Exercícios de Recuperação (1 bimestre)

Prof. Augusto e Anchieta

01. Calcular o valor de: a) cos 105º c) tg 345º b) sen 285º d) sen 15º 02. Sendo sen x = 4/5 e cos y = 12/13, em 0 ≤ x ≤ /2 e 0 ≤ y ≤ /2, determine: a) sen (x + y) d) cos (x – y) b) sen(x – y) e) tg(x + y) c) cos(x + y) f) tg(x – y) 03. Simplifique as expressões: a) sen (x + y) + sen (x – y) b) sen (x – y).cos y + cos (x – y).sen y c) cos (x + y).cos y + sen (x + y).sen y d) cos (x + y) + cos (x – y) 04. Em cada caso, determine os valores de sen 2x, cos 2x, tg 2x e o quadrante ao qual pertence a extremidade do arco 2x : a) sen x = 4/5 e x  1º Q b) sen x = 5/13 e x  1º Q c) cos x = –4/5 e x  3º Q d) cos x = –3/5 e x  2º Q e) tg x = 4/3 e x  3º Q f) tg x = –3/4 e x  4º Q

Revisão de Trigonometria sempre o intervalo de 12,4 horas entre duas marés altas consecutivas, e também sempre a mesma altura máxima de maré, por exemplo, 1,5 metros. Nessa situação, o gráfico da função que relacionaria tempo (t) e altura de maré (A) seria semelhante a este:

O fenômeno das marés pode ser descrito por uma função da forma f(t) = a.sen (b.t), em que a é medido em metros e t em horas. Se o intervalo entre duas marés altas sucessivas é 12,4 horas, tendo sempre a mesma altura máxima de 1,5 metros, então a) b = (5)/31 d) a.b = 0,12 b) a + b = 13,9 e) b = (4)/3 c) a – b = /1,5 10. (Unitau 95) Indique a função trigonométrica f(x) de domínio R; Im=[–1, 1] e período  que é representada, aproximadamente, pelo gráfico a seguir:

05. Resolva: sen2x + 4 cos x + 4 = 0 06. Resolva a equação 2 sec x = tg x + cotg x , para 0 ≤ x ≤ 2.

07. Resolva as inequações, para 0 ≤ x ≤ 2. a) sen x > 0 2 b) cos x < 2 c) 2 sen2x + sen x – 1 > 0 d) tg x > 3 e) cos x > –1 08. Transforme em produto: a) sen 55º + sen 35º b) cos 70º + cos 20º c) 1 + cos 30º cos 40º  cos 50º d) cos 40º  cos 50º cos 70º  cos 20º e) sen 70º sen 20º 09. (Puccamp 2005) O subir e descer das marés é regulado por vários fatores, sendo o principal deles a atração gravitacional entre Terra e Lua. Sedesprezássemos os demais fatores, teríamos

a) y = 1 + cos x. b) y = 1 – sen x. c) y = sen (–2x). d) y = cos (–2x). e) y = –cos x.

11. (Faap 96) Considerando 0 ≤ x ≤ 2, o gráfico a seguir corresponde a:

a) y = sen(x + 1) b) y = 1 + sen x c) y = sen x + cos x d) y = sen2 x + cos2 x e) y = 1 – cos x

3 e  = arctg (–1), então o valor 2

12. Se  = arcsen de cos  + tg  é: 2 3 2 a) .

2 2 3 2 b) .

2 c) 3 + 2 .

d)

3 –

e)

3 2 .

2

2.

sen (a  b) cos a . cos b sen (a  b) tg a – tg b = cos a . cos b

tg a + tg b =

Equações sen x = sen a  x = a ou x =  – a cos x = cos a  x = a ou x = 2 – a tg x = tg a  x = a ou x =  + a Funções Inversas    y = arcsen x  x = sen y  y   ,   2 2 y = arccos x  x = cos y  y  0, 

Resumo sen x = cos(90º – x) cos x = sen(90º – x) tg x . tg (90º – x) = 1

   y = arctg x  x = tg y  y    ,   2 2

transformação do seno para cosseno transformação do cosseno para seno

Gabarito: 1.

Funções pares cos x = cos(–x) sec x = sec(–x)

a)

3. a) 2.sen x.cos y

cos(a + b) = cos a . cos b – sen a.sen b cos(a – b) = cos a . cos b + sen a.sen b cos 2a = cos2 x  sen2 x

cos2 x  1  sen2 x

fazendo

e

substituindo em cos2 x  sen2 x , temos para fazendo sen2 x  1  cos2 x

e

cos x  sen x , temos para 2

2

c)

3 2

5. S = x  R | x    2k, k  Z

  5  6. S =  ,  6 6 

substituindo

em

 7   b) S = x  R |  x   4 4   5   c) S = x  R |  x   6 6 

tg a  tg b 1  tg a . tg b tg a  tg b tg(a – b) = 1  tg a . tg b 2.tg a tg 2a = 1  tg2 a

  4 3   x  d) S = x  R |  x  ou 3 2 3 2  e) S = x  R | x  1

Fórmulas de transformações em produto ab ab sen a + sen b = 2.sen .cos   2   2 

ab ab sen a – sen b = 2.sen . cos   2   2  ab ab cos a + cos b = 2. cos . cos   2   2  ab ab cos a – cos b =  2.sen .sen   2   2 

6 2 4

b) sen x c) cos x d) 2.cos x.cos y

cos 2a = cos2 x  1  cos2 x  2. cos2 x  1 tg(a + b) =

d)

7. a) S = x  R | 0  x  

cos 2a = 1  sen2x  sen2x  1  2.sen2x Agora

 6 2 4

4. a) sen 2x = 24/25, cos 2x = –7/25, tg 2x = –24/7; 2x  2º Q b) sen 2x= 120/169, cos 2x = 119/169, tg 2x = 120/119; 2x1º Q c) sen 2x = 24/25, cos 2x = 7/25, tg 2x = 24/7; 2x  1º Q d) sen 2x = –24/25, cos 2x = –7/25, tg 2x = 24/7; 2x  3º Q e) sen 2x = 24/25, cos 2x = –7/25, tg 2x = –24/7; 2x  2º Q f) sen 2x = –24/25, cos 2x = 7/25, tg 2x = –24/7; 2x  4º Q

Fórmulas de adição e subtração de arcos sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a sen(a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a sen 2a = 2.sen a.cos a

sen2 x  cos2 x  1 ,

b)

2. a) 63/ 65 b) 33/65 c) 16/65 d) 56/65 e) 63/16 f) 33/56

Funções ímpares sen(–x) = –sen(x)  –sen(–x) = sen(x) cossec(–x) = –cossec(x)  –cossec(–x) = cossec(x) tg(–x) = –tg(x)  –tg(–x) = tg(x) cotg(–x) = –cotg(x)  –cotg(–x) = cotg(x)

Sendo

2 6 4

8. a) 2 . cos10º d) cotg 5º

b) 2 . cos 25º e) cotg 25º

09. a

11. b

10. c

12. b

c) 2. cos2 15º