Taller Olimpiadas Matematicas: Conteo Dra. Karen R. R´ıos-Soto March 11, 2011 ¿Sab´ıas que el sistema de contar de los egipcios era en 10 mientras que para los mayas, aztecas y celtas utilizaban el sistema de 20 porque contaban con los dedos de las manos y los pies? Por ejemplo, los egipcios utilizaban los siguientes s´ımbolos para escribir los n´ umeros:
¿C´ omo podr´ıamos formar el n´ umero 10, 325?
1
Principio de la Adici´ on
Vamos a suponer que queremos escoger un libro entre tres clases: ingl´es, matem´aticas y ciencias. Existen 7 libros de ingl´es, 4 de matem´ aticas y 6 de ciencias. Entonces tenemos 7 + 4 + 6 = 17 opciones para escoger el libro. En otras palabras, el total de opciones es la suma del n´ umero de opciones de cada tipo. Principio de la Adici´ on Si tenemos m opciones para escoger un objeto y n opciones para escoger un segundo objeto y no es posible escoger los dos, entonces para escoger cualquiera de los objetos hay m + n opciones. En general, si tenemos que escoger un objeto entre r objetos distintos, y para el primer objeto hay m1 opciones, para el segundo hay m2 opciones, para el tercero m3 opciones, y as´ı sucesivamente hasta mr para el u ´ltimo, entonces hay m1 + m2 + m3 + ... + mr opciones de escoger cualquiera de los objetos. Ejemplo 1. Se lanza una peseta al aire tres veces. ¿De cu´antas formas distintas pueden obtenerse una, dos o tres caras? Soluci´ on: Una opci´ on es que salgan las tres caras: (c, c, c), otra opci´on es que salgan dos caras: {(c, c, x), (c, x, c), (x, c, c)} y por u ´ltimo que salga una cara: (c, x, x), (x, c, x), (x, x, c) as´ı que por el principio de la adici´ on la contestaci´ on correcta es 1 + 3 + 3 = 7.
1
2
Principio de la Multiplicaci´ on
Principio de la Multiplicaci´ on Si alguna tarea se puede hacer en dos etapas y si existen m posibilidades para la primera etapa, y para cada una de estas posibilidades existen n posibilidades para la segunda etapa, entonces la tarea total se puede hacer, en el orden dado, de m × n formas. En general, si una tarea se puede hacer en n etapas, y si la primera de estas etapas tiene k1 posibilidades para hacerse, la segunda tiene k2 , y as´ı sucesivamente hasta kn , posibilidades de realizar la u ´ltima, entonces el n´ umero de formas de hacer la tarea total es k1 × k2 × k3 × ... × kn . Ejemplos 1. ¿ Cu´ antos resultados distintos son posibles al tirar cuatro dados diferentes? Soluci´ on: La posibilidad de n´ umeros en el primer dado es 6, al igual que para el segundo, para el tercero y para el cuarto dado. Por lo tanto por el principio de la multiplicaci´on habr´a 6 × 6 × 6 × 6 = 1296 posibilidades. Notar que el resultado hubisese sido distinto si los dados no fueran diferentes , pues ser´ıa imposible distinguir 1523 de 3251. 2. Tenemos un set de 30 cartas de la cual sacamos cuatro sin devolver ninguna de las cartas extra´ıdas. ¿De cu´ antas formas diferentes podemos obtener las cuatro cartas? Soluci´ on: Hay 30 posibilidades de extraer la primera carta, 29 de la segunda, 28 de la tercera y 27 de la cuarta (pues no se devuelven), entonces hay 30 × 29 × 28 × 27 = 657720 formas de extraer las cuatro cartas. 3. Si tenemos el mismo set de 30 cartas de la cual sacamos cuatro pero esta vez, con la devoluci´on de cada carta extra´ıda . ¿De cu´ antas formas diferentes podemos obtener las cuatro cartas? Soluci´ on: Hay 30 posibilidades de extraer la primera carta, 30 en la segunda, 30 en la tercera y 30 en la cuarta (pues ahora si se devuelven), entonces hay 30 × 30 × 30 × 30 = 810000 formas de extraer las cuatro cartas.
2
4. Si te quieres vestir y cuando vas a tu closet tienes para escoger entre 4 camisas, 6 pantalones, 5 calcetines y 2 zapatos, cuantas formas de vestirte tendr´as? Ver figura.
Los principios de conteo se pueden utilizar para resolver problemas en la mayoria de los casos, pero hay algunas formulitas que nos ayudar´ an a calcular mas r´apidamente.
3
Permutaciones
Supongamos que Pedrito va al cine con sus papas y sus dos hermana y hay cinco asientos disponibles, ¿De cu´ antas formas diferentes se pueden sentar? 1er asiento
2do asiento
3er asiento
4to asiento
5to asiento
Cualquiera de los cinco miembros de la familia puede ocupar el primer asiento. Como ya alguien se sent´ o en el primer asiento, para el segundo asiento podemos escoger entre 4 personas. De esta manera solamente tenemos una persona para ocupar el quinto asiento. Esto produce 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 formas diferentes en las que se pueden sentar. Notar que se obtiene exactamente la misma contestaci´ on si los asientos se ocupan en otro orden, digamos pap´ a
hermana1
hermana2
Pedrito
mam´a
1er asiento
2do asiento
3er asiento
4to asiento
5to asiento
En general, si existen n objetos distintos, el n´ umero de permutaciones para los n objetos es P (n) = n(n − 1)(n − 2)...3 × 2 × 1 = n!, este nuevo n´ umero se lee n factorial. Vamos a notar que en este caso no podemos volver a repetir lo que ya escogemos.
3
3! = 3 × 2 × 1 = 6 10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3628800 Notar que n! n(n − 1)(n − 2)...3 × 2 × 1 = = (n − 1)(n − 2)...3 × 2 × 1 = (n − 1)!, n n Por ende podemos definir 0! con la f´ ormula anterior para n = 1, es decir, 0! = (1 − 1)! =
1! = 1. 1
Permutaciones Dado un conjunto de n objetos, una permutaci´ on es cada uno de los conjuntos que se pueden formar con estos objetos tales que cada uno de ellos es diferente del otro en el orden en que son considerados los objetos.
3.1
Arreglos: K Permutaciones de N Objetos
En un sal´ on de clases de 10 estudiantes se escoger´an 5 que se pondr´an en fila para almorzar primero. ¿De cu´ antas formas diferentes se pueden poner estos 5 en fila? 10
9
8
7
6
1ro en fila
2do en fila
3ro en fila
4to en fila
5to en fila
Entonces, cualquiera de los 10 ni˜ nos puede ocupar el primer lugar en la fila, as´ı que para ocupar la segunda posici´ on en la fila tenemos 9 ni˜ nos. De esta forma, quedan 6 ni˜ nos para escoger el quinto turno en la fila. Por lo tanto, tenemos 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 10240 formas diferentes para poner 5 de los ni˜ nos en fila. Arreglos Dado un conjunto de n objetos, se denomia arreglos de tama˜ no k a todos los conjutos de k objetos escogidos de entre los n, tales que un cojunto es diferente del otro en por lo menos un objeto o en el orden en que se consideran los objetos. En general, si existen n objetos distintos, y k es un entero, con 0 ≤ k ≤ n, entonces el n´ umero de arreglos de tama˜ no k para los n objetos es: A(n, k) = n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) =
n! . (n − k)!
Ejemplos: 4
1. Dado 6 libros, ¿de qu´e maneras podemos formar 6 arreglos de tama˜ no dos? Soluci´ on Supongamos que los 6 libros son a,b,c,d,e y f. Ejemplos de arreglos de tama˜ no dos ser´ıan ab, cd, bf , etc. Entonces esto es un arreglo, 6! 6! 6. 5. 4! A(6, 2) = = = = 30. (6 − 2)! 4! 4! 2. El alfabeto tiene 27 letras. ¿Cu´ antas palabras de 4 letras se pueden formar sin que ninguna se repita? Soluci´ on La contestaci´ on es A(27, 4) =
4
27. 26. 25. 24. 23! 27! = = 421200. (27 − 4)! 23!
Combinaciones
Ahora, consideraremos el siguiente clase de problemas: dada una colecci´on de n objetos; ¿de cu´antas maneras se pueden escoger k de ellos? Por ejemplo, si en el grupo de 10 ni˜ nos se escoger´an 5 para ponernos en final para ir a almorzar, ¿cu´ antos grupos de 5 pueden formarse si el orden no importa? Una combinaci´ on podr´ıa ser Mar´ıa, Pepito, Luis, Jos´e y Tom´as pero como el orden no importa, esa misma combinaci´ on podr´ıa ser Pepito, Luis, Tom´as, Jos´e y Mar´ıa. Entonces, cada grupo de 5 ni˜ nos puede ordenarse de 5! formas diferentes, as´ı que cada combinaci´on correponde a 5! permutaciones. Por lo tanto, el n´ umero de combinaciones es los arreglos de colocar 5 ni˜ nos de los 10, entre el n´ umero total de odenar a esos 5 ni˜ nos, es decir: n! 10! 10! A(n, k) (n−k)! (10−5)! = = = = 252. P (k) k! 5! (10 − 5)!5! Combinaciones En general, dados n objetos diferentes, el n´ umero de combinaciones de tama˜ no k de estos objetos, con 0 ≤ k ≤ n, lo denotamos C(n,k) es: C(n, k) =
A(n, k) = P (k)
n! (n−k)!
k!
=
n! . (n − k)! k!
Ejemplos: 1. Para conjunto de las vocales, {a,e,i,o,u}, ¿de cu´antas maneras podemos escoger 3 de ellas? Soluci´ on Como en este caso el orden no importa, es decir, escoger {a,e,i} es lo mismo que escoger {a,i,e}, {e,a,i}, {e,i,a}, {i,a,e} o {i,e,a}, entonces la contestaci´on ser´ıa: C(5, 3) =
5! 5 .4 = = 10. (5 − 3)! 3! 2. 1 5
2. Si en las Olimpiadas de Matem´ aticas participan 60 ni˜ nos, ¿De c´ uantas maneras podemos escoger los primeros tres lugares? Soluci´ on La contestaci´ on correcta es C(60, 3) =
60! 60. 59. 58. 57! = = 34220. (57)! 3! 3. 2. 1. 57!
3 Regresando al problema de los n´ umeros egipcios
Una pregunta diferente podr´ıa ser, ¿Cu´antos n´ umeros puedo formar si utilizo s´olo tres s´ımbolos de estos, pero que sean diferentes? La respuesta correcta es 35. A continuaci´on detallamos la soluci´on. Un ejemplo de un n´ umero de tres s´ımbolos diferentes es,
. Este n´ umero es el 1 + 10 + 100 = 111. Vamos a asumir que enumeramos cada uno de estos s´ımbolos con los letras desde a hasta g. Es decir, el n´ umero 111 lo podemos representar con los s´ımbolos abc. Debemos notar en este caso que abc, acb, bac, bca, cab y cba representan todos el mismo n´ umero, es decir 111. Veamos todas las posibilidades: abc, abd, abe, abf, abg, acd, ace, acf, acg, ade, adf, adg, aef, aeg, af g
bcd, bce, bcf, bcg, bde, bdf, bdg, bef, beg, bf g
6
cde, cdf, cdg, cef, ceg, cf g
def, deg, df g
ef g
Total 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35. Utilizando combinatorias el resultado ser´ıa mucho mas r´apido de calcular: C(7, 3) =
5
7! 7. 6. 5. 4! = = 35. (7 − 3)! 3! 3. 2. 1. 4!
Problemas Adicionales 1. Tengo 2 manzanas, 2 peras y 1 guineo. En la semana, de lunes a viernes, quiero comer una fruta por d´ıa. ¿De cu´ antas maneras puedo hacerlo? 2. En un tablero de luz, debe haber 7 l´amparas alineadas: 3 rojas, 2 verdes y 2 azules. Si no puede haber, 2 l´ amparas contiguas del mismo color, ¿De cu´antas formas puede armarse el tablero? 3. La caja un juego educativo contiene fichas en forma de: tri´angulo, c´ırculo, cuadrado y rect´angulo. De cada forma hay una de cada color: rojo, blanco y azul. Todas se presentan en dos tama˜ nos: grande y pequ˜ no y en dos grosores: grueso y delgado. ¿Cu´antas fichas tiene en total la caja? 4. La compa˜ nia de celulares KRS utiliza 10 d´ıgitos, del 0 al 9, para crear sus n´ umeros de tel´efono, los primeros 6 n´ umeros pueden ser 787 − 424 o 939 − 424. ¿Cu´antos n´ umeros de tel´efono podr´a crear la compa˜ nia KRS si los u ´ltimos 4 n´ umeros los puede escoger de entre el 0 al 9? 5. Paco, Ram´ on, Francisco y Gabriel van a acampar esta noche en una actividad de los ni˜ nos exploradores. Si ellos tienen dos casetas de acampar y van dos ni˜ nos en cada caseta, ¿de cu´antas formas diferentes se puede acomodar? 6. ¿Cu´ antos n´ umeros de 5 cifras est´ an formados por unos y tres? 7. ¿Cu´ atos n´ umeros de 5 cifras no tienen ni dos ni cuatros? 8. Si las tablillas de los carros tienen 4 n´ umeros y 2 letras, y ning´ un n´ umero o letra se puede repetir, ¿cu´ antas posibles tablillas pueden haber? 9. ¿De cu´ antas formas podemos ordenar 6 libros en un armario?
10. Juanito tiene que visitar a sus cinco tios con su mam´a, Tio Ariel, Tio Beto, Tio Carlos, Tio Dan y Tio Edgar, teniendo su base en casa de Tio Ariel. ¿Cu´antas rutas distintas puede tomar si no puede visitar al Tio Edgar hasta despu´es de haber visitado los Tios Beto o Carlos? 11. Se lanzan dos dados, uno rojo y uno verde, (a) ¿En cu´ antos resultados la suma es 7 u 11? (b) ¿En cu´ antos uno y s´ olo uno de los resultados muestra un 3? (c) ¿En cu´ antos resultados ninguno de los dados muestra un 3? 12. Si en las Olimpiadas de Matem´ aticas participan 60 ni˜ nos, ¿De c´ uantas maneras pueden quedar repartidos el primer, segundo y tercer lugar? 13. El alfabeto tiene 27 letras, ¿cu´ antas palabras de 10 letras se pueden formar sin que ninguna se repita?, ¿cu´ antas de k letras?
7
Prof. Jahzeel Silva OMPR Ejercicios de Geometría Nivel Elemental 1. 2.
3.
¿Cuánto suma los ángulos internos de un cuadrilátero convexo? Dibuja un triángulo ABC que tenga ∠A = 30º y ∠B = 70º. Sobre la prolongación del AC marca el punto D de tal manera que CD = CB. Completa el triángulo DCB. ¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos? Considera la siguiente figura. Si el área del triángulo es 2, ¿cuál es el área del cuadrado?
4.
El valor de x en el diagrama es:
5.
Se tiene una hoja de papel de forma cuadrada. Si se corta por la mitad formando dos rectángulos iguales, el perímetro de cada uno de ellos es de 18 cm. ¿Cuál es el perímetro de la hoja original? En un rectángulo de 3 metros de ancho por 6 metros de largo se trazan sus diagonales y éste queda dividido en cuatro triángulos. ¿Cuál es el área de cada uno de éstos triángulos? En la siguente figura, los números representan la longitud del segmento en el que se encuentran. ¿Cuál es el área ocupada por la figura, si todos los ángulos son rectos?
6.
7.
8.
En la figura, la longitud del segmento AD es de 12 cm, todos los arcos son semicircunferencias, c es el punto medio de AD y B es el punto medio de AC. Determinar el perímetro y el área de la figura sombreada.
9.
Se ha dibujado un rectángulo con centro O. Se sabe que el área del triángulo rectángulo OPQ es 7 cm2. Calcular el área de la figura sombreada.
10.
Hallar el ángulo x en la siguiente figura:
11.
Considera el cuadrado ABCD. Sean E, F, G, y H los puntos medios de AB, BC, CD y DA respectivamente. Sean I, J, K y L los puntos medios de EF, FG, GH y HE respectivamente. Si el perímetro del cuadrado ABCD es 4, ¿Cuál es el perímetro del cuadrado IJKL?
12.
En una hoja rectángular se dibuja un rectángulo dejando márgenes de 2 cm arriba y abajo y 3 cm en cada lado. El rectángulo que resulta tiene el lado horizontal igual a las tres cuartas partes del lado vertical y un área de 675 cm2. ¿Cuáles son las dimensiones de la hoja? Un rectángulo tiene 48 cms de perímetro y se puede dividir en 3 cuadrados iguales. ¿Cuál es el área de cada uno de estos tres cuadrados? De una hoja rectángular se cortan tres pedazos como indica la figura. A es un cuadrado con área de 144 cm2. B es un cuadrado con área de 81 cm2. C es un triángulo rectángulo con área de 102 cm2.¿Cuál es el área del pedazo que sobra?
13. 14.
15.
En la figura, ABCE es un rectángulo de 80 cm de perímetro. CE = 4BC y CD = DE. El triángulo CDE tiene 86 cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro de la figura ABCDE?
16.
Dos rectángulos tienen las medidas que se muestran en el dibujo. El área sombreada oscura es 31. ¿Cuál es el área de la región sombreada clara?
17.
Arturo tiene triángulos y rectángulos de madera. ¿Si en total sus piezas tienen 17 esquinas, cuántos triángulos tiene Arturo? Dividamos un rectángulo en cuatro partes, un cuadrado y tres rectángulos como se muestra en la figura. Las áreas están escritas dentro de las partes. ¿Cuánto mide el área total en unidades cuadradas?
18.
19.
En la figura se muestran tres líneas que se cortan en un punto. Se dan dos ángulos, hallar la medida del ángulo α.
20.
Jorge cortó un cuadrado de papel que tenía 20 cm de perímetro y obtuvo dos rectángulos. Si el perímetro de uno de los rectángulos recortados es 16 cm, ¿cuál es el perímetro de otro? Hallar la medida del ángulo A.
21.
22.
El diagrama representa un hexágono regular con perímetro de 42 cms y se ha dibujado una de sus diagonales. Encontrar la longitud de ésta diagonal.
Introduction to Functional Equations Roman Kvasov
Problem 1 Find all functions :
such that for all 2
Problem 2 Find all functions :
such that for all 1
1
Problem 3 Find all functions :
such that 3
2
Problem 4 Find all one-to-one functions :
such that
Problem 5 Find all functions :
such that for all 3 2
2
Problem 6 Find all functions : \ 0
0
such that for all
1
2
Problem 7 Find all functions : \
such that for all 1 2
3
1
Problem 8 Find all functions : \
,
such that for all
1
1 3
1
1 3
1
Problem 9 Find all functions : \ 0,1
such that 1
1
Problem 10 Find all one-to-one functions :
such that for all 1
1
1 3
7.3
Functional Equations
K 1. Prove that there is a function f from the set of all natural numbers into itself such that f (f (n)) = n2 for all n ∈ N. Singapore 1996 K 2. Find all surjective functions f : N → N such that for all m, n ∈ N: m|n ⇐⇒ f (m)|f (n). Turkey 1995 K 3. Find all functions f : N → N such that for all n ∈ N: f (n + 1) > f (f (n)). IMO 1977/6 K 4. Find all functions f : N → N such that for all n ∈ N: f (f (f (n))) + f (f (n)) + f (n) = 3n.
K 5. Find all functions f : N → N such that for all n ∈ N: f (f (m) + f (n)) = m + n.
K 6. Find all functions f : N → N such that for all n ∈ N: f (19) (n) + 97f (n) = 98n + 232. IMO unused 1997 K 7. Find all functions f : N → N such that for all n ∈ N: f (f (n)) + f (n) = 2n + 2001 or 2n + 2002. Balkan 2002 K 8. Find all functions f : N → N such that for all n ∈ N: f (f (f (n))) + 6f (n) = 3f (f (n)) + 4n + 2001. USAMO Summer Program 2001 K 9. Find all functions f : N0 → N0 such that for all n ∈ N0 : f (f (n)) + f (n) = 2n + 6. Austria 1989 K 10. Find all functions f : N0 → N0 such that for all n ∈ N0 : f (m + f (n)) = f (f (m)) + f (n). 48 www.cienciamatematica.com
IMO 1996/3 K 11. Find all functions f : N0 → N0 such that for all m, n ∈ N0 : mf (n) + nf (m) = (m + n)f (m2 + n2 ). Canada 2002 K 12. Find all functions f : N → N such that for all m, n ∈ N: • f (2) = 2, • f (mn) = f (m)f (n), • f (n + 1) > f (n). Canada 1969 K 13. Find all functions f : Z → Z such that for all m ∈ Z: f (f (m)) = m + 1. Slovenia 1997 K 14. Find all functions f : Z → Z such that for all m ∈ Z: • f (m + 8) ≤ f (m) + 8, • f (m + 11) ≥ f (m) + 11.
K 15. Find all functions f : Z → Z such that for all m, n ∈ Z: f (m + f (n)) = f (m) − n. APMC 1997 K 16. Find all functions f : Z → Z such that for all m, n ∈ Z: f (m + f (n)) = f (m) + n. South Africa 1997 K 17. Find all functions h : Z → Z such that for all x, y ∈ Z: h(x + y) + h(xy) = h(x)h(y) + 1. Belarus 1999 K 18. Find all functions f : Q → R such that for all x, y ∈ Q: f (xy) = f (x)f (y) − f (x + y) + 1. APMC 1984 49 www.cienciamatematica.com
K 19. Find all functions f : Q+ → Q+ such that for all x, y ∈ Q: f (y) y = f (x) + f x+ + 2y, x, y ∈ Q+ . x f (x) K 20. Find all functions f : Q → Q such that for all x, y ∈ Q: f (x + y) + f (x − y) = 2(f (x) + f (y)). Nordic Mathematics Contest 1998 K 21. Find all functions f, g, h : Q → Q such that for all x, y ∈ Q: f (x + g(y)) = g(h(f (x))) + y. KMO Winter Program Test 2001 K 22. Find all functions f : Q+ → Q+ such that for all x ∈ Q+ : • f (x + 1) = f (x) + 1, • f (x2 ) = f (x)2 . Ukrine 1997 K 23. Let such that
Q+
be the set of positive rational numbers. Construct a function f : Q+ → Q+ f (xf (y)) =
f (x) y
for all x, y ∈ Q+ . IMO 1990/4 K 24. A function f is defined on the positive integers by f (1) = 1, f (3) = 3, f (2n) = f (n), f (4n + 1) = 2f (2n + 1) − f (n), f (4n + 3) = 3f (2n + 1) − 2f (n), for all positive integers n. Determine the number of positive integers n, less than or equal to 1988, for which f (n) = n. IMO 1988/3 K 25. Consider all functions f : N → N satisfying Determine the least possible value of f (1998).
f (t2 f (s))
=
s(f (t))2
for all s and t in N . IMO 1998/6
K 26. The function f : N → N0 satisfies for all m, n ∈ N: f (m + n) − f (m) − f (n) = 0 or 1, f (2) = 0, f (3) > 0, and f (9999) = 3333. Determine f (1982). 50 www.cienciamatematica.com
IMO 1982/1 K 27. Find all functions f : N → N such that for all m, n ∈ N: f (f (m) + f (n)) = m + n. IMO Short List 1988 K 28. Find all surjective functions f : N → N such that for all n ∈ N: f (n) ≥ n + (−1)n . Romania 1986 K 29. Find all functions f : Z \ {0} → Q such that for all x, y ∈ Z \ {0}: x+y f (x) + f (y) f = , x, y ∈ Z \ {0} 3 2 Iran 1995 K 30. (copy of K4) K 31. Find all strictly increasing functions f : N → N such that f (f (n)) = 3n.
K 32. Find all functions f : Z2 → R+ such that for all i, j ∈ Z: f (i, j) =
f (i + 1, j) + f (i, j + 1) + f (i − 1, j) + f (i, j − 1) . 4
K 33. Find all functions f : Q → Q such that for all x, y, z ∈ Q: f (x + y + z) + f (x − y) + f (y − z) + f (z − x) = 3f (x) + 3f (y) + 3f (z).
K 34. Show that there exists a bijective function f : N0 → N0 such that for all m, n ∈ N0 : f (3mn + m + n) = 4f (m)f (n) + f (m) + f (n). IMO ShortList 1996
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Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Ciencias Matemáticas
Olimpiada Matemática
Universidad de Puerto Rico
de Puerto Rico PRIMERA FASE 2010-2011
NIVEL INTERMEDIO mo vo no (7
,
8
y
9
grado)
1. Catorce estudiantes en una clase estudian español y ocho estudian francés. Sabemos que tres estudian ambos lenguajes. ¾Cuántos estudiantes hay en la clase si cada uno de ellos estudia al menos un lenguaje? a ) 16 b ) 18 c ) 19 d ) 20 e ) 22 Solución: Como 3 alumnos estudian ambos lengüajes, 11 estudian sólo español y 5 estudian sólo francés. Utilizemos el siguiente diagrama de Venn para organizar nuestros hallazgos. Español Francés
11
5
3
Sumando estos números obtenemos 11 + 3 + 5 = 19. La respuesta c es la correcta. 2. Katya y sus amigos están parados formando un círculo. Resulta que los dos vecinos de cada integrante del círculo son siempre del mismo género. Si hay 5 hombres en el círculo, ¾cuántas mujeres habrá? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Solución: Organizamos a Katya y a sus amigos en forma circular. K representa a Katya, h representa a un hombre y m a una mujer. Como Katya es mujer a ambos lados tendrá hombres. Cada uno de estos, a su vez tendrá una mujer de vecina en el lado opuesto. Así sucesivamente hasta ubicar los 5 hombres. Entonces obtenemos una situación como la siguiente. m
h
h
m h m
K h
m
1
h
Contando a Katya tenemos 5 mujeres. La respuesta e es la correcta. 3. Si el perímetro de un triángulo es 100, ¾cuál es el valor mínimo que puede tener su área? a ) 0.1 b) 1 c ) 10 d ) 100 e ) ninguna de las anteriores Solución: Considere el siguiente triángulo:
49.999
49.999
h
.002
Utilizando Pitágoras podemos encontrar h, su altura (.001)2 + h2 = (49.999)2 h2 = (49.999)2 − (.001)2 h2 = 2499.9 h ≈ 49.99899999
Por lo tanto su área A≈
1 · .002 · 49.99899999 ≈ 0.049999 2
es menor que .1, que es la contestación más pequeña de las posibles. Este ejemplo ilustra que con un perímetro jo siempre se puede hacer un triángulo con área tan pequeña como uno quiera. Por lo tanto no hay área mínima. La respuesta e es la correcta. 4. En la gura de abajo, P es el centro del rectángulo ABCD. Si la distancia de P a AB es el doble de la distancia de P a BC y el perímetro de ABCD es 120cm, encontrar el área de ABCD.
a) b) c) d) e)
200cm2
A
400cm2
D P
600cm2 800cm2
B
1000cm2
C
Sea x la distancia de P a BC . Entonces la distancia de P a AB es 2x. Con esta información podemos encontrar el largo de los lados del rectángulo ABCD en términos de x. Solución:
2
A
4x
D
P
2x
2x x
C
B El perímetro del rectángulo ABCD es 120cm. Por lo tanto 2(2x) + 2(4x) = 120cm 4x + 8x = 120cm 12x = 120cm 120 x= cm 12 x = 10cm
Ahora podemos calcular el área del rectángulo ABCD, A = (2x)(4x) = 8x2 = 8(10cm)2 = 800cm2
La respuesta d es la correcta. 5. En un tablero de ajedrez, una torre sale de una esquina y vuelve a esa esquina despues de n movidas (la torre se mueve horizontal o verticalmente cualquier número de casillas). ¾Cuál de los siguientes valores de n no es posible? a ) 16 b ) 18 c ) 22 d ) 23 e ) ninguna de las anteriores Solución: Si n fuera par, nos movemos a alguna celda contínua y regresamos a la esquina. Repetimos este proceso el número de veces que sea necesario. Siempre que estemos de vuelta en la casilla será en un número par de movidas. Hacemos las que sean necesarias para alcanzar n. Si n fuera impar, nos movemos 2 celdas en alguna dirección en la primera movida. Luego regresamos a la celda que dejamos entre medio. Luego a la celda dónde estabámos al terminar la primera movida. Al igual que el caso anterior continuamos moviendonos entre estas dos celdas. Cuándo estemos en la celda continua a la de la esquina siempre habremos hecho un número par de movidas. Para alcanzar n, cuando hayamos hecho n − 1 movidas estaremos en la celda continua a la de la esquina, una movida a la celda de la esquina y así regresamos a esta en un número n de movidas. La respuesta e es la correcta. 6. ¾Cuántos números de cuatro dígitos satisfacen la condición de ser múltiplos de 3, 4 y 5 cuyo primer dígito es el doble del tercer dígito y el segundo dígito siempre es 6? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Solución: Sea abcd uno de estos números de cuatro dígitos, dónde cada letra signi ca un dígito. Sabemos que b = 6. Como el número es divisible por 5, entonces d solamente puede ser 0 ó 5 pero como también 3
es divisible por 4, el número que estamos buscando debe ser par. Así que d = 0. Siendo divisible por 4, entonces las posibilidades para los últimos dos dígitos son: 00, 20, 40, 60 y 80. Sin embargo como el primer dígito es el doble del tercero, descartamos que c sea 6 u 8 por que su doble sería un número de más de un dígito. Así que llegamos a las siguientes posibilidades: 0600 4620 8640 El primero de estos números no tiene cuatro dígitos. La respuesta c es la correcta. 7. ¾A qué potencia se debe elevar el número 96 para obtener el número 278 ? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Solución: Sea x el número que estamos buscando. Entonces x
96 = 278 6x
8
32 = 33 312x = 324 12x = 24 24 x= 12 x=2
La respuesta a es la correcta. 8. En cierto experimento de ciencias tengo algunos conejos y algunas cajas. Si coloco 5 conejos por caja al nal me sobran 15 conejos. Si los ubico 8 por caja me sobran 3 cajas. ¾Cuántas cajas tengo? a) 5 b) 7 c ) 10 d ) 13 e ) 20 Solución Sea c el número de cajas y n el número de conejos. El enunciado si colocamos 5 conejos por caja al nal sobran 15 conejos lo podemos expresar con la siguiente ecuación 5 · c + 15 = n
El enunciado si colocamos 8 conejos por caja me sobran 3 cajas lo podemos expresar con la siguiente ecuación 8 · (c − 3) = n
4
Igualando estas dos ecuaciones obtenemos 8(c − 3) = 5c + 15 8c − 24 = 5c + 15 3c = 15 + 24 3c = 39 39 c= 3 c = 13
La respuesta d es la correcta. 9. La gura muestra un cuadrado de lado 12cm, dividido en tres rectángulos del mismo perímetro. ¾Cuál es el área del rectángulo sombreado?
a) b) c) d) e)
36cm2 40cm2 48cm2 54cm2 72cm2
Solución:
Identi quemos los lados de cada uno de los rectángulos como indica la gura. 12cm l3
l3 l2
l4
12cm l1
l1
l1
l4
l2
El área del rectángulo sombreado con las identi caciones que hemos hecho es A = l1 · l2
Como el cuadrado tiene lado 12cm, obtenemos l1 + l3 = 12cm
l2 + l4 = 12cm
En particular l3 = 12 − l1 . Como los tres rectángulos tienen el mismo perímtero 2l1 + 2l2 = 2l1 + 2l4 = 2l3 + 24cm
De aquí obtenemos que l2 = l4 y combinado con las ecuaciones anteriores sabemos que l2 = 6cm. Tambien
5
obtenemos 2l1 + 2 · 6 = 2l3 + 24 2l1 = 2(12 − l1 ) + 24 − 12 2l1 = 36 − 2l1 4l1 = 36 36 l1 = 4 l1 = 9cm
Por lo tanto el área del rectángulo sombreado es A = l1 · l2 = 9cm · 6cm = 54cm2
La respuesta d es la correcta. 10. Un número par tiene 10 dígitos y la suma de sus dígitos es 89. ¾Cuál es el dígito de las unidades de ese número? a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 Solución: Si todos los dígitos del número fueran 9, la suma de sus dígitos sería 10 · 9 = 90. Así que uno y solamente uno puede ser 8 y nada menor. Como el número es par, este debe ser el último dígito. La contestación e es la correcta. 11. ¾Cuál es el número de cuadritos negros en la gura que deben ser pintados de blanco para que cada la y cada columna tenga exactamente un cuadrito negro?
a) b) c) d) e)
4 5 6 7
no se puede
Solución:
Si podemos tener únicamente un cuadrito negro en cada la y columna, solamente podemos tener
5 cuadritos negros. Así que debemos eliminar 6. En la siguiente gura obtenemos lo requerido.
La respuesta c es la correcta. 6
12. María dibujó 5 puntos en una hoja de papel y después dibujó segmentos de línea entre los puntos. Ella tuvo que dibujar 10 segmentos. Pedro hará lo mismo, pero él dibujó 12 puntos. ¾Cuántos segmentos deberá dibujar Pedro?
a) b) c) d) e)
12 55 60 66 78
Cuando María dibujó segmentos de línea entre los puntos, para el primer punto necesitó 4 palitos para poder llegar a cada uno de los demás puntos. Para el segundo necesitó 3 por que ya no necesitaba un palito para el primer punto y así sucesivamente. Los 10 palitos que dibujó los podemos encontrar de la siguiente forma
Solución:
4 + 3 + 2 + 1 = 10
Pedro dibujó 12 palitos, siguiendo de la misma forma el necesitará dibujar 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 66 palitos
La respuesta d es la correcta. 13. ¾Cuántas veces hay que escribir el dígito 2 para marcar las páginas de un libro que tiene 2010 páginas? a ) 612 b ) 610 c ) 591 d ) 572 e ) ninguna de las anteriores Solución: Hagamos un conteo de cuantas veces necesitamos el dígito 2 como unidad, decena, centena y unidad de mil. Para ello veamos cuantas veces necesitamos el 2 como unidad en cada decena; como decena en cada centena; como centena en cada unidad de mil; y como unidad de mil del 1 al 2010. En cada decena necesitamos el dígito 2 una vez como unidad (tenemos 10 · 10 · 2 + 1 decenas). En cada centena, necesitamos el dígito 2, 10 veces como decena (tenemos 10 · 2 centenas). Por cada unidad de mil, lo necesitamos 100 veces como centena (tenemos 2 unidades de mil). En los 2000 lo necesitamos como unidad de mil 11 veces. En la siguiente tabla organizamos nuestros hallazgos. número dígito unidad 1 · (10 · 10 · 2 + 1) decena 10 · (10 · 2) centena 100 · (2) unidad de mil 11 En total tenemos 612. La respuesta a es la correcta. 14. Decimos que un número es impa si todos sus dígitos son impares. ¾Cuántos números impas de cuatro dígitos hay? a) 5 + 5 + 5 + 5 b ) 54 c) 5 × 4 × 3 × 2 d ) 45 7
e ) ninguna de las anteriores Solución: Tenemos 4 digítos y para cada uno de ellos tenemos 5 opciones: 1, 3, 5, 7 y 9. Cada una de estas opciones es independiente de las otras. Así que tenemos 54 números impas de 4 dígitos. La respuesta b es la correcta. 15. En el cuadrado se deben ubicar los números del 1 al 16 de tal forma que la suma de ellos en cada la y en cada columna sea siempre la misma. ¾ Cuánto vale esa suma? a) b) c) d) e)
16 28 34 36
ninguna de las anteriores
Imaginemos que hemos colocado los números de la forma que indica el problema. Ahora sea S la suma de cada la. Si sumamos luego el resultado de la suma de cada la obtenemos 4S . Pero esto es lo mismo que sumar los números del 1 al 16. Si utilizamos la fórmula de Gauss:
Solución:
1 + 2 + 3 + · · · + 16 =
16(16 + 1) = 8 · 17 2
Pero esto es igual a 4S : 4S = 8 · 17 8 · 17 S= 4 S = 2 · 17 S = 34
La respuesta c es la correcta. 16. Considere el siguiente diagrama, compuesto por 9 puntos:
··· ··· ···
Si queremos pasar por los 9 puntos con una curva continua (que no se rompe) compuesta por varios segmentos rectilíneos, ¾cuál es el número mínimo de segmentos rectilíneos necesarios para lograrlo? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Solución: El problema no indica que sea necesario que los extremos de los segmentos de línea sean de los puntos indicados.
8
3
4 1
2
Es fácil ver que con menos segmentos rectilíneos no se puede. La respuesta c es la correcta. 17. El lado AC de un triángulo ABC tiene longitud 3.8 y el lado AB tiene longitud 0.6. Si la longitud de BC es un entero, ¾cuál es su longitud? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Solución: En cualquier triángulo la suma de las longitudes de dos de sus lados tiene que ser mayor que la longitud del tercero. Si la longitud de BC fuera 5, entonces la longitud de AC más la longitud de AB sería 3.8 + .6 = 4.4 y esto no es posible. Si fuera 3 o menos, entonces la longitud de AB más la longitud de BC , fuera menor que 3.6. Así que la longitud de BC es 4. La respuesta d es la correcta. 18. ¾Cuál es el último dígito de 22010 + 32010 + 52010 + 72010 ? a) 8 b) 7 c) 6 d) 4 e) 2 Solución: Utilizemos la siguiente tabla para estudiar las potencias de 2, 3, 5 y 7. 5 7 potencia 2 3 1 2 3 5 7 2 4 9 25 49 3 8 27 125 343 4 16 81 625 2401 Las siguientes potencias comenzarán a repetir sus últimos dígitos: 25 = 32, todas las potencias de 5 su último dígito es 5 y las potencias de 3 y 7 tienen como último dígito 1 para la potencia 4. Así que cada 4 se repiten los últimos dígitos. Al dividir 2010 por 4 obtenemos 2 como residuo. Así que sumamos los últimos dígitos de las potencias que tenemos en la segunda la de la tabla: 4 + 9 + 5 + 9 = 27
La respuesta b es la correcta. 19. ¾Cuántas soluciones (x, y) con x y y números enteros tiene la ecuación x2 − y 2 = 303? a) 1 b) 2 c) 3 9
d) 4 e ) ninguna de las anteriores Solución: Queremos encontrar soluciones enteras para esta ecuación. Observe que factorizando la diferencia de cuadrados y utilizando factorización prima obtenemos lo siguiente: x2 − y 2 = 303 (x + y) · (x − y) = 3 · 101
Como los números x y y son enteros también lo serán su suma y su resta. Por lo tanto vemos el siguiente sistema x−y =3 x + y = 101
Si sumamos las ecuaciones obtenemos 2x = 104 y por lo tanto x = 52 y y = 49. Veamos el otro sistema x − y = 101 x+y =3
Si sumamos las ecuaciones obtenemos 2x = 104 y por lo tanto x = 52 y y = −49. Pero también observe que nuestra ecuación original no se afecta por cambios de signos de las variables. Por lo tanto hay 4 soluciones distintas: (52, 49), (52, −49), (−52, 49), (−52, −49). La respuesta d es la correcta. 20. Diez monedas se acomodan en forma de triángulo equilátero con cuatro en la base, tres encima de esas, dos encima de las tres y una arriba. ¾Cuál es el número mínimo de monedas que hay que remover para que ningunas tres de las restantes tengan sus centros en los vértices de un triángulo equilátero?
a) b) c) d) e)
2 3 4 5 6
Solución:
Considere la situación en la que hemos numerado las monedas de la siguiente manera 1
2
4
7
3
5
8
6
9
10
Las monedas 1, 2, 3 forman un triángulo. Así que debemos remover al menos una de ellas. De igual forma las monedas 4, 7, 8 forman otro triángulo. Así que también debemos remover una de ellas. Las monedas 6, 9, 10 tambien forman otro triángulo y por lo tanto una de ellas debe ser removida. De esta manera, entonces debemos remover al menos tres monedas. Removiendo las monedas 1, 8, 9 todavía tendríamos triángulos que tendrían la moneda 5 como uno de sus vértices. Si removemos esta, obtenemos. 10
Con esta con guraci贸n encontramos que al remover 4 monedas podemos obtener lo que queremos. La respuesta c es la correcta.
11
Taller: Competencias de Matemática
El Cuadrado de un Número Aquí veremos una de las desigualdades más sencillas x2 ≥ 0. Ejemplo1: Sea x un número real. Demostrar que 4x –x4 ≤ 3.
Solución
Ejemplo2: Determinar si existe una función uno a uno f: R → R con la propiedad que para todo x, f (x2) - (f (x))2 ≥ 1/4 Solución
Ejercicios
1. La suma de n números reales es cero y la suma de sus productos dos a dos, también es cero. Probar que la suma de sus cubos de estos números es cero.
2. Sean a, b, c, y d números reales. Probar que los números a−b2, b−c2, c−d2 y d−a2 no son mayores que 1/4.
3. Hallar las soluciones del sistema:
4. Sean x, y números en el intervalo (0,1), con la propiedad que existe un numero positive diferente de 1 tal que logx a + logy a = 4logxy a. Probar que x = y
5. Hallar todas las tripletas (x,y, z) tal que x4+y4+z4−4xyz = −1.
6. Mostrar que si x4+ax3+2x2+bx+1 tiene una solución real, entonces a2+b2 ≥ 8.
7. Determine f : N→R tal que para todo k,m,n se cumple que f (km)+ f (kn)− f (k) f (mn) ≥ 1
Suma y Productos Telescópicos Suma telescópica:
Producto Telescópico:
Ejemplo 1: Calcular Solución
Ejemplo 2: Calcular Solución
Ejemplo 3: Mostrar que Solución
Ejercicios
1. Calcular
2. Si “d”, calcular
3. Calcular
4. Probar que
5. Calcular
son los elementos de una progresión aritmética de diferencia común