Academia Sabatina Nivel Elemental Febrero 18 de 2012
Just Add the Numbers? Roman Kvasov
Key Problem Find the sum: 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100
Solution Finding this sum is a boring and unpleasant process, where even a little error might lead to a result very different from the real solution. It means that to attack this problem we will have to invent some trick to find the sum in an easier way. Note that 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, and 3 + 98 = 101. So, if instead of adding all the numbers in the order they appear, we combine them in a clever way adding the first with the last and so on, so that we will have to just add 101’s : 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 = (1 + 100 ) + (2 + 99 ) + (3 + 98 ) + … + (50 + 51 ) = (101) + (101) + (101) + … + (101) = 101 × 50 = 5050
Conclusion In order to add numbers from 1 to some number n, do the following take this number n and add 1 to it multiply the result by the number n divide the result by 2 Following this idea for the problem discussed above, we take 100, add one to it, multiply it by 100 and divide it by 2: (100 + 1) × 100 ÷ 2 = 101 × 100 ÷ 2 = 10100 ÷ 2 = 5050
Exercise Repeat the process shown above and find the sum: 1 + 2 + 3 + … + 498 + 499 + 500
Problem 1 Find the sum: 1 + 2 + 3 + … + 97 + 98 + 99 = ?
Problem 2 Find the sum: 2 + 4 + 6 + … + 196 + 198 + 200 = ?
Problem 3 Find the sum: 3 + 6 + 9 + … + 294 + 297 + 300 = ?
Problem 4 Find the sum: 1 + 3 + 5 + … + 995 + 997 + 999 = ?
Problem 5 Find the sum: 1 + 4 + 7 + … + 595 + 598 + 601 = ?
Problem 6 Find the sum: 2 + 7 + 12 + … + 2002 + 2007 + 2012 = ?
Academia Sabatina Nivel Intermedio Febrero 18 de 2012
Olimpiadas Matemáticas de Puerto Rico
Departamento de Ciencias Matemáticas - UPRM Problemas 1 Luis ha ganado un concurso en la feria, y debe elegir cuatro premios diferentes de un conjunto de nueve premios. ¿Cuántas combinaciones de los cuatro premios que puede elegir del conjunto de nueve premios?
2 ¿Cuaántos triángulos diferentes se pueden formar al concetar tres de los puntos que se muestran abajo?
3 En una clase de 20 estudiantes, el profesor quería tomar fotos de parejas de alumnos. ¿Cuántas fotos tiene que tomar el profesor con el n de tener fotos de todas las posibles parejas de estudiantes?
4 Las letras F; G; H representan operaciones matemáticas sobre números naturales de acuerdo a las siguientes de niciones (donde N es cualquier número natural): F (N ) = 4 N + 3 G (N ) = N 2 + 5 H (N ) = N (N + 1) Halle el valor de la expresión F G H 42
2
5 ¿Cuál es el menor número natural que es divisible por 3, 4, 5, 6, y 7?
6 ¿Cuál es el menor número de 5 dígitos que es múltiplo de 18?
1
7 Halle el valor de x que satisface la siguiente ecuación:
x x+2 x 2 + = 2 3 2
8 Un camión cargado viaja de la ciudad A a la ciudad B a 50 millas por hora. Luego de dejar la carga, el camión regresa por la misma ruta a 60 millas por hora y le toma dos minutos menos. Determine la distancia entre las ciudades A y B.
9 Tres hormigas iban caminando a la largo de la recta numérca. Conforme se iban cansando la primera hormiga se paró en el número 24; la segunda en el 66; la tercera se detuvo en un punto a la misma distancia de las otras dos. ¿En que número se paró la tercera hormiga?
10 La región sombreada tiene un vértice en el centro del pentágono. ¿Qué porcentaje del pentágono está sombreado?
a) 10%
b) 20%
c) 25%
d) 30%
e) 40%
11 En la gura hay 11 cuadros que se van a llenar con números positivos de tal manera que cada tres cuadros consecutivos sumen 21. Si en primer cuadro se escribe 7 y en el noveno se escribe 6, ¿qué número se escribe en el segundo cuadro? 7
a) 6
b) 7
c) 8
6
d) 10
e) 21
12 Verónica compró un pastel, lo dividió en cuatro partes iguales y lo repartió entre sus hijos. César y Jairo se comieron sus pedazos completos, mientras que Luis se comió la mitad de su pedazo y Diana se comió solo la quinta parte del suyo. ¿Qué fracción del pastel sobró? a)
13 40
b)
3 7
c)
26 50
d)
70 200
e)
2 5
13 En la ecuación a + 3b = 2001, a y b son enteros. ¿Cuál de los siguientes valores para a es imposible? a) 3
b) 45
c) 111
d) 1001
e) 2001
2
14 Arturo dibujó un margen en una hoja de papel cuidando que la distancia entre el margen y la orilla fuera siempre la misma. el perímetro de la hoja es 8 cm más largo que el perímetro del margen, ¿cuántos centímetros hay entre el margen y la orilla?
a) 1
b) 2
c) 4
d) 8
e) depende del tamaño de la hoja
15 En la gura, al ángulo A y el ángulo B son rectos y el área de ABCD es el triple que el área de ACB. ¿Cuánto vale a a rea(ADB) rea(ACB) ?
C
B
D
A a) 2
b)
3 2
c) 1
d)
5 2
e)
2 3
16 Los números a; b; c; d; y e son positivos y a b = 2; b c = 3; c d = 4; y d e = 5: ¿A qué es igual a)
15 8
b)
5 6
c)
3 2
d)
4 5
e) falta información
3
e a?
17 En la gura, P y Q son los centros de los círculos tangentes P y Q, y la línea PQ corta a los círculos en A y en B, como se muestra. El rectángulo ABCD es tangente a Q en T. Si el área de ABCD es 15, ¿cuál es el área de PQT?
Q P P
A
Q
D a) 4
b)
15 4
18 ¿Cuánto vale x a) 0
b) 2000
c)
2
B C
T p e) 2 3
d) 5
y si x = 12 + 22 + 32 + + 20052 y y = 1 3 + 2 4 + 3 5 + + 2004 2006? c) 2004
d) 2005
e) 2006
19 En cada cuadradito del dibujo debe escribirse un número de tal manera que en cada renglón, en cada columna y en las dos diagonaleshaya progresiones aritméticas (una progresión aritmética es aquella que en cada paso incrementa la misma cantidad, como por ejemplo: 3; 7; 11; 15; ). Se han escrito algunos números. ¿Qué número debe ir en lugar de x? 21 16 27 x
a) 49
b) 42
c) 33
d) 28
e) 4
20 ¿Cuál es el 50-avo número entero positivo más pequeño cuyo residuo es 3 cuando se divide por 8?
4
Olimpiadas Matemáticas de Puerto Rico
Departamento de Ciencias Matemáticas - UPRM Soluciones 1 Se tienen 9 8 7 6 formas posibles para seleccionar 4 premios en orden y 4 3 2 1 ordenes posibles. Dividiendo, se obtiene: 9 8 7 6 = 126 4 3 2 1 126 combinaciones de premios. Combinaciones: La diferencia principal entre combinaciones y permutaciones, es que en las combinaciones el orden no importa. La fórmula para calcular combinaciones de n objetos y considerando r a la vez se denota por: C(n; r) y es dada por: C(n; r) = Notación: C(n; r) también se denota por
n r
n! r! (n r)!
o nCr y se lee escoger de n objetos r , for example 9C4 se lee
de nueve escoger cuatro . . Por ejemplo, escoger 4 premios de un conjunto de 9, se expresa por: 9 8 7 6 C (9; 4) = = 126 4 3 2 1 11! = 165 posibles triángulos. 3! (11 3)! Pero si se escogen 3 puntos en la misma líne no se forma un triángulo, entonces: 5! Primera línea: C(5; 3) = = 10 posibilidades de seleccionar tres puntos 3! (5 3)! 6! = 20 posibilidades de seleccionar tres puntos Segunda línea: C(6; 3) = 3! (6 3)! Por lo tanto, restando del total, se tienen: 165 10 20 = 135 triángulos.
2 Como se tienen 11 puntos, al escoger 3 de 11, se tienen C(11; 3) =
3 Cada estudiante tiene que aparecer en 19 imágenes (una con cada uno de los otros 19 estudiantes en la clase), por lo que supone 20 19 = 380 imágenes, pero se cuenta cada posible par dos veces (una para cada uno de los dos estudiantes en el imagen), así que tenemos que dividir este número por 2. La respuesta a continuación, es de 190 cuadros.
4 Usando las de niciones dadas: F G H 42 2 = F (G (H (12))) = F (G (12 13))
= F (G (156)) = F (156 2 + 5) = F (83) = 4 83 + 3 = 335
1
5 Para que sea divisible por 3 y 4, un número tiene que ser un múltiplo de 3 4 = 12. Añdiendo los requisitos para 5 y 7, se tiene que multiplicar por 5 7 = 35, por lo que se obtiene 12 35 = 420. No se tiene que preocuparse del 6, porque cualquier múltiplo de 12 es siempre un múltiplo de 6
6 La respuesta es un número en el rango de f10; 000 10; 017g. Para que sea divisible por 18, nuestro número debe ser divisible por 2 y 9, por lo que estamos buscando un número par con una suma de dígitos que sea divisible por 9, y el menor número posible es 10008 = 18 556.
7 Multiplicando ambos lados por el mínimo común denominador 6, se obtiene: 3 (x + 2) + 2 (x 3x + 6 + 2x 2x =
2) = 3x la cual es una ecuación lineal,
4 = 3x simpli cando términos semesjantes y aplicando la propiedad aditiva
2 cuya solución es x =
1
8 Recuerde, distancia = tiempo velocidad. Asuma que t es el tiempo en horas que le toma viajar con el camón lleno, entonces se tiene: 2 la cual es una ecuación lineal. 50t = 60 t 60 50t = 60t
2 ) 10t = 2 ) t =
1 5
hora
Por lo tanto, la distancia recorrida es: distancia = 50
1 5
= 10 millas
9 La tercera hormiga se paró en el punto medio de donde se pararon la primera y tercera hormiga y el punto medio es: 24+66 = 45 2
10 Si se divide el pentágono en 5 triángulos iguales uniendo el centro con los vértices, cada uno de ellos representa el 20% del pentágono. En la gura se observa una mitad adicional de un triángulo, por lo tanto el área sombreada representa el 30%.
11 La suma de los cuadros anteriores al noveno deben sumar 15, eso implica que en la sexta posición debe ir 6, luego los números colocados en la cuarta y quinta posición deben sumar 15, lo que hace que en la tercera posición debe ir 6, y el número de la segunda se obtiene: 21 6 7 = 8:
12 Del pastel completo: César y Jairo se comieron 14 cada uno, Luis se comió 12 de su parte, es equivalente a decir 1 1 que no comió 21 14 = 18 : Diana comió 15 14 = 20 , es decir, ella no comió: 14 20 = 15 : Por lo tanto, sobró: 1 13 1 8 + 5 = 40 :
13 Como 3b y 2001, son múltiplos de 3, entonces a también debe ser múltiplo de 3. El único número que no es múltiplo de 3 es 1001.
2
14 Sea x el ancho del margen, el perímetro del rectángulo interior es P = 2a + 2b y el perímetro del rectángulo ~
grande es: P = 2a + 2b + 8x = P + 8 = 2a + 2b + 8 ) 8x = 8 ) x = 1
x
x
x
x
b
x
a
x
x
x
(BC+AD)AB 2 área del triángulo ADB es: A ADB = AD AB 2 área del triángulo ACB es: A ACB = BC AB 2 tiene que: AT = 3A ACB ) (BC+AD)AB = 3 BC AB 2 2
15 El área del trapecio ABCD es: AT = El El Se
simpli cando:
BC + AD = 3BC ) AD = 2BC Entonces:
A ADB = A ACB
AD AB 2 BC AB 2
=
AD BC
=
2BC BC
=2
16 Considere los cocientes de los productos: b c d e e e 3 5 15 = ) = = a b c d a a 2 4 8
17 Sean r y R los radios de los círculos P y Q, respectivamente. El área del rectángulo ABCD es (2R + 2r) R = 15 y el área del triángulo PQT es (r+r)R : 2 Del área del rectángulo se tiene: (2R + 2r) R = 2R (r + R) = 15 ) R (r + R) = Por lo tanto:
(r+r)R 2
=
15 2
2
=
15 2 :
15 4 :
18 x = 12 + 22 + 32 + + 20042 + 20052 y = 1 3 + 2 4 + 3 5 + + 2003 2005 + 2004 2006 y = 12 + 22 + 32 + + 20042 + 20052 (1 3 + 2 4 + 3 5 + + 2003 2005 + 2004 2006) = 12 1 3 + 22 2 4 + 32 3 5 + + 20032 2003 2005 + 20042 2004 2006 + 20052
x
= 1 (1
3) + 2 (2
4) + 3 (3
5) + + 2003 (2003
2005) + 2004 (2004
= (1 + 2 + 3 + + 2003 + 2004) ( 2) + 20052 =
2 2004 2005 + 20052 = 20052 2
Recuerde: 1 + 2 + 3 + + n =
2004 2005 = 2005 (2005 n(n+1) 2
3
2004) = 2005
2006) + 20052
19 Para obtener la progesión aritmética en la primera diagonal se observa que la diferencia es 11, eso implica que los números en la diagonal son 38 y 49. En la segunda diagonal se tienen 21 y 27 cuya diferencia es 6, eso implica que el término entre ellos debe ser 24 y el que sigue a 27 en la diagonal es 30. Ver gura: 21 16
24 27
30
38
x 49
Por lo tanto en el cuarto renglón se observa que la diferencia de la progresión aritmética debe ser 4, por lo tanto el valor de x = 38 + 4 = 42:
20 El número entero positivo más pequeño con residuo 3 que se divide por 8 es 3. El próximo será 3 + 8 = 11; seguido por 11 + 8 = 19; y así sucesivamente. El n-ésimo número debe ser: 3 + (n 1) 8, de manera que el 50-avo número es: 3 + (50 1) 8 = 395:
4
Luis F. Cáceres Ph.D. Temas de geometría: Potencia 18 de febrero de 2012
Potencia Prerequisitos: a. Definición (semejanza): Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes miden lo mismo. b. Propiedad (semejanza): En triángulos semejantes los lados correspondientes son proporcionales. c. Propiedad (ángulos inscritos): Ángulos inscritos que abren el mismo arco miden lo mismo. d. Propiedad (ángulo seminiscritos vs inscritos): Si un ángulo semiinscrito y uno inscrito abren el mismo arco, entonces miden lo mismo. e. Propiedad (cuadriláteros cíclicos): En un cuadrilátero cíclico los ángulos opuestos son suplementarios. Propiedad 1: Si dos cuerdas de un círculo se intersecan dentro del círculo, entonces el producto de las medidas de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las medidas de los segmentos de la otra cuerda. Propiedad 2: Si un segmento tangente y un segmento secante se dibujan desde un punto exterior a un círculo, entonces el cuadrado de la medida del segmento tangente es igual al producto de las medidas del segmento secante total con el de su parte exterior. Propiedad 3: Si dos segmento secantes son dibujados desde un punto exterior a un círculo, entonces el producto de las medidas de un segmento secante y su parte exterior es igual al producto de las medidas del otro segmento secante total y su parte exterior. Propiedad 4: Si AB, CD son dos segmentos que se intersectan en P de manera que PA × PB = PC × PD entonces A, B, C, D se encuentran sobre una circunferencia. Propiedad 5: Si A, B, C y P son puntos de manera que P, A, B están alineados y PC 2 = PA × PB , entonces PC es tangente en C al círcuncírculo del triángulo ABC POTENCIA Dado un punto P y una circunferencia C. Cualquier recta por P que corte a C en los puntos A y B cumple que PA × PB es constante. Esta cantidad constante se conoce como la potencia de punto P con respecto a la circunferencia C
Academia Sabatina Nivel Superior Febrero 18 de 2012
Taller de Matem´aticas OMPR 2011-2012 Febrero 18 de 2012
Alfredo Villanueva, Ph.D.
Numeral: El numeral de un n´umero es la representaci´on escrita del n´umero. Ejemplo: 1. 45. 2. abc unidades decenas centenas
3. En base 2:
110 (2) base digitos
110(2) = 1 · 22 + 1 · 2 + 0 = 6 4. En base 5: 4312(5) = 4 · 53 + 3 · 52 + 1 · 5 + 2 = 582 = 582(10) 5. En base 10: 582(10) = 5 · 102 + 8 · 10 + 2 = 582
1
Ejercicios: 1. Si abcd = 25ab + 36cd calcular la suma de valores de a + b + c. 2. Si mmm = 2160(m) hallar el valor de mm + 1m + m1 3. Si 11
= 990
12 13 14 1(n − 1)
(n)
Calcular el m´aximo valor de E igual a: 1a 1b 1c
n veces 11
1x (n+1) 3
4. En un avi´on se observa que hay abc personas, de las cuales, entre los pasajeros, hay aoc umero de personas esta varones y ab mujeres adem´as; son c aeromozas y a pilotos. Si el n´ comprendido entre 150 y 300, determine cu´antos hombres m´as que mujeres hay en total. 5. Si 19ab + 18ab + 17ab + · · · + 1ab = xyz77 determine a + x. 6. Todo n´ umero par positivo elevado a un exponente par positivo es 8k + 1. 7. Calcular el residuo de dividir A entre 8. 4
6
8
82
A = ab3(4) + ab5(6) + ab7(8) + · · · + ab(81)(82) 8. Calcular el residuo al dividir E entre 6. E = ab3(6) × 124(6) × mnp5(6) 9. Hallar el valor de a si 320a14 es divisible entre 29. 10. Cuantos n´ umeros m´ ultiplos de 6 se representan en la base 7 mediante n´ umerales de 42 cifras de la forma abab . . . ab si a y b son cifras significativas y diferentes.
2
Rotation Roman A. Kvasov
Definition The transformation of the figure ܨinto the figure כ ܨ, such that any point ܺ of the figure ܨis being transformed into the point ܺ כof the figure כ ܨ, such that ܺ ܱ כൌ ܱܺ and ܱܺ כ ܺסൌ ߙ is called the transformation of rotation of the plane around the point ܱ by the angle ߙ.
Notation If the point ܺ כis the result of the rotation of the point ܺ around the point ܱ by the angle ߙ then we will write this fact in the following form ܺ כൌ ܴைఈ ሺܺሻ The point ܺ כis sometimes called the image of the point ܺ under the transformation ܴைఈ . The point ܺ is then called the preimage.
Properties 1. The image of the segment after the transformation of rotation is another segment congruent to the preimage 2. The image of the angle after the transformation of rotation is another angle congruent to the preimage 3. The collinear points continue to be collinear after the transformation of rotation and noncollinear points continue to be noncollinear after the transformation of rotation
Interesting fact Rotation is an example of what is called affine transformation, a transformation that preserves straight lines and ratios of distances between points lying on a straight line.
Problem 1 Point D is chosen on the side BC of the equilateral triangle ABC and then an equilateral triangle CDE is built outside of the triangle ABC. Points K and M are the midpoints of segments AD and BE. Prove that the triangle CKM is equilateral.
Problem 2 Point E is chosen on the side CD of the square ABCD. The angle bisector of the angle BAE intersects side DC at the point F. Prove that ܧܣൌ ܦܧ ܨܤ.
Problem 3 Given some angle ABC and the point M inside. Build an isosceles right triangle with the vertex at M and the other two vertices on the sides of the angle.
Problem 4 Given the angle ABC and the point M inside. Build an equilateral triangle with the vertex at M and the other two vertices on the sides of the angle.
Problem 5 Inscribe into a given square an equilateral triangle such that one of its vertices is in the vertex of the square and other two on its sides.
Problem 6 Build an equilateral triangle with three vertices on given 3 parallel lines.
Problem 7 From the center of the square, one drew two perpendicular lines. Prove that the segments of the lines that lie inside the square are equal.
Problem 8 From the center of the equilateral triangle, one drew two lines with angle Ͳ לbetween them. Prove that the segments of the lines that lie inside the triangle are equal.
Problem 9 Point P is chosen inside the triangle ABC. Find points K and M on the sides BC and AC such that ܲ ܭൌ ܲ ܯand ܯܲܭסൌ Ͷͷ ל.
Problem 10 Build a square with three vertices on given 3 parallel lines.
Problem 11 On the sides AB and AC of the triangle ABC squares ABMN and ACQP are built outside the triangle ABC. Prove that ܰ ܥൌ ܲܤand NC is orthogonal to BP.
Problem 12 On the sides AB and AD of the square ABCD one chose points K and M in such way that ܭܣ ܯܣൌ ܤܣ. Find the angle KOM, where O is the center of the square.
Problem 13 On the sides AB and AC of an equilateral triangle ABC one chose points K and M in such way that ܭܣ ܯܣൌ ܤܣ. Find the angle KOM, where O is the center of the square.
Problem 14 On the sides of the isosceles trapezoid ABCD one chose points K and M in such way that ܭܣൌ . If one of the angles of the trapezoid is Ͳ לand the smaller base is congruent to its sides, find angle KOM, where O is the middle of the longer base.
Problem 15 Inscribe into a circle two congruent triangles with perpendicular sides.
Problem 16 Point K is chosen inside the square ABCD and then the square AKEM is built. If the side KE intersects AD prove that ܭܤൌ ܯܦ.
Problem 17 Points A, B and C belong to the line l. On the segments AB and AC one built two equilateral triangles ABD and CAN. Prove that midpoints of DC and DN, and point A are the vertices of an equilateral triangle.
Problem 18 Angle C of the triangle ABC is equal to ͳʹͲ ל. Prove that the angle bisector of the angle C is equal to ܥܣ ڄ ܥܤȀ ሺ ܥܤ ܥܣሻ.
Problem 19 P is the point inside an equilateral triangle ABC. Is it true that from segments AP, BP and CP one can always construct a right triangle, if and only if, one of the angles APB, APC or BPC is equal to ͳͷͲ ל.
Problem 20 On the sides of the triangle ABC three equilateral triangles BPC, CQA and ARB are built externally. Prove that lines AP, BQ and RC are concurrent (Fermat point).