Prova da EsSA – 2010/2011
Os cones são semelhantes, então pelo teorema das proporções de Thales, teremos:
01. O número mínimo de termos que deve ter a PA (73, 69, 65, ...) para que a soma de seus termos seja negativa é:
3 H V V 3 maior H. maior 33 Vmenor H Vmenor H 3
(A) 37. (B) 20. (C) 18. (D) 38. (E) 19.
3
Vmaior Vmenor
Vmaior 27 Vmenor
03. O valor de k real, para que o sistema
Resolução:
Sn 0
(a1 an ).n 0 2
para a1 73 r 69 73 4 a a (n 1).r a 73 (n 1).(4) a 77 4n 1 n n n
(a1 a n ).n (73 77 4n ).n 0 0 2 2 (150 4n ).n 150n 4n 2 0 0 2 2 75n 2n 2 0 n (75 2n ) 0 n 0 (não convém ) 75 75 2n 0 75 2n n n 37,5 2
Portanto, 38 será o primeiro inteiro maior que 37,5.
kx 2 y z 2 2 x 8 y 2 z 0 seja possível e determinado, é: 2 x z 4 (A) k (B) k (C) k (D) k (E) k
–1/6. 1/2. –1/2. –3/2. –7/2.
Resolução: A condição necessária para que um sistema seja possível e determinado, o determinante formado pelos coeficientes desse sistema deverá ser diferente de zero (D 0) k 2 1 2 8 2 0 2 0 1
Repetindo-se as duas primeiras linhas:
02. Um cone de reto, de altura H e área da base B, é seccionado por um plano paralelo à base. Consequentemente, um novo cone com altura H/3 é formado, Qual a razão entre os volumes do maior e do menor cone, o de altura H e o de altura H/3? (A) 27. (B) 9. (C) 3. (D) 6. (E) 18.
8k 12 0 k
Resolução: Vejamos a ilustração inicial:
8k 12
k
12 8
3 2
04. Dentre as alternativas abaixo, qual corresponde ao valor numérico da expressão: E = 3 5 3 5 3 5
(A) 6. (B) 10 5 .
2
(D) 10. (E) 6 5 – 10.
(C) 6 5 . (figura 1) Outras listas: www.issuu.com (prof.anchieta)
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Perceba na ilustração a seguir a relação entre as bases e os lados não paralelos.
Resolução: Desenvolvendo este produto notável: E 3 5 3 5 3 5
2
2
E 3 5 3 2. 3 5 3. 5 3 5 5 3 5
x
2
E 3 5 3 2. (3 5 3).(5 3 5 ) 5 3 5
E 6 5 2 2. 15 5 9.5 15 9 5
x + x = 16 + 36 2x = 52 x = 26
E 6 5 2 2. 6 5 30 E 6 5 2 2. 6( 5 5)
Comentário: inexiste tal alternativa, a questão será anulada. 05. O capital de R$ 360,00 foi dividido em duas partes, A e B. A quantia A rendeu em 6 meses o mesmo que quantia B rendeu em 3 meses, ambas aplicadas à mesma taxa no regime de juros simples. Nessas condições, pode-se afirmar que (A) A = 2B. (B) A = 3B. (C) B = 2A. (D) A = B. (E) B = 3A. Resolução: Sendo os rendimentos os mesmos, concluímos que os juros auferidos são iguais: C A (capital aplicado) Aplicação A i x (taxa unitária) t 6 meses
A.x .63 B.x .33
(A) 19. (B) 67. (C) 49/3. (D) 64. (E) 193/3. Resolução: 11 1
a + b = 11 – 1 a + b = 10 1.a.b = –
16 1
a.b = 16
sendo J = C.i.t
07. Sabe-se que 1, a e b são raízes do polinômio p(x) = x3 – 11x2 + 26x – 16, e que a > b. Nessas condições, o valor de ab + log b a é:
1+a+b=–
C B (capital aplicado) Aplicação B i x (taxa unitária) , t 3 meses
J A JB
O lado não paralelo x, forma com a altura (que corresponde a 2R) e com a projeção do lado não paralelo sobre a base (vale 10) um triângulo retângulo, então temos: x2 = 102 + (2R)2 262 = 102 + (2R)2 262 – 102 = (2R)2 (26 – 10).(26 + 10) = 4R2 2 2 16.36 = 4R 16.9 = R R = 4.3 R = 12
A.2 B.1
B 2A
06. A medida do raio de uma circunferência inscrita em um trapézio isósceles de bases 16 e 36 é um número (A) irracional. (B) par. (C) múltiplo de 5. (D) primo. (E) múltiplo de 9. Resolução:
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Resultando na seguinte equação do 2º x2 – soma.x + produto = 0 x2 – 10x + 16 = 0
grau:
Determinando as raízes pela fórmula resolvente de Bháskara, onde a = 1; b = –10 e c = 16. (10)2 4.1.16 100 64 36 b (10) 36 x 2a 2.1 10 6 16 a 8 10 6 2 2 x , (a b) 10 6 4 2 b 2 2 2
x
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Calculando: ab + log b a ab + logb a 64 + 3
82 + log2 8 67
64 + log2 2 3
Resolução: Inicialmente, montaremos o diagrama de Euller-Venn, com os valores mencionados no enunciado da questão:
08. Aumentando-se um número x em 75 unidades, seu logaritmo na base 4 aumenta em duas unidades. Pode-se afirmar que x é um número (A) menor que 1. (B) irracional. (C) maior que 4. (D) divisor de 8. (E) múltiplo de 3.
A soma de todos os elementos constitui o conjunto universo deste diagrama:
Resolução: Seja inicialmente, o seguinte logaritmo: log4 x y .......... (1)
Pelo enunciado da questão, tem-se que: Aumentando-se um número x em 75 unidades, seu logaritmo na base 4 aumenta em duas unidades, então, teremos:
115 – x + x + 235 – x + 225 = 500 575 – x = 500 575 – 500 = x x = 75 pessoas possuem os dois antígenos, ou seja, são do tipo AB. A quantidade de elementos do espaço amostral e do evento desejado, serão representados por: espaço amostral (S) :500 pessoas n (S) 20 evento " pessoa do tipo AB" (A) : 75 n (A) 75 P(A)
log4 x 75 y 2 .......... (2)
Substituindo o valor de “y” da relação (1) em (2), teremos: log4 x 75 y 2
log4 x 75 log4 x 2
log4 x 75 log4 x 2
log 4
x 75 x 75 2 42 x x x 75 16x 75 16x x
15x 75 x
75 x 5 15
09. Em uma escola com 500 alunos, foi realizada uma pesquisa para determinar a tipagem sanguínea destes. Observou-se que 115 tinham o antígeno A, 235 tinham o antígeno B e 225 não possuíam nenhum dos dois. Escolhendo ao acaso um destes alunos, a probabilidade de que ele seja do tipo AB, Istoé, possua os dois antígenos, é de (A) 47%. (B) 45%. (C) 15%. (D) 30%. (E) 23%.
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n (A) n (S)
P(A)
P(A)
755 500 5
15 15% 100
10. Numa sala de aula, a média das idades dos 50 alunos era de 22,5 anos. No cálculo da média, foram consideradas idades com anos completos. Transcorridas algumas semanas, houve a desistência de um aluno e a média das idades caiu para 22 anos. Considerando-se que nesse período nenhum dos alunos da turma fez aniversário, a idade do aluno que desistiu é igual a (A) 37 anos. (B) 35 anos. (C) 47 anos. (D) 27 anos. (E) 45 anos. Resolução: Chamaremos “x” a soma das idades dos 50 alunos dessa sala de aula, assim, teremos a seguinte média aritmética para essas idades: x x 22,5 50 50 x 50 22,5 x 1125
Ma
Após sair um dos alunos dessa sala de aula, a média caiu para 22 anos. Aqui, chamaremos de “1125 – y” a soma das idades de todos alunos restantes nessa turma. Para nova média aritmética, teremos que: Acompanhe: www.twitter.com (@prof_anchieta)
Ma
1125 y 1125 y 22 1078 1125 y 49 49 y 1125 1078 y 47 anos
11. Se p =
q , sendo p e q números inteiros positi1 1 3 5 2
vos entre si. Calcule pq. (A) 815. (B) 415. (C) 158. (D) 154. (E) 1615.
Formando um sistema com essas 3 equações: x 10 y 20z 600..........(1) x y z 49 ...................(2) y x 9 ..........................(3)
Subtraindo
a
equação
(1)
da
(2),
teremos:
e
(3),
teremos:
x 10 y 20z 600 x y z 49 9 y 19z 551..........(4)
Somando
as
equações
(2)
x y z 49 y x 9 2 y z 58..........(5)
Resolução: Resolvendo o sistema entre as equações (4) e (5): Desenvolvendo a expressão acima: q
q q p p p 1 1 1.5 1.3 53 3 5 3.5 15 2 2 2 q q q p p p 8 8 1 4 15 15 2 15 2 15q p 15 p 15 p 4 q 4 q 4
9 y 19z 551 . Determinado o valor de “z” (referente a 2 y z 58
quantidades de notas de vinte). 9 58 2 551 522 1102 z 9 1 2 19 9 38 580 z z 20 29 z
Fazendo pq = 154 12. Uma pessoa deseja totalizar a quantia de R$ 600,00 utilizando cédulas de um, dez e vinte reais, num total de 49 cédulas, de modo que a diferença entre essa quantidade de cédulas de dez e de um real seja igual a nove unidades. Nesse caso, a quantidade de cédulas de 20 reais de que a pessoa precisará será igual a: (A) 21. (B) 19. (C) 10. (D) 20. (E) 29. Resolução: Denotaremos, inicialmente as quantidade das cédulas de “um”, “dez” e de “vinte” por, respectivamente, “x”, “y” e “z”. Montaremos três equações de acordo com que foi exposto no enunciado: 1ª equação: “total da quantia”: 1.x 10.y 20.z 600 2ª equação: “total de cédulas”: x y z 49 3ª equação: “relação entre as quantidades de notas de dez e de um”: y x 9 Outras listas: www.issuu.com (prof.anchieta)
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