Prof. Augusto e Anchieta
01. Calcular o valor de: a) cos 105º c) tg 345º b) sen 285º d) sen 15º 02. Sendo sen x = 4/5 e cos y = 12/13, em 0 ≤ x ≤ /2 e 0 ≤ y ≤ /2, determine: a) sen (x + y) d) cos (x – y) b) sen(x – y) e) tg(x + y) c) cos(x + y) f) tg(x – y) 03. Simplifique as expressões: a) sen (x + y) + sen (x – y) b) sen (x – y).cos y + cos (x – y).sen y c) cos (x + y).cos y + sen (x + y).sen y d) cos (x + y) + cos (x – y) 04. Em cada caso, determine os valores de sen 2x, cos 2x, tg 2x e o quadrante ao qual pertence a extremidade do arco 2x : a) sen x = 4/5 e x 1º Q b) sen x = 5/13 e x 1º Q c) cos x = –4/5 e x 3º Q d) cos x = –3/5 e x 2º Q e) tg x = 4/3 e x 3º Q f) tg x = –3/4 e x 4º Q
Revisão de Trigonometria sempre o intervalo de 12,4 horas entre duas marés altas consecutivas, e também sempre a mesma altura máxima de maré, por exemplo, 1,5 metros. Nessa situação, o gráfico da função que relacionaria tempo (t) e altura de maré (A) seria semelhante a este:
O fenômeno das marés pode ser descrito por uma função da forma f(t) = a.sen (b.t), em que a é medido em metros e t em horas. Se o intervalo entre duas marés altas sucessivas é 12,4 horas, tendo sempre a mesma altura máxima de 1,5 metros, então a) b = (5)/31 d) a.b = 0,12 b) a + b = 13,9 e) b = (4)/3 c) a – b = /1,5 10. (Unitau 95) Indique a função trigonométrica f(x) de domínio R; Im=[–1, 1] e período que é representada, aproximadamente, pelo gráfico a seguir:
05. Resolva: sen2x + 4 cos x + 4 = 0 06. Resolva a equação 2 sec x = tg x + cotg x , para 0 ≤ x ≤ 2. 07. Resolva as inequações, para 0 ≤ x ≤ 2. a) sen x > 0 2 b) cos x < 2 c) 2 sen2x + sen x – 1 > 0 d) tg x > 3 e) cos x > –1 08. Transforme em produto: a) sen 55º + sen 35º b) cos 70º + cos 20º c) 1 + cos 30º cos 40º cos 50º d) cos 40º cos 50º cos 70º cos 20º e) sen 70º sen 20º 09. (Puccamp 2005) O subir e descer das marés é regulado por vários fatores, sendo o principal deles a atração gravitacional entre Terra e Lua. Sedesprezássemos os demais fatores, teríamos
a) y = 1 + cos x. b) y = 1 – sen x. c) y = sen (–2x). d) y = cos (–2x). e) y = –cos x. 11. (Faap 96) Considerando 0 ≤ x ≤ 2, o gráfico a seguir corresponde a:
a) y = sen(x + 1) b) y = 1 + sen x c) y = sen x + cos x d) y = sen2 x + cos2 x e) y = 1 – cos x
3 e = arctg (–1), então o valor 2
12. Se = arcsen de cos + tg é: 2 3 2 a) . 2 2 3 2 b) . 2 c) 3 + 2 .
d)
3 –
e)
3 2 . 2
2.
sen (a b) cos a . cos b sen (a b) tg a – tg b = cos a . cos b
tg a + tg b =
Equações sen x = sen a x = a ou x = – a cos x = cos a x = a ou x = 2 – a tg x = tg a x = a ou x = + a Funções Inversas y = arcsen x x = sen y y , 2 2 y = arccos x x = cos y y 0,
Resumo sen x = cos(90º – x) cos x = sen(90º – x) tg x . tg (90º – x) = 1
y = arctg x x = tg y y , 2 2
transformação do seno para cosseno transformação do cosseno para seno
Gabarito: 1.
Funções pares cos x = cos(–x) sec x = sec(–x)
a)
3. a) 2.sen x.cos y
cos(a + b) = cos a . cos b – sen a.sen b cos(a – b) = cos a . cos b + sen a.sen b cos 2a = cos2 x sen2 x
cos2 x 1 sen2 x
fazendo
e
substituindo em cos2 x sen2 x , temos para fazendo sen2 x 1 cos2 x
e
cos x sen x , temos para 2
2
c)
3 2
5. S = x R | x 2k, k Z
5 6. S = , 6 6
substituindo
em
7 b) S = x R | x 4 4 5 c) S = x R | x 6 6
tg a tg b 1 tg a . tg b tg a tg b tg(a – b) = 1 tg a . tg b 2.tg a tg 2a = 1 tg2 a
4 3 x d) S = x R | x ou 3 2 3 2 e) S = x R | x 1
Fórmulas de transformações em produto ab ab sen a + sen b = 2.sen .cos 2 2
ab ab sen a – sen b = 2.sen . cos 2 2 ab ab cos a + cos b = 2. cos . cos 2 2 ab ab cos a – cos b = 2.sen .sen 2 2
6 2 4
b) sen x c) cos x d) 2.cos x.cos y
cos 2a = cos2 x 1 cos2 x 2. cos2 x 1 tg(a + b) =
d)
7. a) S = x R | 0 x
cos 2a = 1 sen2x sen2x 1 2.sen2x Agora
6 2 4
4. a) sen 2x = 24/25, cos 2x = –7/25, tg 2x = –24/7; 2x 2º Q b) sen 2x= 120/169, cos 2x = 119/169, tg 2x = 120/119; 2x1º Q c) sen 2x = 24/25, cos 2x = 7/25, tg 2x = 24/7; 2x 1º Q d) sen 2x = –24/25, cos 2x = –7/25, tg 2x = 24/7; 2x 3º Q e) sen 2x = 24/25, cos 2x = –7/25, tg 2x = –24/7; 2x 2º Q f) sen 2x = –24/25, cos 2x = 7/25, tg 2x = –24/7; 2x 4º Q
Fórmulas de adição e subtração de arcos sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a sen(a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a sen 2a = 2.sen a.cos a
sen2 x cos2 x 1 ,
b)
2. a) 63/ 65 b) 33/65 c) 16/65 d) 56/65 e) 63/16 f) 33/56
Funções ímpares sen(–x) = –sen(x) –sen(–x) = sen(x) cossec(–x) = –cossec(x) –cossec(–x) = cossec(x) tg(–x) = –tg(x) –tg(–x) = tg(x) cotg(–x) = –cotg(x) –cotg(–x) = cotg(x)
Sendo
2 6 4
8. a) 2 . cos10º d) cotg 5º
b) 2 . cos 25º e) cotg 25º
09. a
11. b
10. c
12. b
c) 2. cos2 15º