Solução da prova da EsSA - 2010/2011

Prova da EsSA – 2010/2011

Os cones são semelhantes, então pelo teorema das proporções de Thales, teremos:

01. O número mínimo de termos que deve ter a PA (73, 69, 65, ...) para que a soma de seus termos seja negativa é:

  3 H V V  3     maior   H.   maior  33 Vmenor  H  Vmenor H    3

(A) 37.

(B) 20.

(C) 18.

(D) 38.

(E) 19.

3

Vmaior Vmenor

Vmaior  27 Vmenor

03. O valor de k real, para que o sistema

Resolução:

Sn  0



(a1  an ).n 0 2

para a1  73  r  69  73  4 a  a  (n  1).r  a  73  (n  1).(4)  a  77  4n 1 n n  n

(a1  a n ).n (73  77  4n ).n 0  0  2 2 (150  4n ).n 150n  4n 2 0  0 2 2  75n  2n 2  0  n (75  2n )  0  n  0 (não convém )   75 75  2n  0  75  2n  n   n  37,5  2 

Portanto, 38 será o primeiro inteiro maior que 37,5.

kx  2 y  z  2  2 x  8 y  2 z  0 seja possível e determinado, é: 2 x  z  4  (A) k  (B) k  (C) k  (D) k  (E) k 

–1/6.

1/2.

–1/2.

–3/2.

–7/2.

Resolução: A condição necessária para que um sistema seja possível e determinado, o determinante formado pelos coeficientes desse sistema deverá ser diferente de zero (D  0) k 2 1 2 8 2  0 2 0 1

Repetindo-se as duas primeiras linhas:

02. Um cone de reto, de altura H e área da base B, é seccionado por um plano paralelo à base. Consequentemente, um novo cone com altura H/3 é formado, Qual a razão entre os volumes do maior e do menor cone, o de altura H e o de altura H/3?

(A) 27.

(B) 9.

(C) 3.

(D) 6.

(E) 18.

 8k  12  0 k

Resolução: Vejamos a ilustração inicial:



 8k  12



k

12 8



3 2

04. Dentre as alternativas abaixo, qual corresponde ao valor numérico da expressão: E =  3 5  3  5  3 5  

(A) 6.

(B) 10 5 .

2



(D) 10.

(E) 6 5 – 10.

(C) 6 5 . (figura 1) Outras listas: www.issuu.com (prof.anchieta)

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Perceba na ilustração a seguir a relação entre as bases e os lados não paralelos.

Resolução: Desenvolvendo este produto notável: E   3 5  3  5  3 5   

2



2

E   3 5  3   2. 3 5  3. 5  3 5   5  3 5     

x

2

 E  3 5  3  2. (3 5  3).(5  3 5 )  5  3 5

 E  6 5  2  2. 15 5  9.5  15  9 5

x + x = 16 + 36  2x = 52  x = 26

 E  6 5  2  2. 6 5  30  E  6 5  2  2. 6( 5  5)

Comentário: inexiste tal alternativa, a questão será anulada.

05. O capital de R$ 360,00 foi dividido em duas partes, A e B. A quantia A rendeu em 6 meses o mesmo que quantia B rendeu em 3 meses, ambas aplicadas à mesma taxa no regime de juros simples. Nessas condições, pode-se afirmar que (A) A = 2B. (B) A = 3B. (C) B = 2A. (D) A = B. (E) B = 3A. Resolução: Sendo os rendimentos os mesmos, concluímos que os juros auferidos são iguais: C  A (capital aplicado)  Aplicação A i  x (taxa unitária) t  6 meses 



A.x .63  B.x .33



(A) 19.

(B) 67.

(C) 49/3.

(D) 64.

(E) 193/3.

Resolução: 11 1

a + b = 11 – 1 a + b = 10 1.a.b = –

16 1

a.b = 16

sendo J = C.i.t 

07. Sabe-se que 1, a e b são raízes do polinômio p(x) = x3 – 11x2 + 26x – 16, e que a > b. Nessas condições, o valor de ab + log b a é:

1+a+b=–

C  B (capital aplicado)  Aplicação B i  x (taxa unitária) , t  3 meses 

J A  JB

O lado não paralelo x, forma com a altura (que corresponde a 2R) e com a projeção do lado não paralelo sobre a base (vale 10) um triângulo retângulo, então temos: x2 = 102 + (2R)2  262 = 102 + (2R)2  262 – 102 = (2R)2  (26 – 10).(26 + 10) = 4R2  2 2 16.36 = 4R  16.9 = R  R = 4.3  R = 12

A.2  B.1



B  2A

06. A medida do raio de uma circunferência inscrita em um trapézio isósceles de bases 16 e 36 é um número (A) irracional.

(B) par.

(C) múltiplo de 5.

(D) primo.

(E) múltiplo de 9.

Resolução:

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Resultando na seguinte equação do 2º x2 – soma.x + produto = 0  x2 – 10x + 16 = 0

grau:

Determinando as raízes pela fórmula resolvente de Bháskara, onde a = 1; b = –10 e c = 16.   (10)2  4.1.16    100  64  36 b   (10)  36  x  2a 2.1  10  6 16 a  8 10  6  2 2 x , (a  b)  10  6 4 2  b  2  2 2

x

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Calculando: ab + log b a ab + logb a   64 + 3 

82 + log2 8 67



64 + log2 2 3

Resolução: Inicialmente, montaremos o diagrama de Euller-Venn, com os valores mencionados no enunciado da questão:

08. Aumentando-se um número x em 75 unidades, seu logaritmo na base 4 aumenta em duas unidades. Pode-se afirmar que x é um número (A) menor que 1.

(B) irracional.

(C) maior que 4.

(D) divisor de 8.

(E) múltiplo de 3.

A soma de todos os elementos constitui o conjunto universo deste diagrama:

Resolução: Seja inicialmente, o seguinte logaritmo: log4 x  y .......... (1)

Pelo enunciado da questão, tem-se que: Aumentando-se um número x em 75 unidades, seu logaritmo na base 4 aumenta em duas unidades, então, teremos:

115 – x + x + 235 – x + 225 = 500  575 – x = 500  575 – 500 = x  x = 75 pessoas possuem os dois antígenos, ou seja, são do tipo AB. A quantidade de elementos do espaço amostral e do evento desejado, serão representados por: espaço amostral (S) :500 pessoas  n (S)  20  evento " pessoa do tipo AB" (A) : 75  n (A)  75 P(A) 

log4 x  75  y  2 .......... (2)

Substituindo o valor de “y” da relação (1) em (2), teremos: log4 x  75  y  2



log4 x  75  log4 x  2



log4 x  75  log4 x  2



log 4



x  75 x  75 2   42 x x x  75  16x  75  16x  x

 15x  75  x 

75  x 5 15

09. Em uma escola com 500 alunos, foi realizada uma pesquisa para determinar a tipagem sanguínea destes.

Observou-se que 115 tinham o antígeno A, 235 tinham o antígeno B e 225 não possuíam nenhum dos dois.

Escolhendo ao acaso um destes alunos, a probabilidade de que ele seja do tipo AB, Istoé, possua os dois antígenos, é de (A) 47%.

(B) 45%.

(C) 15%.

(D) 30%.

(E) 23%.

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

n (A) n (S)

P(A) 



P(A) 

755 500  5

15  15% 100

10. Numa sala de aula, a média das idades dos 50 alunos era de 22,5 anos. No cálculo da média, foram consideradas idades com anos completos. Transcorridas algumas semanas, houve a desistência de um aluno e a média das idades caiu para 22 anos. Considerando-se que nesse período nenhum dos alunos da turma fez aniversário, a idade do aluno que desistiu é igual a (A) 37 anos.

(B) 35 anos.

(C) 47 anos.

(D) 27 anos.

(E) 45 anos.

Resolução: Chamaremos “x” a soma das idades dos 50 alunos dessa sala de aula, assim, teremos a seguinte média aritmética para essas idades: x x  22,5  50 50 x  50  22,5  x  1125

Ma  

Após sair um dos alunos dessa sala de aula, a média caiu para 22 anos. Aqui, chamaremos de “1125 – y” a soma das idades de todos alunos restantes nessa turma.

Para nova média aritmética, teremos que: Acompanhe: www.twitter.com (@prof_anchieta)

Ma  

1125  y 1125  y  22   1078  1125  y 49 49 y  1125  1078  y  47 anos

11. Se p =

q , sendo p e q números inteiros positi1 1  3 5 2

vos entre si. Calcule pq.

(A) 815.

(B) 415.

(C) 158.

(D) 154.

(E) 1615.

Formando um sistema com essas 3 equações: x  10 y  20z  600..........(1)  x  y  z  49 ...................(2)  y  x  9 ..........................(3) 

Subtraindo

a

equação

(1)

da

(2),

teremos:

e

(3),

teremos:

x  10 y  20z  600  x  y  z  49 9 y  19z  551..........(4)

Somando

as

equações

(2)

x  y  z  49  y  x  9 2 y  z  58..........(5)

Resolução: Resolvendo o sistema entre as equações (4) e (5): Desenvolvendo a expressão acima: q

q q p  p  p 1 1 1.5  1.3 53  3 5 3.5 15 2 2 2 q q q  p  p  p 8 8 1 4  15 15 2 15 2 15q p 15 p  15  p     4 q 4 q  4

9 y  19z  551 . Determinado o valor de “z” (referente a  2 y  z  58

quantidades de notas de vinte).

9  58  2  551 522  1102  z 9  1  2  19 9  38  580  z  z  20  29 z

Fazendo pq = 154 12. Uma pessoa deseja totalizar a quantia de R$ 600,00 utilizando cédulas de um, dez e vinte reais, num total de 49 cédulas, de modo que a diferença entre essa quantidade de cédulas de dez e de um real seja igual a nove unidades. Nesse caso, a quantidade de cédulas de 20 reais de que a pessoa precisará será igual a: (A) 21.

(B) 19.

(C) 10.

(D) 20.

(E) 29.

Resolução: Denotaremos, inicialmente as quantidade das cédulas de “um”, “dez” e de “vinte” por, respectivamente, “x”, “y” e “z”.

Montaremos três equações de acordo com que foi exposto no enunciado: 1ª equação: “total da quantia”: 1.x  10.y  20.z  600 2ª equação: “total de cédulas”: x  y  z  49 3ª equação: “relação entre as quantidades de notas de dez e de um”: y  x  9 Outras listas: www.issuu.com (prof.anchieta)

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