Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Ciencias Matemáticas Examen III Mate 3032 - Cálculo II 1 de abril de 2009 Nombre _______________________________ Número de estudiante ______________ Sección _______________ Profesor ________________________ Debe mostrar todo su trabajo. Resuelva todos los problemas. Puede usar calculadora científica pero solo cuando sea indispensable. Parte I 1. (5 puntos ) .Determine si las sucesión siguiente converge o diverge, si converge determine el límite: 3n a) arcotan 3n+5 lim an = lim arcotan
N →∞
N →∞
3n 3n π = arcotan lim = arcotan (1) = n →∞ 3n+5 3n+5 4
b) (5 puntos) Halle el límite de la sucesión {an } donde an está dado por
lim
n →∞
(
(
( n 2 + 2n − n 2 − n ) n 2 + 2n + n 2 − n n + 2n − n − n = lim n →∞ n 2 + 2n + n 2 − n 2
2
)
{
n 2 + 2n − n 2 − n
) =3/2
II. Determine si la serie converge o diverge. Si converge determine la suma:
1 1 ∞ 1 ∞ 1 5 1 3 = 5 - 1 = 9 = 4.5 2 1. ( 5 puntos) ∑ n − n = 5∑ n - ∑ n =5 2 1− 1 1 - 1 2 3 n=1 2 n=1 2 n=1 3 2 3 ∞
Por tanto la serie converge.
∞
2. (6 puntos )
∑ 4n n =1
2 2
−1
Respuesta: Usando fracciones parciales 2 4n − 1 2
=
2 1 1 (2 puntos) = − (2n + 1)(2n − 1) 2n − 1 2n + 1
Como 1 1 1 1 1 1 Sn = 1 − + − + ... − + − 3 3 5 2 n − 1 2n − 1 2 n + 1
La serie es teléscópica (1 punto) Tenemos Sn = 1 −
1 (1 punto) 2n + 1 ∞
Como lim Sn = 1, la serie converge(1 punto) n→∞
∑ 4n − 1 =1 2
2
n =1
(1 punto)
}
III. Clasifique las siguientes series como convergentes o divergentes, presentando argumentos que justifiquen bien el resultado. (6 puntos cada uno) ∞
∑
a.
n=2
∞
1 n ( ln ( n ) )
2
b.
∑ n =1 ∞
∞
1
∫ x ( ln(x)) 2
t
−1 u−2 du = lim ∫ t →∞ t →∞ ln( x) 2 ln(2) t
dx = lim 2
−1 1 1 = lim + = t →∞ ln(t ) ln(2) ln(2) La integral converge, por lo tanto, la serie tambien converge.
∑
1 + n + n2 1 + n 2 + n6 1 + n + n2
1 + n 2 + n6 Usar prueba II Comparación: n =1
bn =
n2 n6
n2 1 = 3 = n n 1 + n + n2
2 6 an n + n 2 + n3 = lim 1 + n + n = lim n →∞ b n →∞ n →∞ 1 1 + n2 + n6 n n 3 3 n n = lim = lim 3 = 1 n →∞ n →∞ n n6
lim
ambas series se portan igual, así que ambas son divergentes.
IV.
(7 puntos) Escriba una serie de potencias para la función: x 9 + x2 n n n 2n ∞ -1 x 2n+1 ( ) x 1 x ∞ -x 2 x ∞ ( -1) x = = = = ∑ 9 ∑ 9n ∑ 9n+1 9 -x 2 9 n =0 9 n =0 n=0 1- 9
∞
V. (8 puntos) Determine el radio y el intervalo de convergencia de la serie:
5 n+1 x n + 1
(n + 9)
a n+1 = lim n→ ∞ an
lim
n→∞
5n x n
(n + 8) n+8 ∗ 1 n+9
5 x
lim
n→∞
3
= lim
n→∞
3
5 n+1 x n +1
(n + 8)
(n + 9)
5n x n
3
3
=
n+8 = 5 x lim = 5 x ∗ (1) < 1 n→∞ n + 9
3
3
1 1 1 , - <x< 5 5 5 Investigar los extremos : x <
1 x=− , 5 x=
1 , 5
∞
( -1)
n=0
(n + 8)
∑ ∞
∑ n=0
n
1
(n + 8)
3
3
, converge por el Criterio de la serie Alternante
, converge, ya que es serie p, con p > 1.
1 1 ≤x≤ 5 5 1 Radio de convergencia: R = 5
solución: Intervalo de convergencia: -
∑
n =1
5n x n ( n + 8) 3
VI.
(7 puntos cada uno )Determina si las siguientes series convergen absolutamente, convergen condicionalmente o divergen. Justifica tu respuesta con razonamiento o procedimiento lógico. En particular, escribe el nombre del criterio o teorema utilizado. ∞
a.
∑
n =1
(− 1)n
∞
n +1
b.
∞
∞
n=1
n=1
Primero investigar ∑an = ∑
( -1)
n
n +1
∞
=∑ n=1
1 n +1
Usar Prueba de Comparación II: 1 a n n = lim lim n = lim n +1 = lim =1 n→∞ b n→∞ n→∞ n +1 n→∞ n +1 1 n n ∞ 1 Como c = 1, un número positivo finito, y ∑ es serie p, con n=1 n ∞
p = 1/2 y diverge, la serie ∑an diverge. n=1 ∞
Pero la serie ∑
( −1)
n
es una serie alternante y satisface n + 1 n=1 las dos condiciones del Criterio de serie alternante, así que es condicionalmente convergente.
∑
n =1
n! 10 n
Usar prueba de la razón: a ( n + 1)! ∗ 10n = lim n + 1 = ∞ lim n +1 = lim n →∞ a n →∞ 10 n +1 ( n )! n→∞ 10 n Por lo tanto, la serie es divergente.
− 2n ∑ 3 n + 1 n =1 ∞
c.
3n
Usar la Prueba de la Raíz: 1
−2 n lim n an = lim n n →∞ n →∞ 3n + 1
3n
2 n 3 n n = lim = n →∞ 3n + 1
2 n 3 2 3 8 lim <1 = = n →∞ 27 3n + 1 3
La serie es absolutamente convergente
VII. a. (7 puntos) Hallar el siguiente límite (NO aplique L’H Ô pital) ∞
∑ ( −1)
n
x2n + 1
n =0
tan
−1
lim
x→0
x3 3
+
( 2n + 1)
= lim
x→0
x3 −
lim
( x) − x
x5 5
-
x→0
x7 7
+
x3 x9 9
- ......
x3
−x
x= lim
x→0
x3 3
+
x5 5
-
x7 7
+
x9 9
- ...........-x
x3
=
1 x2 x4 x6 -1 -1 = lim - + + -........ = + 0 + 0 +0 +..... = x→0 3 5 7 9 3 3
(−1)n x2n+1 Dado que s e n(x) = ∑ n=0 (2n +1)! ∞
VIII.
i. (5 puntos) Halle el desarrollo de
∞
4. senx = ∑ (−1)n −1 n =1
f (x) =sen(x3) como una serie de potencias.
∞ ∞ x (2 n −1) ( x 3 ) 2 n−1 x 6 n −3 , luego sen x3 = ∑ (−1)n −1 = ∑ (−1) n−1 (2n − 1)¡ (2n − 1)¡ n=1 (2n − 1)¡ n =1
ii. ( 7 puntos) Utilice esta serie de potencias para hallar
∫
0.5
0
sen ( x 3 )dx con siete cifras decimales
exactas, es decir, que el tamaño del error sea menor que 0.00000005,
∫
0.5
0
sen x 3dx = ∫
∞ 0.5 x 6 n −3 ∞ x 6 n −3 x 6 n−2 dx = dx = = ∑ ∑ ∫0 ∑ (2n − 1)¡ n =1 (6n − 2)(2n − 1)¡ n =1 (2n − 1)¡ n =1
0.5 ∞
0
0.54 0.510 x4 x10 − = − ≈ 0.0156087 4 (10)(6) 4 60
\
IX. (a) (6 puntos) Aproxime la función f(x) = x ln x con un polinomio de Taylor de grado 3: T3, en a = 1. 1 1 1 2 f '( x) = x + ln x, f '(x)=1, f "(x)= , f "(1) = 1 , f '"(x)=- 2 , f '"(1) = -1,f (4) (x)= 3 . x x x x
Luego el polinomio de Taylor de grado 3 es Tn ( x) = 0 + ( x − 1) +
( x − 1) 2 ( x − 1)3 − 2 6
. Así x ln x ≈ ( x − 1) +
( x − 1) 2 ( x − 1)3 − 2 6
(b) (6 puntos) Use la desigualdad de Taylor para estimar la exactitud de la aproximación cuando 0.5 ≤ x ≤ 1.5 Exactitud de la aproximación en el intervalo dado. M | x − 1|n +1 , donde | f ( n +1) ( x) |≤ M (n + 1)¡ (4) En nuestro caso como f ( x) es decreciente en el intervalo 0.5 ≤ x ≤ 1.5 el valor de M es 16( la cuarta derivada 1 16( ) 1 16 ) = 1 = 0.0416 evaluada en x = 0.5) , | x-1| ≤ , luego sustituyendo en la fórmula | R3 ( x) |≤ 2 24 24 De acuerdo a la desigualdad e Taylor | Rn ( x) |≤
Bono: (6 puntos) Hallar el valor de la suma siguiente :
∞
∑
n=0
3
3n = e5 5n n !