Lista de matrizes

Col´ egio Militar de SM – Profs Augusto e Anchieta Lista de Matrizes – 2o ano Aluno(a): 13 de junho de 2011 1.) (PUC RJ) Calcule a vig´esima potˆencia da matriz A abaixo: µ ¶ 1 a A= 0 1

A( ) 6

2.) Resolva o sistema  µ 2   X +Y +   8 

6 4

µ   0    X −Y − 4

2 6

¶

µ =

¶

µ =

16 18

12 14

−2 −4

−2 6

B(

8.) Dadas A = ¶

 1 a2  e B = 3.) (UFG) Sejam as matrizes A =  16 −27 −4 · b ¸ 2 9 Para que elas sejam iguais, deve-se ter: a3 c ) a = −3 e b = −c = 4 ) a = 3 e b = c = −4 ) a = 3 e b = −c = −4 ) a = −3 e b = c = −4 ) a = −3 e b = c2 = 4

)8

C(

) 10

D(

) 12

E( ) 14



¶



A( B( C( D( E(

7.) (FATEC) Sabe-se que as ordens das matrizes A , B e C s˜ao, respectivamente, 3 × r , 3 × s e 2 × t . Se a matriz (A − B)C ´e de ordem 3 × 4 , ent˜ao r + s + t ´e igual a:



2 C =  −1 1

  2 −3 −5 −1 3  −1 4 5 , B =  1 −3 1 −3 −4 −1 3 −2 −4 3 4 , mostre que: −2 −3

 5 −5  e 5

a.) AB = BA = 03 , AC = A e CA = C. b.) Usando os resultados do item anterior mostre que ACB = CBA 9.) A ´e uma matriz m×n e B ´e uma matriz m×p. A afirma¸c˜ao falsa ´e: A( B( C( D( E(

) A+B existe se, e somente se, n = p. ) A = At implica m = n. ) A × B existe se, e somente se, n = p. ) A × B t existe se, e somente se, n = p. ) At × B sempre existe.

¸ ¸ · 3 −2 4 1 , a matriz 10.) Seja A = [aij ] a matriz 2 × 2 definida por aij = 1, se i ≤ j; e Q = 5 4 −2 3 aij = −1, se i > j. Calcule A2 . transposta de P − 2Q ´e: ¸ ¸ · · 11.) As faculdades A e B oferecem somente cursos de Medicina −2 −12 10 8 B( ) A( ) e Engenharia. A tabela a seguir apresenta as percentagens 5 −5 −3 11 dos alunos que conclu´ıram seus cursos em 2005, distribu´ıdos · ¸ · ¸ 1 −7 −2 8 segundo a faculdade e seu curso: C( ) D( ) −1 −1 −5 5 · ¸ Medicina Engenharia 10 11 E( ) Fac. A 40% 60% −3 8 Fac. B 30% 70%   2 1 −1 Sabe-se que estes alunos est˜ao atualmente empregados e 0 1 − y  ´e 5.) (SANTA CASA - SP) Se a matriz  x2 desempregados, de acordo com os ´ındices abaixo: x y−3 1 sim´etrica, ent˜ao o valor de x + y ´e: empregado desempregado Medicina 70% 30% A( ) 3 B( ) 1 C( ) 0 D( ) –2 E( ) –3 Engenharia 20% 80% ·

4.) (UFBA) Se P =

6.) (SANTA CASA - SP) Se uma matriz quadrada A ´e tal que At = −A ela ´e chamada anti-sim´etrica. Sabe-se que M ´e anti-sim´etrica e,   4 + a ... ... b+2 ...  M = a b c 2c − 8 Os termos a12 , a13 e a23 da matriz M valem respectivamente: A( ) -4 , -2 e 4 C( ) 4 , -2 e -4 E( ) n.d.a.

B( ) 4 , 2 e -4 D( ) 2 , -4 e 2

A tabela abaixo deve apresentar as percentagens dos alunos que conclu´ıram seus cursos em 2005, por´em distribu´ıdos por faculdade e situa¸c˜ao ocupacional (empregado/desempregado).

Fac. A Fac. B

Empregado X Z

Determine o valor de W .

Desempregado Y W

Col´egio Militar de SM – profs Augusto e Anchieta 12.) Considere as matrizes: • A = [aij ]4×7 , definida por aij = i − j.

• B = [bij ]7×9 , definida por bij = i.

• c = [cij ], C = A · B. Calcule o elemento c63 .

—

Lista de matrizes – 2o ano

c.) Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a justificar a afirma¸c˜ao: A matriz A2 representa o n´ umero de caminhos dispon´ıveis para se ir de uma esta¸c˜ ao a outra com uma u ´nica retransmiss˜ ao. d.) Se A fosse sim´etrica, o que significaria?

13.) Charada concebeu um c´odigo para se comunicar com o e.) Qual seria o significado da matriz A + A2 ?

Curinga, imaginando que mesmo que o Batman interceptasse a mensagem n˜ao seria capaz de decifr´a-la. Charada ent˜ao propˆos-se a transformar uma palavra P, de trˆes le- 15.) (UnB - DF) Um industrial instalou cinco f´abricas, que ser˜ao tras, em uma matriz coluna Y , como ser´a descrito a seguir. representadas pelos n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5. Ele necessita Inicialmente Charada fez a correspondˆencia: de instalar uma oficina de manuten¸c˜ao de m´aquinas em uma das f´abricas. Na matriz C = [Cij ]5×5 , o elemento cij A B C D E F G H I J L M representa o custo (em mil Reais) de transporte de uma l l l l l l l l l l l l m´aquina da f´abrica i para a f´abrica j. Na matriz colu1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 na M = [Mij ]5×1 o elemento mi1 fornece o n´ umero de m´aquinas da f´ a brica i.

Considere as matrizes:     N O P Q R S T U V X Z 5 0 5 4 5 4 l l l l l l l l l l l  2   6 0 2 3 1      13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23    C=  4 3 0 2 1  e M =  3  e julgue os itens a  4   6 4 3 0 1  A palavra P ´e transformada em uma matriz coluna X. Em 3 5 2 3 2 0 seguida, usando a matriz c´odigo: seguir:   00. Para transportar todas as m´aquinas para a f´abrica 4, o 2 2 0 custo ´e de 43.000 Reais.

A= 3 3 1  01. Se x ´e o custo de transporte de todas as m´aquinas das 1 0 1 outras f´abricas para a f´abrica i, ent˜ao o custo de retorno a matriz coluna Y ´e obtida pela equa¸c˜ao Y = A × X. dessas m´aquinas para as f´abricas de origem ´e x, qualquer Por a palavra MAR corresponde coluna que seja 1 ≤ i ≤ 5.  exemplo.   `a matriz  12 26 02. Considerando que as m´aquinas encontram-se em igual  1  e ´e codificada como Y = AX =  59 . Charada estado de conserva¸c˜ao, como op¸c˜ao mais econˆomica, o in17 29 dustrial dever´a instalar a oficina de manuten¸c˜ao na f´abrica enviou uma mensagem para o Curinga, por´em Batman in5. terceptou a mensagem, e o Batcomputador a decodificou.

Sabendo que os n´ umeros interceptados formam a matriz 64 16.) (FATEC) Uma ind´ ustria automobil´ıstica produz carros X coluna Y =  107 , qual foi a palavra que Charada envie Y nas vers˜oes standart, luxo e superluxo. Pe¸cas A , B 29 e C s˜ao utilizadas na montagem desses carros. Para um ou para o Curinga? certo plano de montagem, ´e dada a seguinte informa¸c˜ao: 14.) Uma rede de comunica¸c˜ao tem cinco cidades com transmissores de potˆencias distintas. Estabelecemos que aij = 1, na matriz abaixo, significa que a esta¸ca˜o i pode transmitir diretamente `a esta¸c˜ao j, aij = 0 significa que a transmiss˜ao da esta¸c˜ao i n˜ao alcan¸ca a esta¸c˜ao j. Observe que a diagonal principal ´e nula, significando que uma esta¸c˜ao n˜ao transmite diretamente para si mesma.   0 1 1 1 1  1 0 1 1 0     A=  0 1 0 1 0   0 0 1 0 1  0 0 0 1 0 a.) Calcule A2 = A × A. 2

b.) Considere A = [cij ]. Observe que o elemento c42 = 1.

Note que a u ´nica parcela n˜ao nula veio da multiplica¸c˜ao a43 ×a32 = 1×1. Isto significa que a esta¸c˜ao 4 transmite para a esta¸ca˜o 2 atrav´es de uma retransmiss˜ao pela esta¸c˜ao 3, embora n˜ao exista uma transmiss˜ao direta de 4 para 2. Qual o significado de c13 = 2?

Pe¸ca A Pe¸ca B Pe¸ca C

Carro X Carro Y

Carro X 4 3 6

Standard 2 3

Carro Y 3 5 2

Luxo 4 2

Em termos matriciais,temos:  4 3 Matriz pe¸ca-carro: =  3 5  6 2 · ¸ 2 4 3 Matriz carro-vers˜ao: = 3 2 5 A matriz pe¸ca-vers˜ao ´e:

Superluxo 3 5

2

Col´egio Militar de SM – profs Augusto e Anchieta 

17 A( )  21 18  17 C( )  21 18  17 E( )  21 18

 27 34  22  22 27 22 28  34 28  22 27 28 28  34 22



22 28 28

17 B( )  21 18  17 D( )  21 18

 27 22  28  22 27 22 34  28 28

22 34 28

17.) (FUVEST) Considere as matrizes: A = [aij ]4×7 , definida por A = aij = i − j; B = [bi,j ]7×9 , definida por bij = i; C = [cij ], tal que C = AB. Calcule o elemento c63 .

A( ) -112 E( ) n˜ao existe

B(

) -18

C(

) -9

D(

) 112

—

Lista de matrizes – 2o ano

V. (AB)C = A(BC) VI. (A − B)2 = A2 − 2AB + B 2 Ent˜ao podemos afirmar que: A( B( C( D( E(

) apenas a I ´e falsa. ) apenas IV ´e verdadeira ) V ´e verdadeira ) II e III s˜ao verdadeiras ) III e IV s˜ao verdadeiras Matrizes inversas

  1 0   3 . Calcule a soma 21.) A matriz P ´e a inversa de M =    1 1 7 dos elementos da diagonal principal da matriz P.

22.) Usando ·a defini¸c¸˜ao determine a inversa  · das matrizes: ¸ 0 1 0 2 3 6 2 a) A = b) B =   0 0 1 por X = 18.) (UERJ) Multiplicando-se A = 1 4 10 4 1 0 0     23.) (UERJ) Jo˜ao comeu uma salada de frutas com a, m e a b p por¸c˜oes de 100g de abacaxi, manga e pˆera, respectiva b , obt´em-se AX =  c , que ´e uma permuta¸c˜ao mente, conforme a matriz X. A matriz A representa as c a quantidades de calorias, vitamina C e c´alcio, em mg, e a dos elementos de X. Existem cinco outras matrizes de mesmatriz B indica os pre¸cos, em reais, dessas frutas em 3 diferma ordem da matriz A, com apenas elementos 0 e 1, que, entes supermercados.

A matriz C mostra que Jo˜ao ingeriu multiplicadas por X, formam as outras permuta¸c˜oes dos 295, 6cal, 143, 9mg de vitamina C e 93mg de c´alcio. elementos de X. A soma dessas cinco matrizes ´e: 



1 A( )  2 2  2 C( )  2 1  1 E( )  2 1

 2 2  1  1 2 2 1  2 2  2 2 2 1  1 2 2 1 2



 2 1 2 B( )  1 2 2  2 2 1   2 1 2 D( )  1 2 2  1 2 2

19.) (UERJ) Considere as matrizes A e B: A = [aij ] ´e quadrada de ordem ½ n em que ´e tal que: 1, se i ´e par. aij = −1, se i ´e ´ımpar.

B = (bij ) ´e de ordem n × p em que bij = j i . a.) Calcule a soma dos elemenos da diagonal principal da matriz A. b.) O elemento da quarta linha e da segunda coluna da matriz produto AB ´e igual a 4094. Calcule o n´ umero de linhas da matriz B. 20.) (ITA) Sejam A, B e C matrizes reais quadradas de ordem n e On a matriz nula tamb´em de ordem n. Considere as afirma¸c˜oes: I. AB = BA II. AB = BC III. AB = AC ⇒ B = C IV. A2 = 0n ⇒ A = On

Matriz X Por¸c˜oes de 100g   a abacaxi  m  manga p Pˆera

Calorias Vitamina C Calcio

Coma Bem Compre Mais Boa Compra

Matriz A Por cada 100g abacaxi manga 52 64, 3  27, 2 43 18 21 Matriz B Por cada 100g abacaxi manga 0, 15 0, 30  0, 16 0, 25 0, 20 0, 27

Matriz C

pera  63, 3 3, 5  15

pera  0, 40 0, 45  0, 35



 295, 6 Calorias  143, 9  Vitamina C (mg) 93 C´alcio (mg) Considerando que as matrizes inversas de A e B s˜ao A−1 e B −1 , o custo dessa salada de frutas, em cada supermercado, ´e determinado pelas seguintes opera¸c˜oes:

3

Col´egio Militar de SM – profs Augusto e Anchieta A( ) B × A−1 × C C( ) A−1 × B −1 × C 

1 24.) (ITA) Sendo A =  0 3 terceira linha e primeira a: 5 A( ) 8 1 E( ) 13

9 B( ) 11

B( ) C × A−1 × B D( ) B −1 × A−1 × C  2 −1 −3 2 , ent˜ao o elemento da −1 −2 coluna, de sua inversa, ser´a igual 6 ) 11

C(

D(

26.) (PUC SP) Sendo A e B matrizes invers´ıveis de mesma ordem e X uma matriz tal que (X.A)t = B , ent˜ao: B( ) X = B t A−1 D( ) X = (B.A)t

11 −  2 27.) (INTEGRADO RJ) O valor de a tal que  5 2 · ¸ 3 7 seja a matriz inversa de ´e: a 11 ) -1

B(

)3

C(

)

1 5

D(

)2

E(

7  2   3 − 2

1  −3   2 P =  −3   2 − 3

−

2 3

a b

2 3 1 − 3 2 3 −

       

b.) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma A = QR, sendo Q e R as matrizes abaixo. Sabendo que Q ´e ortogonal, determine a solu¸c˜ao do sistema Ax = b, para o vetor b dado, sem obter explicitamente a matriz A. Dica: lembre-se de que x = A−1 b. √   1 1 2 − −  2   2 2    √ 6    1 2  , b =  −2  Q= 1  −  2 2 2  0   √ √   2 2 0 2 2

a.) Dˆe exemplo de uma matriz ortogonal 2x2, distinta da identidade. b.) Ache a matriz ortogonal geral 2x2. c.) Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais ´e uma matriz ortogonal.

33.) Em rela¸c˜ao a matrizes sim´etricas:  1

  3   1   5

29.) (ITA SP) Uma matriz real quadrada A ´e ortogonal se A ´e invers´ıvel e A−1 = At . Determine todas as matrizes 2 × 2 que s˜ao sim´etricas e ortogonais, expressando-as, quando for o caso, em termos de seus elementos que est˜ao fora da diagonal principal.

30.) O tra¸co de uma matriz quadrada, representado por tr A, ´e a soma de seus elementos sobre a diagonal principal, isto ´e, n X aii . Mostre que: a.) Se k ∈ R, tr (kA) = k.tr A

a.) Considere a matriz P abaixo. Determine os valores de a e b para que P seja ortogonal.

Dica: vocˆe pode usar o fato de que P −1 P = I, em que I ´e a matriz identidade.

d.) Mostre que a inversa de uma matriz ortogonal ´e uma matriz ortogonal.

)5

28.) (ITA SP) Sejam as matrizes    1 1 −1 1 0 1 3 −    2 2     −2 5   2 −3  e B =  1 −2 −2 A=  1 −1 2  −1 1 1  1    3 1 −5 1 0 5 −1 2 2 Determine o elemento c34 da matriz C = (A + B)−1 .

i=1

31.) (UNICAMP SP) Uma matriz real quadrada P ´e dita ortogonal se P t = P −1 , ou seja, se sua transposta ´e igual a sua inversa.

32.) Uma matriz real Anxn que satisfaz `a rela¸c˜ao AAt = At A = I ´e chamada ortogonal. 

A(

Lista de matrizes – 2o ano



2 )− 13

25.) Usando o m´etodo de Gauss-Jordan determine a inversa de cada matriz:   1 2 −3 0  a.) A =  2 1 4 −2 5   2 1 0 0  1 0 −1 1   b.) B =   0 1 1 1  −1 0 0 3

A( ) X = A−1 B t C( ) X = (B.At ) E( ) n.d.a.

—

a.) Mostre que se A ´e uma matriz sim´etrica ou antisim´etrica, ent˜ao A2 ´e uma matriz sim´etrica. b.) Mostre que se A e B s˜ao matrizes sim´etricas, ent˜ao A + B ´e sim´etrica. c.) AB ´e sim´etrica se, e somente se, A e B comutam.

4