Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayag¨ uez
´ OLIMPIADA MATEMATICA DE PUERTO RICO
Universidad de Puerto Rico
Segunda Fase 29 de enero de 2011
Nivel Intermedio 7mo - 9no grado Instrucciones: Llena la hoja de respuestas. Solamente entregar´as la hoja de respuestas al terminar el examen. Los primeros 10 problemas son de opci´on m´ ultiple, los u ´ltimos 5 son de respuesta abierta. Tienes 3 horas para trabajar el examen. ¡Buena suerte! Instructions: Fill the answer sheet. You will only turn in the answer sheet at the end of the exam. The first 10 problems are multiple choice, the last 5 are open answer. You have 3 hours to complete your work. Good luck! 1. La suma de tres enteros positivos es 6. ¿Cu´al es el valor m´ınimo que puede tomar la suma de los cuadrados de estos tres enteros? The sum of three positive integers is 6. What is the minimum value that the sum of the squares of these numbers can take? a. 6
d. 12
b. 10
e. 14
c. 11 2. Dos v´ertices de un tri´ angulo ABC son los puntos medios de los lados de un rect´angulo, como se muestra en la figura. Si el ´ area del rect´angulo es 1 cm2 , ¿cu´al es el ´area del tri´angulo? Two vertices in triangle ABC are the midpoints of consecutive sides of a rectangle, as shown in the figure. If the area of the rectangle is 1 cm2 , what is the area of the triangle? A
C
B
a. b. c.
1 3 1 4 1 8
cm2 cm2 cm2
d.
3 8
cm2
e. No se puede determinar Cannot be determined
3. Las manzanas cuestan $1, las peras $2 y los mang´os $3. Si tenemos $7, ¿de cu´antas formas distintas podemos gastarlos sin comprar necesariamente de todas las frutas? Apples cost $1, pears $2 and mangos $3. If we have $7, in how many different ways can we spend them without necessarily buying all kinds of fruit? a. 6 b. 8 c. 12
d. 16 e. Ninguna de las anteriores None of the above
1
4. Un lado de un rect´ angulo mide 12 cm de largo, mientras que el otro lado es 3 veces m´as grande ¿Cu´al es el ´ area de un cuadrado cuyo per´ımetro es 13 del per´ımetro del rect´angulo? One side of a rectangle si 12 cm long, whereas the other is 3 times longer. What is the area of a square whose perimeter is 13 the perimeter of the rectangle? a. 49 cm2
d. 100 cm2
b. 64 cm2
e. 121 cm2
c. 81 cm2 5. El reloj de la figura tiene un solo palito y funciona de manera diferente: cada minuto salta 5 n´ umeros. Comienza a las 12, un minuto despu´es salta a las 5 y despu´es de 2 minutos salta al 10 y as´ı sucesivamente. ¿Cu´ anto tiempo le tomar´a al palito llegar nuevamente al n´ umero 12? The clock shown in the figure only has one hand and works differently: each minute it skips 5 numbers. It starts at 12, a minute later it jumps to 5 and 2 minutes later it jumps to 10 and so on. How long will it take for the hand to get to 12 again? 12
12 11
9
3
8
4 7
5
2
9 4 7
5 6
2
9
3
8
4 7
5 6
1 minuto
a. Nunca Never
1
10 3
8
6
0 minutos
11
1
10
2
10
12
11
1
2 minutos
d. 8 min e. 12 min
b. 4 min c. 6 min 6. En un tablero 4 × 4 hay que colocar cuatro fichas de acuerdo a las siguientes reglas: → Una ficha en cada fila. → Una ficha en cada columna. → Si un cuadrito tiene una ficha, entonces no se puede colocar una ficha en el cuadrito que es vecino diagonalmente. ¿De cu´antas formas distintas se puede hacer esto? Four tokens have to be placed on a 4 × 4 board according to the following rules: → One token in each row. → One token in each column. → If a square has a token, then one cannot place a token on a square that is a diagonal neighbor. In how many different ways can this be done? a. 0
d. 4
b. 1
e. 24
c. 2
2
7. Los cuadrados perfectos son 1, 4, 9, 16, 25, . . . Considere la lista de n´ umeros consecutivos 1, 2, 3, 4, . . . , 9998, 9999, 10000. ¿Qu´e porcentaje de estos n´ umeros son cuadrados perfectos? The perfect squares are 1, 4, 9, 16, 25, . . . . Consider the list of consecutive numbers 1, 2, 3, 4, . . . , 9998, 9999, 10000. What percentage of them are perfect squares? a. 1 %
d. 15 %
b. 1.5 %
e. 20 %
c. 10 % 8. Con la informaci´ on que se muestra en el dibujo hallar el valor de α. With the given information in the figure find the value of α. α
3α
d. 60◦
a. 25◦ b. 30◦ c. 36◦
e. No hay suficiente informaci´on Not enough information is provided
√ 9. En la figura, O es el centro del c´ırculo y el ´area sombreada equivale a 3. ¿Cu´al es el ´ area del tri´angulo ABC? √ In the figure, O is the center of the circle and the colored area is equal to 3. What is the area of triangle ABC? √ a. 2 3
d. 4
b. 2
√ e. 4 3
A
B O
c. 5
10. ¿Cu´antos d´ıgitos tiene el n´ umero 21000 ? How many digits does the number 21000 have? a. Menos de 100 Less than 100 b. Entre 101 y 200 Between 101 and 200 c. Entre 201 y 300 Between 201 and 300
d. Entre 301 y 400 Between 301 and 400 e. M´as de 400 More than 400
3
C
11. Se muestra una cuadr´ıcula 3 × 3. Se quieren colorear tres cuadritos de tal manera que los cuadritos coloreados no compartan un lado. En el dibujo se muestra una posible forma. ¿Cu´antas formas posibles hay de hacer esto, incluyendo la del ejemplo que se da? A square 3 × 3 board is shown in the figure. We want to color three squares in such a way that the colored squares do not share a side. A possible coloring is shown in the figure as well. How many different ways of doing this are there, including the one in the example?
12. Un pal´ındromo es un n´ umero que queda igual cuando los d´ıgitos se escriben en orden contrario. Por ejemplo, 1331 y 21312 son pal´ındromos. Un carro marcaba 15951 millas en su od´ometro. ¿Cu´ al es el n´ umero m´ınimo de millas que debe recorrer el carro para que aparezca el siguiente pal´ındrom´ o? A palindrome is a number that stays the same when the order of its digits is inverted. For example, 1331 and 21312 are palindromes. A car showed 15951 miles on its odometer. What is the number of miles it must travel until the next palindrome appears on the odometer? 13. ¿Cu´antos pares ordenados (x, y), siendo x y y enteros, satisfacen la siguiente ecuaci´on: xy − x − 15 = 0? How many ordered pairs (x, y), being that x and y are integers, satisfy the following equation: xy − x − 15 = 0? 14. Si el radio del c´ırculo m´ as grande es 4 y cada c´ırculo tangente interior tiene radio 14 del anterior, ¿cu´anto vale el ´ area sombreada? If the radius of the largest circle is 4 and each interior tangent circle has 14 the radius of the previous one, what is the area of the colored region?
15. ¿Cu´antos tri´ angulos hay en la estrella de la figura? How many triangles are there in the star shown in the figure?
Contesta el mayor n´ umero de preguntas que puedas, usa todo el tiempo disponible.
Solve as many problems as you can, use all of the time available. 4