3 Matrizes
Isolando a matriz X nas equações matriciais Importante! Vamos considerar dois tipos de equações: I) aquelas que apresentam multiplicação entre matrizes, as dicas só serão válidas se todas as matrizes forem quadradas de mesma ordem; II) aquelas que apresentam apenas adições, subtrações e produtos de números reais por matrizes, as dicas serão sempre válidas, desde que as matrizes sejam do mesmo tipo.
Lembrar que: I) Dadas as matrizes A, B, C e 0 (nula) do mesmo tipo e sejam r e s números reais. a) A + B = B + A b) (A + B) + C = A + (B + C) c) A + 0 = A d) r(A + B) = r.A + r.B = A.r + B.r e) (r + s).A = r.A + s.A f) r(s.A) = (rs).A II) Seja Am x n, e sejam B e C com os tipos corretos de modo que as somas e os produtos estejam definidos.
Exercícios propostos:
a) A.(B.C) = (A.B).C
propriedade associativa
01. Dada a equação A.X + B = C, em que A, B e C são matrizes de ordem n e invertíveis (inversíveis ou não singulares), então: a) X = B–1.(C – A) c) X = A–1.(C – B) –1 b) X = (C – B).A d) X = A–1.(B – C)
b) A(B + C) = A.B + A.C
propriedade distributiva pela esquerda
c) (B + C).A = B.A + C.A
propriedade pela direita
3 2 , determine a matriz X tal 02. Dada a matriz A = 5 1 que X.A = A. O que pode ser dito a respeito da matriz X?
d) r(A.B) = (r.A).B = A.(r.B)
para todo real r
e) I.A = A = A.I
I é a matriz identidade, elemento neutro da multiplicação de matrizes
4 0 2 2 , B = e 03. Dadas as matrizes A = 1 2 3 4 3 1 , obtenha a matriz X para cada caso: C = 2 2 a) X + A = B b) 3.(X + A) = X + B c) A.X = C 04. Isole a matriz X na equação At . X = Bt, sabendo que X, A e B são matrizes quadradas de ordem n.
1 1 3 0 e B = , 05. Dadas as matrizes A = 2 3 1 4 obtenha a matriz X tal que A . X = B. 3 0 2 1 . 06. Resolva a equação matricial X 1 5 2 1 07. Isole X nas equações abaixo: a) A + 2.X = B b) 2A + B = X + 2C c) 3X + 2A = Bt + 2X d) 2Xt – 3A = B
e) A.B = X.C f) X.B + A = C g) A–1.X = B–1 h) X.Bt = A
distributiva
III) Cuidados! 1. Em geral, A.B B.A. Quando A.B = B.A, dizemos que as matrizes comutam. 2. As leis de cancelamento não valem para a multiplicação de matrizes. Isto é, AB = AC, então não é verdade, em geral, que B = C. 3. Se o produto AB for a matriz nula, NÃO se pode concluir, em geral, que A = 0 ou B = 0. IV) Sejam A e B matrizes cujos tipos são apropriados para as seguintes somas e produtos. a) (At)t = A b) (A + B)t = At + Bt = Bt + At c) para qualquer real r, (rA)t = r.At d) (A.B)t = Bt.At
Observe que o produto ficou invertido
V) a) Se A for uma matriz inversível, então A–1 é inversível e (A–1)–1 = A
2 1 6 2 . 08. Resolva a equação X 7 3 5 7
b) Se A e B são matrizes inversíveis de ordem n, então A.B também é, e a inversa de A.B é o produto das inversas de A e B com a ordem invertida. Isto é, (A.B)–1 = B–1.A–1
09. Isole X na equação matricial, sendo A, B e X matrizes quadradas de mesma ordem: a) (X.A)t = B.A b) (X.B)t = A.
(Observe que o produto ficou invertido)
c) Se A é uma matriz inversível, então At também é, e a inversa de At é a transposta de A–1. Isto é,
(At)–1 = (A–1)t