Prova da EsSA - 2008 01. A medida do perímetro do triângulo cujos vértices são os pontos (1, 1), (1, 3) e (2, 3) é: (A) 3 3 5
(D) 3 5
(B) 3 2 5
(E) 3 5 5
02. As equações (x + 1)2 + (y – 4)2 = 64 e (x – 4)2 + (y + 8)2 = 25 representam duas circunferências cuja posição relativa no plano permite afirmar que são: (A) tangentes exteriores. (B) interiores (sem ponto de interseção) (C) exteriores (sem ponto de interseção) (D) tangentes interiores. (E) secantes.
(C) 3 4 5
Solução:
Solução:
Dadas as equações reduzidas das circunferências vamos encontrar os centros e os raios e após calcular a distância entre os centros.
Considerando o triângulo abaixo, vamos calcular os comprimentos dos lados x, y e z.
Da equação (x + 1)2 + (y – 4)2 = 64: O centro é dado por (–1, 4) O raio é dado por
64 8
Da equação (x – 4)2 + (y + 8)2 = 25: O centro é dado por (4, –8) O raio é dado por
Distância entre os centros d x = –1 – 4 = –5 y = 4 – (–8) = 12
Distância entre os vértice (1, 1) e (2, 3) x x = 2 – 1 = 1 y = 3 – 1 = 2
d2 = (–5)2 + 122 d2 = 25 + 144 d 2 = 169
x2 = 12 + 22 x2 = 1 + 4 x2 = 5 x=
25 5
d = 169 d = 13
5
Distância entre os vértice (1, 1) e (1, 3) z x = 1 – 1 = 0 y = 3 – 1 = 2
Posições relativas de duas circunferências Tangentes Exteriores exteriores
z2 = 0 2 + 2 2 z2 = 0 + 4 z2 = 4 z=2 Distância entre os vértice (1, 3) e (2, 3) y x = 2 – 1 = 1 y = 3 – 3 = 0
Secantes
d>R+r
d=R+r
R+r<d<R–r
Tangentes interiores
Interiores
Concêntricas
d=R–r
d<R–r
d=0
y2 = 12 + 02 y2 = 1 + 0 y2 = 1 y=1 O perímetro do triângulo é dado por x + y + z, logo
5 +1+2=3+
5 Resposta: D
Como a distância entre os centros das duas circunferências é d = 13 e os raios são R = 8 e r = 5, então d = R + r, logo, as circuferências são tangentes exteriores. Resposta: A
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