Olimpiada R´apida OMPR Universidad de Puerto Rico - Recinto de Mayag¨ uez
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3 minutos
1
¿Cu´anto vale 20092 − 20082 + 20072 − · · · + 32 − 22 + 12 ?
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Soluci´on
Agrupando (20092 − 20082 ) + (20072 − 20062 ) + · · · + (32 − 22 ) + 12 y factorizando cada diferencia de cuadrados obtenemos: 2009 + 2008 + 2007 + · · · + 3 + 2 + 1 Por suma de Gauss esto es igual a 2019045.
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2
¿Cu´antos n´ umeros de tres d´ıgitos tienen al menos un 2 ´o al menos un 3?
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Soluci´on
Hay 9 · 10 · 10 = 900 n´ umeros de tres d´ıgitos. Sabemos que de estos hay 7 · 8 · 8 = 448 que no tienen 2 ni 3 como una de sus cifras. Por tanto hay 900 − 448 = 452 n´ umeros de tres d´ıgitos’que tienen al menos un 2 ´o al menos un 3.
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3
Una persona quiere vender su caballo y el comprador le pide precio. El amo del caballo dice: El caballo tiene cuatro herraduras y cada herradura cuatro clavos. Me has de pagar una moneda por el primer clavo, dos por el segundo, cuatro por el tercero, ocho por el cuarto y as´ı hasta los 16 clavos de las herraduras del caballo. ¿Cu´antas monedas vale el caballo?
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Soluci´on Llamemos C al costo del caballo, as¨ı¿ 21 C est´a dado por C = 20 + 21 + · · · + 215 Para calcular la suma multiplicamos por 2, 2C = 21 + 22 + · · · + 216 y al restar miembro a miembro obtenemos que C = 216 − 20 = 65535
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4
Si tienes el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Descartando un entero y con los restantes formando dos conjuntos, la suma de los enteros de un conjunto debe ser igual a la suma del otro y el producto igual. ¿Cu´al es el entero que hay que descartar, cu´al es la suma y el producto de cada conjunto?
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Soluci´on
El n´ umero que sacamos es el 7, la suma da 24 y el producto es 720. Esto debido a que los conjuntos son A1 = {2, 5, 8, 9} y A2 = {1, 3, 4, 6, 10}
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5
Considere las 27 fichas de domin´o que quedan quitando la blanca-blanca. Tomando en cuenta los puntos que hay en una ficha, a cada ficha le corresponde un n´ umero racional menor o igual que uno. ¿Cu´al es la suma de todos estos n´ umeros?
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Soluci´on
Los que tienen a 6 como denominador, su suma es 21/6. Los que tienen a 5 como denominador, 15/5, los que tienen a 4, 10/4, los que tienen a 3, 6/3, los de tienen a 2, 3/2 y los que tienen a 1, 1. En total la suma es 27/2.
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6
Las p´aginas de un libro est´an numeradas a partir de la 1. Sabiendo que la m´aquina que las ha enumerado indica que se han utilizado en total 402 d´ıgitos, ¿cu´antas p´aginas tiene el libro y cu´al es el d´ıgito m´as utilizado?
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Soluci´on
Para enumerar las p´aginas del 1 al 9, se usan 9 d´ıgitos. Para enumerar las p´aginas del 10 al 99, se usan 90 × 2 = 180 d´ıgitos. Por tanto llevamos 189 de los 402 d´ıgitos utilizados. Nos restan 213 d´ıgitos que al dividirlos por 3, nos da 71 p´aginas mas. Por tanto el libro tiene 170 p´aginas y el d´ıgito m´as utilizado es el 1.
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7
Encontrar el menor n´ umero que dividido entre 2 d´e resto 1, dividido entre 3 d´e resto 2, dividido entre 4 d´e resto 3, dividido entre 5 d´e resto 4, dividido entre 6 d´e resto 5, dividido entre 7 d´e resto 6 y dividido entre 9 d´e resto 8.
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Soluci´on
Este es el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de los n´ umeros del 2 al 9, sin incluir el 8, restandole 1. Es decir, 1260 − 1 = 1259
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8
Hallar la suma de todos los n´ umeros que son permutaciones de los d´ıgitos 1, 2, 3, 4 y 5. Esto es 12345 + 12354 + ... + 54321
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Soluci´on
Son 120 n´ umeros y adicionandolos de la manera tradicional, en cada columna cada d´ıgito aparece 24 veces. Por tanto la suma es 3999960.
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9
Conociendo que el lado del tri´angulo equil´atero es 3. ¿Cu´al es el ´area de la regi´on sombreada?
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Soluci´on
√
La altura de un tri´angulo equil´atero de lado l mide h = 23l . Como el centro de un tri´angulo equil´atero inscrito en un c´ırculo coincide con el baricentro del tri´angulo, entonces el radio del c´ırculo grande mide h3 y el radio de cada c´ırculo peque˜ no mide h9 . Por tanto el ´area sombreada es √ !2 √ !2 πl2 3l 3l + 3π = π 6 18 9 Por tanto el ´area sombreada es π. OMPR
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4 minutos 10
Cada lado de un rect´angulo se divide en tres segmentos de la misma longitud. Los puntos obtenidos se unen definiendo un punto en el centro como se indica en la figura. ¿Cu´anto es el cociente del ´area de la parte blanca entre el ´area de la parte gris?
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Soluci´on
Trazando las diagonales del rect´angulo encontramos 12 tri´angulos. Cada lado del rect´angulo contiene la base de 3 tri´angulos, uno blanco y dos grises, que tienen la misma ´area pues sus bases y sus alturas son iguales. As´ı, la raz´on de las ´areas es de 1 a 2.
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11
Si f (2x + 1) = 4x2 + 2x − 6, encuentre la suma de las raices de f (x).
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Soluci´on
f (2x + 1) = 4x2 + 4x + 1 − 2x − 1 − 6 = (2x + 1)2 − (2x + 1) − 6 Por lo tanto f (x) = x2 − x − 6 = (x − 3)(x + 2) Raices: 3, −2 Suma: 3 + (−2) = 1
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12
¿Cu´antas tripletas ordenadas de enteros positivos (x, y, z) satisfacen (xy )z = 64?
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Soluci´on
(21 )6 = (26 )1 = (22 )3 = (23 )2 = (41 )3 = (43 )1 = (81 )2 = (82 )1 = (641 )1 = 64 As´ı la respuesta es 9.
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4 minutos 13
El radio del cuarto de c´ırculo es 2. Los dos semic´ırculos son tangentes el uno al otro. Encuentre el radio del semic´ırculo menor
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Soluci´on x x 2−x
1
1
(1 + x)2 = 12 + (2 − x)2 x2 + 2x + 1 = 1 + 4 − 4x + x2 2x = 4 − 4x 4 2 x= = 6 3 OMPR
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14
¿Si x es un n´ umero real y 4x + 4−x = 7 cu´anto vale x −x 8 +8 ?
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Soluci´on
(2x + 2−x )2 = 4x + 2 × 2x 2−x + 4−x = 7 + 2 = 9 Por tanto 2x + 2−x = 3. As´ı 8x + 8−x = (2x )3 + (2−x )3 = (2x + 2−x )(4x − 2x 2−x + 4−x ) = 3(7 − 1) = 18
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15
Tres recipientes contienen agua. Si se vierte 31 del contenido del primer recipiente en el segundo, y a continuaci´on 14 del 1 contenido del segundo en el tercero, y por u ´ltimo 10 del contenido del tercero en el primero, entonces cada recipiente queda con 9 litros de agua. ¿Qu´e cantidad de agua hab´ıa originalmente en cada recipiente?
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Soluci´on
Haciendo un razonamiento hacia atr´as podemos reconstruir los contenidos de agua iniciales en cada recipiente. Despu´es de la tercera operaci´on, en cada uno hay 9 litros de agua, lo que significa que despu´es de la segunda operaci´on hab´ıa 8 litros en el primer recipiente, 9 en el segundo y 10 en el tercero. As´ı, despu´es de la primera operaci´on hab´ıa 8 litros en el primer recipiente, 12 en el segundo y 7 en el tercero. Por tanto, inicialmente hab´ıa 12 litros en el primer recipiente, 8 en el segundo y 7 en el tercero.
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16
Los lados del tri´angulo ABC miden AB = 26cm, BC = 17cm y CA = 19cm. Las bisectrices de los ´angulos de v´ertices B y C se cortan en el punto I. Por I se traza una paralela a BC que corta a los lados AB y BC en los puntos M y N respectivamente. Calcule el per´ımetro del tri´angulo AM N .
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Soluci´on A
I
M
B
N
C
Los tri´angulos BM I y CN I son is´osceles. As´ı que M I = M B y IN = N C. Luego: AM + M N + AN = AM + M I + IN + AN = AM + M B + AN + N C = AB + AC = 26 + 19 = 45
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17
A Julio le dieron el n´ umero secreto de su nueva tarjeta de cr´edito, y observ´o que la suma de los cuatro d´ıgitos del n´ umero es 9 y ninguno de ellos es 0; adem´as el n´ umero es m´ ultiplo de 5 y mayor que 2009. ¿Cu´al es el tercer d´ıgito de su n´ umero secreto?
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Soluci´on
Por ser el n´ umero m´ ultiplo de 5, debe terminar en 0 ´o 5, pero como no debe tener ceros, el n´ umero termina en 5. Ahora hay que buscar tres n´ umeros cuya suma sea 4 (pues la suma de todos los d´ıgitos del n´ umero es 9); como ninguno debe ser cero la u ´nica posibilidad es que sean 1,1,2 y como el n´ umero secreto debe ser mayor que 2009, debe ser 2115. Por lo tanto su tercer d´ıgito es 1.
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18
¿Cu´antos n´ umeros entre 5678 y 8765 tienen la propiedad de que el producto de sus cifras es igual a 294?
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Soluci´on
Observe que 294 = 2 · 3 · 72 . Como los n´ umeros son de 4 d´ıgitos necesariamente dos de ellas son 7 y las otras dos pueden ser 2 y 3 ´o 1 y 6. Con los d´ıgitos del conjunto {2, 3, 7, 7} se forman 6 n´ umeros. Con los d´ıgitos del conjunto {1, 6, 7, 7} se forman 9 n´ umeros. Por tanto hay en total 15 n´ umeros.
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19
En la figura, cada lado del cuadrado mide 1. ¿Cu´al es el ´area de la regi´on sombreada? A
B
D
C
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Soluci´on
√
El ´area del c´ırculo es π × ( 22 )2 = π2 . El ´area de la superficie delimitada por los segmentos AD, DC y el arco AC es 1 − π4 . El ´area de la regi´on delimitada por el segmento BC y el arco BC es la cuarta parte de restarle al ´area del c´ırculo el ( π −1) a´rea del cuadrado, osea 2 4 . Por tanto, el ´area de la regi´on sombreada es 2( π −1) 1 − π4 + 24 = 1/2.
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20
En un tri´angulo que tiene lados de longitud 10cm, 12cm y 15cm, ¿Cu´al es la raz´on entre la altura mayor y la altura menor?
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Soluci´on
Llamamos H y h a las alturas mayor y menor respectivamente. Dado que en un tri´angulo a mayor lado corresponde menor altura. Sabemos que A4 =
10H 15h = 2 2
Por tanto, 15 3 H = = h 10 2
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