Mdulo educativo CRAIM by Arturo Portnoy

Publicaciones IFEM

Temas de Competencias Matemáticas

Luis F. Cáceres Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez

Primera Edición, 2004 Derechos © IFEM-HaCuMa Director: Dr. Luis F. Cáceres Co-Director: Dr. Arturo Portnoy Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida ni transmitida por ningún medio, electrónico, mecánico, fotocopiado, grabado u otro, excepto con el permiso previo por escrito del IFEM-HaCuMa. Esta producción ha sido subvencionada por el proyecto IFEM-HaCuMa mediante una propuesta del Programa de Título V del Departamento de Educación de Puerto Rico. Realizado Por Luis F. Cáceres, Ph.D. Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico, Recinto Universitario de Mayagüez Impreso y hecho en Puerto Rico

PROLOGO Existen diferentes competencias de matemáticas que se desarrollan a nivel local, regional, nacional e internacional. Puerto Rico ha participado en los últimos años en varias competencias a nivel internacional, y a pesar de que son muy pocos los entrenamientos intensivos que se ofrecen a los estudiantes, Puerto Rico ha logrado obtener diversos premios en estas competencias internacionales. En este escrito presentamos una serie de temas relacionados con olimpiadas de matemáticas. Los temas que se estudian en este módulo representan una pequeña parte de lo que se requiere para las diferentes competencias nacionales e internacionales de matemáticas, pero constituye un punto de partida para la preparación de los estudiantes que quieran participar en estas competencias y también sirve de guía para los maestros que realizan entrenamientos en las escuelas.

Luis F. Cáceres Agosto 2004

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IFEM Instituto para el Fortalecimiento en la Enseñanza de las Matemáticas HaCuMa Hacia Una Cultura de Matemáticos Estos proyectos están subvencionados por el Departamento de Educación de Puerto Rico y son realizados en el Departamento de Matemáticas del Recinto Universitario de Mayagüez de la Universidad de Puerto Rico.

TABLA DE CONTENIDO PROLOGO ....................................................................................................(iii) 1. Principios de conteo ......................................................................................7 2. Permutaciones.............................................................................................11 3. Combinaciones ...........................................................................................17 4. Divisibilidad ................................................................................................20 5. La Ecuación Diofantina ax + by = c ........................................................23 6. Números Primos .........................................................................................24 7. Aritmética modular .....................................................................................25 8. Congruencias ..............................................................................................33 9. Criterios de Divisibilidad ............................................................................36 10. El Pequeño Teorema de Fermat...............................................................40 11. Números Reales.........................................................................................43 12. Factorización, ecuaciones y sistemas de ecuaciones...............................45 13. Paridad ......................................................................................................51 14. Identidad de Sophie Germain ...................................................................52 15. Inducción Matemática: Efecto dominó....................................................53 16. Angulos internos de un triángulo.............................................................62 17. Angulo central versus ángulo inscrito .....................................................63 REFERENCIAS .............................................................................................68 ÍNDICE DE PALABRAS ...............................................................................69

1. Principios de Conteo La necesidad de contar, data de hace muchos años atrás. Uno de los conceptos más primitivos que conocemos es el de número y en particular el de número natural: 1, 2, 3,…. Con el crecimiento de la población y con los avances de la ciencia, el hombre se ha visto en la necesidad de pensar en técnicas más sofisticadas de conteo. Presentamos a continuación dos principios fundamentales de conteo. Principios Básicos Principio de Adición: Si existen m objetos diferentes en el primer conjunto y existen n objetos diferentes en el segundo conjunto y los dos conjuntos no tienen elementos en común, entonces si formamos un conjunto nuevo uniendo los elementos de estos dos conjuntos, el número de formas diferentes de seleccionar un objeto de este nuevo conjunto es m + n . Usando inducción matemática es fácil generalizar este principio al caso en que tenemos r conjuntos que no tienen elementos en común. Ejemplo 1.1 El profesor Rodríguez tiene 40 estudiantes en la clase de álgebra y 30 estudiantes en la clase de geometría. ¿Cuántos estudiantes diferentes hay en las dos clases?

Por el Principio de Adición, la respuesta es 70, suponiendo que ningún estudiante toma las dos clases al mismo tiempo.

Supongamos que hay 5 estudiantes que están tomando las dos clases. Para poder usar el principio de Adición se requiere tener conjuntos disyuntos (es decir que no tienen elementos en común), por lo tanto podemos considerar los siguientes conjuntos: Los estudiantes que toman únicamente álgebra (35),

los estudiantes que toman únicamente geometría (25) y los estudiantes que toman álgebra y geometría (5). Ahora podemos usar el Principio de Adición ya que los tres conjuntos mencionados son disyuntos. El número total de estudiantes es 65.

Un problema clásico es el de contar el número posible de tablillas de autos formadas por tres letras y tres números. El siguiente principio nos permite solucionar este problema y muchos más de la vida cotidiana. Principio Fundamental de Conteo (Principio de Multiplicación): Si una cierta tarea puede realizarse de m maneras diferentes y, para cada una de esas formas, una segunda tarea puede realizarse de n maneras diferentes, entonces las dos tareas juntas pueden realizarse (en ese orden) de m × n maneras diferentes. El ejemplo siguiente es una muestra típica del uso del Principio Fundamental de Conteo. Ejemplo 1.2 Supongamos que tres ciudades, Mayagüez, Aguada y Aguadilla están localizadas de tal manera que dos caminos conectan a Mayagüez con Aguada y tres caminos conectan a Aguada con Aguadilla. ¿Cuántas rutas diferentes hay de Mayagüez a Aguadilla?

Mayagüez

Aguada

Aguadilla

La idea clave para solucionar este ejercicio es considerar el problema en dos estados. En el primer estado (Mayagüez a Aguada), hay dos opciones. Para cada una de estas dos opciones hay tres opciones para realizar el segundo estado (Aguada a Aguadilla). Por lo tanto el número total de rutas diferentes es 2 × 3 = 6 . Existe una generalización inmediata del Principio Fundamental de Conteo para cualquier número de tareas: Si T1 , T2 ,..., Tk son tareas que ocurren en orden y T1 puede ocurrir de n1 formas diferentes, T2 puede ocurrir de n2 formas diferentes, etc., entonces las tareas pueden ocurrir, en orden, de n1 × n2 × ... × nk maneras diferentes. Ejemplo 1.3 ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar si se dispone de un alfabeto de dos letras: a y b? Algunas palabras posibles son aba, aab, bab, etc.

,,,

Consideremos tres casillas: , la primera para la letra inicial, la segunda para la letra central y la tercera para la letra final. En la primera casilla hay dos posibilidades para elegir la letra. Una vez formada una palabra de una letra, para extenderla a una palabra de dos letras hay dos posibilidades, así que por el Principio Fundamental de Conteo existen 2 × 2 = 4 palabras de dos letras. Para extender cada una de estas palabras a una de tres letras hay dos posibilidades, por lo tanto hay 4 × 2 = 8 palabras de tres letras. Otro argumento para solucionar este problema, que de hecho es muy útil en problemas de conteo, es construir un árbol como se muestra a continuación. Además, este método permite encontrar de manera explícita las palabras de tres letras.

Letra inicial

Letra central

a A

〈 b

a B

〈

〈 b

〈

Letra final

Palabra formada

aaa

aab

aba

abb

baa

bab

bba

bbb

Ejercicios 1.4 1. Una tienda de mantecados ofrece 2 clases de barquillas (de azúcar y regular) y 31 sabores diferentes de mantecados. Si te gustan mucho los mantecados y quieres comer uno diario, cuántos días puedes comer mantecado sin repetir la elección. (¡Obviamente no es lo mismo un mantecado de coco en barquilla de azúcar que un mantecado de coco en barquilla regular!). 2. Repetir el ejemplo 1.3 para el caso en que se quieren formar palabras de 4 letras con un alfabeto de tres letras a, b, c. 3. ¿Cuántas placas distintas de auto hay con tres letras a la izquierda y tres números a la derecha? (considerar el alfabeto castellano de 27 letras). 4. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con tres A´s y cinco B´s? Veamos ahora un ejemplo en donde se usan los dos principios .

Ejemplo 1.5 Hay cinco libros diferentes de español, seis libros diferentes de francés y ocho libros diferentes de italiano. ¿De cuántas formas diferentes se puede seleccionar un par de libros de tal forma que sean de diferentes idiomas?

Si se seleccionan un libro de español y uno de

francés, el Principio Fundamental de Conteo dice que hay 5 × 6 = 30 maneras diferentes. Si se selecciona un libro de español y uno de italiano hay 5 × 8 = 40 maneras diferentes. Si se selecciona un libro de francés y uno de italiano hay 6 × 8 = 48 maneras diferentes. Estos tres tipos de selecciones son disyuntos, por el Principio de Adición hay 30 + 40 + 48 = 118 formas en total.

2. Permutaciones Una permutación de un conjunto de objetos diferentes es una manera de ordenar dichos objetos. Por ejemplo, algunas permutaciones de las letras OPITAS son PITASO OSATIP SAPITO SOPITA POSITA Una pregunta interesante es saber cuantas permutaciones son posibles con estas 6 letras. Para contestar esta pregunta podemos pensar en llenar 6 casillas con las letras dadas:

,,,,,,

Hay seis posibilidades para la primera posición, cinco para la segunda (después de que la primera se ha escogido), cuatro para la tercera (después de que las dos primeras se han escogido), etc. Por el Principio Fundamental de Conteo se tiene que el número posible de permutaciones es 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

Factorial: El producto de los primeros n números naturales se denota por n ! y se llama n factorial: n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n También se define 0! como 0! = 1

La definición de 0! puede parecer extraña, pero definirlo de esta manera permite incluir el caso n = 0 en algunas fórmulas en las que interviene n ! . El mismo razonamiento del ejemplo anterior donde 6 se reemplaza por n nos lleva al siguiente resultado. El número total de permutaciones de n objetos es n ! Ejercicios 2.1 1. ¿De cuántas maneras diferentes puede terminar una carrera de caballos, donde hay 8 caballos compitiendo y nunca hay empate? 2. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar seis personas en una fila de seis sillas? 3. Un pianista interpretará 9 piezas musicales en un concierto. ¿De cuantas formas diferentes puede organizar las piezas musicales en el programa? 4. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar 6 estudiantes en una fila de seis sillas si Pedro insiste en sentarse en la última silla?

¿Cuántas permutaciones de cuatro letras se pueden formar con las mismas 6 letras OPITAS del ejemplo anterior? Algunas de estas permutaciones son PITA TIPO TISA

,,,,

Podemos pensar ahora en cuatro casillas: Hay 6 posibilidades para la primera casilla, cinco posibilidades para la segunda, cuatro para la tercera y tres para la segunda. Por el Principio Fundamental de Conteo, el número de permutaciones es 6 × 5 × 4 × 3 = 360 . En general, si un conjunto tiene n elementos, entonces el número de maneras de ordenar r elementos del conjunto se denota por P (n, r ) y se llama el número de permutaciones de n objetos tomando r a la vez. Hemos probado que P(6, 4) = 360 . El mismo razonamiento que usamos para encontrar P(6, 4) = 360 se puede usar para encontrar P (n, r ) . Hay n objetos y r posiciones para colocarlos:

,,, ...,

Hay n opciones para la primera posición, n − 1 para la segunda, n − 2 para la tercera, etc. La última posición puede llenarse de n − (r − 1) = n − r +1 formas diferentes. Por el Principio Fundamental de Conteo,

P(n, r ) = n(n − 1)(n − 2) ⋅⋅⋅ (n − r + 1) Esta fórmula se puede escribir de manera mas compacta usando la notación de factorial.

P(n, r ) = n(n − 1)(n − 2) ⋅⋅⋅ (n − r + 1) n(n − 1)(n − 2) ⋅⋅⋅ (n − r + 1)(n − r ) ⋅⋅⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 (n − r ) ⋅⋅⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 n! = (n − r )! =

Permutaciones de n objetos tomando r a la vez El nĂşmero de permutaciones de n objetos tomado r a la vez es n! P ( n, r ) = (n â&#x2C6;&#x2019; r ) !

Ejemplo 2.2 Un club de matemĂĄticas tiene 20 miembros. ÂżDe cuĂĄntas formas diferentes se puede escoger un presidente, un vicepresidente y un tesorero de este club? Queremos encontrar el nĂşmero de maneras de seleccionar tres miembros, en orden, de un grupo de 20 miembros. Es decir queremos llenar tres posiciones usando 20 miembros.

presidente

vice presidente

tesorero

Este nĂşmero es P (20, 3) =

20! 20! = = 18 â&#x2039;&#x2026;19 â&#x2039;&#x2026; 20 = 6,840 (20 â&#x2C6;&#x2019; 3)! 17!

Ejemplo 2.3 De un sombrero con 300 boletos se seleccionan tres boletos en orden. El primero que se seleccione gana una bicicleta, el segundo gana una motocicleta y el tercero gana un automĂłvil. ÂżDe cuĂĄntas maneras diferentes

se pueden premios?

otorgar

estos

El orden es importante en este ejemplo. Necesitamos encontrar el número de maneras de seleccionar tres objetos, en orden, de 300 objetos. Este número es 300! 300! P (300,3) = = = 298 ⋅ 299 ⋅ 300 = 26, 730, 600 . (300 − 3)! 297!

Permutaciones Distinguibles Si tenemos una colección de 10 bolas, una de cada color, entonces el número de permutaciones de estas bolas es P(10,10) = 10! . Si todas las bolas son verdes, entonces tenemos únicamente una permutación distinguible porque todas las formas de ordenar estas bolas son exactamente las mismas. En general, cuando consideramos un conjunto de objetos, donde algunos de los elementos son de la misma clase, entonces dos permutaciones son distinguibles si una no se puede obtener de la otra intercambiando las posiciones de los elementos de la misma clase. Por ejemplo, supongamos que tenemos 6 bolas de las cuales 4 son rojas, una es verde y la otra es azul. Algunas permutaciones distinguibles son las siguientes:

Note que en la primera permutación, si cambiamos la bola que está en la posición uno con la bola que esta en la posición dos obtenemos una permutación que no es distinguible. ¿Cuántas permutaciones distinguibles hay? La clave aquí es que las bolas rojas no se pueden distinguir. Por lo tanto cualquier permutación de bolas rojas, dejando las otras dos en la misma posición, da en esencia la misma permutación. El 15

número total de permutaciones, suponiendo que todas las seis bolas fueran de colores diferentes es 6!, pero hay 4! rearreglos de las bolas rojas para cada posición fija de las otras bolas, por lo tanto el número 6! = 30 . total de permutaciones distinguibles es 4! El mismo tipo de razonamiento nos lleva al siguiente principio. Permutaciones distinguibles: Si un conjunto de n objetos consiste de k clases de objetos diferentes con n1 objetos de la primera clase, n2 objetos de la segunda clase, n3 objetos de la tercera clase, etc., donde n1 + n2 + ... + nk = n , entonces el número de permutaciones distinguibles de los objetos n! es . n1 !n2 !⋅⋅⋅ nk ! Ejemplo 2.4 Encontrar el número de formas diferentes de colocar 10 bolas en una fila dado que 3 son rojas, 4 son verdes y 3 son azules. Deseamos encontrar el número de permutaciones distinguibles de estas bolas. Por la fórmula anterior, este número esta dado por 10! = 4, 200 . 3!⋅ 4!⋅ 3! Ejercicios 2.5 1. Encontrar el número de permutaciones distinguibles de las letras AAABBCCCC. 2. Encontrar el número de permutaciones distinguibles de las letras DISTINGUIBLES. 3. ¿De cuántas maneras posibles se pueden ordenar 4 pesetas, 5 chavitos y 3 monedas de 10 centavos en una fila? 4. Juan compró tres mantecados de coco, cinco de chocolate, cuatro de fresa y dos de vainilla para distribuirlos entre él y los 13 estudiantes de su club de matemáticas. ¿De cuántas formas posibles se pueden distribuir los mantecados?

5. Ocho trabajadores van a limpiar una casa. Se requieren 2 para limpiar las ventanas, 3 para limpiar el jardín y 3 para limpiar el resto de la casa. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden distribuir las tareas entre los trabajadores? 3. Combinaciones Cuando estamos interesados en encontrar el número de maneras de ordenar un conjunto pensamos en permutaciones. En muchos problemas de conteo, el orden no es importante. Por ejemplo si un club de matemáticas tiene 15 integrantes y se quieren seleccionar tres estudiantes para que representen al club en una competencia de matemáticas. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar grupos de tres? El número de maneras de seleccionar estudiantes de un grupo de 15 es P(15,3) , pero note que si un grupo esta integrado por Carlos, Luis y María, entonces el grupo integrado por María, Carlos y Luis es el mismo, al igual que el grupo integrado por Luis, Carlos y María, es decir que el orden de los tres elementos no importa. El número de permutaciones de tres elementos es 3! Por lo tanto el número de maneras para seleccionar los tres estudiantes del club es P (15, 3) 15! 13 ⋅14 ⋅15 = = = 455 . 3! 3!(15 − 3)! 6

Ejemplo 3.1 ¿Cuántos subconjuntos de tres elementos se pueden formar del conjunto {a, e, i, o, u} ? Podemos enumerar dichos subconjuntos: {a, e, i},{a, e, o},{a, e, u},{a, i, o},{a, i, u}, {a, o, u},{e, o, u},{e, i, o},{e, i, u},{i, o, u}. Note que el subconjunto {e, i, u} es igual a los subconjuntos {e, u, i}, {u, i, e}, {u, e, i}, {i, u, e}, {i, e, u} , ya que en los conjuntos el orden no importa.

Es decir que para seleccionar los subconjuntos de tres elementos del conjunto de las vocales debemos contar el número de permutaciones de 5 objetos tomando 3 a la vez y después debemos dividir este resultado por 6 ya que por cada permutación de tres elementos hay 6 que son iguales, pues no estamos considerando el orden. Por lo tanto la respuesta para el ejercicio es P (5,3) 5! = = 10 . 3! 3!(5 − 3)!

Una combinación de r elementos de un conjunto es cualquier subconjunto de r elementos del conjunto (sin importar el orden). Si el conjunto tiene n elementos, el número de combinaciones de r elementos es denotado por C (n, r ) y es llamado el número de combinaciones de n objetos tomando r a la misma vez. El análisis del ejemplo anterior se puede generalizar para obtener que C ( n, r ) =

P ( n, r ) n! . = r! r !(n − r )!

Combinaciones de n objetos tomando r a la misma vez: El número de combinaciones de n objetos tomando r a la n! misma vez es C ( n, r ) = . r !( n − r )! La diferencia clave entre las permutaciones y las combinaciones es el orden. Si estamos interesados en arreglos ordenados, entonces estamos contando permutaciones; pero si estamos interesados en subconjuntos sin importar el orden, entonces estamos contando combinaciones. Ejemplo 3.2 De un sombrero con 300 boletos se seleccionan 3 y los ganadores obtendrán un viaje por las islas del Caribe. ¿De cuántas maneras posibles se pueden seleccionar los ganadores? 18

Debemos encontrar el número de maneras de seleccionar tres objetos de un grupo de 300. El orden no importa pues los tres ganadores obtienen el mismo premio. Por lo tanto queremos encontrar el número de combinaciones de 300 objetos tomando tres a la misma vez. Este número es: C (300, 3) =

300! 300! = = 4, 455,100 . 3!(300 − 3)! 3!⋅ 297!

Ejercicios 3.3 1. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono regular de n lados? 2. ¿Cuántas palabras distintas se pueden escribir con las letras de la palabra MATEMÁTICAS? 3. El siguiente problema se Se llaman fichas dobles refiere al famoso juego de aquellas en las que los dos dominó. En este juego hay números mostrados son 28 fichas y cada ficha iguales. Se llama mano de muestra dos números de la dominó cualquier colección colección 0,1,2,3,4,5 y 6 de 7 de las 28 fichas. (posiblemente repetidos). a. ¿Cuál es el número total de posibles manos de dominó? b. ¿Cuántas manos de dominó tienen por lo menos dos fichas dobles? 4. ¿De cuántas formas se pueden seleccionar tres personas de un grupo de 10? 5. Pizza Hut ofrece 12 ingredientes para sus pizzas. ¿Cuántas formas posibles hay de ordenar pizzas de tres ingredientes? 6. Un pianista ha ensayado 12 piezas musicales. ¿Cuántas formas distintas tiene para seleccionar 8 piezas para su próximo concierto? 7. Un comité de baile en la universidad constará de 2 estudiantes de primer año, tres de segundo, cuatro de tercero y cinco de cuarto año. Si 6 estudiantes de primer año, ocho de segundo, 12 de tercero y 10

de cuarto año son elegibles ara formar el comité, ¿De cuántas maneras posibles se puede formar el comité? 8. ¿De cuántas formas posibles se puede formar un comité de cuatro de un grupo de diez si dos personas se niegan a estar juntas en el comité? 4. Divisibilidad Comenzamos recordando que el conjunto de números enteros está formado por …,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…. Un entero a es divisible por un entero b ≠ 0 , en símbolos b | a , si existe un entero c tal que a = bc . Algoritmo de la división Dados dos enteros a y b , con b > 0 , existen enteros únicos q y r tales que a = bq + r con 0 ≤ r < b Ejemplo 4.1 Usar el algoritmo de la división para probar que a. El cuadrado de cualquier entero es de la forma 3k o 3k + 1 , para algún entero k . b. El cubo de cualquier entero es de la forma 9k , 9k + 1 o 9 k + 8 , para algún entero k . Para la parte a. sea d un entero, entonces al dividirlo entre 3, se obtiene que d = 3l , d = 3l + 1 o d = 3l + 2 . Si d = 3l , entonces d 2 = 9l 2 = 3 ( 3l 2 ) . Si d = 3l + 1 , entonces d 2 = 9l 2 + 6l + 1 = 3 ( 3l 2 + 2l ) + 1 .

Si d = 3l + 2 , entonces d 2 = 9l 2 + 12l + 4 = 3 ( 3l 2 + 4l + 1) + 1 . En cualquier caso se obtiene que el cuadrado de d es de la forma 3k o 3k +1 para algún entero k . La parte b. se hace de manera similar. El siguiente teorema presenta propiedades fundamentales de divisibilidad, su demostración se basa en la definición de divisibilidad y de deja como ejercicio al lector.

Teorema 4.2 Sean a, b, c números enteros. a. a | 0 , 1| a y a | a . b. a |1 si y solo si a = ±1 c. Si a | b y c | d , entonces ac | bd d. Si a | b y b | c , entonces a | c . e. a | b y b | a si y solo si a = ± b f. Si a | b y a | c , entonces a | bx + cy , para enteros cualesquiera x, y .

Máximo común divisor Sean a y b enteros con por lo menos uno de ellos diferente de cero. El máximo común divisor de a y b , denotado por mcd (a, b) , es el entero positivo d que satisface: d |a y d |b i. ii. Si c | a y c | b , entonces c ≤ d Ejemplo 4.3 mcd ( 24,15) = 3

Primos relativos Si mcd (a, b) = 1 , decimos que a y b son primos relativos

Teorema 4.4 Sean a y b enteros con por lo menos uno de ellos diferente de cero. a. existen enteros x, y tales que mcd (a, b) = ax + by b. mcd (a, b) = 1 si y solo si existen enteros x, y tales que 1 = ax + by Ejemplo 4.5 Si a | c y b | c con mcd (a, b) = 1 , entonces ab | c .

Note que c = ar = bs , para algunos enteros r , s . Además 1 = ax + by , con x, y enteros. Multiplicando por c esta última ecuación obtenemos c = acx + bcy , luego c = a ( bs ) x + b ( ar ) y

Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo de dos enteros a y b , denotado por mcm(a, b) , es el entero positivo m que satisface: a|m y b|m i. ii. Si a | c y b | c con c > 0 , entonces m ≤ c Ejemplo 4.7 Los múltiplos comunes positivos de –12 y 30 son 60, 120, 180, …, luego el mcm(−12,30) = 60 . Teorema 4.8 Sean a y b enteros positivos. Entonces mcd (a, b) ⋅ mcm(a, b) = ab . Demostración:

ab , d entonces m = as y m = ar , luego m es un múltiplo (positivo) común de a y b . Supongamos ahora que a | c y b | c . Entonces c = au y c = bv , con u, v enteros. Además, d = ax + by con x, y enteros. Por lo tanto, Sea d = mcd (a, b) y a = dr , b = ds con r , s enteros. Si m =

c cd c(ax + by ) ⎛ c ⎞ ⎛c⎞ = = = ⎜ ⎟ x + ⎜ ⎟ y = vx + uy . Entonces m | c . Por lo m ab ab ⎝b⎠ ⎝a⎠ ab , luego md = ab . tanto m ≤ c y m = mcm(a, b) . Por lo tanto, m = d Entonces mcd (a, b) ⋅ mcm(a, b) = ab .

5. La ecuación Diofantina ax + by = c En esta sección estudiaremos las soluciones enteras de la ecuación ax + by = c , donde a, b, c son números enteros. La ecuación Diofantina ax + by = c tiene solución si y solo si c es divisible por d , donde d = mcd (a, b) . Si x0 , y0 es una solución particular de esta ecuación, entonces todas las ⎛b⎞ otras soluciones están dadas por x = x0 + ⎜ ⎟ t , ⎝d ⎠ ⎛a⎞ y = y0 − ⎜ ⎟ t , donde t va variando en los enteros. ⎝d ⎠ Ejemplo 5.1 ¿Es posible formar 83 centavos usando sellos de 6 centavos y 15 centavos? La ecuación que representa el problema es 6 x + 15 y = 83 . Como el mcd (6,15) = 3 y 83 no es divisible por 3, entonces no es posible. Ejemplo 5.2 ¿Es posible comprar $510 en cheques viajeros de $20 y $50? La ecuación para este problema está dada por 20 x + 50 y = 510 . Es decir 2 x + 5 y = 51 . Como mcd (2,5) = 1 y 51 es divisible entre 1, entonces el problema si tiene solución. Note que 2(−2) + 5(1) = 1 . Multiplicando por 51 se obtiene 2(−102) + 5(51) = 51 . Luego una solución de la ecuación es x0 = −102 y

5 y0 = 51 . Las otras soluciones están dadas por x = −102 + t y 1 2 y = 51 − t , donde t es cualquier entero. Como en este caso se quieren 1 valores positivos para x y y , se tiene que −102 + 5t > 0 , luego 102 = 20.4 . Las soluciones se muestran en la 5t > 102 , por lo tanto t > 5 siguiente tabla: t x y t=21 3 9 t=22 8 7 t=23 13 5 t=24 18 3 t=25 23 1 Ejercicio 5.3 Determinar todas las soluciones, si las hay, de las siguientes ecuaciones Diofantinas. a. 24 x + 138 y = 18 b. 18 x + 5 y = 48 6. Números Primos Números Primos Un entero p > 1 es llamado número primo si sus únicos divisores positivos son 1 y p . Un entero mayor que 1 que no es primo se llama compuesto. Ejemplo 6.1 Sea p un número primo y a un entero. Entonces mcd ( p, a) = 1 o mcd ( p, a) = p . Ejemplo 6.2 Si p es primo y p | ab , entonces p | a o p | b .

Si p | a , no hay nada mas que demostrar. Si a no es divisible por p , entonces mcd ( p, a) = 1 . Por el lema de Euclides se tiene que p | b .

Teorema Fundamental de la Aritmética Todo entero positivo n > 1 puede ser expresado como un producto de primos, esta representación es única, excepto por el orden de los factores. Ejemplo 6.3 Hallar el menor entero positivo por el que hay que multiplicar a 3,960 para obtener un cubo perfecto. Note que 3960 = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅11 . Para obtener el menor cubo perfecto se requiere un tres, dos cincos y dos once. Luego 2 2 3 3 3 3 3 (3960) ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅11 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅11 = (2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅11) . Teorema 6.4 (Euclides) Existen infinitos números primos. Demostración: Supongamos que hay un número finito de primos y coloquémoslos en una lista ascendente: p1 = 2 , p2 = 3 , p3 = 5 , …, pn . Consideremos el entero q = p1 p2 " pn + 1 . Como q > 1 , debe existir algún primo que sea divisor de q . Pero los primos son p1 , p2 ,..., pn . Por lo tanto hay un primo p de la lista p1 , p2 ,..., pn tal que p | q . Como p | p1 p2 " pn , entonces p | q − p1 p2 " pn = 1 . Entonces p = ±1 , pero esto es imposible pues p > 1 . 7. Aritmética Modular: 4 + 5 = 2 , una Aritmética Divertida La idea de número debió surgir de la necesidad que tenía el hombre de llevar registro de cosas importantes del diario vivir. ¿Cuántas ovejas tenemos?, ¿cuántos somos?, ¿cuánto falta para la próxima inundación? Estas preguntas nos llevan a pensar en los números naturales 1,2,3,…. La idea abstracta de número vino mucho después que 25

el concepto práctico de lo que los números significan. El hecho de que dos vacas y dos libretas tengan algo en común (el hecho de que son dos) no es obvio a pesar que desde niños sabemos la diferencia entre dos vacas y tres vacas. Ciertas culturas, de acuerdo a sus necesidades, añadieron otros números a los números para contar (números naturales). Los hindús inventaron el cero. Los negativos tienen que ver con la idea de “deber” y forman junto con los naturales y el cero el conjunto de los enteros …,-3,2,-1,0,1,2,3,…. Las fracciones fueron introducidas para modelar el hecho de dividir materiales en pedazos y junto con las fracciones 1 3 10 negativas forman el conjunto de los racionales, por ejemplo, , , − . 2 8 3 La geometría Griega y la necesidad del Cálculo llevan a la idea de los números irracionales (números que no se pueden representar como fracciones) tales como 2, π , 3 . Más adelante, y debido a la necesidad de resolver ecuaciones algebraicas, surgen los misteriosos números imaginarios o complejos. Para su creación necesitamos la raíz cuadrada de –1, por lo tanto la asumimos y le damos un nombre: i .

En cada uno de estos sistemas es posible desarrollar una aritmética (en los naturales está la suma, en los enteros esta la resta y la suma, etc.) que nos llevan a la larga a poder modelar y entender la naturaleza. A pesar de que el número 2 no existe en la naturaleza, si existe la idea de encontrarnos con dos vacas. De esta forma el hombre ha podido describir ciertas propiedades del mundo real usando los números, y esto es posible simplemente porque los números son construcciones abstractas, basadas a su vez en el comportamiento del mundo real. Existen otros sistemas, no necesariamente de números, en donde también se puede realizar una aritmética. Lo interesante de estos otros sistemas es que muchas veces se comportan como los números y su aritmética comparte propiedades con la aritmética usual. Más aún, estas aritméticas “extrañas” y divertidas pueden ayudar a entender aún más la aritmética usual. El hecho de que sean divertidas debería ser razón suficiente para estudiarlas, pero el hecho de que tienen aplicaciones inmediatas en la aritmética usual es quizás lo que ha llevado a muchos matemáticos a desarrollarlas profundamente. Un ejemplo clásico de este 26

tipo de aritmética es la aritmética modular o aritmética finita. Esta aritmética fue descrita por Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae, un libro que influyó mucho en el desarrollo de la matemática y fue publicado en 1801 cuando Gauss tenía tan solo 24 años. La idea que Gauss investigó es tan vieja como la idea de contar. Uno obtiene una aritmética finita cuando tiene un sistema de contar que se comporta periódicamente. Aunque la noción de aritmética finita no era nueva, Gauss fue la primera persona en desarrollarla e investigar muchas de sus propiedades. Supongamos que numeramos los días de la semana usando los números del 0 al 6, comenzando con el domingo. 0 domingo 1 lunes 6 sábado 5 viernes

2 martes 4 jueves

3 miércoles

Si continuamos numerando, el día 7 es domingo nuevamente, el día 8 es lunes, el día 9 es martes, etc. En cierto sentido podemos pensar que 7 = 0, 8 = 1, 9 = 2, etc., donde “=” obviamente, no tiene el mismo sentido usual. También podemos trabajar hacia atrás: el día −1 es el sábado, el día −2 es el viernes, etc. Por lo tanto −1 = 6, −2 = 5, etc. La siguiente tabla muestra los números correspondientes a cada día de la semana. Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

…,-14,-7,0,7,14,… …,-13,-6,1,8,15,… …,-12,-5,2,9,16,… …,-11,-4,3,10,17,… …,-10,-3,4,11,18,… …,-9,-2,5,12,19,… …,-8,-1,6,13,20,…

No es difícil encontrar un patrón para los números correspondientes a cada día, dicho patrón se ilustra en la siguiente tabla. Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

números de la forma números de la forma números de la forma números de la forma números de la forma números de la forma números de la forma

7n 7n + 1 7n + 2 7n + 3 7n + 4 7n + 5 7n + 6

Note que los números de la forma 7n + 7 , son de la forma 7(n + 1) y por lo tanto son de la forma 7n . Entonces, el día que le corresponde a un número entero cualquiera está determinado por el residuo al dividir el número entre 7. Por ejemplo, el día que le corresponde al número 38 es el miércoles (ya que 38 = 7 ⋅ 5 + 3 ). Estos residuos son siempre 0,1,2,3,4,5,6 y podemos definir una aritmética de residuos. Podemos acordar que 4 + 5 = 2 , esto significa que el día 4 mas el día 5 es el día 2, lo cual es bastante natural. De esta forma podemos construir la tabla para la suma de los números del 0 al 6 de la siguiente forma: + 0 1 2 3 4 5 6

0 0 1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6 0

2 2 3 4 5 6 0 1

3 3 4 5 6 0 1 2

4 4 5 6 0 1 2 3

5 5 6 0 1 2 3 4

6 6 0 1 2 3 4 5

Esta tabla modela la estructura cíclica de los siete días de la semana. En este contexto, la pregunta ¿que día es 323 días después del jueves?, puede ser escrita como 4 + 323 = ? . El 323 no esta en nuestra tabla, pero note que 323 = 7 ⋅ 46 + 1 el cual es de la forma 7n + 1 , luego

323 = 1 , por lo tanto 4 + 323 = 4 + 1 y buscando en la tabla tenemos que 4 + 1 = 5 , que es viernes.

Esta suma tiene cosas “extrañas” como el hecho de que 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0 , pero cuando pensamos en términos de días, esto tiene perfecto sentido. Ahora podemos tratar de definir multiplicación para este sistema. No tiene mucho sentido pensar en multiplicar sábado por jueves, pero si podemos pensar en cuál es el mejor sentido que le podemos dar a 6 × 4 . Es claro que lo ideal es que 6 × 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 y mirando en la tabla de la suma se obtiene 6 × 4 = 3 . También sería razonable pensar mirando en la tabla obtenemos que 6 × 4 = 6 + 6 + 6 + 6 y (afortunadamente) la misma respuesta: 6 × 4 = 3 . De hecho, si hacemos la tabla de multiplicación (que no es otra cosa que sumas repetidas) para los residuos del 0 al 6 obtenemos: ×

0 1 2 3 4 5 6

0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6

2 0 2 4 6 1 3 5

3 0 3 6 2 5 1 4

4 0 4 1 5 2 6 3

5 0 5 3 1 6 4 2

6 0 6 5 4 3 2 1

El sistema que hemos desarrollado se conoce como el sistema de los enteros módulo 7. No hay nada especial acerca del 7, con cualquier otro número natural podemos desarrollar este tipo de aritmética. Si hubiésemos empezado con las horas en un reloj, hubiésemos terminado con los enteros módulo 12, si hubiésemos empezado con los días del año, hubiésemos terminado con los enteros módulo 365, etc. Si por ejemplo desarrollamos la aritmética módulo 4, entonces los residuos que usaríamos serían el 0,1,2,3 y aquí 4 = 0 , 5 = 1 , 6 = 2 , etc.

Ejercicios 7.1 1. ¿Qué día de la semana será 93 días después del miércoles? 2. Completar las tablas de suma y multiplicación para los enteros módulo 4. 3. Completar las tablas de suma y multiplicación para los enteros módulo 5. 4. En la aritmética usual − a es el número tal que cuando se le suma a a da 0. A − a se le llama el inverso aditivo de a . Hallar los inversos aditivos de los números del 0 al 6 en la aritmética módulo 7. 5. Repetir el ejercicio anterior para los números del 0 al 10 en la aritmética módulo 11.

El paso siguiente, obviamente es pensar en división. Para hacer esto nos conviene formalizar un poco lo que hemos hecho hasta el momento. El primer paso es introducir un símbolo nuevo a nuestro lenguaje, (≡) que nos sirva para representar la igualdad en la aritmética modular. Recordemos que 9 = 2 cuando hablamos de los enteros módulo 7. Pero cuando hablamos de los enteros módulo 4, 9 = 1 . Para evitar ambigüedades, escribiremos en el primer caso 9 ≡ 2(mod 7) y en el segundo caso 9 ≡ 1(mod 4) . En general escribiremos a ≡ b(mod m) y esto quiere decir que al dividir a entre m se obtiene el mismo residuo que al dividir b entre m . En la aritmética modulo m se pueden sumar y multiplicar números básicamente de la misma forma que en la aritmética usual. También es posible restar. El problema de la división es mucho más interesante porque la “división usual” solamente se puede hacer en algunos módulos. 5 (mod 7) . Es Supongamos que queremos darle sentido a 2 5 importante notar que el símbolo no tiene sentido con lo que hemos 2 hecho hasta el momento y por lo tanto estamos listos para darle un 5 sentido. Obviamente el sentido que le demos a debe estar de acuerdo, 2 en lo posible, con el sentido que se le da en la aritmética usual. De lo 30

contrario terminaríamos construyendo una aritmética divertida, pero que quizás tendría propiedades totalmente diferentes a las de la aritmética usual y por lo tanto no tendría aplicaciones inmediatas. 5 sería el número x que La definición mas natural para 2 satisface la ecuación 2 x ≡ 5(mod 7) . Mirando la tabla de la multiplicación módulo 7, vemos que 5 2 ⋅ 6 ≡ 5(mod 7) , luego = 6(mod 7) . 2 En general, si p y q son números entre 0 y 6, queremos definir p igual a y , donde qy ≡ p mod 7 . q Note que qy es el número que aparece en la fila q y en la columna y de la tabla de multiplicación. Por lo tanto si queremos que la congruencia tenga una sola solución y , el número p debe aparecer una sola vez en la fila q . Si apareciera dos o mas veces o si no apareciera, no sabríamos cual escoger. La tabla de multiplicación módulo 7 tiene la propiedad de que en cada fila aparecen los números del 0 al 6 y además aparecen una sola vez. Por lo tanto podemos encontrar una solución única de qy ≡ p mod 7 , para cualquier q diferente de cero. Esto significa p que siempre podemos definir , excepto cuando q ≠ 0 , pero esto no es q una restricción grande pues en la aritmética usual tampoco dividimos por 0.

Ejercicios 7.2 1. En la aritmética usual, 1/ a es el número que cuando se multiplica por a da como resultado 1. A 1/ a se le llama el inverso multiplicativo de a . Hallar 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 módulo 7. 2. Hallar 3/ 4, 5 / 3, 10 / 8. módulo 7.

Las cosas no funcionan igual de bien con otros módulos. Por ejemplo si trabajamos módulo 6 la tabla de multiplicación que se obtiene es la siguiente. ×

0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5

2 0 2 4 0 2 4

3 0 3 0 3 0 3

4 0 4 2 0 4 2

5 0 5 4 3 2 1

Lo primero que notamos en esta tabla de multiplicación es que aparecen muchos ceros. En particular, 3 ⋅ 2 = 0 . Este fenómeno no ocurre en la aritmética tradicional, ya que en la aritmética usual si a ⋅ b = 0 , entonces obligatoriamente se tiene que a = 0 o b = 0. El hecho de que trabajando módulo 6, la multiplicación de dos números diferentes de cero pueda dar como resultado 0, nos trae problemas pero a la vez crea una aritmética interesante y diferente. Note que por ejemplo no podemos definir 1/3 (por lo menos de la manera usual) ya que no existe un número y en la tabla tal que 3 ⋅ y = 1. Ejercicios 7.3 1. Tratar de hallar los inversos multiplicativos de los números del 1 al 11 en la aritmética módulo 12. Descubrirá que algunos de ellos no poseen inverso multiplicativo. 2. Repetir el ejercicio anterior para la aritmética módulo 6 y módulo 8. Encontrar una conjetura para describir a los números que poseen inverso multiplicativo. 3. Construir las tablas de multiplicación módulo del 2 al 10 y tratar de encontrar una conjetura sobre los números que producen módulos donde todos los números (excepto el 0) poseen inversos. 4. Para varios valores de a < 7 calcular a 7 mod 7 . Para varios valores de a < 5 calcular a5 mod 5 . Intentar otros cómputos similares. Hacer una conjetura para el resultado que se obtiene.

8. Congruencias

Dados los enteros a, b, m con m > 0 , decimos que a es congruente a b módulo m si al dividir a entre m se obtiene el mismo residuo que al dividir b entre m . Cuando a es congruente a b módulo m , lo denotamos por a ≡ b(mod m) . Ejemplo 8.1 5 ≡ 9(mod 4) , 5 ≡ 1(mod 4) y 9 ≡ 1(mod 4) .

Si a ≡ b(mod m) , entonces existen enteros q1 , q2 , r tales que a = mq1 + r y b = mq2 + r . Por lo tanto a − b = (mq1 + r ) − (mq2 + r )

= m(q1 − q2 ) Entonces m es un factor de a − b . Es fácil demostrar que si m es un factor de a − b , entonces al dividir a entre m se obtiene el mismo residuo que al dividir b entre m . Por lo tanto, a ≡ b(mod m) si y solo si m es un factor de a − b . Si m no es un divisor de a − b , se escribe a ≡/ b(mod m) . Es fácil verificar que congruencia módulo m satisface las siguientes propiedades: Propiedades 8.2 1. Propiedad reflexiva: Si a es un entero, entonces a ≡ a ( mod m ) .

2. Propiedad simétrica: Si a, b son enteros tales que a ≡ b ( mod m ) , entonces b ≡ a ( mod m ) . 3. Propiedad

transitiva:

a, b, c son

enteros

tales

que

a ≡ b ( mod m ) y b ≡ c ( mod m ) , entonces a ≡ c ( mod m ) .

Propiedades 8.3

Si a, b, c y m son enteros, con m > 0 , tales que a ≡ b ( mod m ) , entonces 1. a + c ≡ b + c ( mod m ) 2. a − c ≡ b − c ( mod m ) 3. ac ≡ bc ( mod m ) Para verificar la propiedad 1., note que si a ≡ b(mod m) , entonces m es un factor de a − b . Pero a − b = (a + c) − (b + c) , luego m es un factor de (a + c) − (b + c) y esto significa que a + c ≡ b + c ( mod m ) . Las demás se verifican de manera similar. Las siguientes propiedades son más generales que las anteriores, pero su demostración es similar. Propiedades 8.4 Si a, b, c, d y m son enteros, con m > 0 , tales que a ≡ b ( mod m ) y

c ≡ d ( mod m ) , entonces 1. a + c ≡ b + d ( mod m ) 2. a − c ≡ b − d ( mod m ) 3. ac ≡ bd ( mod m ) Ejemplo 8.5 Demostrar que n2 + 1 no es divisible por 3 para ningún número natural n . Sea n un número natural cualquiera. Es claro que n = 3k , n = 3k + 1 o n = 3k + 2 para algún entero k . En otras palabras, n ≡ 0(mod 3) , n ≡ 1(mod 3) o n ≡ 2(mod 3) . Si n ≡ 0(mod 3) , entonces n 2 ≡ 0(mod 3) , luego n 2 + 1 ≡ 1(mod 3) . Si n ≡ 1(mod 3) , entonces n 2 ≡ 1(mod 3) , luego n 2 + 1 ≡ 2(mod 3) . Si n ≡ 2(mod 3) , entonces n 2 ≡ 1(mod 3) , luego n 2 + 1 ≡ 2(mod 3) . De esta manera, en ningún caso se obtiene n 2 + 1 ≡ 0(mod 3) .

Ejemplo 8.6 Encontrar el residuo al dividir 6100 entre 7. 100 Note que 6 ≡ −1(mod 7) , luego 6100 ≡ ( −1) (mod 7) .

Entonces

6100 ≡ 1(mod 7) . Por lo tanto el residuo al dividir 6100 entre 7 es 1.

Ejemplo 8.7 Demostrar que 11n+ 2 + 122 n +1 es divisible por 133 para cualquier número natural n . En efecto, 11n + 2 + 122 n +1 = 121 ⋅11n + 12 ⋅122 n

= 133 ⋅11n − 12 ⋅11n + 12 ⋅122 n = 133 ⋅11n + 12(122 n − 11n ) = 133 ⋅11n + 12(144n − 11n ) ≡ 0(mod133)

Ejercicios 8.8 1. Muestre que las siguientes congruencias son ciertas. a. 13 ≡ 1( mod 2 )

b. 13 ≡ 1( mod 2 ) c. 22 ≡ 7 ( mod 5) d. 111 ≡ −9 ( mod 40 ) e. 666 ≡ 0 ( mod 37 ) f.

−3 ≡ 30 ( mod11)

2. Para que valores de m es cierta cada una de las siguientes congruencias: a. 27 ≡ 5 ( mod m ) b. 1000 ≡ 1( mod m ) c. 1331 ≡ 0 ( mod m )

3. 4. 5. 6.

Probar las propiedades 8.2. Probar las propiedades 8.3. Probar las propiedades 8.4. S i a, b, k y m son enteros, con k > 0, m > 0 y a ≡ b ( mod m ) , entonces a k ≡ b k ( mod m )

7. Probar que si a es un entero par, entonces a 2 ≡ 0 ( mod 4 ) y si a es un entero impar, entonces a 2 ≡ 1( mod 4 ) .

8. Probar que si a es un entero impar, entonces a 2 ≡ 1( mod 8) . 9. Dar

ejemplo

para

probar

que

a 2 ≡ b2 ( mod n ) no

necesariamente implica que a ≡ b ( mod n ) . 10. Reducir los siguientes números a módulo 13. a. 22 b. 100 c. 1001 d. -1 e. -100 f. -1000 11. Encontrar el residuo cuando 250 y 4165 se dividen entre 7. 12. Hallar el residuo al dividir la suma 15 + 25 + ... + 995 + 1005 entre 7. 13. Dado un entero a , probar que a3 ≡ 0,1 o 6 ( mod 7 ) . 14. Dado un entero a , probar que a 4 ≡ 0 o 1( mod 5) . 15. ¿Para qué enteros positivos 2 2 2 1 + 2 + ... + ( n − 1) ≡ 0 ( mod n ) ?

n se

cumple

que

9. Criterios de divisibilidad

En esta sección presentamos los criterios más importantes de divisibilidad. La justificación de estos criterios se basa en la manera de representación de los números naturales como sumas de potencias de 10. Por ejemplo, el número 3,481 se puede representar como

_______

_____________

3481 = 3 ⋅103 + 4 ⋅10 2 + 8 ⋅10 + 1 . En general el número a1a2 " an , donde a1 , a2 ,..., an son los dígitos del número se puede representar de la siguiente forma ________________

a1a2 " an = a1 ⋅10 n −1 + a2 ⋅10 n − 2 + ... + an −1 ⋅101 + an

De la definición de congruencia se tiene de manera inmediata que si a, b son enteros positivos y a ≡ b(mod n) , entonces a es divisible por n si y solo si b es divisible por n Como 10 ≡ 0(mod 2) , entonces 10 r ≡ 0(mod 2) para cualquier numero natural Por lo tanto r. ________________

De a1a2 " an = a1 ⋅10 n −1 + a2 ⋅10 n − 2 + ... + an −1 ⋅101 + an ≡ an (mod 2) . aquí se obtiene el criterio de divisibilidad por 2 que resumimos a continuación: Divisibilidad por 2 Un número natural es divisible por 2 si y solo si su última cifra decimal es divisible por 2.

Como también 10 ≡ 0(mod 5) y 10 ≡ 0(mod10) , se obtienen de manera inmediata los criterios para divisibilidad por 5 y por 10. Divisibilidad por 5 Un número natural es divisible por 5 si y solo si su última cifra decimal es 0 o 5. Divisibilidad por 10 Un número natural es divisible por 10 si y solo si su última cifra decimal es 0.

Ejemplo 9.1 ________________

_________

Demostrar que a1a2 " an −1an ≡ an −1an (mod 4)

En efecto, ________________

a1a2 " an = a1 ⋅10n −1 + a2 ⋅10n − 2 + ... + an −1 ⋅101 + an ≡ a1 ⋅ 2n −1 + a2 ⋅ 2n − 2 + ... + an − 2 22 + an −1 ⋅ 21 + an (mod 4) ≡ an −1 ⋅10 + an (mod 4) _________

= an −1an (mod 4) De este ejemplo obtenemos el criterio de divisibilidad para el 4 Divisibilidad por 4 Un número natural es divisible por 4 si y solo si el número formado por sus dos últimas cifras decimal es divisible entre 4.

El ejemplo anterior, y el criterio de divisibilidad para el 4, se pueden generalizar para divisibilidad por 2n . Note que 10 ≡ 1(mod 3) . Entonces 10 k ≡ 1(mod 3) para cualquier número natural k . Así, a1 ⋅10n −1 + a2 ⋅10n − 2 + ... + an −1 ⋅101 + an ≡ a1 + a2 + ... + an (mod 3) . Por lo tanto obtenemos el criterio para divisibilidad por 3: Divisibilidad por 3 Un número natural es divisible por 3 si y solo si la suma de sus dígitos es un número divisible por 3.

Como también se cumple que 10 ≡ 1(mod 9) , se obtiene un criterio similar para divisibilidad por 9: Divisibilidad por 9 Un número natural es divisible por 9 si y solo si la suma de sus dígitos es un número divisible por 9. Ejercicio 9.2

Determinar si los enteros 176,521,221 y 149,235,678 son divisibles por 3 o por 9. Ejemplo 9.3 ________________

Demostrar que a1a2 " an ≡ an − an −1 + ... + (−1) n a1 (mod11) Note que 10 ≡ −1(mod11) . Usando este hecho y la representación ________________

a1a2 " an = a1 ⋅10 n −1 + a2 ⋅10 n − 2 + ... + an −1 ⋅101 + an resultado.

sigue

Del ejemplo anterior se desprende un criterio de divisibilidad por 11: Divisibilidad por 11 ________________

Un número natural a1a2 " an

es divisible por 11 si y

solo si an − an−1 + ... + (−1) a1 es divisible por 11. n

Ejemplo 9.4 Encontrar el dígito d en el número 2315d 8106 para que este número sea divisible por 11. 6 − 0 + 1 − 8 + d − 5 + 1 − 3 + 2 = d − 6 y d − 6 ≡ 0(mod11) si y solo si d =6.

Note que 1,001 = 7 ⋅11⋅13 y 103 ≡ −1(mod1, 001) . Por lo tanto ________________

a1a2 " an = a1 ⋅10n −1 + a2 ⋅10n − 2 + ... + an −1 ⋅101 + an = (an + 10an −1 + 100an − 2 ) + 1, 000(an −3 + 10an − 4 + 100an −5 ) +(1, 000) 2 (an −6 + 10an −7 + 100an −8 ) + ... ≡ (an + 10an −1 + 100an − 2 ) − (an −3 + 10an − 4 + 100an −5 ) +(an −6 + 10an −7 + 100an −8 ) + ...(mod1, 001) ______________

________________

_________________

≡ an − 2 an −1an − an −5 an − 4 an −3 + an −8 an −7 an −6 − ...(mod1, 001) Por lo tanto para verificar divisibilidad por 7, 11 o 13 se puede usar este criterio.

Ejemplo 9.5 Hallar un dígito d para que el número 4231560 d 33 sea divisible por 7. 4231560d 33 ≡ d 33 − 560 + 231 − 4(mod1, 001) . ≡ d 33 − 333(mod1, 001) Luego d = 3 . Ejemplo 9.6 Encontrar todos los números naturales, los cuales aumentan 9 veces, si entre la cifra de unidades y la cifra de decenas se coloca un cero. El número buscado se puede escribir de la forma 10a + b , donde b es la cifra de las unidades. Entonces 100a + b = 9(10a + b) . Luego 10a = 8b , es decir 5a = 4b . Por lo tanto b es divisible por 5 , así b = 0 o b = 5 . La única solución es b = 5 y el número buscado es 45.

10. El Pequeño Teorema de Fermat

En esta sección presentamos un resultado importante y útil en varios ejercicios de olimpiadas matemáticas. Ejemplo 10.1 Note que 5 ⋅ 3 ≡ 5 ⋅ 7(mod10) , pero 3 no es congruente con 7 módulo 10.

El siguiente ejemplo nos provee un criterio para “cancelar” cuando se está trabajando con multiplicación en congruencias. Ejemplo 10.2 Sea ka ≡ kb(mod m) y mcd (k , m) = 1 . Entonces a ≡ b(mod m) . Como ka ≡ kb(mod m) , entonces ka − kb es divisible por m . Luego k (a − b) es divisible por m . Pero como mcd (k , m) = 1 , entonces a − b es divisible por m , luego a ≡ b(mod m)

Ejercicio 10.3

Sea ka ≡ kb(mod km) , entonces a ≡ b(mod m) . Teorema 10.4 (Fermat) Sea p un número primo y a un entero que no es divisible por p . Entonces a p −1 ≡ 1(mod p ) . Demostración: Consideremos los números a, 2a,3a,..., ( p − 1)a . Veamos que entre ellos no hay dos números que tienen residuos iguales al dividirlos por p . Efectivamente, si ka ≡ la(mod p) , entonces como mcd (a, p) = 1 ya que a no es divisible por el primo p , por el ejemplo 10.2 se tiene que k ≡ l (mod p) . Esto es imposible para diferentes números naturales k y l menores que p . Por consiguiente la lista de p − 1 números a, 2a,3a,..., ( p − 1)a son todos los posibles residuos al dividir por p − 1 (en otras palabras, los números a, 2a,3a,..., ( p − 1)a deben ser congruentes módulo p a 1, 2,3,..., p − 1 en algún orden. Multiplicándolos se obtiene a ⋅ 2a ⋅ 3a " ( p − 1)a ≡ 1⋅ 2 ⋅ 3" ( p − 1)(mod p) . Entonces a p −1 ( p − 1)! ≡ ( p − 1)!(mod p ) . Como mcd (( p − 1)!, p) = 1 , usando el ejemplo 10.2 se tiene que a p −1 ≡ 1(mod p ) .

Como consecuencia del teorema de Fermat se tiene que si p es un número primo, para cualquier entero a , a p ≡ a (mod p ) . Ejemplo 10.5 Encontrar el residuo de la división de 2100 entre 101. La pregunta se puede reducir a encontrar el valor de x < 101 en la siguiente congruencia 2100 ≡ x (mod101) . 101 es primo y 2 no es divisible por 101, luego 2100 ≡ 1(mod101) . Por lo tanto el residuo buscado es uno. Ejemplo 10.6

Encontrar el residuo de la división de 3102 por 101. Como 101 es primo, entonces 3100 ≡ 1(mod101) , luego 3102 ≡ 9(mod101) y el residuo buscado es nueve. Ejercicios 10.7 1. Probar que cualquier entero de la forma 6k + 5 también es de la forma 3k + 2 . Sin embargo, el recíproco no necesariamente es cierto, es decir no todo número de la forma 3k + 2 tiene la forma 6 k + 5 . 2. Probar que 3a 2 − 1 nunca es un cuadrado perfecto. [ayuda: el cuadrado de cualquier entero es de la forma 3k o 3k + 1 ]. 3. Probar que si un entero es simultáneamente un cuadrado y un cubo, entonces debe ser de la forma 7 k o 7 k + 1 . 4. Probar que la diferencia de dos cubos consecutivos nunca es divisible por 2. 5. Para cualquier entero a , demostrar que mcd (2a + 1,9a + 4) = 1 . 6. Sea a un entero impar, establecer que a 2 + ( a + 2) 2 + ( a + 4) 2 + 1 es divisible por 12. 7. Probar que para cualquier entero a , uno de los tres a , a + 2 o a + 4 es divisible por 3. [ayuda: a tiene la forma 3k , 3k + 1 o 3k + 2 ]. 8. Probar que cualquier primo de la forma 3n + 1 también tiene la forma 6m + 1 . 9. Hallar todos los primos de la forma n3 − 1 . [ayuda: n 3 − 1 = (n − 1)( n 2 + n + 1) ] 10. Si n > 1 es un entero que no es de la forma 6k + 3 , probar que n 2 + 2n es compuesto. [ayuda: probar que n 2 + 2n es divisible por 2 o por 3. 11. Demostrar que 3099 + 61100 es divisible por 31. 12. Demostrar que 43101 + 23101 es divisible por 66. 13. Si n es un número natural impar, demostrar que a n + b n es divisible por a + b . 14. ¿Existe un número natural n tal que n 2 + n + 1 sea divisible por 1,955? 15. Encontrar el residuo al dividir 44444444 entre 9. [ayuda: 23 ≡ −1(mod 9) ]

16. Determinar los últimos n 7 4 n ≡ (1 + 400 ) (mod1, 000)

tres

dígitos

7999 .

[ayuda:

] ≡ 1 + 400n(mod1, 000) 17. Entre las cifras de un número de dos cifras, múltiplo de tres, colocaron un cero y al número de tres dígitos obtenido le adicionaron dos veces la cifra de sus centenas. Se obtuvo un número 9 veces mayor al inicial. Encontrar el número inicial. 18. Demostrar que todos los números de la sucesión 10001, 100010001, 1000100010001, … son compuestos. 19. Demostrar que 3003,000 − 1 es divisible por 1,001. 20. Encontrar el residuo de la división de 8900 entre 29. 21. Demostrar que 7120 − 1 es divisible por 143. [ayuda: Usar Fermat para demostrar que 7120 − 1 es divisible por 11 y por 13] 22. Sean p y q primos diferentes. Demostrar que a. p q + q p ≡ p + q (mod pq ) b.

pq + q p es un número par, si p, q ≠ 2 . pq

11. Números reales

0 reales negativos

origen

reales positivos

Ejemplo 11.1 Si los números 5 , 3 9 , 1, 2, 3 se ordenan de izquierda a derecha en orden de magnitud, ¿cuál de ellos queda en el medio? Elevando los números a la sexta potencia se conserva el orden y se obtiene

( 5)

= 125 ,

( 9) 3

= 81 , 16 = 1 , 26 = 64 , 36 = 729 . Por lo tanto

1< 2 < 3 9 < 5 < 3.

Ejemplo 11.2

1 1 + ? a b

Si 2a = 5b = 10 , ¿cuánto vale 1

Note que 10 a = 2 1 1 + b

10 a

y 10 b = 5 . Entonces 10 a10b = 10 , luego 1 1 = 10 . Por lo tanto + = 1 . a b

Ejemplo 11.3 Calcular 99-97+95-93+91-…+3-1 Agrupando se obtiene (99-97)+(95-93)+...+(3-1)= 2+2+...+2

= 50 25 veces

Valor absoluto Sea a un número real. El valor absoluto de a , denotado por | a | , se define como: ⎧ a si a ≥ 0 | a |= ⎨ ⎩−a si a < 0

Propiedades 11.4 Sean a, b números reales | a |≥ 0 i. | a |=| −a | ii. | a − b |=| b − a | iii. | a | es la distancia, en la recta real, desde a hasta el origen. iv. | a − b | es la distancia, en la recta real, desde a hasta b . v. | ab |=| a || b | vi. Veamos la demostración de vi, las demás se demuestran de manera similar.

Caso 1. a ≥ 0 y b ≥ 0 . Entonces ab ≥ 0 y | a |= a , | b |= b y | ab |= ab . Por lo tanto | ab |=| a || b | Caso 2. a ≥ 0 y b ≤ 0 . Entonces ab ≤ 0 y | a |= a , | b |= −b y

| ab |= − ( ab ) . Por lo tanto | ab |=| a || b | Caso 3. a ≤ 0 y b ≥ 0 . Similar al Caso 2. Caso 4. a ≤ 0 y b ≤ 0 . Entonces ab ≥ 0 y | a |= −a , | b |= −b y | ab |= ab . Por lo tanto | ab |=| a || b | Propiedades 11.5 Dados a, r números reales con r > 0 , | a |≤ r si y solo si −r ≤ a ≤ r | a |> r si y solo si a > r o a < − r Ejemplo 11.6 Solucionar en los números reales | 4 − 2 x |≤ 5 Dado | 4 − 2 x |≤ 5 , entonces −5 ≤ 4 − 2 x ≤ 5 . Restando 4 en los tres lados de las desigualdades se tiene −9 ≤ −2 x ≤ 1 . Dividiendo por –2 los tres lados de las desigualdades se obtiene (note que el sentido de las desigualdades cambia por ser –2 un número negativo) 9 1 ≥ x ≥ − . Por lo tanto los números reales x que satisfacen 2 2 1 9 | 4 − 2 x |≤ 5 son los que satisfacen − ≤ x ≤ . 2 2 Ejemplo 11.7 Las soluciones de la ecuación x 2 = a , con a ≥ 0 , están dadas por x =| a | .

12. Factorización, ecuaciones y sistemas de ecuaciones Ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 , a, b, c números reales con a ≠ 0 Si b2 − 4ac > 0 , la ecuación tiene dos soluciones reales

−b ± b 2 − 4ac 2a 2 Si b − 4ac = 0 , le ecuación tiene una solución real dada −b por x = 2a 2 Si b − 4ac < 0 , la ecuación no tiene soluciones reales dadas por x =

Ejemplo 12.1 Encontrar las soluciones reales de la ecuación 3x 2 + 9 x − 1 = 0 Esta ecuación se puede solucionar completado el cuadrado perfecto (sumando y restando una cantidad apropiada) de la siguiente manera: 3x 2 + 9 x − 1 = 0 3 ( x 2 + 3x ) − 1 = 0 2 2 ⎛ 2 ⎛3⎞ ⎛3⎞ ⎞ 3 ⎜ x + 3x + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎟ − 1 = 0 ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎛ ⎛ 9 ⎞ ⎞ 27 3 ⎜ x 2 + 3x + ⎜ ⎟ ⎟ − − 1 = 0 ⎝ 4 ⎠⎠ 4 ⎝ 2

3 ⎞ 31 ⎛ 3⎜ x + ⎟ = 2⎠ 4 ⎝ 2

3 ⎞ 31 ⎛ ⎜x+ ⎟ = 2 ⎠ 12 ⎝

Por lo tanto x +

31 3 3 31 3 31 − o = o x+ = − . Entonces x = 2 12 2 12 2 3 2

31 3 93 3 − . Luego x = − o x=− 6 2 2 3 2 Con la ecuación cuadrática se pueden −9 ± 81 + 12 , y por lo tanto soluciones x = 6 x=−

93 3 − . 6 2 obtener rápidamente las 3 93 . x=− ± 2 6

Ejemplo 12.2 Si x 2 + 8 x − 2 = 0 , ¿cuánto vale x 4 + 8 x3 + 16 x + 10 ?

x 4 + 8 x3 + 16 x + 10 = x 2 ( x 2 + 8 x − 2 ) + 2 x 2 + 16 x + 10 = 2 x 2 + 16 x + 10 = 2 ( x 2 + 8 x − 2 ) + 14 = 14 Ejemplo 12.3 Si a y b son soluciones de x 2 + 7 x + 15 = 0 , ¿cuánto vale a 2 + b2 + 12ab ? x 2 + 7 x + 15 = ( x − a )( x − b ) = x 2 − (a + b) x + ab . Por lo tanto ab = 15 y a + b = −7 .

Entonces

a + b + 12ab = ( a + b ) + 10ab = ( −7 ) + 10 (15 ) = 199 . 2

En la siguiente tabla se resumen algunas fórmulas importantes.

( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 2 ( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 3 ( a + b ) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 3 ( a − b ) = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3 a 2 − b2 = ( a − b )( a + b ) a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) 2

Ejemplo 12.4 ¿Cuál es el máximo común divisor de a 4 − b 4 y a 2 − b 2 ? Note que

a 4 − b 4 = ( a 2 − b 2 )( a 2 + b 2 ) = ( a − b )( a + b ) ( a 2 + b 2 ) a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b )

Si a ≥ b , mcd ( a 4 − b 4 , a 2 − b 2 ) = a 2 − b 2

Si a < b , mcd ( a 4 − b 4 , a 2 − b 2 ) = b 2 − a 2

Ejemplo 12.5 ¿Si m y n son enteros positivos que satisfacen mn + mn +1 + mn+ 2 = 39 , entonces cuánto vale n m ? Factorizando m n en la ecuación dada se obtiene m n (1 + m + m 2 ) = 39 .

Por lo tanto m n Es factor de 39. Entonces m n = 1,3,13 o 39 . m = 1⎫ • Si mn = 1 , ⎬ no es posible n = 1⎭ m = 3⎫ m • Si mn = 3 , ⎬ luego n =1 n =1⎭ •

Si mn = 13 ,

m = 13⎫ ⎬ no es posible n =1 ⎭

•

Si mn = 39 ,

m = 39 ⎫ ⎬ no es posible n =1 ⎭

Ejemplo 12.6 La suma de tres números impares consecutivos es 135, ¿cuál es el más pequeño de estos tres números? Los números buscados se pueden representar por x − 2, x, x + 2 . Por lo tanto x − 2 + x + x + 2 = 135 , luego x = 45 . El número más pequeño es 43.

Ejemplo 12.7 Ana, Bernardo y Carmen tomaron 13 dulces de una mesa. Al final Ana dijo que tomó 2 dulces más que Bernardo; Bernardo dijo que tomó la mitad de dulces que Ana y 5 menos que Carmen; Carmen dijo que tomó un número par de dulces. Si sabemos que a lo más uno de ellos mintió, ¿quién fue el mentiroso?

Digamos que a, b, c son las cantidades de dulces que tomaron Ana, Bernardo y Carmen respectivamente. Entonces a + b + c = 13 . (1) Según Ana, a = b + 2 . a Según Bernardo, b = y b = c − 5 . (2) 2 Según Carmen, c es par. (3) Si Ana y Bernardo no mintieron, de (1) y (2) se obtiene a = 4 , b = 2 y c = 7 . Este caso sería posible y Carmen sería la que mintió. Si Bernardo y Carmen no mintieron, de (2), (3) y a + b + c = 13 se obtiene b = 2 y c = 7 que no es par, así que Carmen mintió y esto no es posible. Si Ana y Carmen no mintieron, usando a + b + c = 13 y (1) tenemos b + 2 + b + c = 13 , luego c = 13 − 2b − 2 que es impar, así que Carmen mintió y este caso no es posible. En resumen se obtiene que Carmen fue quien mintió. Ejemplo 12.8 Juan fue de compras y pagó $120 con 36 monedas. Si sólo utilizó monedas de $2 y de $5, ¿cuántas monedas de $2 utilizó? Sea a el número de monedas de $2 y sea b el número de monedas de $5 que Juan utilizó. Entonces a + b = 36 y 2a + 5b = 120 . Multiplicando por 2 la primera ecuación y restándola de la segunda se obtiene 3b = 48 . Luego b = 16 . Entonces a = 36 − b = 20 . Por lo tanto Juan usó 20 monedas de $2. Ejemplo 12.9 Ana compró 3 bolígrafos, 7 lápices y una regla y pagó $31.50. Sofía compró 4 bolígrafos, 10 lápices y una regla y pagó $42. Pedro compró un bolígrafo, un lápiz y una regla. ¿Cuánto pagó Pedro?

Sean b , l y r los precios de un bolígrafo, un lápiz y una regla respectivamente. Entonces 3b + 7l + r = 31.5

4b + 10l + r = 42 b+l +r = A donde A es la cantidad pagada por Pedro. Al multiplicar la primera ecuación por 3 y restarle dos veces la segunda ecuación se obtienen los coeficientes de la tercera, así A = 3 ( 31.5 ) − 2(42) = 10.5 .

Ejercicios 12.10 1. Solucionar en los números reales a. 3 x < 9 x + 4 b. 4 ≤ 3 x − 2 < 13 c. ( x − 2 )( x − 3) ≤ 0

1+ x ≥1 1− x 2 e. x < x −1 f. | x − 2 |< 3 g. | x + 3 |≥ 8 Hallar las soluciones reales, si existen, de las siguientes ecuaciones a. x 2 − 2 x + 5 = 0 b. 3x 2 + 2 x − 5 = 0 c. x 2 − 6 x + 9 = 0 Encontrar y (en términos de x ) tal que 2 y = 16 x +1 + 24 x + 4 . En un mismo mes tres domingos cayeron un día par. ¿Qué día de la semana fue el 22 de ese mes? Un barril lleno de vino pesas 34 Kg. Y cuando está lleno a la mitad pesa 17.5 Kg. ¿Cuál es el peso del barril? d.

3. 4. 5.

6. Encontrar a y b tales que

1 a = 1+ 1 b 2+

1 4 3 7. Dado que P ( x ) = x + ax + 2 y que P ( 2 ) = 1 , ¿Cuánto vale 3+

P (1) ? 8. Tres trabajadores necesitan tres días para pintar un edificio. ¿Cuántos trabajadores pueden hacerlo en 9 días? 9. ¿Cuál es la mitad de 2108 ? 10. ¿Cuál es la suma de las cifras del número 1092 − 92 ? 11. Se sabe que el producto de 1,998 enteros positivos es igual a 1,998. ¿Cuál es el menor valor posible de la suma de esos enteros? 12. En cierto planeta hay tantos días en una semana como semanas en un mes, como meses en un año. Si un año tiene 1,331 días, ¿cuántos días tiene cada semana?

13. Paridad

Presentamos algunos ejemplos en donde la idea de “par” o “impar” ayuda a encontrar la solución del problema. Ejemplo 13.1 Resolver el siguiente sistema en los enteros positivos a 3 − b3 − c 3 = 3abc a2 = 2 (b + c )

Se podría tratar de resolver el problema despejando alguna variable en una de las ecuaciones y reemplazándola en la otra, sin embargo los cómputos pueden ser largos y quizás no nos lleven a nada. Note que de la segunda ecuación se tiene que a2 es par, luego a as par. Por otro lado, como estamos buscando soluciones positivas, de la primera ecuación se tiene que a > b y a > c . Luego 2a > b + c , entonces 4a > 2 ( b + c ) . Así, 4a > a 2 , luego 4 > a . Por lo tanto a = 1, 2 o 3 .

Como a es par, entonces a = 2 . Entonces, de la segunda ecuación se tiene, 4 = 2(b + c) , luego 2 = b + c . Así, b = c = 1 . Ejemplo 13.2 Resolver x y + 1 = z donde x, y, z son números primos. Note que z ≠ 2 . Entonces x debe ser par para que z sea impar. Además y debe ser par para que x y + 1 no sea factorizable. Entonces x = y = 2 y z = 5. Ejercicios 13.3 1. Se colocan los números 1,2,3,4,…,1,984 en la pizarra. Se borran dos de ellos y se coloca su diferencia. Si se repite este proceso hasta el final, ¿qué se obtine, un par o un impar? _______

2. Hallar N , si N 2 = aabb .

14. Identidad de Sophie Germain

La siguiente propiedad es atribuida a Sophie Germain y la presentamos a manera de ejemplo de identidades algebraicas importantes que ayudan a solucionar diversos problemas. Note que a 4 + 4b 4 = a 4 + 4a 2b 2 + 4b 4 − 4a 2b 2 = ( a 2 + 2b 2 ) − 4a 2b 2 2

= ( a 2 + 2b 2 − 2ab )( a 2 + 2b 2 + 2ab )

Por lo tanto: Identidad de Sophie Germain a 4 + 4b 4 = ( a 2 + 2b 2 − 2ab )( a 2 + 2b 2 + 2ab )

Ejemplo 14.1 4545 + 5454 no es primo. Note que 4545 + 5454 = 5454 + 4 ⋅ 4544 = 5454 + 4 ( 4136 )

Por la identidad de Sophie Germain se tiene que 4545 + 5454 no es primo. Ejemplo 14.2 Si n ≥ 1 , entonces n 4 + 4n nunca es primo. En efecto, si n es par, entonces n 4 + 4n es par mayor que dos, luego no es primo. Si n es impar, entonces n = 2k + 1 , para algún entero k , luego n 4 + 4n = n 4 + 42 k +1 = n 4 + 4 ( 42 k ) = n 4 + 4 ( 2k )

Entonces por la identidad de Sophie Germain, n 4 + 4n no es primo.

15. Inducción Matemática: Efecto Dominó

El método de inducción matemática es uno de las herramientas más poderosas en matemáticas y es un instrumento para manejar en ciertas situaciones el concepto de infinito. Este método permite probar que un patrón se cumple para todos los números naturales, basándose en solamente dos pedazos de información. El método es poderoso pues solamente hay que probar dos cosas para concluir que el patrón o propiedad es cierto para todos los (infinitos) números naturales. El método es similar al “efecto de dominó”. Supongamos que tenemos una fila de fichas de dominó. Sea P(n) la proposición “la ficha de dominó en la posición n de la fila se cae”. Vamos a probar (o a

convencernos) que todas las fichas de domino se caen bajo ciertas circunstancias. Supongamos que las fichas están suficientemente cerca de tal forma que si una cualquiera se cae, entonces la inmediatamente siguiente se cae. En términos de nuestra representación estamos diciendo que si P(n) es cierta para un cierto n , entonces P(n + 1) es cierta. Esta es la primera pieza de información. Supongamos ahora que la primera ficha en la fila se cae. En términos de nuestra notación, estamos diciendo que P (1) es cierta. Esta es la segunda pieza de información. De estas dos piezas de información se concluye claramente que todas las fichas de dominó en la fila se caen. Es decir que podemos concluir que P(n) es cierta para todo número natural n . En la vida real, la fila de fichas de dominó es finita, pero esta misma idea se puede usar para concluir que una propiedad P(n) es cierta para todo número natural n , si se logra probar dos cosas: que P (1) es cierta y que P(n) cierta para n , implica P(n + 1) cierta. Note que para probar que una propiedad P(n) es cierta para todo número natural n , no es suficiente probar que la propiedad es cierta para los primeros valores de n , es decir que si por ejemplo probamos que P (1) , P(2) ,…, P(800) son ciertas, no podemos concluir que P(n) sea cierta para todos los números naturales n , pues podría suceder que por ejemplo P(936) sea falsa. Podemos resumir el Principio de Inducción Matemática de la siguiente manera: Principio de Inducción Se desea probar que una propiedad P(n) es cierta para todo número natural n . Si se cumplen las siguientes

dos condiciones: 1. P (1) es cierta 2. Suponer que n ≥ 1 y P(n) es cierta. Entonces …Entonces P(n + 1) es cierta. Entonces, por el Principio de Inducción Matemática se concluye que P(n) es cierta para todo número natural n. Nota: Los puntos suspensivos en 2. Simbolizan los pasos que hay que hacer para llegar de P(n) a P(n + 1) . Cuando usamos inducción para probar una propiedad que envuelve un parámetro n en los números naturales, decimos que la demostración es por inducción sobre n . El paso 1. se llama usualmente el paso base. Para probar el paso base es suficiente verificar que la propiedad es cierta cuando n = 1 . El paso 2. se llama el paso inductivo. Para probar el paso inductivo se supone que P(n) es cierta para n ≥ 1 (y por esta razón se le llama la hipótesis de inducción) y se demuestra que P(n + 1) es cierta. Ejemplo 15.1 Probar que 1 + 3 + 5 + ... + (2 n + 1) = ( n + 1) 2 . Para n = 1 se obtiene en el lado izquierdo de la ecuación 1 + 3 = 4 . En el lado derecho se obtiene (1 + 1) 2 = 4 . Por lo tanto el paso base se cumple. La hipótesis de inducción es 1 + 3 + 5 + ... + (2 n + 1) = ( n + 1) 2 . Queremos demostrar 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) + (2( n + 1) = 1) = (( n + 1) + 1) 2 . Sumando 2(n + 1) + 1 a ambos lados de la hipótesis de inducción se obtiene

1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) + (2(n + 1) + 1) = (n + 1)2 + (2(n + 1) + 1) = (n + 1)2 + 2n + 3 = n 2 + 2n + 1 + 2n + 3 = n 2 + 4n + 4 = (n + 2) 2 Por lo tanto 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) + (2( n + 1) = 1) = ( n + 2) 2 . Esto completa la demostración por inducción. Ejemplo 15.2 Demostrar que si n ∈ ` y q ≥ 2 , entonces n < q n . Usamos inducción sobre n . Por hipótesis se tiene que q > 1 , por lo tanto el paso base se cumple y el ejercicio es cierto para n = 1 . Como hipótesis de inducción supongamos que el resultado es cierto para n = k , es decir k < q k . Entonces k + 1 ≤ k + k = 2k ≤ qk < q ⋅ q k = q k +1 Note que en la última desigualdad se está usando la hipótesis de inducción. Por lo tanto el ejercicio se cumple para n = k + 1 y esto completa la demostración por inducción. Ejemplo 15.3 Supongamos que se colocan n bolas en línea recta, tocándose una con otra. Entonces se forman n − 1 contactos. Si n = 1 , el resultado es claro. Si para k bolas se tienen k − 1 contactos, cuando adicionamos una bola esto agrega un contacto. Por lo tanto k + 1 bolas forman k contactos. Ejemplo 15.4 Probar por inducción que si n es un entero positivo, entonces 4n − 1 − 3n es divisible por 9. Como 0 es divisible por 9, entonces la propiedad es cierta para n = 1 y el paso base se cumple.

Supongamos, como hipótesis de inducción, que 4n − 1 − 3n es divisible por 9 y demostremos que 4 n +1 − 1 − 3( n + 1) = 4 n +1 − 4 − 3n es divisible por 9. Por hipótesis se tiene que 4n − 1 − 3n es divisible por 9, luego existe un entero k tal que 4n − 1 − 3n = 9k . Si multiplicamos a ambos lados de esta ecuación por 4, obtenemos 4n +1 − 4 − 12n = 36k . Por lo tanto, 4n+1 − 4 − 3n = 36k + 9n . Entonces 4n +1 − 4 − 3n = 9(4k + n) . Note que 4k + n es un entero. Por lo tanto, la última ecuación muestra que 4n+1 − 4 − 3n es divisible por 9. Esto completa la demostración por inducción. Algunas veces la demostración de P ( k + 1) en el paso inductivo necesita la hipótesis de que P ( i ) es cierta para todos los valores de i menores que k + 1 . El Principio de Inducción Completa nos permite asumir como hipótesis el hecho de que P ( i ) es cierta para todos los valores de i menores que k + 1 . El próximo teorema muestra que de hecho el Principio de Inducción Completa implica el Principio de Inducción. Teorema 15.5 (Principio de Inducción Completa) Para cada entero n ≥ 1 , sean P (1) , P ( 2 ) ,..., P ( n ) ,... proposiciones. Si se

cumplen las propiedades siguientes i. y ii., entonces para cada n ∈ ` la propiedad P ( n ) es cierta. i.

P (1) es cierta

ii.

Para k ≥ 2 , si P ( i ) es cierta para todo i < k , entonces

P ( k ) es cierta. Demostración: Para n ∈ ` , sea R ( n ) la proposición “ P ( i ) es cierta para todo i que satisface 1 ≤ i ≤ n ”. Probaremos por inducción en n que todas las R ( n ) son ciertas, esto implica claramente que todas las P ( n )

son ciertas.

Por i. se tiene que R (1) es cierta. Para k > 1 , supongamos que R ( k − 1) es cierta. Por lo tanto P ( i ) es cierta para todo i < k . Entonces, por ii. se tiene que P ( k ) es cierta. Luego R ( k ) es cierta. El principio de inducción matemática implica que todas las R ( n ) son ciertas. El siguiente teorema muestra una aplicación del Principio de Inducción Completa. Teorema 15.6 Todo entero n ≥ 2 es primo o un producto de primos. Demostración: La propiedad es cierta para n = 2 ya que 2 es un número primo. Sea n ≥ 2 un entero arbitrario y supongamos que la propiedad es cierta para todo entero k < n . Si n es primo, entonces terminamos la demostración. Si n no es primo entonces n = ab , donde a, b son enteros tales que 2 ≤ a < n y 2 ≤ b < n . Por hipótesis se tiene que a y b son primos o son el producto de primos. Por lo tanto n es el producto de (por lo menos dos) primos. Ejemplo 15.7 En el siguiente juego, los dos jugadores mueven alternadamente y el juego comienza con dos montones de monedas, donde cada montón tiene el mismo número de monedas. Cada jugador toma un número positivo de monedas de un montón cualquiera. El ganador es el jugador que remueve la última moneda. Demostraremos, usando inducción completa sobre el número de monedas de cada montón, que el jugador que no comienza el juego, llamémoslo el jugador B, es el ganador (siempre y cuando juegue bien). Si los montones tienen inicialmente una moneda cada uno, entonces el jugador A tomará obligatoriamente 1 moneda y el jugador B tomará la otra moneda, ganando así el juego. Por lo tanto el paso base de la inducción se cumple. Para la hipótesis de inducción supongamos que comenzamos con dos montones con n monedas cada uno y supongamos que el resultado es cierto para todos los juegos en donde se comienza el juego con montones que tienen menos de n monedas. Si el jugador A

toma un montón completo, el jugador B tomará el otro montón y gana. Si el jugador A toma j monedas de un montón, el jugador B responde tomando j monedas del otro montón. Lo que queda del juego es equivalente a un juego en el que se comienza con n − j monedas en cada montón y donde el jugador A tiene que jugar primero. La hipótesis de inducción garantiza que el jugador B gana el juego. Esto completa la demostración. Ejercicios 15.8 1. Usar el principio de inducción matemática sobre n para probar que las siguientes proposiciones son ciertas para todos los números naturales. n(n + 1) a. 1 + 2 + 3 + ... + n = 2 n(n + 1)(2n + 1) b. 12 + 22 + 32 + ... + n 2 = 6 2 n ( n + 1) 2 c. 13 + 23 + 33 + ... + n3 = 4 n(3n − 1) d. 1 + 4 + 7 + ... + (3n − 2) = 2 1 2 n n+1 e. 2 + 2 + ... + 2 = 2 − 2 f. 1 ⋅1!+ 2 ⋅ 2!+ ... + n ⋅ n! = (n + 1)!− 1

g. h. i. j. k.

3n ≥ 1 + 2n 4n − 1 es divisible por 3 n3 + 5n + 6 es divisible por 3 n n+ 2 10 + 3 ⋅ 4 + 5 es divisible por 9 Si q ≥ 2 , entonces n < q n

2. Sean P1 , P2 ,..., Pn n puntos en un plano tales que no hay tres puntos colineales (no hay tres de estos puntos que estén en la misma recta). Probar que el número de segmentos que unen todos los pares de n2 − n . puntos es 2

3. El juego de las torres de Hanoi consiste de un tablero con tres palos y varios discos de diferentes diámetros que se ponen dentro de los palos. En la posición inicial todos los discos están puestos en uno de los palos y están ordenados por tamaño, de mayor a menor, donde el más grande va abajo. Un movimiento consiste en levantar el disco que está en la parte de arriba y ponerlo en otro palo. Estos movimientos se hacen de tal forma que nunca exista un disco grande sobre uno más pequeño. El objetivo el juego es cambiar todos los discos a otro de los palos. ¿Cuántos movimientos son necesarios para mover n discos? Usar el Principio de Inducción Matemática para probar su resultado. 4. Suponer que una población de hormigas se duplica en cada año sucesivo. Una colonia se establece con 10 hormigas. ¿Cuántas hormigas habrá después de n años? 5. Probar que un conjunto con n elementos tiene 2n subconjuntos. 6. Suponer que dibujamos n líneas en un pedazo de papel de tal forma que todo par de líneas se interceptan pero tres líneas no se cortan en un mismo punto. ¿En cuántas regiones divide el plano estas n líneas? Probar su respuesta. 7. Probar por inducción que si n es un entero positivo, entonces 4n ≡ 1 + 3n ( mod 9 ) . 8. Encontrar el error en la siguiente demostración: Para todo número natural n , n 2 + n es impar. “prueba”: Supongamos que n 2 + n es impar, entonces ( n + 1) 2 + ( n + 1) = n 2 + 2n + 1 + n + 1 = ( n 2 + n) + (2n + 2) es la suma de un número impar y un número par. Por lo tanto ( n + 1) 2 + ( n + 1) es impar. Por el principio de inducción matemática podemos concluir que para todo número natural n , n 2 + n es impar. 9. Encontrar el error en la siguiente prueba:

Para todo número natural n, dado cualquier grupo de n niñas, todas las niñas del grupo tienen los ojos del mismo color. “prueba”: Claramente si se tiene un grupo de una sola niña, todas las niñas tienen los ojos del mismo color. Supongamos que todas las niñas en cualquier conjunto de n niñas tienen los ojos del mismo color. Considerar un conjunto de n + 1 niñas. Si removemos una niña del grupo, entonces todas las n niñas que quedan en el grupo tienen los ojos del mismo color (esto es por la hipótesis de inducción). Considerar ahora el grupo de n niñas que se obtiene al remover una niña diferente a la primera. Por hipótesis todas las n niñas tienen los ojos del mismo color. Por lo tanto todas las n + 1 niñas tienen los ojos del mismo color. Por el Principio de Inducción Matemática se obtiene que para todo número natural n, dado cualquier grupo de n niñas, todas las niñas del grupo tienen los ojos del mismo color. Note que de aquí concluimos que todas las niñas del mundo tienen los ojos del mismo color. 10. En la villa del razonamiento perfecto, cada patrón tiene un aprendiz. Por lo menos uno de los aprendices es un ladrón. Para solucionar este problema, sin quedar mal, el alcalde de la villa proclama la siguiente proposición cierta: “Por lo menos un aprendiz en esta villa es un ladrón. Todo ladrón es conocido como ladrón por todos los patrones excepto por el suyo y todos los patrones razonan perfectamente. Si n días a partir de hoy usted concluye que su aprendiz es un ladrón, usted vendrá ese día al centro del pueblo a medio día y denunciará a su aprendiz”. La gente de la villa se reunió de ahí en adelante todos los días en el centro del pueblo. ¿Si de hecho k ≥ 1 de los aprendices son ladrones, cuándo serán denunciados, y como sus patrones razonan? 11. Comenzando en el origen, dos jugadores mueven alternadamente una ficha en el plano. Cuando la ficha esta en la posición ( x, y) , el jugador escoge un número natural n y mueve a ( x + n, y) o a ( x, y + 5n) . Probar que el segundo jugador siempre puede retornar a la línea y = 5 x.

NOTA: Una propiedad que es cierta para los números naturales mayores o iguales que un cierto n0 puede ser probada por inducción inclusive cuando n0 > 1 . Tendíamos que probar que la propiedad es cierta para n0 y después probar que P(n) cierta para n ≥ n0 implica que P(n + 1) es cierta. Esto equivale en la fila de fichas de dominó a que las primeras fichas, no están suficientemente cercanas para que al tumbar la primera se caigan las demás. Pero a partir de la ficha que está en la posición n0 si están suficientemente cercanas. 12. Usar el principio de inducción matemática para probar que 2n > n2 para todo entero n ≥ 5 .

16. Ángulos internos de un triángulo

En esta sección probamos un principio fundamental de los triángulos. Trazamos un triángulo cualquiera ABC . Por el vértice A trazamos una paralela al lado BC como en el dibujo. D

Note que )DAB = )CBA y )EAC = )ACB . Además )DAB + )BAC + )EAC = 180D . Entonces D )CBA + )BAC + )ACB = 180 . Por lo tanto hemos probado el siguiente teorema: Teorema 16.1 La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180D 62

Ejemplo 16.2 Los ángulos internos de un cuadrilátero convexo suman 360D .

Basta dividir el cuadrilátero en dos triángulos y usar el teorema anterior. Ejercicios 16.3 1. ¿Cuánto vale cada uno de los ángulos internos de un pentágono regular? 2. ¿Cuánto vale la suma de los ángulos internos de un polígono convexo de n lados? 3. Demostrar que todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes.

NOTA: Un ángulo exterior de un triángulo se forma cuando un lado del triángulo es extendido. C

El ) ABC es un ángulo exterior del triángulo que se muestra en la figura. 17. Ángulo central versus ángulo inscrito

Existen diferentes ángulos asociados con los círculos. Unos de los más importantes son los ángulos centrales y los ángulos inscritos. En esta sección veremos una relación fundamental entre ellos.

Ángulos centrales: Los ángulos centrales son aquellos formados por dos radios del círculo. El vértice es el centro del círculo. En la figura, ) AOB es un ángulo central.

B Ángulos inscritos: A cualquier segmento de recta que tenga sus extremos sobre la circunferencia y que no sea diámetro se le llama cuerda. Un ángulo inscrito en una circunferencia es cualquier ángulo formado por dos cuerdas que tienen un extremo común sobre la circunferencia. En la figura ) ABC es un ángulo inscrito. A B

Teorema 17.1 Si dos ángulos inscritos en un círculo abren el mismo arco, entonces ellos son iguales e iguales a la mitad del ángulo central correspondiente. Es decir, C

A O

1 )BCA = )BDA = )BOA 2 Demostración: Caso 1: Uno de los lados del ángulo inscrito pasa por el centro de la circunferencia. A

C B

Como el triángulo ABO es isósceles, entonces )OBA = )BAO = )CBA . Además, como la medida del ángulo exterior de un triángulo es la suma de los otros dos ángulos no adyacentes, entonces )COA = )OBA + )BAO . = 2)CBA

Caso 2: El centro de la circunferencia es un punto interior del ángulo inscrito.

D B

y B . Sean α1 = )DBA y Note que α 2 = )CBD . )CBA = α1 + α 2 . Por el Caso 1. se tiene que )DOA = 2α1 y Además, )COD = 2α 2 . )COA = )DOA + )COD . Por lo tanto )COA = 2α1 + 2α 2 = 2)CBA .

Sea BD el diámetro de la circunferencia que pasa por O Caso 3: El centro de la circunferencia es un punto exterior del ángulo inscrito. Sea BD el diámetro que pasa por O y B . Sean α1 = )ABD y Note que α 2 = )CBD . O D )CBA = α 2 − α1 . Además, por B el Caso 1, se tiene que )AOD = 2α1 y )COD = 2α 2 . A Entonces )COA = )COD − )AOD C

= 2α 2 − 2α1 = 2)CBA

De los tres casos anteriores se concluye que el ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que abre el mismo arco. De aquí se sigue, de manera inmediata, que dos ángulos inscritos que abren el mismo arco son iguales.

Ejercicios 17.2 1. Demostrar que en la figura siguiente )BAC = 90D , donde el segmento BC es un diรกmetro de la circunferencia. A

C B

2. En la siguiente figura, encontrar la medida del )DCB , sabiendo que )DOB = 60D . D C

REFERENCIAS

[1] Andreescu Titu and Feng Zuming, Mathematical Olympiads, The Mathematical Association of America, 2000. [2] Barbeau Edward, Klamkin Murray and Moser William, Five Hundred Mathematical Challenges, The Mathematical Association of America, 1995. [3] Cáceres Luis, Introducción a Temas de Competencias Matemáticas, Publicaciones CRAIM. [4] Fortes Mauricio, Olimpiadas de Matemáticas, Academia de la Investigación Científica, México, 1993. [5] Larsen Loren, Problem-Solving Through Problems, Springer Verlag, 1983 [6] Pérez María Luisa, Combinatoria, Instituto de Matemáticas 2000. [7] Smith Douglas, Eggen Maurice and Andre Richard, A transition to Advanced Mathematics, fifth edition, Brooks/Cole, 2001.

ÍNDICE DE PALABRAS

Algoritmo de la división · 17 ángulo exterior · 53, 55 ángulo inscrito · v, 53, 54, 55, 56 ángulos centrales · 53 ángulos internos · 52, 53 aritmética · 23, 24, 25, 26, 27, 28 aritmética modular · 23

hipótesis de inducción · 47, 51

I Inducción Completa · 48, 49 inducción matemática · 7, 45, 49, 51, 52 inverso multiplicativo · 27, 28

C colineales · 50 combinación · 16 compuesto · 21, 36 congruente · 28

L Lema de Euclides · 19

M D Diofantina · v, 20 disyuntos · 7, 10 Divisibilidad por 10 · 32 Divisibilidad por 11 · 33 Divisibilidad por 2 · 32 Divisibilidad por 3 · 33 Divisibilidad por 4 · 32 Divisibilidad por 5 · 32 Divisibilidad por 9 · 33

máximo común divisor · 18, 40 mínimo común múltiplo · 19 módulo · iii, 25, 26, 27, 28, 31

N Números reales · 37

P E Ecuación cuadrática · 39 enteros módulo 7 · 25, 26

F factorial · 10, 12 Fermat · 35, 37

Paridad · v, 43 permutación · 10, 13, 14, 16 permutaciones distinguibles · 13, 14 Permutaciones Distinguibles · 13 primo · 21, 22, 35, 36, 45, 49 primos relativos · 18 Principio de Adición · 7, 10 Principio de Multiplicación · 8 Principio Fundamental de Conteo · 8, 9, 10, 11, 12

Sophie Germain · v, 44, 45

valor absoluto · 38

T Teorema de Fermat · v, 34 Teorema Fundamental de la Aritmética · 21