Publicaciones AFAMaC
OMPR Olimpiadas de Matem´ aticas de Puerto Rico 2006-2007 Luis F. C´ aceres Jonathan Ho Fung Arturo Portnoy Departamento de Ciencias Matem´ aticas Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayag¨ uez
Primera Edici´on, 2007 c Derechos AFAMaC Director: Dr. Luis F. C´ aceres
Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida ni retransmitida por ning´ un medio, electr´onico, mec´ anico, fotocopiado, grabado u otro, excepto con el permiso previo por escrito de AFAMaC. Esta producci´on ha sido subvencionada por el proyecto AFAMaC mediante proyectos del Departamento de Educaci´ on Puerto Rico. Contrato #2007-AF-0205 #O AF-081-07-0205
Realizado por Luis F. C´ aceres Jonathan Ho Fung Arturo Portnoy Departamento de Ciencias Matem´ aticas Universidad de Puerto Rico, Recinto Universitario de Mayag¨ uez Impreso y hecho en Puerto Rico
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Pr´ ologo Las Olimpiadas de matem´aticas OMPR es un proyecto realizado en el Departamento de Ciencias Matem´aticas de la Universidad de Puerto Rico, Recinto Universitario de Mayag¨ uez. En este ciclo de olimpiadas participan estudiantes de las escuelas p´ ublicas y privadas de la Isla desde 4to a 12mo grado. Este ciclo consiste de varias competencias por las que pasan los estudiantes para finalmente seleccionar los equipos que representan a Puerto Rico en olimpiadas internacionales de matem´aticas. En este folleto presentamos los ex´amenes y soluciones de todas las olimpiadas realizadas durante el a˜ no acad´emico 2006-2007. En estas olimpiadas participaron sobre 3,000 estudiantes de toda la Isla. Cada una de estas olimpiadas se realiza en dos niveles: NIVEL I para estudiantes de 4to a 6to grado y NIVEL II para estudiantes de 7mo a 12mo grado. Se seleccionan los estudiantes por grado con las mejores puntuaciones. El examen de primera fase es contestado por cada estudiante en su casa o escuela y es enviado por correo a la organizaci´on de las olimpiadas. Los estudiantes con las mayores puntuaciones de todos los grados participan en la segunda fase de la olimpiada que consiste de un examen controlado que se administra en el Recinto Universitario de Mayag¨ uez de la Universidad de Puerto Rico. Los estudiantes con las mayores puntuaciones en la segunda fase pasan a competir en la Olimpiada de Matem´aticas de Puerto Rico. La mayor´ıa de los problemas que presentamos en este folleto son ejercicios de olimpiadas nacionales e internacionales de varios pa´ıses, algunos de ellos adaptados para estudiantes de Puerto Rico. Esperamos que este trabajo sirva como material de apoyo a los maestros que entrenan estudiantes para olimpiadas matem´aticas y que sirva tambi´en de motivaci´on y apoyo a los estudiantes que desean enfrentarse a problemas retadores e interesantes que son t´ıpicos de olimpiadas matem´aticas. Agradecemos al Departamento de Educaci´on de Puerto Rico y al Recinto Universitario de Mayag¨ uez quienes nos han apoyado intensamente en el desarrollo de proyectos educativos que benefician a maestros y estudiantes talentosos de Puerto Rico. iii
AFAMaC Alianza para el Fortalecimiento del Aprendizaje de las Ciencias y las Matem´aticas. Estos proyectos est´ an subvencionados por el Departamento de Educaci´ on de Puerto Rico y son realizados en el Departamento de Ciencias Matem´ aticas del Recinto Universitario de Mayag¨ uez de la Universidad de Puerto Rico.
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TABLA DE CONTENIDO COMPETENCIA PRE-OLIMPICA DE MATEMATICAS 2006-2007 PRIMERA FASE .................................................... 6 EXAMEN NIVEL I (4TO, 5TO Y 6TO GRADO)............................ 6 EXAMEN NIVEL II (7MO-12MO GRADO).................................. 12 COMPETENCIA PRE-OLIMPICA DE MATEMATICAS 2006-2007 SEGUNDA FASE .................................................. 21 EXAMEN NIVEL I (4TO, 5TO Y 6TO GRADO) ......................... 21 EXAMEN NIVEL II (7MO-12MO GRADO).................................. 26 OLIMPIADA MATEMATICA DE PUERTO RICO ................ 30 EXAMEN NIVEL I (4TO, 5TO Y 6TO GRADO) ......................... 30 EXAMEN NIVEL II (7MO-12MO GRADO) ............................... 32 EXAMEN DE SELECCION ..................................................... 34 SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS .................................. 35 COMPETENCIA PRE-OLIMPICA DE MATEMATICAS 2006-2007 PRIMERA FASE...................................................... 35 EXAMEN NIVEL I (4TO, 5TO Y 6TO GRADO) ......................... 35 EXAMEN NIVEL II (7MO-12MO GRADO) ............................... 41 COMPETENCIA PRE-OLIMPICA DE MATEMATICAS 2006-2007 SEGUNDA FASE .................................................. 53 EXAMEN NIVEL I (4TO, 5TO Y 6TO GRADO) ......................... 53 EXAMEN NIVEL II (7MO-12MO GRADO) ............................... 56 OLIMPIADA MATEMATICA DE PUERTO RICO ................ 61 EXAMEN NIVEL I (4TO, 5TO Y 6TO GRADO) ......................... 61 EXAMEN NIVEL II (7MO-12MO GRADO) ............................... 64 EXAMEN DE SELECCION ..................................................... 70
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COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Primera Fase 2006-2007 EXAMEN NIVEL I(4to, 5to y 6to grado) 1. Mar´ıa se come un dulce los lunes y cada d´ıa siguiente se come el doble del d´ıa anterior. ¿Cu´antos dulces se come Mar´ıa en la semana de lunes a domingo? a. 63
d. 127
b. 64
e. 164
c. 120 2. ¿Cual es el m´aximo n´ umero de tri´angulos que se puede identificar en la siguiente figura?
a. 8
d. 14
b. 10
e. 16
c. 12 3. ¿En la sucesi´on de figuras ⇑, ⇒, ⇓, ⇐, ⇑, ⇒, ⇓, ⇐, ⇑, ..., cu´al figura debe ir en la posici´on 2007? a. ⇒
d. ⇓
b. ⇑
e. ninguna de las anteriores
c. ⇐
6
4. En la siguiente multiplicaci´on AA es un n´ umero de dos d´ıgitos iguales. ¿Qu´e n´ umero es?
a. 11
d. 77
b. 55
e. 88
c. 66 5. Juan llega a un restaurante y encuentra que para tomar puede seleccionar entre jugo de parcha o china. Para comer puede seleccionar una carne entre pollo, cerdo o pescado. Para postre tiene que seleccionar uno entre helado, flan de queso o calabaza. ¿Si Juan solo puede seleccionar un jugo, un tipo de carne y un postre, de cu´antas formas diferentes puede seleccionar su almuerzo? a. 8
d. 27
b. 12
e. 30
c. 18 6. La medida del ´angulo x es
a. 40◦
d. 100◦
b. 60◦
e. 120◦
c. 80◦ 7
7. El diagrama representa un hex´agono con un per´ımetro de 42 cms y se ha dibujado una de sus diagonales. Encontrar la longitud de esta diagonal.
a. M´as de 14 cms
d. 10 cms
b. 14 cms
e. menos de 10 cms
c. 12 cms 8. La medida de los lados de un rect´angulo son n´ umeros enteros. ¿Si el ´area del rect´angulo es 7, entonces el per´ımetro es? a. 1
d. 16
b. 7
e. 49
c. 14 9. Las combinaciones para abrir una caja fuerte consisten de un n´ umero de tres d´ıgitos diferentes. ¿Cu´antas combinaciones diferentes se pueden hacer con los d´ıgitos 1,3,5 y 7? a. 6
d. 36
b. 12
e. 48
c. 24 10. Juan tiene 33 a˜ nos y tiene dos hijos. Los hijos tienen 10 y 11 a˜ nos cada uno. ¿Dentro de cu´antos a˜ nos ser´a la suma de las edades de los hijos igual a la edad de Juan? a. 4
d. 10
b. 6
e. 12
c. 8 8
11. Una caja con 30 bolitas pesa 650 gramos. Con 10 bolitas adicionales la caja pesa 800 gramos. ¿Cu´anto pesa la caja vac´ıa? a. 50
d. 200
b. 100
e. 250
c. 150 12. Del conjunto {−5, 4, 3, −6, 2} seleccionamos tres n´ umeros y los multiplicamos. ¿Cu´al es el resultado m´as peque˜ no que podemos obtener? a. 72
d. -120
b. -72
e. -50
c. -60 13. Hay 20 l´apices en la caja: azules, rojos y verdes. Hay 6 veces mas azules que verdes. Hay menos l´apices rojos que azules. ¿Cu´antos l´apices rojos hay en la caja? a. 3
d. 7
b. 5
e. 8
c. 6 14. ¿Qu´e porci´on del cuadrado est´a sombreada?
a. b. c.
1 4 2 9 1 3
d.
4 9
e. 8
9
15. ¿Cu´antos n´ umeros enteros de 3 d´ıgitos, cumplen que la suma de sus d´ıgitos es igual a 4? a. 11
d. 8
b. 10
e. 6
c. 9 16. En la clase de matem´aticas todos los ni˜ nos saludan dando la mano a toda las ni` nas. En total hubo 77 ocasiones en que se dieron la mano. ¿Cu´antos estudiantes podr´ıa haber en la clase? a. 14
d. 22
b. 18
e. 37
c. 21 17. ¿De cu´antas maneras diferentes se puede llenar la cuadr´ıcula de la figura con n´ umeros enteros del 1 al 4 (uno en cada cuadrito) de tal forma que en cada fila, en cada columna y en cada uno de los cuatro cuadros 2x2 de las esquinas los n´ umeros 1,2,3 y 4 aparezcan solamente una vez?
a. Ninguna
d. 4
b. 1
e. 8
c. 2
10
18. Un n´ umero se llama pal´ındrome si cuando se lee de derecha a izquierda es lo mismo que cuando se lee de izquierda a derecha. Por ejemplo 181, 25752, 3333 son ejemplos de pal´ındromes. ¿Cu´antos pal´ındromes hay entre 100 y 1000? a. 75
d. 90
b. 80
e. 96
c. 86 19. En una isla remota los habitantes siempre dicen la verdad o siempre mienten. Juan, Luis y Manuel son habitantes de esa isla y un d´ıa se encontraron y justamente Juan y Luis dijeron la misma oraci´on: “Hay por lo menos un mentiroso entre nosostros tres”. Entonces a. Los tres son mentirosos b. Los tres dicen la verdad c. Juan y Manuel son mentirosos y Luis dice la verdad d. Juan y Luis dicen la verdad y Manuel es mentiroso e. Ninguna de las anteriores 20. Hay 3 bolitas rojas, 3 blancas y 3 azules dentro de una bolsa. ¿Cu´al es el m´ınimo n´ umero de bolitas que hay que sacar al azar para estar completamente seguro que por lo menos tres de las bolitas sacadas son de diferente color? a. 3
d. 7
b. 4
e. 9
c. 6
11
COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Primera Fase 2006-2007 EXAMEN NIVEL II(7mo al 12mo grado) 1. En la tabla inferior las celdas deben llenarse con los n´ umeros 1, 2 y 3. En cada columna y en cada rengl´on deben aparecer cada uno de los n´ umeros 1, 2 y 3. ¿De cu´antas formas se puede completar la tarea? 1 2 1
a. 1
d. 4
b. 2
e. 5
c. 3 2. Mar´ıa recogi´o 17 flores de 3 o 4 p´etalos. ¿Si en total hay 57 p´etalos, cu´antas flores de 4 p´etalos recogi´o Mar´ıa? a. 1
d. 11
b. 3
e. 14
c. 6
12
3. El ´area del paralelogramo ABCD es igual a 10. Los puntos M y N son los puntos medios de los lados AD y BC, respectivamente. Hallar el ´area del cuadril´atero MBND.
a. 2.5 b. 4 c. 5
d. 7.5 e. 10
4. Alejandro, Bernardo, Victor, Pedro y Miguel est´an sentados en una mesa circular. Alejandro y Bernardo no est´an al lado uno del otro, lo mismo Bernardo y Victor. Adem´as, Victor y Pedro tampoco est´an uno al lado del otro. ¿Qui´enes est´an al lado de Miguel? a. Alejandro y Bernardo b. Bernardo y Victor c. Alejandro y Victor
d. Victor y Pedro e. Alejandro y Pedro
5. En la siguiente figura, ¿x = ?
a. 20◦ b. 25◦ c. 30◦
d. 35◦ e. 40◦
13
6. ¿Al tirar un dado, ¿cu´al es la probabilidad de que el producto de las 5 caras visibles sea divisible por 6? a. b. c.
1 3 1 2 2 3
d.
5 6
e. 1
7. Usando tri´angulos peque˜ nos hacemos la siguiente sucesi´on de figuras. Las primeras tres figuras se muestran abajo. ¿Cu´antos tri´angulos peque˜ nos se necesitan para hacer la siguiente figura?
a. 28
d. 40
b. 32
e. 44
c. 36 8. Hallar el producto.
a. 1
d. 5.5
b. 2
e. 10
c. 4
14
9. ¿Si la operaci´on N significa xNy= xy-2x, cu´al es el valor de 2N(4N6)? a. 4
d. 32
b. 16
e. 36
c. 28 10. ¿Cu´al es el u ´ltimo d´ıgito de la siguiente suma 112007 +142008 +162009 ? a. 1
d. 6
b. 3
e. 9
c. 4 11. Encontrar la medida del ´angulo a:
a. 60◦
d. 90◦
b. 70◦
e. 100◦
c. 80◦ 12. El n´ umero 2007(x−8)(x−16) es el menor posible para el entero a. x = 6
d. x = 15
b. x = 9
e. x = 18
c. x = 12
15
13. Usando 5 cuadrados se forma un rect´angulo, excepto por un agujero de 1 por 2. ¿Cu´al es la medida del lado del cuadrado m´as grande de la figura?
a. 8 b. 9 c. 10
d. 11 e. 12
14. Una isla est´a habitada por mentirosos y nobles (los mentirosos siempre mienten, mientras que los nobles siempre dicen la verdad). Un d´ıa, 12 isle˜ nos (mentirosos y nobles) se reunieron y emitieron varios anuncios. Dos dijeron: “Solo dos de entre nosotros son mentirosos”. Otros cuatro dijeron: “Solo cuatro de entre nosotros son mentirosos”. Los u ´ltimos seis dijeron: “Solo seis de entre nosotros son mentirosos”. ¿Cu´antos mentirosos podr´ıa haber en la isla? a. 2 b. 4 c. 6
d. 8 e. 10
15. Un rect´angulo tiene dos lados de longitud 2x unidades y un per´ımetro de 20x unidades. ¿Cu´al es la longitud del lado del cuadrado que ocupa la misma ´area que este rect´angulo? a. 4x b. 5x c. 6x
d. 7x e. 8x
16
16. Al dividir 336 entre el n´ umero natural n, el residuo es 2. Entonces el n´ umero 2007, cuando es dividido por n, da como residuo: a. 0
d. 3
b. 1
e. 100
c. 2 17. ¿Incluyendo al 1 y a si mismo, cu´antos factores distintos tiene 10n ? a. n2 + n
d. n2 + 2n + 1
b. n2 + n + 1
e. n2 + 2n
c. n2 − 2n + 1 18. Si sumamos 36 al 37, obtenemos 73. ¿Cu´antos n´ umeros de dos d´ıgitos tienen la propiedad de que si le sumamos 36, el orden de sus d´ıgitos se invierte? a. 1
d. 4
b. 2
e. 5
c. 3 19. Los ´angulos en las esquinas de la estrella est´an marcados. ¿Cu´al es el valor de x ?
a. 15◦
d. 35◦
b. 25◦
e. depende de la estrella
c. 30◦ 17
20. ¿Cu´antos tri´angulos con lados de longitud entera y per´ımetro 27 se pueden construir? a. 10
d. 18
b. 12
e. 19
c. 14 21. En el diagrama ABCD es un cuadrado y el tri´angulo CDF es equil´atero. El valor del ´angulo ∠BAF es
a. 60◦
d. 105◦
b. 75◦
e. no se puede determinar
◦
c. 85
22. En el tri´angulo ABC el ´angulo ∠B es 50% mayor que el ´angulo ∠A y 25% menor que el a´ngulo ∠C. El ´angulo ∠B es a. 40◦
d. 90◦
b. 60◦
e. 100◦
c. 80◦ 23. Dados 2n puntos {a1 , a2 , . . . , a2n } en un c´ırculo, trazamos todos los segmentos que conectan puntos con ´ındices pares y todos los segmentos que conectan puntos con ´ındices impares. ¿Cu´antos segmentos trazamos? a. n(n − 1)
d. n(2n − 1)
b. n(2n − 3)
e. 2n(n − 1)
c. n(n − 1)/2 18
24. Un n´ umero entero positivo de 5 d´ıgitos se llama duro si no se puede escribir como el producto de dos enteros de 3 d´ıgitos. ¿Cu´antos n´ umeros duros hay? a. 99
d. 102
b. 100
e. ninguna de las anteriores
c. 101 25. Si a + b = 24 y a2 + b2 = 204, entonces a3 + b3 es igual a a. 372
d. 432
b. 2007 √ c. 408 51
e. 13824
26. ¿Cu´antos n´ umeros N satisfacen simult´aneamente las siguientes 5 condiciones? • N es par, • N deja residuo 1 al ser dividido por 5, • N es un m´ ultiplo de 7, • N es menor que 1000, • la suma de los d´ıgitos de N es 23. a. 0
d. 3
b. 1
e. 4
c. 2 27. ST y PT son tangentes a un c´ırculo desde T. ¿Si PT tiene longitud de 1 cm y ∠ST P = 60◦ , cu´al es el radio del c´ırculo? a.
√1 2
cm
d.
√1 5
b.
√1 3
cm
e.
1 3
c.
1 2
cm
19
cm
cm
28. ¿Cu´antos n´ umeros primos p existen tales que p2 + 2 tambi´en es primo? a. 0
d. 5
b. 1
e. infinitos
c. 3 29. Cada ni˜ no en una clase hizo amistad con 4 ni˜ nas y cada ni˜ na hizo amistad con 5 ni˜ nos. ¿Cu´antos alumnos hay en la clase, si hay 3 ni˜ nas menos que ni˜ nos? a. 21
d. 30
b. 23
e. 33
c. 27 30. ¿De cu´antas formas se puede llenar la siguiente tabla 4x4 con los enteros del 1 al 4, de tal forma que cada fila, cada columna y cada sub-tabla 2x2 de las esquinas contengan al 1, al 2, al 3 y al 4 exactamente una vez?
a. Menos de 96
d. 384
b. 296
e. Mas que 384
c. 288
20
COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Segunda Fase 2006-2007 EXAMEN NIVEL I(4to, 5to y 6to grado) 1. Hoy es s´abado y supongamos que hoy es el d´ıa 1. ¿Qu´e d´ıa de la semana ser´a el d´ıa 100? a. lunes
d. s´abado
b. martes
e. domingo
c. jueves 2. Se supon´ıa que Daniel multiplicara un n´ umero por 5. Por error, ´el dividi´o el n´ umero entre 5. La respuesta fue 5. La respuesta correcta era: a. 1
d. 75
b. 5
e. 125
c. 25 3. En Mayag¨ uez un ni˜ no camina 4 kil´ometros al norte, 5 kil´ometros al sur, 2 kil´ometros al norte y 3 kil´ometros al sur. ¿Qu´e tan lejos est´a el ni˜ no del punto de partida? a. 14 kil´ometros al norte
d. 2 kil´ometros al norte
b. 14 kil´ometros al sur
e. en el mismo punto de partida
c. 2 kil´ometros al sur 4. Mar´ıa gasta 13 de su dinero, pierde 12 de lo que le queda y as´ı termina con $10. ¿Cu´anto ten´ıa Mar´ıa al comienzo? a. $30
d. $55
b. $45
e. $60
c. $50
21
5. ¿Cu´al es el m´ınimo n´ umero de flechas que se deben voltear de cualquier manera de tal forma que todas las flechas queden apuntando en la misma direcci´on?
a. 4
d. 7
b. 5
e. 8
c. 6 6. La suma de las medidas de los dos ´angulos internos m´as peque˜ nos en un tri´angulo rect´angulo es: a. 45◦
d. 180◦
b. 60◦
e. 360◦
c. 90◦ 7. El promedio de 3 n´ umeros es 20. Supongamos que el primero aumenta 1, el segundo aumenta 2 y el tercero aumenta 3. El promedio de los tres n´ umeros ha aumentado por: a. 1
d. 4
b. 2
e. 6
c. 3 8. En un campeonato de baloncesto participan 6 equipos y cada uno tiene su propia cancha. Cada uno debe enfrentar una vez a todos los dem´as como local (es decir en su propia cancha). ¿Cu´antos partidos se deben jugar en este torneo? a. 6
d. 30
b. 12
e. 36
c. 25 22
9. Hallar la medida del ´angulo A.
a. 37◦
d. 53◦
b. 43◦
e. 87◦
c. 47◦ 10. ¿Cu´al es el u ´ltimo d´ıgito (el de las unidades) del n´ umero 4100 = 4| ∗ 4 ∗ 4{z∗ . . . ∗ 4} 100
veces
a. 2
d. 8
b. 4
e. 0
c. 6 11. Los n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12 se colocan en 3 columnas de 4 n´ umeros cada una de tal manera que la suma de los n´ umeros en cada columna es la misma. La suma de los n´ umeros de cada columna es: a. 18
d. 32
b. 21
e. 36
c. 26
23
12. Tres tazas de agua llenan dos quintos de una jarra. ¿Cu´antas tazas llenan la jarra? a. 7
d. 8.5
b. 7.5
e. 9
c. 8 13. Se ha dibujado un rect´angulo con centro O. Se sabe que el ´area del tri´angulo rect´angulo OP Q es 7 cms2 . Calcular el ´area de la figura rayada.
14. En el dibujo se muestran 5 ciudades y los caminos que las unen. ¿De cu´antas maneras se puede viajar de la ciudad A hasta la ciudad B sin pasar dos veces por la misma ciudad?
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15. Usando cifras elegidas entre el 1, el 2, el 3 y el 6, sin repetir, ¿cu´antos n´ umeros pueden construirse que sean divisibles por 3? (los n´ umeros pueden tener un d´ıgito, dos d´ıgitos, tres d´ıgitos o cuatro d´ıgitos)
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COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Segunda Fase 2006-2007 EXAMEN NIVEL II(7mo al 12mo grado) 1. Si multiplicas el n´ umero formado con 2007 d´ıgitos “6” (es decir umero 3, ¿cu´anto vale la suma de los d´ıgitos 666 . . . 6} ) por el n´ | {z 2007
veces
del resultado? a. 18,036
d. 19,012
b. 18,063
e. ninguna de las anteriores
c. 18,126 2. Los puntos A, B y C est´an sobre una l´ınea recta y A no est´a entre B y C. La distancia de A hasta B es 15 cm. La distancia de C a A es 8 cm. La distancia de B a C es: a. 23
d. 7
b. 20
e. ninguna de las anteriores
c. 10 3. ¿Cu´antos resultados diferentes podemos obtener sumando dos n´ umeros diferentes del conjunto {1, 2, 3, . . . , 9, 10}? a. 11
d. 18
b. 15
e. ninguna de las anteriores
c. 17 4. Juan ha decidido repartir 35 canicas entre sus primos. Si nadie puede tener la misma cantidad de canicas, ¿cu´al es la m´axima cantidad de primos a los que se puede repartir canicas? a. 6
d. 9
b. 7
e. ninguna de las anteriores
c. 8 26
5. En un tri´angulo rect´angulo con hipotenusa de 8 cm y ´area de 9 cm2 , ¿cu´al es su per´ımetro? a. 18
d. 12
b. 16
e. ninguna de las anteriores
c. 17 6. ¿Cu´al es la suma de los d´ıgitos del n´ umero 52007 22003 ? a. 13
d. 2007
b. 14
e. ninguna de las anteriores
c. 15 7. El trapecio is´osceles ABCD es tal que AB = BC = AD = 1 y DC = 2, donde AB es paralelo a DC. ¿Cu´anto mide el ´angulo CAD?
a. 45◦
d. 120◦
b. 60◦
e. ninguna de las anteriores
c. 90◦ 8. ¿Para cu´antos enteros n con 1 ≤ n ≤ 2007, el d´ıgito de las unidades de n20 es 1? a. 805
d. 804
b. 802
e. ninguna de las anteriores
c. 800 27
9. Si
√ x−3√2007 , 3−y 2007
x, y son n´ umeros racionales, ¿cu´anto vale xy?
a. 4
d. 18
b. 6
e. ninguna de las anteriores
c. 9 10. ¿Cu´al es la suma de los cuatro divisores primos de 216 − 1? a. 279
d. 282
b. 280
e. ninguna de las anteriores
c. 281 11. Escribir el n´ umero 10 como una suma de n´ umeros naturales, de tal modo que el producto de estos sumandos sea lo mayor posible. 12. ¿Cu´al es el valor m´aximo que se puede obtener al dividir un n´ umero natural de 3 d´ıgitos por la suma de sus d´ıgitos? 13. En la figura siguiente ABC es un tri´angulo cualquiera, ACD y AEB son tri´angulos equil´ateros. Si F y G son los puntos medios de EA y AC respectivamente, ¿cu´al es la raz´on BD ? FG
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14. Pablo eligi´o 3 d´ıgitos diferentes y escribi´o todos los n´ umeros de 3 d´ıgitos que se pueden formar con ellos. En ning´ un n´ umero de los que escribi´o Pablo se repiten d´ıgitos. Despu´es sumo todos los n´ umeros que obtuvo. Encuentra la suma de Pablo sabiendo que la suma de los d´ıgitos originales es 14. 15. ¿Cu´antas veces, en 24 horas, ocurre que el ´angulo entre las manecillas del reloj es de 90◦ ?
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´ OLIMPIADA DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2007 EXAMEN NIVEL I(4to, 5to y 6to grado) 1. ¿Cu´antos n´ umeros de 3 d´ıgitos se pueden formar usando solamente los d´ıgitos 0 y 7? 2. Un n´ umero positivo tiene residuo 1 cuando se divide entre 4 y residuo 2 cuando se divide entre 5. ¿Cu´al es el n´ umero m´as peque˜ no con estas propiedades? 3. P y Q representan n´ umeros y P ⊗ Q = 3 ⊗ (6 ⊗ 8)?
P +Q . 2
¿Cu´al es el valor de
4. La siguiente figura est´a hecha con cuadritos peque˜ nos. ¿Cu´antos cuadrados de cualquier tama˜ no puedes ver en el diagrama?
5. Un rect´angulo tiene 48 cms de per´ımetro y se puede dividir en 3 cuadrados iguales. ¿Cu´al es el ´area de cada uno de estos 3 cuadrados? 6. Suponga que la suma de 5 enteros pares consecutivos es 320. ¿Cu´al es el mayor de ellos? 7. Hallar el a´ngulo x en la siguiente figura.
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8. Hay 2 bolas rojas, 2 azules y 2 blancas en una caja. ¿Cu´al es la menor cantidad de bolas que uno debe sacar al azar para estar seguro que por lo menos dos de las bolas sacadas son de diferente color? 9. Todos los n´ umeros enteros desde 0 hasta 3000 se representan en un esquema donde los n´ umeros est´an unidos por flechas como muestra la figura.
¿Podr´ıas representar la parte del esquema que corresponde a los n´ umeros desde 2000 hasta 2007? 10. En una competencia, Ariel, Beatriz y Carlos obtienen cada uno cierto puntaje. Ariel tiene menos puntos que Beatriz y Beatriz tiene menos puntos que Carlos. Si Ariel duplicara su puntaje tendr´ıa m´as puntos que Carlos. ¿Cu´antos puntos puede tener cada uno si entre los tres tienen 20 puntos? Da todas las soluciones posibles.
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´ OLIMPIADA DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2007 EXAMEN NIVEL II(7mo al 12mo grado) 1. Al puerto de San Juan llegan barcos de bandera holandesa cada 40 d´ıas, de bandera espa˜ nola cada 24 d´ıas y de bandera alemana cada 15 d´ıas. El 12 de abril de 2007 hubo un barco de cada una de estas banderas en el puerto. ¿Cu´antos d´ıas tienen que pasar para que vuelvan a coincidir tres barcos de estas tres banderas? 2. En un instituto de idiomas se ense˜ na alem´an, ingl´es y franc´es. El n´ umero de alumnos de ingl´es es igual al de franc´es y cuatro veces m´as que el de alem´an. El n´ umero de alumnos que estudian franc´es e ingl´es a la vez es igual al de matriculados en alem´an y es tres veces m´as al de los matriculados en alem´an e ingl´es. De los matriculados en alem´an, 7 lo est´an en franc´es, 8 en ingl´es y 5 en franc´es e ingl´es. ¿Cu´antos alumnos tiene el instituto? 3. Considera la sucesi´on de enteros 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, . . . Aqu´ı se est´an mostrando los primeros 15 t´erminos de la sucesi´on en donde el n-´esimo entero aparece n veces. Encuentra el residuo al dividir el t´ermino 2007 de la sucesi´on entre 5. 4. Los n´ umeros 112345, 211189 son ejemplos de n´ umeros que tienen por lo menos dos d´ıgitos 1 seguidos. ¿Cu´antos n´ umeros menores que 1,000,000 tienen como d´ıgitos por lo menos dos 1 seguidos? 5. Una caja est´a llena de canicas de 10 colores diferentes. Al azar se van sacando canicas de la caja. ¿Cu´al es el m´ınimo n´ umero de canicas que deben sacarse para garantizar que en la colecci´on sacada habr´a al menos 50 canicas del mismo color?
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6. ¿Cu´antos rect´angulos tienen sus lados sobre una cuadr´ıcula de tama˜ no 6x6?
7. Considerar dos cuadrados de lado 1 con el mismo centro, en donde uno de ellos se ha rotado con respecto al centro com´ un (ver dibujo). Demostrar que el ´area rayada es mayor que 43 .
8. a. Considerar una cuerda AB en una circunferencia C. Demostrar que la perpendicular a AB que pasa por el punto medio del segmento tambi´en pasa por el centro de la circunferencia. b. Considerar el tri´angulo ABC. Sean E y F los pies de las alturas desde C y desde B respectivamente. Sea H el punto medio de EF . Demostrar que el segmento perpendicular a EF que pasa por H divide al segmento BC en dos partes iguales. 9. Si f es una funci´on que satisface f (1) = 2 y f (n + 1) = para todo n´ umero natural n. Calcular f (2007).
2f (n)+1 2
10. Hallar todas las parejas de enteros (x, y) tales que 22x − 32y = 55.
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´ OLIMPIADAS DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO ´ EXAMEN DE SELECCION 1. Un terreno de forma rectangular de 120 metros por 192 metros se quiere dividir en parcelas cuadradas iguales sin que sobre terreno. La medida de los lados de estos cuadrados debe ser un n´ umero entero. Adem´as se desea colocar un poste en cada esquina de parcela. Determinar el menor n´ umero de parcelas en que se puede dividir el terreno y el n´ umero de postes que se necesitan. 2. Hallar las soluciones de enteros positivos para el sistema xy + x + y = 71 y x2 y + xy 2 = 880. 3. Cinco personas de diferentes estaturas se paran una al lado de la otra sobre puestos numerados para tomarse una fotograf´ıa. ¿De cu´antas formas pueden arreglarse de tal modo que las personas en los puestos 1 y 3 sean ambas m´as altas que la persona en el puesto 2? 4. Si ABCD es un cuadril´atero c´ıclico, es decir que est´a inscrito en una circunferencia, y M es el punto de corte de AC y BD, demostrar que AM ∗ M C = DM ∗ M B. 5. Juan escribi´o un n´ umero natural y Mar´ıa le agreg´o un d´ıgito 1 a la izquierda y un d´ıgito 1 a la derecha. El n´ umero de Mar´ıa supera al n´ umero de Juan en 14789. Hallar el n´ umero de Juan. 6. La media geom´etrica de un conjunto de m n´ umeros no negativos es la ra´ız m-´esima del producto de dichos n´ umeros. ¿Para qu´e valores positivos n hay un conjunto finito Sn de n enteros positivos distintos tal que la media geom´etrica de cualquier subconjunto de Sn es un entero?
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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS ´ COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE MATEMATICAS Primera Fase EXAMEN NIVEL I(4to, 5to y 6to grado) 1. Note que el n´ umero de dulces que Mar´ıa se come por d´ıa est´a dado por: lunes-1, martes-2, mi´ercoles-4, jueves-8, viernes-16, s´abado32, domingo-64. Al realizar la suma tenemos que Mar´ıa se come 127 dulces en la semana. 2. Note que en la figura original se pueden identificar dos tipos de tri´angulos: los peque˜ nos y los medianos.
El n´ umero m´aximo de tri´angulos que se puede identificar es 10: 8 peque˜ nos y 2 medianos. 3. Note que la figura ⇐ se encuentra en la posici´on 4, 8, 12, etc. En otras palabras, en las posiciones que son m´ ultiplos de 4. Como 2004 es m´ ultiplo de 4, ⇐ se encuentra en esta posici´on, lo que significa que ⇑ estar´a en la posici´on 2005, ⇒ en la 2006 y, finalmente, ⇓ en la posici´on 2007. 4. Seg´ un la informaci´on que nos dan, el d´ıgito de las unidades del producto de A y 7 debe ser 6. La u ´nica posibilidad es que A sea 8. Esto significa que AA = 88 y, efectivamente, 88x7= 616. 5. Juan tiene 2 opciones para su selecci´on de jugo, 3 opciones para su selecci´on de carne y 3 opciones para postre. Esto significa que el n´ umero total de formas en que puede seleccionar su almuerzo est´a dado por 2x3x3 = 18.
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6. Note que el ´angulo ∠x es opuesto por el v´ertice a un ´angulo que llamaremos ∠y y obviamente sus medidas son las mismas.
Como ∠y es el tercer ´angulo de un tri´angulo, tenemos que: medida de ∠y+60◦ +20◦ =180◦ . De esta ecuaci´on se obtiene que medida ∠y=∠x=100◦ . 7. Note que un hex´agono regular puede ser dividido en 6 tri´angulos equil´ateros trazando 3 de sus diagonales de la siguiente forma:
La medida de cada lado de estos tri´angulos corresponde a su vez a la medida del lado del hex´agono regular, en nuestro caso, esta medida es 42/6 = 7 cm. Por u ´ltimo, la medida de una diagonal corresponde a dos veces la medida de uno de estos lados. Por lo tanto, la medida de la diagonal es 14 cm. 8. El ´area A de un rect´angulo est´a dada por la f´ormula A=largo x ancho. En nuestro problema, ´area = largo x ancho = 7. Como las medidas de los lados son n´ umeros enteros, la u ´nica posibilidad es que largo = 7 y ancho = 1. Esto significa que el per´ımetro P est´a dado por P = 7 + 7 + 1 + 1 = 16. 9. Como las combinaciones consisten de 3 n´ umeros distintos que se escogen entre 4 d´ıgitos, tenemos que el n´ umero de combinaciones distintas est´a dado por: 4x3x2= 24. 36
10. Sea x el n´ umero de a˜ nos transcurridos desde este a˜ no. Tenemos que en x a˜ nos, la edad de Juan ser´a (33+x), mientras que las de sus hijos ser´an (10+x) y (11+x), respectivamente. Para contestar la pregunta, tenemos que resolver la ecuaci´on (33+x) = (10+x)+(11+x). Tenemos que (33+x) = (21+2x) y que x = 12. 11. Tenemos que averiguar cuanto pesa cada una de las bolitas. El problema nos dice que la caja pesaba 650 gramos con 30 bolitas y que con 10 bolitas adicionales, la caja pesaba 800 gramos. Si restamos estas dos masas, obtendremos el peso de 10 bolitas: 800650 = 150 gramos. Esto significa que cada bolita pesa 150/10 = 15 gramos. Ahora, 30 bolitas pesan 15x30 = 450 gramos y; si restamos esta cantidad a los 650 gramos que pesaba la caja con 30 bolitas obtenemos que esta pesa 200 gramos vac´ıa. 12. Note que el n´ umero m´as peque˜ no que se puede obtener ser´a el producto del n´ umero negativo con mayor valor absoluto (-6) y los dos n´ umeros positivos mas grandes (3 y 4). As´ı, tenemos que -6x3x4=-72. 13. Sea x el n´ umero de lapices verdes. Tenemos que el n´ umero de l´apices azules est´a dado por 6x y note que si x = 3, tendr´ıamos 18 l´apices azules y 3 verdes, lo cual no puede suceder ya que el total de l´apices es 20 (si x es mayor que 3, tambi´en nos pasar´ıamos del total de l´apices). Esto significa que x = 1 o x = 2. Si x = 1, tendr´ıamos 1 l´apiz verde, 6 azules y, por lo tanto; 13 rojos. Esto no cumple con las condiciones del problema, ya que habr´ıa mas l´apices rojos que azules. Si x = 2, tendr´ıamos 2 l´apices verdes, 12 azules y 6 rojos. Esta posibilidad cumple con todas las condiciones.
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14. Note que la regi´on sombreada consiste de dos rect´angulos de dimensi´on 2x1.
La porci´on sombreada del cuadrado se obtiene al dividir la suma de las ´areas de los rect´angulos (2+2) entre el ´area del cuadrado (3x3): 4/9. 15. Tenemos que averiguar todas las formas en que al sumar tres enteros no negativos, el resultado sea 4: 4 + 0 + 0, 3 + 1 + 0, 2 + 2 + 0 y 2 + 1 + 1. Con esta informaci´on, obtenemos la siguiente lista de n´ umeros que satisfacen la condici´on dada: 400, 310, 301, 130, 103, 220, 202, 211, 121 y 112. En total, son 10 n´ umeros. 16. Sea x el n´ umero de ni˜ nos en el sal´on y sea y el n´ umero de ni˜ nas. Sabemos que (x + y) representa el n´ umero total de estudiantes, adem´as, como cada ni˜ no saluda a y ni˜ nas; el n´ umero total de saludos est´a dado por xy. Hubo 77 saludos, as´ı que xy = 77. Como x y y tienen que ser n´ umeros enteros positivos, tenemos que las u ´nicas posibilidades son que (x = 77 y y = 1), (x = 1 y y = 77), (x = 11 y y = 7) ´o (x = 7 y y = 11). Los primeros dos casos se descartan ya que x + y = 78 y esta no se encuentra entre las alternativas, mientras que para los u ´ltimos dos casos, x + y = 18 y este es el n´ umero total de estudiantes.
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17. Como en cada fila debe aparecer el 1, 2, 3 y 4 una sola vez, esto significa que en la segunda deben acomodarse el 3 y el 4 en los dos espacios restantes. Hay dos formas de hacerlo:
Sin embargo, en ambas formas se tendr´ıa que repetir un n´ umero en la tercera columna y no se cumplir´ıan las condiciones del problema. Por lo tanto, no se puede completar la cuadr´ıcula. 18. Como el 1000 no es pal´ındrome, tenemos que hallar todos los n´ umeros pal´ındromes de 3 d´ıgitos. Estos tienen la propiedad de que son de la forma xzx, en donde z pertenece a {0, 1, 2, . . . , 8, 9} y x pertenece a {1, 2, . . . , 8, 9} (x no puede ser 0, ya que no tendr´ıamos un n´ umero de 3 d´ıgitos). Como tenemos 10 opciones para escoger a z y 9 para escoger a x, el n´ umero total de pal´ındromes de tres d´ıgitos est´a dado por 10x9= 90. 19. Juan y Luis dijeron “Hay por lo menos un mentiroso entre nosotros tres”. Analizamos cada una de las posibles respuestas: a) Los tres son mentirosos- si esta fuera la respuesta correcta, significar´ıa que Juan y Luis siempre mienten, pero al decir “Hay por lo menos un mentiroso entre nosotros tres” estar´ıan enunciando una verdad; lo cual no es posible. b) Los tres dicen la verdad- si los tres siempre dicen la verdad, entonces Juan y Luis estar´ıan mintiendo al decir “Hay por lo menos un mentiroso entre nosotros tres”; as´ı que descartamos esta posibilidad. c) Juan y Manuel son mentirosos y Luis dice la verdad- si esto fuese correcto, significar´ıa que hay 2 mentirosos y uno que siempre dice la verdad. Juan es uno de los mentirosos, pero al enunciar “Hay por lo menos un mentiroso entre nosotros tres”, en realidad est´a diciendo una verdad. Descartamos esta posibilidad. 39
d) Juan y Luis dicen la verdad y Manuel es mentiroso- si esto fuese correcto, hay 1 mentiroso y 2 que siempre dicen la verdad. Manuel es el mentiroso y cuando Juan y Luis enuncian “Hay por lo menos un mentiroso entre nosotros tres”, est´an diciendo la verdad. Por lo tanto, no ocurre una contradicci´on como en los casos anteriores y esta es la alternativa correcta. 20. Note que el n´ umero m´ınimo de bolitas que hay que sacar es igual o mayor a 3. Ahora, veamos cada uno de los casos: Si s´olo se sacan 3 bolitas, se podr´ıa dar el caso de que todas son del mismo color. Si sacamos 4, 3 podr´ıan ser del mismo color y la cuarta de otro. Si sacamos 5, 3 podr´ıan ser del mismo color y las restantes de otro (por ejemplo 3 blancas y 2 azules). Si sacamos 6, 3 podr´ıan ser del mismo color y las otras 3 de otro. Al sacar 7 bolitas, garantizamos que por lo menos 3 sean de distintos colores ya que en el peor de los casos 3 bolitas ser´ıan de un color, 3 bolitas de otro color y la u ´ltima tendr´ıa que ser del color restante.
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´ COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE MATEMATICAS Primera Fase EXAMEN NIVEL II(7mo al 12mo grado) 1. El n´ umero 3 debe aparecer en la primera columna y en la segunda fila: 1 2 1 3 3 Adem´as, tenemos que colocar los n´ umeros 1 y 2 en la tercera fila, pero como el 1 s´olo puede aparecer una vez en la segunda columna, la u ´nica forma es: 1 2 1 3 3 2 1 Finalmente, la u ´nica forma de llenar las celdas restantes siguiendo las instrucciones es: 1 3 2 2 1 3 3 2 1 Por lo tanto, s´olo hay una forma. 2. Sea x el n´ umero de flores de 3 p´etalos y sea y el n´ umero de flores de 4 p´etalos que Mar´ıa recogi´o. Tenemos que x + y = 17 y 3x + 4y = 57. Despejando para x en la primera ecuaci´on y sustituyendo en la segunda, tenemos que 3(17 − y) + 4y = 57. Resolviendo para y, tenemos que el n´ umero de flores de 4 p´etalos es 6.
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3. Si trazamos el segmento M N , el paralelogramo queda dividido en 4 tri´angulos congruentes:
El ´area de cada uno de estos es 10/4 = 2.5 y como el cuadril´atero M BN D consiste de dos de los tri´angulos, su ´area es 5. 4. Alejandro y Bernardo no est´an uno al lado del otro, esto significa que Pedro, Victor y Miguel est´an sentados entre ellos. Como Victor y Pedro tampoco est´an uno al lado del otro y lo mismo sucede con Bernardo y Victor, tenemos dos posibles formas en que se cumplan todas las condiciones:
En ambos casos, Victor y Bernardo est´an sentados al lado de Miguel. 5. Podemos hallar las medidas de dos ´angulos de la figura:
Como la suma de los ´angulos internos de un cuadril´atero es 360◦ , entonces 150◦ + 50◦ + 140◦ + x = 360◦ y resolviendo para x, concluimos que x = 20◦ . 42
6. Note que si el 6 es una de las caras visibles, obviamente el producto de los n´ umeros de las 5 caras visibles ser´a divisible por 6. Ahora, si el 6 es la cara que no se ve, el 2 y el 3 est´an entre las caras que si. Al realizar el producto, uno de los factores ser´ıa 2x3= 6 y, por lo tanto, tenemos que en todos los casos, el producto de las 5 caras visibles es divisible por 6. En otras palabras, la probabilidad es 1. 7. Para la primera figura se necesitan 8 tri´angulos, para la segunda 16 y para la tercera 24. Por lo tanto, para la siguiente figura se requieren 32 tri´angulos. De hecho, el n´ umero de tri´angulos que se necesitan para formar la n-´esima figura es 8n. 8. Realizando las sumas y las restas, tenemos: )( 10 ) = 1. ( 32 )( 23 )( 54 )( 45 )( 67 )( 67 )( 89 )( 98 )( 11 10 11 9. Seg´ un la definici´on de la operaci´on, tenemos que 2N(4N6)= 2N(4 ∗ 6 − 2 ∗ 4)=2N16=(2 ∗ 16 − 2 ∗ 2)=28. 10. Note que el u ´ltimo d´ıgito de 11n (n cualquier entero no negativo) es 1. Adem´as, el u ´ltimo d´ıgito de cualquier potencia positiva de un n´ umero que termina en 6, es precisamente 6. Ahora, 142008 = (142 )1004 = 1961004 y usando el hecho que acabamos de mencionar, el u ´ltimo d´ıgito de este n´ umero es 6. Tenemos entonces, que el u ´ltimo d´ıgito de 112007 + 142008 + 162009 corresponde al d´ıgito de la unidad de la suma 1 + 6 + 6 = 13. Por lo tanto, la respuesta es 3. 11. Del diagrama tenemos que 120◦ + 140◦ − a = 180◦ . Resolviendo, tenemos que a = 80◦ . 12. Analizando las alternativas, nos damos cuenta que hay valores de x que al evaluarlos en (x − 8)(x − 16) dan como resultado un n´ umero negativo. La contestaci´on correcta corresponde al valor de x que al evaluar en la expresi´on mencionada, produce el n´ umero negativo con el valor absoluto mayor. La respuesta es x = 12, ya que el n´ umero 2007−16 es el mas peque˜ no.
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13. Sean x, y, z y w las medidas de los cuadrados que forman el rect´angulo:
Con estas variables, las dimensiones del rect´angulo son (x + z) y (2z + w) y el ´area A de este est´a dada por la expresi´on A = (x + z)(2z + w). Por otro lado, el ´area del rect´angulo grande es igual a la suma de los 5 cuadrados y el rect´angulo 1x2, esto es A = x2 +z 2 +z 2 +w2 +y 2 +(2∗1). Igualando las expresiones, utilizando el hecho de que x + 1 = 2z, z + 2 = w y y = x − 2 (ver diagrama) y resolviendo para x, llegamos a que x2 − 13x + 22 = 0. De aqui obtenemos dos soluciones: x = 11 o x = 2, pero descartamos esta u ´ltima ya que el valor de la variable y ser´ıa y = 2 − 2, lo cual es una contradicci´on. Por lo tanto, la medida del lado del cuadrado m´as grande es 11. 14. Consideramos la primera alternativa: 2 mentirosos. Si s´olo hubiesen dos mentirosos en la isla, los dos que dijeron “S´olo dos de entre nosotros son mentirosos” estar´ıan diciendo la verdad, mientras que los cuatro que dijeron “S´olo cuatro de entre nosotros son mentirosos” y los seis que dijeron “S´olo seis de entre nosotros son mentirosos” estar´ıan mintiendo; as´ı que tendr´ıamos 4 + 6 = 10 mentirosos, lo cual no concuerda. Realizando un an´alisis similar para las dem´as alternativas, nos damos cuenta que la u ´nica alternativa para la cual no se produce una contradicci´on es que haya 6 mentirosos en la isla. Esto ya que los dos que dicen “S´olo dos de entre nosotros son mentirosos” y los cuatro que dicen “S´olo cuatro de entre nosotros son mentirosos” estar´ıan mintiendo (2+4 = 6 mentirosos), mientras los seis que dicen “S´olo seis de entre nosotros son mentirosos” estar´ıan diciendo la verdad. 44
15. Como el rect´angulo tiene dos lados de 2x unidades, significa que la medida de los dos lados restantes es (20x − 4x)/2 = 8x unidades. Entonces el ´area del rect´angulo ser´ıa (2x)(8x) = 16x2 unidades cuadradas y la longitud del cuadrado que ocupa este mismo ´area ser´ıa la ra´ız cuadrada de 16x2 , en otras palabras, 4x unidades. 16. Si al dividir 336 entre n el residuo es 2, significa que n divide a 334. Ahora, la factorizaci´on prima de 334 es 334 = 2 ∗ 167, pero como n no puede ser 2 (al dividir 336, el residuo ser´ıa 0), n = 167. Al dividir 2007 entre 167, el residuo es 3. Note que 334 tambi´en puede ser expresado como 334 = 1 ∗ 334, pero n 6= 1 porque al dividir 336 el residuo ser´ıa 0. En el caso en que n = 334, al dividir 2007, el residuo tambi´en es 3, por lo tanto; esta es la alternativa correcta. 17. 10n puede ser escrito como 2n ∗ 5n . Cualquier entero de la forma 2x ∗ 5y , en donde 0 ≤ x ≤ n y 0 ≤ y ≤ n, es un factor de 10n . Ahora, existen (n + 1) posibles valores para x y (n + 1) posibles valores para y, lo que significa que se pueden formar (n + 1)2 = n2 + 2n + 1 factores de la forma 2x ∗ 5y . umero de dos cifras (a y b son n´ umeros de un d´ıgito, 18. Sea ab un n´ adem´as, a 6= 0). Queremos hallar todos los n´ umeros ab tal que ab + 36 = ba. Reescribiendo la ecuaci´on: 10a + b + 36 = 10b + a y llegamos a que (b − a) = 4. Recordando que a y b son n´ umeros de un d´ıgito y que a 6= 0, existen 5 parejas de n´ umeros que satisfacen (b − a) = 4. Estas 5 parejas producen los siguientes n´ umeros que satisfacen las condiciones del problema: 15, 26, 37, 48 y 59.
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19. La medida del ´angulo ∠ABC es 75◦ ya que la suma de los ´angulos internos del tri´angulo ABC es 180◦ :
Entonces,
Luego:
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Finalmente:
De aqui, tenemos que x + 60◦ + 85◦ = 180◦ y x = 35◦ . 20. Recordando la desigualdad triangular, sabemos que la suma de las medidas de cualquiera dos lados de un triangulo tiene que ser mayor que la medida del tercero. Por ejemplo, no puede existir un tri´angulo cuyo per´ımetro sea 27 y las medidas de sus lados sean (14, 9, 4) ya que (9 + 4) < 14. Teniendo esto en cuenta, conclu´ımos que existen 19 tri´angulos cuyo per´ımetro es 27 y las medidas de sus lados son n´ umeros enteros. Las medidas de estos son: (9, 9, 9), (10, 9, 8), (10, 10, 7), (11, 8, 8), (11, 9, 7), (11, 10, 6), (11, 11, 5), (12, 8, 7), (12, 9, 6), (12, 10, 5), (12, 11, 4), (12, 12, 3), (13, 7, 7), (13, 8, 6), (13, 9, 5), (13, 10, 4), (13, 11, 3), (13, 12, 2) y (13, 13, 1). 21. Como el tri´angulo CDF es equil´atero, tenemos que el segmento AD y DF tienen la misma medida, la cual ser´a denotada por x. Ahora, si consideramos el tri´angulo ADF , observamos que ∠F AD = ∠AF D:
Sea y = ∠F AD. Note que ∠ADF = 90◦ + 60◦ = 150◦ , entonces 47
y+y+150◦ = 180◦ y y = 15◦ . Finalmente, ∠BAF = 90◦ −∠F AD, as´ı que ∠BAF = 90◦ − 15◦ = 75◦ . 22. Sea x la medida del ´angulo ∠A y sea y la medida del ´angulo ∠B. Tenemos que la medida del ´angulo ∠B = 1.5x = .75y. De aqui sale que 2x = y y como medida del ´angulo ∠B + x + y = 180, tenemos que 1.5x + x + 2x = 180. Resolviendo, x = 40◦ y la medida de ∠B es 60◦ . 23. Note que dados 2n puntos, tenemos n puntos con ´ındices pares y n puntos con ´ındices impares. Considerando solamente los segmentos que unen los puntos con ´ındices impares, nos damos cuenta que el n´ umero de estos que se necesitan trazar coincide con el n´ umero de formas distintas en que se pueden seleccionar dos elementos de un conjunto que contiene n en total (sin importar orden, por ejemplo, escoger los elementos a y b es lo mismo que escoger los elementos b y a). En otras palabras, el n´ umero de segmentos que n n! = n(n−1) . Ahora, unen puntos con ´ındices impares = 2 = 2!(n−2)! 2 el n´ umero de segmentos que unen puntos con ´ındices pares tambi´en est´a dado por esta expresi´on, as´ı que se trazan n(n−1) + n(n−1) = 2 2 n(n − 1) segmentos en total. 24. 997 es primo. Observe que 997 ∗ 11 = 10, 967 y 997 ∗ 99 = 98703, hemos encontrado 2 n´ umeros duros, adem´as, cualquier n´ umero que se pueda escribir como 997 ∗ x, en donde 11 ≤ x ≤ 99, tambi´en es duro. Tenemos 89 n´ umeros duros. similarmente, 991 es primo y si consideramos n´ umeros de la forma 991 ∗ x en donde 11 ≤ x ≤ 99, obtenemos 89 duros adicionales. Por lo tanto, hay mas de 102 n´ umeros duros y la respuesta correcta es “ninguno de los anteriores”. 25. Sabemos que a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) = (a + b)((a2 + b2 ) − ab) y s´olo necesitamos averiguar el valor de ab. Como (a + b)2 = 2 2 +b2 ) = (a2 + 2ab + b2 ), despejando tenemos que ab = (a+b) −(a 2 242 −204 3 3 = 186. Sustituyendo en la primera ecuaci´on, a + b = 2 (24)(204 − 186) = 432. 26. Como N es par y m´ ultiplo de 7, N = 14x en donde 0 ≤ x ≤ 71 (14 ∗ 72 = 1008 > 1000). Tenemos que considerar aquellos valores 48
de x para los cuales 14x deje residuo 1 al ser dividido por 5. Estos resultan ser x = 4, 9, 14, 19, 24, 29, . . . , 59, 64, 69. Por u ´ltimo, tenemos que escoger aquellos valors de x que al multiplicarlos por 14, la suma de sus d´ıgitos sea 23. Se concluye que el u ´nico valor de x que satisface esta condici´on es x = 64, as´ı N = 14 ∗ 64 = 896. 27. Note que el segmento que une al origen O con el punto T biseca al ´angulo ∠ST P y que el segmento (radio del c´ırculo) que une al origen con el punto S es perpendicular al segmento ST :
Adem´as, el ´angulo ∠SOT mide 60◦ y por trigonometr´ıa tenemos √ que tan(60◦ )=1/r. Despejando para r, r = 1/tan(60◦ ) = 1/ 3. 28. Evaluando varios enteros en la expresi´on x2 +2, sospechamos que el resultado ser´a un m´ ultiplo de 3, siempre que x no sea divisible por 3. Para demostrar este hecho, considere x1 = 3k + 1 y x2 = 3k + 2 en donde k es cualquier entero. Evaluando x1 en la expresi´on, tenemos que x21 + 2 = (3k + 1)2 + 2 = 9k 2 + 6k + 1 + 2 = 3(3k 2 + 2k + 1). Similarmente, al evaluar x2 en la expresi´on tenemos que x22 + 2 = 3(3k 2 + 4k + 2) y en ambos casos; el resultado es m´ ultiplo de 3. En particular, ning´ un primo p mayor que 3 cumple que p2 +2 es primo, ya que el resultado ser´ıa divisible por 3. Por u ´ltimo, al 2 considerar p = 2 y p = 3, nos damos cuenta que 3 + 2 = 11 es primo, as´ı que s´olo hay un n´ umero primo que cumple con la condici´on del problema. 29. Sea x el n´ umero de ni˜ nos y sea y el n´ umero de ni˜ nas, sabemos que y = x − 3. Note que como cada ni˜ no hizo amistad con 4 ni˜ nas y cada ni˜ na con 5 ni˜ nos, el n´ umero de amistades que se formaron est´a dado por 4x, como tambi´en por 5y. En otras palabras, 4x = 5y y despejando para y: 4x = 5(x − 3). Resolviendo, tenemos que 49
x = 15, lo que significa que y = 12 y el n´ umero total de alumnos es 15 + 12 = 27. 30. Considere la siguiente tabla: a1 a5 a9 a13
a2 a6 a10 a14
a3 a7 a11 a15
a4 a8 a12 a16
Analizaremos las distintas formas en que se pueden llenar los espacios que contienen a a1 , a2 , a3 , a4 , a5 y a6 (en este orden). Si empezamos por a1 , tenemos 4 posibles valores que podemos escoger. Como en la primera fila deben aparecer los n´ umeros del 1 al 4 una sola vez, al considerar a2 tendr´ıamos 3 posibles valores de donde escoger. Por el mismo razonamiento, tendr´ıamos 2 posibles valores para a3 y 1 para a4 . Ahora, como en cada subtabla 2x2 aparecen los n´ umeros del 1 al 4 una sola vez, existen 2 posibilidades para a5 y 1 para a6 (ver diagrama): a1 : 4 pos. a5 : 2 pos.
a2 : 3 pos. a6 : 1 pos.
a3 : 2 pos.
a4 : 1 pos.
Esto significa que existen 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 ∗ 2 ∗ 1 = 48 formas de llenar estos 6 espacios. Sin p´erdida de generalidad, considere: 4 2 a9 a13
3 1 a10 a14
2 a7 a11 a15
1 a8 a12 a16
Esta es una de las 48 formas, veamos de cuantas maneras podemos completar este tablero.
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Note que existen dos posibilidades para a9 y a13 : (a9 = 3 y a13 = 1) o´ (a9 = 1 y a13 = 3):
El siguiente diagrama ilustra las formas en que se puede completar el tablero para el caso 1:
Para el tablero de la izquierda existe una forma en que se cumplen todas las condiciones del problema, mientras que para el de la derecha existen dos:
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Por lo tanto, hemos encontrado que para el caso 1 existen 3 formas distintas de completar el tablero. Consideremos el caso 2:
Para el tablero de la izquierda existen dos formas en que se cumplen las condiciones del problema, mientras que para el de la derecha existe una:
Para el caso 2 tambi´en hemos encontrado 3 formas distintas de completar el tablero. Esto significa que para el tablero que consideramos (1 de las 48 formas en que se pod´ıan llenar los primeros 6 espacios) existen 6 formas distintas en que se puede completar. Un an´alisis similar se puede realizar para las 47 posibilidades restantes y en cada una de estas el n´ umero total de formas en que se puede completar el tablero es 6. Por lo tanto, el tablero 4x4 puede llenarse de 48 ∗ 6 = 288 formas distintas.
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COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Segunda Fase 2006-2007 EXAMEN NIVEL I(4to, 5to y 6to grado) 1. Si hoy es s´abado y es el d´ıa 1, los d´ıas 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 64, 71, 78, 85, 92 y 99 tambi´en lo ser´an. Por lo tanto, el d´ıa 100 ser´a domingo. 2. Daniel dividi´o, por error, entre 5 y la respuesta fue 5; lo que significa que el n´ umero original era 25. Al multiplicar este por 5, obtenemos que la respuesta correcta es 125. 3. El ni˜ no camin´o 4 kil´ometros al norte y luego 5 kil´ometros al sur, por lo que se encontraba a un kil´ometro al sur del punto de partida. Entonces camin´o 2 kil´ometros al norte y en ese momento estaba a un kil´omero al norte del punto de partida. Finalmente, camin´o 3 kil´ometros al sur, lo que significa que se encontraba a 2 kil´ometros al sur del punto de partida. 4. Sea x la cantidad de dinero que Mar´ıa ten´ıa al comienzo. Gast´o 13 de su dinero, as´ı que en este momento le quedaban 32 ∗ x d´olares. Perdi´o 12 de 32 ∗x y termina con $10. Esto significa que 12 ∗ 23 ∗x = 10. Resolviendo para x conclu´ımos que Mar´ıa ten´ıa $30 al comienzo. 5. Si queremos que todas las flechas apunten hacia abajo, tendr´ıamos que voltear 6 flechas. Para que todas apunten hacia la derecha o hacia la izquierda tendr´ıamos que voltear 7 en ambos casos; mientras que para que todas apunten hacia arriba tendr´ıamos que voltear 10 flechas. As´ı, el n´ umero m´ınimo de flechas que hay que voltear para que todas apunten en la misma direcci´on es 6. 6. La suma de los ´angulos internos de cualquier tri´angulo es 180◦ . Esto significa que la suma de los ´angulos m´as peque˜ nos en un tri´angulo rect´angulo es 180◦ − 90◦ = 90◦ . 7. Si el promedio de tres n´ umeros es 20, la suma total de estos es 3 ∗ 20 = 60. Como el primero aumenta 1, el segundo 2 y el tercero 3; la nueva suma total es 60 + 1 + 2 + 3 = 66. As´ı, el nuevo 53
promedio de los tres n´ umeros es 66 = 22, lo que representa un 3 aumento de 2 en el promedio de los tres n´ umeros. 8. Note que para un partido en particular, existen 6 posibilidades para el equipo local. Para cada una de estas posibilidades, existen 5 posibles equipos contrarios; por lo que el n´ umero total de juegos que se deben jugar est´a dado por 6 ∗ 5 = 30. 9. Como la medida de un ´angulo llano es de 180◦ , el diagrama del problema puede ser completado de la siguiente forma:
La suma de los ´angulos internos de un cuadril´atero es 360◦ , as´ı que la medida del ´angulo A es 360◦ − 140◦ − 127◦ − 50◦ = 43◦ . 10. Note que 41 = 4, 42 = 16, 43 = 64, 44 = 256, etc. Podemos observar, que toda potencia impar de 4 tiene como d´ıgito de la unidad a 4, mientras que toda potencia par de 4 tiene como d´ıgito de la unidad a 6. Por lo tanto, 4100 tiene como d´ıgito de la unidad al 6. . 11. La suma de los primeros n enteros positivos est´a dada por n(n+1) 2 12(12+1) Por lo tanto, la suma de los n´ umeros de la lista es = 78 2 y si dividimos entre 3 obtenemos como resultado 26. Esta es, precisamente, la suma de los n´ umeros de cada columna. 12. Si tres tazas de agua llenan dos quintos de una jarra, 1.5 tazas llenan un quinto de esta. As´ı, que para llenar la jarra se necesitan 1.5 ∗ 5 = 7.5 tazas de agua.
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13. Considere el siguiente diagrama:
Como O es el centro del rect´angulo, sabemos que la medida del segmento AQ es el doble de la medida del segmento P Q y que la medida del segmento AB es el doble de la medida del segmento OP . Note que el ´area de la regi´on rayada es igual al ´area del tri´angulo ABQ menos el ´area del tri´angulo OP Q. De las condiciones del problema, que el ´area del tri´angulo OP Q es
sabemos 1 2
( 2 ) ∗ P Q ∗ OP = 7 cm y que el ´area del tri´
angulo ABQ es ( 21 ) ∗ AQ ∗ AB = ( 12 ) ∗ (2 ∗ P Q ) ∗ (2 ∗ OP ) = 2 ∗ 2 ∗ 7 = 28 cm2 . Por lo tanto, el ´area de la regi´on rayada es 28 − 7 = 21 cm2 . 14. Denotemos por ACB la trayectoria que consiste en ir de la ciudad A a la ciudad C y finalmente a la B. Las maneras posibles de viajar de la ciudad A hasta la B respetando las condiciones del problema son: ACB, AEB, ADB, ACEB, ADEB, ACEDB, ADECB, AEDB y AECB; o sea, 9 maneras distintas. 15. Para que un n´ umero sea divisible por 3, la suma de sus d´ıgitos tiene que ser divisible por 3. Si el n´ umero es de un d´ıgito existen dos n´ umeros: 3 y 6. Si es de dos d´ıgitos, existen 4 adicionales: 36, 63, 12 y 21. Si es de tres d´ıgitos, tenemos al 123 y sus cinco permutaciones y al 126 y sus 5 permutaciones; o sea, tenemos 12 n´ umeros adicionales. Por u ´ltimo, si el n´ umero es de cuatro d´ıgitos tenemos que usar las cuatro cifras, por lo que se obtienen 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 24 n´ umeros adicionales. Esto significa que usando las cifras dadas, se pueden formar 2 + 4 + 12 + 24 = 42 n´ umeros divisibles por 3.
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COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Segunda Fase 2006-2007 EXAMEN NIVEL II(7mo al 12mo grado) 1. Note que 66∗3 = 198, 666∗3 = 1998, 6666∗3 = 19998, etc. Podemos ver que si un n´ umero formado por n d´ıgitos 6 es multiplicado por 3, el resultado contiene un 1, un 8 y n − 1 d´ıgitos 9. As´ı que si el n´ umero formado por 2007 d´ıgitos 6 es multiplicado por 3, el resultado tendr´a un d´ıgito 1, un d´ıgito 8 y 2006 d´ıgitos 9. Por lo tanto, la suma de los d´ıgitos es 1 + 8 + 2006 ∗ 9 = 18063. 2. Como la distancia de C a A es m´as corta que la de A a B existen dos posibilidades para el orden de los tres puntos en la l´ınea recta: ACB o BCA. En ambos casos obtenemos que la distancia de B a C es 15 − 8 = 7 cm. 3. Note que la suma m´as peque˜ na que se puede obtener escogiendo dos n´ umeros distintos del conjunto es 1+2 = 3 mientras que la m´as grande es 9 + 10 = 19. Cada entero entre estos dos tambi´en puede ser obtenido, as´ı que el n´ umero total de resultados diferentes que se pueden obtener es 17. 4. Observe que para maximizar el n´ umero de primos, Juan debe tratar de dar el menor n´ umero posible de canicas a cada primo. Teniendo esta estrategia en mente, Juan podr´ıa darle al primer primo 1 canica, al segundo 2, al tercero 3, etc. Continuando con este patr´on, nos damos cuenta que al llegar al s´eptimo primo le quedar´ıan 35 − 1 − 2 − 3 − 4 − 5 − 6 − 7 = 7 canicas y no podr´ıa repartir m´as canicas. Es por esto que Juan debe darle 2 canicas al primer primo, 3 al segundo, 4 al tercero, 5 al cuarto, 6 al quinto, 7 al sexto y 8 al s´eptimo; ya que 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35. Por lo tanto, el n´ umero m´aximo de primos al que les puede repatir canicas es 7.
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5. Considere el siguiente diagrama:
Del problema, sabemos que el ´area A del tri´angulo est´a dado por A = 21 bh = 9 y por el Teorema de Pit´agoras sabemos que h2 +b2 = 64. Sumando 2bh a ambos lados de la ecuaci´on, obtenemos que h2 + 2bh + b2 = 64 + 2bh y de la expresi´on para A tenemos que 2bh = 36. Sustituyendo, h2 + 2bh + b2 = (h + b)2 = 64 + 36 = 100, as´ı que h + b = 10. Finalmente, el per´ımetro del tri´angulo es 8 + h + b = 8 + 10 = 18 cm. 6. 52007 22003 = (5 ∗ 2)2003 (54 ) = (102003 )(625). Este n´ umero tiene un d´ıgito 6, un d´ıgito 2, un d´ıgito 5 y 2003 d´ıgitos 0; as´ı que la suma de los d´ıgitos es 6 + 2 + 5 = 13. 7. Sean E y F los pies de las perpendiculares a CD desde B y A respectivamente y sea G el punto medio de EF :
EF = BA = 1 y como ABCD es un trapecio Observe que
CE = F D . Estos dos datos implican que CE = .5, is´osceles,
pues CD = 2. Como G es el punto medio de EF , tenemos 57
CG = 1 y adem´as como BE es mediatriz de CG, BC = que
BG = 1. Esto implica que 4BCG es equil´atero y, por lo tanto, ∠BCG = 60◦ . Un argumento similar nos demuestra que ∠ADG = 60◦ y como ABCD es un trapecio is´osceles, tenemos que ∠CBA = ∠DAB = 120◦ . Ahora observe que 4CBA es is´osceles, lo que significa que ∠BCA = ∠BAC = 30◦ . Como ∠BCG = 60◦ y ∠BCA = 30◦ , tenemos que ∠ACD = 30◦ . Tambi´en, ten´ıamos que ∠ADC = ∠ADG = 60◦ y, por lo tanto; ∠CAD = 180◦ − ∠ADC − ∠ACD = 180◦ − 60◦ − 30◦ = 90◦ . 8. Todo entero n cuyo d´ıgito de las unidades es 1, 3, 7 o 9 tiene la propiedad de que n20 termina en 1. Tenemos 201 n´ umeros que satisfacen las condiciones del problema y terminan en 1, 201 que terminan en 3, 201 que terminan en 7 y 200 que terminan en 9. El n´ umero total entonces es 201 + 201 + 201 + 200 = 803, as´ı que la respuesta correcta es ninguna de las anteriores. 9.
√ x−3√2007 3−y 2007
√
√
√2007 ) ∗ ( 3+y √2007 ) = = ( x−3 3−y 2007 3+y 2007
√ 3x+(xy−9) 2007−3(2007)y . 9−2007y 2
Note √ que como la expresi´on original era racional, 3x√+ (xy − 9) 2007 − 3(2007)y tiene que serlo tambi´en, pero como 2007 es irracional, xy − 9 = 0. Por lo tanto xy = 9.
10. 216 − 1 = (28 − 1)(28 + 1) = (24 − 1)(24 + 1)(28 + 1) = (22 − 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) = 3(5)(17)(257). Cada uno de estos 4 factores es primo y la suma es 3 + 5 + 17 + 257 = 282. 11. Enumeremos las formas en que podemos expresar al n´ umero 10 como una suma, de acuerdo a la cantidad de sumandos utilizados: 1 sumando: 10 2 sumandos: 1 + 9, 2 + 8, 3 + 7, 4 + 6, 5 + 5 3 sumandos: 1 + 1 + 8, 1 + 2 + 7, 1 + 3 + 6, 1 + 4 + 5 4 sumandos: 1 + 1 + 1 + 7, 1 + 1 + 2 + 6, 1 + 1 + 3 + 5, 1 + 1 + 4 + 4, 1 + 2 + 2 + 5, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 3 + 3 + 3 5 sumandos: 1 + 1 + 1 + 1 + 6, 1 + 1 + 1 + 2 + 5, 1 + 1 + 1 + 3 + 4, 1 + 1 + 2 + 2 + 4, 1 + 1 + 2 + 3 + 3, 1 + 2 + 2 + 2 + 3, 2 + 2 + 2 + 2 + 2 6 sumandos: 1+1+1+1+1+5, 1+1+1+1+2+4, 1+1+1+1+3+3, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3, 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 7 sumandos: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 4, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3, 58
1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3, 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 8 sumandos: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 9 sumandos: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 10 sumandos: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 Observe que el producto de sumandos mayor ocurre cuando tenemos 2 + 2 + 2 + 2 + 2. 12. El valor m´aximo que se puede obtener al dividir un n´ umero natural , de tres d´ıgitos por la suma de sus d´ıgitos es 100 (por ejemplo 100 1 200 , etc.), veamos la raz´ o n. Sean a, b y c los tres d´ ıgitos con los 2 que escribimos el n´ umero natural. Note que 1 ≤ (a + b + c) ≤ 27. Observe que cuando dividimos un n´ umero de tres d´ıgitos por uno de dos d´ıgitos, el resultado no puede tener tres d´ıgitos (en cuyo caso el resultado es m´as peque˜ no que 100) as´ı que podemos descartar estos casos y solamente consideramos 1 ≤ (a+b+c) ≤ 9. Ahora, para que la divisi´on entre un n´ umero de tres d´ıgitos y uno de un d´ıgito sea mayor que 100, el d´ıgito de las centenas tiene que ser igual al n´ umero por el que estamos dividiendo y, adem´as, el d´ıgito de las decenas o el de las unidades tiene que ser distinto de cero. Sin embargo, esto es imposible bajo las condiciones de nuestro problema, pues esto nos llevar´ıa a la contradicci´on de que el d´ıgito de las centenas del n´ umero que estamos dividiendo es igual a la suma de todos los d´ıgitos de este mismo n´ umero y que a la misma vez, tenemos un d´ıgito (el de las decenas o el de las unidades) que no es 0. 13. Demostraremos que 4GAF y 4DAB son semejantes. Note que la medida de AB es el doble de la medida de AF y que la medida de DA es el doble de la medida de GA. Adem´as, ∠GAF = ∠GAB + ∠BAE = ∠GAB + 60◦ y ∠DAB = ∠GAB + ∠GAD = ∠GAB + 60◦ . Hemos establecido que dos lados correspondientes son proporcionales y los ´angulos comprendidos entre estos son iguales, as´ı que 4GAF y 4DAB son semejantes. Como las razones de lados correspondientes son iguales: BD = AD = 2∗AG = FG AG AG 2. 14. Sean a, b y c los d´ıgitos que Pablo eligi´o en donde a 6= b, b 6= c, a 6= c y (a + b + c = 14). Tenemos que considerar 2 casos: ninguno 59
de los d´ıgitos es 0 y cuando uno de ellos es 0. En el primer caso, podemos formar 6 n´ umeros de tres d´ıgitos distintos y la suma de estos est´a dada por (102 a + 10b + c) + (102 a + 10c + b) + (102 b + 10a + c) + (102 b + 10c + a) + (102 c + 10a + b) + (102 c + 10b + a) = 2(a + b + c)(102 + 10 + 1) = 2(14)(111) = 3108. Para el segundo caso, suponga sin p´erdida de generalidad que c = 0. Podemos formar 4 n´ umeros de tres d´ıgitos distintos cuya suma est´a dada 2 por (10 a + 10b) + (102 a + b) + (102 b + 10a) + (102 b + a) = (a + b)(200 + 10 + 1) = (14)(211) = 2954. 15. Observe que en un periodo de una hora (por ejemplo, entre las 5:00 PM y 6:00 PM) las manecillas del reloj forman un ´angulo de 90◦ 2 veces, excepto en cuatro casos: entre 3:00 AM y 4:00 AM, entre 9:00 AM y 10:00 AM, entre 3:00 PM y 4:00 PM y por u ´ltimo, entre 9:00 PM y 10:00 PM. Por lo tanto, el n´ umero de veces que las manecillas del reloj forman un ´angulo de 90◦ en un periodo de 24 horas es 2 ∗ 20 + 1 + 1 + 1 + 1 = 44.
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´ OLIMPIADA DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2007 EXAMEN NIVEL I(4to, 5to y 6to grado) 1. Podemos formar cuatro n´ umeros: 700, 707, 770 y 777. 2. Los n´ umeros positivos que tienen residuo 1 al ser divididos por 4 son (en orden ascendente): 5, 9, 13, 17, 21, 25, . . . De estos, el m´as peque˜ no que tiene residuo 2 al ser dividido por 5 es el 17. )=3⊗7= 3. 3 ⊗ (6 ⊗ 8) = 3 ⊗ ( 6+8 2
3+7 2
= 5.
4. Hay 21 cuadraditos peque˜ nos, 12 cuadrados que se forman con 4 cuadraditos y 5 cuadrados que se forman con 9 cuadraditos. En otras palabras, hay 21 + 12 + 5 = 38 cuadrados de cualquier tama˜ no. 5. Considere el siguiente diagrama:
Del problema sabemos que 2x + 2y = 48 y del diagrama se puede concluir que y = 3x. Sustituyendo en la primera ecuaci´on, obtenemos 2x + 2(3x) = 48 y resolviendo para x, 8x = 48 por lo que el valor de x es 6 cm. Ahora, el ´area A de cada uno de los cuadrados est´a dado por A = x2 = 62 = 36 cm2 . 6. Sea x el primer entero. Seg´ un el problema x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) + (x + 8) = 5x + 20 = 320. Resolviendo para x tenemos que 5x = 300 y que x = 60. Como el mayor est´a representado por x + 8, la respuesta es 60 + 8 = 68.
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7. Como la suma de los ´angulos internos de un tri´angulo es 180◦ y ´angulos opuestos por el v´ertice tienen la misma medida, tenemos la siguiente figura:
Por lo tanto, x = 70◦ . 8. La menor cantidad de bolas que uno debe sacar al azar para garantizar que por lo menos dos sean de diferente color es 3, ya que si sacamos 2 se podr´ıa dar el caso en que sean del mismo color. Sin embargo, si sacamos 3, aunque saquemos las primeras dos del mismo color; la tercera tiene que ser necesariamente de otro color. 9. Note que cada ciclo de la figura empieza y termina con un m´ ultiplo de 4. Adem´as, si un n´ umero es un m´ ultiplo de 4, no puede aparecer en ninguna parte que no sea en donde empieza o en donde termina un ciclo. Por ejemplo, considere 2 ciclos de la figura:
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Como 2000 es un m´ ultiplo de 4, debe aparecer en el comienzo de un ciclo, as´ı que el esquema correspondiente ser´ıa:
10. Sean A, B y C los puntajes de Ariel, Beatriz y Carlos; respectivamente. Tenemos que A + B + C = 20, A < B < C y que C < 2A. Uniendo ambas desigualdades, tenemos A < B < C < 2A. Observe que 0 ≤ A ≤ 20, con A entero. Se puede verificar que el u ´nico valor de A para el cual la desigualdad A < B < C < 2A y la condici´on A + B + C = 20 se satisfacen simult´aneamente es A = 5. Por ejemplo, si A = 4, (B + C) tendr´ıa que ser igual a 16 y 4 < B < C < 8. Sin embargo, no podemos fijar valores para B y C que satisfagan ambas condiciones. Un argumento similar nos ayuda a descartar las dem´as posibilidades para A. Ahora, si A = 5, (B + C) = 15 y tenemos dos soluciones: B = 6 y C = 9 ´o B = 7 y C = 8. Las desigualdades correspondientes ser´ıan: 5 < 6 < 9 < 10 y 5 < 7 < 8 < 10.
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´ OLIMPIADA DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2007 EXAMEN NIVEL II(7mo al 12mo grado) 1. El n´ umero de d´ıas que tienen que pasar para que vuelvan a coincidir tres barcos con las tres banderas est´a dado por el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de 40, 24 y 15. Este resulta ser 120. 2. Sean A, I y F el n´ umero de personas que estudian alem´an, ingl´es y franc´es; respectivamente. Tambi´en denotemos por (A ∧ I), (A ∧ F ) y (F ∧ I) el n´ umero de personas que estudian alem´an e ingl´es simult´aneamente, alem´an y franc´es simult´aneamente y franc´es e ingl´es simult´aneamente; respectivamente. Por u ´ltimo, sea (A ∧ F ∧ I) el n´ umero de personas que estudian los tres idiomas simult´aneamente. Considere la siguiente figura:
De esta podemos concluir que el n´ umero total de alumnos x se consigue de la siguiente forma: x = A + F + I − 2(A ∧ F ∧ I) − (A ∧ I) − (A ∧ F ) − (F ∧ I). El problema nos dice que (A ∧ F ) = 7, (A ∧ I) = 8 y que (A ∧ F ∧ I) = 5. Adem´as nos dice que A = 3(A ∧ I) = 3(8) = 24 = (F ∧ I). Por u ´ltimo, tenemos que F = I = 4A = 4(24) = 96. Sustituyendo, obtenemos que x = 24 + 96 + 96 − 2(5) − 8 − 7 − 24 = 167. 3. Tenemos que hallar qu´e n´ umero corresponde al t´ermino 2007 de la sucesi´on. Para hacer esto, note que el t´ermino 1 cae en el u ´ltimo n´ umero del bloque de los 1’s, el t´ermino 3 cae en el u ´ltimo n´ umero 64
del bloque de los 2’s, el t´ermino 6 cae en el u ´ltimo n´ umero del bloque de los 3’s, etc. En general, si n es el n-´esimo t´ermino de la sucesi´on entonces n cae en el u ´ltimo n´ umero del bloque de los m’s si 1+2+3+. . .+m−1+m = n o equivalentemente si m(m+1) = n. 2 El valor de m correcto ser´a entonces el que satisfaga las siguientes ≥ 2007 y (m−1)((m−1)+1) < 2007. Por dos desigualdades: m(m+1) 2 2 63(63+1) = 63(32) = 2016 ≥ tanteo, encontramos que si m = 63, 2 (63−1)((63−1)+1) 2007 y = 31(63) = 1953 < 2007. Por lo tanto, el 2 t´ermino 2007 de la sucesi´on es 63 y su residuo al dividirlo por 5 es 3. 4. Si a 1,000,000 le restamos la cantidad de n´ umeros que no cumplen con las condiciones del problema obtendremos la respuesta. Para que un n´ umero no cumpla con la condici´on, es porque no contiene ning´ un d´ıgito 1 ´o porque contiene 1 d´ıgito 1, 2 d´ıgitos 1 no seguidos ´o 3 d´ıgitos 1 no seguidos (todo n´ umero menor que 1,000,000 que contiene 4 d´ıgitos 1 tiene por lo menos dos de estos seguidos). La cantidad de n´ umeros que no tienen ning´ un d´ıgito 1 est´a dado 6 por 9 = 531441 (tenemos 9 opciones para llenar cada uno de los 6 espacios que forman nuestro n´ umero menor que 1,000,000 , en donde las 9 opciones corresponden a los d´ıgitos 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9). La cantidad de n´ umeros que contienen solamente un d´ıgito 1 5 es igual a 5 ∗ 9 = 295, 245 ya que tenemos 95 n´ umeros con d´ıgito 5 de la unidad igual a 1, 9 n´ umeros con d´ıgito de la decena igual a 1, 95 n´ umeros con d´ıgito de la centena igual a 1, etc. Por argumentos similares, encontramos que hay 10∗94 = 65610 n´ umeros que tienen 2 d´ıgitos 1 no seguidos y 4 ∗ 93 = 2916 que tienen 3 d´ıgitos 1 no seguidos. Por lo tanto, la cantidad de n´ umeros que tienen por lo menos dos d´ıgitos 1 seguidos es 1, 000, 000 − 531441 − 295245 − 65610 − 2916 = 104, 788. 5. El n´ umero m´ınimo para garantizar que en la colecci´on sacada haya al menos 50 canicas de un s´olo color es 491. Esto, ya que en el peor de los casos, se podr´ıa dar la situaci´on en que saquemos 49 canicas de cada uno de los 10 colores (49 ∗ 10 = 490). Sin embargo, al sacar una adicional; se completar´ıan las 50 canicas de alg´ un color. 6. Por conveniencia, dejemos que cada cuadradito sea de largo 1 65
unidad. Tenemos 36 cuadrados de dimension 1x1, 25 de dimensi´on 2x2, 16 de dimensi´on 3x3, 9 de dimensi´on 4x4, 4 de dimensi´on 5x5 y 1 de dimensi´on 6x6. En cuanto a los dem´as rect´angulos, tenemos 60 de dimensi´on 1x2, 48 de 1x3, 36 de 1x4, 24 de 1x5, 12 de 1x6, 40 de 2x3, 30 de 2x4, 20 de 2x5, 10 de 2x6, 24 de 3x12, 16 de 3x5, 8 de 3x6, 12 de 4x5, 6 de 4x6 y 4 de 5x6. Sumando todas estas cantidades, obtenemos que hay 441 rect´angulos que tienen sus lados sobre una cuadr´ıcula de tama˜ no 6x6. 7. Observe que podemos inscribir un c´ırculo de radio r=.5 en los cuadrados:
Note adem´as que el c´ırculo est´a contenido completamente en el ´area rayada. Tenemos entonces que el ´area rayada Ar y el ´area del c´ırculo Ac se pueden comparar de la siguiente forma: Ar > Ac = 2π2 = π4 > 43 . Por lo tanto Ar > 34 . 8. a. Haremos la demostraci´on por contradicci´on. Suponga que la perpendicular a AB que pasa por el punto medio M del segmento no pasa por el centro O de la circunferencia. Luego trazamos los segmentos que unen a los puntos A y B con el centro de la circunferencia:
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Note que hemos identificado como D al punto de intersecci´on de la perpendicular con el segmento AO. Observe adem´as que la medida de ∠OM D debe ser mayor que 0◦ pues M y D son puntos de la perpendicular y esta no pasa por O. Como la distancia de O hasta B y de O hasta A son iguales (esta distancia corresponde a la de un radio del c´ırculo) el tri´angulo AOB es is´osceles. Ahora, como el segmento OM es la mediana relativa a la base del tri´angulo y este es is´osceles, tenemos que OM es una altura (teorema: en un tri´angulo is´osceles, la mediana relativa a la base es bisectriz y altura) y por lo tanto; OM es perpendicular a AB. Como consecuencia, la medida de ∠AM O y ∠BM O tiene que ser 90◦ . Finalmente, tenemos que ∠AM O = ∠AM D + ∠OM D, pero como ∠AM O = ∠AM D = 90◦ llegamos a la contradicci´on de que ∠OM D = 0◦ . Esta surge debido a la suposici´on de que la perpendicular a AB que pasa por el punto medio del segmento no pasa por el centro O de la circunferencia. Por lo tanto, tiene que pasar por el centro O. b. Considere el siguiente diagrama, el cual cumple con las condiciones del problema:
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Trazando el c´ırculo que pasa por los puntos B, E, F y C:
Observe que como el segmento BC es un di´ametro, el centro del c´ırculo coincide con el punto medio del segmento. Note adem´as que el segmento EF es una cuerda del c´ırculo y por el resultado de la parte a tenemos que el segmento que es perpendicular a EF y que pasa por H divide al segmento BC en dos partes iguales. 9. Observemos el patr´on formado al evaluar unos cuantos valores en = 2(2)+1 = 52 , la funci´on: f (1) = 2, f (2) = f (1 + 1) = 2f (1)+1 2 2 f (3) = f (2 + 1) = 2f (3)+1 2
2(3)+1 2
2f (2)+1 2
=
2( 52 )+1 2
=
6 2
= 3, f (4) = f (3 + 1) = 2f (4)+1 2
7 , 2
2( 7 )+1
= = f (5) = f (4 + 1) = = 22 = 82 = 4, etc. Conclu´ımos que f (n) = n+3 y evaluando para n = 2007: 2 2007+3 f (2007) = 2 = 1005. 10. 22x − 32y = (2x − 3y )(2x + 3y ) = 55. Note que x y y tienen que ser positivos, veamos que sucede si ambos fueran negativos: 22x − 32y = 4x − 9y = 55. Como estamos suponiendo que am1 1 bas variables son negativas, tenemos que 4|x| − 9|y| = 55. Luego 1 1 = 55 + 9|y| , pero la expresi´on de la izquierda es menor que 4|x| 1 y la de la derecha mayor que 55; lo cual es una contradicci´on. Por argumentos similares, se pueden descartar los casos en donde solamente una de las variables es negativa. Como y y x son positivos, las expresiones (2x − 3y ) y (2x + 3y ) son n´ umeros enteros. x y x y Como (2 − 3 )(2 + 3 ) = 55 y 55 = 5 ∗ 11 = 1 ∗ 55 debemos estudiar dos casos: [(2x − 3y = 5) y (2x + 3y = 11)] ´o [(2x − 3y = 1) y (2x + 3y = 55)] (note que (2x + 3y ) tiene que ser mayor que (2x − 3y = 5)). Para el primer caso, despejando para 2x en la 68
primera ecuaci´on y sustituyendo en la segunda nos queda que 3y = 3; as´ı que y = 1 y x = 3. Realizando las mismas operaciones para las ecuaciones del segundo caso, nos queda que y = 3 y 2x = 28; lo que implica que x no es entero. Por lo tanto, la u ´nica pareja (x, y) que satisface la ecuaci´on es (3,1).
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´ OLIMPIADAS DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO ´ EXAMEN DE SELECCION 1. Comenzamos a estudiar el problema de dividir 120 metros en n pedazos de largo L y 192 metros en m pedazos cuyo largo tambi´en es L, con L entero. Note que L corresponder´a al largo de cada cuadrado y como queremos el menor n´ umero posible de parcelas, tenemos que maximizar el valor de L. 120 = 23 ∗3∗5 y 192 = 26 ∗3 y y 192 (estas divisiones corresponden si realizamos las divisiones 120 5 8 a dividir 120 metros en 5 pedazos iguales y 192 en 8 pedazos iguales) obtenemos el valor m´aximo de L = 24 (los dem´as valores que se pueden obtener son L = 1, L = 2, L = 3, L = 4, L = 6, L = 8 y L = 12).
De la figura, tenemos que el n´ umero de parcelas es 40 y se necesitan 54 postes. 2. Las ecuaciones del problema pueden ser reescritas de la siguiente manera: xy + (x + y) = 71 y xy(x + y) = 880. Despejando para (x + y) en la segunda ecuaci´on y sustituyendo en la primera obtenemos xy + 880 = 71. Esta, a su vez, puede escribirse como xy 2 (xy) − 71xy + 880 = 0 y si dejamos que u = xy nos queda u2 − 71u + 880 = 0. Usando la F´ormula Cuadr´atica, obtenemos u = xy = 55 ´o u = xy = 16. La segunda soluci´on se descarta pues si xy = 16, sustituyendo en xy + (x + y) = 71 obtendr´ıamos que (x + y) = 55 y no existen n´ umeros enteros positivos x, y que satisfagan las condiciones. Sin embargo, si xy = 55, tendr´ıamos 70
que (x + y) = 16 y las parejas (x, y) que satisfacen todas las conidciones del problema son (5,11) y (11,5). 3. Sean A, B, C, D y E las estaturas de las 5 personas con A > B > C > D > E. Observe que las personas cuyas estaturas son A y B no pueden ir en el puesto 2 ya que en cada caso faltar´ıa una persona m´as alta que se siente al lado. Por lo tanto, nuestro conteo comenzar´a en el caso que C vaya en el puesto 2: considere el arreglo BCA (esta notaci´on denotar´a que B ocupa el puesto 1, ´nicas dos formas en que C el 2 y A el 3) y ACB . Estas son las u los puestos 1 y 3 pueden ser ocupados y para cada una de estas, existen dos formas de llenar los puestos 4 y 5; as´ı que si C est´a en el asiento 2, existen 4 arreglos. Si D est´a en el puesto 2, existen 6 formas de llenar los primeros tres puestos: ADB , BDA , y CDB . Como los puestos 4 y 5 ADC , CDA , BDC pueden ser llenados de 2 formas distintas en cada caso, tenemos que si D est´a en el puesto 2 existen 6 ∗ 2 = 12 arreglos posibles. Similarmente, si E ocupa el puesto 2, existen 12 formas de llenar los primeros 3 puestos y a cada una de estas le corresponden 2 formas de llenar el puesto 4 y 5 y tendr´ıamos 24 arreglos posibles. Sumando todos los arreglos tenemos que existen 4 + 12 + 24 = 40 arreglos posibles. 4. Considere el siguiente diagrama:
Note que ∠CAB = ∠CDB pues son ´angulos inscritos en un c´ırculo que abren el mismo arco. Adem´as, ∠AM B = ∠DM C ya que son ´angulos opuestos por el v´ertice. Tenemos entonces que AM 4ABM es semejante a 4DCM y que, por lo tanto, DM = BM . CM Multiplicando cruzado, obtenemos que AC ∗ CM = BM ∗ DM . 71
5. Tenemos que determinar la cantidad de d´ıgitos que forman el n´ umero natural que escribi´o Juan. Note que si escogemos el n´ umero natural de 4 d´ıgitos m´as peque˜ no (1000) y realizamos las operaciones descritas en el problema, el resultado est´a formado por 6 d´ıgitos: 110001 − 1000 = 109, 001. Por otro lado, si escogemos el n´ umero natural m´as grande que se forma con 2 d´ıgitos obtenemos como resultado un n´ umero de 4 d´ıgitos: 1991 − 99 = 1892. Esto nos indica que el n´ umero de Juan tiene 3 d´ıgitos. Sea 2 x = 10 a+10b+c el n´ umero de Juan. Si a˜ nadimos un d´ıgito 1 a la izquierda y a la derecha tendremos z = 104 + 103 a + 102 b + 10c + 1. Considere z −x = (104 +103 a+102 b+10c+1)−102 a+10b+c. Esta diferencia tiene que ser igual a 14789, as´ı que 104 + (9)(102 )a + (9)10b + 9c + 1 = 14789 y restando 10,001 en ambos lados de la ecuaci´on: (9)(102 )a + (9)10b + 9c = 4788. Finalmente, x = 102 a + 10b + c = 532. A manera de verificaci´on observe que 15321 − 532 = 14789. 6. Si n = 1 cualquier conjunto formado por un n´ umero entero positivo funciona. Si n ≥ 2, construya el conjunto Sn de la siguiente forma: escoja un n´ umero entero postivo x. Defina Sn = n! 2∗n! 3∗n! (n−1)∗n! {x , x , x , . . . , x , xn∗n! }. Note que para cualquier m entero positivo menor que n, la ra´ız m-´esima de cualquier subconjunto de m elementos de Sn es un n´ umero entero positivo pues para una colecci´on arbitraria de elementos a1 , a2 , . . . , am−1 , am de 1 √ Sn tenemos que m a1 a2 . . . am−1 am = (a1 a2 . . . am−1 am ) m = x(1∗2∗...∗(m−1)∗(m+1)∗...∗n)∗z , con z entero positivo. Como esta u ´ltima expresi´on es un entero positivo, conclu´ımos que para todo n´ umero natural n se cumple la propiedad considerada.
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