Problemas Seleccionados de Olimpiadas Internacionales Pasadas Academia Sabatina 28 de febrero de 2009 1. El producto de varios números enteros mayores que 0 y distintos entre sí, es múltiplo de
20062. Determine el menor valor que puede tomar la suma de esos números. (Problema #4, Centro 2006, Panamá) 2. Sean
y Γ’ dos circunferencias de igual radio con centros O y O’ respectivamente.
y
Γ’ se cortan en dos puntos y A es uno de ellos. Se escoge un punto B cualquiera en . Sea C el otro punto de corte de la recta AB con Γ’ y D un punto en Γ’ tal que OBDO’ es un paralelogramo. Demuestre que la longitud de CD es constante, es decir, no depende de la elección de B. (Problema #2, Centro 2006, Panamá) 3. Para cada numero natural n, se define
. Pruebe que para cada k ≥ 1,
la ecuación f ( f (n) ) – f (n) = k tiene exactamente 2k – 1 soluciones. (Problema #3, Centro 2006, Panamá) Nota: Si x es un numero real, el símbolo [x] denota el entero que es menor o igual a x, o la parte entera de x. Ejemplo: [2.5] = 2, [-0.4] = -1, [
] = 1.
4. Dado un entero positivo m, se define la sucesión {an}, de la siguiente manera:
Determinar todos los valores de m para los cuales a2007 es el primer entero que aparece en la sucesión. (Problema #1, Ibero 2007, Portugal) Nota: Para un número real x, se define ejemplo:
como el menor entero que es mayor o igual a x. Por
(Es al revés de la parte entera de x)
5. Sean ABC un triángulo con incentro I y Γ una circunferencia de centro I, de radio mayor
al de la circunferencia inscrita y que no pasa por ninguno de los vértices. Sean X1 el punto de intersección de Γ con la recta AB más cercano a B; X2, X3 los puntos de intersección de Γ con la recta BC siendo X2 más cercano a B; y X4 el punto de intersección de Γ con la recta CA más cercano a C. Sea K el punto de intersección de las rectas X1X2 y X3X4.
Demostrar que AK corta al segmento X2X3 en su punto medio. (Problema #2, Ibero 2007, Portugal)