Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Ciencias Matemáticas Examen II - Mate 3032 Cálculo II 4 de marzo de 2009 Nombre _______________________________ Número de estudiante ______________ Sección _______________ Profesor ________________________ Debe mostrar todo su trabajo. Resuelva todos los problemas, escriba los pasos del procedimiento utilizado. Puede usar calculadora científica, pero solo cuando sea indispensable. (El examen tiene un valor de 100 puntos) 1. (12%) Hallar la longitud de arco de la curva:
x=
3 1 2 y + 2 ( )2 , 0 < y < 1 3
3 1 2 y + 2) 2 , 0 < y < 1 ( 3 1 1 1 dx 1 3 2 1 = * ( y + 2) 2 ( 2 y ) = ( 2 y ) ( y 2 + 2) 2 = y ( y 2 + 2) 2 dy 3 2 2
x=
2
dx 2 2 = y ( y + 2) dy 1
L = ∫ 1+ y
1
2
(y
2
+ 2 )dy = ∫ 1 + y + 2 y dy = ∫
0
2
0
1
L = ∫ ( y 2 + 1)dy = 0
2.
1
4
3
y +y 3
1
]0 =
(y
2
+ 1) dy =
2
0
1 4 +1 = 3 3
(12%) Halle el área de la superficie que se genera cuando el gráfico y 3 = 3x 0 < x <9 gira alrededor del eje y . Solución: 2
2
dx dx dx 1 A = 2π ∫ x 1 + dy, = (3) y 2 = y 2 ,1 + = 1 + y 4 dy 3 dy dy 1 Sustituyendo en la fórmula x por y 3 y poniendo los limites correspondientes de la y tenemos: 3 1 3 3 3 y π 2 π 2π 1 3 4 2 3 4 23 1 + y 4 dy = 1 + 4 = 1 + = 82 82 − 1 y y dy y A= 2π ∫ ∫ 0 0 3 3 4 0 63 9
(
)
(
)
(
)
3. (12%) Se tiene una lámina cuya fórmula corresponde a un triángulo isósceles de lado 5 pies y base 2 pies. La lámina se encuentra sumergida en agua con el vértice vertical hacia arriba y la base paralela a la superficie del agua. El vértice vertical se encuentra a 2 pies de la superficie del agua. lbs Determine la fuerza que el agua ejerce sobre una cara de la lámina. Densidad del agua = 62.5 pies 3 Solución. Tomemos el sistema de coordenadas en la superficie del agua y la dirección positiva del y hacia abajo. El eje y será perpendicular a la base y pasando por el vértice superior del triángulo con coordenadas (0,3) 4
∆A = 2 x∆y, p = ρ y, ∆F = 2 ρ xy∆y, F = 2 ρ ∫ xydy 2
¿Por qué la y varía de 2 a 4? La altura del triángulo la podemos determinar aplicando el teorema de Pitágora ( 5) 2 = h 2 + 1, ⇒ h = 2 , luego la y va de y=1 a y=2. Ahora debemos ver la relación entre y y x. Por triángulos semejantes tenemos: x y−2 1 = ⇒ x = ( y − 2 ) . Sustituyendo en la fórmula para F tenemos 1 2 2 4
y3 64 8 56 20 F = ρ ∫ ( y − 2) ydy = ρ − y 2 = ρ − 16 − − 4 = ρ − 12 = ρ ≈ 416.67 lbs 2 3 3 3 3 3 2 4
4. (10%) Hallar la primera coordenada X del centroide acotada por las siguientes curvas:
(X ,Y )
de una lámina que está representada por la región
y = e3x , y = 0, y las lineas x = 0, x = 1 Hallar X : 1
1
1 1 1 el denominador es ρ ∫ e dx = ρ e3x = ρ ( e3 − e0 ) = ρ ( e3 − 1) 3 0 3 3 0 El momento con respecto al eje de y M y es el numerador: 3x
1
el numerador M y es ρ ∫ xe3x dx, aquí necesitamos integración por partes: 0
u = x, du = dx, dv = e3x dx, v =
1 3x e , sustituye en uv-∫ vdu 3
e 3 e 3 e 0 e 0 x 3x 1 3x 1 e − e ) = ρ − − − = 0 3 9 0 3 9 3 9 3e3 − e3 1 1 2e3 3 − 1 2e3 2 2ρ 3 e − 1 − − = − = ρ ρ ρ − = 9 9 9 9 3 9 9 9 2ρ 3 ( e − 1) 2 My 9 = = X= ρ 3 masatotal e − 1) 3 ( 3 1
ρ ∫ xe3x dx = ρ
1
(
x 3x 1 e − ∫ e3 x dx 3 3 0
)= ρ(
5. (12%) Halle la solución del problema de valor inicial: xy '
+ y = y 2 ; y(1) = -1
xy ' = y 2 - y dy = y ( y-1 ) dx 1 1 dy = dx y ( y − 1) x
x
1
∫ y ( y − 1) d y
=
1
∫ x dx,
e n fra c c io n e s p a rc ia le s.
vam os a descom poner
1 y ( y − 1)
1 A B = + y ( y −1) y y −1 1 = A( y-1) + By 1 = ( A+B) y -A, igualando coeficientes tenemos que: A+B=0 y A = -1, por tanto B = 1. 1 A B −1 1 = + = + y ( y −1) y y −1 y y −1 −1
1
1
∫ y + y −1dy = ∫ x dx − ln y + ln y-1 = ln x + C ln ln
e
y −1 = ln x + C y y−1 y
ln x +C
=e
y −1 = eC x y y −1 = ± eC ( x) , sea A = ± eC y 1 1 1− = A( x) , vamos a resolver por y: 1-Ax = y y 1 y= , ésta el la solución general, ahora sustituye que si x=1, y = -1 1− Ax 1 1 -1= , -1+A=1 ; A = 2 y la solución particular es y= 1 - 2x 1-A(1)
6. ( 6%) Verifique que y = c1e−4 x + c 2 e −2 x es solución de y'' + 6y' + 8y = 0. Solución: y ' = −4c1e −4 x − 2c2 e −2 x , y " = 16c1e−4 x + 4c2 e −2 x Sustituyendo en la ecuación tenemos:
16c1e −4 x + 4c2 e −2 x + 6 ( −4c1e−4 x − 2c2 e−2 x ) + 8(c1e−4 x + c2 e −2 x )? = 0 16c1e −4 x + 4c2 e −2 x − 24c1e −4 x − 12c2 e −2 x + 8c1e −4 x + 8c2 e−2 x ? = 0
Como vemos el lado de la izquierda se reduce a 0 , luego
y = c1e −4 x + c2 e −2 x es solución de la ecuación
7. (8%) Conteste las siguientes preguntas, con respecto al problema de valor inicial: dy x = (1 + y 2 ) , dx 2
y(0) = 1
A continuación vemos el campo de pendientes de su ecuación diferencial: y 4
3
2
1 x −4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
(a) Dibuje la solución del problema de valor inicial. (b) Utilice su dibujo para estimar el valor y(1).
y (1) ≈ 2
8. (12%)Utilice el Método de Euler con tamaño del escalón ∆x = h = 0.2 para estimar y(1.8) , donde y(x) es la solución del problema de valor inicial. Redondee su contestación a 4 lugares decimales.
y′ = x (1 − y ) , y(1) = 0 xi’s x0 = 1 x1 = 1.2 x2 = 1.4 x3 = 1.6
yi’s y0 = 0 y1 = 0.2 y2 = 0.392 y3 = 0.5622
x4 = 1.8
y4 = 0.7023
F(x, y) = x(1 - y) y1 = y0 + h F(x0, y0) = 0 + 0.2(1(1 – 0) = 0.2 y2 = y1 + h F(x1, y1) = 0.2 + 0.2(1.2(1 – 0.2)) = 0.2 +0.2(.96) = 0.2 + 0.192 = 0.392 y3 = y2 + h F(x2, y2) = 0.392 + 0.2(1.4(1 – 0.392)) = 0.392 + 0.2(1.4(0.608)) = 0.392 + 0.2(0.8512) = 0.392 + 0.17024 = 0.56224 y4= y3 + h F(x3, y3) = 0.56224 + 0.2(1.6( 1 – 0.56224) = 0.56224 + 0.2(1.6(0.43776)) = 0.56224 + 0.2(0.700416) y4 = 0.56224 + 0.1400832 = 0.7023232
9. Se cultiva una población de 500 bacterias en un laboratorio. Si se observa que la velocidad de crecimiento de esta población es directamente proporcional a la cantidad de bacterias en cada tiempo t (t en horas). (a) (3%) Escriba la ecuación diferencial con su condición inicial. i)
Velocidad de crecimiento es directamente proporcional a la población:
ii)
La condición inicial es ; t = 0, P(0)= 500 Resolviendo la ecuación diferencial:
Se duplica cuando t=2, entonces iii)
Finamente
(b) (4%)Resuelva la ecuación, por separación de variables, para determinar la población en un tiempo t cualquiera. Resolviendo la ecuación diferencial:
Población inicial 500, entonces
(c) (4%)Halle una ecuación para la población de estas bacterias, si se sabe que la población se duplicó después de 2 horas. Justificar su respuesta. Se duplica cuando t=2, entonces Finamente
(d)(5%) Hallar el número de bacterias que hay a las 5 horas.
( ) = 500 (5.656854249) ≈ 2828
P(5) = 500 2
5
2
Bono: (6%) Resuelva la ecuación diferencial:
dx = 1 − t + x − tx dt
dx = 1 − t + x − tx dt dx = (1 − t ) + x (1 − t ) dt dx = (1 − t )(1 + x ) dt 1 dx = (1 − t ) dt 1+ x 1 ∫ 1 + x dx = ∫ (1 − t )dt t2 ln 1 + x = t − + C 2 e
ln 1+ x
=e
t−
t2 +C 2
1 + x = eC e
t−
1 + x = ± eC e
t2 2
t−
t2 2
t−
x = -1 ± A e
, sea A = ± eC
t2 2