Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayag¨ uez
´ OLIMPIADA MATEMATICA DE PUERTO RICO
Universidad de Puerto Rico
Segunda Fase 29 de enero de 2011
Nivel Superior 10mo - 12mo grado Instrucciones: Llena la hoja de respuestas. Solamente entregar´as la hoja de respuestas al terminar el examen. Los primeros 10 problemas son de opci´on m´ ultiple, los u ´ltimos 5 son de respuesta abierta. Tienes 3 horas para trabajar el examen. ¡Buena suerte! Instructions: Fill the answer sheet. You will only turn in the answer sheet at the end of the exam. The first 10 problems are multiple choice, the last 5 are open answer. You have 3 hours to complete your work. Good luck! 1. Pedro naci´ o cuando su hermana Doris ten´ıa 5 a˜ nos de edad. Ahora Doris tiene el doble de la edad de Pedro. ¿Qu´e edad tiene Pedro? Pedro was born when his sister Doris was 5 years old. Now Doris is twice the age of Pedro. How old is Pedro? a. 2 2 b. 3 3 c. 4 4
d. 5 a˜ nos 5 years old
a˜ nos years old a˜ nos years old a˜ nos years old
e. 6 a˜ nos 6 years old
2. Las manzanas cuestan $1, las peras $2 y los mang´os $3. Si tenemos $15, ¿de cu´antas formas distintas podemos gastarlos todos sin comprar necesariamente de todas las frutas? Apples cost $1, pears $2 and mangos $3. If we have $15, in how many different ways can we spend them all without necessarily buying all kind of fruit? a. 21
d. 27
b. 24
e. 28
c. 26 3. La longitud de AB + BC + CD es 22 cm. El per´ımetro del tri´angulo ABD es 23.75 cm ¿Cu´ anto m´as largo es el segmento AD que el segmento CD? The length of AB + BC + CD is 22 cm. The perimeter of triangle ABD is 23.75 cm. How much longer is segment AD than segment CD? D
a. 1.25 cm b. 1.5 cm c. 1.75 cm
y A
x
y x
d. 2 cm e. 2.25 cm
B
1
C
4. Cuatro ni˜ nos se dividieron un bizcocho de manera equitativa. Justamente antes de comenzar a comer, un quinto ni˜ no se les uni´ o. ¿Qu´e porcentajede su pedazo le tiene que dar cada ni˜ no al quinto ni˜ no para que todos terminen comiendo lo mismo? Four children divide up a cake equally. However, just before eating, a fifth child joins them. What percentage of his/her piece must each of the children give to the fifth child so that they all end up eating the same amount of cake? a. 5 %
d. 20 %
b. 10 %
e. 25 %
c. 12.5 % 5. Con la informaci´ on del dibujo, ¿cu´ al es el ´area del paralelogramo? With the information given in the picture, what is the area of the parallelogram?
5cm 2
d. 25cm2
a. 10cm2 b. 15cm2 c. 20cm2
e. No hay suficiente informaci´on Not enough information is provided
6. Dos c´ırculos de radio 5 cm se cortan en los puntos P y Q, los cuales est´an 6 cm aparte. ¿Qu´e distancia hay entre los centros de los c´ırculos? Two circles with radii of 5 cm cut each other at points P and Q, which are 6 cm apart. What is the distance between the centers of the circles?
P
Q
a. 4 b. 5 c. 6
d. 8 e. Ninguna de las anteriores None of the above
7. Hay tres dormitorios en una casa: uno sencillo, otro doble y un tercero triple. ¿De cu´antas formas distintas puede uno asignar habitaciones a 6 invitados? There are three bedrooms in a house: one is a single, one is a double and the third is a triple. In how many different ways can one assign 6 guests to the bedrooms? d. 66
a. 6! b. 60 c. 300
e. Ninguna de las anteriores None of the above
2
8. ¿Cu´al es el n´ umero m´ aximo de enteros que se pueden elegir, tales que con certeza, la suma o diferencia entre dos de ellos no es divisible entre 11? What is the maximum number of integers which can be selected such that the sum or difference between two of them is surely not divisible by 11? a. 3
d. 6
b. 4
e. 7
c. 5 9. En la figura, la cuadr´ıcula representa posibles caminos entre A y B. La conexi´on m´as corta desde A hasta B mide 8 unidades. ¿Cu´ antas conexiones diferentes de 8 unidades existen desde A hasta B? In the figure, the edges in the board represent possible routes between A and B. The shortest route between A and B is 8 units long. How many different routes, which are 8 units long, exist between A and B?
A
B
a. 80 b. 70 c. 36
d. 8 e. Ninguna de las anteriores None of the above
10. ¿Cu´al es el n´ umero m´ aximo de cuadros en un tablero de ajedrez (es decir, un tablero 8 × 8) que se puede colorear de verde, de tal forma que en cualquier tri´omino, como el que se muestra en la figura, al menos un cuadrado no es verde? What is the maximum number of squares on a checkers board (that is, an 8 × 8 board) that can be colored green, in such a way that in any triomino, such as that shown in the figure, at least one square is not green? a. 12 b. 24 c. 32
d. 36 e. Ninguna de las anteriores None of the above
11. En el siguiente n´ umero 1234567891011121314 . . . 979899100, ¿cu´antas veces ocurre que d´ıgitos consecutivos corresponden a un cuadrado perfecto de dos d´ıgitos? In the following number 1234567891011121314 . . . 979899100, how many times do consecutive digits correspond to a two-digit perfect square? 3
2cm
12. Una lata de refresco est´ a apoyada sobre un muro como lo muestra el siguiente dibujo: A can of soda rests on a wall as shown in the figure:
10 cm
8cm
¿A qu´e distancia est´ a el punto m´ as alto de la lata desde el piso? What is the distance from the highest point in the can to the ground? 13. El ´area del tri´ angulo sombreado mide 1cm2 . B es el punto medio entre A y F . C es el punto medio entre B y F . D es el punto medio entre C y F . E es el punto medio entre D y F . Hallar el ´ area del tri´angulo AGF . The area of the colored triangle is 1cm2 . B is the midpoint between A and F . C is the midpoint between B and F . D is the midpoint between C and F . E is the midpoint between D and F . Find the area of triangle AGF . F 1/16 1/8
E D C
1/4
B
1/2
A
G
14. ¿Cu´al es el valor m´ınimo que puede tener la expresi´on x(x − 1)(x − 2)(x − 3) si x es cualquier n´ umero real? What is the minimum value that the expression x(x − 1)(x − 2)(x − 3) can attain if x is any real number? 15. Un tri´angulo de ´ area 1 tiene lados a, b y c con a ≥ b ≥ c. ¿Cu´al es el valor m´ınimo que puede tomar b? A triangle with area 1 has sides a, b and c with a ≥ b ≥ c. What is the minimum value that b can take?
Contesta el mayor n´ umero de preguntas que puedas, usa todo el tiempo disponible.
Solve as many problems as you can, use all of the time available. 4