD y B es el punto medio de AC. Determinar el perímetro y el área de la figura sombreada.

Se ha dibujado un rectángulo con centro O. Se sabe que el área del triángulo rectángulo OPQ es 7 cm2. Calcular el área de la figura sombreada.

10.

Hallar el ángulo x en la siguiente figura:

11.

Considera el cuadrado ABCD. Sean E, F, G, y H los puntos medios de AB, BC, CD y DA respectivamente. Sean I, J, K y L los puntos medios de EF, FG, GH y HE respectivamente. Si el perímetro del cuadrado ABCD es 4, ¿Cuál es el perímetro del cuadrado IJKL?

12.

En una hoja rectángular se dibuja un rectángulo dejando márgenes de 2 cm arriba y abajo y 3 cm en cada lado. El rectángulo que resulta tiene el lado horizontal igual a las tres cuartas partes del lado vertical y un área de 675 cm2. ¿Cuáles son las dimensiones de la hoja? Un rectángulo tiene 48 cms de perímetro y se puede dividir en 3 cuadrados iguales. ¿Cuál es el área de cada uno de estos tres cuadrados? De una hoja rectángular se cortan tres pedazos como indica la figura. A es un cuadrado con área de 144 cm2. B es un cuadrado con área de 81 cm2. C es un triángulo rectángulo con área de 102 cm2.¿Cuál es el área del pedazo que sobra?

13. 14.

15.

En la figura, ABCE es un rectángulo de 80 cm de perímetro. CE = 4BC y CD = DE. El triángulo CDE tiene 86 cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro de la figura ABCDE?

16.

Dos rectángulos tienen las medidas que se muestran en el dibujo. El área sombreada oscura es 31. ¿Cuál es el área de la región sombreada clara?

17.

Arturo tiene triángulos y rectángulos de madera. ¿Si en total sus piezas tienen 17 esquinas, cuántos triángulos tiene Arturo? Dividamos un rectángulo en cuatro partes, un cuadrado y tres rectángulos como se muestra en la figura. Las áreas están escritas dentro de las partes. ¿Cuánto mide el área total en unidades cuadradas?

18.

19.

En la figura se muestran tres líneas que se cortan en un punto. Se dan dos ángulos, hallar la medida del ángulo α.

20.

Jorge cortó un cuadrado de papel que tenía 20 cm de perímetro y obtuvo dos rectángulos. Si el perímetro de uno de los rectángulos recortados es 16 cm, ¿cuál es el perímetro de otro? Hallar la medida del ángulo A.

21.

22.

El diagrama representa un hexágono regular con perímetro de 42 cms y se ha dibujado una de sus diagonales. Encontrar la longitud de ésta diagonal.

Por: Alexis Rosario Sánchez 1. Si el lado de un cuadrado aumenta el doble, ¿Qué pasa con su a´ rea? 2. En la figura que se muestra a continuación, el triángulo es equilátero. ¿Cuál es el valor de x de manera que el per´ımetro del triángulo sea el mismo que el per´ımetro del rectángulo? ¿Cuál es el per´ımetro del triángulo?

5 x

3. Hallar la medida del a´ ngulo x

160

4 4. L, T y M son rectas. Si la recta M es perpendicular a la recta L y α = , entonces: β + δ =? 9 L

a) 140◦

b) 135◦ β

c) 130◦ d) 100◦

e) 80◦ 5. L k L’. ¿Cu´al de las siguientes relaciones es siempre verdadera? a) x + z − y = 180◦ L

b) x + z + y = 180◦

c) x − (z+)y = 90◦ L

d) x + z − y = 90◦

e) x − z = y 1

6. En la circunferencia de centro O, se han dibujado dos di´ametros. Si α + β = 70◦ , entonces δ =? a) 70◦ b) 110◦ α

δ ο β

c) 135◦ d) 140◦ e) 145◦

7. Las circunferencias de la figura son tangentes, de radio 5 cm. Calcula el per´ımetro del rect´angulo ABCD y el a´ rea de la regi´on sombreada.

8. Calcular el a´ rea de la figura formada por un cuadrado de 2.4 cm por lado y cuatro semic´ırculos que tiene como di´ametro los lados del cuadrado.

9. Calcula el per´ımetro y el a´ rea de las siguientes figuras, formadas por semic´ırculos. 6

AO = OB = 20 cm

10. Encuentra el a´ rea de un sector circular de 45◦ correspondiente a un c´ırculo de 4 cm de radio. 11. ABDE es un cuadrado. BCD es un triángulo equilátero. Sin medir, ¿podr´ıas encontrar el valor del a´ ngulo CAB y explicar por qué llegas a ese resultado? E

12. Tenemos un cubo 4 × 4 × 4 formado por 64 cubos de 1 × 1 × 1. Hacemos seis agujeros de tama˜no 4 × 1 × 1, atravesando el cubo grande como se indica en la figura. ¿Cu´antos cubos 1 × 1 × 1 quedan del cubo inicial?

13. Pintamos un cubo de color azul y después lo cortamos en 3 × 3 × 3 = 27 cubitos. ¿Cuántos cubitos tendremos: § Con una cara pintada. § Con dos caras pintadas. § Con tres caras pintadas. § ¿Sin caras pintadas? Haz lo mismo con un cubo de 4 × 4 × 4 = 64 cubos. ¿Cuántos cubos tienen ahora 1, 2, 3 o´ ninguna caras pintadas? Busca una fórmula para hallar el número de caras pintadas en un cubo de n × n × n. 14. Carlos lanzó tres flechas, dos cayeron en la región A y una cayo en la región B y acumuló 17 puntos. David lanzo tres flechas, una cayo en la región A y dos cayeron en la región B. ¿Cuántos puntos son asignados a las regiones A y B?

A B

15. El camino mas corto para ir del vértice A al vértice G (por las aristas del cubo de la figura) es de tres aristas. ¿Cuántos caminos hay de este tipo para ir de A hasta G? F C

G D

I B

16. Calcular el a´ rea de la regi´on no sombreada. BF = 10 cm, BCKL y CFEK son cuadrados.

17. ABCD es un cuadrado con a´ rea de 16 m cuadrados. E y F son puntos medios de AD y DC respectivamente. ¿Cu´al es el a´ rea del trapecio ACFE? D

18. Un cuadrado tiene una diagonal de 8cm. ¿Cu´al es el a´ rea del cuadrado? 19. Dada la figura. Hallar la medida del a´ ngulo x (Las l´ıneas horizontales son paralelas)

117 x

20. La recta t es perpendicular a la recta m. Halla y − x. a) 60

b) 45 c) 30 d) 20 x

e) 15 x x

y m

Academia Sabatina Nivel Intermedia Marzo 3 de 2012

Locus Roman Kvasov

Definition Locus is a collection of points which share same property.

Important Observation In order to prove that some set is locus one always needs to prove the following two statements: 1. each point of the set satisfies the property 2. if some point satisfies the property then it belongs to the set

Examples 1. The locus of all points of the plane equidistant from two fixed points is a perpendicular bisector. 2. The locus of all points of the plane equidistant from a fixed point is a circle.

Exercises 1. Find the locus of all points equidistant from three given fixed points. 2. Find the locus of all points equidistant from four given fixed points. 3. Find the locus of all points X of the plane such that the angle AXB is equal to 60o, where A and B are two fixed points. 4. Find the locus of all points X of the plane such that the area of the triangle AXB is constant, where A and B are two fixed points. 5. Find the locus of all points equidistant from two given lines.

Problems 1. Find the locus of the midpoints of the segments with endpoints on the two given lines. 2. Find the locus of the points M that lie inside some rhombus ABCD such that the sum of the angles AMD and BMC is 180o. 3. Points A and B are fixed. Find the locus of the points M such that the difference of squares of the sides AM and BM is constant. 4. The endpoints of the segment of fixed length slide over the two sides of the 90o angle. Find the locus of the midpoints of the segment. 5. Points A and B are fixed. Two circles are tangent to the line AB at points A and B respectively and are tangent to one another at some point M. Find the locus of all possible position of the point M. 6. Points A and B are fixed. Find the locus of all the points M of the plane such that AM : BM = 5. 7. Let O be the center of the rectangle ABCD. Find the locus of the points M such that AM>OM, BM>OM, CM>OM and DM>OM. 8. Find the locus of all points X such that one can always draw tangent lines to the given arc AB from the point X. 9. Two nonintersecting circles are given. Is there a point M on the plane such that every line that passes through M will intersect at least one circle? 10. Points P and Q move along the two lines that intersect at O with same constant velocity v. Is there a point on the plane such that it is equidistant from P and Q at any moment t? 11. Given a quadrilateral ABCD. Line l1 passes though a midpoint of the diagonal AC and is parallel to DB. Line l2 passes though a midpoint of the diagonal DB and is parallel to AC. Lines l1 and l2 intersect at O. Prove that the segments connecting the point O with the midpoints of the sides of the quadrilateral divide its area into 4 equal pieces. 12. Let D and E be the midpoints of the sides AB and BC of an acute triangle ABC and let M belong to AC. Show that if MD<AD then ME>MC. 13. Points P and Q lie inside some concave polygon. Prove that there is a vertex of the polygon that lies farther from Q than from P. 14. Points A, B and C are such that for any point M either MA is not greater than MB or MA is not greater than MC. What can you say about the positions of the points A, B and C?

Academia Sabatina Nivel Superior Marzo 3 de 2012

Luis F. Cáceres Ph.D. Temas de geometría: Ley del seno extendida 3 de marzo de 2012

Ley de seno extendida y aplicaciones Prerequisitos: 1. Ángulos inscritos que abren un mismo arco miden lo mismo. 2. Angulo seminscrito y ángulo inscrito que abren el mismo arco miden lo mismo. 3. En un cuadrilátero cíclico los ángulos opuestos son suplementarios. 4. Si el triángulo ABC es rectángulo con ángulo recto en A , entonces A está en el círculo con diámetro BC. 5. Definición del seno. Ley de seno extendida: Para un triángulo ABC con circunradio R ,

a b c = = = 2R senA senB senC

Ejercicio: En cualquier triángulo ABC se cumple que a(senB - senC ) + b(senC - senA) + c(senA - senB) = 0

Ejercicio: Demostrar que en un triángulo cualquiera ABC , ( ABC ) =

abc donde a, b, c son las 4R

medidas de los lados del triángulo y R su circunradio. Ejercicio: En un triángulo ABC se trazan dos círculos con radios p y q que pasan por A y tocan a la línea BC tangencialmente en B y C , respectivamente. Probar que pq = R 2 , donde R es el circunradio. Definición:

Triángulo Pedal: Dado un punto P dentro de un triángulo ABC , se trazan las perpendiculares a los lados del triángulo. Los pies de las perpendiculares forman un triángulo llamado triangulo pedal del triángulo ABC para el punto pedal P .

Ejercicio:

Si un punto pedal está a distancias x, y, z de los vértices de un triángulo ABC , ax ay az entonces los lados del triángulo pedal miden donde a, b, c son las , , 2R 2R 2R medidas de los lados del triángulo.

Ejercicio:

El tercer triángulo pedal es semejante al triángulo original.

Locus Roman Kvasov

Definition Locus is a collection of points which share same property.

Examples 1. The locus of all points of the plane equidistant from two fixed points is a perpendicular bisector. 2. The locus of all points of the plane equidistant from a fixed point is a circle.