Publicaciones AFAMaC

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OMPR Olimpiadas de Matem´ aticas de Puerto Rico 2007-2008 Luis F. C´ aceres Jonathan Ho Fung Arturo Portnoy Departamento de Ciencias Matem´ aticas Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayag¨ uez

Primera Edici´on, 2008 c Derechos AFAMaC Director: Dr. Luis F. C´ aceres

Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida ni retransmitida por ning´ un medio, electr´onico, mec´ anico, fotocopiado, grabado u otro, excepto con el permiso previo por escrito de AFAMaC. Esta producci´on ha sido subvencionada por el proyecto AFAMaC mediante proyectos del Departamento de Educaci´ on Puerto Rico. Contrato #2007-AF-0205 #O AF-081-07-0205

Realizado por Luis F. C´ aceres Jonathan Ho Fung Arturo Portnoy Departamento de Ciencias Matem´ aticas Universidad de Puerto Rico, Recinto Universitario de Mayag¨ uez Impreso y hecho en Puerto Rico

ii

Pr´ ologo Al igual que en los pasados a˜ nos, miles de estudiantes provenientes de las diversas escuelas p´ ublicas y privadas del pa´ıs participaron en los procesos de selecci´on de este nuevo ciclo ol´ımpico. Luego de meses de arduo trabajo para estos, el proceso culmin´o en el mes de mayo del presente a˜ no con el anuncio de los miembros de los equipos que nos representar´an en la Olimpiada de Matem´atica de Centroam´erica y El Caribe, la Olimpiada Iberoamericana de Matem´aticas y la Olimpiada Internacional de Matem´aticas.

Esperamos que esta publicaci´on te sirva a ti, que participaste en este proceso, de gran ayuda al momento de prepararte para los futuros ciclos; o quiz´as, que la puedas conservar como un recuerdo de esos primeros destellos de lo que ya es una carrera acad´emica sumamente prometedora. Tambi´en esperamos que el contenido de esta publicaci´on, todos los problemas y respectivas soluciones de los ex´amenes administrados, sea lo suficientemente retador como para animar a participar a aquellos estudiantes que aun no lo han hecho.

Puerto Rico, al igual que el resto del mundo, est´a atravesando por momentos sumamente dif´ıciles. Es por esto que se necesitan, tal vez m´as que nunca, personas como t´ u que se distingan por su talento y la capacidad de alcanzar logros en nombre del pa´ıs; en nombre de esos cuatro millones de personas que est´an amparadas bajo una misma bandera.

Eres parte de una generaci´on que, dentro de pocos a˜ nos, ser´a responsable de los pasos que tomar´a nuestro pueblo; generaci´on que formar´a los pilares de nuestra sociedad y a la cual se le mirar´a en b´ usqueda de inspiraci´on en tiempos que prometen ser sumamente conflictivos. Demuestra la grandeza de la que eres capaz, ya que mucho, quiz´a todo; depende de esto.

Jonathan Ho Fung

iii

AFAMaC Alianza para el Fortalecimiento del Aprendizaje de las Ciencias y las Matem´aticas.

Estos proyectos est´ an subvencionados por el Departamento de Educaci´ on de Puerto Rico y son realizados en el Departamento de Ciencias Matem´ aticas del Recinto Universitario de Mayag¨ uez de la Universidad de Puerto Rico.

iv

Tabla de Contenido

P´agina Examen de Primera Fase: Nivel I Examen de Primera Fase: Nivel II Examen de Segunda Fase: Nivel I Examen de Segunda Fase: Nivel II Olimpiada de Matem´aticas de Puerto Rico: Nivel I Olimpiada de Matem´aticas de Puerto Rico: Nivel II Examen de Selecci´on: Nivel II Soluciones al Examen de Primera Fase: Nivel I Soluciones al Examen de Primera Fase: Nivel II Soluciones al Examen de Segunda Fase: Nivel I Soluciones al Examen de Segunda Fase: Nivel II Soluciones a la Olimpiada de Matem´aticas: Nivel I Soluciones a la Olimpiada de Matem´aticas: Nivel II Soluciones al Examen de Selecci´on: Nivel II

5

6 12 21 25 29 31 33 34 41 51 55 60 64 70

COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Primera Fase 2007-2008 EXAMEN NIVEL I(4to, 5to y 6to grado) 1. ¿Cu´antos rect´angulos puedes ver en la siguiente figura?

a. 4

d. 9

b. 5

e. 10

c. 7 2. ¿Cu´ales dos n´ umeros siguen en la sucesi´on 1, 4, 2, 8, 3, 12, 4, 16, 5, . . .? a. 20,7

d. 20,6

b. 18,7

e. 18,7

c. 20,6 3. ¿Cu´antos n´ umeros de tres d´ıgitos se pueden hacer usando solamente los d´ıgitos 0 y 5? a. 2

d. 8

b. 4

e. ninguna de las anteriores

c. 6 4. ¿Si 20 cajas de papayas pesan 1,600 libras y cada caja vac´ıa pesa media libra, cu´anto pesan las papayas juntas? a. 1,590 libras

d. 1,540 libras

b. 1,580 libras

e. 1,520 libras

c. 1,560 libras 6

5. Se dibujan en una misma hoja un c´ırculo y un cuadrado. ¿Cu´al es el m´aximo n´ umero de puntos comunes que pueden tener? a. 2

d. 8

b. 4

e. 16

c. 6 6. Se sembraron 10 ´arboles en l´ınea recta con una separaci´on entre cada uno de ellos de 50 pies. ¿Qu´e distancia hay entre el primero y el u ´ltimo ´arbol? a. 300 pies

d. 450 pies

b. 350 pies

e. 500 pies

c. 400 pies 7. En una fiesta Mar´ıa, Ana y Rosa van a repartirse regalos de tal manera que cada una da un regalo (no para ella misma) y recibe un regalo. ¿De cu´antas maneras se puede realizar la repartici´on? a. 1

d. 4

b. 2

e. 5

c. 3 8. En una finca hay el mismo n´ umero de perros que de gallinas. ¿Si contamos las patas de estos animales, cu´antas podr´ıa haber en total? a. 4

d. 24

b. 10

e. 32

c. 16

7

9. Cuando Mario ten´ıa 27 a˜ nos su hijo Pedro ten´ıa 3 a˜ nos. Ahora Mario tiene tres veces la edad de Pedro. ¿Cu´antos a˜ nos tiene Mario? a. 36

d. 60

b. 48

e. 72

c. 54 10. En la suma

las letras diferentes representan d´ıgitos diferentes, AH representa un n´ umero de dos d´ıgitos y HEE representa uno de tres d´ıgitos.

Hallar H + E. a. 1

d. 4

b. 2

e. 5

c. 3 11. ¿Cu´al es el m´ınimo n´ umero de colores que se necesitan para pintar un cubo de tal manera que dos caras adyacentes no tengan el mismo color? a. 2

d. 5

b. 3

e. 6

c. 4

8

12. ABCD es un rect´angulo con ´area igual a 36 unidades cuadradas.

Los puntos E, F y G son los puntos medios de los lados en donde ellos est´an localizados. ¿Cu´al es el ´area del tri´angulo EF G?

a. 6

d. 36

b. 9

e. 48

c. 18 13. Si tienes un cubo de 5 cent´ımetros de lado formado por cubitos de 1 cent´ımetro de lado, ¿cu´antos cubitos quedan totalmente ocultos a la vista? a. 4

d. 27

b. 8

e. 64

c. 9 14. Luis escribi´o todos los n´ umeros desde el 1 hasta el 100. ¿Cu´antos d´ıgitos en total tuvo que escribir Luis? a. 152

d. 202

b. 182

e. 222

c. 192 15. ¿Si la base de un tri´angulo aumenta en un 10% y su altura disminuye en un 10%, cu´anto cambia su ´area? a. no cambia

d. aumenta 10

b. aumenta 1%

e. disminuye 10

c. disminuye 1 9

16. Una bombilla se enciende cada dos minutos y otra bombilla se enciende cada tres minutos y medio. Las dos bombillas se encendieron simult´aneamente a la media noche. ¿Cu´ando ser´a la primera vez luego de la 1:00 am que las dos luces se volver´an a encender al mismo tiempo? a. 1:10 am

d. 2:10 am

b. 1:20 am

e. 3:10 am

c. 2:10 am 17. Una hoja de papel cuadrada se dobla por la mitad como se muestra en la figura y se corta por el doblez en dos rect´angulos. El per´ımetro de cada uno de los dos rect´angulos es 18 cent´ımetros. ¿Cu´al es el per´ımetro del cuadrado original?

a. 12

d. 36

b. 18

e. 48

c. 24 18. El precio de la entrada de cine es $7. En el cine Balboa dan cuatro funciones diarias. En la primera y en la segunda funci´on, las entrada est´an a mitad de precio. El jueves fueron a la cuarta funci´on el doble de espectadores que a la tercera funci´on y a la tercera funci´on el doble de los que fueron a la primera y a la segunda funciones juntas. El jueves se recaudaron $1183 en total. ¿Cu´antos espectadores hubo ese d´ıa en la cuarta funci´on? a. 26

d. 169

b. 52

e. 208

c. 104 10

19. En un tri´angulo equil´atero de 75 cms de per´ımetro se le sacan 3 triangulitos, tambi´en equil´ateros, de 5 cms de lado; como se muestra en la figura. ¿Cu´al es el per´ımetro de la figura rayada?

a. 25 cent´ımetros

d. 75 cent´ımetros

b. 40 cent´ımetros

e. 120 cent´ımetros

c. 60 cent´ımetros 20. Susana trabaja en un piso que tiene 5 oficinas. En el piso hay 3 plantas: un cactus, una azalea y un ficus. Todos los d´ıas Susana cambia las plantas de la oficina. ¿De cu´antas maneras puede ubicarlas si nunca quiere poner las tres plantas en la misma oficina? a. 15

d. 120

b. 30

e. 240

c. 60

11

COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Primera Fase 2007-2008 EXAMEN NIVEL II(7mo al 12mo grado) 1. Supongamos que un piano normal tiene 87 teclas de las cuales son negras y el resto son blancas. ¿Cu´antas teclas son blancas?

1 3

a. 29

d. 67

b. 32

e. ninguna de las anteriores

c. 58 2. Conchita logra duplicar sus ahorros. Con ese dinero paga $600 que deb´ıa y se queda con $200. ¿Cu´anto dinero ten´ıa Conchita al principio? a. $1600

d. $400

b. $1200

e. $200

c. $800 3. Antonio es t´ıo de Rosa; Ana es abuela de Pedro; Fabiola es hermana de Antonio; Antonio es pap´a de Pedro. ¿Qu´e son Rosa y Pedro? a. hermanos

d. Pedro es padre de Rosa

b. primos

e. Pedro es nieto de Rosa

c. Rosa es hermana de Pedro 4. Considera 5 n´ umeros enteros. ¿Cu´antos deben ser impares para que el producto de los cinco sea impar? a. 1

d. 4

b. 2

e. 5

c. 3

12

5. En el siguiente arreglo, cada letra representa un n´ umero (no necesariamente distinto).

3 B

C

D E

8 G

H

I

¿Si la suma de cualesquiera tres n´ umeros consecutivos es 18, cu´anto vale H? a. 3

d. 11

b. 7

e. 15

c. 9 6. ¿Cu´antos divisores positivos tiene 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2? (Los divisores incluyen al n´ umero mismo y al 1) a. 4

d. 12

b. 8

e. 16

c. 10 7. ¿Si las rectas horizontales son paralelas, cu´anto mide el ´angulo x?

a. 120◦

d. 65◦

b. 100◦

e. ninguna de las anteriores

c. 90◦

13

8. ¿Cu´anto vale la suma de todos los d´ıgitos del n´ umero 102007 −2007? a. 18,055

d. 2007

b. 19,032

e. ninguna de las anteriores

c. 12,435 9. En la televisi´on de Mar´ıa se reciben los canales del 2 al 42. ¿Si Mar´ıa enciende la televisi´on en el canal 15 y aprieta 518 veces el bot´on para subir canales, en qu´e canal quedar´a la televisi´on cuando se detenga? a. 39

d. 42

b. 40

e. ninguna de las anteriores

c. 41 10. Pablo compr´o un art´ıculo con el 15% de descuento por $106.25. ¿Cu´al es el precio original? a. Menos de $123

d. $127

b. $124

e. m´as de $127

c. $125 11. Sim´on escribe el n´ umero 3 en la pizarra, luego lo borra y lo reemplaza por su cuadrado, el 9, luego lo borra y lo reemplaza por su cuadrado, el 81. El repite esto 2007 veces: cada vez reemplaza el n´ umero escrito por su cuadrado. ¿Cu´al es el d´ıgito de la unidad de su u ´ltima respuesta? a. 1

d. 7

b. 3

e. 9

c. 5

14

12. ¿De cu´antas formas distinas se pueden reordenar las letras L, A, P , I, Z de tal forma que la primera y u ´ltima letras son vocales? a. 6

d. 12

b. 8

e. 24

c. 10 13. Hay algunas canicas en una bolsa. Mar´ıa dice: “Hay s´olo 3 canicas en la bolsa y todas son negras”. Luis dice: “S´olo hay dos canicas negras y dos canicas rojas en la bolsa”. Jorge dice: “S´olo hay canicas negras en la bolsa”. ¿Sabiendo que s´olo uno ha mentido, cu´antas canicas hay en la bolsa? a. 1

d. 4

b. 2

e. no se puede saber

c. 3 14. En el siguiente dibujo, el segmento DE es paralelo al segmento AB. Sabiendo que el ´area de DEC es 43 del ´area de ABC y que AC es 1 metro, ¿cu´al es la longitud de DC?

a.

√ 2− 3 2

metros √ b. (2 − 3) metros

d. e.

√

c.

3 3

metros

15

3 4 √

3 2

metros metros

15. Un v´andalo pincha las gomas de todos los carros y motoras en una calle. La polic´ıa lo arresta y cuenta que 44 veh´ıculos (motoras o carros) fueron da˜ nados. ¿Considerando que 144 gomas fueron pinchadas, cu´antas motoras hab´ıa en esa calle? a. menos de 10

d. mas de 19 y menos de 25

b. mas de 9 y menos de 15

e. mas de 24

c. mas de 14 y menos de 20 16. Las diagonales de un rombo estan en proporci´on 3:4 y su suma es de 56 cm. ¿Cu´al es el per´ımetro del rombo? a. 60 cm

d. 10 cm

b. 80 cm

e. 108 cm

c. 96 cm 17. Las columnas y las filas de un tablero 8x8 de ajedrez est´an numeradas del 1 al 8. Mauricio pone en cada cuadrado del tablero tantas pesetas como la suma de su n´ umero de fila y su n´ umero de columna. ¿Cuant´as pesetas pone Mauricio en el tablero?

a. 482

d. 1024

b. 576

e. 1152

c. 768

16

18. Considera todos los n´ umeros de 4 d´ıgitos formados usando los d´ıgitos 3, 4, 6, 7, de tal forma que ning´ un d´ıgito se repite. ¿Cu´antos de estos n´ umeros son divisibles por 44? a. 0

d. 3

b. 1

e. 4

c. 2 19. En el siguiente dibujo, el tri´angulo ABC es equil´atero y DEF G es un cuadrado. ¿Sabiendo que AB mide 1 metro, cu´al es la longitud de DE?

a.

1 3

c.

1 2

metros √ b. (2 3 − 3) metros

d.

√ 1+ 3 4

metros √ e. ( 3 − 1) metros

metro

20. Si x es la soluci´on de la ecuaci´on entonces

x+1 1

+

x+2 2

+ ... +

a. x = −2

d. x = 2

b. −1 ≤ x ≤ 1

e. x ≥ 3

c. x =

3 2

17

x+100 100

= 100,

21. En la figura tenemos un cuadrado peque˜ no inscrito en un c´ırculo a su vez inscrito en un cuadrado grande. ¿Cu´al es la raz´on entre el ´area del cuadrado grande y el ´area del cuadrado chico?

√ d. 2 2

√

a. b.

2 2

√

2

e. 4

c. 2 22. En una isla hay solo dos tipos de gente: los que siempre dicen la verdad y los que siempre mienten. Tres habitantes de la isla est´an hablando. Andrea dice: “B´arbara siempre dice la verdad”, B´arbara dice: “Andrea y Carlos siempre dicen la verdad” y Carlos dice: “Andrea miente”. Sabemos entonces que: a. Los tres dicen la verdad b. Andrea y B´arbara dicen la verdad, Carlos miente c. Andrea dice la verdad, B´arbara y Carlos mienten d. Andrea y B´arbara mienten, Carlos dice la verdad e. Los tres mienten 23. ¿Considerando 50 n´ umeros distintos, elegidos al azar del conjunto {1,2,. . . ,100}, cuya suma total es 3000, cu´al es la cantidad m´ınima de n´ umeros pares posibles entre los 50? a. 2

d. 5

b. 3

e. 6

c. 4 18

24. Considere cualquier conjunto de 20 enteros consecutivos mayores que 50. ¿Cu´al es el mayor n´ umero de primos en el conjunto? a. 4

d. 7

b. 5

e. 8

c. 6 25. Un estudiante pas´o un cierto n´ umero de ex´amenes manteniendo un promedio de 23. Despu´es de pasar un examen m´as, su promedio bajo a 22.25. ¿Cu´al fue la u ´ltima nota del estudiante, sabiendo que todas sus notas est´an entre 18 y 30? (incluyendo 18 y 30) a. 18

d. 21

b. 19

e. 22

c. 20 26. Un tri´angulo equil´atero tiene el mismo per´ımetro que un rect´angulo cuyos lados √ son b y h (b > h). ¿Considerando que el ´area del tri´angulo es 3 veces el ´area del rect´angulo, cu´al es el valor de hb ? a.

√

3

d.

b. 2

e. √

c.

√ 3+ 5 2 √ 7+3 5 2

3+ 3 2

27. Sea Q un cubo y S una esfera centrada en uno de los v´ertices de Q, con radio igual al lado de Q. El volumen de la intersecci´on entre Q y S es a. b. c.

1 8 1 4 1 6

del volumen de la esfera

d.

del volumen de la esfera

e.

del volumen del cubo

19

1 4 1 2

del volumen del cubo del volumen del cubo

28. Sea P (x) = x3 + ax2 + bx + c y suponga que la suma de dos ra´ıces del polinomio es cero. ¿Cu´al de las siguientes relaciones entre los coeficientes de P (x) siempre es cierta? a. a ∗ b ∗ c = 0

d. b2 = a ∗ c

b. c = a ∗ b

e. ninguna de las anteriores

c. c = a + b 29. Sea ABC un tri´angulo is´osceles con AB = BC 6= AC. Sea P un punto en AB. ¿Cu´antas posibles posiciones en el plano hay para un punto Q tal que el tri´angulo AP Q sea similar al tri´angulo ABC? a. 0

d. 4

b. 2

e. 6

c. 3 30. Alberto, B´arbara, Clara y David mezclan una baraja con 40 cartas y reparten 10 a cada uno de ellos. Alberto exclama sorprendido: “¡Que raro, yo no tengo espadas!”. ¿Cu´al es la probabilidad de que B´arbara tampoco tenga espadas, si hay 10 cartas con espadas en la baraja? a. b. c.

30!

20!40!

20!

10!30!

30!30!

20!40!

d. e.

20

20!20!

10!30!

30!

10!40!

COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Segunda Fase 2007-2008 EXAMEN NIVEL I(4to, 5to y 6to grado) 1. Rosita tiene una caja grande con 4 cajas medianas dentro; en cada una de las cajas medianas hay 2 cajas chicas, que a su vez cada una contiene 3 m´as peque˜ nas. ¿Cu´antas cajas tiene Rosita? a. 10

d. 36

b. 12

e. 37

c. 15 2. ¿Cu´al n´ umero falta en la siguiente sucesi´on: 1, 3, 7, 15, ?, 63, 127? a. 16

d. 31

b. 17

e. 62

c. 30 3. ¿Cu´antos tri´angulos hay en la siguiente figura?

a. 5

d. 10

b. 6

e. 12

c. 8

21

4. Antonio, Beatriz, Carlos y Diana est´an sentados en una fila de 4 sillas numeradas del 1 al 4. Emilio los ve y dice: • Beatriz est´a al lado de Carlos • Antonio est´a entre Beatriz Carlos ¿Si las dos afirmaciones son falsas y Beatriz est´a en la silla 3, qui´en ocupa la silla 2? a. Beatriz

d. Antonio

b. Carlos

e. Emilio

c. Diana 5. Un domador de fieras tiene tres tigres y dos leones. Desea acomodarlos en una fila de modo que no queden dos tigres o dos leones juntos. ¿Considerando que cada fiera es distinta a las otras, de cu´antas formas distintas puede acomodar sus fieras? a. 3

d. 18

b. 6

e. 24

c. 12 6. ¿Qu´e n´ umero multiplicado por tres corresponde a las tres cuartas partes de 120? a. 20

d. 60

b. 30

e. 80

c. 40 7. Cada cuadrado tiene 6 cms de lado y el per´ımetro de cada rect´angulo sombreado es el doble del per´ımetro de cada cuadrado blanco. ¿Cu´al es el per´ımetro de la figura?

22

8. En cierto planeta hay tantos d´ıas en una semana como semanas en un mes como meses en un a˜ no. ¿Si un a˜ no tiene 1,000 d´ıas, cuantos d´ıas tiene cada semana? a. 10

d. 1000

b. 100

e. No se sabe

c. 333 9. Un pastel se corta quitando cada vez la tercera parte del pastel que hay en el momento de hacer el corte. ¿Qu´e fracci´on del pastel original queda despu´es de cortar tres veces? a. b. c.

2 3 4 3 4 9

d. e.

8 9 8 27

10. A una cantidad le sumo el 10%, y a la cantidad as´ı obtenida le resto su 10%. ¿Qu´e porcentaje de la cantidad original me queda? a. 98

d. 101

b. 99

e. 102

c. 100 11. ¿Si efectuamos el producto de todos los impares entre el 1 y el 2008, cu´al es el d´ıgito de las unidades del resultado obtenido? a. 1

d. 7

b. 3

e. 9

c. 5

23

12. Una sala de cine tiene 26 filas con 24 asientos cada una. El total de asientos se numera de izquierda a derecha, comenzando por la primera fila y hacia atr´as. ¿En qu´e n´ umero de fila est´a el asiento n´ umero 375? a. 12

d. 15

b. 13

e. 16

c. 14 13. Mar´ıa ten´ıa el n´ umero 4921508 y le pidi´o a Juan que borrara sus d´ıgitos de tal forma que obtuviera el n´ umero de tres d´ıgitos mas peque˜ no posible. ¿Qu´e n´ umero obtuvo Juan al final?

14. ¿Cu´al es el d´ıgito de las unidades de 22008 − 2?

15. ¿Si las rectas horizontales son paralelas, cu´anto mide el ´angulo x?

24

COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Segunda Fase 2007-2008 EXAMEN NIVEL II(7mo al 12mo grado) 1. En la televisi´on de Claudia se reciben los canales 2 al 42. ¿Si Claudia enciende el televisor en el canal 15 y aprieta 518 veces el bot´on para subir canales, en qu´e canal quedar´a el televisor cuando se detenga? a. 39

d. 42

b. 40

e. 2

c. 41 2. El domingo pasado Marta tuvo varios invitados. Cuando Pedro lleg´o ya estaba Ra´ ul. Jes´ us y Rita llegaron juntos. Luisa le abri´o la puerta a Arturo y Arturo a Jes´ us. Ra´ ul llego despu´es de Rita. ¿Qui´en fue el u ´ltimo en llegar? a. Pedro

d. Rita

b. Ra´ ul

e. Arturo

c. Jesus 3. En una jaula hay cerditos y palomas con un total de 14 ojos y 22 patas. ¿Cu´antos cerditos y palomas hay en la jaula? a. 2 cerdos y 2 palomas

d. 3 cerdos y 4 palomas

b. 2 cerdos y una paloma

e. 4 cerdos y 3 palomas

c. 3 cerdos y 3 palomas

25

4. En la pizarra est´a escrito un n´ umero de tres cifras que termina en 2; si borramos ese 2 y lo escribimos al principio del n´ umero, el n´ umero disminuye en 36. ¿Cu´al es la suma de los d´ıgitos del n´ umero original? a. 4

d. 9

b. 5

e. 10

c. 7 5. En la siguiente figura AD = DC, AB = AC, el ´angulo ABC mide 75◦ y el ´angulo ADC mide 50◦ . ¿Cu´anto mide el ´angulo BAD?

a. 30◦

d. 125◦

b. 85◦

e. 140◦

c. 95◦ 6. A Julio le dieron el n´ umero secreto de su ATH y observ´o que la suma de los cuatro d´ıgitos del n´ umero es 9 y ninguno de ellos es 0; adem´as el n´ umero es m´ ultiplo de 5 y mayor que 1995. ¿Cu´al es el tercer d´ıgito (de derecha a izquierda) de su n´ umero secreto? a. 1

d. 4

b. 2

e. 5

c. 3

26

7. En el rect´angulo de la figura, M y N son los puntos medios de AD y BC, respectivamente, P y Q son las respectivas intersecciones de AC con BM y con N D. ¿Suponiendo que AD mide 5 cm y que AB mide 3 cm, cu´antos cent´ımetros cuadrados tiene la superficie del cuadril´atero M P QD?

a. 2.75

d. 3.75

b. 3

e. 4

c. 3.25 8. Un costal est´a lleno de canicas de 20 colores distintos. Al azar se van sacando canicas del costal. ¿Cu´al es el m´ınimo n´ umero de canicas que deben sacarse para poder garantizar que en la colecci´on tomada habr´a al menos 100 canicas del mismo color? a. 1960

d. 1995

b. 1977

e. 2001

c. 1981 9. Juan elimin´o un n´ umero de una lista de 10 n´ umeros consecutivos.

La suma de los que quedaron es 2008. ¿Cu´al es el n´ umero que elimin´o? a. 225

d. 228

b. 226

e. Ninguna de las anteriores

c. 227

27

10. ¿S´ı escrib´ı todos los n´ umeros del 1 al 1000, cu´antas veces apareci´o el d´ıgito 5? a. 110

d. 100

b. 1331

e. 300

c. 555 11. Se forma un cubo de 4 pulgadas de lado uniendo cubos de 1 pulgada de lado. Se dice que dos cubos est´an en contacto si tienen una cara en com´ un. ¿Cu´antos de estos cubos de una pulgada est´an en contacto con exactamente 4 otros cubos de 1 pulgada?

12. Un entero es tartamudo si todos sus d´ıgitos son iguales a 1. ¿Cu´antos enteros positivos menores que 100,000 cumplen que al multiplicarlos por 33 se obtiene un entero tartamudo?

13. ¿De cu´antas maneras se pueden escoger en un tablero de ajedrez una casilla blanca y una negra, de tal forma que no est´en las dos en una misma fila ni en una misma columna?

14. Dada la ecuaci´on 1 + (n2 + n)(n2 + 5n + 6) = 1812 , donde n es un n´ umero entero, el valor de n(n + 3) es: cm2 , 15. Si el ´area comprendida entre dos c´ırculos conc´entricos es 25π 2 la longitud en cm de una cuerda de la circunferencia mayor, tangente a la menor, es:

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´ OLIMPIADA DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2008 EXAMEN NIVEL I(4to, 5to y 6to grado) 1. Gabriel le est´a tomando unas fotos a sus amigas Carmen, Roxana y Keyla. ¿De cu´antas formas diferentes se pueden colocar ellas en l´ınea para la foto?

2. La suma de tres n´ umeros impares consecutivos es igual a 27. ¿Cu´al es el m´as peque no de estos tres n´ umeros?

3. Con 8 ochos quiero formar varios n´ umeros que sumados den 1000. ¿C´omo lo puedo hacer?

4. En la figura, ABC es un tri´angulo equil´atero (es decir, todos sus lados miden lo mismo) de 18 cms de per´ımetro. Si CD = AC y el cuadril´atero ACDE tiene 20 cms de per´ımetro. ¿Cu´al es el per´ımetro de ABCDE?

5. Juli´an tiene 8 l´apices de colores distintos, entre ellos tiene uno rojo, uno blanco y uno negro. Dibuj´o una banderita de tres franjas y quiere pintar cada franja con un color diferente. Una de las franjas la pintar´a de su color favorito: el rojo. En el centro no quiere poner ni blanco ni negro. ¿De cu´antas maneras puede pintar la banderita que dibuj´o?

29

6. Un perro, sale desde su casa persiguiendo en l´ınea recta a un gato, que est´a a 30 pies de la casa. Avanzan a los saltos. El perro da saltos de 2 pies y el gato de 1 pie, pero el perro da dos saltos en el tiempo que el gato da tres. ¿A qu´e distancia de la casa el perro alcanzar´a al gato?

7. Se quieren colocar los n´ umeros 1-2-3-4-5-6-7-8 en los v´ertices del cubo de modo que la suma de los n´ umeros que hay en los v´ertices de cada una de las caras sea siempre la misma. Muestra como hacerlo.

8. Me com´ı una rebanada de un pastel redondo que representaba el 15% del total del pastel, como indica la figura. ¿Cu´al es el ´angulo que abarca la rebanada del pastel que me com´ı?

9. Juan escribi´o todos los n´ umeros impares desde el 1000 hasta el 2008. ¿Cu´antas veces escribi´o el d´ıgito 0?

10. Durante las vacaciones, Ana, Camilo y Mar´ıa se sacaron 35 fotos en total. Ana est´a sola en 8 fotos. Camilo est´a solo en 10 fotos.

Ana est´a en 19 fotos. Mar´ıa siempre est´a sola. ¿En cu´antas fotos est´a Mar´ıa?

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´ OLIMPIADA DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2008 EXAMEN NIVEL II(7mo al 12mo grado) 1. Mar´ıa, Ana y Luis leyeron un mismo libro de menos de 300 p´aginas.

Mar´ıa leyo 7 p´aginas el primer d´ıa y el resto a 10 p´aginas por d´ıa.

Ana ley´o 2 p´aginas el primer d´ıa y el resto a 11 p´aginas por d´ıa.

Luis ley´o 5 p´aginas el primer d´ıa y el resto a 9 p´aginas por d´ıa. ¿Cu´antas p´aginas tiene el libro?

2. Javier tiene que armar una clave con 3 letras y 3 d´ıgitos. La clave debe empezar y terminar con una letra. Los d´ıgitos deben ponerse en forma creciente o decreciente. Elige las letras entre las de su nombre, sin repetirlas. Elige los d´ıgitos entre los impares, sin repetirlos. ¿De cu´antas maneras puede Javier armar esa clave?

3. Una hormiguita recorre cada hora una distancia igual a dos tercios de lo recorrido la hora anterior. Si en tres horas recorri´o 76 cms, ¿cu´antos cent´ımetros recorri´o durante la primera hora?

4. En la circunferencia de centro O y di´ametro AB se marca el punto C, como se muestra en la figura, de modo que ∠AOC = 36◦ . ¿Cu´anto mide el ´angulo ∠CBO?

5. En una fiesta de cumplea˜ nos hay 40 ni˜ nos y ni˜ nas en total, con un promedio de edad de 7.4 a˜ nos. El promedio de edad de las ni˜ nas es de 7 a˜ nos. El promedio de edad de los ni˜ nos es de 8 a˜ nos. ¿Cu´antas ni˜ nas y cu´antos ni˜ nos hay en la fiesta?

6. Encuentra el n´ umero de enteros positivos de cuatro d´ıgitos tales que entre ellos hay al menos un 1 y al menos un 0.

31

7. Encuentre las soluciones enteras no negativas de (x + y + z)2 + (x + y − z)2 + (x − y + z)2 = 40.

8. El centro del c´ırculo que pasa por todos los v´ertices de un pent´agono regular ABCDE es O, T es el punto medio de CD y AB = 2.

Encuentra el valor de (AO − T O) ∗ AT .

9. Encuentra todos los tri´angulos rect´ √ angulos con catetos de longitud entera e hipotenusa de longitud 2006. √ 10. Encuentra las soluciones reales de √x+6−8 √x−2 ≤ 6 − x + 1.

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´ OLIMPIADAS DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO ´ EXAMEN DE SELECCION 1. Se tiene un rect´angulo de 1x25, dividido en 25 casillas de 1x1.

Decidir si es posible escribir los 25 n´ umeros enteros del 1 al 25, uno en cada casilla y sin repeticiones, de manera tal que la suma de los dos n´ umeros escritos en dos casillas adyacentes sea siempre un cuadrado perfecto. Si la respuesta es afirmativa, mostrar una distribuci´on de los 25 n´ umeros. Si es negativa, explicar porqu´e.

2. Usando los d´ıgitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, y sin repetirlos, se forman 3 n´ umeros de 2 cifras cada uno. Se suman entre s´ı los 3 n´ umeros de 2 cifras que se formaron. ¿Cu´antos resultados diferentes se pueden obtener mediante este procedimiento?

3. Un saco contiene piedras azules y rojas. Considera el siguiente juego: se extraen sucesivamente (una por una) piedras hasta que, por primera vez, el n´ umero de piedras azules y el n´ umero de piedras rojas extra´ıdas son iguales. En un momento determinado de un juego se observa que, al final, 10 piedras fueron extra´ıdas y ningunas 3 sucesivas han sido del mismo color. Prueba que en ese juego, la quinta y sexta piedras son de distinto color.

4. Si los lados de un tri´angulo tienen longitudes a, b, c y estas satisfacen las condiciones a + b − c = 2 y 2ab − c2 = 4, demuestra que el tri´angulo es equil´atero.

5. Considera un tri´angulo ABC con ´angulo recto en A y AB < AC. Sea D un punto en AC para el cual ∠ACB = ∠ABD. Tira la altura DE en el tri´angulo BCD. ¿Si AC = BD + DE, cu´anto miden los ´angulos ABC y ACB? 6. Sea n un n´ umero compuesto natural. Prueba que existen enteros a1 , a2 , . . . , ak todos mayores que 1, tales que a1 + a2 + . . . + ak = n( a11 + a12 + . . . + a1k ).

33

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Primera Fase EXAMEN NIVEL I(4to, 5to y 6to grado) 1. En la figura se pueden ver 10 rect´angulos, los cuales aparecen sombreados en la siguiete imagen:

2. Observe que si escribimos los n´ umeros que se encuentran en las posiciones impares (el n´ umero de la primera posici´on, tercera, quinta, etc.) de la sucesi´on obtenemos la siguiente lista: 1, 2, 3, 4, 5. De aqui conclu´ımos que el n´ umero que debe ir en la und´ecima posici´on de la sucesi´on es el 6. Si hacemos la lista de los n´ umeros que quedan en las posiciones pares nos queda de la siguiente forma: 4, 8, 12, 16. As´ı que el n´ umero que debe ocupar la d´ecima posici´on de la sucesi´on es el 20. De esta forma, la sucesi´on es 1, 4, 2, 8, 3, 12, 4, 16, 5, 20, 6, . . ..

3. Se pueden formar cuatro: 500, 505, 550 y 555.

4. El peso de las cajas vac´ıas es 20 ∗ ( 21 ) = 10 libras, lo que significa que las papayas pesan 1600 − 10 = 1590 libras.

34

5. El n´ umero m´aximo de puntos comunes que pueden tener es 8. En la siguiente figura se muestra una de las formas en que esto puede suceder:

6. Observe que entre el primer y el u ´ltimo ´arbol existen 9 separaciones. As´ı que la distancia entre estos es de 9 ∗ 50 = 450 pies.

7. Note que debido a las condiciones del problema se excluye la posibilidad de que dos de las amigas se regalen entre si (por ejemplo, que Ana le regale a Rosa y que a su vez, Rosa le regale a Ana) ya que la tercera se quedar´ıa sin dar y sin recibir regalo. Con este dato, es f´acil ver que existen 2 posibilidades para la repartici´on: • Ana le regala a Mar´ıa, Mar´ıa le regala a Rosa y Rosa le regala a Ana • Ana le regala a Rosa, Rosa le regala a Mar´ıa y Mar´ıa le regala a Ana

8. Sea x el n´ umero de perros que hay en la finca. El n´ umero de patas provenientes de los perros est´a dado por 4x y similarmente, el n´ umero de patas provenientes de las gallinas est´a dado por 2x.

Esto significa que el n´ umero total de patas es 2x + 4x = 6x y como x es un n´ umero entero, la u ´nica de las alternativas que no se puede descartar es la correspondiente a 6 ∗ 4 = 24 patas.

9. Sea x la cantidad de a˜ nos que han pasado desde que Mario ten´ıa 27. La edad actual de Mario est´a dada por 27 + x, mientras que la de Pedro est´a dada por 3 + x. Como en la actualidad la edad de Mario es tres veces la edad de Pedro, tenemos que 3 ∗ (3 + x) = 27 + x. Resolviendo la ecuaci´on, obtenemos que x = 9 y que, por lo tanto, la edad actual de Mario es 36 a˜ nos.

35

10. Tenemos que A 6= H 6= E, A 6= E y que H 6= 0 pues H ocupa el lugar de las centenas del n´ umero de tres d´ıgitos HEE. Observe que otra manera de representar al n´ umero de dos d´ıgitos AH es a trav´es de la suma 10A + H (un ejemplo concreto ser´ıa 86 = 10 ∗ 8 + 6). Similarmente, el n´ umero de tres d´ıgitos HEE se puede representar como 100 ∗ H + 10 ∗ E + E. De la suma original, obtenemos la ecuaci´on (10 ∗ A + H) + A = (100H + 10E + E), la cual es equivalente a 11 ∗ (A − E) = 99 ∗ H. Dividiendo por 11 en ambos lados, tenemos que (A − E) = 9 ∗ H. Recordando que A, E y H son d´ıgitos distintos y que la diferencia mayor que se puede obtener al restar dos d´ıgitos es 9; se concluye que H = 1 y que (A − E) = 9. Se sigue que A = 9, E = 0, la suma original del problema era 91 + 9 = 100 y que H + E = 1 + 0 = 1.

11. Considere el siguiente diagrama en donde se le ha asignado un n´ umero a cada una de las caras de un cubo (con excepci´on de la frontal y de la posterior):

Suponga, sin p´erdida de generalidad, que deseamos pintar la cara 1 de color azul. Queremos minimizar la cantidad de colores utilizados, as´ı que necesitamos tratar de repetir los colores. La u ´nica otra cara que puede ser pintada de color azul es la cara 3, pues la cara 2, la 4, la frontal y la posterior son cada una adyacente a la cara 1. Suponga ahora que deseamos pintar la cara 2 de amarillo.

Por un an´alisis similar, conclu´ımos que la u ´nica cara que tambi´en puede ser pintada de este color es la cara 4. Ahora, nos queda pintar la cara frontal y la posterior, pero ninguna de estas puede ser ni azul, ni amarillo; por lo tanto, tienen que ser pintadas de 36

un tercer color. As´ı, el n´ umero m´ınimo de colores que se necesitan para pintar las caras de un cubo de tal forma que dos caras adyacentes no sean del mismo color es 3.

12. Identifiquemos con O al punto medio del lado EG del diagrama original:

Para simplificar la escritura escribiremos, por ejemplo, BC para denotar el segmento BC o la medida del segmento BC seg´ un el contexto. De acuerdo al problema, el ´area del rect´angulo ABCD es 36 unidades cuadradas; por lo tanto, (BC)∗(AB) = 36. Ahora, el ´area del tri´angulo EF G est´a dado por 21 EG ∗ F O. Observe que EG = BC y F O = 12 AB, as´ı que el ´area del tri´angulo = ( 21 )(BC)∗(( 12 )AB) = ( 12 ∗ 12 )(´area del rect´angulo ABCD)= 14 ∗36 = 9 unidades cuadradas.

13. Construyamos el cubo de 5 cent´ımetros de lado de la siguiente forma: utilizando 25 cubitos de lado 1, formamos un panel. Formamos 5 de estos paneles y los colocamos uno detr´as del otro obteniendo un cubo como el del siguiente diagrama:

Observe que 9 de los cubitos de los 3 paneles que forman el “interior” del cubo de lado de 5 cent´ımetros quedan ocultos. Es por 37

esto, que el n´ umero de cubitos ocultos es 9 ∗ 3 = 27.

14. Para escribir los enteros del 1 al 9, Luis necesita 9 d´ıgitos. Para escribir los enteros del 10 al 99, necesita 2 ∗ 90 = 180 d´ıgitos, mientras que para escribir el n´ umero 100 necesita 3. Por lo tanto, Luis necesita 9 + 180 + 3 = 192 d´ıgitos para escribir los enteros del 1 al 100.

15. Sean b y h las medidas de la base y la altura del tri´angulo original, respectivamente. Sean Aoriginal el ´area del tri´angulo original y Amodif icado el ´area del nuevo tri´angulo. Tenemos que Aoriginal = 1 ∗ b ∗ h y que Amodif icado = ( 12 ) ∗ (1.1b) ∗ (.9h). Trabajando con 2 la segunda ecuaci´on obtenemos Amodif icado = .99 ∗ ( 12 ) ∗ b ∗ h = .99 ∗ Aoriginal . El ´area disminuye 1%.

16. Necesitamos saber cada cuanto tiempo las luces se encienden al mismo tiempo. Esta cantidad est´a dada por el m´ınimo com´ un 3 m´ ultiplo de 120 = 2 ∗3∗5 segundos (2 minutos) y 210 = 2∗3∗5∗7 segundos (3 minutos y medio) que es 23 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 7 = 840 segundos (14 minutos). Tenemos que por cada 14 minutos que pasan desde la media noche, las luces se encienden al mismo tiempo. Esto significa que esto ocurre a las 12:14 am, 12:28 am, 12:42 am, 12:56 am y 1:10 am, siendo esta u ´ltima la hora que nos pide el problema.

17. Sea x la medida de un lado del cuadrado original. Considere uno de los rect´angulos que se obtiene al cortar este:

Dicho rect´angulo tiene dos lados que miden x y dos lados que miden x2 y su per´ımetro est´a dado por x + x + x2 + x2 = 18. Resolviendo para x, tenemos x = 6 y el per´ımetro del cuadrado original es x + x + x + x = 6 + 6 + 6 + 6 = 24 cent´ımetros.

38

18. Sea z el n´ umero de espectadores que fueron a la primera y a la segunda funci´on juntas. Entonces 2z representa la cantidad de espectadores que fueron a la tercera funci´on y 2 ∗ (2z) representa la cantidad de espectadores que fueron a la cuarta funci´on. Se sabe que, en total, se recaudaron $1183; as´ı que 3.5z + 7 ∗ (2z) + 7 ∗ (2 ∗ 2z) = 1183. Simplificando, nos queda que 45.5z = 1183 y que z = 26. Sustituyendo en la expresi´on para la cantidad de personas que fueron a la cuarta funci´on, tenemos que esta cantidad es 2 ∗ (2z) = 4z = 4 ∗ 26 = 104 personas.

19. Como el tri´angulo original es equil´atero y su per´ımetro es de 75 cent´ımetros, cada uno de sus lados mide 25 cent´ımetros. Si se le quitan 3 tri´angulitos equil´ateros de 5 cent´ımetros de lado, la nueva figura tiene las siguientes dimensiones:

Su per´ımetro es 5 + 15 + 5 + 15 + 5 + 15 = 60 cent´ımetros.

20. Tenemos que analizar dos situaciones: las maneras en que se pueden acomodar las tres plantas en tres oficinas distinas y las maneras en que se pueden acomodar las plantas de tal forma que dos (y solo dos) de estas se encuentren en una misma oficina.

Para el primer caso, note que tenemos 5 posibilidades para acomodar la primera planta, 4 posibilidades (recuerde que estamos considerando el caso en que ninguna de las 3 plantas se pueden encontrar en la misma oficina) para acomodar la segunda y 3 posibilidades para acomodar la tercera. En total, tenemos 5∗4∗3 = 60 maneras en las que se pueden acomodar las plantas de tal forma que cada una se encuentre en una oficina distinta. Ahora, para el segundo caso (2 plantas se encuentran en una misma oficina, la 39

tercera en otra), suponga que tomamos dos de las plantas; digamos el cactus y la azalea. Existen 5 posibilidades para acomodarlas, mientras que para la planta restante (ficus) solamente tenemos 4 posibilidades. Esto significa que existen 5 â&#x2C6;&#x2014; 4 = 20 posibles maneras en las que se pueden acomodar. Ahora, si en vez de considerar la pareja cactus-azalea, consideramos la pareja cactus-ficus y la pareja ficus-azalea; tenemos 20 + 20 = 40 posibles arreglos adicionales. Finalmente, el n´ umero de formas en que se pueden acomodar las tres plantas en las cinco oficinas sin que las tres se encuentren en una misma oficina es 60 + 20 + 40 = 120.

40

COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Primera Fase EXAMEN NIVEL II(7mo al 12mo grado) 1. Como

2 3

de las teclas son blancas, tenemos 87 ∗ ( 23 ) = 58 de estas.

2. Conchita ten´ıa 600 + 200 = $800 al final, as´ı que sus ahorros originales eran 800 ∗ ( 12 ) = $400.

3. Como Antonio es t´ıo de Rosa y pap´a de Pedro, Rosa y Pedro son primos.

4. Si el producto es impar, significa que en su factorizaci´on prima no aparece ning´ un 2. Esto a su vez implica, que en las respectivas factorizaciones primas de los 5 enteros, no aparece ning´ un 2. En otras palabras, los 5 enteros tienen que ser impares.

5. Tenemos que las siguientes ecuaciones se cumplen simultaneamente: 3 + B + C = 18, B + C + D = 18, C + D + E = 18, D + E + 8 = 18, E + 8 + G = 18, 8 + G + H = 18 y G + H + I = 18.

Despejando para B + C en la primera ecuaci´on, obtenemos que B + C = 15 y si sustituimos esta cantidad en la segunda; obtenemos que D = 3. Sustituyendo el valor de D en la cuarta ecuaci´on y resolviendo, obtenemos que E = 7 y si esta cantidad es sustituida en la quinta ecuaci´on y resolvemos, obtenemos que G = 3.

Finalmente, sustituyendo el valor de G en la sexta ecuaci´on, obtenemos que H = 7.

6. Para hallar la cantidad total de divisores positivos de cualquier entero positivo n, podemos usar su factorizaci´on prima. Suponga ti−1 que la factorizaci´on prima de n es n = pt11 ∗ pt22 ∗ . . . ∗ pi−1 ∗ ptii .

Entonces, el n´ umero de divisores positivos de n est´a dado por (t1 + 1) ∗ (t2 + 1) ∗ . . . ∗ (ti−1 + 1) ∗ (ti + 1). En el caso particular de n = 120, n = 5 ∗ 3 ∗ 23 , as´ı que el n´ umero de divisores positivos es (1 + 1) ∗ (1 + 1) ∗ (3 + 1) = 2 ∗ 2 ∗ 4 = 16.

41

7. Podemos hallar la medida de 3 ´angulos del diagrama ya que la medida de un ´angulo llano es 180◦ , ´angulos alternos internos tienen la misma medida y la suma de los tres ´angulos internos de un tri´angulo es 180◦ :

Ahora, x + 60◦ = 180◦ y resolviendo para x, tenemos x = 120◦ .

8. Note que 102007 es un n´ umero que se escribe utilizando un d´ıgito 1, seguido de 2007 d´ıgitos 0. Si a 102007 , le restamos 2007, obtendremos un n´ umero con un 3 en las unidades, un 9 en las decenas, un 9 en las centenas, un 7 en las mil´esimas; seguido de 2003 d´ıgitos 9. Es por esto, que la suma de los d´ıgitos de la resta original es (2003 ∗ 9) + 7 + 9 + 9 + 3 = 18055.

9. Observe que si el televisor se encuentra en el canal 15 y se aprieta 41 veces el bot´on para subir el canal, regresaremos a este mismo canal. Si dividimos 518 entre 41, obtendremos un cociente igual a 12 y un residuo igual a 26. Esto significa que el televisor de Mar´ıa pas´o 12 veces adicionales por el canal 15 y se detuvo en el canal 15 + 26 = 41.

10. Si Pablo compr´o el art´ıculo con un 15% de descuento, $106.25 es el 85% de la cantidad original. Si x representa la cantidad original, tenemos la ecuaci´on .85x = 106.25 y si resolvemos para x, obtenemos x = $125.

11. Note que el cuadrado de un entero cuyo d´ıgito de la unidad es 1 es, nuevamente, un n´ umero cuyo d´ıgito de la unidad es 1. Es por esto, que el cuadrado de 81 terminar´a en 1 y que, a su vez; el cuadrado del resultado tambi´en terminar´a en 1. No importa cuantas veces se realice la operaci´on “cuadrar”, el resultado siempre terminar´a en 1.

42

12. El n´ umero de formas distintas en que se pueden ordenar las letras de tal manera que la primera y u ´ltima letra sean vocales es 2 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 ∗ 1 = 12.

13. Suponga que Mar´ıa miente. Entonces existe por lo menos una canica que no es negra o no hay 3 canicas. Si hay por lo menos una que no es negra, Jorge tambi´en estar´ıa mintiendo, as´ı que todas son negras; pero entonces Luis estar´ıa mintiendo. Suponga ahora que Jorge est´a mintiendo. Por un an´alisis similar, llegar´ıamos a la conclusi´on de que Mar´ıa tambi´en estar´ıa mintiendo as´ı que descartamos esta segunda posibilidad. Finalmente, si analizamos lo que sucede al suponer que Luis es el que miente, nos damos cuenta que la conclusi´on es consistente con las condiciones del problema: Mar´ıa y Jorge dicen la verdad. Por lo tanto, hay 3 canicas en la bolsa.

14. Como el segmento DE y el segmento AB son paralelos, el tri´angulo ABC y el tri´angulo DEC son similares:

Sean x la medida del segmento DC, (ABC) el ´area del tri´angulo ABC, (DEC) el ´area del tri´angulo DEC y lAC la medida del segmento AC. Recordando que la raz´on entre las ´areas de dos tri´angulos similares es igual a la raz´on de los cuadrados de los la(ABC) AC 2 dos correspondientes tenemos que: (DEC) = ( llDC ) . Sustituyendo las expresiones corrspondientes,

(ABC) 3 (ABC) 4

= ( x1 )2 . Expandiendo,

simplificando y resolviendo para x conclu´ımos que x =

√

3 2

metros.

15. Sea x la cantidad de carros y z la cantidad de motoras. Tenemos que x + z = 44 y 4x + 2z = 144. Despejando para x en la primera ecuaci´on obtenemos que x = 44 − z y sustituyendo en la segunda nos que da que 4(44 − z) + 2z = 144. Resolviendo para z tenemos 43

que z = 16, as´ı que el n´ umero de motoras es mayor que 14 y menor que 20.

16. Recuerde que las diagonales de un rombo se intersecan formando un ´angulo recto y considere el siguiente diagrama:

Sea r la medida de una de las diagonales, s la medida de la otra diagonal (con r < s) y z la medida de uno de los lados del rombo.

Note que podemos utilizar el Teorema de Pit´agoras para uno de los tri´angulos rect´angulos, obteniendo ( 2r )2 + ( 2s )2 = z 2 . Como el problema nos dice que 3s = 4r y r + s = 56, despejando para s en la primera y sustituyendo en la segunda y resolviendo, tenemos que s = 32 y r = 24. Sustituyendo estos valores en la ecuaci´on obtenida del Teorema de Pit´agoras y resolviendo, llegamos a z = 20 y como el per´ımetro del rombo est´a dado por 4z, el per´ımetro es 4z = 4(20) = 80 cm.

17. Consideremos la suma del n´ umero de pesetas que Mauricio coloc´o en cada cuadrado de la primera columna. Este n´ umero est´a dado por (1+1)+(1+2)+(1+3)+. . .+(1+7)+(1+8) = 1(8)+(1+2+3+ 4 + 5 + 6 + 7 + 8) = 8 + 36 = 44. Similarmente, la suma del n´ umero de pesetas que coloc´o en cada cuadrado de la segunda columna asciende a (2+1)+(2+2)+(2+3)+. . .+(2+7)+(2+8) = 2(8)+ (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) = 16 + 36 = 52. De hecho, la suma del n´ umero de pesetas que Mauricio coloca en la i-´esima fila es igual a i ∗ 8 + 36 (en donde i es alg´ un entero entre 1 y 8). Finalmente, el n´ umero total de pesetas que Mauricio coloc´o en el tablero es (1∗8+36)+(2∗8+36)+(3∗8+36)+. . .+(7∗8+36)+(8∗8+36) = 8∗(1+2+3+. . .+7+8)+8∗(36) = 8∗(36)+8∗(36) = 16∗(36) = 576.

18. Para que un n´ umero sea divisible por 44, tiene que ser divisible por 4 y por 11. En particular, para que un n´ umero sea divisible por 4, el n´ umero formado al tomar los u ´ltimos dos d´ıgitos de este 44

tiene que ser divisible por 4. Los u ´nicos n´ umeros que se pueden formar bajo las condiciones del problema y que son divisibles por 4 son: 4736, 7436, 3764, 7364, 3476 y 4376. De estos, los u ´nicos que son divisibles por 11 son el 7436 y el 3476. En otras palabras, s´olo se pueden formar 2 n´ umeros que son divisibles entre 44.

19. Primero, observe que el tri´angulo GCF es equil´atero. Sea x la medida de un lado del cuadrado DEF G, r la medida del segmento AD y el segmento EB respectivamente y considere el siguiente diagrama:

Tratemos de hallar una expresi´on para r en t´erminos de x. Para hacer esto, aplicamos el Teorema de Pit´ √agoras en el tri´angulo rect´angulo ADG y encontramos que r = 1 − 2x (esto nos sirve tambi´en para concluir que 0 < x < 12 ). Como la medida del segmento AB es 1 metro, tenemos la ecuaci´on 2r + x = 1.

Sustituyendo la expresi´on para r en t´erminos de x obtenemos √ 2 1 − 2x + x = 1 y si pasamos x al lado derecho de la ecuaci´on y luego cuadramos ambos lados, tenemos 4(1 − 2x) = 1 − 2x + x2 .

Esta u ´ltima ecuaci´on es equivalente a x2 + 6x −√3 = 0 y utilizando la f´ormula cuadr´atica llegamos a x = −3 ± 2 3. Como x es la medida de uno de los lados del cuadrado DEF G, esta cantidad tiene que ser positiva, as´ √ı que descartamos una de las soluciones y conclu´ımos que x = 2 3 − 3 metros.

20. Considere el lado izquierdo de la ecuaci´on original: x+1 + x+2 + . . . + x+100 1 2 100 Esta expresi´on es equivalente a x ( x1 + 1) + ( x2 + 1) + . . . + ( 100 + 1) Note que tenemos 100 par´entesis y en cada uno de estos el d´ıgito 1 aparece como un t´ermino. Esto nos permite reescribir la expresi´on 45

x como ( x1 + x2 + . . . + 100 ) + 100, la cual a su vez, es equivalente 1 a x( 11 + 12 + . . . + 100 ) + 100. Sustituyendo esta expresi´on en el lado izquierdo de la ecuaci´on original, tenemos x( 11 + 12 + . . . + 1 1 ) + 100 = 100. Finalmente, x( 11 + 12 + . . . + 100 ) = 0 y como el 100 producto de dos n´ umeros solo puede ser igual a 0 si y solo si uno de estos es 0, x = 0. Por lo tanto, −1 ≤ x ≤ 1.

21. Sean d y x la medida de la diagonal y la medida de un lado del cuadrado peque˜ no, respectivamente:

Observe que d corresponde a la medida del di´ametro del c´ırculo como tambi´en a la medida de un lado del cuadrado grande. As´ı que el ´area del cuadrado peque˜ no Apeq es Apeq = x2 , mientras que el ´area del cuadrado grande Agrande es Agrande = d2 . Ahora, utilizando el Teorema de Pit´agoras tenemos que x2 + x2 = d2 2 2 Agrande y resolviendo obtenemos x2 = d2 . Finalmente, A = xd2 = peq d2 d2 2

= 2. La raz´on entre el ´area del cuadrado grande y el ´area del

cuadrado peque˜ no es 2.

22. Andrea dice:“B´arbara siempre dice la verdad”, B´arbara dice: Andrea y Carlos siempre dicen la verdad” y Carlos dice: “Andrea miente”. Estudiemos cada una de las alternativas y descartemos una por una hasta llegar a la respuesta.

Suponga que los tres dicen la verdad. En particular, Carlos dice la verdad y afirma que “Andrea miente”, pero esto contradice la suposici´on inicial as´ı que descartamos esta posibilidad.

Suponga que los tres mienten. En particular, como Carlos miente y dice “Andrea miente” significa que Andrea dice la verdad. Esto, nuevamente, contradice la suposici´on y descartamos esta posibilidad.

46

Suponga ahora, que Andrea y B´arbara dicen la verdad y que Carlos miente. Como Carlos miente, tenemos que Andrea dice la verdad. Andrea dice “B´arbara siempre dice la verdad” as´ı que lo que dice B´arbara es cierto. Sin embargo, B´arbara dice que “Andrea y Carlos siempre dicen la verdad”, lo cual contradice la suposici´on de que Carlos miente.

Considere la posibilidad de que Andrea dice la verdad y que B´arbara y Carlos mienten. Como Carlos miente, su enunciado de que “Andrea miente” es falso, as´ı que Andrea dice la verdad. Pero Andrea dice “B´arbara siempre dice la verdad” y esto contradice la suposici´on de que B´arbara miente.

Finalmente, si realizamos un an´alisis similar a la u ´nica alternativa que nos queda, concluiremos que es la u ´nica en donde no se llega a una contradicci´on. Por lo tanto, Andrea y B´arbara mienten, mientras que Carlos dice la verdad.

23. Note que la suma de los 50 impares que se encuentran en el conjunto es 100 ∗ 25 = 2500 (se pueden formar 25 parejas de n´ umeros impares, de tal forma que la suma de los miembros de cada una de las parejas sea 100 y ninguno de los impares se repita: 1 + 99, 3 + 97, . . . , 47 + 53, 49 + 51).

Considere la posibilidad de que la cantidad m´ınima de n´ umeros pares es 2. El conjunto de 50 n´ umeros distintos cuya suma total es 3000 estar´ıa formado por 48 n´ umeros impares y 2 pares. Sin embargo, como la suma de los 50 impares del conjunto original es 2500, la suma de los 48 impares que se escogieron es menor que esta cantidad. Esto significa que la suma de los 2 pares tendr´ıa que ser mayor que 500 para poder llegar a 3000, pero la suma mayor de 2 pares distintos es 100 + 98 = 198; as´ı que tenemos que descartar esta posibilidad.

Por argumentos similares, se pueden descartar las posibilidades de que la cantidad m´ınima de n´ umeros pares sean 3, 4 ´o 5. As´ı que la cantidad m´ınima de n´ umeros pares que puede haber entre los 50 n´ umeros que se escogieron al azar es 6. Uno de los conjuntos que cumple con las propiedades descritas por el problema es {56, 92, 94, 96, 98, 100} ∪ {13, 15, 17, 19, . . . , 91, 95, 97, 99}.

24. Considere el siguiente conjunto: {97, 98, . . . , 115, 116}. En este, 47

hay 6 primos: 97, 101, 103, 107, 109 y 113. Seis primos es el m´aximo n´ umero que puede haber en un conjunto que cumpla las condiciones del problema, ya que entre los 20 n´ umeros hay 10 pares. De los 10 impares restantes hay, al menos, tres m´ ultiplos de 3; quedando as´ı, un m´aximo de siete candidatos que a´ un no pueden ser eliminados. Ahora, en los 20 n´ umeros hay, al menos; cuatro m´ ultiplos de 5. De estos, dos son impares y, a lo sumo; uno de estos impares es m´ ultiplo de 3. Nos quedan entonces, un m´aximo de seis candidatos.

25. Sea x el n´ umero de ex´amenes que el estudiante tom´o antes de que su promedio baj´o a 22.25 y sea z la u ´ltima nota. Tenemos dos expresiones que nos dan el total de puntos acumulados por el estudiante hasta el momento: 23x + z y 22.25(x + 1). Considere la ecuaci´on 23x + z = 22.25(x + 1), la cual al despejar para z toma la forma z = 22.25 − .75x. Si trabajamos con la representaci´on en fracciones y simplificamos, la ecuaci´on nos queda como z = 1 (89 − 3x). Recordando que 18 ≤ z ≤ 30, 18 ≤ 41 (89 − 3x) ≤ 30.

4 Resolviendo la doble desigualdad para x, obtenemos 1 ≤ x ≤ 5.

Como x y z son n´ umeros enteros, tenemos que averiguar para cu´al de los posibles valores para x (1,2,3,4 ´o 5) obtenemos un correspondiente valor de z entero. Resulta que solamente para x = 3, obtenemos un valor de z entero: z = 41 (89 − (3 ∗ 3)) = 20.

El estudiante obtuvo una puntuaci´on de 20 en el u ´ltimo ex´amen.

26. Sea x la medida de un lado del tri´angulo equil´atero. Como los per´ımetros del tri´angulo y del rect´angulo son iguales, 3x = 2(b+h) y despejando para x tenemos x = 23 (b + h). Recordando √que la altura a de un tri´angulo equil´atero de lado x es a = 23 x, podemos obtener una√ expresi´on para el ´area A4 del tri´angulo: √ 3 1 A4 = 2 (x)( 2 x) = 43 x2 . Sustituyendo la expresi´on√para x en t´erminos de b y de h y simplificando, tenemos A4 = 93 (b + h)2 .

Como el a´rea un el proble√ del rect´angulo√3A es A2 =√bh y seg´ ma A4 = 3A , tenemos 9 (b + h) = 3bh. Expandiendo y simplificando podemos llegar a la siguiente ecuaci´on equivalente: b2 − 7bh + h2 = 0. Ahora, dividiendo por h2 en ambos lados de la ecuaci´on: ( hb )2 − 7( hb ) + 1 = 0. Utilizando la F´ormula Cuadr´atica 48

√

para hb obtenemos hb = 7±32 5 , pero como b > h, la raz´o√ n hb > 1 y descartamos una de las soluciones. Finalmente hb = 7+32 5 .

27. Sea x la medida del radio de S y un lado de Q. La intersecci´on entre S y Q consiste de una regi´on cuyo volumen es 18 del volumen de la esfera S y cuya forma es bosquejada en el siguiente diagrama:

Como S es una esfera centrada en uno de los v´ertices del cubo Q, con radio igual al lado de Q, la intersecci´on entre S y Q consiste de una regi´on cuyo volumen es 81 del volumen de la esfera S. Note, adem´as, que el volumen de esta regi´on es ( 81 )( 34 )πx3 = ( π6 )x3 y como el volumen del cubo es x3 ; las alternativas que est´an en t´erminos del volumen del cubo pueden ser descartadas.

28. Sean r1 , r2 y r3 , con r1 + r2 = 0, las tres ra´ıces del polinomio P (x) = x3 + ax2 + bx + c.

Podemos escribir a P (x) de la siguiente manera: P (x) = (x − r1 )(x − r2 )(x − r3 ) = x3 − ((r1 + r2 ) + r3 )x2 + (r1 r2 + r3 (r1 + r2 ))x − r1 r2 r3 En otras palabras: a = −((r1 + r2 ) + r3 ) = −(0 + r3 ) = −r3 b = r1 r2 + r3 (r1 + r2 ) = r1 r2 + r3 (0) = r1 r2 c = −r1 r2 r3 De las alternativas, la u ´nica que siempre es cierta es c = ab.

29. Considere el tri´angulo is´osceles ABC que hemos dibujado en el siguiente diagrama:

49

Observe que existen 6 posibilidades para la posici´on del punto Q si no se tiene en cuenta el orden de las letras en la semejante, esto es, 2 casos en donde AQP ∼ ABC, 2 casos en donde P AQ ∼ ABC y 2 casos en donde AP Q ∼ ABC. Sin embargo, tomando en cuenta el orden de las letras en la semejante, descartamos los primeros 4 casos y tenemos 2 posibles posiciones para el punto Q:

30. Como quedan 30 cartas (20 de estas no son espadas), el n´ umero de formas en que se le pueden repartir 10 cartas a B´arbara 20!de 20 tal manera que ninguna sea espada est´a dado por 10 = 10!10! .

Similarmente, el n´ umero total de formas (sin importar orden) en que se pueden escoger 10 cartas de un total de 30 est´a dado por 30 30! = 10!20! . Finalmente, la probabilidad deseada est´a dada por 10 20!

10!10!

30!

10!20!

=

20!20! .

10!30!

50

COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Segunda Fase 2007-2008 EXAMEN NIVEL I(4to, 5to y 6to grado) 1. Tenemos 1 caja grande, 4 cajas medianas, 4 ∗ 2 = 8 cajas chicas y 8 ∗ 3 = 24 cajas de las m´as peque˜ nas. En total, Rosita tiene 1 + 4 + 8 + 24 = 37 cajas.

2. Observe que la diferencia entre el segundo y primer t´ermino de la sucesi´on es 3 − 1 = 2, la diferencia entre el tercer y segundo t´ermino es 7−3 = 4 y la diferencia entre el cuarto y tercer t´ermino es 15 − 7 = 8. Estas diferencias corresponden a las primeras 3 potencias (positivas) de 2 y si seguimos el patr´on, la diferencia entre el quinto y el cuato t´ermino deber´ıa ser 16. Esto significa que el quinto t´ermino de la sucesi´on es 31 y, si analizamos las diferencias entre el sexto y quinto t´ermino y entre el s´eptimo y el sexto t´ermino, el patr´on se sigue cumpliendo.

3. En la figura se pueden identificar 10 tri´angulos:

4. Como la afirmaci´on “Beatriz est´a al lado de Carlos” es falsa y Beatriz se encuentra en la silla 3, Carlos est´a en la silla 1. Ahora, como Antonio no est´a entre Beatriz y Carlos; tenemos que Antonio est´a en la silla 4. Finalmente, Diana est´a en la silla 2.

5. Como no pueden quedar dos leones ni dos tigres juntos, el domador tiene que colocar a los animales en la siguiente forma: tigre-le´ontigre-le´on-tigre. Ahora, cualquiera de los 3 tigres puede ocupar el primer espacio (de izquierda a derecha), para el segundo espacio tenemos 2 posibilidades, para el tercer espacio 2 posibilidades, 51

mientras que para el cuarto y quinto espacio tenemos una posibilidad; respectivamente. Esto significa que el n´ umero de formas distintas en que puede acomodar las fieras es 3 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 1 ∗ 1 = 12.

6. 90 es tres cuartas partes de 120. 3 ∗ 30 = 90, as´ı que el n´ umero que buscamos es 30.

7. Sea y la medida que desconocemos del lado de uno de los rect´angulos sombreados:

Note que la medida de cada uno de los 8 lados de la figura a considerar que no est´an rotulados mide 6 cent´ımetros.

El per´ımetro de uno de los cuadrados blancos es 6 + 6 + 6 + 6 = 24 cent´ımetros y como el per´ımetro de uno de los rect´angulos sombreados es el doble de esta cantidad: 6+y +6+y = 2∗24 = 48.

Resolviendo para y, obtenemos y = 18. El per´ımetro deseado est´a dado por: 6 + 6 + 6 + y + 6 + 6 + 6 + y + 6 + 6 = 6 + 6 + 6 + 18 + 6 + 6 + 6 + 18 + 6 + 6 = 84 cent´ımetros.

8. Sea x el n´ umero de d´ıas en una semana de este planeta. Seg´ un las condiciones del problema, hay x semanas en un mes y x meses en un a˜ no. El n´ umero de d´ıas en un a˜ no de este planeta entonces est´a dado por x ∗ x ∗ x = x3 . Como hay 1000 d´ıas en un a˜ no, 3 tenemos x = 1000 y resolviendo para x encontramos que x = 10.

Cada semana tiene 10 d´ıas.

9. Luego del primer corte queda 1 − 1 ∗ ( 31 ) = 23 del pastel original.

Luego del segundo corte queda 23 −( 23 )∗( 31 ) = 49 del pastel original.

8 Finalmente, luego del tercer corte queda 49 −( 49 )∗( 13 ) = 27 del pastel original.

52

10. Sea x la cantidad original. Si le sumo su 10%, obtengo x + .1x = 1.1x. Ahora, si a esta cantidad obtenida le resto su 10% tengo 1.1x − .1 ∗ (1.1x) = .99x, en otras palabras el 99% de la cantidad original.

11. Si realizamos el producto de todos los impares entre el 1 y el 10 obtenemos 1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 7 ∗ 9 = 945. Considere el producto de todos los impares entre 11 y 20: 11 ∗ 13 ∗ 15 ∗ 17 ∗ 19. El d´ıgito de las unidades del resultado depende exclusivamente del producto de los d´ıgitos de las unidades de cada uno de los n´ umeros de la multiplicaci´on, por lo que 11∗13∗15∗17∗19 termina en 5. Ahora, el producto de dos n´ umeros (no importa el n´ umero de d´ıgitos del que se componga cada uno) cuyo d´ıgito de las unidades es 5 es un n´ umero que tambi´en termina en 5. Esto significa que el producto de todos los n´ umeros impares entre el 1 y el 20 termina en 5.

Extendiendo este resultado, es f´acil ver que el producto de todos los n´ umeros impares entre 1 y el 2008 tiene como d´ıgito de las unidades al 5.

12. Si dividimos 375 entre 24, obtenemos que 375 = 24 ∗ 15 + 15. Esto significa que para enumerar 375 asientos en la forma que describe el problema, se necesitan 15 filas de 24 asientos cada una y 15 asientos adicionales. En otras palabras, la silla 375 se encuentra en la fila 16.

13. El n´ umero m´as peque˜ no de tres d´ıgitos que se puede obtener al borrar d´ıgitos del n´ umero original es 108.

14. Note que el producto de dos n´ umeros cuyo d´ıgito de las unidades es 6, es otro n´ umero cuyo d´ıgito de las unidades es 6. Ahora, si consideramos el n´ umero 16 y extendemos el resultado mencionado; llegamos a la conclusi´on de que cualquier potencia positiva de 16 (por ejemplo, 162 , 1610 , etc.) tambi´en termina en 6. Observe que 22008 − 2 = (24 )502 − 2 = 16502 − 2. 16502 termina en 6 y si le restamos 2, el resultado es un n´ umero cuyo d´ıgito de la unidades es 4.

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15. Considere la figura original:

Podemos identificar la medida de uno de los ´angulos ya que es suplementario al de 100◦ :

Tambi´en, por un resultado en ´angulos alternos internos tenemos:

Ahora, como la suma de los ´angulos de un tri´angulo es 180◦ , el ´angulo que forma un ´angulo llano con el ´angulo de medida x mide 60◦ . Esto implica, que x = 120◦ .

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COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Segunda Fase 2007-2008 EXAMEN NIVEL II(7mo al 12mo grado) 1. Observe que si el televisor se encuentra en el canal 15 y se aprieta 41 veces el bot´on para subir el canal, regresaremos a este mismo canal. Si dividimos 518 entre 41, obtendremos un cociente igual a 12 y un residuo igual a 26. Esto significa que el televisor de Claudia pas´o 12 veces adicionales por el canal 15 y se detuvo en el canal 15 + 26 = 41.

2. Con la informaci´on dada, se puede terminar que el orden de llegada fue el siguiente: Luisa lleg´o primero, luego Arturo, seguido por Jes´ us y Rita, luego Ra´ ul y finalmente Pedro.

3. Sea x el n´ umero de cerdos y z el n´ umero de palomas. Tenemos que 2x + 2z = 14 y 4x + 2z = 22. Despejando para x en la primera ecuaci´on, obtenemos x = 7 − z y sustituyendo en la segunda tenemos 4(7 − z) + 2z = 22. Resolviendo, z = 3 y sustituyendo este valor en la primera ecuaci´on; tenemos x = 4. Hay 4 cerdos y 3 palomas.

4. Denote por AB2 (en donde A y B son enteros, 1 ≤ A ≤ 9 y 0 ≤ B ≤ 9) el n´ umero descrito por el problema (por ejemplo, si el n´ umero fuese 532, A = 5 y B = 3). Observe que AB2 = 100A + 10B + 2 y que seg´ un el problema (100A + 10B + 2) − (100(2)+10A+B) = 36. Expandiendo y reagrupando, la ecuaci´on nos queda como 10(10A − A) + (10 − 1)B − 198 = 36. Si seguimos trabajando con esta, llegamos a (10A + B) = 26. Esta u ´ltima ecuaci´on tiene soluci´on u ´nica A = 2, B = 6. El n´ umero original era 262 y la suma de sus d´ıgitos es 10.

5. Como AD = DC tenemos ∠DAC = ∠ACD y como AB = AC tenemos que ∠ABC = ∠BCA. Con esta informaci´on y dado al hecho de que la suma de las medidas de los ´angulos internos de un tri´angulo es 180◦ , podemos hallar las cantidades necesarias para resolver el problema.

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Considere el siguiente diagrama:

La medida del ´angulo BAD es 30◦ + 65◦ = 95◦ .

6. Denote por ABCD el n´ umero de su ATH (en donde A, B, C y D representan cada uno de los cuatro d´ıgitos). Como ninguno de los d´ıgitos es 0 y el n´ umero es m´ ultiplo de 5, D = 5. Adem´as A+B +C +D = A+B +C +5 = 9 y, por consiguiente, A+B +C = 4. Si unimos esto con el hecho de que el n´ umero de su ATH es mayor que 1995 y que B y C son enteros tales que 1 ≤ B ≤ 9 y 1 ≤ C ≤ 9, llegamos a la conclusi´on de que A = 2. Por lo tanto, B + C = 2 y debido a las restricciones del problema y a lo que hemos deducido, B = C = 1. El n´ umero de su ATH es 2115 y el tercer d´ıgito, de izquierda a derecha, es 1.

7. El rect´angulo ABCD (cuyo ´area es 15 cm2 ) est´a compuesto por los tri´angulos congruentes ABM y CDN y por los cuadril´ateros con igual ´area M P QD y BP QN :

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El ´area de cada uno de los tri´angulos es ( 12 )(3)( 52 ) = 15 cm2 , 4 15 mientras que el ´area (total) de los dos cuadril´ateros es 15−2( 4 ) = 15 cm2 . Por lo tanto, la superficie del cuadril´atero M P QD tiene 2 15 2

2

=

15 4

= 3.75 cm2 .

8. Observe que en el peor de los casos puede suceder lo siguiente: se sacan 99 canicas del primer color, luego 99 canicas del segundo color, luego 99 canicas del tercer color, etc. Esto puede continuar hasta tener 99 canicas para cada uno de los 20 colores. Es por esto que para garantizar que en la colecci´on tomada haya por lo menos 100 canicas de un mismo color se deben sacar 99 ∗ 20 + 1 = 1981 canicas.

9. Sean x, (x + 1), (x + 2), . . . , (x + 8) y (x + 9) los 10 enteros consecutivos y sea (x + k) (k entero y 0 ≤ k ≤ 9) el n´ umero que elimin´o. Seg´ un el problema, x + (x + 1) + (x + 2) + . . . + (x + 8) + (x + 9) − (x + k) = 2008. Manipulando la ecuaci´on tenemos que 9x = 1963 + k. Como x es un entero, (1963 + k) es divisible por 9.

El u ´nico valor para k que hace esto posible es k = 8, significando que el n´ umero que elimin´o de la lista fue (x + 8). Para hallar el valor de x, considere x + (x + 1) + (x + 2) + . . . + (x + 8) + (x + 9) − (x + 8) = (10x + 45) − (x + 8) = 2008. Resolviendo, x = 219 y el n´ umero que Juan elimin´o fue el x+8 = 219+8 = 227.

10. Note que en los n´ umeros del 1 al 100, el d´ıgito 5 aparece en 5, 15, 25, 35, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 65, 75, 85 y 95, en otras palabras; aparece 20 veces. Realizando un an´alisis similar, encontraremos que en los n´ umeros del 101 al 200, 201 al 300, 301 al 400, 601 al 700, 801 al 900 y 901 al 1000 tambi´en aparece 20 veces (por cada “bloque” de n´ umeros). En los n´ umeros del 401 al 500 aparece 21 veces, mientras que en los n´ umeros del 501 al 600 aparece 119 veces. Por lo tanto, el d´ıgito 5 aparece 8(20) + 21 + 119 = 300 veces en los n´ umeros del 1 al 1000.

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11. Los cubos en los que estamos interesados son aquellos que tienen exactamente dos caras expuestas. Considere el siguiente diagrama:

18 de los cubos que buscamos est´an identificados por un punto negro y si le sumamos los 6 cubos que cumplen con las propiedades y que no se ven en el diagrama, tenemos un total de 24 cubos que est´an en contacto con exactamente 4 otros cubos.

12. Observe que 100, 000 ∗ 33 = 3, 300, 000. El problema se reduce a conseguir aquellos n´ umeros tartamudos menores que 3,300,000 que son divisibles por 33. Los n´ umeros tartamudos menores que 3,300,000 son 1,111,111; 111,111; 11,111; 1,111; 111; 11 y 1. Los u ´nicos de la lista que son divisibles por 3 son 111,111 y 111 y, entre estos dos, el u ´nico que es divisible por 11 es 111,111. Por lo tanto, el u ´nico entero positivo que es menor que 100,000 y que al multiplicarlo por 33 se obtiene un n´ umero tartamudo es el 3367 (3367 ∗ 33 = 111, 111).

13. Si escogemos una casilla negra en particular, tenemos que rechazar las casillas blancas que se encuentren en la misma fila y en la misma columna, quedando as´ı, 24 casillas blancas que se pueden escoger. En el siguiente diagrama, se muestran dos casillas negras y las respectivas casillas blancas que se pueden escoger:

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Como hay 32 casillas negras, el n´ umero de formas en que se pueden escoger una casilla blanca y una negra de tal forma que las dos no esten en la misma fila ni en la misma columna es 32 ∗ 24 = 768.

14. Manipulando la ecuaci´on original esta toma la forma (n2 + n)(n2 + 5n + 6) = (1812 − 1) y si factorizamos; tenemos n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = (181 − 1)(181 + 1). Factorizando una vez mas, n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = 23 ∗ 32 ∗ 5 ∗ 7 ∗ 13. El problema se reduce a encontrar cuatro enteros consecutivos cuyo producto concuerde con el lado derecho de la ecuaci´on. Podemos empezar con el caso en que 13 es el entero menor. Los enteros ser´ıan 13, 14 = 2 ∗ 7, 15 = 3 ∗ 5 y 16. Observamos que nos sobra 22 ∗ 3 que no alcanza para formar el 16, as´ı que descartamos esta posibilidad.

Si consideramos los enteros 12 = 22 ∗ 3, 13, 14 = 2 ∗ 7 y 15 = 3 ∗ 5 y realizamos el producto, notamos que los factores coinciden exactamentemente con el lado derecho de la ecuaci´on. Inspeccionando los otros casos posibles se concluye que esta lista es la u ´nica posible. Como n = 12 y (n + 3) = 15, n(n + 3) = 12 ∗ 15 = 180.

15. Sea r el radio del c´ırculo menor, R el radio del c´ırculo mayor y c la medida de una cuerda de la circunferencia mayor que es tangente a la circunferencia menor. Considere el siguiente diagrama en donde se han dibujado las dos circunferencias, una cuerda de la circunferencia mayor tangente a la circunferencia menor y un radio de cada c´ırculo que interseca dicha cuerda:

La mitad de la cuerda y los dos radios forman un tri´angulo rect´angulo y si aplicamos el Teorema de Pit´agoras: r2 + ( 2c )2 = R2 . √ Resolviendo para c tenemos c = 2 R2 − r2 . Note que seg´ un el 25π 25 2 2 2 2 2 problema, πR − πr = 2 as´ı que (R − r ) = 2 cm . Sustiq √ 2 cm. tuyendo en la expresi´on para c, c = 2 25 = 5 2 59

´ OLIMPIADA DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2008 EXAMEN NIVEL I(4to, 5to y 6to grado) 1. Hay tres lugares que ocupar en la fila. Hay 3 posibilidades para llenar el primer espacio y luego de hacerlo, quedan dos posibilidades para llenar el segundo. Luego de llenar el segundo, solamente quedar´ıa una posibilidad para llenar el tercer espacio. El n´ umero de formas en que se pueden colocar para tomarse la foto es 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6.

2. Sea x en primer n´ umero impar. El segundo y tercer n´ umero impar est´an dados por x + 2 y x + 4, respectivamente. Tenemos que x + (x + 2) + (x + 4) = 3x + 6 = 27. Resolviendo, tenemos que x = 7.

3. Observe que la cantidad de n´ umeros que se necesitan formar debe ser un factor de 5, ya que esta es la u ´nica forma en que la suma de los miembros de una colecci´on de n´ umeros cuyo d´ıgito de las unidades es 8 termine en 0. Como tenemos solamente 8 ochos, la cantidad de n´ umeros que se necesitan formar es 5. As´ı que tenemos 5 de los 8 ochos comprometidos para formar 5 n´ umeros, tenemos que analizar en donde van los 3 ochos que nos sobran. Existen 3 listas de 5 n´ umeros a considerar: (88,88,88,8,8), (888,88,8,8,8) y (8888,8,8,8,8). De estas, la u ´nica que satisface las condiciones del problema es la segunda, pues 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000.

4. Como el tri´angulo ABC es equil´atero y su per´ımetro es 18 cms, AC = CB = AB = 6 cm y como CD = AC, CD = 6 cms. Ahora, note que como el per´ımetro del cuadril´atero ACDE es 20 cms y CD = AC = 6 cms, DE + EA = 20 − 6 − 6 = 8 cms. Por lo tanto, el per´ımetro de ABCDE es 6 + 6 + 6 + 8 = 26 cms.

5. Suponga que Juli´an pinta de rojo la franja superior. Como no quiere pintar la del centro ni de blanco ni de negro, puede escoger entre 5 colores para pintar esta franja; mientras que para la franja inferior le quedar´ıan 6 colores para pintarla. Por lo tanto, Juli´an puede obtener 1 ∗ 5 ∗ 6 = 30 banderas distintas con la franja 60

superior roja. Suponga ahora que Juli´an pinta la franja del medio roja. Tiene 7 colores entre los cuales puede escoger para la franja superior y 6 colores entre los cuales puede escoger para la franja inferior, as´ı que el n´ umero de banderas distintas con la franja del medio roja es 7 ∗ 1 ∗ 6 = 42. Finalmente, el an´alisis para el caso en que pinte la franja inferior de color rojo es similar al primer caso, de donde se obtienen 30 banderas distintas adicionales. El n´ umero total de banderas distintas es 30 + 42 + 30 = 102.

6. Observe que en el tiempo en que el perro da dos saltos, este ha recorrido 2∗2 = 4 pies. En este mismo periodo, el gato ha recorrido 1 ∗ 3 = 3 pies. De esta forma, la distancia de la casa a la que se encuentra el perro luego de x de estos periodos est´a dada por 4x. Similarmente, la distancia de la casa a la que se encuentra el gato luego de x de dichos periodos es 30 + 3x. Queremos que 4x = 30 + 3x y si resolvemos, x = 30, lo que significa que el perro alcanzar´a al gato a 4(30) = 30 + 3(30) = 120 pies de la casa.

7. Considere el siguiente diagrama en donde se ha rotulado cada v´ertice con una variable:

Sea z la suma de los n´ umeros que hay en cada uno de los v´ertices de una cara. Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: a+b+c+d=z a+c+g+e=z e+f +g+h=z b+d+f +h=z a+b+e+f =z c+d+g+h=z 61

Sumando las 6 ecuaciones y simplificando, tenemos 3(a + b + c + d + e + f + g + h) = 6z Como a + b + c + d + e + f + g + h = 36, z = 18, en otras palabras; la suma de los n´ umeros que aparecen en los v´ertices de cada cara tiene que ser 18. Observe ahora, que podemos formar 4 parejas de n´ umeros cuya suma es 9: 1 + 8 = 2 + 7 = 3 + 6 = 4 + 5 = 9.

Si desarrollamos una estrategia adecuada de tal forma que dada una cara en particular, tengamos dos de estas parejas ocupando los v´ertices (2 ∗ 9 = 18), habremos terminado. Coloquemos al 1 y al 8 en los v´ertices que se muestran:

Note que, en particular, la suma de los n´ umeros que vamos a colocar en la cara superior debe ser 18. Como ya colocamos al 1, debemos escoger 3 n´ umeros cuya suma sea 17. Con los n´ umeros que nos quedan, la u ´nica alternativa es utilizar al 4, 6 y 7. Una forma de colocarlos es la siguiente:

Finalmente, rotulamos los v´ertices de la cara inferior que no han sido ocupados de la siguiente manera: dado un v´ertice en particular, miramos el n´ umero del v´ertice que se encuentra justamente arriba y escribimos el n´ umero que al sumarle a este, nos da como resultado 9.

62

Realizando esto, nos queda:

Con esta estrategia, tenemos varias formas de colocar los n´ umeros, en otras palabras; la soluci´on no es u ´nica.

8. Si 360◦ equivalen a 100% del pastel, 15% equivale a

360◦ ∗15 100

= 54◦ .

9. Para escribir los n´ umeros impares entre 1000 y 1099 se necesitan 55 d´ıgitos 0. Por otro lado, para escribir los n´ umeros impares del 1100 al 1199, 1200 al 1299, 1300 al 1399, 1400 al 1499, 1500 al 1599, 1600 al 1699, 1700 al 1799, 1800 al 1899 y 1900 al 1999, se necesitan 5 d´ıgitos 0 respectivamente. Finalmente, para escribir los n´ umeros impares del 2000 al 2008 se necesitan 8 d´ıgitos 0. Es por esto que Juan escribi´o 55 + 9(5) + 8 = 108 veces el d´ıgito 0.

10. An´a est´a sola en 8 fotos, Camilo est´a solo en 10 fotos y Mar´ıa siempre est´a sola en las fotos. Como Ana sale en 19 fotos en total, significa que sale en 19 − 8 = 11 fotos con Camilo. Por lo tanto, Mar´ıa sale en 35 − 8 − 10 − 11 = 6 fotos.

63

´ OLIMPIADA DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2008 EXAMEN NIVEL II(7mo al 12mo grado) 1. Sea x el n´ umero de p´aginas que tiene el libro. Adem´as, sean m, a y l el n´ umero de d´ıas adicionales al primero que le tom´o a Mar´ıa, Ana y a Luis terminar de leerlo, respectivamente. Seg´ un el problema, x = 7 + 10m = 2 + 11a = 5 + 9l. Como x es un entero tal que 0 < x < 300, tenemos que los enteros m y l son tales que 1 ≤ m ≤ 29 y 1 ≤ l ≤ 27. Sustituyendo cada uno de los posibles valores para m y l en las expresiones para x correspondientes, nos damos cuenta que los u ´nicos posibles valores para x que aparecen repetidos son 167 (m = 16 y l = 15) y 277 (m = 27 y l = 25).

Observando la expresi´on x = 5+9l nos damos cuenta que al dividir el valor de x por 9, el residuo es 5. Como esto s´olo se cumple para 167, descartamos la otra posibilidad.

2. Javier tiene a escoger entre 6 letras y 5 d´ıgitos para formar la letra (en clave que posee la siguiente estructura: letra donde los espacios del medio deben ser ocupados por una letra y tres d´ıgitos). Observe que tenemos 10 formas de escoger los tres d´ıgitos que utilizaremos para la parte del medio de la clave. Los 10 conjuntos son: {1, 3, 5}, {1, 3, 7}, {1, 3, 9}, {1, 5, 7}, {1, 5, 9}, {1, 7, 9}, {3, 5, 7}, {3, 5, 9}, {3, 7, 9} y {5, 7, 9}. Note que como los d´ıgitos deben ponerse en forma creciente o decreciente, existen 2 “´ordenes” asociados a cada uno de los conjuntos (por ejemplo, considere el conjunto {1, 3, 5}, podemos escribirlos como 1-3-5 o como 5-3-1), elev´andose a 2 ∗ 10 = 20 las formas en escribir los d´ıgitos en la parte del medio de la clave. Considere el caso en que Javier pone una letra en el segundo espacio (de izquierda a derecha): tiene 6 posibilidades para llenar el primer espacio, 5 posibilidades para llenar el segundo, 4 posibilidades para llenar el u ´ltimo y 20 posibilidades (los d´ıgitos) para llenar los tres espacios restantes. El n´ umero de posibles claves de este estilo es 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 20 = 2400. Estudiando el caso en donde Javier pone una letra en el tercer espacio, el caso en donde pone una letra en el cuarto espacio y el caso en donde pone una letra en el quinto; nos damos cuenta que existen tambi´en 2400 claves adicionales para 64

cada uno de estos. Por lo tanto, Javier puede armar la clave en 4 ∗ 2400 = 9600 formas distintas.

3. Sea x la distancia recorrida en la primera hora. Seg´ un el problema, 2 la hormiga recorre una distancia de ( 3 )x en el segundo periodo de una hora y ( 23 )( 32 )x = ( 49 )x en el tercer periodo de una hora.

Adem´as, x + ( 23 x) + ( 49 )x = 76 y resolviendo, x = 36 cms.

4. Considere el siguiente diagrama:

Observe que como el ´angulo BOC y el ´angulo COA forman un ´angulo llano, ∠BOC = 144◦ . Adem´as, como el segmento OB y el segmento OC corresponden cada uno a un radio del c´ırculo; los respectivos ´angulos que los sostienen miden lo mismo. Sea x la medida del ´angulo CBO y considere la ecuaci´on x + x + 144◦ = 180◦ . Resolviendo, obtenemos x = 18◦ , as´ı que la medida del ´angulo CBO es 18◦ .

5. Sea x el n´ umero de ni˜ nos, n el n´ umero de ni˜ nas, z la suma de las edades de todos los ni˜ nos y ni˜ nas, r la suma de las edades de los ni˜ nos y s la suma de las edades de las ni˜ nas. Seg´ un el problema: r z x + n = 40, 40 = 7.4 (z = 296), x = 8 (r = 8x) y ns = 7 (s = 7n).

Adem´as, tenemos que z = r + s y si sustitumos las expresiones correspondientes: 296 = 8x+7n. Si multiplicamos por 7 en ambos lados de la ecuaci´on x + n = 40 y restamos la ecuaci´on resultante de la ecuaci´on anterior, obtenemos x = 16. Sustituyendo ahora este valor en la ecuacion x + n = 40 y resolviendo, obtenemos n = 24. Por lo tanto, hab´ıa 16 ni˜ nos y 24 ni˜ nas.

6. Contemos aquellos n´ umeros de cuatro d´ıgitos que tienen exactamente un d´ıgito 1 y un d´ıgito 0. Todo n´ umero que tenga esta propiedad, tiene que ser de uno de los siguientes 9 estilos: 10 , 65

1 0 , 1 0, 10 , 1 0, 01 , 10, 0 1 ´o 01. Cada uno de los espacios en blanco puede ser llenado de 8 formas distintas, as´ı que la cantidad de n´ umeros de cuatro d´ıgitos con exactamente un d´ıgito 1 y un d´ıgito 0 es 9 ∗ 8 ∗ 8 = 576. Similarmente, podemos realizar conteos para los dem´as casos.

En la siguiente tabla resumimos los resultados: Cantidad d´ıgitos 1 Cantidad d´ıgitos 0 N´ umeros 1 1 576 1 2 48 1 3 1 2 1 72 2 2 3 3 1 3 Por lo tanto, existen 576 + 48 + 1 + 72 + 3 + 3 = 703 n´ umeros de 4 d´ıgitos que tienen por lo menos un d´ıgito 1 y un d´ıgito 0.

7. Observe que 40 solamente puede ser expresado como la suma de tres cuadrados perfectos de la siguiente forma: 40 = 0 + 4 + 36.

Esto nos produce un conjunto de sistemas de ecuaciones:

x+y+z =a x+y−z =b x−y+z =c Note que a 6= b 6= c y a 6= c, a = 0, 2 o 6, b = 0, ±2 o ±6 y c = 0, ±2 o ±6. Si a = 0, no tenemos soluci´on no negativa ya que x+y +z = 0 implica que por lo menos una de las variables es negativa (las tres variables no pueden ser igual a 0 simult´aneamente). Si a 6= 0, tenemos que b = 0 o c = 0 y note que en ambos casos al sumar las u ´ltimas dos ecuaciones del sistema; obtenemos 2x = (b + c).

Resolviendo, x = b+c . Si b = 0, c no puede ser negativa pues x 2 lo ser´ıa tambi´en, as´ı que descartamos este caso. Similarmente, se 66

descarta la posibilidad de que b sea negativa. Resumiendo estos resultados, hemos disminuido significativamente la cantidad de sistemas de ecuaciones a inspeccionar a 4, pues ahora a = 2 o 6, b = 0, 2 o 6 y c = 0, 2 o 6. El caso en que a = 2, los dos sistemas de ecuaciones asociados no producen soluciones no negativas, mientras que los dos sistemas de ecuaciones asociados al caso en que a = 6 producen (1, 2, 3) y (1, 3, 2) (el primer n´ umero de cada terna es el valor de x, el segundo el valor de y y el tercero el valor de z).

8. Considere el siguiente diagrama en donde, adem´as de utilizar la informaci´on dada por el problema, hemos trazado el segmento OD:

Aplicando el Teorema de Pit´agoras en el tri´angulo OT D: OD2 = OT 2 + 12 . Manipulando la ecuaci´on obtenemos 1 = OD2 − OT 2 y factorizando: 1 = (OD + P T )(OD − OT ). Observe que OD = AO y al sustituir en la u ´ltima ecuaci´on tenemos que 1 = (AO + OT )(AO −OT ). Finalmente, como (AO +OT ) = AT , AT ∗(AO − OT ) = 1.

9. Sean a y b las medidas de los catetos. Por el Teorema de Pit´agoras, tenemos a2 + b2 = 2006. Observe que la operaci´on “cuadrar” conserva paridad, es decir, el cuadrado de un n´ umero par es par y el cuadrado de un n´ umero impar es impar. Adem´as, la u ´nica forma de que la suma de dos n´ umeros sea par, es que ambos sean pares o que ambos sean impares. Considere el caso en que a y b sean pares. Esto significa que para alg´ un k y alg´ un l (enteros) se pueden escribir de la siguiente forma: a = 2k, b = 2l. Sustituyendo, (2k)2 + (2l)2 = 4(k 2 + l2 ) = 2006. Como la expresi´on 67

que est´a dentro del par´entesis es un entero, la ecuaci´on nos est´a diciendo que 2006 es divisible por 4; pero como esto es falso significa que este caso no produce soluci´on. Suponga ahora que a y b son impares. Recuerde que todo n´ umero impar deja residuo 1 o residuo 3 al ser dividido entre 4. Debido a esto, tenemos 3 casos a considerar: a y b dejan residuo 1 al ser divididos entre 4, a y b dejan residuo 3 al ser divididos entre 4 o uno deja residuo 1 y el otro deja residuo 3 al ser divididos entre 4. Suponga que ambos dejan residuo 1. Podemos escribir a = 4k + 1 y b = 4l + 1 y sustituyendo en la ecuaci´on asociada al Teorema de Pit´agoras: (4k + 1)2 + (4l + 1)2 = 2006. Expandiendo y factorizando, tenemos 8(2(k 2 + l2 ) + k + l) = 2004, lo cual es una contradicci´on ya que 8 no divide a 2004; significando que este caso no produce soluciones.

Suponga ahora que a y b dejan residuo 3 al ser divididos entre 4.

Tenemos a = 4k + 3 y b = 4l + 3. Luego de sustituir como en el caso anterior y manipular adecuadamente la ecuaci´on resultante, obtenemos: 8(2(k 2 + l2 ) + 3(k + l)) = 1988. Nuevamente llegamos a una contradicci´on. Finalmente, suponga que uno deja residuo 1 y el otro deja residuo 3 al ser divididos entre 4. Considere, sin p´erdida de generalidad, que a = 4k + 1 y b = 4l + 3. Realizando lo mismo que para los casos anteriores, llegaremos a la ecuaci´on 8(2(k 2 + l2 ) + k + 3l) = 1996, obteniendo nuevamente una contradicci´on. Por lo tanto, no existe ning´ un tri´ √angulo con catetos de longitud entera e hipotenusa de longitud 2006. √ 10. Considere la desigualdad original √x+6−8 √x−2 ≤ 6 − x + 1. Note que el dominio de la expresi´on, es decir los valores posibles para x, son todas las x reales tales que x ≥ 2. Si racionalizamos el lado izquierdo, tenemos: √ √ √ 8( x + 6 + x − 2) ≤6− x+1 (x + 6) − (x − 2) Luego de combinar t´erminos semejantes, cancelar factores y sumar √ x + 1 en ambos lados: √

x+6+

√

x−2+

√

x+1≤6

El dominio de esta expresi´on es nuevamente todas las x reales tales 68

que x ≥ 2. Observe que la expresi´on de la izquierda es creciente en todo el dominio y si la evaluamos en x = 3: √

x+6+

√

x−2+

√

x+1=

√

9+

√

1+

√

4=6

Es por esto que las soluciones de la desigualdad original son todas las x reales tales que 2 ≤ x ≤ 3.

69

´ OLIMPIADAS DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO ´ EXAMEN DE SELECCION 1. Por inspecci´on, nos damos cuenta que para el n´ umero 18 s´olo existe un n´ umero que sumado a este, el resultado nos da un cuadrado perfecto: el 7. Esto significa que el 18 tiene que escribirse en uno de los extremos del rect´angulo 1x25. Adem´as, para cada uno de los siguientes n´ umeros, existen exactamente dos n´ umeros que satisfacen la condici´on necesaria (esto es, que la suma sea un cuadrado perfecto, por ejemplo; para el 8 tenemos al 1 y al 17): 8, 9, 10, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23 y 25. Aprovechando estos datos, podemos formar las siguientes sucesiones: 1-8-17-19-6-10-15-21-4 3-22-14 2-23-13 11-25-24 5-20-16-9-7-18 En estas, hemos utilizado todos los enteros de la lista, con excepci´on del 12. Para terminar, tenemos que escribir las 5 sucesiones (a˜ nadiendo el n´ umero 12) una detr´as de la otra, respetando la condici´on del problema. En la siguiente tabla, mostramos los n´ umeros que sumados a cada uno de los n´ umeros que se encuentran en los extremos de las sucesiones (a˜ nadiendo el 12), producen un cuadrado perfecto:

70

N´ umero escrito en extremo N´ umeros que sumados al original producen cuadrado perfecto 1 3,24 4 5,12 3 1,13 14 2,11 2 14 13 3,12 11 5,14 24 1,12 5 4,11 12 4,13,24 Observe que el 2 solo puede ir al lado del 14. Esto nos obliga a escribir el 11 al lado del 5, mientras que el 4 tiene que se escrito al lado del 12. Las sucesiones quedan de la siguiente forma: 1-8-17-19-6-10-15-21-4-12 24-25-11-5-20-16-9-7-18 3-22-14-2-23-13 Finalmente, si escribimos el 1 al lado del 24 y el 13 al lado del 12, tendr´ıamos una de las distribuciones posibles: 3-22-14-2-23-13-12-4-21-15-10-6-19-17-8-1-24-25-11-5-20-16-9-7-18 umeros que se forman (si ab = 23, 2. Denote por ab, cd y ef los tres n´ por ejemplo, a = 2 y b = 3). Considere la suma de estos: ab + cd + ef = (10a+b)+(10c+d)+(10e+f ) = 10(a+c+e)+(b+d+f ). El problema se reduce a determinar los posibles valores para (a+c+e) y los correspondientes valores para (b + d + f ) y estudiar las sumas obtenidas. Note que (a + b + c + d + e + f ) siempre es 21 y que la suma de tres n´ umeros distintos escogidos al azar entre 1, 2, 3, 4, 5 y 6 es mayor o igual que 6; pero menor o igual que 15 (en donde cualquier entero que se encuentre en este intervalo puede ser obtenido). Teniendo en cuenta estos datos, podemos concluir que para cada posible valor de (a + c + e) existe exactamente un valor correspondiente para (b + d + f ). Existen 10 casos a considerar, los resultados est´an resumidos en la siguiente tabla: 71

(a + c + e) (b + d + f ) 10(a + c + e) + (b + d + f ) 6 15 75 7 14 84 8 13 93 9 12 102 10 11 111 11 10 120 12 9 129 13 8 138 14 7 147 15 6 156 Por lo tanto, se pueden obtener 10 resultados distintos siguiendo las instrucciones del problema.

3. Demostraremos el resultado por contradicci´on. Suponga que al final, 10 piedras fueron extra´ıdas, ningunas 3 sucesivas fueron del mismo color y que la quinta y sexta piedra son del mismo color.

Tenemos que considerar dos casos: cuando la quinta y sexta piedra son azules y cuando la quinta y sexta piedra son rojas. Consideremos el primer caso. Denotemos por a una piedra de color azul, por r una de color rojo y por x una piedra cuyo color ser´a determinado. Como la quinta y sexta piedra (de izquierda a derecha) son azules, tenemos xxxxaaxxxx. Ahora, como no hay 3 piedras sucesivas del mismo color, la cuarta y s´eptima piedra tienen que ser rojas: xxxraarxxx. Tomando, nuevamente, en cuenta el hecho de que no hay 3 piedras sucesivas del mismo color; llegamos a la conclusi´on de que las u ´nicas posibilidades para los colores de las primeras 3 piedras son: aar, rar, raa y rra. Similarmente, las u ´nicas posibilidades para los colores de las u ´ltimas 3 piedras son: raa, rar, aar y arr. Como 5 piedras tienen que ser rojas y 5 tienen que ser azules, existen 8 posibles arreglos que satisfacen esta condici´on: aarraarrar, aarraararr, rarraarraa, rarraaraar, raaraarrar, raarraaraar, rraraarraa y rraraararr.

Sin embargo, tenemos que descartar todos estos arreglos, pues el primero, segundo, quinto y sexto ten´ıan que detenerse al sacar la cuarta piedra (en cada uno de estos casos tendr´ıamos 2 piedras ro72

jas y dos azules); mientras que el tercero, cuarto, s´eptimo y octavo ten´ıan que detenerse al sacar la sexta piedra. Por lo tanto, si la quinta y sexta piedra son azules; no se pueden cumplir las condiciones del problema. Similarmente, para el caso en que suponemos que la quinta y sexta piedra fueron rojas, llegamos a una contradicci´on del mismo tipo. Por lo tanto, si al final del juego se extraen 10 piedras y ninguna 3 consecutivas son del mismo color, entonces la quinta y sexta son de distintos colores. Por ejemplo, aaraarrarr es un arreglo en donde las condiciones del problema se cumplen y la quinta y sexta piedra son de distinto color.

4. Sean a, b y c la medida de los lados del tri´angulo, las cuales satisfacen a + b − c = 2 y 2ab − c2 = 4. Tenemos que (a + b − c)2 = 22 = 4 = 2ab − c2 , o sea, (a + b − c)2 = 2ab − c2 . Expandiendo el lado izquierdo, (a2 + 2ab − 2ac − 2bc + b2 + c2 ) = (2ab − c2 ).

Restando 2ab a ambos lados y manipulando los t´erminos de la ecuaci´on resultante tenemos que (b2 − 2bc + c2 ) = (−a2 + 2ac − c2 ).

Factorizando, (b − c)2 = −((a − c)2 ) y como cualquier n´ umero elevado al cuadrado es 0 o positivo; la u ´nica forma de que la ecuaci´on se cumpla es que (b − c) = (a − c) = 0. Por lo tanto, a = b = c, lo que significa que el tri´angulo es equil´atero.

5. Demostraremos primero un resultado que ser´a utilizado para obtener las medidas de los ´angulos que nos pide el problema. Sean w, x, y y z enteros positivos tales que x < z y y > w. Si xy = zw y x + y = z + w, entonces y = z y x = w. Demostraci´on: Suponga que las hip´otesis se cumplen y considere x + y = z + w.

Multiplicando por yz a ambos lados de la ecuaci´on y expandiendo, tenemos (xy)z + y 2 z = yz 2 + y(zw). Como xy = zw, podemos reemplazar en esta ecuaci´on para obtener z 2 w + y 2 z = yz 2 + xy 2 .

Factorizando, tenemos que y 2 (z − x) = z 2 (y − w). Ahora, de la segunda ecuaci´on de la hip´otesis tenemos que z − x = y − w.

Reemplazando, y 2 (z − x) = z 2 (z − x) y como (z − x) 6= 0 (x < z) podemos dividir en ambos lados para obetener y 2 = z 2 . De esta ecuaci´on, tenemos que y = z y, finalmente; x = w.

Regresando al problema original, sea α la medida del ´angulo ACB y del ´angulo ABD. Considere el siguiente diagrama: 73

Note que como los tri´angulos ABD y ECD son similares, tenemos AD que ED = BD , de donde se obtiene que AD ∗ CD = BD ∗ ED. CD Tambi´en, AD + CD = AC y como seg´ un el problema, AC = BD + DE; tenemos que AD + CD = BD + DE. Observe que AD < BD (AD es cateto del tri´angulo rect´angulo ABD y BD es la hipotenusa) y que DE < CD (argumento similar, usando tri´angulo rect´angulo DEC). Analizando todos estos datos, nos damos cuenta que se cumplen las condiciones del resultado demostrado al principio, por lo tanto; AD = DE y BD = CD. Esto implica que los tri´angulos rect´angulos ABD y EBD son congruentes y que, en particular, ∠ABD = ∠EBD = α. Finalmente, tenemos 2α + α = 90◦ y resolviendo; α = 30◦ . Esto implica que ∠ACB = 30◦ y ∠ABC = 60◦ .

6. Sea n un n´ umero compuesto natural. Observe que este puede ser escrito de la forma n = a ∗ b, en donde a y b son enteros y a, b > 1.

Considere a ∗ b( a1 + 1b ). Simplificando esta expresi´on, nos damos cuenta que es igual a (a + b), lo cual satisface las condiciones del problema.

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