Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayag¨ uez
Universidad de Puerto Rico
´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2012-2013 PRIMERA FASE HOJA DE RESPUESTAS Informaci´ on del Estudiante: Apellidos:
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6to 7mo 8vo
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9no 10mo 11mo -
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F
M
E-mail del Maestro:
Nombre de la Escuela: Pueblo de la Escuela:
Escuela: P´ ublica
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Instrucciones: Marque con una x sus respuestas b c d e a b c d 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Privada
e
Env´ıe sus respuestas electr´ onicamente a trav´es de la p´ agina www.ompr.pr en o antes del 8 de mayo del 2012. Otra alternativa es enviarlo por correo postal a la direcci´ on: Dr. Luis F. C´ aceres-Duque Departamento de Ciencias Matem´ aticas Call Box 9000 Mayag¨ uez, PR 00681-9000
Olimpiadas Matem´aticas de Puerto Rico
9no, 10mo y 11mo grados
´ Universidad de Puerto Rico OLIMPIADAS MATEMATICAS Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de DE PUERTO RICO Mayag¨uez Primera fase 2012-2013
9no, 10mo y 11mo grados Ejercicios de 3 puntos 1. Si sumamos los siete d´ıgitos de un n´umero, el resultado es 6. ¿Cu´al es el producto de estos d´ıgitos? a. 0
b. 6
c. 7
d. 1·2·3·4·5·6·7
e. 5
2. Un n´umero de 4 d´ıgitos tiene al 3 en el lugar de las centenas y la suma de los otros tres d´ıgitos es 3. ¿Cu´antos n´umeros enteros positivos cumplen con estas propiedades? a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
e. 6
3. M y N son los puntos medios de los lados iguales de un tri´angulo is´osceles. El a´ rea del cuadril´atero que falta es:
a. 3
b. 4
c. 5
d. 6
e. 7
4. Cuando Alicia quiere enviar un mensaje a Ra´ul, ella usa el siguiente sistema, conocido por Ra´ul: A = 01, B = 02, C = 03 . . . Z = 26 (seg´un alfabeto ingl´es) Despu´es de sustituir cada letra por su equivalente num´erico, ella lo calcula con la f´ormula: 2 × n´umero + 9 El mensaje es ahora escrito en una secuencia num´erica enviada a Ra´ul. Esta ma˜nana Ra´ul recibi´o: 25, 19, 45, 38 y descifr´o la secuencia. ¿Cu´al es el mensaje que Ra´ul recibi´o en ingl´es? a. HERO
c. HEAR
b. HELP
d. HERS
e. Alicia cometi´o un error.
1
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9no, 10mo y 11mo grados
5. El cuadrado ABCE tiene lados de largo 4 cm y la misma a´ rea que el tri´angulo ECD. ¿Cu´al es la distancia del punto D a la recta g ?
a. 8 cm b. (4 +
c. 12 cm √ 2) cm
e. Depende de la localizaci´on del punto D.
√ d. 10 2 cm
6. Tres atletas, Can, Gu y Ro, participaron en una carrera. Antes de comenzar la carrera, cuatro espectadores de la audiencia hab´ıan discutido las probabilidades de ganar. Espectador 1: “Can o Gu ganar´a”. Espectador 2: “Si Gu es el segundo, Ro ganar´a”. Espectador 3: “Si Gu es el tercero Can no ganar´a”. Espectador 4: “Gu o Ro ser´a el segundo”. Despu´es de la carrera result´o que las cuatro aseveraciones fueron ciertas. ¿En qu´e lugar terminaron los atletas? a. Can, Gu, Ro
b. Can, Ro, Gu
c. Ro, Gu, Can
d. Gu, Ro, Can
e. Gu, Can, Ro
Ejercicios de 4 puntos 7. Un cuboide est´a formado por tres piezas, seg´un se muestra en la figura. Cada pieza es de un solo color y consiste de cuatro cubos. ¿Cu´al de las siguientes opciones representa la pieza blanca?
a.
b.
c.
d. 2
e.
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9no, 10mo y 11mo grados
8. Si Luis se para sobre una mesa y Pedro se para en el piso, Luis es 80 cm m´as alto que Pedro. Si Pedro se para sobre la misma mesa y Luis en el piso, Pedro es un metro m´as alto que Luis. ¿Cu´al es la altura de la mesa? a. 20 cm
b. 80 cm
c. 90 cm
d. 100 cm
e. 120 cm
9. Carlos tiene 5 cubos. Cuando los ordena de peque˜no a grande, todos los cubos vecinos difieren por 2 cm de altura. La altura del cubo m´as grande es igual a la suma de las alturas de los dos cubos m´as peque˜nos. ¿Cu´an alta es una torre formada con los 5 cubos? a. 6 cm
b. 14 cm
c. 22 cm
d. 44 cm
e. 50 cm
10. Mar´ıa escribi´o 2012 = mm (mk − k), donde m y k son enteros positivos. ¿Cu´al es el valor de k? a. 2
b. 3
c. 4
d. 9
e. 11
11. Existen n´umeros de 3 d´ıgitos que tienen la siguiente propiedad: si remueves el primer d´ıgito, obtienes un cuadrado perfecto y si remueves el u´ ltimo d´ıgito, tambi´en obtienes un cuadrado perfecto. ¿Cu´al es la suma de todos los n´umeros con esta curiosa propiedad? a. 1013
b. 1177
c. 1465
d. 1993
e. 2016
12. En el cuarto de Juan hay cuatro relojes, todos adelantados o atrasados. El primer reloj est´a equivocado por 2 minutos, el segundo por 3 minutos, el tercero por 4 minutos, y el cuarto por 5 minutos. Un d´ıa Juan quer´ıa saber la hora exacta usando sus relojes, y observ´o las siguientes horas: 6 minutos para las 3, 3 minutos para las 3, 2 minutos pasadas las 3, y 3 minutos pasadas las 3. ¿Cu´al es la hora exacta? a. 2:57
b. 2:58
c. 2:59
d. 3:00
e. 3:01
13. Dos lados de un cuadril´atero tienen longitudes 1 y 4. Una diagonal de longitud 2 divide el cuadril´atero en dos tri´angulos is´osceles. ¿Cu´al es el per´ımetro del cuadril´atero? a. 8
b. 9
c. 10
d. 11
e. 12
14. El tango se baila en parejas de un hombre y una mujer. En el baile de la tarde no hay m´as de 50 personas. En un momento dado, 34 partes de los hombres est´an bailando con 45 partes de las mujeres. ¿Cu´antas personas est´an bailando en ese momento? a. 20
b. 24
c. 30
3
d. 32
e. 46
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9no, 10mo y 11mo grados
Ejercicios de 5 puntos 15. Efr´en produjo una lista de todos los n´umeros de dos d´ıgitos. Para cada uno de los n´umeros calcul´o el producto de sus d´ıgitos. Luego calcul´o la suma de todos los productos obtenidos. ¿Cu´al fue el total que obtuvo? a. 45
b. 452
c. 453
d. 245
e. 345
16. Alexandra cre´o un juego de computadora llamado El Coqu´ı. El siguiente diagrama representa el mapa del juego. Al comenzar, el Coqu´ı se encuentra en la Escuela (E). De acuerdo con las reglas del juego, desde cualquier sitio excepto del Hogar (H), el Coqu´ı puede brincar a cualquiera de sus dos lugares adyacentes. Cuando e´ l llega a (H), termina el juego. ¿De cu´antas maneras puede el Coqu´ı viajar desde (E) hasta (H) en exactamente 13 saltos?
a. 12
b. 32
c. 64
d. 144
e. 1024
17. La due˜na de una joyer´ıa tiene 12 pedazos de cadena de dos eslabones cada uno, y quiere construir una cadena grande con ellos. Para hacerlo tiene que abrir algunos eslabones y cerrarlos luego de conectarlos. ¿Cu´al es el menor n´umero de eslabones que ella tiene que abrir?
a. 7
b. 8
c. 9
d. 10
e. 11
18. Sean A, B, C, D, E, F, G, H los ocho v´ertices consecutivos de un oct´agono convexo. Se selecciona de forma aleatoria un v´ertice entre C, D, E, F, G y H, y se dibuja un segmento hasta el v´ertice A; luego se escoge aleatoriamente de entre los mismos seis v´ertices uno de ellos y se dibuja un segmento hasta el v´ertice B. ¿Cu´al es la probabilidad de que el oct´agono sea dividido por estos dos segmentos en exactamente 3 regiones? a.
1 6
b.
1 4
c.
4 9
d.
4
5 18
e.
1 3
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19. En un rect´angulo con base de 6 cm, hay dibujado un “tri´angulo equil´atero” formado por c´ırculos que se tocan. ¿Cu´al es la distancia m´as corta entre los dos c´ırculos grises?
a.
√
2 cm
b.
√
3 cm
√ c. 2 3 − 2 cm
d.
π cm 2
e. 2 cm
20. El tri´angulo grande est´a dividido por tres segmentos, formando 4 tri´angulos y 3 cuadril´ateros. La suma de los per´ımetros de los cuadril´ateros es 25 cm. La suma de los per´ımetros de los 4 tri´angulos es 20 cm. El per´ımetro del tri´angulo grande es 19 cm. ¿Cu´al es la suma de las longitudes de los tres segmentos?
a. 11 cm
b. 12 cm
c. 13 cm
d. 15 cm
e. 16 cm
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