Librito OMPR 2009-2010

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Publicaciones AFAMaC

OMPR Olimpiadas de Matem´ aticas de Puerto Rico 2009-2010 C´ esar A. Barreto Luis F. C´ aceres Arturo Portnoy Gabriel D. Uribe Departamento de Ciencias Matem´ aticas Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayag¨ uez

Este Material Educativo es para ser distribuido de forma gratuita exclusivamente. Su venta esta estrictamente prohibida.

This educational material is to be distributed free of cost only. Its sale or resale is strictly prohibited.

Primera Edici´ on, 2010 c Derechos ⃝AFAMaC Director: Dr. Luis F. C´ aceres

Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida ni retransmitida por ning´ un medio, electr´ onico, mec´ anico, fotocopiado, grabado u otro, excepto con el permiso previo por escrito de AFAMaC. Esta producci´ on ha sido subvencionada por el proyecto AFAMaC mediante proyectos del Departamento de Educaci´ on Puerto Rico. Contrato #2010-AF-0226

Departamento de Ciencias Matem´ aticas Universidad de Puerto Rico, Recinto Universitario de Mayag¨ uez Impreso y hecho en Puerto Rico

ii

Pr´ ologo Nuevamente tenemos el gusto de generar una publicaci´on que recoge una a una las pruebas que enfrentaron los estudiantes de la Isla en cada fase de la Olimpiada Matem´atica de Puerto Rico 2009-2010. Nuestro objetivo es fomentar el estudio de las matem´aticas y lograr cada vez m´as que los estudiantes de escuelas p´ ublicas y privadas se interesen en demostrar sus niveles intelectuales. Con el paso de cada fase se va reduciendo el n´ umero de participantes, hasta llegar al final con la selecci´on de los diferentes equipos que representar´an a Puerto Rico en las diferentes Olimpiadas Internacionales. Este a˜ no, Puerto Rico tuvo la oportunidad de ser la sede de la Olimpiada de Matem´aticas de Centroam´erica y del Caribe, dejando muy en alto el nombre de Puerto Rico y demostrando una vez m´as que Puerto Rico lo hace mejor. Esperamos que este libro sea una gu´ıa para que los estudiantes se sigan preparando para las competencias y puedan llegar a ser parte de los equipos que representan al pa´ıs internacionalmente. Esto es un proceso completo que requiere preparaci´on y compromiso. Tal es el caso de George Arzeno, el cual tuvo una preparaci´on de varios a˜ nos, que fue recompensada con la primera medalla de oro obtenida por Puerto Rico en la Olimpiada Internacional de Matem´aticas 2010 (IMO) en su versi´on 51, la cual se disput´o en Astan´a capital de Kazajist´an. Por u ´ltimo agradecemos a todas las personas que de una u otra forma contribuyen para la realizaci´on de estas olimpiadas; en especial a los padres y maestros que ven en sus hijos y estudiantes un futuro prometedor para nuestra Isla, deseamos que nos sigan apoyando en la motivaci´on de estos estudiantes. Unidos, lograremos el objetivo de ver a nuestros estudiantes entre los m´as talentosos del mundo entero.

iii

AFAMaC Alianza para el Fortalecimiento del Aprendizaje de las Ciencias y las Matem´aticas. Este proyecto est´ a subvencionado por el Departamento de Educaci´ on de Puerto Rico y es realizado en el Departamento de Ciencias Matem´ aticas del Recinto Universitario de Mayag¨ uez de la Universidad de Puerto Rico.

iv

Tabla de Contenido

P´agina Examen de Primera Fase: Nivel Elemental Examen de Primera Fase: Nivel Intermedio Examen de Primera Fase: Nivel Superior Examen de Segunda Fase: Nivel Elemental Examen de Segunda Fase: Nivel Intermedio Examen de Segunda Fase: Nivel Superior Olimpiada de Matem´aticas de Puerto Rico: Nivel Elemental Olimpiada de Matem´aticas de Puerto Rico: Nivel Intermedio Olimpiada de Matem´aticas de Puerto Rico: Nivel Superior Examen de Selecci´on Soluciones al Examen de Primera Fase: Nivel Elemental Soluciones al Examen de Primera Fase: Nivel Intermedio Soluciones al Examen de Primera Fase: Nivel Superior Soluciones al Examen de Segunda Fase: Nivel Elemental Soluciones al Examen de Segunda Fase: Nivel Intermedio Soluciones al Examen de Segunda Fase: Nivel Superior Soluciones a la Olimpiada de Matem´aticas: Nivel Elemental Soluciones a la Olimpiada de Matem´aticas: Nivel Intermedio Soluciones a la Olimpiada de Matem´aticas: Nivel Superior Soluciones al Examen de Selecci´on

5

6 13 20 25 29 33 37 39 41 43 44 52 60 72 78 84 93 97 102 107

COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Primera Fase 2009-2010 EXAMEN NIVEL ELEMENTAL(4to, 5to y 6to) 1. ¿Cu´antos cuadrados se pueden formar al unir con segmentos los puntos de la figura?

a. 2

d. 6

b. 3

e. 7

c. 4 2. Se eligen tres n´ umeros del tablero de forma que todos pertenezcan a filas distintas y columnas distintas y se suman los tres n´ umeros. ¿C´ ual es la mayor suma que se puede obtener? 1 4 7

2 5 8

3 6 9

a. 12

d. 21

b. 15

e. 24

c. 18 3. ¿C´ uantas caras tiene el s´olido de la figura?

6

a. 3

d. 8

b. 5

e. 12

c. 6 4. Juan tir´o un dado cuatro veces y obtuvo un total de 23 puntos. ¿C´ uantas veces obtuvo el n´ umero 6? a. 4

d. 1

b. 3

e. no se puede saber

c. 2 5. Mar´ıa quiere colorear los v´ertices de un cubo de tal manera que dos v´ertices unidos por un eje tengan colores diferentes. ¿C´ ual es el m´ınimo n´ umero de colores que Mar´ıa necesita?

a. 1

d. 4

b. 2

e. 5

c. 3 6. Dos corredores comienzan a correr al mismo tiempo en la misma direcci´on. El primero corre a 576 cent´ımetros por segundo y el otro corre a 680 cent´ımetros por segundo. ¿C´ ual es la distancia entre ellos despu´es de 9 segundos? a. 104cm

d. 963cm

b. 832cm

e. 1256cm

c. 936cm 7

7. Hay tres cajas: una blanca, una roja y una verde. Una de ellas contiene una barra de chocolate, otra contiene una manzana y la otra est´a vac´Ĺa. Encontrar el chocolate sabiendo que la manzana no est´a en la caja blanca ni en la caja verde y el chocolate est´a en la caja blanca o en la caja roja. a. blanca

d. roja o verde

b. roja

e. no se puede saber

c. verde 8. El cuadril´atero đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ tiene lados đ??´đ??ľ = 11, đ??ľđ??ś = 7, đ??śđ??ˇ = 9 y đ??ˇđ??´ = 3, y tiene a´ngulos rectos en đ??´ y en đ??ś. El ´area del cuadril´atero es: C

D

B

A

a. 30

d. 52

b. 44

e. 60

c. 48 9. 1 jugo, 3 s´andwiches y 7 chocolates cuestan $3,30. 1 jugo, 4 s´andwiches y 10 chocolates cuestan $4,10. ¿Cu´anto costar´a 1 jugo, 1 s´andwich y 1 chocolate? a. $1.70

d. $2.00

b. $1.80

e. no se puede saber

c. $1.90 10. Quince niËœ nos est´an colocados en una circunferencia. Todos ellos utilizan sombreros. El primer sombrero es rojo, el segundo blanco, el tercero azul, el cuarto es rojo, el quinto blanco, el sexto azul y as´Ĺ sucesivamente. Juanita que tiene sombrero marr´on quiere entrar en el c´Ĺrculo pero no quiere colocarse al lado de alguien que tenga sombrero blanco. ÂżEn cu´antos lugares puede colocarse Juanita? 8

a. 2

d. 10

b. 4

e. 15

c. 5 11. En una reuni´on de comunidad de un barrio, cada una de las 125 personas presentes recibi´o un n´ umero del 1 al 25. En un momento dado, se hicieron dos listas de personas: una con las personas que hab´Ĺan recibido un n´ umero par y una con las persona que hab´Ĺan recibido un m´ ultiplo de 3, para que participaran en dos proyectos comunitarios. Algunas personas comenzaron a reclamar que aparec´Ĺan en ambas listas. ¿C´ uantas personas aparec´Ĺan en ambas listas? a. 2

d. 41

b. 6

e. 61

c. 20 12. ¿Cu´antos n´ umeros pares de tres d´Ĺgitos tiene dos d´Ĺgitos impares? a. 20

d. 125

b. 48

e. 225

c. 100 13. La ďŹ esta de las OMPR se realiz´o el d´Ĺa 14 de junio, un s´abado del aËœ no bisiesto 2008. ÂżCu´antos aËœ nos tienen que pasar, a partir de ese momento, para que el 14 de junio sea nuevamente s´abado? a. 4

d. 7

b. 5

e. 8

c. 6 14. En el dibujo tenemos que đ??´đ??¸ = đ??ľđ??¸ = đ??śđ??¸ = đ??śđ??ˇ. Si adem´as tenemos que đ?›ź ,đ?›˝ ,đ?›ż represent´an las medidas de los ´angulos seËœ nalados đ?›ź ∘ en la ďŹ gura y đ?›ż = 20 , Âżcu´al es el valor de la raz´on đ?›˝ ? 9

C β δ

B E

Îą

D

A

a. b.

3 5 4 5

d. e.

5 4 5 3

c. 1 15. Con segmentos de 1cm de longitud podemos formar tri´angulos. Por ejemplo, con nueve segmentos podemos formar un tri´angulo equil´atero de lados de 3cm. ¿Con qu´e n´ umero de segmentos es imposible formar un tri´angulo? a. 4

d. 7

b. 5

e. 8

c. 6 16. En la siguiente multiplicaci´on, las variables đ??´, đ??ľ, đ??ś, đ??ˇ, đ??¸, đ??š, đ??ş, đ??ť, đ??ź, đ??˝ representan d´Ĺgitos. ÂżCu´anto vale la suma đ??´ + đ??ľ + đ??ś + đ??ˇ + đ??¸ + đ??š + đ??ş + đ??ť + đ??ź + đ??˝? A Ă— H 6

E I 1

B D F J 5

C 7 G 7

a. 17

d. 47

b. 27

e. 57

c. 37 10

17. Tres amigos viven en una misma calle: un m´edico, un ingeniero y un profesor. Sus nombres son Arnaldo (A), Bernardo (B) y Cernaldo (C). El m´edico es hijo u ´nico y el m´as joven de los tres amigos. Cernaldo es m´as viejo que el ingeniero y esta casado con la hermana de Arnaldo. Los nombres de el m´edico, el ingeniero y el profesor, en ese orden, son: a. A,B,C

d. B,C,A

b. C,A,B

e. B,A,C

c. A,C,B 18. Dos cartones iguales tienen la forma de un tri´angulo rect´angulo de lados de 5cm, 12cm y 13cm. Esmeralda junt´o los dos cartones como muestra la ilustraci´on y sobre un papel dibuj´o el contorno de la figura as´ı obtenida. ¿Cu´al es el per´ımetro de esta figura?

a. 28cm

d. 42cm

b. 35cm

e. 60cm

c. 41cm 19. Una urna contiene 2009 tarjetas numeradas del 1 al 2009. Suponga que se retiran dos tarjetas de la urna y se suman los n´ umeros escritos en ellas. ¿Cu´antos n´ umeros impares diferentes pueden ser obtenidos de esta manera? a. 1004

d. 2009

b. 1005

e. 4016

c. 2008 11

20. Un tri´angulo se llama Cool si las longitudes de sus lados son n´ umeros enteros y su per´ımetro es 12. ¿Cu´antos tri´angulos Cool existen? a. 2

d. 6

b. 3

e. 10

c. 4

12

COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Primera Fase 2009-2010 EXAMEN NIVEL INTERMEDIO(7mo, 8vo y 9no) 1. ¿Cu´antos cuadrados tienen como v´ertices a los puntos de la siguiente figura?

a. 6

d. 9

b. 7

e. 10

c. 8 2. Mar´ıa construye una torre con tres cubos: uno rojo, uno verde y uno azul.¿Cu´antas torres diferentes puede construir Mar´ıa? a. 3

d. 6

b. 4

e. 7

c. 5 3. Luc´ıa escribe los n´ umeros 2, 3, 4 y otro n´ umero en la tabla de la figura. Los n´ umeros de la primera columna suman 9 y la suma de los n´ umeros de la segunda columna es 6. ¿Cu´al es el n´ umero desconocido?

13

a. 4

d. 7

b. 5

e. 8

c. 6 4. Los 7 enanitos de Blanca Nieves nacieron el mismo d´ıa pero en 7 a˜ nos consecutivos, es decir que cada a˜ no naci´o uno durante 7 a˜ nos. La suma de las edades de los tres m´as j´ovenes es 42. ¿Cu´al es la suma de las edades de los tres m´as viejos? a. 48

d. 57

b. 51

e. 60

c. 54 5. En una clase hay 9 ni˜ nos y 13 ni˜ nas. Si la mitad de los estudiantes de la clase est´an resfriados, ¿al menos cu´antas ni˜ nas est´an resfriadas? a. 0

d. 3

b. 1

e. 4

c. 2 6. Si el peso total de todas las figuras de la balanza es 168. Hallar el peso del cuadrado si la balanza est´a equilibrada y no se cuenta el peso de las cuerdas.

a. 21

d. 84

b. 42

e. 168

c. 63 14

7. Mauro est´a ordenando sus CD en un armario, pero la tercera parte de ellos no cupo. Entonces tom´o los CD que no cupieron y los puso en tres cajas. Puso 7 en cada caja y todav´Ĺa le sobraron 2 que los puso sobre la mesa. ¿Cu´antos CD tiene Mauro? a. 21

d. 46

b. 23

e. 69

c. 33 8. ÂżCu´al es menor valor de đ?‘Ž que hace que đ?‘Ž Ă— 2009 sea un cuadrado perfecto? a. 7

d. 2009

b. 11

e. ninguna de las anteriores

c. 41 9. Sean đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘ n´ umeros enteros tales que đ?‘Ž < 2đ?‘?, đ?‘? < 3đ?‘?, đ?‘? < 4đ?‘‘ y đ?‘‘ < 40 . El mayor valor posible de đ?‘Ž es: a. 927

d. 959

b. 934

e. 960

c. 951 10. En el tri´angulo đ??´đ??ľđ??ś el segmento đ??´đ??ˇ es un bisector. Adem´as ∠đ??´đ??ˇđ??ś = 100∘ y ∠đ??´đ??ľđ??ś = 2∠đ??ľđ??śđ??´. Hallar ∠đ??ľđ??śđ??´. A

100 B

D

C

a. 10∘

d. 45∘

b. 20∘

e. 50∘

c. 30∘ 15

11. Nueve n´ umeros son escritos en orden creciente. El n´ umero del medio es la media aritm´etica de los 9 n´ umeros. La media aritm´etica de los cinco mayores es 68 y la media aritm´etica de los cinco menores es 44. ¿Cu´al es la suma de todos los n´ umeros? a. 56

d. 504

b. 70

e. 560

c. 112 12. ¿Cu´antos n´ umeros enteros positivos menores que 500 tienen exactamente 15 divisores enteros positivos? a. 56

d. 504

b. 70

e. 560

c. 112 13. Sea đ?‘ƒ (đ?‘›) la suma de los d´Ĺgitos pares de đ?‘›. Por ejemplo đ?‘ƒ (2134) = 2 + 4 = 6. ÂżCu´anto vale đ?‘ƒ (1) + đ?‘ƒ (2) + â‹… â‹… â‹… + đ?‘ƒ (100)? a. 200

d. 900

b. 360

e. 2250

c. 400 14. Edmundo, Carlos y Fernando ganaron $150 lavando carros. Ellos ganaron cantidades diferentes de dinero. Como son muy amigos, decidieron dividir las ganancias en partes iguales. Para esto, Edmundo dio la mitad de lo que gan´o para dividir en partes iguales entre Carlos y Fernando pero Carlos result´o con demasiado dinero y por tanto dio $10 a cada uno de los otros dos. Finalmente, para que cada uno tuviese la misma cantidad de dinero, Fernando dio a Edmundo $2. ¿Cu´anto gan´o Fernando antes de la divisi´on? a. $23

d. $76

b. $50

e. $100

c. $51 16

15. De cuantas formas podemos dividir $10 en monedas de 25 centavos y de 10 centavos de tal forma que al menos una moneda de cada valor tenga que ser utilizada? a. 15

d. 18

b. 16

e. 19

c. 17 16. Una part´Ĺcula se mueve a trav´es del primer cuadrante como se indica en la ďŹ gura. Durante el primer minuto se mueve desde el origen hasta (1, 0). A continuaci´on contin´ ua movi´endose siguiendo las direcciones indicadas en el diagrama, movi´endose una unidad de distancia cada minuto. ÂżA qu´e punto llegar´a la part´Ĺcula despu´es de exactamente 2 horas?

6

5 4

3 2

1

0

1

2

3

4

5

6

a. (0, 10)

d. (10, 0)

b. (0, 11)

e. (11, 0)

c. (10, 1) 17. En el dibujo se tiene un hex´agono con sus diagonales. El ´area del hex´agono es đ?‘†. ÂżCu´al es el a´rea del hex´agono sombreado?

17

b.

1 � 2 1 � 3

c.

1 � 4

a.

d. e.

3 đ?‘† 8 1 √ đ?‘† 6

18. Luis escribe una lista de n´ umeros. El primero es 39, y luego cada n´ umero es la suma de los cuadrados de los d´Ĺgitos del anterior. Por ejemplo, el segundo en la lista es 32 + 92 = 9 + 81 = 90, y el tercero es 92 + 02 = 81 + 0 = 81. ¿Qu´e n´ umero aparece en la posici´on 2009? a. 61

d. 89

b. 37

e. 145

c. 58 19. Un n´ umero primo se llama Loco si es un primo de un solo d´Ĺgito o un primo que tiene dos o m´as d´Ĺgitos, pero que cumple que tanto el n´ umero que se obtiene cuando se borra el primer d´Ĺgito, como cuando se borra el u ´ltimo d´Ĺgito son tambi´en Locos. ÂżCu´antos primos Locos hay? a. inďŹ nitos

d. 10

b. 8

e. 15

c. 9 20. En la ďŹ gura, los puntos đ??´, đ??ľ, đ??ś son colineales, as´Ĺ como los puntos đ??ˇ, đ??¸, đ??š . Las rectas đ??´đ??ľđ??ś y đ??ˇđ??¸đ??š son paralelas. A

B

C

A1 A2

D

A3

E

F

Siendo đ??´1, đ??´2, đ??´3 las a´reas de las regiones destacadas en la ďŹ gura, podemos aďŹ rmar que: 18

a. 𝐴2 = 2(𝐴1) = 2(𝐴3)

d. 𝐴2 < 𝐴1 + 𝐴3

b. 𝐴2 = 𝐴1 + 𝐴3

e. (𝐴2)2 = (𝐴1)(𝐴3)

c. 𝐴2 > 𝐴1 + 𝐴3

19

COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Primera Fase 2009-2010 EXAMEN NIVEL SUPERIOR(10mo, 11mo y 12mo) 1. La suma de tres n´ umeros es 80. La suma del primer n´ umero con el segundo es 60 y la suma del primer n´ umero con el tercero es 20. ¿Cu´anto es el producto de estos tres n´ umeros? a. 0

d. 160

b. 60

e. ninguna de las anteriores

c. 80 2. Juan tiene dos dados. Un dado tiene los n´ umeros del 1 al 6 y el otro tiene los n´ umeros del 3 al 8. Juan lanza ambos dados una vez. ¿Si se suman los n´ umeros de los dos dados, cu´al es el resultado que tiene mayor posibilidad de salir? a. 9

d. 12

b. 10

e. 13

c. 11 3. Si đ?‘†2008 = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − â‹… â‹… â‹… − 2008 y đ?‘†2009 = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − â‹… â‹… â‹… − 2008 + 2009, entonces đ?‘†2008 + đ?‘†2009 es: a. menor que 0

d. 2

b. 0

e. 2009

c. 1 4. ÂżPara cu´antos n´ umeros naturales đ?‘›, el n´ umero đ?‘›2 + đ?‘› es primo? a. 0

d. un n´ umero ďŹ nito pero ma-

b. 1

yor que 2

c. 2

e. un n´ umero inďŹ nito 20

5. El primer t´ermino de una sucesi´on es 20. Si un t´ermino de la sucesi´on es đ?‘Ą, y đ?‘Ą es par, el siguiente t´ermino es đ?‘Ą/2. Si un t´ermino de la sucesi´on es đ?‘Ą, y đ?‘Ą es impar, el siguiente t´ermino es 3đ?‘Ą + 1. Por lo tanto, los tres primeros t´erminos de la sucesi´on son 20, 10, 5. ÂżCu´al es el t´ermino que ocupa el lugar 2009 en la sucesi´on? a. 1

d. 4

b. 2

e. 8

c. 3 6. Una clase tiene 22 alumnos y 18 alumnas. 60 % de todos los alumnos (ambos sexos) desean ir a la ďŹ esta del pueblo. ÂżCu´al es el n´ umero m´Ĺnimo de alumnas que desea ir a la ďŹ esta del pueblo? a. 1

d. 6

b. 2

e. 8

c. 4 7. Se eligen đ?‘› n´ umeros, de 1 a 20. Ninguna pareja de los n´ umeros elegidos es tal que diďŹ eran en 5. ÂżCu´al es el m´aximo valor de đ?‘›? a. 5

d. 11

b. 6

e. 12

c. 10 đ?‘?−1

8. ÂżPara cu´antos valores enteros de p se tiene que la expresi´on 4 đ?‘?+1 es tambi´en un entero? a. 1

d. 4

b. 2

e. 5

c. 3 9. Las medidas de los lados de un rect´angulo son n´ umeros enteros. El ´area del rect´angulo es 2009 m´as que el per´Ĺmetro. ¿Cu´antos rect´angulos de esos existen? 21

a. 0

d. 5

b. 3

e. inďŹ nitos

c. 4 10. ¿Cu´antos n´ umeros de cuatro d´Ĺgitos existen que no tengan tres d´Ĺgitos consecutivos iguales? a. 8810

d. 8833

b. 8820

e. 8842

c. 8829 11. Un n´ umero entero positivo a es tal que la distancia en la recta num´erica entre đ?‘Ž y 1/đ?‘Ž es 80/9 . El valor de đ?‘Ž + 1/đ?‘Ž es: a. b. c.

9 81 9 80 81 9

d.

82 9

e. 9

12. En el tri´angulo rect´angulo đ??´đ??ľđ??ś (∠đ??ś = 90∘ ). la altura đ??śđ??ť = 1, la mediana đ??śđ?‘€ = 2. Hallar ∠đ??´. B H

M C

A

a. 10∘

d. 25∘

b. 15∘

e. 30∘

c. 20∘ 13. Pablo ha escrito 5 n´ umeros naturales en una hoja de papel y Beatriz ha escrito 8 n´ umeros naturales en otra hoja. Ninguno conoce los n´ umeros del otro. Pablo aďŹ rma que hay dos n´ umeros en la hoja 22

de Beatriz, cuya suma es divisible por 8. Beatriz aďŹ rma que hay dos n´ umeros en la hoja de Pablo, tales que, o bien su suma, o bien su diferencia, es divisible por 7. ÂżCu´al de las dos aďŹ rmaciones es necesariamente correcta? a. S´olo la de Pablo

d. Ninguna es correcta

b. S´olo la de Beatriz

e. Ambas son correctas

c. S´olo la de Pablo suponiendo que los n´ umeros de Beatriz son todos distintos 14. En la ďŹ gura se ve un rect´angulo formado por 4 ďŹ las de 7 puntos cada una. Se ha trazado la diagonal desde el v´ertice inferior izquierdo al superior derecho; hay 4 puntos sobre ella. Se hace lo mismo con un rect´angulo de 22 ďŹ las, con 36 puntos en cada una. ÂżCu´antos puntos hay en su diagonal?

a. 2

d. 6

b. 3

e. 8

c. 5 15. Siendo đ?‘Ľ = 10−2009 , elija la alternativa de mayor valor. a.

1 đ?‘Ľ

d. đ?‘Ľ

b.

1 đ?‘Ľ(đ?‘Ľ+1)

e.

c.

1 đ?‘Ľ+ đ?‘Ľ1

1 1+

1 1 1+ đ?‘Ľ

16. Un entero đ?‘› es tal que đ?‘›2đ?‘› tiene 2008 divisores m´as que đ?‘›. La suma de los d´Ĺgitos de n es: a. 5

d. 11 23

b. 7

e. 12

c. 9 17. ÂżCu´antos de los n´ umeros 2, 3, 5, 11 son divisores de 37140 − 4140 ? a. uno

d. cuatro

b. dos

e. ninguno

c. tres 18. Hallar el n´ umero de soluciones reales positivas del sistema đ?‘Ž2 = đ?‘? + 2 đ?‘?2 = đ?‘? + 2 đ?‘?2 = đ?‘Ž + 2 a. 0

d. 4

b. 1

e. 8

c. 2 19. Un n´ umero entero de cuatro d´Ĺgitos es Cangri si es m´ ultiplo de 9 y ninguno de sus d´Ĺgitos es nulo. ¿Cu´antos n´ umeros Cangri hay? a. 729

d. 1109

b. 849

e. 1284

c. 1024 20. En un tri´angulo is´osceles đ?‘ƒ đ?‘„đ?‘… con đ?‘ƒ đ?‘„ = đ?‘ƒ đ?‘… = 3 y đ?‘„đ?‘… = 2 , la recta tangente a su circunc´Ĺrculo (c´Ĺrculo que pasa por los v´ertices đ?‘ƒ, đ?‘„, đ?‘…) en el punto đ?‘„ se cruza con la prolongaci´on del lado đ?‘ƒ đ?‘… en đ?‘‹. La longitud de đ?‘…đ?‘‹ es: a. b. c.

16 5 12 5 8 3

d. e.

24

9 2 9 4

COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Segunda Fase 2009-2010 EXAMEN NIVEL ELEMENTAL (4to, 5to y 6to grado) 1. Teresita est´a esperando en la fila del banco. Ella es la n´ umero 25 contando desde el principio de la fila y la n´ umero 12 contando desde el final de la fila. ¿Cu´anta gente hay en la fila? a. 13

d. 36

b. 25

e. 37

c. 35 2. La nariz del Canguro apunta hacia la se˜ nal ∗ en la figura. ¿ En qu´e direcci´on apuntar´a la nariz si gira 630∘ en el sentido de las manecillas del reloj sin moverse del sitio donde est´a? E D

* A

C B

a. A

d. D

b. B

e. E

c. C 3. ¿Cu´antos resultados diferentes podemos obtener sumando dos n´ umeros distintos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5}? a. 6

d. 9

b. 7

e. 10

c. 8 25

4. Una vaca da 6000 litros de leche en un a˜ no. ¿Cu´anta leche dan ocho vacas en ocho a˜ nos? a. 48,000 litros

d. 368.000 litros

b. 64,000 litros

e. 384,000 litros

c. 220,000 litros 5. ¿Cu´al es el n´ umero del u ´ltimo vag´on del tren?

4

6

10

18

a. 52

d. 72

b. 64

e. 88

34

?

c. 66 6. Las amigas Anita, Luc´ıa, Juanita y Mar´ıa salen de paseo. Ellas tienen dos tiendas de campa˜ na y van a dormir dos de ellas en cada tienda. ¿Cu´antas formas diferentes tienen ellas de repartirse para dormir? a. 2

d. 8

b. 4

e. 10

c. 6 7. ¿Cu´antos m´ ultiplos de 7 hay entre 100 y 1000? a. 70

d. 140

b. 120

e. 148

c. 128 8. En cierto mes tres domingos fueron d´ıas con n´ umero par. ¿Qu´e d´ıa de la semana fue el d´ıa 20 de ese mes? 26

a. lunes

d. jueves

b. martes

e. s´abado

c. mi´ercoles 9. Si la ďŹ gura que se muestra se dobla para formar un cubo, que letra queda en la cara opuesta a đ??¸? A E

I O

U T

a. đ??´

d. đ?‘ˆ

b. đ??ź

e. �

c. đ?‘‚ 10. đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ es un rect´angulo cuya a´rea es 12 unidades cuadradas. ÂżCu´al es el ´area del trapecio đ??¸đ??š đ??ľđ??´? D

E

F

C

B

A

a. 2.5

d. 6

b. 3

e. 9

c. 4 11. Todas las esquinas de un cubo de 2 cm de lado se cortan como se indica en la ďŹ gura, a distancia de 1 cm sobre cada arista. ÂżCu´antos v´ertices tiene el s´olido as´Ĺ obtenido? 27

12. La gran atracci´on del parque es la Rueda Gigante (en la figura hay una m´as peque˜ na). Las cabinas de pasajeros est´an igualmente espaciadas y llevan los n´ umeros 1, 2, . . . En el momento en que la cabina n´ umero 25 alcanza el punto m´as bajo, la n´ umero 8 est´a en lo m´as alto. ¿Cu´antas cabinas tiene la rueda?

13. Se hacen t´ uneles que atraviesan el cubo grande en la forma indicada en la figura. ¿Cu´antos cubos peque˜ nos quedan?

14. Un d´ıa en el parque To˜ no y su hermana Nina se dieron cuenta que To˜ no tiene el mismo n´ umero de hermanos que de hermanas, pero Nina tiene el doble de hermanos que de hermanas. ¿Cu´antos hermanos y hermanas tiene To˜ no en total? 15. Si multiplicamos el n´ umero 4 por si mismo 2010 veces obtenemos un n´ umero cuyo u ´ltimo d´ıgito, es decir el d´ıgito de las unidades, es: 28

COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Segunda Fase 2009-2010 EXAMEN NIVEL INTERMEDIO (7mo, 8vo y 9no grado) 1. En la tienda de la esquina los chocolates cuestan el doble que los caramelos. Comprar tres chocolates y dos caramelos cuesta $16. ¿Cu´anto cuesta comprar dos chocolates y tres caramelos? a. $12

d. $16

b. $13

e. $17

c. $14 2. ÂżCu´al es el m´aximo n´ umero de ďŹ guras, como la ďŹ gura 1, que pueden colocarse, sin sobreponerse, en el cuadrado de la ďŹ gura 2?

Figura 2

Figura 1

a. 2

d. 5

b. 3

e. 6

c. 4 3. Si le cortas cuadraditos de 4đ?‘?đ?‘š2 de a´rea en cada esquina de un rect´angulo cuyos lados miden 15 cent´Ĺmetros de largo y 9 cent´Ĺmetros de ancho, Âżcu´al es el ´area de la ďŹ gura que te queda? a. 135đ?‘?đ?‘š2

d. 112đ?‘?đ?‘š2

b. 127đ?‘?đ?‘š2

e. 105đ?‘?đ?‘š2

c. 119đ?‘?đ?‘š2 29

4. Hace tres aËœ nos, los trillizos Pablo, Sim´on y Jos´e, y su hermana Eva, 4 aËœ nos mayor, sumaban 24 aËœ nos en total. ÂżCu´antos aËœ nos tiene hoy Eva? a. 5

d. 12

b. 8

e. 15

c. 9 5. ÂżCu´al es el menor n´ umero de piezas de rompecabezas, como la que se muestra en la ďŹ gura, necesarias para formar un cuadrado, sin sobreponerlas?

a. 3

d. 12

b. 8

e. 27

c. 9 6. Si el Drag´on Rojo tuviera 6 cabezas m´as que el Drag´on Verde, entre los dos tendr´Ĺan 34 cabezas. Pero el Drag´on Rojo tiene 6 cabezas menos que el Verde. ¿Cu´antas cabezas tiene el Drag´on Rojo? a. 6

d. 14

b. 8

e. 16

c. 12 7. En la ďŹ gura se muestra un cuadril´atero đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ. Si đ??ˇđ??ś = đ??´đ??ľ, ÂżCu´anto mide el a´ngulo đ??´đ??ľđ??ś? 30

C

30 D

B

75 50 A

a. 30∘ b. 50∘ c. 55∘

d. 65∘ e. 70∘

8. El producto de tres d´Ĺgitos đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? es el n´ umero de dos d´Ĺgitos đ?‘?đ?‘? y el producto de los d´Ĺgitos đ?‘? y đ?‘? es đ?‘?. ÂżCu´anto vale đ?‘Ž si đ?‘? = 2? a. 1 b. 2 c. 3

d. 4 e. 6

9. Ocho cartas numeradas del 1 al 8 se colocan dentro de dos cajas đ??´ y đ??ľ, de tal forma que la suma de los n´ umeros de las cartas en ambas cajas es la misma. Si solamente hay 3 cartas en la caja đ??´, entonces necesariamente se tiene que: a. b. c. d. e.

Tres cartas en la caja B tienen n´ umero impar Cuatro cartas en la caja B tienen n´ umero par La carta con el n´ umero tres est´a en la caja B. La carta con el n´ umero dos est´a en la caja B No es posible que la suma de igual en ambas cajas

10. Si la longitud đ?‘Ľ es de 6 dm, Âżcu´antos dec´Ĺmetros cuadrados vale el ´area de la cruz de la ďŹ gura, formada por cinco cuadrados?

x

31

a. 6

d. 26

b. 12

e. 36

c. 16 11. Hay cinco niËœ nas en una clase de tenis. Cada una de las niËœ nas tiene que jugar contra todas las dem´as en un torneo. ÂżCu´antos juegos hay? 12. Un n´ umero de cuatro cifras estaba escrito en la pizarra. Juanita borr´o los u ´ltimos dos d´Ĺgitos y solamente se ve 8 6 ? ? . El n´ umero de cuatro d´Ĺgitos es divisible por tres, cuatro y cinco. Hallar el n´ umero de cuatro d´Ĺgitos. 13. Decimos que un n´ umero entero mayor o igual que 2 es bueno si puede escribirse como la suma de n´ umeros naturales, tales que la suma de sus rec´Ĺprocos sea igual a 1. Por ejemplo el 3 no es bueno ya que: 3=1+2

y

3=1+1+1

y

1 1 + ∕= 1 1 2 1 1 1 + + ∕= 1 1 1 1

¿Cu´ales son los n´ umeros naturales menores que 10 que son buenos? 14. Encuentra el menor n´ umero natural de tres d´Ĺgitos tal que su triple s´olo tiene d´Ĺgitos pares. 15. Encuentra todas las soluciones enteras de la ecuaci´on

32

đ?‘Ľ2 5 + =7 2 đ?‘Ś

COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Segunda Fase 2009-2010 EXAMEN NIVEL SUPERIOR (10mo, 11mo y 12mo grado) 1. ÂżCu´antos caminos conducen del punto A al punto B de la ďŹ gura, si no se puede pasar por ning´ un punto m´as de una vez?

A

B

a. 3

d. 8

b. 6

e. al menos 10

c. 7 2. El producto de las edades de mis hijos es 1664. La edad del m´as joven es la mitad de la del mayor. ¿Cu´antos hijos tengo? a. 2

d. 5

b. 3

e. 6

c. 4 3. Una bandera consiste de cinco franjas todas ellas con el mismo ancho. La bandera total tiene un a´rea de 3đ?‘š2 . ÂżCu´antos metros cuadrados tiene el a´rea de la franja sombreada?

a. b.

1 4 1 2

d. 1 e. 33

5 4

c.

3 4

4. ¿Cu´antos enteros de la lista 100, 101, 102, . . . , 999 no contienen los d´Ĺgitos 2, 5, 7 y 8? a. 160

d. 190

b. 170

e. 200

c. 180 5. Un cuadrado est´a inscrito en un c´Ĺrculo de radio 1. ¿Cu´al es el per´Ĺmetro del cuadrado?

√ d. 2 2 √ e. 4 2

a. 8 b. 6 c. 2đ?œ‹

6. Hallar la cantidad de ternas (�, �, �) de enteros positivos que satisfacen el sistema de ecuaciones �� + �� = 44 �� + �� = 23 a. 0

d. 3

b. 1

e. 4

c. 2 7. Si la ďŹ gura representa un cuadrado con v´ertices đ??´, đ??ľ, đ??ś y đ??ˇ y el a´ngulo đ?‘‚đ?‘ đ??´ mide 60∘ , Âżcu´anto mide el ´angulo đ??ˇđ?‘‚đ?‘€ ? 34

A

D M

O N B

C

a. 10∘

d. 30∘

b. 15∘

e. 35∘

c. 20∘ 8. ÂżCu´antos conjuntos de enteros positivos consecutivos (dos o m´as) cumplen que la suma de sus elementos es igual a 100? a. 0

d. 3

b. 1

e. 4

c. 2 9. Mar´Ĺa tiene un cuadrado de papel de lado 1. Quiere dividirlo en tres partes como se muestra en la ďŹ gura. Si las tres partes deben tener la misma a´rea, Âżcu´anto vale đ?‘Ľ?

x

x

a. b. c.

1 2 1 3 1 4

d. e.

2 3 3 4

10. Un n´ umero de dos d´Ĺgitos se divide por la suma de sus d´Ĺgitos. ¿Cu´al es el m´aximo residuo que se puede obtener? 35

a. 12

d. 15

b. 13

e. 16

c. 14 11. ÂżCu´al es el primer d´Ĺgito, por la izquierda, en el menor n´ umero natural cuya suma de d´Ĺgitos es 2010? 12. Encuentra todos los tri´angulos rect´angulos tales que las medidas de uno de los catetos y de la hipotenusa sean n´ umeros enteros y la medida del otro cateto sea igual a la ra´Ĺz cuadrada de 12. 13. En un rect´angulo đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ la longitud de đ??´đ??ľ es el doble que la de đ??ľđ??ś. En el lado đ??śđ??ˇ se elige un punto đ?‘€ tal que el a´ngulo đ??´đ?‘€ đ??ˇ es igual al a´ngulo đ??´đ?‘€ đ??ľ. Determina la medida del ´angulo đ??´đ?‘€ đ??ľ. 14. Encuentra todos los enteros đ?‘?, đ?‘? tales que la ecuaci´on đ?‘Ľ2 −đ?‘?đ?‘Ľ+đ?‘? = 0 tenga dos soluciones enteras đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 tales que đ?‘Ľ21 + đ?‘Ľ22 = 5. 15. Sean đ?‘Ž, đ?‘? n´ umeros reales tales que đ?‘Ž3 + đ?‘?3 = 13 y đ?‘Ž9 + đ?‘?9 = −299. Encuentra el valor de đ?‘Žđ?‘?.

36

´ OLIMPIADA DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2010 EXAMEN NIVEL ELEMENTAL(4to, 5to y 6to) 1. Mar´ıa cuenta gallinas en el corral. Contando de dos en dos le sobra una y contando de tres en tres tambi´en le sobra una. ¿Cu´al es el menor n´ umero de gallinas que puede haber en el corral? 2. En un torneo la mitad de los competidores se eliminan en cada ronda (si al principio de la ronda el n´ umero de competidores es impar, uno de ellos se selecciona al azar y se queda para la segunda ronda). Si empiezan 100 competidores, ¿cu´antas rondas deben pasar para que quede un competidor final? 3. ¿Cu´antos tri´angulos hay en la figura?

4. En un calabozo hay dragones rojos y verdes. Cada drag´on rojo tiene 6 cabezas, 8 patas y 2 colas. Cada drag´on verde tiene 8 cabezas, 6 patas y 4 colas. Si sabemos que entre todos los dragones tienen 44 colas y que hay 6 patas verdes menos que cabezas rojas, ¿cu´antos dragones verdes hay? 5. Entre tres ni˜ nos se comieron 17 galletas y cada ni˜ no comi´o por lo menos una. Si Octavio comi´o mas galletas que los otros, ¿cu´al es el menor n´ umero de galletas que pudo haberse comido? 6. 28 ni˜ nos participaron en una carrera. El n´ umero de ni˜ nos que llegaron detr´as de Luis fue el doble del n´ umero de ni˜ nos que llegaron antes que ´el. ¿En qu´e lugar lleg´o Luis? 37

7. Andr´es cuenta los n´ umeros del 1 al 100 y aplaude si el n´ umero que dice es m´ ultiplo de 3 o´ termina en 3. ¿Cu´antas veces aplaudir´a Andr´es? 8. El dibujo representa un hex´agono regular de 42 cm de per´Ĺmetro, en el cual est´a trazada una de sus diagonales. Hallar la longitud de esta diagonal.

9. Un rect´angulo đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ tiene 8cm2 de ´area. đ??¸ y đ??š son puntos medios de đ??´đ??ľ y đ??ľđ??ś respectivamente. Hallar el a´rea del tri´angulo đ??ľđ??š đ??¸. 10. La muËœ neca de Ana viene con 3 blusas diferentes, 3 faldas diferentes, 2 sombreros diferentes y un par de zapatos. Âż De cu´antas formas puede vestir Ana a su muËœ neca?

38

´ OLIMPIADA DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2010 EXAMEN NIVEL INTERMEDIO (7mo, 8vo y 9no) 1. La regi´on sombreada tiene el v´ertice en el centro del pent´agono regular. ¿Qu´e porcentaje del pent´agono est´a sombreado?

2. ÂżCu´antos n´ umeros entre 1000 y 2000 tienen 8 como producto de sus d´Ĺgitos? 3. Si đ?‘Ž â‹… đ?‘? = 12, đ?‘? â‹… đ?‘? = 20, đ?‘Ž â‹… đ?‘? = 15 y đ?‘Ž es positivo, Âżcu´anto vale đ?‘Ž â‹… đ?‘? â‹… đ?‘?? 4. En la ďŹ gura đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ es un cuadrado y đ?‘‚đ??ľđ??ś es un tri´angulo equil´atero. ÂżCu´anto mide el ´angulo đ?‘‚đ??´đ??ś? A

D O

C

B

5. En una mesa hay cinco cartas. Cada carta tiene de un lado un n´ umero natural y del otro lado una letra. Juan aďŹ rma: cualquier carta que tenga de un lado una vocal tiene un n´ umero par del otro lado. Pedro demostr´o que Juan ment´Ĺa dando vuelta s´olo a una carta. ÂżDe cu´al de las cinco cartas se trata?

P

3

Q

39

4

5

6. Haciendo cortes paralelos a las caras de un cubo de madera se obtiene una pieza como la que se muestra. Si el volumen original del cubo era 8m3 , Âżcu´al es el a´rea de la superďŹ cie que queda?

7. đ??´ es un cuadrado perfecto de tres d´Ĺgitos y adem´as todos sus d´Ĺgitos son cuadrados perfectos. ÂżCu´antos valores puede tener đ??´? 8. Se tiene un cuadrado đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ. ÂżCu´antos cuadrados distintos se pueden construir que tengan dos v´ertices en com´ un con el cuadrado dado? 9. El d´Ĺgito de las unidades del n´ umero 31001 â‹… 71002 â‹… 131003 es: 10. Demostrar que si đ?‘› es impar, entonces đ?‘›3 + 3đ?‘›2 − đ?‘› − 3 es divisible entre 48.

40

´ OLIMPIADA DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2010 EXAMEN NIVEL SUPERIOR (10mo, 11mo y 12mo) 1. El n´ umero de tri´angulos con sus tres v´ertices en los puntos de la figura es:

2. Dos tri´angulos equil´ateros iguales con per´ımetro de 18 cm se sobreponen de manera que sus lados quedan paralelos como indica la figura. ¿Cu´al es el per´ımetro del hex´agono que queda formado dentro de la figura?

3. Hugo miente siempre en martes, jueves y s´abados y el resto de d´ıas de la semana dice siempre la verdad. Si un d´ıa en particular mantenemos la siguiente conversaci´on: Pregunta: ¿Qu´e d´ıa es hoy? Hugo responde: s´abado Pregunta: ¿Qu´e d´ıa ser´a ma˜ nana? Hugo responde: mi´ercoles ¿De qu´e d´ıa de la semana se trata? 4. ¿Cu´al es el mayor divisor primo de 216 − 1? 41

5. ÂżDe cu´antas maneras se puede escoger en un tablero de ajedrez una casilla blanca y una negra, de tal manera que no est´en las dos en una misma ďŹ la ni en una misma columna? 6. ÂżCu´antas sucesiones đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , . . . , đ?‘Ž2010 existen tales que los n´ umeros 1, 2, . . . , 2010 aparecen una sola vez en la sucesi´on y adem´as đ?‘– pertenece al conjunto {đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , . . . , đ?‘Žđ?‘– } para cada đ?‘– tal que 2 ≤ đ?‘– ≤ 2010? 7. Las ra´Ĺces de la ecuaci´on cuadr´atica đ?‘Ľ2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘ž = 0 son n´ umeros enteros. Encontrar đ?‘?, đ?‘ž y las ra´Ĺces de la ecuaci´on sabiendo que đ?‘? + đ?‘ž = 198. 8. Sea đ??ź cualquier punto interior del tri´angulo đ??´đ??ľđ??ś. Los segmentos đ??´1 đ??ľ2 , đ??ľ1 đ??ś2 y đ??ś1 đ??´2 pasan por đ??ź y son paralelos a đ??´đ??ľ, đ??ľđ??ś y đ??śđ??´ respectivamente (ver ďŹ gura). C

C2 C1 A1 B2

A A2 B1

Encontrar el valor de

B

đ??´1 đ??ľ2 đ??ľ1 đ??ś2 đ??ś1 đ??´2 + + đ??´đ??ľ đ??ľđ??ś đ??śđ??´

9. Encontrar todas las soluciones enteras del siguiente sistema de ecuaciones: �(� + �) = 35 �(� + �) = 32 �(� + �) = 27 10. Determinar todos los enteros � para los cuales �(�+1)(�+7)(�+8) es un cuadrado perfecto.

42

´ OLIMPIADAS DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO ´ 2009 EXAMEN DE SELECCION 1. Los c´Ĺrculos de la ďŹ gura tienen sus centros en đ??ś y đ??ˇ y se intersecan en đ??´ y en đ??ľ. Si el a´ngulo đ??´đ??śđ??ľ mide 60∘ , el ´angulo đ??´đ??ˇđ??ľ mide 90∘ y đ??ˇđ??´ = 1, ÂżCu´anto mide đ??śđ??´?

A C D

B

2. Se tiene la sucesi´on de n´ umeros 1, đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 , . . . que satisface la igualdad 1 â‹… đ?‘Ž2 â‹… đ?‘Ž3 â‹… â‹… â‹… đ?‘Žđ?‘› = đ?‘›2 , para todo entero đ?‘› > 2. Determinar el valor de đ?‘Ž3 + đ?‘Ž5 . 3. Cinco niËœ nos se dividen en grupos y en cada grupo se toman de la mano formando una rueda para bailar girando. ÂżCu´antas ruedas distintas pueden formar los niËœ nos, si es v´alido que haya grupos de 1 a 5 niËœ nos, y puede haber cualquier n´ umero de grupos? 4. Hallar el mayor valor posible en los n´ umeros reales del t´ermino 3đ?‘Ľ2 + 16đ?‘Ľđ?‘Ś + 15đ?‘Ś 2 con đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś 2 ∕= 0. 2 2 đ?‘Ľ +đ?‘Ś 5. Encontrar todos los n´ umeros primos đ?‘? y đ?‘ž tales que 2đ?‘?2 đ?‘ž + 45đ?‘?đ?‘ž 2 es un cuadrado perfecto. 6. Encontrar todos los valores de đ?‘&#x; tales que la desigualdad ( ) 1 1 1 đ?‘&#x;(đ?‘Žđ?‘? + đ?‘?đ?‘? + đ?‘?đ?‘Ž) + (3 − đ?‘&#x;) + + ≼9 đ?‘Ž đ?‘? đ?‘? es cierta para đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? reales positivos arbitrarios.

43

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Primera Fase 2009-2010 EXAMEN NIVEL ELEMENTAL (4to, 5to y 6to grado) 1. Si consideramos cuadrados como los de la figura

Podemos contar que se forman 3 cuadrados diferentes. Notemos que tenemos otro tipo de cuadrado y es de la siguiente forma

De los cuales podemos contar unicamente 1. Entonces en total tenemos que se pueden formar 4 cuadrados diferentes en la figura inicial. 2. Veamos todas los posibles caminos que se pueden tomar empezando desde la u ´ltima fila: 1

4

1

2

4

5

6

8

9

44

3

2

3

5

7

6

Si empezamos desde el 9, como no podemos tomar ni el 6, ni el 3, ni el 7, ni el 8, entonces debemos tomar de la segunda fila el 4 ´o el 5. Si tomamos el 4, la u ´nica opci´on que nos queda en la primera fila es el tomar el 2 y por lo tanto la suma es 9 + 4 + 2 = 15. Si por el contrario tomamos el 5, la u ´nica opci´on que nos queda en la primera fila es el 1 y por lo tanto la suma es 9 + 5 + 1 = 15. Si ahora empezamos por el 8, como no podemos tomar ni el 5, ni el 2, ni el 9, ni el 7. Las u ´nicas opciones que nos quedan para la segunda fila son el 4 ´o el 6. Si tomamos el 4, solo podremos tomar en la primera fila es el 3 y as´ı la suma ser´a 8 + 4 + 3 = 15. Si por el contrario tomamos el n´ umero 6, la u ´nica opci´on para la primera fila es tomar el 1 y la suma entonces ser´a 8 + 6 + 1 = 15. Si empezamos con el 7, como no podemos tomar ni el 4 ni el 1 ni el 9 ni el 8, los u ´nicos n´ umeros que podemos tomar en la segunda fila son el 5 ´o el 6. Si tomamos el 5 la u ´nica opci´on que queda para la primera fila es el 3 y por lo tanto la suma es 7 + 5 + 3 = 15. Ahora si por el contrario tomamos el 6, la u ´nica opci´on que tenemos es el 2 en la primera fila y la suma ser´a 7 + 6 + 2 = 15. Por lo tanto, la suma por cualquiera de los caminos que formemos ser´a 15. 3. Recordemos que una cara de un s´olido es un poligono que lo del´ımita. Contaremos las caras en tres pasos: 8

1

3

4

6

5

2

7

Como podemos ver en las figuras, en en interior de la figura podemos contar 3 caras, otras 3 caras en el exterior de la figura, una la cara en el frente y una cara atr´as. Por lo tanto tenemos un total de 8 caras en el s´olido. 45

4. Supongamos que s´olo tenemos un 6, luego la mayor suma que podemos obtener es 6 + 5 + 5 + 5 = 21, por tanto debemos tener m´as de un 6. Consideremos ahora dos 6, entonces la m´axima suma que podemos obtener es 6 + 6 + 5 + 5 = 22, lo que nos indica que debemos tener m´as de dos 6. Si tenemos tres 6, la m´axima suma que podemos alcanzar es 6 + 6 + 6 + 5 = 23; la c´ ual cumple la condici´on. No podemos tener cuatro 6, ya que la suma da 24. Por lo tanto Juan tir´o el n´ umero 6 tres veces. 5. Claramente un solo color no es suďŹ ciente, para colorear los v´ertices del cubo como Mar´Ĺa quiere. VeriďŹ quemos con dos colores. Veamos la siguiente ďŹ gura, donde denotamos los colores por đ?‘… y đ?‘‰ . V

R

R

V R

V R

V

As´Ĺ que s´olo se necesitan dos colores. 6. Sean đ??´ el corredor que tiene una velocidad de 576 centimetros por segundo y đ??ľ el corredor que tiene una velocidad de 680 centimetros por segundo. El corredor đ??´ en 9 segundos logra avanzar 9 â‹… (576) = 5184đ?‘?đ?‘š y el corredor đ??ľ por su parte avanza 9 â‹… (680) = 6120đ?‘?đ?‘š. Por lo tanto, la diferencia entre las distancias que recorrieron los dos en 9 segundos fue de 6120 − 5184 = 936đ?‘?đ?‘š. 7. Como la manzana no est´a en la caja blanca y tampoco esta en la caja verde, necesariamente debe estar en la caja roja. As´Ĺ que el chocolate s´olo puede estar en la caja blanca. 8. Trazamos la diagonal đ??ˇđ??ľ formando dos tri´angulos rect´angulos đ?‘‡1 y đ?‘‡2 como lo vemos en la ďŹ gura 46

C

D

T2 T1

B

A

El ´area del tri´angulo đ?‘‡1 es đ??´đ?‘‡1 =

3 â‹… 11 33 đ??ˇđ??´ â‹… đ??´đ??ľ = = 2 2 2

El ´area del tri´angulo đ?‘‡2 es đ??´đ?‘‡2 =

7â‹…9 63 đ??ľđ??ś â‹… đ??śđ??ˇ = = 2 2 2

As´Ĺ el ´area del cuadril´atero es đ??´đ?‘‡1 + đ??´đ?‘‡2 =

33 2

+

63 2

=

96 2

= 48.

9. Podemos formar las siguientes ecuaciones tomando đ?‘— =jugo, đ?‘ =s´andwich y đ?‘? =chocolate 1đ?‘— + 3đ?‘ + 7đ?‘? = 3,30 1đ?‘— + 4đ?‘ + 10đ?‘? = 4,10

(1) (2)

Multiplicando la ecuaci´on (1) por 3 y la ecuaci´on (2) por 2, tenemos 3đ?‘— + 9đ?‘ + 21đ?‘? = 9,90 2đ?‘— + 8đ?‘ + 20đ?‘? = 8,20 Al restar estas dos u ´ltimas ecuaciones obtenemos đ?‘— + đ?‘ + đ?‘? = 1,70. 10. Como Juanita no quiere estar junto a alguien de sombrero blanco, ella se puede ubicar u ´nicamente entre los niËœ nos que tienen sombrero azul y rojo. En la ďŹ gura se observa que ella s´olo tiene 5 posibilidades para hacer esto. 47

A

B R A

R J

B

J

A J

B

R R

J

B J

A

A B

R

11. Las personas que participaron en los dos proyectos son aquellas que son m´ ultiplos de 2 y 3, es decir, los m´ ultiplos de 6. Por lo tanto al dividir 125 entre 6, el cociente nos da la cantidad de personas que participaron en los dos proyectos. 125 = (20 ⋅ 6) + 5, de donde tenemos que son 20 personas, las que se encuentran en ambos proyectos. 12. Sabemos que los n´ umeros pares son aquellos cuyo u ´ltimo d´ıgito es par: 0, 2, 4, 6, 8, es decir, que para las unidades del n´ umero de tres cifras, tenemos 5 posibilidades. Para los otros dos d´ıgitos, es decir, las decenas y las centenas, s´olo se pueden colocar d´ıgitos impares, 1, 3, 5, 7, 9, luego hay 5 posibilidades para las decenas y 5 posibilidades para las centenas. Por tanto, por el principio de la multiplicaci´on obtenemos 5 × 5 × 5 = 125 . 13. Recordemos que un a˜ no normal tiene 365 d´ıas y que este se divide en semanas de 7 d´ıas cada una. Notemos que 365 = (7 × 52) + 1, es decir que la fecha se corre un d´ıa, de a˜ no a a˜ n´o. Por otro lado un a˜ no bisiesto tiene 366 dias, por tanto, 366 = (7 × 52) + 2, lo que significa que la fecha se corre dos d´ıas, cuando el a˜ no es bisiesto. La siguiente tabla nos ilustra nuestra situaci´on: 48

A˜ no 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

Tipo de a˜ no Bisiesto Normal Normal Normal Bisiesto Normal Normal

D´Ĺa 14 de junio S´abado Domingo Lunes Martes Jueves Viernes S´abado

Luego pasar´an 6 aËœ nos para que el 14 de junio sea s´abado nuevamente. 14. Como đ?›ż = 20∘ y đ??śđ??¸ = đ??śđ??ˇ, entonces en el tri´angulo is´osceles đ??śđ??¸đ??ˇ, se tiene que đ??śđ??¸đ??ˇ = đ??¸đ??ˇđ??ś = 80∘ . Pero đ??ľđ??¸đ??ś + đ??śđ??¸đ??ˇ = 180∘ lo que signiďŹ ca que đ??ľđ??¸đ??ś = 100∘ . Como el tri´angulo đ??ľđ??¸đ??ś es is´osceles ya que đ??ľđ??¸ = đ??śđ??¸, entonces đ??śđ??ľđ??¸ = đ?›˝ = 40∘ . Por otro lado, đ??´đ??¸đ??ľ = đ??śđ??¸đ??ˇ = 80∘ por ´angulos opuestos por el v´ertice. As´Ĺ, como el tri´angulo đ??ľđ??´đ??¸ es is´osceles ya que đ??´đ??¸ = đ??ľđ??¸, entonces đ??ľđ??´đ??¸ = đ?›ź = 50∘ . Todas estas medidas las tenemos en la siguiente ďŹ gura C δ=20 β=40

B

40

100 80 80

Îą =50

80

E

D

50 A

Por tanto

� 50 5 = = � 40 4

15. Para que un tri´angulo se pueda formar, la suma de las longitudes de dos lados tiene que ser mayor que la longitud del tercer lado. 49

Esto se conoce como la desigualdad triangular. Es decir, si tenemos un tri´angulo con lados đ?‘Ž, đ?‘? y đ?‘?, este debe satisfacer que: đ?‘Ž<đ?‘?+đ?‘? đ?‘?<đ?‘Ž+đ?‘? đ?‘?<đ?‘Ž+đ?‘? Si al menos una de las anteriores desigualdades deja de cumplirse, inmediatamente podremos decir que no es un tri´angulo. Notemos que si tenemos 5 segmentos, podemos construir un tri´angulo de lados 1, 2, 2 que satisface la desigualdad triangular. Al tomar 6 segmentos, podemos construir el tri´angulo 2, 2, 2. Para 7 segmentos el tri´angulo 2, 2, 3 y para 8 segmentos, el tri´angulo 2, 3, 3. Cuando tomamos 4 segmentos la unica opci´on que tenemos es 1, 1, 2. Notemos que no se cumple que 2 < 1 + 1. Por tanto, es imposible construir un tri´angulo con 4 segmentos. 16. Factorizando 6157 = 47 â‹… 131. As´Ĺ tenemos que đ??´đ??ľđ??ś = 131 y đ??ˇ7 = 47, luego đ??¸đ??š đ??ş = 917 y đ??ťđ??źđ??˝ = 524. Por lo tanto đ??´+đ??ľ+đ??ś+đ??ˇ+đ??¸+đ??š +đ??ş+đ??ť+đ??ź+đ??˝ = 1+3+1+4+9+1+7+5+2+4 = 37 17. Para saber esto consideraremos la siguiente tabla, marcando con đ?‘‹ la profesi´on que no puede tener cada uno de ellos y con đ?‘‚ la profesi´on que tiene. M´edico

Ingeniero

Profesor

A B C Como Cernaldo es el mayor de todos, no es m´edico y tampoco ingeniero. Por lo tanto ´el es el profesor.

A B C

M´edico

Ingeniero

Profesor

X

X

O

50

Arnaldo no es m´edico por que tiene una hermana y tampoco es profesor, ya que el profesor es Cernaldo. Entonces Arnaldo es ingeniero. A B C

M´edico X

Ingeniero O

Profesor X

X

X

O

As´Ĺ el m´edico es Bernardo y la combinaci´on correcta es đ??ľđ??´đ??ś. 18. Si trazamos la l´Ĺnea entrecortada formaremos un rect´angulo, donde las diagonales se cortan en el punto medio, como lo muestra la ďŹ gura: 12 13/2 5 13/2 12

Por lo tanto, el per´Ĺmetro de la ďŹ gura es 12 + 5 + 12 + 13 + 13 = 42. 2 2 19. Se podri´an formar todos los n´ umeros desde el 1 + 2 = 3 hasta 2008 + 2009 = 4017, es decir, 3, 4, 5, 6, . . . , 4015, 4016, 4017 Luego la cantidad de n´ umeros impares en esta lista es 4017 − 1 = 2008 2 20. Debemos conseguir todas las combinaciones de tres n´ umeros enteros positivos cuya suma sea 12. Estas son: 1, 1, 10 1, 5, 6 2, 5, 5

1, 2, 9 1, 3, 8 1, 4, 7 2, 2, 8 2, 3, 7 2, 4, 6 3, 3, 6 3, 4, 5 4, 4, 4

De esta lista s´olo tres cumplen la desigualdad triangular y son (2, 5, 5), (3, 4, 5) y (4, 4, 4) 51

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Primera Fase 2009-2010 EXAMEN NIVEL INTERMEDIO (7mo, 8vo y 9no grado) 1. Tenemos tres tipos de cuadrados los cuales vemos y contamos en la siguiente tabla Figura

Cantidad

1

6

3 Por lo tanto, hay en total 10 cuadrados en la figura dada. 2. Todas las posibilidades para ordenar los tres cubos dados, se muestran en la siguiente figura

Rojo

Rojo

Verde

Azul

Verde

Azul

Verde

Azul

Rojo

Rojo

Azul

Verde

Azul

Verde

Azul

Verde

Rojo

Rojo

Por lo tanto hay 6 posibilidades. 3. Como ninguna suma entre dos de los n´ umeros dados es 9, entonces el n´ umero desconocido debe ir en la primera columna y por lo 52

tanto, el 2 y el 4 deben de ir en la segunda columna ya que son los u ´nicos que suman 6. Entonces el 3 va en la primera columna y el n´ umero que falta ser´Ĺa el 6 para que su suma sea 9.

Por lo tanto, el n´ umero desconocido es 6. 4. Supongamos que el de menor edad tiene đ?‘Ľ aËœ nos. Entonces las edades de los enanitos son: đ?‘Ľ, đ?‘Ľ + 1, đ?‘Ľ + 2, đ?‘Ľ + 3, đ?‘Ľ + 4, đ?‘Ľ + 5, đ?‘Ľ + 6 Como la suma de los tres menores es 42, entonces đ?‘Ľ + (đ?‘Ľ + 1) + (đ?‘Ľ + 2) = 42 3đ?‘Ľ + 3 = 42 3đ?‘Ľ = 39 đ?‘Ľ = 13 As´Ĺ las edades de todos son 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 y la suma de las edades de los tres mayores es 17 + 18 + 19 = 54. 5. En total hay 22 alumnos en la clase, de los cuales 11 de ellos est´an resfriados. Como hay 9 niËœ nos en la clase entonces tiene que haber por lo menos 2 niËœ nas resfriadas. 6. Como la balanza esta equilibrada, eso quiere decir que ambos lados pesan 84. peso â–ł = peso D + peso 3 + peso #

Pero como la balanza esta equilibrada, entonces peso â–ł = 84 y peso D + peso 3 + peso # = 84. Pero esta subbalanza esta 53

equilibrada y el peso a ambos lados es 42. es decir, peso D = 42 y peso 3 + peso # = 42. De nuevo, la subbalanza esta equilibrada lo que signiďŹ ca que peso 3 = 21 = peso #

Por lo tanto peso 3 = 21.

7. Sea đ?‘Ľ la cantidad de CD que tiene Mauro. 1 đ?‘Ľ son los que no pudo meter en el armario. De estos, ´el tiene 3 tres cajas con 7 CD cada una, es decir 21 CD’s y 2 m´as que puso sobre la mesa suman 23. Luego 31 đ?‘Ľ = 23 y resolviendo para đ?‘Ľ, obtenemos que đ?‘Ľ = 69. 8. Podemos factorizar 2009 en factores primos. As´Ĺ 2009 = 72 â‹…41. Entonces para completar el cuadrado perfecto hace falta multiplicar por đ?‘Ž = 41, ya que 41(72 â‹… 41) = 72 â‹… 412 = (7 â‹… 41)2 = 2872 9. Tenemos que đ?‘? < 3đ?‘?, por tanto al multiplicar a ambos lados por 2 obtenemos 2đ?‘? < 6đ?‘? y as´Ĺ đ?‘Ž < 2đ?‘? < 6đ?‘?. Pero đ?‘? < 4đ?‘‘ que al multiplicar a ambos lados por 6 tenemos que 6đ?‘? < 24đ?‘‘, as´Ĺ đ?‘Ž < 2đ?‘? < 6đ?‘? < 24đ?‘‘ y como đ?‘‘ < 40 al multiplicar a ambos lados por 24 tenemos que 24đ?‘‘ < 24 â‹… 40 = 960. Lo que nos indica que đ?‘Ž < 960, Por lo tanto, el valor m´as grande que podr´Ĺa alcanzar đ?‘Ž es 959. 10. Como đ??´đ??ˇ es bisector, entonces đ??ˇđ??´đ??ľ = đ??śđ??´đ??ˇ. Como la suma de los a´ngulos internos de un tri´angulo es 180∘ .

Luego

đ??śđ??´đ??ˇ + đ??ľđ??śđ??´ + 100∘ = 180∘ đ??śđ??´đ??ˇ + đ??ľđ??śđ??´ = 80∘

(1)

y como, por ´agulos suplementarios đ??ľđ??ˇđ??´ = 80∘ , entonces đ??ˇđ??´đ??ľ + đ??´đ??ľđ??ś + 80∘ = 180∘ 54

Como đ??´đ??ľđ??ś = 2 đ??ľđ??śđ??´, entonces

đ??śđ??´đ??ˇ + 2 đ??ľđ??śđ??´ = 100∘

(2)

Al restar las ecuaciones (1) y (2) obtenemos que đ??ľđ??śđ??´ = 20∘ .

11. Sean đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 , đ?‘Ž4 , đ?‘Ž5 , đ?‘Ž6 , đ?‘Ž7 , đ?‘Ž8 , đ?‘Ž9 los nueve n´ umeros en orden creciente. Tenemos que đ?‘Ž1 + đ?‘Ž2 + đ?‘Ž3 + đ?‘Ž4 + đ?‘Ž5 + đ?‘Ž6 + đ?‘Ž7 + đ?‘Ž8 + đ?‘Ž9 = đ?‘Ž5 9 que es lo mismo que tener đ?‘Ž1 + đ?‘Ž2 + đ?‘Ž3 + đ?‘Ž4 + đ?‘Ž5 + đ?‘Ž6 + đ?‘Ž7 + đ?‘Ž8 + đ?‘Ž9 = 9đ?‘Ž5

(★)

Pero tambi´en tenemos que đ?‘Ž5 + đ?‘Ž6 + đ?‘Ž7 + đ?‘Ž8 + đ?‘Ž9 = 68 5

y

đ?‘Ž1 + đ?‘Ž2 + đ?‘Ž3 + đ?‘Ž4 + đ?‘Ž5 = 44 5

Por lo tanto đ?‘Ž5 + đ?‘Ž6 + đ?‘Ž7 + đ?‘Ž8 + đ?‘Ž9 = 340 y đ?‘Ž1 + đ?‘Ž2 + đ?‘Ž3 + đ?‘Ž4 + đ?‘Ž5 = 220 Al sumar estas dos u ´ltimas obtenemos đ?‘Ž1 + đ?‘Ž2 + đ?‘Ž3 + đ?‘Ž4 + 2đ?‘Ž5 + đ?‘Ž6 + đ?‘Ž7 + đ?‘Ž8 + đ?‘Ž9 = 560 Por tanto si le sumamos đ?‘Ž5 a la ecuaci´on (★), obtenemos que 10đ?‘Ž5 = 560 lo que implica que đ?‘Ž5 = 56. as´Ĺ đ?‘Ž1 + đ?‘Ž2 + đ?‘Ž3 + đ?‘Ž4 + đ?‘Ž5 + đ?‘Ž6 + đ?‘Ž7 + đ?‘Ž8 + đ?‘Ž9 = 9đ?‘Ž5 = 9(56) = 504 12. Sabemos que un n´ umero primo đ?‘? tiene 2 divisores positivos, 1 y đ?‘? y que si tenemos una potencia de đ?‘?, es decir đ?‘?đ?‘› donde đ?‘› es un n´ umero entero positivo. este tiene como divisores 1, đ?‘?, đ?‘?2 , đ?‘?3 , . . . , đ?‘?đ?‘›âˆ’1 , đ?‘?đ?‘› 55

Es decir que đ?‘?đ?‘› tiene đ?‘› + 1 divisores. Por otro lodo, si tenemos la multiplicaci´on de dos primos đ?‘? â‹… đ?‘ž, entonces đ?‘? tiene 2 divisores positivos y đ?‘ž tiene 2 divisores positivos de modo que đ?‘? â‹… đ?‘ž tiene 4 divisores positivos {1, đ?‘?, đ?‘ž, đ?‘? â‹… đ?‘ž}. Lo mismo ocurre si tenemos la multiplicaci´on de dos potencias de primos đ?‘?đ?‘› â‹… đ?‘ž đ?‘š , donde đ?‘š y đ?‘› son n´ umeros enteros positivos. Esta tiene (đ?‘›+1)â‹…(đ?‘š+1) divisores positivos. Utilicemos esto para resolver el problema. Los n´ umeros que tienen 2 4 15 divisores son los que son de la forma đ?‘? â‹… đ?‘ž donde đ?‘? y đ?‘ž son primos. Por tanto, los que estamos buscando son 22 â‹… 34 , 32 â‹… 24 , 52 â‹… 24 , ya que cualquier otra combinaci´on de n´ umeros primos đ?‘? y đ?‘ž, seria mayor que 500. Por tanto s´olo hay 3 que cumplen, las dos condiciones. 13. Debemos analizar los d´Ĺgitos pares en cada n´ umero del 1 al 100. Por ejemplo, el digito 2 aparece en los siguientes n´ umeros {2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92} Es decir, aparece 20 veces. De forma similar ocurre con los pares 4, 6, 8. As´Ĺ cada d´Ĺgito par aparece 20 veces desde el 1 hasta el 100. Luego 20(2 + 4 + 6 + 8) = 400. 14. Representemos por (E) a Edmundo, (C) a Carlos y (F) a Fernando. As´Ĺ sabemos que đ??¸ + đ??ś + đ??š = 150 y que al ďŹ nal quedaron con la misma cantidad de dinero, es decir cada uno qued´o con $50. Veamos y resolvamos las ecuaciones para cada uno. Edmundo 1 đ??¸ − đ??¸ + 10 + 2 = 50 2 1 đ??¸ + 12 = 50 2 1 đ??¸ = 38 2 đ??¸ = 76 56

Fernando 1 đ??š + đ??¸ + 10 − 2 = 50 4 1 đ??š + (76) + 8 = 50 4 đ??š + 19 + 8 = 50 đ??š = 23 15. Para que siempre haya monedas de las dos denominaciones las de 25¢ deben ir en m´ ultiplos de 2 ya que haciendo esto siempre se pueden poner monedas de 10¢ para completar los $10. As´Ĺ podemos s´olo tener 2, 4, 6, . . . , 34, 36, 38 monedas de 25¢. Por tanto, lo podemos hacer de 19 formas. 16. Notemos que la part´Ĺcula para llegar al punto (1, 0) toma un minuto, para llegar al punto (0, 2) toma 4 minutos, para llegar al punto (3, 0) toma 9 minutos, para llegar al punto (0, 4) toma 16 minutos. Notemos que cada vez que llega a un punto de la forma (đ?‘›, 0) con đ?‘› impar, se toma đ?‘›2 minutos o´ de la forma (0, đ?‘›) con đ?‘› par, se toma đ?‘›2 minutos. Como 2 horas es equivalente a 120 minutos, observemos que al punto (11, 0) llegamos en 121 minutos, por lo tanto, en el minuto 120 estaremos en el punto anterior, es decir, (10, 0). 17. Trazamos las diagonales del hax´agono pequeËœ no como lo vemos en la ďŹ gura

Notemos que tenemos 12 tri´angulos equilateros y 6 tri´angulos isosceles. Veamos que todos los tri´angulos tienen la misma ´area. Para esto tomamos la siguiente porci´on de ďŹ gura y notamos que los tres lados marcados son iguales. 57

Como la altura tambi´en es igual, entonces los tri´angulos tienen la misma a´rea por lo tanto los 18 tri´angulos de la ďŹ gura tienen la misma a´rea. Como el hex´agono sombreado tiene 6 tri´angulos, entonces el hex´agono sombreado es una tercera parte del grande. 18. Podemos empezar a hacer las sumas hasta encontrar un patr´on empezando por 39

39 3 + 9 = 90 92 + 02 = 81 82 + 12 = 65 62 + 52 = 61 62 + 12 = 37 32 + 72 = 58 52 + 82 = 89 82 + 92 = 145 12 + 42 + 52 = 42 42 + 22 = 20 22 + 02 = 4 42 = 16 12 + 62 = 37 2

2

T´ermino 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Se repiten el 1 y el 6 en el t´ermino n´ umero 13 lo que signiďŹ ca que la suceci´on de n´ umeros se empieza a repetir. Esta se repite cada 8 n´ umeros, En los t´erminos de la forma 8đ?‘› + 1 para đ?‘› ≼ 1 se obtiene 145. Como 2009 = (8 â‹… 251) + 1, entonces el t´ermino que ocupa la posici´on 2009 es 145. 58

19. Sabemos que los primos Locos de un d´Ĺgito son 2, 3, 5, 7. A partir de estos podemos construir los dem´as primos Locos de dos. Para obtener los primos Locos de dos d´Ĺgitos podemos agregar un d´Ĺgito a la derecha o a la izquierda de los primos Locos 2, 3, 5, 7. VeriďŹ camos cuales de los n´ umeros as´Ĺ obtenidos son primos obteniendo que los primos Locos de dos d´Ĺgitos son 23, 37, 53, 73. Los primos Locos de tres d´Ĺgitos se construyen agreg´andole un d´Ĺgito a la derecha o la izquierda a un primo Loco de dos d´Ĺgitos y veriďŹ cando si el n´ umero resultante es primo, haciendo esto el u ´nico primo Loco que conseguimos de tres d´Ĺgitos es 373. Para conseguir un primo Loco de cuatro d´Ĺgitos debemos agregar un d´Ĺgito a la derecha o la izquierda del 373 y obtener un n´ umero primo. Se puede veriďŹ car facilmente que ninguno cumple la condici´on. Por lo tanto los primos Locos son 9. 20. Trazamos la diagonal đ??ľđ??¸, as´Ĺ đ??´2 = đ?‘‡ 1 + đ?‘‡ 2. A

B

C

G A1

H

T1 T2

D

E

A3

F

Ahora notemos que el a´rea del â–łđ??´đ??ˇđ??ľ es igual al a´rea del â–łđ??´đ??¸đ??ľ ya que tienen la misma base đ??´đ??ľ y la misma altura. Adem´as tienen en com´ un el tri´agulo đ??´đ??şđ??ľ. De donde deducimos que đ??´1 = đ?‘‡ 1. De manera similar notamos que los tri´agulos â–łđ??ľđ??¸đ??ś y â–łđ??ľđ??š đ??ś tienen la misma a´rea, ya que tienen la misma base đ??ľđ??ś y la misma altura. Adem´as tienen en com´ un el tri´angulo đ??ľđ??ťđ??ś. Por tanto, đ?‘‡ 2 = đ??´3, lo que nos lleva a concluir que đ??´2 = đ??´1 + đ??´3.

59

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Primera Fase 2009-2010 EXAMEN NIVEL SUPERIOR (10mo, 11mo y 12mo grado) 1. Supongamos que los tres n´ umeros son đ?‘Ľ, đ?‘Ś y đ?‘§, sabemos que đ?‘Ľ + đ?‘Ś + đ?‘§ = 80 đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 60 đ?‘Ľ + đ?‘§ = 20

(1) (2) (3)

Sumando (2) y (3) obtenemos 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś + đ?‘§ = 80 Y si a esta u ´ltima le restamos la ecuaci´on (1), obtenemos que đ?‘Ľ = 0. Por tanto, el producto đ?‘Ľđ?‘Śđ?‘§ = 0. 2. Veamos en la siguiente tabla las posibles sumas que pueden dar los dados Dados 1 2 3 4 5 6

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

7 8 9 10 11 12 13

8 9 10 11 12 13 14

Notamos que la suma que aparece m´as veces es el 9. 3. Veamos el patr´on que se forma cuando calculamos las sumas en los primeros t´erminos đ?‘†1 + đ?‘†2 đ?‘†2 + đ?‘†3 đ?‘†3 + đ?‘†4 đ?‘†4 + đ?‘†5

=1+1−2=0 =1−2+1−2+3=1 =1−2+3+1−2+3−4=0 =1−2+3−4+1−2+3−4+5=1 60

Si continuamos as´Ĺ sucesivamente, notamos que en general, las sumas consecutivas tienen dos opciones, đ?‘†2đ?‘› + đ?‘†2đ?‘›+1 = 1

´ o

�2�+1 + �2� = 0

Por tanto, đ?‘†2008 + đ?‘†2009 = 1. 4. Vemos que đ?‘›2 + đ?‘› = đ?‘›(đ?‘› + 1). Esto quiere decir que el n´ umero se factoriza, pero si tomamos đ?‘› = 1 tenemos que 1 â‹… 2 = 2 que es un n´ umero primo. Para los dem´as naturales mayores que 1, el n´ umero siempre se puede factorizar. Por lo tanto, s´olo para un n´ umero natural se satisface que đ?‘›2 + đ?‘› es un n´ umero primo. 5. La sucesi´on de n´ umeros empieza en 20 y vamos construyendo los t´erminos de la sucesi´on como se muestra en la siguiente columna 20

đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;

20 = 10 2 10 =5 2 3 â‹… 5 + 1 = 16 16 =8 2 8 =4 2 4 =2 2 2 =1 2 3â‹…1+1=4

đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;

Note que se empieza a repetir el patr´on 4, 2, 1. A partir del sexto t´ermino, todos los t´erminos de la forma 3đ?‘› son iguales a 4, todos los t´erminos de la forma 3đ?‘›+1 son iguales a 2 y todos los t´erminos de la forma 3đ?‘› + 2 son iguales a 1. Como 2009 = 3 Ă— 669 + 2. Entonces, el t´ermino 2009 de la sucesi´on es igual a 1. 61

6. En total hay 40 niËœ nos. Como el 60 % de 40 es igual a 24. Entonces 24 estudiantes son los que desean ir a la ďŹ esta. Como hay s´olo 22 alumnos, entonces hay por lo menos 2 alumnas que desean ir a la ďŹ esta. 7. Separemos los n´ umeros del 1 al 20 en dos grupos: Grupo 1 : 1, 2, 3, 4, 5, 16, 17, 18, 19, 20 Grupo 2 : 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 Si seleccionamos cualquier n´ umero del 1 al 20 este n´ umero est´a en uno de los dos grupos e inmediatamente hay un n´ umero en el otro grupo cuya resta es 5 luego hay que descartarlo. Esto demuestra que a lo m´as se pueden seleccionar 10 n´ umeros que cumplan la condici´on. Por otro lado, los n´ umeros del grupo 1 cumplen la condici´on. As´Ĺ que el m´aximo valor de đ?‘› es 10. 1 đ?‘?−1 3 đ?‘?−1 đ?‘?−1 = , = o´ sea đ?‘?+1 2 đ?‘?+1 2 đ?‘?+1 đ?‘?−1 1 đ?‘?−1 3 entero no negativo. Si = , entonces đ?‘? = 3. Si = , đ?‘?+1 2 đ?‘?+1 2 đ?‘?−1 = đ?‘? donde đ?‘? es un entonces đ?‘? = −5. Supongamos que đ?‘?+1 n´ u( mero natural o cero, si despejamos para đ?‘?, obtenemos đ?‘? = ) đ?‘?+1 − , si tomamos đ?‘Ľ = đ?‘? − 1, entonces, đ?‘Ľ + 2 = đ?‘? + 1, asi đ?‘?−1 tenemos que ( ) đ?‘Ľ+2 2 đ?‘?=− = −1 − đ?‘Ľ đ?‘Ľ

8. Tenemos tres posibilidades: que

2 Como đ?‘? es un n´ umero entero, debe ser un entero, por lo tanto, đ?‘Ľ đ?‘Ľ = Âą1, Âą2. Si đ?‘Ľ = 1 entonces đ?‘? = −3; si đ?‘Ľ = −1 entonces đ?‘? = 1; si đ?‘Ľ = 2 entonces đ?‘? = −2 y si đ?‘Ľ = −2 entonces đ?‘? = 0. Para đ?‘? = 0 đ?‘?−1 no se cumple que 4 đ?‘?+1 es un n´ umero entero. Luego, de esta forma s´olo hay tres soluciones y adiccion´andole las primeras dos tenemos un total de 5 soluciones. 9. Consideremos el rect´angulo con medidas đ?‘Ž y đ?‘?. El a´rea y el per´Ĺmetro del rect´angulo son đ?‘Žđ?‘? y 2đ?‘Ž+2đ?‘? respectivamente. Luego debemos 62

resolver la siguiente ecuaci´on đ?‘Žđ?‘? = 2đ?‘Ž + 2đ?‘? + 2009 que es equivalente a resolver (đ?‘Ž − 2)(đ?‘? − 2) = 2013 Para esto podemos encontrar todas las posibles factorizaciones de 2013 y as´Ĺ tenemos las siguientes ecuaciones (đ?‘Ž − 2)(đ?‘? − 2) = 2013 â‹… 1 (đ?‘Ž − 2)(đ?‘? − 2) = 671 â‹… 3 (đ?‘Ž − 2)(đ?‘? − 2) = 183 â‹… 11 (đ?‘Ž − 2)(đ?‘? − 2) = 61 â‹… 33 Al resolver cada una de estas tenemos que đ?‘Ž − 2 = 2013 đ?‘Ž = 2015 đ?‘Ž − 2 = 671 đ?‘Ž = 673 đ?‘Ž − 2 = 183 đ?‘Ž = 185 đ?‘Ž − 2 = 61 đ?‘Ž = 63

đ?‘?−2=1 đ?‘?=3 đ?‘?−2=3 đ?‘?=5 đ?‘? − 2 = 11 đ?‘? = 13 đ?‘? − 2 = 33 đ?‘? = 35

y como todas las combinaciones cumplen la ecuaci´on, tenemos que existen 4 soluciones. 10. Solucionaremos el ejercicio por el complemento, es decir, buscamos el total de n´ umeros con cuatro d´Ĺgitos, para luego restarle la cantidad de n´ umeros que tengan tres d´Ĺgitos consecutivos iguales, para de esta forma obtener la cantidad de n´ umeros que no tienen tres d´Ĺgitos consecutivos iguales.

63

Primero encontraremos los n´ umeros de cuatro d´Ĺgitos que tengan tres d´Ĺgitos consecutivos iguales. Notemos que tenemos tres estilos de estos n´ umeros. Si đ?‘Ž ∕= 0, đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘? con đ?‘Ž ∕= đ?‘? tenemos 9 Ă— 9 = 81 n´ umeros; 9 posibilidades por seleccionar đ?‘Ž ya que no puede ser cero y 9 posibilidades para seleccionar đ?‘? ya que no puede ser igual al valor de đ?‘Ž. Pero tambi´en si đ?‘? ∕= 0, đ?‘?đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž con đ?‘? ∕= đ?‘Ž tenemos otros 9 Ă— 9 = 81 n´ umeros. Por otro lado, si đ?‘Ž ∕= 0, đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž el cual nos da 9 n´ umeros m´as. Por lo tanto, tenemos en total 81 + 81 + 9 = 171 n´ umeros de cuatro d´Ĺgitos que tienen tres d´Ĺgitos repetidos. As´Ĺ que de los 9000 n´ umeros de cuatro d´Ĺgitos que tenemos nos quedan 8829 n´ umeros de cuatro d´Ĺgitos que no tienen tres d´Ĺgitos consecutivos. 11. Como đ?‘Ž es un entero positivo, entonces la distancia entre đ?‘Ž y đ?‘Ž1 es đ?‘Ž − đ?‘Ž1 . Luego podemos encontrar el valor de đ?‘Ž en la siguiente ecuaci´on. 80 1 = đ?‘Ž 9 2 đ?‘Ž −1 80 = đ?‘Ž 9 9đ?‘Ž2 − 80đ?‘Ž − 9 = 0 (9đ?‘Ž + 1)(đ?‘Ž − 9) = 0 đ?‘Žâˆ’

As´Ĺ đ?‘Ž = 9, lo que signiďŹ ca que đ?‘Ž+

1 1 81 + 1 82 =9+ = = đ?‘Ž 9 9 9

12. Notemos que el tri´angulo đ?‘€ đ??ťđ??ś es un tri´angulo especial 30∘ − 60∘ − 90∘ B H 90 1 M

30

60 2

A

64

C

Por tanto el đ??ťđ??śđ?‘€ = 60∘ y el đ??śđ?‘€ đ??ť = 30∘ . As´Ĺ

đ??´đ?‘€ đ??ś = 180∘ − 30∘ = 150∘ 30∘ = 15∘ . y como â–łđ??´đ?‘€ đ??ś es is´osceles, entonces đ??´ = 2

13. Si el conjunto {1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11} contiene los n´ umeros que tiene Beatriz, entonces Pablo no est´a correcto en su aďŹ rmaci´on ya que no cumple la condici´on que la suma de dos n´ umeros es divisible por 8. Ahora para los n´ umeros que tom´o Pablo, trataremos de construir un conjunto de cinco n´ umeros que no cumpla la condici´on, como hicimos en el caso de Beatriz. Notemos que un n´ umero natural se puede escribir de la forma 7đ?‘›, 7đ?‘› + 1, 7đ?‘› + 2, 7đ?‘› + 3, 7đ?‘› + 4, 7đ?‘› + 5 o´ 7đ?‘› + 6 Si tomamos por ejemplo, un n´ umero de la forma 7đ?‘› + 3, no podemos tomar otro n´ umero de esta misma forma, ya que su resta da m´ ultiplo de 7. As´Ĺ todos los n´ umeros deben ser de diferente forma, por otro lado consideremos las dos columnas siguientes: 7đ?‘› 7đ?‘› + 1 7đ?‘› + 4 7đ?‘› + 2 7đ?‘› + 5 7đ?‘› + 3 7đ?‘› + 6 Notemos que a los n´ umeros de la primera columna no le podemos agregar ninguno de los de la segunda columna debido a que la suma de alguno de ellos es un m´ ultiplo de 7 y viseversa. Por lo tanto, s´olo la aďŹ rmaci´on de Beatriz es correcta. 14. En el ejemplo, tenemos un rect´angulo de puntos que podemos colocar dentro de un plano cartesiano como lo vemos en la siguiente ďŹ gura

3 2 1 0

1

2

3

65

4

5

6

Al hallar la pendiente de la recta con los puntos (0, 0) y (6, 3) 1 tenemos que đ?‘š = . Esto lo que representa es que en la recta 2 por cada 2 movimientos a la derecha en đ?‘Ľ hay un movimiento de una unidad hacia arriba en đ?‘Ś. De aqu´Ĺ salen los cuatro puntos (0, 0), (2, 1), (4, 2), (6, 3). Para lo que estamos buscando, tenemos 3 los puntos (0, 0) y (35, 21), as´Ĺ tenemos que la pendiente đ?‘š = , 5 es decir, que por cada 5 movimientos a la derecha en đ?‘Ľ tenemos 3 movimientos hacia arriba en đ?‘Ś. De esta manera, obtenemos los puntos: (0, 0), (5, 3), (10, 6), (15, 9), (20, 12), (25, 15), (30, 18), (35, 21) Los cuales son un total de 8. 15. Sabemos que đ?‘Ľ < 1, As´Ĺ que veriďŹ quemos cada una de las posibilidades. i) đ?‘Ľ < 1 por tanto

1 > 1. đ?‘Ľ

ii) Sabemos que đ?‘Ľ(đ?‘Ľ + 1) = đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ > đ?‘Ľ, as´Ĺ

1 1 > . đ?‘Ľ đ?‘Ľ(đ?‘Ľ + 1)

Por tanto a. es mayor que b. iii) Notemos 1

=

1

1+

1+

đ?‘Ľ 2đ?‘Ľ + 1

1 đ?‘Ľ

Notemos que 2đ?‘Ľ + 1 > 1, lo que signiďŹ ca que 1 > multiplicar por đ?‘Ľ, tenemos que 1>đ?‘Ľ>

đ?‘Ľ đ?‘Ľ , luego <1 2đ?‘Ľ + 1 2đ?‘Ľ + 1

As´Ĺ a. mayor que c. iv) đ?‘Ľ < 1, por tanto a. mayor que d. 66

1 . Al 2đ?‘Ľ + 1

v) Notemos đ?‘Ľ đ?‘Ľ+

1 đ?‘Ľ

=

đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ2 + 1

Notemos que đ?‘Ľ2 + 1 > 1, lo que signiďŹ ca que 1 > multiplicar por đ?‘Ľ2 , tenemos que 1 > đ?‘Ľ > đ?‘Ľ2 >

đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ2 + 1

luego

đ?‘Ľ2

1 . Al +1

đ?‘Ľ2 <1 đ?‘Ľ2 + 1

As´Ĺ a. es mayor que e. Por lo tanto, la alternativa de mayor valor es

1 . đ?‘Ľ

16. Escribamos a đ?‘› como đ?‘› = 2đ?‘Ž đ?‘?, donde đ?‘? no es divisible por 2. Sea đ?‘Ľ el n´ umero de divisores de đ?‘?. El n´ umero de divisores de đ?‘› es đ?‘Ľ(đ?‘Ž+1). Adem´as, el n´ umero de divisores de đ?‘›2đ?‘› = đ?‘?2đ?‘›+đ?‘Ž es igual al n´ umero de divisores de đ?‘? multiplicado por el n´ umero de divisores de 2đ?‘›+đ?‘Ž , es decir, đ?‘Ľ(đ?‘› + đ?‘Ž + 1). Como đ?‘›2đ?‘› tiene 2008 divisores m´as que đ?‘›, entonces đ?‘Ľ(đ?‘› + đ?‘Ž + 1) = đ?‘Ľ(đ?‘Ž + 1) + 2008. Por lo tanto đ?‘Ľ â‹… đ?‘› = 2008. . Como đ?‘Ľ es entero, entonces đ?‘› tiene que ser divisor Luego đ?‘Ľ = 2008 đ?‘› de 2008. VeriďŹ cando los divisores de 2008 notamos que đ?‘› = 1004 satisface la condici´on. Es decir, 1004 = (22 )(251) tiene 6 divisores mientras que 1004(21004 ) = 251(21006 ) tiene 2012 divisores. Por lo tanto la respuesta es 1 + 0 + 0 + 4 = 5. 17. Usaremos el resultado que establece que si el residuo al dividir un n´ umero đ?‘š por đ?‘› es đ?‘&#x;, entonces el residuio al dividir đ?‘šđ?‘ entre đ?‘› sigue siendo đ?‘&#x;. VeriďŹ quemos que cada n´ umero dado divide a la resta 37140 − 4140 utilizando esta propiedad. Con el 2. 371 = 2(180) + 1, por tanto el residuo que deja 37140 al dividirlo por 2 es 1. Tambi´en 41 = 2(20) + 1, por tanto el residuo que deja 4140 al dividirlo por 2 es 1, Por lo tanto, el residuo que deja la resta es 1 − 1 = 0, es decir, 2 divide a 37140 − 4140 . Con el 3. 371 = 3(123) + 2, por tanto el residuo que deja 37140 al dividirlo por 3 es 2. Tambi´en 41 = 3(13) + 2, por tanto el residuo 67

que deja 4140 al dividirlo por 3 es 2, Por lo tanto, el residuo que deja la resta es 2 − 2 = 0, es decir, 3 divide a 37140 − 4140 . Con el 5. 371 = 5(74) + 1, por tanto el residuo que deja 37140 al dividirlo por 5 es 1. Tambi´en 41 = 5(8) + 1, por tanto el residuo que deja 4140 al dividirlo por 5 es 1, Por lo tanto, el residuo que deja la resta es 1 − 1 = 0, es decir, 5 divide a 37140 − 4140 . Con el 11. 371 = 11(33) + 8, por tanto el residuo que deja 37140 al dividirlo por 11 es 8. Tambi´en 41 = 11(3) + 8, por tanto el residuo que deja 4140 al dividirlo por 11 es 8, Por lo tanto, el residuo que deja la resta es 8 − 8 = 0, es decir, 11 divide a 37140 − 4140 . Por tanto, los cuatro n´ umeros dividen a 37140 − 4140 . 18. Sean đ?‘Ž2 = đ?‘? + 2 đ?‘?2 = đ?‘? + 2 đ?‘?2 = đ?‘Ž + 2

(1) (2) (3)

Si đ?‘Ž = 2, entonces usando (1) se tiene que đ?‘? = 2 y usando (2) o (3) se obtiene đ?‘? = 2. De igual manera se puede probar que si đ?‘? = 2 o đ?‘? = 2, entonces đ?‘Ž = đ?‘? = đ?‘? = 2. Supongamos que đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? son n´ umeros positivos diferentes de 2. Si 2 đ?‘Ž > 2, đ?‘Ž > 4, entonces por (1) se tiene đ?‘? + 2 > 4, de donde đ?‘? > 2 y de forma similar por (2)√se tiene que đ?‘? > 2. Ahora bien, como đ?‘Ž2 > đ?‘Ž + 2, entonces đ?‘Ž > đ?‘Ž + 2, as´Ĺ por (3) se tiene que đ?‘Ž > đ?‘?, de la misma forma, por (2) se tiene que đ?‘? < đ?‘? y por (1) se tiene que đ?‘Ž < đ?‘?. Luego đ?‘Ž < đ?‘? < đ?‘? < đ?‘Ž, lo cual es un absurdo. Lo mismo sucede si se supone que đ?‘? > 2 ´o √ đ?‘? > 2. Entonces đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? < 2. Pero 2 si đ?‘Ž < 2, đ?‘Ž + 2 > đ?‘Ž , de donde đ?‘Ž + 2 > đ?‘Ž, entonces por (3) se tiene que đ?‘? > đ?‘Ž. Similarmente si suponemos que đ?‘? < 2, por (1) se tiene que đ?‘Ž > đ?‘?. Por u ´ltimo si tomamos đ?‘? < 2, entonces por (2), obtenemos đ?‘? > đ?‘?. Luego đ?‘? > đ?‘Ž > đ?‘? > đ?‘?, lo cual es nuevamente absurdo. Por lo tanto la u ´nica soluci´on positiva para este sistema de ecuaciones es đ?‘Ž = đ?‘? = đ?‘? = 2 19. De los 9000 n´ umeros de cuatro cifras, s´olo hay 1000 que son divisibles por 9. Contemos los n´ umeros que no son Cangri de estos 68

1000. Para ello debemos utilizar la regla de divisibilidad del 9 que dice que un n´ umero es divisible por 9 si la suma de sus d´Ĺgitos es divisible por 9. Veamos cuantos n´ umeros de a lo sumo tres cifras suman 9, esto debido a que el 0 no suma. estos son: {9, 18, 27, 36, 45, 117, 126, 135, 144, 225, 234, 333} Ahora los que suman 18. {99, 198, 288, 297, 387, 396, 486, 477, 585, 495, 567, 666} Continuamos con 27. {999} La siguiente tabla nos dice la forma de contar. đ?‘Ľ, đ?‘Ś y đ?‘§ representan d´Ĺgitos diferentes, por ejemplo, para el caso đ?‘Ľ, se tiene u ´nicamente el 9 y por lo tanto, la unica combinaci´on de 4 cifras es el 9000, as´Ĺ, en total hay 1 s´olo n´ umero de este estilo. Para el caso đ?‘Ľđ?‘Ľ, tenemos u ´nicamente el 99, con tres posibles combinaciones: 9900, 9090 y 9009. Por lo tanto hay tres n´ umeros de esta forma.

Tipo � �� �� ��� ��� ���

Cantidad 1 1 4 6 3 10

Combinaciones 1 3 6 9 3 18 Total

Total 1 3 24 54 9 180 271

Por tanto, de los n´ umeros que no son Cangri son 271. En conclusi´on hay 729 n´ umeros Cangri. 20. En la ďŹ gura 69

P

Q

R

x

Note que đ?‘ƒ = đ?‘…đ?‘„đ?‘‹ ya que uno es un ´angulo inscrito y el otro un ´angulo semiinscrito y los dos abren el mismo arco. Adem´as, el đ?‘‹đ?‘…đ?‘„ = đ?‘ƒ + đ?‘ƒ đ?‘„đ?‘… por ser un ´angulo exterior al â–łđ?‘ƒ đ?‘„đ?‘…. Por otro lado el đ?‘ƒ đ?‘„đ?‘‹ = đ?‘ƒ đ?‘„đ?‘… + đ?‘…đ?‘„đ?‘‹. As´Ĺ, đ?‘‹đ?‘…đ?‘„ = đ?‘ƒ đ?‘„đ?‘‹. Entonces los tri´angulos â–łđ?‘ƒ đ?‘„đ?‘‹ y â–łđ?‘„đ?‘…đ?‘‹ son semejantes ya que đ?‘‹ es com´ un en los dos y đ?‘‹đ?‘…đ?‘„ = đ?‘ƒ đ?‘„đ?‘‹ De esta semejanza tenemos que đ?‘„đ?‘… 2 đ?‘…đ?‘‹ = = đ?‘„đ?‘‹ đ?‘ƒđ?‘„ 3 2 đ?‘…đ?‘‹ = đ?‘„đ?‘‹ 3 Por otro lado

(★)

đ?‘„đ?‘‹ đ?‘…đ?‘‹ = đ?‘ƒđ?‘„ đ?‘„đ?‘‹

entonces đ?‘„đ?‘‹ 2 = de donde đ?‘…đ?‘‹ + 3 3 2 đ?‘„đ?‘‹ = (đ?‘…đ?‘‹ + 3) 3 Reemplazando đ?‘„đ?‘‹ en (★) tenemos que 4 đ?‘…đ?‘‹ = (đ?‘…đ?‘‹ + 3) 9 đ?‘…đ?‘‹ = 70

4đ?‘…đ?‘‹ 4 + 9 3

𝑅𝑋 −

4 4𝑅𝑋 = 9 3 5𝑅𝑋 4 = 9 3 12 𝑅𝑋 = 5

71

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Segunda Fase 2009-2010 EXAMEN NIVEL ELEMENTAL(4to, 5to y 6to grado) 1. Si desde el principio de la fila Teresita es la n´ umero 25, esto nos indica que delante de ella hay 24 personas, por otro lado, si ella es la n´ umero 12 desde el final de la fila, nos indica que detr´as de ella hay 11 personas. Por lo tanto en la fila est´a ella junto con 24 + 11 = 35 personas m´as. Es decir en la fila del banco hay 36 personas. 2. Veamos que si ella gira 360∘ , la nariz del canguro estar´a mirando el ∗ nuevamente y lo que le faltar´ıa por girar serian 270∘ . Si gira 90∘ m´as se encontrar´a mirando el punto B y lo que le restar´ıa por girar serian 180∘ . Por lo tanto, la nariz del canguro estar´a mirando el punto E, luego de girar los 630∘ . 3. Si realizamos todas las posibles combinaciones obtenemos los siguientes 10 resultados: 1+2=3 1+3=4 1+4=5 1+5=6

2+3=5 2+4=6 2+5=7

3+4=7 3+5=8

4+5=9

Como lo que necesitamos es que los resultados sean diferentes, podemos contar que hay 7 sumas diferentes. 4. Como una vaca da 6, 000 litros de leche en un a˜ no, entonces, 8 vacas dar´an un total de 6, 000 × 8 = 48, 000 litros de leche en un a˜ no. As´ı, en 8 a˜ nos las 8 vacas dar´an un total de: 8 × 48, 000 = 384, 000 litros 72

5. Como debemos identificar el patr´on que est´an siguiendo los n´ umeros de vag´on a vag´on, tenemos que ver c´omo obtener el n´ umero 6 que se encuentra en el segundo vag´on a partir del n´ umero 4 que se encuentra en el primero. Si al primer n´ umero le restamos 1 y a su resultado lo multiplicamos por dos obtenemos el n´ umero 6; es decir, 4 − 1 = 3 × 2 = 6. Si realizamos este mismo procedimiento con el n´ umero del segundo vag´on, obtendremos el n´ umero del tercer vag´on, veamos: 6 − 1 = 5 × 2 = 10. Si continuamos con esta misma secuencia obtendremos el n´ umero que pertenece al u ´ltimo vag´on. As´ı, tomamos el n´ umero 34 y le realizamos este mismo procedimiento; 34 − 1 = 33 × 2 = 66. Por lo tanto, el n´ umero que va en el u ´ltimo vag´on es el 66. 6. Podemos listar todas las posibilidades para ubicar dos ni˜ nas en cada tienda de campa˜ na. La lista que se puede generar es la siguiente: Posibilidad 1 2 3 4 5 6

Tienda 1 Anita y Luc´ıa Anita y Juanita Anita y Mar´ıa Luc´ıa y Juanita Luc´ıa y Mar´ıa Juanita y Mar´ıa

Tienda 2 Juanita y Mar´ıa Luc´ıa y Mar´ıa Luc´ıa y Juanita Anita y Mar´ıa Anita y Juanita Anita y Luc´ıa

Por lo tanto, tenemos que podemos ubicar de 6 formas diferentes a las ni˜ nas en las dos tiendas de campa˜ na. 7. Si contamos el n´ umero de m´ ultiplos de 7 del 1 al 100, obtenemos que son 14. Y si por otro lado contamos los m´ ultiplos de 7 del 1 al 1,000, tenemos que hay 142. Por lo tanto, para encontrar cuantos m´ ultiplos de 7 hay entre el 100 y el 1,000, simplemente restamos a 142, los 14 que hay de 1 a 100. As´ı, obtenemos que el n´ umero de m´ ultiplos de 7 del 1 al 1,000 son 142 − 14 = 128. 8. Para tener un mes de tres domingos con d´ıas pares se necesita tener un mes con 5 domingos. Y para obtener un mes con 5 domingos, es necesario que el primer domingo del mes sea el dia 1, 2 o´ 3; 73

si elegimos el 1 o´ el 3, obtendremos unicamente en el mes dos domingos con numero par. As´Ĺ, si elegimos el 2 como el primer domingo del mes obtendremos lo siguiente: D

L

M

W

2 9 16 23 30

3 4 10 11 17 18 24 25 31

5 12 19 26

J

V

S 1 6 7 8 13 14 15 20 21 22 27 28 29

Por lo tanto, como vemos en el calendario anterior el d´Ĺa 20 corresponder´a a un d´Ĺa Jueves. 9. Realizaremos primero el pliegue de la arista que divide a đ??´ y a đ??¸ como se muestra en la ďŹ gura A E

I O

U T

Si ahora doblamos por la arista que divide a đ??¸ y a đ??ź, ya obtenemos las caras frontales del cubo, tal como se muestra a continuaci´on A I U

E O

T

Note que si hacemos un pliegue m´as, obtenemos que la cara opuesta a la cara đ??´ es la cara đ?‘‚ y por lo tanto, el opuesto a la cara đ??¸ ser´a la cara đ?‘ˆ . 74

10. Si dividimos el rectangulo inicial de la siguiente forma:

Obtenemos 8 tri´angulos de igual tama˜ no; ya que son obtenidos a partir de la diagonal de un rect´angulo. Como el ´area total del rect´angulo es 12 unidades cuadradas, entonces, el ´area de cada uno de las tri´angulos ser´a de 1.5 unidades cuadradas. Por lo tanto, los dos tri´angulos que no pertenecen al trapecio tendr´an un ´area de 3 unidades cuadradas. As´ı el a´rea del trapecio ser´a de 12 − 3 = 9 unidades cuadradas. 11. Notemos que en cada arista del cubo original quedar´a un v´ertice cuando se hagan los cortes, por lo tanto el s´olido tendr´a 12 v´ertices. 12. Dado que la cabina 8 se encuentra en el punto m´as alto y la 25 en el punto m´as bajo de la Rueda Gigante, tenemos entonces que hay el mismo n´ umero de cabinas entre la cabina 8 y la 25 por la izquierda, que por la derecha. Entonces, como entre el 8 y el 25 hay 16 n´ umeros, as´ı, en ambos lados habr´a un total de 32 cabinas y si sumamos la cabina 8 y la 25, tendremos que en la Rueda Gigante hay 34 cabinas. 13. En las siguientes figuras se muestran los cubos que se han extra´ıdo para la construcci´on del t´ unel

1

2

75

3

Note que en la figura 1 hay 15 cubos peque˜ nos, en la figura 2 tenemos que tres de los cubos peque˜ nos ya fueron contados en la figura 1, as´ı que en la figura 2 hay 12 cubos peque˜ nos. Por u ´ltimo, en la figura 3, hay solo 10 cubos peque˜ nos, ya que los restantes fueron contados en las figuras 1 y 2. As´ı, en la construcci´on del t´ unel, hay 15 + 12 + 10 = 37 cubos peque˜ nos. Por lo tanto, como en el cubo grande hay 125 cubos peque˜ nos, al restarle los cubos del t´ unel, obtenemos el total de cubos restantes. Es decir, hay un total de 125 − 37 = 88 cubos peque˜ nos. 14. Dado que To˜ no tiene el mismo n´ umero de hermanos que de hermanas, veamos las posibilidades que hay para que a su vez se satisfaga la condici´on de que su hermana Nina tenga el doble de hermanos que de hermanas. Comencemos suponiendo que To˜ no tiene un hermano y una hermana, por lo tanto, en su familia habr´a dos varones y una hembra, as´ı, Nina tendr´a dos hermanos y ninguna hermana, lo cual no satisface la condici´on de que Nina tiene el doble de hermanos que de hermanas. Ahora supongamos que To˜ no tiene dos hermanos y dos hermanas, esto es, en su familia hay tres varones y dos hembras, con lo cual Nina tendr´a tres hermanos y una hermana, lo cual tampoco satisface la condici´on inicial. Si ahora suponemos que To˜ no tiene tres hermanos y tres hermanas, su familia estar´a compuesta por cuatro varones y tres hembras, lo cual indica que Nina tendr´a cuatro hermanos y dos hermanas, lo cual satisface la condici´on de tener el doble de hermanos que de hermanas. Por lo tanto, To˜ no tiene 6 hermanos en total. 15. Lo que deseamos encontrar es el d´ıgito de las unidades del n´ umero 2010 4 , para esto veamos el siguiente patr´on que siguen las potencias de 4: 41 42 43 44 45

=4 = 16 = 64 = 256 = 1024 .. .

76

Por lo tanto, si nos fijamos en el d´ıgito de las unidades en cada resultado, nos damos cuenta que se obtiene el n´ umero 6 si la potencia es un numero par y se obtiene el n´ umero 4 si la potencia es un n´ umero impar. As´ı, el d´ıgito de las unidades del n´ umero 42010 es 6.

77

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Segunda Fase 2009-2010 EXAMEN NIVEL INTERMEDIO(7mo, 8vo y 9no grado) 1. Sean đ?‘Ľ = costo de un caramelo y đ?‘Ś = costo de un chocolate. Sabemos que los chocolates cuestan el doble que los caramelos, as´Ĺ que: đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ y como tenemos que 3đ?‘Ś + 2đ?‘Ľ = 16, podemos reemplazar đ?‘Ś, para que la ecuaci´on quede en t´erminos de la variable đ?‘Ľ para poder resolverla: 3(2đ?‘Ľ) + 2đ?‘Ľ = 16 6đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ = 16 8đ?‘Ľ = 16 đ?‘Ľ=2 As´Ĺ obtenemos que cada caramelo tiene un costo de $2, luego el costo de cada chocolate es de $4. Por lo tanto el costo de 2 chocolates y 3 caramelos, es 2(4) + 3(2) =$14. 2. Notemos que la ďŹ gura 1, posee 3 cuadritos de lado. As´Ĺ que al ubicar una de ellas sobre la ďŹ gura 2, sin importar como se coloque, s´olo restan dos posibles formas de ubicar la ďŹ gura 1 sin solaparla, ya que la ďŹ gura 2 posee 5 cuadritos de lado por 5 de alto. Entonces, podremos poner a lo m´as tres veces la ďŹ gura 1 sobre la ďŹ gura dos sin que estas se sobrepongan. 3. Calculemos, el a´rea total del rect´angulo, esto es đ??´ = đ?‘?â‹…â„Ž = 15â‹…9 = 135cm2 . Como cada uno de los cuadrados de las esquinas tiene un a´rea de 4cm2 , los cuatro cuadrados tendr´an un ´area de 16cm2 . Por lo tanto si restamos esto al a´rea total del rect´angulo, obtendremos que el a´rea de la ďŹ gura resultante es 135 − 16 = 119cm2 . 4. Sea đ?‘Ľ = la edad de uno de los trillizos y đ?‘Ś = la edad de Eva. Puesto que eva es 4 aËœ nos mayor que los trillizos entonces đ?‘Ś = đ?‘Ľ + 4. Tengamos en cuenta que hace tres aËœ nos la edad de los trillizos 78

era đ?‘Ľ − 3, por lo tanto en esa misma epoca la edad de Eva era (đ?‘Ľ + 4) − 3 = đ?‘Ľ + 1. As´Ĺ que en total (đ?‘Ľ + 1) + 3(đ?‘Ľ − 3) = 24 đ?‘Ľ + 1 + 3đ?‘Ľ − 9 = 24 4đ?‘Ľ − 8 = 24 4đ?‘Ľ = 32 đ?‘Ľ=8 Asi, la edad de cada uno de los trillizos actualmente es de 8 aËœ nos, por lo tanto, la edad de Eva es 12 aËœ nos. 5. Si unimos dos piezas de rompecabezas, obtenemos que se forma el siguiente rect´angulo de dos por tres

Como lo que deseamos obtener es un cuadrado, debemos encontrar la forma de obtener el mismo n´ umero de cuadritos de largo que de ancho. Para esto vemos que el 6 es el m´ ultiplo com´ un m´as pequeËœ no entre 2 y 3. Por lo tanto, se requieren 5 m´as de estos rect´angulos para obtener el siguiente cuadrado

As´Ĺ, tendr´Ĺamos que tener 12 ďŹ chas de rompecabezas para poder formar un cuadrado. 6. Podemos expresar el problema en t´erminos de ecuaciones, de la siguiente manera, Sea đ?‘&#x; el n´ umero de cabezas que posee el drag´on rojo y đ?‘Ł el n´ umero de cabezas que posee el drag´on verde. Si el 79

drag´on rojo tuviera 6 cabezas m´as que el drag´on verde, es decir, đ?‘&#x; = đ?‘Ł + 6 entonces:

(đ?‘Ł + 6) + đ?‘Ł = 34 2đ?‘Ł + 6 = 34 2đ?‘Ł = 28 đ?‘Ł = 14 Obtenemos entonces que el drag´on verde tiene un total de 14 cabezas. Por lo tanto, como el drag´on rojo tiene 6 cabezas menos que el drag´on verde, entonces, el drag´on rojo tiene 14 − 6 = 8 cabezas. 7. Como tenemos dos a´ngulos del tri´angulo đ??´đ??śđ??ˇ, entonces el đ??ˇđ??´đ??ś = 75∘ , con lo que podemos concluir que este tri´angulo es un tri´angulo is´osceles, es decir, el segmento đ??ˇđ??ś es igual al segmento đ??´đ??ś. Por hip´otesis tenemos que đ??ˇđ??ś = đ??´đ??ľ, entonces đ??´đ??ś = đ??´đ??ľ, de donde el tri´angulo đ??´đ??ľđ??ś es tambi´en un tri´angulo is´osceles. Por lo tanto, đ??´đ??ľđ??ś = đ??ľđ??śđ??´. Ahora, como đ??ľđ??´đ??ś = 50∘ , entonces los a´ngulos restantes deben medir en total 180∘ − 50∘ = 130∘ y como 130∘ = 75∘ . estos dos a´ngulos son iguales, entonces đ??´đ??ľđ??ś = 2 8. Puesto que el producto de đ?‘? y đ?‘? es đ?‘?, es decir, đ?‘? â‹… đ?‘? = đ?‘?, entonces, đ?‘? = 1. Ahora bien, si el producto de los tres d´Ĺgitos đ?‘Ž, đ?‘? y đ?‘? es el n´ umero de dos d´Ĺgitos đ?‘?đ?‘?, es decir, đ?‘Ž â‹… đ?‘? â‹… đ?‘? = đ?‘?đ?‘?, dado que đ?‘? = 2 y đ?‘? = 1, se tiene la ecuaci´on đ?‘Ž â‹… 1 â‹… 2 = 12. Resolviendo para đ?‘Ž, concluimos que el valor de đ?‘Ž = 6. 9. Como la suma de los n´ umeros del 1 al 8 es 36, entonces, las cartas que estan en cada caja deben sumar 18. Como tenemos que la caja đ??´ u ´nicamente posee tres cartas, ni la carta marcada con el n´ umero 1, ni la carta con el n´ umero 2 pueden estar en esta caja ya que la suma mas grande de las cartas restantes es 15. Por lo tanto, las cartas marcadas con los n´ umeros 1 y 2 , siempre deber´an estar en la caja đ??ľ. Si dejamos la carta con el n´ umero 3 en la caja đ??´, tambi´en estar´an en esta caja las cartas 8 y 7, con lo que las 80

cartas con los n´ umeros 1,2,4 y 6 estar´an en la caja đ??ľ. Ahora bien, si introducimos la carta marcada con el n´ umero 4 en la caja đ??´, entonces, las cartas con los n´ umeros 6 y 8 tambi´en deben estar en đ??´, as´Ĺ, las cartas 1, 2, 3, 5 y 7 estar´an en la caja đ??ľ. Por u ´ltimo, si colocamos la carta marcada con el n´ umero 5 en la caja đ??´, las cartas con los n´ umeros 6 y 7, tambien deben estar en esta caja, con lo que en la caja đ??ľ restaria ubicar las cartas 1, 2, 3, 4 y 8 en la caja đ??ľ. Como estas son todas las posibilidades que satisfacen las dos condiciones, entonces, observamos que la u ´nica condici´on que se mantiene en todas las posibilidades, es que la carta con el n´ umero 2 esta en la caja đ??ľ. 10. Sea đ?‘Ś la longitud de un lado de un cuadrado, el cual tendr´Ĺa un a´rea de đ?‘Ś 2 . Entonces, se forma un tri´angulo rect´angulo como se muestra en la siguiente ďŹ gura.

x y

2y

Aplicando el Teorema de Pit´agoras, obtenemos que:

62 = (2đ?‘Ś)2 + đ?‘Ś 2 36 = 4đ?‘Ś 2 + đ?‘Ś 2 36 = 5đ?‘Ś 2 36 đ?‘Ś2 = 5 36 Entonces tenemos que cada cuadrado tiene un ´area de dec´Ĺme5 tros cuadrados. Por tanto, la ďŹ gura completa, compuesta por 5 36 cuadrados de estos, tiene un a´rea de â‹… 5 = 36 dec´Ĺmetros cua5 drados. 81

11. La primera ni˜ na debe jugar contra sus 4 compa˜ neras. La segunda ni˜ na al haber jugado ya con la primera, le resta jugar con sus otras 3 compa˜ neras. La tercera ni˜ na ya jug´o con la primera y segunda ni˜ na, por tanto, le hacen falta 2 partidos, la cuarta ni˜ na, ´ Unicamente le resta el partido contra la quinta ni˜ na y as´ı, la quinta ni˜ na ya habr´a jugado contra sus otras compa˜ neras. Por tanto, se deben jugar 4 + 3 + 2 + 1 = 10 partidos. 12. Al ser un n´ umero divisible por 5, se debe tener que su u ´ltimo d´ıgito debe ser 0 ´o 5, pero como tambi´en es divisible por 4, eliminamos la posibilidad de que este sea 5, con lo cual tenemos que el u ´ltimo d´ıgito es el 0. Ahora bien, para que este n´ umero sea divisible por 3 la suma de sus d´ıgitos deber´a ser divisible por 3, entonces, el tercer d´ıgito podr´a ser 1, 4 o´ 7, pero al ser divisible tambi´en por 4, el n´ umero compuesto por sus dos u ´ltimos d´ıgitos deber´a ser divisible por 4, luego la u ´nica opci´on que sirve es que este d´ıgito sea el 4. Por lo tanto, el n´ umero de cuatro cifras que estaba escrito en la pizarra era el 8640. 13. Como la suma de sus rec´ıprocos tiene que ser 1, las posibilidades 1 que satisfacen estos son: cuando se suman dos veces con lo cual, 2 el n´ umero bueno que resulta es el 4 ´o bien cuando se suman tres 1 de donde 9 es el otro n´ umero bueno. As´ı, los n´ umeros veces 3 buenos del 1 al 10 son 4 y 9. 14. Note que al ser 100 el menor n´ umero de tres cifras, su triple ser´a un n´ umero que contiene un d´ıgito impar. Esto mismo suceder´a con todos los numeros que se encuentran entre 100 y 133, ya que si vemos el d´ıgito de las centenas del triple de estos n´ umeros siempre es 3. El siguiente n´ umero de tres cifras es el 134, cuyo triple es el 402, el cual cumple la condici´on de tener todos sus d´ıgitos pares. Por lo tanto el n´ umero que estabamos buscando es el 134. 15. Como primer paso, debemos llevar esta ecuaci´on a una forma factorizada, de la siguiente manera 82

đ?‘Ľ2 5 + =7 2 đ?‘Ś 2 đ?‘Ľ đ?‘Ś + 10 =7 2đ?‘Ś đ?‘Ľ2 đ?‘Ś + 10 = 14đ?‘Ś đ?‘Ľ2 đ?‘Ś − 14đ?‘Ś = −10 đ?‘Ś(đ?‘Ľ2 − 14) = −10 Teniendo la ecuaci´on de esta forma, podemos encontrar todos los factores que dan como resultado −10, estos son: -1 y 10, 1 y -10, -2 y 5, 2 y -5. Ahora analizaremos estos casos, para veriďŹ car cuales de ellos nos ofrecen una soluci´on entera. 2 Para el caso en el que √ đ?‘Ś = −1 y đ?‘Ľ − 14 = 10, resolviendo para đ?‘Ľ, tenemos que đ?‘Ľ = Âą 24, la cual no resulta ser una soluci´on entera, por lo tanto queda descartada. √ Si đ?‘Ś = 1 y đ?‘Ľ2 − 14 = −10, obtenemos que đ?‘Ľ = Âą 4 = Âą2, de donde surgen dos soluciones enteras: (2, 1) y (−2, 1). √ Si đ?‘Ś = −2 y đ?‘Ľ2 − 14 = 5, entonces, đ?‘Ľ = Âą 19, pero esta soluci´on tampoco es entera, luego queda descartada. √ Si đ?‘Ś = 2 y đ?‘Ľ2 − 14 = −5, tenemos que đ?‘Ľ = Âą 9 = Âą3, con lo que obtenemos dos soluciones m´as; (3, 2) y (−3, 2). √ Si đ?‘Ś = −5 y đ?‘Ľ2 − 14 = 2, entonces, đ?‘Ľ = Âą 16 = Âą4, luego las soluciones (4, −5) y (−4, −5) hacen parte tambien de las soluciones enteras de la ecuaci´on. √ Si đ?‘Ś = 5 y đ?‘Ľ2 − 14 = −2, entonces, đ?‘Ľ = Âą 12, con la cual no obentenemos un valor entero para đ?‘Ľ, por lo tanto, queda descartada. √ Si đ?‘Ś = −10 y đ?‘Ľ2 − 14 = 1, entonces, đ?‘Ľ = Âą 15, pero de nuevo este resultado no es entero, con lo que se descarta esta posibilidad. √ Y por u ´ltimo si đ?‘Ś = 10 y đ?‘Ľ2 − 14 = −1, entonces, đ?‘Ľ = Âą 13, que tampoco da un resultado entero. Por lo tanto, las soluciones enteras de la ecuaci´on son: (2, 1), (−2, 1), (3, 2), (−3, 2), (4, −5) y (−4, −5).

83

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Segunda Fase 2009-2010 EXAMEN NIVEL SUPERIOR(10mo, 11mo y 12mo grado) 1. Si partimos por la parte indicada en la figura,

A

B

nos damos cuenta que hay 4 posibles camino para llegar hasta B, si ahora salimos por el otro lado, observamos que hay tambi´en 4 posibles caminos. Por lo tanto, en total hay 8 caminos para recorrer de A hasta B. 2. El n´ umero 1664 lo podemos factorizar de la siguiente forma: 1664 = 7 2 ⋅13, ahora debemos ajustar este producto con el fin de satisfacer la condici´on de que la edad del menor sea la mitad del mayor. Entonces veamos que 27 = 24 ⋅ 23 y vemos que si dejamos expresado el producto como: 1664 = 24 ⋅ 23 ⋅ 13, tenemos que el mayor tiene 16 a˜ nos, el menor tiene 8 a˜ nos y hay un tercero que tiene 13 a˜ nos. As´ı, tenemos que este padre tiene 3 hijos. 3. Si dividimos la bandera como se muestra en la siguiente figura

84

obtenemos 12 tri´angulos que poseen la misma a´rea. N´otese que tres de estos tri´angulos pertenecen al a´rea que esta sombreada. Ahora, como el ´area total de la bandera es de 3đ?‘š2 , tenemos que cada cuatro tri´angulos suman un a´rea de 1đ?‘š2 , por lo tanto, la 3 parte sombreada de la bandera debe tener un ´area de đ?‘š2 . 4 4. Lo que debemos formar son n´ umeros de tres d´Ĺgitos, con los siguientes 6 d´Ĺgitos 0, 1, 3, 4, 6 y 9. Por la regla de multiplicaci´on tenemos que son: 5 â‹… 6 â‹… 6 = 180, esto porque el d´Ĺgito de las centenas debe ser diferente de 0. Note que estos n´ umeros de tres d´Ĺgitos no poseen el 2, 5, 7 y 8, as´Ĺ, tenemos que hay 180 n´ umeros que no contienen estos d´Ĺgitos. 5. Sea đ?‘Ľ el lado del cuadrado, as´Ĺ el per´Ĺmetro del cuadrado ser´a 4đ?‘Ľ.

x

x

Note por otro lado, que la diagonal del cuadrado es el diametro del circulo, luego esta diagonal tiene una longitud de 2. As´Ĺ, que aplicando el Teorema de Pit´agoras y resolviendo la ecuaci´on para la variable đ?‘Ľ tenemos lo siguiente:

đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ2 = 22 2đ?‘Ľ2 = 4 đ?‘Ľ2 = 2 √ đ?‘Ľ= 2 √ Por lo tanto, el perimetro del cuadrado ser´a de 4 2. 85

6. Si restamos las ecuaciones, �� + �� = 44 �� + �� = 23

(1) (2)

obtenemos la siguiente ecuaci´on: đ?‘Ľđ?‘Ś − đ?‘Ľđ?‘§ = 21 đ?‘Ľ(đ?‘Ś − đ?‘§) = 21 Si factorizamos el 21, como producto de dos factores, tenemos que se puede escribir como: 21 = 3 â‹… 7 ´o 21 = 1 â‹… 21. Si tomamos đ?‘Ľ = 3 y đ?‘Ś − đ?‘§ = 7, reemplazando en la ecuaci´on (2), tenemos que 3đ?‘§ + (7 + đ?‘§)đ?‘§ = 23, de donde 3đ?‘§ + 7đ?‘§ + đ?‘§ 2 = 23, as´Ĺ, al resolver la ecuaci´on cuadr´atica đ?‘§ 2 + 10đ?‘§ − 23 = 0 observamos que no tiene soluciones enteras, por tanto, esta combinaci´on queda descartada. Note que si tomamos đ?‘Ľ = 7 y đ?‘Ś − đ?‘§ = 3, obtendremos nuevamente la ecuaci´on cuadr´atica đ?‘§ 2 + 10đ?‘§ − 23 = 0, la cual no tiene soluciones enteras, con lo cual tambi´en queda descartada. Ahora si tomamos el otro producto, con đ?‘Ľ = 1 y đ?‘Ś − đ?‘§ = 21, reemplazando en la ecuaci´on (2) obtenemos que đ?‘§ + (21 + đ?‘§)đ?‘§ = 23 đ?‘§ + 21đ?‘§ + đ?‘§ 2 = 23 đ?‘§ 2 + 22đ?‘§ − 23 = 0 (đ?‘§ + 23)(đ?‘§ − 1) = 0 As´Ĺ, obtenemos que las soluciones son đ?‘§ = −23, la cual queda descartada ya que se est´an pidiendo s´olo las soluciones positivas y đ?‘§ = 1, de donde đ?‘Ś = 22. Por tanto la terna soluci´on al sistema inicial es (1, 22, 1). Por u ´ltimo, si tomamos đ?‘Ľ = 21 y đ?‘Ś − đ?‘§ = 1, reemplazando en la ecuaci´on (2), obtenemos la misma ecuaci´on cuadr´atica đ?‘§ 2 + 22đ?‘§ − 23 = 0, de la cual obtuvimos como soluci´on đ?‘§ = −23 y đ?‘§ = 1. De esto, descartamos la primera soluci´on debido a que era negativa. 86

As´Ĺ, obtenemos que para la segunda soluci´on si đ?‘§ = 1 y đ?‘Ś = 2, la tripleta que soluciona el sistema ser´a (21, 2, 1). Por lo tanto, encontramos 2 posibles soluciones para el sistema de ecuaciones dado. 7. Notemos que đ??ˇđ??ľ es una diagonal del cuadrado đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ, entonces đ??ˇđ??ľđ??´ = 45∘ = đ??ľđ??ˇđ??´. A

D

O

M

N B

C

Por otro lado, como đ?‘‚đ?‘ đ??´ es un a´ngulo exterior al tri´angulo đ??ľđ?‘‚đ?‘ , entonces đ??ľđ?‘‚đ?‘ + đ?‘ đ??ľđ?‘‚ = 60∘ , pero note que đ?‘ đ??ľđ?‘‚ = đ??ˇđ??ľđ??´. Por lo tanto 45∘ + đ??ľđ?‘‚đ?‘ = 60∘ đ??ľđ?‘‚đ?‘ = 60∘ − 45∘ đ??ľđ?‘‚đ?‘ = 15∘

Como đ??ľđ?‘‚đ?‘ y đ??ˇđ?‘‚đ?‘€ son ´angulos opuestos por el v´ertice, entonces đ??ľđ?‘‚đ?‘ = đ??ˇđ?‘‚đ?‘€ . As´Ĺ tenemos que đ??ˇđ?‘‚đ?‘€ = 15∘ .

8. Sea đ?‘Ž + (đ?‘Ž + 1) + (đ?‘Ž + 2) + .... + (đ?‘Ž + (đ?‘˜ − 1)), la suma de đ?‘˜ n´ umeros enteros consecutivos, note que 2 ≤ đ?‘˜ ≤ 13, puesto que si sumamos m´as de 13 n´ umeros consecutivos, el resultado de la suma va a ser mayor que 100. Entonces, sumando los t´erminos obtenemos đ?‘˜đ?‘Ž + (1 + 2 + .... + (đ?‘˜ − 1)). Mediante la suma de Gauss, resolvemos el par´entesis obteniendo đ?‘˜đ?‘Ž +

đ?‘˜(đ?‘˜ − 1) 2

ahora esta suma debe ser 100, entonces simpliďŹ cando la ecuaci´on đ?‘˜đ?‘Ž +

đ?‘˜(đ?‘˜ − 1) = 100 2 87

tenemos que đ?‘˜(2đ?‘Ž+(đ?‘˜ −1)) = 200, de donde podemos inferir que đ?‘˜ tiene que dividir a 200. Entonces đ?‘˜ = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100 o´ 200, pero descartamos cuando đ?‘˜ = 1 y cuando đ?‘˜ > 13, ya que se salen del rango de valores de đ?‘˜, por lo tanto restan 5 posibilidades. Cuando đ?‘˜ = 2, entonces 2đ?‘Ž+1 = 100 y esta ecuaci´on no tiene soluciones enteras. Si đ?‘˜ = 4, entonces 2đ?‘Ž + 3 = 50, que tampoco tiene soluci´on entera. Si đ?‘˜ = 5 tenemos que 2đ?‘Ž + 4 = 50, con lo que đ?‘Ž = 18, as´Ĺ, si sumamos 5 n´ umeros consecutivos a partir del 18, obtenemos 100 como resultado. Ahora bien, si đ?‘˜ = 8 entonces, 2đ?‘Ž + 7 = 25, de donde đ?‘Ž = 9, es decir, que si sumamos 8 n´ umeros consecutivos a partir del 9 tendremos que la suma de ellos ser´a igual a 100. Por u ´ltimo, si đ?‘˜ = 10 la ecuaci´on resutar´Ĺa 2đ?‘Ž + 9 = 20, que no posee soluci´on entera. Por lo tanto, tenemos dos conjuntos de numeros enteros que satisfacen que la suma de numeros consecutivos es igual a 100. 9. Puesto que el ´area total del cuadrado es igual a 1. El ´area de los 1â‹…đ?‘Ľ . Ahora, como son tres tri´angulos tri´angulos de base đ?‘Ľ, ser´a 2 de igual a´rea cuya suma es el a´rea del cuadrado, se puede plantear la siguiente ecuaci´on: đ?‘Ľ 3â‹… =1 2 2 As´Ĺ, resolviendo para đ?‘Ľ tenemos que đ?‘Ľ = . 3 10. Debemos tener en cuenta que la mayor suma que podemos conseguir es 18 la cual es obtenida u ´nicamente por el n´ umero 99 y el residuo obtenido al efectuar la divisi´on es 9. Ahora veamos que pasa si la suma es 17. Los que n´ umeros que satisfacen esta suma son el 98 y el 89 y sus residuos son 13 y 4 respectivamente. Para la suma igual a 16 tenemos los n´ umeros 97, 88 y 79 cuyos residuos son 1, 8 y 15. Si analizamos el 15 observamos que el mayor residuo que se puede otener de este es el 14, por lo tanto, el mayor residuo que se obtiene al realizar esta divisi´on entre la suma de los d´Ĺgitos es el 15 11. Para poder obtener el n´ umero m´as pequeËœ no, debemos utilizar la mayor cantidad de veces el n´ umero mas grande de un d´Ĺgito, es de88

cir, el n´ umero 9. Ahora tenemos que el m´ ultiplo de 9 m´as cercano a 2010 es 223, as´Ĺ, tenemos que nos restar´Ĺa sumar una cantidad de 3 para obtener el 2010. Por lo tanto, si ubicamos el 3 en el d´Ĺgito de la izquierda y luego 223 nueves, obtenemos el n´ umero natural m´as pequeËœ no, el cual al sumar sus d´Ĺgitos se obtiene el 2010. Luego el d´Ĺgito de la izquierda de este n´ umero natural es el 3. 12. Sea đ?‘Ľ la longitud de la hipotenusa y đ?‘Ś el valor de uno de sus catetos, como se muestra en la siguiente ďŹ gura:

x

y

Por el Teorema de Pit´agoras se tiene que: √ đ?‘Ľ2 = đ?‘Ś 2 + ( 12)2 đ?‘Ľ2 − đ?‘Ś 2 = 12 (đ?‘Ľ − đ?‘Ś)(đ?‘Ľ + đ?‘Ś) = 12 Pero note que el n´ umero 12 lo podemos escribir como el producto de dos factores de la siguiente manera: 12 â‹… 1, 2 â‹… 6 y 3 â‹… 4. Por otro lado, tenemos que đ?‘Ľ, đ?‘Ś > 0 y tambi´en que đ?‘Ľ > đ?‘Ś ya que đ?‘Ľ es la longitud de la hipotenusa. As´Ĺ, đ?‘Ľ − đ?‘Ś < đ?‘Ľ + đ?‘Ś. Por lo tanto tendremos los siguientes casos: i) Si đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 1 y đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 12, entonces, si sumamos estas dos 13 ecuaciones obtenemos que 2đ?‘Ľ = 13, para el cual đ?‘Ľ = , el 2 cual no es un n´ umero entero. Por lo tanto, este no genera un tri´angulo rect´angulo con las condiciones iniciales dadas. ii) Si đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś = 2 y đ?‘Ľ+đ?‘Ś = 6, entonces, sumando las dos ecuaciones tenemos que 2đ?‘Ľ = 8, por lo tanto đ?‘Ľ = 4, as´Ĺ đ?‘Ś = 2. Luego √ este es un tri´angulo rect´angulo cuyos catetos miden 2 y 12 y cuya hipotenusa es 4. 89

iii) Si đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś = 3 y đ?‘Ľ+đ?‘Ś = 4, entonces, sumando las dos ecuaciones obtenemos que 2đ?‘Ľ = 7, pero la soluci´on para đ?‘Ľ no es un n´ umero entero, el cual no satisface las condiciones para el tri´angulo rect´angulo requerido. As´Ĺ, tenemos que s´olo hay un tri´angulo rect´angulo que satisface la condici´on de que uno de sus catetos umeros √ y su hipotenusa sean n´ enteros y cuyo otro cateto mida 12. 13. Consideremos la siguiente ďŹ gura 2x

A

B

x

D

C

M

Note que đ??´đ?‘€ đ??ˇ = đ??ľđ??´đ?‘€ , por ser alternos internos y como đ??´đ?‘€ đ??ˇ = đ??´đ?‘€ đ??ľ, entonces, đ??´đ?‘€ đ??ľ = đ??ľđ??´đ?‘€ . As´Ĺ el tri´angulo đ?‘€ đ??ľđ??´ es un tri´angulo is´oseles y con esto tenemos que el segmento đ??´đ??ľ es igual a segmento đ?‘€ đ??ľ. Ahora, el tri´angulo đ??ľđ?‘€ đ??ś es un tri´angulo especial 30 60 90, donde đ??śđ??ľđ?‘€ = 60∘ , con lo que đ?‘€ đ??ľđ??´ = 90∘ − 60∘ = 30∘ . Como đ??´đ?‘€ đ??ľ + đ??ľđ??´đ?‘€ + 30∘ = 180 y tenemos que đ??´đ?‘€ đ??ľ = đ??ľđ??´đ?‘€ , entonces, 2 đ??´đ?‘€ đ??ľ = 150∘ . Por lo tanto, đ??´đ?‘€ đ??ľ = 75∘ .

14. Puesto que las soluciones tienen que satisfacer que đ?‘Ľ21 + đ?‘Ľ22 = 5, tenemos que đ?‘Ľ21 = 5 − đ?‘Ľ22 , entonces, tenemos que las posibles soluciones enteras son: đ?‘Ľ1 = Âą1 y đ?‘Ľ2 = Âą2, ´o, đ?‘Ľ1 = Âą2 y đ?‘Ľ2 = Âą1. Por lo tanto, existen 4 diferentes soluciones. Si reemplazamos estos valores de đ?‘Ľ y solucionamos para đ?‘? y đ?‘?, obtendremos las posibles soluciones. Entonces: Si đ?‘Ľ1 = 1 y đ?‘Ľ2 = 2 entonces, restando las dos ecuaciones obtenemos: 1 - b + c = 0 4 - 2b + c = 0 -3 + b = 0 90

Donde đ?‘? = 3 y por lo tanto đ?‘? = 2. Ahora, si đ?‘Ľ1 = −1 y đ?‘Ľ2 = 2 y restamos estas dos ecuaciones obtenemos que: 1 + b + c = 0 4 - 2b + c = 0 -3 + 3b = 0 As´Ĺ đ?‘? = 1 y por lo tanto đ?‘? = −2. Si tomamos đ?‘Ľ1 = 1 obtenemos: 1 - b + c 4 + 2b + c -3 - 3b

y đ?‘Ľ2 = −2 y restamos las dos ecuaciones = 0 = 0 = 0

Entonces đ?‘? = −1 y por lo tanto đ?‘? = −2. Y por u ´ltimo, si đ?‘Ľ1 = −1 y đ?‘Ľ2 = −2 entonces restando las dos ecuaciones okbtenemos: 1 + b + c = 0 4 + 2b + c = 0 -3 - b = 0 Donde đ?‘? = −3 y por lo tanto đ?‘? = 2. As´Ĺ, tenemos que (3, 2), (1, −2), (−1, −2) y (−3, 2), son los posibles valores de đ?‘? y đ?‘?. 15. Tenemos que đ?‘Ž3 + đ?‘?3 = 13 y đ?‘Ž9 + đ?‘?9 = −299, entonces:

(đ?‘Ž3 + đ?‘?3 )3 = đ?‘Ž9 + 3đ?‘Ž6 đ?‘?3 + 3đ?‘Ž3 đ?‘?6 + đ?‘?9 (đ?‘Ž3 + đ?‘?3 )3 = (đ?‘Ž9 + đ?‘?9 ) + 3đ?‘Ž3 đ?‘?3 (đ?‘Ž3 + đ?‘?3 ) (13)3 = (−299) + 3đ?‘Ž3 đ?‘?3 (13) 2197 = −299 + 39đ?‘Ž3 đ?‘?3 2197 + 299 đ?‘Ž3 đ?‘? 3 = 39 đ?‘Ž3 đ?‘?3 = 64 đ?‘Žđ?‘? = 4 91

Pero note que esto no puede ser cierto, ya que para que esto ocurriera, tanto đ?‘Ž como đ?‘?, deben ser o ambos positivos o ambos negativos; lo cual contradice las condiciones planteadas inicialmente. Puesto que đ?‘Ž3 + đ?‘?3 = 13 nos indica que ambos no pueden ser negativos y đ?‘Ž9 + đ?‘?9 = −299 que ambos no pueden ser positivos. Por lo tanto, no hay soluci´on.

92

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS ´ OLIMPIADA DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2009 EXAMEN NIVEL ELEMENTAL(4to, 5to y 6to) 1. Todos los n´ umeros que al contarlos de 2 en 2 y sobra 1, son los n´ umeros impares, los cuales mostramos en la siguiente lista: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, . . . Todos los n´ umeros que al contarlos de 3 en 3 y sobra 1 los mostramos en la siguiente lista: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, . . . Como necesitamos el menor n´ umero que al contarlo de estas dos formas cumpla lo pedido, debemos de encontrar el menor n´ umero que se repita en las dos listas y este es el 7. 2. Comenzamos con 100 participantes, veamos en la siguiente tabla el n´ umero de rondas y los participantes que van quedando despu´es de jugarla: Ronda 1 2 3 4 5 6 7

Participantes iniciales 100 50 26 14 8 4 2

Participantes restantes 50 25 13 7 4 2 1

En las rondas 3 y 4 se debe agregar 1 participante a los restantes ya que da un n´ umero impar, esto de acuerdo a las condiciones del problema. As´ı el n´ umero de rondas es 7. 3. Vamos a contar de acuerdo a los tama˜ nos de los tri´angulos como lo vemos en la siguiente tabla: 93

Tipo de tri´angulo

N´ umero de tri´angulos 8

4

4

4 As´ı que en total tenemos 20 tri´angulos. 4. Como el n´ umero de las cabezas de los dragones rojos son 6 m´as que el n´ umero de patas verdes, esto nos dice que hay un dragon rojo m´as que un dragon verde. Ahora lo que debemos conseguir es que el n´ umero de colas totales sean 44, para ello miramos la siguiente tabla: Dragones Rojos 2 3 4 5 6 7 8

Dragones Verdes 1 2 3 4 5 6 7

Colas Rojas 4 6 8 10 12 14 16

Colas Verdes 4 8 12 16 20 24 28

Colas Totales 8 14 20 26 32 38 44

Por tanto el n´ umero de dragones verdes que hay es 7. 5. Si octavio se comiera 5 galletas uno de los otros dos come m´as galletas que ´el, lo cual no es posible. Si Octavio se comiera 6 galletas, entonces necesariamente uno de los otros dos se comer´ıa el mismo n´ umero que ´el o m´as lo cual tampoco es posible. Si se 94

comiera 7, los dem´as podri´an comer menos que ´el, por lo tanto esta es la respuesta, Octavio se debe comer m´Ĺnimo 7 galletas. 6. Los que llegaron detr´as de Luis son el doble de los que llegaron delante, Por tanto, si tenemos la lista de los 28 participantes 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13, 14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28 Notemos que antes del 10 hay 9 n´ umeros y desp´ ues del 9 hay 18 n´ umeros, lo que cumple la condici´on, por lo tanto Luis ocup´o la posici´on n´ umero 10. 7. Los n´ umeros terminados en tres son los siguientes 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93, que al contarlos son 10 y los m´ ultiplos de tres son 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51, 54,57,60,63,66,69,72,75,78,81,84,87,90,93,96,99 que en total son 33, pero notemos que el 3, 33, 63, 93 se repiten. Por tanto, solo hay 29. Si a estos les sumamos los 10 que terminan en 3, tenemos 39 n´ umeros. 8. El ex´agono regular lo podemos dividir en 6 tri´angulos equilateros de lado 7. As´Ĺ la diagonal del ex´agono mide 14 cent´Ĺmetros. 9. Podemos dividir el rect´angulo como lo muestra la siguiente ďŹ gura: E

A

B

F

C

D

Notemos que hay 8 tri´angulos iguales. Por tanto, el ´area del â–łđ??¸đ??ľđ??š = 1đ?‘?đ?‘š2 . 95

10. Para diferenciar las blusas las llamaremos đ??ľ1 , đ??ľ2 , đ??ľ3 , las faldas đ??š1 , đ??š2 , đ??š3 y los sombreros đ?‘†1 , đ?‘†2 y los zapatos no importa, ya que siempre usar´a los mismos zapatos. Las posibilidades que tenemos son las siguientes: đ??ľ1 , đ??š1 , đ?‘†1 đ??ľ1 , đ??š1 , đ?‘†2 đ??ľ1 , đ??š2 , đ?‘†1 đ??ľ1 , đ??š2 , đ?‘†2 đ??ľ1 , đ??š3 , đ?‘†1 đ??ľ1 , đ??š3 , đ?‘†2

đ??ľ2 , đ??š1 , đ?‘†1 đ??ľ2 , đ??š1 , đ?‘†2 đ??ľ2 , đ??š2 , đ?‘†1 đ??ľ2 , đ??š2 , đ?‘†2 đ??ľ2 , đ??š3 , đ?‘†1 đ??ľ2 , đ??š3 , đ?‘†2

As´Ĺ que hay 18 posibilidades.

96

đ??ľ3 , đ??š1 , đ?‘†1 đ??ľ3 , đ??š1 , đ?‘†2 đ??ľ3 , đ??š2 , đ?‘†1 đ??ľ3 , đ??š2 , đ?‘†2 đ??ľ3 , đ??š3 , đ?‘†1 đ??ľ3 , đ??š3 , đ?‘†2

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS ´ OLIMPIADA DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2009 EXAMEN NIVEL INTERMEDIO (7mo, 8vo y 9no) 1. Podemos dividir el pent´agono como sigue:

Estos 10 tri´angulos son iguales. Como 3 de 10 son los que estan sombreados. entonces el porcentaje del pent´agono que esta sombreado es el 30 %. 2. Como son n´ umeros entre 1000 y 2000, estos siempre deben empezar por un 1. As´Ĺ, el producto de los otros tres d´Ĺgitos debe ser 8. Las posibilidades que tenemos son 222, 124, 142, 214, 241, 412, 421, 118, 181, 811 Es decir, tenemos 10 posibilidades. 3. Como đ?‘Ž > 0 y đ?‘Ž â‹… đ?‘? = 12 entonces đ?‘? > 0. Tambi´en đ?‘? > 0 pues đ?‘? â‹… đ?‘? = 20. Si multiplicamos las tres ecuaciones tenemos que (đ?‘Ž â‹… đ?‘?)(đ?‘? â‹… đ?‘?)(đ?‘Ž â‹… đ?‘?) = 12 â‹… 20 â‹… 15 đ?‘Ž2 â‹… đ?‘?2 â‹… đ?‘?2 = 3600 √ y sacando raiz cuadrada a ambos lados obtenemos que đ?‘Ž2 â‹… đ?‘?2 â‹… đ?‘?2 = √ 3600 lo que signiďŹ ca que đ?‘Ž â‹… đ?‘? â‹… đ?‘? = Âą60. Pero como đ?‘Ž, đ?‘? y đ?‘? son positivos, entonces el negativo se elimina. Por tanto đ?‘Ž â‹… đ?‘? â‹… đ?‘? = 60. 4. Como â–łđ??śđ?‘‚đ??ľ es equil´atero, sus ´angulos miden 60∘ . 97

A

D O

B

C

Si âˆĄđ??´đ??ľđ??ś = 90∘ , entonces âˆĄđ??´đ??ľđ?‘‚ = 30∘ ya que âˆĄđ??´đ??ľđ??śâˆ’âˆĄđ?‘‚đ??ľđ??ś = âˆĄđ??´đ??ľđ?‘‚. Pero đ?‘‚đ??ľ = đ??´đ??ľ, por tanto, el â–łđ??´đ??ľđ?‘‚ es is´osceles. y as´Ĺ âˆĄđ?‘‚đ??´đ??ľ = âˆĄđ??´đ?‘‚đ??ˇ = 75∘ . El âˆĄđ??ˇđ??´đ??ś = 45∘ ya que es el a´ngulo de la diagonal del cuadrado. Por tanto, el âˆĄđ??śđ??´đ?‘‚ = 30∘ . 5. Pedro le dio la vuelta a la carta que tiene el n´ umero 3 de un lado y prob´o que Juan ment´Ĺa, ya que Juan nunca dijo que del otro lado de un n´ umero impar, siempre habia una consonante. 6. El a´rea de superďŹ cie es igual a la del cubo, ya que las regiones đ??´, đ??ľ, đ??ś complementan las caras que se recortar´on. Por tanto, el a´rea es 6 Ă— 4 = 24đ?‘?đ?‘š2 .

A B C

7. Los u ´nicos d´Ĺgitos que puede tener đ??´ son: 0, 1, 4 o´ 9. As´Ĺ todos los posibles valores de đ??´ que podemos formar son: 100 111 144 199 410 441 494 909 940 991

101 114 149 400 411 444 499 910 941 994

104 119 190 401 414 449 900 911 944 999 98

109 140 191 404 419 490 901 914 949

110 141 194 409 440 491 904 919 990

Los n´ umeros subrayados son los que cumplen la condici´on, por lo tanto hay 5 valores posibles para đ??´. 8. Veamos tres casos posibles. a) Los lados del cuadrado son un lado de los cuadrados nuevos, como lo muestra la ďŹ gura

A

B

C

D

Tenemos 4 cuadrados de esta forma. b) Los lados de los cuadrados son las diagonales de los nuevos cuadrados, como lo muestra la ďŹ gura A

B

D

C

Tambi´en tenemos 4 de esta forma. c) Las diagonales del cuadrado dado son los lados de los nuevos cuadrados, como lo muestra la ďŹ gura

A

B

D

C

Tambi´en tenemos 4 cuadrados de esta forma. En total tenemos 12 cuadrados. 99

9. Notemos que para conseguir el u ´ltimo d´Ĺgito de una m´ ultiplicaci´on, debemos tomar el u ´ltimo d´Ĺgito del producto. Para conseguir los u ´ltimos d´Ĺgitos de n´ uestros n´ umeros, lo hacemos para cada base. Para la base 3, tenemos lo siguiente: Exponente 1 2 3 4

u ´ltimo d´Ĺgito 3 9 7 1

A partir del exponente 5, se empieza a repetir el patr´on. Por tanto, estos se repiten cada cuatro, es decir, que el residuo que deje 1001 al dividirlo por 4, nos da el u ´ltimo d´Ĺgito de 31001 . Pero 1001 = 4 â‹… 250 + 1, as´Ĺ que el u ´ltimo d´Ĺgito es 3. Para la base 7, tenemos lo siguiente: Exponente 1 2 3 4

u ´ltimo d´Ĺgito 7 9 3 1

Es decir, que sucede lo mismo que para la base 3, por tanto debemos dividir por 4, pero en este caso el 1002. Como 1002 = 4â‹…250+2. Por tanto, el u ´ltimo d´Ĺgito es 9. Para la base 13, se cumple lo mismo que el de la base 3. As´Ĺ el u ´ltimo d´Ĺgito es 1003 = 4 â‹… 250 + 3. El u ´ltimo d´Ĺgito es 7. Como 3 Ă— 9 Ă— 7 termina en el n´ umero 9, la respuesta es 9. 10. Para demostrar que es divisible por 48, factorizamos el polinomio: đ?‘›3 + 3đ?‘›2 − đ?‘› − 3 = đ?‘›2 (đ?‘› + 3) − (đ?‘› + 3) = (đ?‘› + 3)(đ?‘›2 − 1) = (đ?‘› − 1)(đ?‘› + 1)(đ?‘› + 3) Como đ?‘› es impar, se puede escribir de la forma đ?‘› = 2đ?‘˜ + 1 con đ?‘˜ entero positivo, as´Ĺ (đ?‘› − 1)(đ?‘› + 1)(đ?‘› + 3) = (2đ?‘˜)(2đ?‘˜ + 2)(2đ?‘˜ + 4) = 8đ?‘˜(đ?‘˜ + 1)(đ?‘˜ + 2) 100

Por tanto, es m´ ultiplo de 8 y esta multiplicado por tres enteros consecutivos. Uno de estos tres enteros consecutivos es divisible por 3. Adem´as đ?‘˜ o´ đ?‘˜ + 1 es divisible por 2. En conclusi´on, đ?‘›3 + 3đ?‘›2 − đ?‘› − 3 es divisible por 48.

101

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS ´ OLIMPIADA DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2009 EXAMEN NIVEL SUPERIOR (10mo, 11mo y 12mo) 1. Contemos primero los tri´angulos que se forman con los puntos de la ďŹ gura

A

Es facil ver que hay 10. De igual manera se obtienen 10 tri´angulos usando el punto đ??ľ en lugar del punto đ??´ en

A

B

A estos le debemos adiccionar los tri´angulos donde se usan đ??´ y đ??ľ, estos son los 4 que muestra la ďŹ gura.

A

B

En total, hay 10 + 10 + 4 = 24 tri´agulos formados por los puntos de la ďŹ gura. 2. Notemos que los tri´angulos que quedan en la ďŹ gura todos son equil´ateros y tambi´en que đ??´ = đ??ľ, đ??ś = đ??ˇ y đ??¸ = đ??š . Tambi´en notemos que la parte resaltada de la ďŹ gura equivale a un lado de un tri´angulo de lado 6. Como hay dos de estos para formar el hex´agono, entonces el per´Ĺmetro es 12. 102

C A F

E

B D

3. Hugo cuando no miente siempre esta diciendo la verdad, por eso cuando responde la primera pregunta ya sabemos que el esta mintiendo, por que los s´abados el miente. Por tanto, no se pudieron encontrar un dominigo, lunes mi´ercoles o viernes. No pudo ser martes por que la segunda respuesta ser´ıa verdad. No pudo ser s´abado por que la primera respuesta seri´a verdad. Por tanto, la respuesta es que se encontraron un jueves. 4. Podemos factorizar 216 − 1 216 − 1 = (28 + 1)(28 − 1) = (28 + 1)(24 + 1)(24 − 1) = (28 + 1)(24 + 1)(22 + 1)(22 − 1) = (28 + 1)(24 + 1)(22 + 1)(2 + 1)(2 − 1) = 257 ⋅ 17 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 Como 257 es primo, este es el primo m´as grande que divide a 216 − 1. 5. Consideremos el cuadrado gris que es uno de los cuadrados negros. Eliminando la fila y la columna marcadas por las l´ıneas, podemos escoger 24 cuadrados blancos. Si escogieramos cualquier cuadrado negro diferente al escogido primero y eliminamos la fila y la columna en la que ´el se encuentra, tambi´en podemos contar 24 cuadrados blancos. Si esto lo hacemos con cada cuadrado negro siempre van a resultar 24 cuadrados blancos. Como hay 32 cuadrados negros, entonces podemos hacer 32 ⋅ 24 = 768 parejas que cumplen la condici´on. 103

6. Para colocar el n´ umero 2 hay dos posibilidades: đ?‘Ž1 o´ đ?‘Ž2 . Para colocar el n´ umero 3 hay tres posibilidades, đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 o´ đ?‘Ž3 , pero đ?‘Ž1 o´ đ?‘Ž2 ya est´an ocupados por el n´ umero 2. Luego hay s´olo dos posibilidades para ubicar el n´ umero 3. Para colocar el n´ umero 4 hay cuatro posibilidades đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 o´ đ?‘Ž4 , pero dos de ellas ya est´an ocupadas por los n´ umeros 2 y 3. Es decir, hay s´olo dos posibilidades. 2009 As´Ĺ sucesivamente se obtiene 2| Ă— 2 Ă— {zâ‹… â‹… â‹… Ă— 2} = 2 . 2009 veces

7. Supongamos que đ?‘Ž y đ?‘? son las ra´Ĺces del polinomio. Por tanto đ?‘? = −(đ?‘Ž + đ?‘?) y đ?‘ž = đ?‘Žđ?‘?. Como 198 = đ?‘? + đ?‘ž entonces 198 = đ?‘? + đ?‘ž = −(đ?‘Ž + đ?‘?) + đ?‘Žđ?‘?. Despejando para đ?‘?, obtenemos que đ?‘?=

198 + đ?‘Ž donde đ?‘Ž ∕= 1 đ?‘Žâˆ’1

. 198 + đ?‘Ž Pero đ?‘Ž y đ?‘? son n´ umeros enteros, as´Ĺ debe ser entero. Conđ?‘Žâˆ’1 sideremos dos casos: đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; Caso 1: Sea đ?‘Ž impar. Esto signiďŹ ca que đ?‘? = lo cual nunca đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; da un entero. đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; Pero esto s´olo Caso 2: Sea đ?‘Ž par. Esto signiďŹ ca que đ?‘? = đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; es posible si el denominador es igual a Âą1. Por tanto, đ?‘Ž − 1 = 1 lo que implica que đ?‘Ž = 2 y đ?‘Ž − 1 = −1 lo que implica que đ?‘Ž = 0. Si đ?‘Ž = 2, entonces đ?‘? = 200, đ?‘? = −202 y đ?‘ž = 400. Si đ?‘Ž = 0, entonces đ?‘? = −198, đ?‘? = 198 y đ?‘ž = 0. 8. Como â–łđ??´1 đ??ľ2 đ??ś âˆź â–łđ??´đ??ľđ??ś entonces, đ??´1 đ??ľ2 đ??śđ??´1 = đ??´đ??ľ đ??śđ??´ 104

Tambi´en como △𝐴2 𝐵𝐶1 ∼ △𝐴𝐵𝐶 entonces, 𝐶1 𝐴2 𝐴2 𝐵 = 𝐶𝐴 𝐴𝐵 y como △𝐴𝐵1 𝐶2 ∼ △𝐴𝐵𝐶 entonces, 𝐶2 𝐴 𝐵1 𝐶2 = 𝐵𝐶 𝐶𝐴 C

C2 C1 A1 B2

A A2 B1

B

Sumando estos tres 𝐶𝐴1 𝐶2 𝐴 𝐶1 𝐴2 𝐴1 𝐵2 𝐵1 𝐶2 𝐶1 𝐴2 + + = + + 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐴 𝐶𝐴 𝐶𝐴 Pero 𝐶𝐴1 𝐶2 𝐴 𝐶𝐴 𝐶2 𝐴1 𝐶2 𝐴1 + = + =1+ 𝐶𝐴 𝐶𝐴 𝐶𝐴 𝐶𝐴 𝐶𝐴

(1)

y como 𝐶1 𝐴2 = 𝐶1 𝐼 + 𝐼𝐴2 . Pero 𝐶1 𝐼 = 𝐶𝐶2 y 𝐼𝐴2 = 𝐴1 𝐴 por ser paralelas entre paralelas. Por tanto, 𝐶1 𝐴2 𝐶𝐶2 𝐴1 𝐴 = + 𝐶𝐴 𝐶𝐴 𝐶𝐴

(2)

De (1) y (2) tenemos que 𝐴1 𝐵2 𝐵1 𝐶2 𝐶1 𝐴2 𝐶2 𝐴1 𝐶𝐶2 𝐴1 𝐴 + + =1+ + + = 1 + 1 = 2. 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐴 𝐶𝐴 𝐶𝐴 105

9. Sumando todas las ecuaciones obtenemos: 2đ?‘Ľđ?‘Ś + 2đ?‘Śđ?‘§ + 2đ?‘Ľđ?‘§ = 94 đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Śđ?‘§ + đ?‘Ľđ?‘§ = 47 De donde podemos deducir, restandole las ecuaciones dadas que đ?‘Ľđ?‘Ś = 20 đ?‘Ľđ?‘§ = 15 đ?‘Śđ?‘§ = 12 Como đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ son enteros y đ?‘Ľ â‹… đ?‘Ś = 20 = 4 â‹… 5 y đ?‘Ľ â‹… đ?‘§ = 15 = 3 â‹… 5, la u ´nica posibilidad es đ?‘Ľ = Âą5. Si đ?‘Ľ = 5, entonces đ?‘§ = 3 y đ?‘Ś = 4. Si đ?‘Ľ = −5, entonces đ?‘Ś = −4 y đ?‘§ = −3. 10. Tenemos que la multiplicaci´on de dos pares de n´ umeros consecutivos debe ser un cuadrado perfecto. Sabemos que el m´aximo com´ un divisor de dos n´ umeros consecutivos es 1. Por tanto, đ?‘Ľ(đ?‘Ľ + 1) y (đ?‘Ľ + 7)(đ?‘Ľ + 8) no son cuadrados perfectos. Tambi´en đ?‘Ľ(đ?‘Ľ + 7) no puede ser un cuadrado perfecto entero al igual que (đ?‘Ľ + 1)(đ?‘Ľ + 8) ya que el coeďŹ ciente del t´ermino en đ?‘Ľ es impar. Consideremos a đ?‘Ľ(đ?‘Ľ + 8) = đ?‘Ľ2 + 8đ?‘Ľ = đ?‘?2 y (đ?‘Ľ + 1)(đ?‘Ľ + 7) = đ?‘Ľ2 + 8đ?‘Ľ + 7 = đ?‘ž 2 . Reemplazando đ?‘?2 , tenemos que đ?‘?2 + 7 = đ?‘ž 2 lo que signiďŹ ca que (đ?‘ž − đ?‘?)(đ?‘ž + đ?‘?) = 7. De donde, obtenemos que đ?‘ž = 4 y đ?‘? = 3. As´Ĺ tenemos que đ?‘Ľ2 + 8đ?‘Ľ = 9 lo que implica que đ?‘Ľ = −9 y đ?‘Ľ = 1. AËœ nadiendo las soluciones donde el producto es cero se obtiene que las soluciones son đ?‘Ľ = 0, đ?‘Ľ = 1, đ?‘Ľ = −1, đ?‘Ľ = −7, đ?‘Ľ = −8 y đ?‘Ľ = −9.

106

´ OLIMPIADAS DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO ´ 2009 EXAMEN DE SELECCION 1. Unimos los puntos đ??´ y đ??ľ, formando la cuerda đ??´đ??ľ, Notemos que podemos formar el tri´angulo rect´angulo đ??´đ??ˇđ??ľ cuya hipotenusa es el segmento √ đ??´đ??ľ. Utilizando el teorema de Pit´agoras llegamos a que đ??´đ??ľ = 2.√Pero el tri´angulo đ??ľđ??śđ??´ es equilatero, lo que signiďŹ ca que đ??śđ??´ = 2.

A C D

B

2. Sabemos que 1 â‹… đ?‘Ž2 â‹… đ?‘Ž3 â‹… â‹… â‹… đ?‘Žđ?‘› = đ?‘›2 se cumple para todo đ?‘› > 2, por 9 tanto tenemos que 1 â‹… đ?‘Ž2 â‹… đ?‘Ž3 = 9, de donde, đ?‘Ž3 = . Si seguimos đ?‘Ž2 16 con este proceso, tenemos que 1 â‹… đ?‘Ž2 â‹… đ?‘Ž3 â‹… đ?‘Ž4 = 16, de donde đ?‘Ž4 = 9 25 y đ?‘Ž5 = . Por lo tanto 16 đ?‘Ž3 + đ?‘Ž5 =

9 25 144 + 25đ?‘Ž2 + = đ?‘Ž2 16 16đ?‘Ž2

3. Para hacer los grupos podemos considerar las formas diferentes de sumar 5. Estas son:

a) (5) Tenemos s´olo una forma para escoger el c´Ĺrculo y 4! = 24 formas para ďŹ jarlos dentro del c´Ĺrculo. Por tanto, hay 24 posibilidades () b) (1 + 4) Tenemos 54 = 5 formas de escoger los 4 niËœ nos para formar el c´Ĺrculo y 3! = 6 formas para ďŹ jarlos dentro del c´Ĺrculo. Por tanto, 5 â‹… 6 = 30 posibilidades. 107

() c) (1 + 1 + 3) Tenemos 53 = 10 formas de escoger los 3 niËœ nos para formar el c´Ĺrculo y 2! = 2 formas de ďŹ jarlos. Por tanto, tenemos 10 â‹… 2 = 20 posibilidades. () d ) (2 + 3) Tenemos 53 = 10 formas de escoger los niËœ nos de 3 y el otro se escoge autom´aticamente y tenemos 10 â‹… 2 = 20 posibilidades. () e) (1+1+1+2) Tenemos 52 = 10 formas de escoger los niËœ nos de 2 y 1! formas de ďŹ jarlo. Por tanto, tenemos 10 posibilidades. (5) f ) (1 + 2 + 2) Tenemos = 10 formas de escoger el primer 2 () grupo de 2 y 32 = 3 para escoger el segundo grupo. Pero debemos dividir por 2 ya que contamos dos veces. Por tanto 10 â‹… 3 = 15 posibilidades. tenemos 2 g) (1 + 1 + 1 + 1 + 1) Tenemos s´olo una posibilidad. En conclusi´on tenemos 24 + 30 + 20 + 20 + 10 + 15 + 1 = 120 posibilidades. 4. Sea đ??ž un valor tal que 3đ?‘Ľ2 + 16đ?‘Ľđ?‘Ś + 15đ?‘Ś 2 ≤đ??ž đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś 2 Debemos encontrar el mayor valor de đ??ž. Entonces 3đ?‘Ľ2 + 16đ?‘Ľđ?‘Ś + 15đ?‘Ś 2 ≤ đ??ž(đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś 2 ) (3 − đ??ž)đ?‘Ľ2 + 16đ?‘Ľđ?‘Ś + (15 − đ??ž)đ?‘Ś 2 ≤ 0 Notemos que esta es la ecuaci´on de una par´abola (viendola en t´erminos de la variable đ?‘Ľ) y como es menor o igual que 0, abre hacia abajo y no atraviesa el eje đ?‘Ľ, s´olo lo toca. Por tanto, el discriminante de la ecuaci´on tiene que ser igual a cero. Entonces 256đ?‘Ś 2 − 4(3 − đ??ž)(15 − đ??ž)đ?‘Ś 2 = 0 256 − 180 + 72đ??ž − 4đ??ž 2 = 0 đ??ž 2 − 72đ??ž − 76 = 0 (đ??ž − 19)(đ??ž + 1) = 0 Por tanto, el mayor valor es cuando đ??ž = 19. 108

5. Como đ?‘?đ?‘ž(2đ?‘? + 45đ?‘ž) es un cuadrado perfecto, entonces si consideramos que đ?‘? = đ?‘ž, entonces 2đ?‘?2 đ?‘ž + 45đ?‘?đ?‘ž 2 = 2đ?‘?3 + 45đ?‘?3 = 47đ?‘?3 lo que signiďŹ ca que đ?‘? = đ?‘ž = 47. Ahora si đ?‘? ∕= đ?‘ž, entonces factorizamos 2đ?‘?2 đ?‘ž + 45đ?‘?đ?‘ž 2 = đ?‘?đ?‘ž(2đ?‘? + 45đ?‘ž). Como đ?‘?đ?‘ž(2đ?‘? + 45đ?‘ž) es un cuadrado perfecto, entonces đ?‘?âˆŁ2đ?‘? + 45đ?‘ž y đ?‘žâˆŁ2đ?‘? + 45đ?‘ž. Y tenemos que si (đ?‘?, đ?‘ž) = 1 y đ?‘?âˆŁ2đ?‘?, entonces đ?‘?âˆŁ45, as´Ĺ đ?‘? = 3 o´ đ?‘? = 5. Por otro lado, como đ?‘žâˆŁ45đ?‘ž, y (đ?‘?, đ?‘ž) = 1, entonces đ?‘žâˆŁ2, es decir đ?‘ž = 2. Veamos cuales de estos valores cumplen: Si đ?‘? = 3 y đ?‘ž = 2, entonces 2đ?‘?2 đ?‘ž + 45đ?‘?đ?‘ž 2 = 2(9)(2) + 45(3)(4) = 36 + 540 = 576 = 242 Si đ?‘? = 5 y đ?‘ž = 2, entonces 2đ?‘?2 đ?‘ž + 45đ?‘?đ?‘ž 2 = 2(25)(2) + 45(5)(4) = 100 + 900 = 1000 = 103 el cual no cumple que sea cuadrado perfecto. Por tanto tenemos dos posibilidades (47, 47) y (3, 2). 6. La desigualdad la podemos escribir como ) ( 1 1 1 + + ≼9 đ?‘&#x;(đ?‘Žđ?‘? + đ?‘?đ?‘? + đ?‘?đ?‘Ž) + (3 − đ?‘&#x;) đ?‘Ž đ?‘? đ?‘? [ ] (3 − đ?‘&#x;) (đ?‘Žđ?‘? + đ?‘?đ?‘? + đ?‘?đ?‘Ž) đ?‘&#x; + ≼9 đ?‘Žđ?‘?đ?‘? Pero recordemos que

đ?‘Ľ+đ?‘Ś+đ?‘§ √ ≼ 3 đ?‘Ľđ?‘Śđ?‘§. Entonces 3

(đ?‘Žđ?‘? + đ?‘?đ?‘? + đ?‘?đ?‘Ž) √ 3 ≼ đ?‘Ž2 đ?‘? 2 đ?‘? 2 3 √ 3 Luego đ?‘Žđ?‘? + đ?‘?đ?‘? + đ?‘?đ?‘Ž ≼ 3 đ?‘Ž2 đ?‘?2 đ?‘?2 . [ ] (3 − đ?‘&#x;) Multiplicando a ambos lados por đ?‘&#x; + obtenemos que: đ?‘Žđ?‘?đ?‘? [ ] [ ] √ (3 − đ?‘&#x;) (3 − đ?‘&#x;) 3 2 2 2 (đ?‘Žđ?‘? + đ?‘?đ?‘? + đ?‘?đ?‘Ž) đ?‘&#x; + ≼3 đ?‘Ž đ?‘? đ?‘? đ?‘&#x;+ đ?‘Žđ?‘?đ?‘? đ?‘Žđ?‘?đ?‘? 109

Reemplazando đ?‘Ś = đ?‘Žđ?‘?đ?‘? obtenemos que [ ] [ ] √ (3 − đ?‘&#x;) (3 − đ?‘&#x;) 3 2 (đ?‘Žđ?‘? + đ?‘?đ?‘? + đ?‘?đ?‘Ž) đ?‘&#x; + ≼3 đ?‘Ś đ?‘&#x;+ đ?‘Ś đ?‘Ś ( 2/3 ) = 3 đ?‘&#x;đ?‘Ś + (3 − đ?‘&#x;)đ?‘Ś −1/3 ) ( 3 − đ?‘&#x; −1/3 3 − đ?‘&#x; −1/3 2/3 đ?‘Ś + đ?‘Ś = 3 đ?‘&#x;đ?‘Ś + 2 2 √ 3 − đ?‘&#x; −1/3 3 − đ?‘&#x; −1/3 3 ≼ 9 đ?‘&#x;đ?‘Ś 2/3 đ?‘Ś đ?‘Ś 2 2 √ 3−đ?‘&#x; 3−đ?‘&#x; 3 â‹… =9 đ?‘&#x;â‹… 2 2 √ 2 3 đ?‘&#x;(3 − đ?‘&#x;) =9 ≼9 4 √ As´Ĺ 3 đ?‘&#x;(3 − đ?‘&#x;)2 ≼ 22/3 , luego đ?‘&#x;(3 − đ?‘&#x;)2 ≼ 4. Entonces đ?‘&#x;3 − 6đ?‘&#x;2 + 9đ?‘&#x; − 4 ≼ 0 y al factorizarlo obtenemos que (đ?‘&#x; − 1)2 (đ?‘&#x; − 4) ≼ 0. Entonces đ?‘&#x; = ] 1 y đ?‘&#x; ≼ 4 . Notemos que para đ?‘&#x; ≼ 4 la expresi´on [ (3 − đ?‘&#x;) puede ser menor que cero. Por tanto, el u ´nico valor đ?‘&#x;+ đ?‘Žđ?‘?đ?‘? que cumple la desigualdad es đ?‘&#x; = 1.

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