Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayag¨ uez
Universidad de Puerto Rico
´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2012-2013 PRIMERA FASE HOJA DE RESPUESTAS Informaci´ on del Estudiante: Apellidos:
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6to 7mo 8vo
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)
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9no 10mo 11mo -
Sexo:
F
M
E-mail del Maestro:
Nombre de la Escuela: Pueblo de la Escuela:
Escuela: P´ ublica
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Instrucciones: Marque con una x sus respuestas b c d e a b c d 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Privada
e
Env´ıe sus respuestas electr´ onicamente a trav´es de la p´ agina www.ompr.pr en o antes del 8 de mayo del 2012. Otra alternativa es enviarlo por correo postal a la direcci´ on: Dr. Luis F. C´ aceres-Duque Departamento de Ciencias Matem´ aticas Call Box 9000 Mayag¨ uez, PR 00681-9000
Olimpiadas Matem´aticas de Puerto Rico
6to, 7mo y 8vo grados
´ Universidad de Puerto Rico OLIMPIADAS MATEMATICAS Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de DE PUERTO RICO Mayag¨uez Primera fase 2012-2013
6to, 7mo y 8vo grados Ejercicios de 3 puntos 1. Hay 5 ciudades en el Pa´ıs de las Maravillas. Dos ciudades est´an conectadas por una sola carretera, visible o invisible. En el mapa del Pa´ıs de las Maravillas hay solamente 7 carreteras visibles. Alicia tiene unos espejuelos m´agicos que le permiten ver las carreteras invisibles del mapa. ¿Cu´antas carreteras invisibles puede ver ella?
a. 9
b. 8
c. 7
d. 3
e. 2
2. ¿Cu´ales tres piezas numeradas del rompecabezas debes a˜nadir para completar el cuadrado?
a. 1, 3, 4
b. 1, 3, 6
c. 2, 3, 5
d. 2, 3, 6
e. 2, 5, 6
3. Cada uno de los nueve senderos del parque es de 100 m de largo. Jessica quiere ir de A a B sin pasar por ning´un camino m´as de una vez. ¿Cu´al es la longitud del camino m´as largo que puede elegir? a. 400 m b. 600 m c. 700 m d. 800 m e. 900 m 1
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´ 4. Jos´e tiene 8 dados con las letras A, B, C y D. Cada dado tiene la misma letra en todas sus caras. El construye un cubo con los 8 dados. Dos dados adyacentes siempre tienen letras diferentes. ¿Qu´e letra est´a en el dado que no podemos ver en la figura?
a. A
b. B
c. C
d. D
e. No se puede determinar
5. En una mezcla de vinagre, vino y agua hay vinagre y vino en una raz´on de 1 a 2. El vino y el agua se encuentran en una raz´on de 3 a 1. ¿Cu´al de las siguientes afirmaciones es verdadera? a. Hay m´as vinagre que vino.
d. Hay m´as agua que vinagre y vino juntos.
b. Hay m´as vino que vinagre y agua juntos.
e. Contiene menos vinagre.
c. Hay m´as vinagre que vino y agua juntos. 6. Los n´umeros naturales est´an coloreados de rojo, de azul o de verde. El n´umero 1 es rojo, el 2 es azul, el 3 es verde, el 4 es rojo, el 5 es azul, el 6 es verde, y as´ı sucesivamente. ¿De qu´e color es el n´umero de la suma de un n´umero rojo y un n´umero azul? a. S´olo verde.
c. S´olo azul.
b. Rojo o azul.
d. S´olo rojo.
e. Imposible de determinar.
7. La siguiente figura est´a construida con cuadrados id´enticos y tiene un per´ımetro de 42 cm. Halle el a´ rea de la figura.
a. 8 cm2
b. 9 cm2
c. 24 cm2
2
d. 72 cm2
e. 128 cm2
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Ejercicios de 4 puntos 8. La figura muestra una estrella en forma de pent´agono. ¿Cu´al es la medida del a´ ngulo A? a. 35◦ b. 42◦ c. 51◦ d. 65◦ e. 109◦ 9. Organizamos los doce n´umeros, del 1 al 12, en un c´ırculo tal que dos n´umeros vecinos siempre tengan una diferencia de uno o dos. ¿Cu´ales de los siguientes n´umeros tienen que ser vecinos? a. 3 y 4 b. 5 y 6 c. 6 y 7 d. 8 y 10 e. 9 y 10 10. Los n´umeros de tres casas est´an formados por tres d´ıgitos, dos d´ıgitos y un d´ıgito: abc, bc y c. Sabemos que su suma es 912. ¿Cu´al es el valor de b? a. 0
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5
11. En cuatro tarjetas est´an escritos los n´umeros 2, 5, 7 y 12 (un n´umero en cada tarjeta). En la parte posterior de cada tarjeta est´an escritas las siguientes frases: “divisible por 7”, “primo”, “impar” y “mayor que 100”. Se sabe que cada n´umero escrito en cada tarjeta NO CORRESPONDE a la palabra en la parte posterior de la misma. ¿Qu´e n´umero est´a escrito en la tarjeta con la frase “mayor que 100”? a. 2
b. 5
c. 7
d. 12
e. Imposible de determinar
12. Un drag´on tiene 5 cabezas. Cada vez que se corta una, le crecen 5 cabezas nuevas. Si cortamos 6 cabezas, una a la vez, ¿cu´antas cabezas tendr´a el drag´on al final? a. 25
b. 28
c. 29
3
d. 30
e. 33
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13. Hab´ıa 12 ni˜nos en una fiesta de cumplea˜nos cuyas edades eran 6, 7, 8, 9 y 10 a˜nos. Cuatro de ellos ten´ıan 6 a˜nos. La edad que m´as se repet´ıa en el grupo era 8 a˜nos. ¿Cu´al era la edad promedio de los 12 ni˜nos? a. 6
b. 6.5
c. 7
d. 7.5
e. 8
Ejercicios de 5 puntos 14. B´arbara quiere completar el siguiente diagrama insertando tres n´umeros, uno en cada espacio vac´ıo. Ella quiere que la suma de los primeros tres n´umeros sea 100, la suma de los tres n´umeros del medio sea 200, y la suma de los u´ ltimos tres n´umeros sea 300. ¿Qu´e n´umero debe B´arbara insertar en el centro del diagrama?
a. 50
b. 60
c. 70
d. 80
e. 100
15. Un oct´agono regular se dobla exactamente por la mitad tres veces hasta obtener un tri´angulo.
Luego se hace un corte en a´ ngulo recto como se muestra en la figura. ¿C´omo luce la figura al desdoblar el papel?
a.
b.
c.
d.
e.
16. Tres tri´angulos equil´ateros del mismo tama˜no se cortan de las esquinas de un tri´angulo equil´atero mayor, cuyos lados miden 6 cm. La suma de los per´ımetros de los tres tri´angulos peque˜nos es igual al per´ımetro del hex´agono resultante sombreado. ¿Cu´al es la longitud de los lados de los tri´angulos peque˜nos?
a. 1 cm
b. 1.2 cm
c. 1.25 cm
4
d. 1.5 cm
e. 2 cm
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17. La se˜nora Barreto tiene un huerto casero de tomates y lechugas. Este a˜no decidi´o cambiar la siembra rectangular de tomates por una cuadrada, extendiendo uno de sus lados por 3 m. Como consecuencia, el a´ rea de la siembra de lechugas se redujo por 15 m2 . ¿Cu´al era el a´ rea inicial de la siembra de tomates?
a. 5 m2
b. 9 m2
c. 10 m2
d. 15 m2
e. 18 m2
18. Cada una de las dos figuras que se muestran est´an formadas por las mismas cinco piezas. El rect´angulo mide 5 cm × 10 cm, y las otras piezas son cuartos de dos c´ırculos diferentes. La diferencia entre sus per´ımetros es:
a. 2.5 cm
b. 5 cm
c. 10 cm
d. 20 cm
e. 30 cm
19. Pedro quiere cortar un rect´angulo de tama˜no 6 × 7 en cuadrados cuyos lados midan n´umeros enteros. ¿Cu´al es el n´umero m´ınimo de cuadrados que e´ l puede obtener? a. 4
b. 5
c. 7
d. 8
e. 42
20. Un cuadrado m´agico que habla tiene lados de 8 cm. Cuando el cuadrado dice la verdad, sus lados se disminuyen por 2 cm. Cuando miente, su per´ımetro se duplica. De las u´ ltimas cuatro oraciones que dijo, dos fueron ciertas y dos fueron falsas, pero desconocemos el orden. ¿Cu´al es el per´ımetro m´as grande posible del cuadrado luego de esas cuatro oraciones? a. 28 cm
b. 80 cm
c. 88 cm
d. 112 cm
e. 120 cm
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