Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez
COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS
Universidad de Puerto Rico
SEGUNDA FASE 23 de enero de 2010
NIVEL SUPERIOR 10mo a 12mo grado Instrucciones: Llena la hoja de respuestas. Solamente entregarás la hoja de respuestas al terminar el examen. Los primeros 10 problemas son de opción múltiple, los últimos 5 son de respuesta abierta. Tienes 3 horas para trabajar el examen. ¡Buena suerte! Fill the answer sheet. You will only hand in the answer sheet at the end of the exam. The first 10 problems are multiple choice, the last 5 are open answer. You have 3 hours to complete the exam. Good luck!
1. ¿Cuántos caminos conducen del punto A al punto B de la figura, si no se puede pasar por ningún punto más de una vez? How many paths connect point A to point B in the figure if no point in the path can be passed over more than once?
a. 3 b. 6
c. 7 d. 8
e. al menos 10 at least 10
2. El producto de las edades de mis hijos es 1664. La edad del más joven es la mitad de la del mayor. ¿Cuántos hijos tengo? The product of the ages of my children is 1664. The age of my youngest child is half of the age of the oldest. How many children do I have? a. 2 c. 4 e. 6 b. 3 d. 5
3. Una bandera consiste de cinco franjas todas ellas con el mismo ancho. La bandera total tiene un área 2 de 3m . ¿Cuántos metros cuadrados tiene el área de la franja sombreada? 2 A flag consists of five bands of equal width. The flag has a total area of 3m . How many square meters is the area of the shaded region?
a. 1/4 b. 1/2
c. ¾ d. 1
e. 5/4
1
4. ¿Cuántos enteros de la lista 100,101,102,…, 999 no contienen los dígitos 2, 5, 7 y 8? How many integers in the list 100, 101, 102, … , 999 do not contain the digits 2, 5, 7 and 8? a. 160 c. 180 e. 200 b. 170 d. 190
5. Un cuadrado está inscrito en un círculo de radio 1. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado? A square is inscribed in a circle of radius 1. What is the perimeter of the square?
c. 2π d. 2 2
a. 8 b. 6
e. 4 2
6. Hallar la cantidad de ternas ( x, y, z ) de enteros positivos que satisfacen el sistema de ecuaciones Find the number of triplets ( x, y, z ) of positive integers that satisfy the following system of equations xy + yz = 44 xz + yz = 23 a. 0 c. 2 e. 4 b. 1 d. 3
7. Si la figura representa un cuadrado con vértices A,B,C y D y el ángulo ONA mide 60 , ¿cuánto mide el ángulo DOM? If the figure represents a square with vertices A, B, C and D and the angle ONA measures 60 , what is the measure of angle DOM?
a. 10 b. 15
c. 20 d. 30
e. 35
2
8. ¿Cuántos conjuntos de enteros positivos consecutivos (dos o más) cumplen que la suma de sus elementos es igual a 100? How many sets of consecutive positive integers (two or more) satisfy that the sum of their elements is equal to 100? a. 0 c. 2 e. 4 b. 1 d. 3
9. María tiene un cuadrado de papel de lado 1. Quiere dividirlo en tres partes como se muestra en la figura. Si las tres partes deben tener la misma área, ¿cuánto vale x? Maria has a square paper with a side of length 1. She wants to divide it in three parts as shown in the figure. If the three parts must have equal areas, what is the value of x?
a. 1/2 b. 1/3
c. 1/4 d. 2/3
e. 3/4
10. Un número de dos dígitos se divide por la suma de sus dígitos. ¿Cuál es el máximo residuo que se puede obtener? A two-digit number is divided by the sum of its digits. What is the maximum residue that can be obtained? a. 12 c. 14 e. 16 b. 13 d. 15
11. ¿Cuál es el primer dígito, por la izquierda, en el menor número natural cuya suma de dígitos es 2010? What is the first digit, starting from the left, in the smallest natural number whose sum of digits is 2010?
12. Encuentra todos los triángulos rectángulos tales que las medidas de uno de los catetos y de la hipotenusa sean números enteros y la medida del otro cateto sea igual a la raíz cuadrada de 12. Find all right triangles such that the measure of one side and the hypotenuse are integer numbers and the measure of the other side is the square root of 12.
3
13. En un rectángulo ABCD la longitud de AB es el doble que la de BC . En el lado CD se elige un punto M tal que el ángulo AMD es igual al ángulo AMB . Determina la medida del ángulo AMB . In rectangle ABCD the length of AB is twice that of BC . On side CD point M is selected such that the angle AMD is equal to angle AMB . Determine the measure of angle AMB .
14. Encuentra todos los enteros b, c tales que la ecuación x 2 − bx + c = 0 tenga dos soluciones enteras
x1 , x2 tales que x12 + x22 = 5 . 2 Find all integers b, c such that the equation x − bx + c = 0 has two integer solutions x1 , x2 such that
x12 + x22 = 5 .
15. Sean a, b números reales tales que a 3 + b3 = 13 y a 9 + b9 = −299 . Encuentra el valor de ab . 3 3 9 9 Let a, b be real numbers such that a + b = 13 and a + b = −299 . Find the value of ab .
Contesta el mayor número de preguntas que puedas, usa todo el tiempo que tienes. Solve as many problems as you can and use all the time allowed.
4