Introducción a los Principios de Conteo Por: Dr. Edgardo Lorenzo Academias Sabatinas 20 de febrero de 2010
HOJA DE TRABAJO
La idea detrás de los Principios de Conteo, es determinar de cuántas maneras puede ocurrir cierto evento, sin necesariamente enumerar y contar dichas maneras de ocurrencia.
I. Aplicando el Diagrama de Venn: Ejemplo: Se entrevistaron 20 niños entre las edades de 5 a 12 años, de los cuales: 12 tenían “play station”, 6 tenían DS, y 3 ambas cosas. Determine el número de estudiantes que: a) tienen por lo menos uno de los dos equipos b) no tienen ninguno de los dos equipos c) tienen DS pero no “play station” d) no tienen DS
II. Principio fundamental de conteo: Si una primera tarea puede realizarse de n1 maneras distintas, una segunda tarea puede realizarse de n2 maneras distintas, y así sucesivamente hasta una k-ésima tarea que puede realizarse de nk maneras distintas, entonces el número total de maneras en que estas tareas pueden ejecutarse en conjunto, una seguida de las otras es: n1* n2* ... * nk. Es decir, el número total de posibles resultados es igual al producto de los números de posibles resultados para cada tarea individualmente. 1
Ejemplo: Se desea generar posibles contraseñas de seis caracteres (tres números seguidos de tres vocales) Determine:
a) el número total de posibles contraseñas
b) el número de posibles contraseñas si las vocales no se pueden repetir
c) el número de posibles contraseñas si no debe haber repetición de ningún tipo
Ejemplo: Se desea formar números de tres dígitos, usando los dígitos {3, 4, 6} Determine la cantidad de estos números que se pueden formar, si el número resultante debe ser menor de 500 y a) los dígitos no se pueden repetir b) los dígitos sí se pueden repetir
III Permutaciones: Una permutación es una selección de objetos distintos, donde el orden (interno) de los objetos seleccionados sí es importante. El número de permutaciones de n objetos tomando x de ellos a la vez está dado por: P ( n, x ) =
n! (n − x)!
Ejemplo: Un estudiante bajó cinco canciones a su MP3, de cuántas maneras diferentes (orden) las puede escuchar. 2
IV Permutaciones con bloques compuestos: Ejemplo: En cuántas formas 7 personas se pueden sentar en una fila de sillas si dos de ellos, Vilma y Betty no quieren sentarse una al lado de la otra?
Ejemplo: La escuela europea de debates tiene 6 delegados alemanes, 5 delegados franceses y 3 delegados italianos. ¿En cuántas formas se pueden sentarse estos 14 delegados si cada delegado insisten sentarse con los de su misma nacionalidad?
V Combinaciones: Una combinación es una selección de objetos distintos, donde el orden (interno) de los objetos seleccionados no es importante. El número de combinaciones de n objetos tomando x de ellos a la vez está dado por: C ( n, x ) =
n! x !(n − x)!
Ejemplo: Si en la loto de Puerto Rico, 42 bolas numeradas del 1 al 42 son colocadas en una urna. Seis bolas son seleccionadas, una a la vez y su número es anotado. La combinación ganadora consiste de los 6 números seleccionados. ¿Cuántas combinaciones hay? ¿Cuántas combinaciones hay, si en lugar de 42 hubiese 46 bolas numeradas?
Ejemplo: Se desea constituir un jurado de 6 personas, con igual cantidad de hombres que de mujeres, de cuántas maneras podemos seleccionar el jurado si hay 5 mujeres y 4 hombres cualificados para ser miembros del jurado.
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Algunos Problemas: P1) Hay 27 gatos en un albergue. 14 de ellos son de pelo corto. 11 de ellos son “gatitos”. 5 de ellos son gatos adultos de pelo largo. ¿Cuántos de ellos son gatitos de pelo corto?
P2) En la escuela de obediencia del buen perro, los perros aprenden hacer tres trucos: sentarse, quieto, y dar vuelta. De los perros de la escuela: 50 pueden sentarse
17 pueden sentarse y estar quietos
29 pueden estar quietos
12 pueden estar quietos y dar vuelta
34 pueden dar vuelta
18 pueden sentarse y dar vuelta
9 pueden hacer los tres trucos
9 de ellos no pueden hacer ninguno
(a) ¿Cuántos perros hay en la escuela? (b) ¿Cuántos pueden hacer exactamente dos trucos?
P3) ¿De cuántas formas pueden arreglarse cuatro libros diferentes en un estante?
P4) ¿En cuántas formas se puede hacer una tablilla de automóvil de 7 caracteres, ninguno de los cuales es la letra O, el primero de los cuales es un dígito (0-9), el segundo es una letra, los restantes cinco pueden ser un dígito o una letra (pero no la letra O)?
P5) Una familia tiene cuatro hijos varones y tres hembras. ¿En cuántas formas se pueden sentar en una fila de 7 sillas tal que las nenas se sienten juntas?
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P6) Siete mujeres y siete hombres asisten a una fiesta. En la fiesta, cada hombre saluda a cada uno de los presentes exactamente una vez. Cada mujer saludó únicamente a los hombres. ¿Cuántos saludos hubo en la fiesta?
P7) Seis personas se desean sentar en fila en un banco. Sin embargo, Romeo desea sentarse junto a Julieta, Caesar no desea sentarse junto a Brutus, Homero y Pierre se pueden sentar en cualquier lado. ¿De cuántas maneras diferentes podemos sentar a estas seis personas en fila?
P8) En una reunión todos los asistentes estrecharon la mano. El número total de apretones de mano fue 136. ¿Cuántas personas asistieron a la reunión?
P9) Determine el número de rectángulos en el siguiente tablero de ajedrez
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