Prova da EsSA - 2008 01. A medida do perímetro do triângulo cujos vértices são os pontos (1, 1), (1, 3) e (2, 3) é: (A) 3 3 5
(D) 3 5
(B) 3 2 5
(E) 3 5 5
02. As equações (x + 1)2 + (y – 4)2 = 64 e (x – 4)2 + (y + 8)2 = 25 representam duas circunferências cuja posição relativa no plano permite afirmar que são: (A) tangentes exteriores. (B) interiores (sem ponto de interseção) (C) exteriores (sem ponto de interseção) (D) tangentes interiores. (E) secantes.
(C) 3 4 5
Solução:
Solução:
Dadas as equações reduzidas das circunferências vamos encontrar os centros e os raios e após calcular a distância entre os centros.
Considerando o triângulo abaixo, vamos calcular os comprimentos dos lados x, y e z.
Da equação (x + 1)2 + (y – 4)2 = 64: O centro é dado por (–1, 4) O raio é dado por
64 8
Da equação (x – 4)2 + (y + 8)2 = 25: O centro é dado por (4, –8) O raio é dado por
Distância entre os centros d x = –1 – 4 = –5 y = 4 – (–8) = 12
Distância entre os vértice (1, 1) e (2, 3) x x = 2 – 1 = 1 y = 3 – 1 = 2
d2 = (–5)2 + 122 d2 = 25 + 144 d 2 = 169
x2 = 12 + 22 x2 = 1 + 4 x2 = 5 x=
25 5
d = 169 d = 13
5
Distância entre os vértice (1, 1) e (1, 3) z x = 1 – 1 = 0 y = 3 – 1 = 2
Posições relativas de duas circunferências Tangentes Exteriores exteriores
z2 = 0 2 + 2 2 z2 = 0 + 4 z2 = 4 z=2 Distância entre os vértice (1, 3) e (2, 3) y x = 2 – 1 = 1 y = 3 – 3 = 0
Secantes
d>R+r
d=R+r
R+r<d<R–r
Tangentes interiores
Interiores
Concêntricas
d=R–r
d<R–r
d=0
y2 = 12 + 02 y2 = 1 + 0 y2 = 1 y=1 O perímetro do triângulo é dado por x + y + z, logo
5 +1+2=3+
5 Resposta: D
Como a distância entre os centros das duas circunferências é d = 13 e os raios são R = 8 e r = 5, então d = R + r, logo, as circuferências são tangentes exteriores. Resposta: A
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03. Um quadrado e um retângulo têm a mesma área. Os lados do retângulo são expressos por números naturais consecutivos, enquanto que o quadrado tem 2 5 centímetros de lado. Assim, o perímetro, em centímetros, do retângulo é: (A) 18 (B) 16 (C) 12 (D) 20 (E) 24
05. As diagonais de um losango medem 48 cm e 33 cm. Se a medida da diagonal maior diminuir 4cm, então, para que a área permaneça a mesma, deve-se aumentar a medida da diagonal menor de: (A) 9cm (D) 8cm (B) 6cm (E) 5cm (C) 3cm Solução:
Solução:
Losango original = A
2
Aquadrado = lado2 = 2 5 = 4.5 = 20 Aretângulo = (x + 1).x
Área do losango A 48.33 A= = 24.33 2
Se a Aquadrado = Aretângulo Então, (x + 1).x = 20 Como x é um número natural e (x + 1) o consecutivo de x, então (x + 1) também é um número natural. O único produto de dois números naturais igual a 20 nas condições dadas é 4.5, logo, x = 4. Evitamos, desta forma, utilizar a equação do 2º grau. Perímetro do retângulo: 2x + 2(x + 1) = 2x + 2x + 2 = 4x + 2 Como x = 4, então, 4.4 + 2 = 18 cm Resposta: A 04. A media aritmética das notas de Matemática em uma turma de 25 alunos em um dos doze Colégios Militares existentes no Brasil diminui em 0,1, se alterarmos uma das notas para 6,8. A referida nota sem ser alterada é: (A) 8,8 (D) 4,3 (B) 9,3 (E) 9,8 (C) 4,8
Área do losango B 44.(33 x) B= = 22.(33 + x) 2 Área A = Área B 24 . 33 = 22 . (33 + x) ÷ (11) 24 . 3 = 2 . (33 + x) ÷ (2) 12 . 3 = 33 + x 36 – 33 = x 3=x Resposta: C 06. A proporção entre as medalhas de ouro, prata e bronze conquistadas por um atleta é 1:2:4, respectivamente. Se ele disputar 77 competições e ganhar medalhas em todas elas, quantas medalhas de bronze ele ganhará? (A) 11 (B) 22 (C) 55 (D) 44 (E) 33 Solução: “A proporção entre as medalhas de ouro, prata e bronze conquistadas por um atleta é 1:2:4”.
Solução: É uma propriedade da média, entre outras: Se somarmos (ou subtrairmos) um valor constante K a cada um dos elementos de um conjunto de valores, a média aritmética fica somada (ou subtraída) dessa constante.
Logo, se a média diminuiu de 0,1, significa que cada um dos 25 alunos foi subtraido de 0,1, então, devolvendo 0,1 para cada um dos 25 alunos teremos 25 . 0,1 que é igual a 2,5. Adicionado 2,5 a nota alterada, temos: 6,8 + 2,5 = 9,3 Resposta: B
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Losango alterado = B
1.k 2.k 4.k ouro prata bronze 1 2 4 1 2 4 “Se ele disputar 77 competições e ganhar medalhas em todas elas”, temos: k + 2k + 3k = 77 7k = 77 k = 11 Como o número de medalhas de bronze corresponde a 4k, temos: Medalhas de bronze = 4.k = 4.11 = 44 Resposta: D
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07. Se o resto da divisão do polinômio P(x) = 2xn + 5x – 30 por Q(x) = x – 2 e igual a 44, então n e igual a: (A) 3 (B) 2 (C) 6 (D) 4 (E) 5
Iniciando com 325:
Solução:
Iniciando com 324:
O resto da divisão do polinômio P(x) pelo binômio x – 2 é o valor numérico de P(x) em x = 2, isto é, o resto é P(2).
324
325
_3 _3
Iniciando com 321: Então, P(2) = 2.2n + 5.2 – 30 P(2) = 2n + 1 + 10 – 30 P(2) = 2n + 1 – 20
321
_3
Total de números: 3 x 60 + 3 x 12 + 4 x 3 = 228
Como o resto encontrado é igual a 44 e P(2) é o resto, temos:
Outra forma de resolver: 3.A5, 3 + 4. A4, 2
P(2) = 44 2n + 1 – 20 = 44 2n + 1 = 44 + 20 2n + 1 = 64 2n + 1 = 26 n+1=6 n=5
5! 4! 5! 4! → 3 4 → 4 2! 2! (5 - 3)! (4 - 2)! 5 4 3 2! 4 3 2! 3 4 → 3 5 4 3 4 4 3 → 2! 2! 180 + 48 = 228 Resposta: A 3
Resposta: E 08. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 sem repeti-Ios, podemos escrever "x" números de 4 algarismos, maiores que 3200. 0 valor de "x" é: (A) 228 (B) 320 (C) 300 (D) 210 (E) 240
09. Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1000? (A) 100 (B) 180 (C) 120 (D) 140 (E) 160 Solução: Quantidade de múltiplos de 9 entre 100 e 1000
Solução: Quantidade de números de quatro algarismos distintos:
100 ÷ 9 = 11 (parte inteira) 1000 ÷ 9 = 111 (parte inteira) 111 – 11 = 100 múltiplos de 9
Iniciando com o algarismo 6: 6
_ _ _ 5 . 4 . 3 = 60
Iniciando com o algarismo 5: 5
_ _ _ 5 . 4 . 3 = 60
Iniciando com o algarismo 4: 4
_ _ _ 5 . 4 . 3 = 60
Iniciando com 36: 36
_ _ 4 . 3 = 12
Iniciando com 35: 35
_ _ 4 . 3 = 12
Quantidade de múltiplos de 15 entre 100 e 1000 100 ÷ 15 = 6 (parte inteira) 1000 ÷ 15 = 66 (parte inteira) 66 – 6 = 60 múltiplos de 15 Quantidade de múltiplos de 45 entre 100 e 1000 (mútliplos comuns entre 9 e 15) 100 ÷ 45 = 2 (parte inteira) 1000 ÷ 45 = 22 (parte inteira) 22 – 2 = 20 múltiplos de 45 Atenção! Esse bizu, para descobrir a quantidade de divisores, só deve ser usado quando os números extremos, no caso 100 e 1000, não forem múltiplos dos números analisados, no caso 9, 15 e 45. Caso contrário, um dos números extremos ser múltiplo, ou ambos, é necessária uma outra análise.
Iniciando com 34: 34
_ _ 4 . 3 = 12
Iniciando com 326: 326
_3
Total de múltiplos de 9 ou 15: 100 + 60 – 20 = 140 Observação! Retiramos os múltiplos comuns de 9 e 15, pois haviam sido somados duas vezes.
Resposta: D
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10. Uma loja de eletrodomésticos paga, pela aquisição de certo produto, o correspondente ao preço x (em reais) de fabricação, mais 5% de imposto e 3% de frete, ambos os percentuais calculados sobre o preço x. Vende esse produto ao consumidor por R$ 54,00, com lucro de 25%. Então, o valor de x é: (A) R$ 38,00 (B) R$ 41,80 (C) R$ 40,00 (D) R$ 36,00 (E) R$ 42,40 Solução: Preço do produto x Imposto 5% de x Frete 3% de x
Aplicando Pitágoras, temos: 2
x = 90 2
2
x 2 2
2
x 2 .2 4 2 x .1 x2 = 902.2 + 2 2x2 = 902.2.2 + x2 2x2 – x2 = 902.22 x2 = 902 . 22 x = 90 . 2 x = 180 m x2 = 902.2 +
Resposta: E
Preço final do produto x + 0,05.x + 0,03.x = 1,08.x Preço de venda: 54,00 com 25% de lucro
12. 0 valor de x tal que 34 . 35 . 36 ... 3x = 330 é: (A) 12 (D) 6 (B) 13 (E) 7 (C) 8 Solução:
Preço de venda: 1,08.x + 0,25.1,08.x = 54,00
34 . 35 . 36 ... 3x = 330 Preço do produto: 1,35.x = 54 x = 54 ÷ 1,35 x = 40,00
34 + 5 + 6 + ... + x = 330 4 + 5 + 6 + ... + x = 30 Resposta: C
Possuímos uma soma de números naturais, iniciando no número 4, cujo resultado é igual a 30, então: 4 + 5 = 9 + 6 = 15 + 7 = 22 + 8 = 30
11. A pirâmide de Quéops, em Gize, no Egito, tem aproximadamente 90 2 metros de altura, possui uma base quadrada e suas faces laterais são triângulos eqüiláteros. Nessas condições, pode-se afirmar que, em metros, cada uma de suas arestas mede: (A) 90 (B) 200 (C) 160 (D) 120 (E) 180
O último número utilizado foi 8, logo x = 8. Resposta: C
Solução:
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