Col´ egio Militar de SM – Profs Augusto e Anchieta Lista de Sistemas Lineares – 2o ano Aluno(a): 9 de agosto de 2011 Vit´oria Empate Derrota 1.) Lu´ıs tem hoje o dobro da idade que Alexandre tinha Time A x y zero quando Lu´ıs tinha a idade que Alexandre tem. Quando Time B x + 3 z w Alexandre tiver a idade que Lu´ıs tem, a soma das idades de ambos ser´a 63 anos. Qual ´e a idade de cada um? N o de jogos: x+y =x+3+z+w Resolu¸c˜ao: N o de pontos: 3x + y = 3(x + 3) + z Devemos encontrar no problema algum valor constante. As ½ equa¸c˜oes tornam-se: Observando que a diferen¸ca de idades de Lu´ıs e Alexandre y = 3 + z + w (1) n˜ao muda em qualquer tempo, definimos a constante: y =9+z (2) p = (idade de Lu´ıs) - (idade de Alexandre) (1) = (2) : 3 + z + w = 9 + z ⇒ w=6 Definindo k anos a idade atual de Luis, teremos a idade de Alexandre como k − p, ou seja: 4.) (PUC - SP) Para dar R$1,80 de troco a um cliente, o caixa Lu´ıs: k anos; de um supermercado pretende usar exatamente 20 moedas. Alexandre: k − p anos. Se ele disp˜oe de moedas de 5 centavos, 10 centavos e 25 Analisando a frase: Luis tem hoje o dobro da idade que centavos, determine de quantos modos distintos ele pode Alexandre tinha quando Luis tinha a idade que Alexandre compor tal quantia. tem. 5.) (UNI-RIO) Num escrit´orio de advocacia trabalham apenas Na ´epoca em que Lu´ıs tinha a idade de Alexandre: dois advogados e uma secret´aria. Como o Dr. Andr´e e o Dr. Luis: (k − p) anos Carlos sempre advogam em causas diferentes, a secret´aria, Alex: (k − 2p) anos. Cl´audia, coloca 1 grampo em cada processo do Dr. Andr´e e 2 grampos em cada processo do Dr. Carlos, para diferenci´adobro da idade que los facilmente no arquivo. Sabendo-se que, ao todo, s˜ao 78 Lu´ıs tem hoje Alexandre tinha quando processos nos quais foram usados 110 grampos, podemos Lu´ıs tinha (k − p) anos concluir que o n´ umero de processos do Dr. Carlos ´e igual k = 2(k − 2p) a: k = 2(k − 2p); k = 2k − 4p ⇒ k = 4p (1) A( ) 64 B( ) 46 C( ) 40 Daqui a p anos Alexandre vai ter a idade de Luis, (k), e D( ) 32 E( ) 28 Luis vai ter (k + p). Resolu¸c˜ao: k + (k + p) = 63 ⇒ 2k + p = 63 (2) Grampos: A + 2C = 110 Processos: A + C = 78 (2) em (1) : 8p + p = 63 ⇒ p = 7. Escrevendo: A + C + C = 110 ⇒ 78 + C = 110. Luis: k = 4.7 = 28 C = 32 ⇒ A = 46. Alexandre: k − p = 28 − 7 = 21 umero inteiro de d´ uzias 2.) Uma companhia obt´em um lucro de 31900 reais antes de 6.) (UERJ) Um feirante separou um n´ de tangerinas (t), de ma¸ c a ˜ s (m) e de pˆ e ras (p). Observou pagar os impostos. Essa companhia concordou em fazer que, para cada ma¸c˜a arrumada, havia 2 tangerinas. Com uma doa¸c˜ao para o Hospital da Crian¸ca com Diabetes de 90 d´ uzias, ele fez lotes com 6 tangerinas, lotes com 6 ma¸c˜as Porto Alegre com 10% de seu lucro, descontados os impose lotes com 4 pˆeras. Colocou em cada lote, indistintamente, tos. A companhia deve pagar impostos estaduais de 5% de o pre¸ c o de R$ 0,50. Arrecadou R$ 105,00 na venda de todos seu lucro (descontada a doa¸c˜ao) e impostos federais de 40% eles. Calcule p. de seu lucro (descontada a doa¸c˜ao e depois do pagamento dos tributos estaduais). Determine: A( ) 40 B( ) 20 C( ) 30 D( ) 50 E( ) 35 a.) A quantia paga em impostos estaduais. b.) A quantia paga em impostos federais. c.) A contribui¸c˜ao ao hospital. d.) A quantia que permanece nos cofres da empresa. 3.) No campeonato brasileiro de futebol, cada vit´oria vale 3 pontos, cada empate, 1 ponto e cada derrota, 0 ponto. Ao fim do campeonato, os times A e B terminaram com o mesmo total de pontos. Se o time A nunca perdeu um jogo e se B tem mais 3 vit´orias que A, calcule quantas vezes B perdeu. Resolu¸c˜ ao:
Resolu¸c˜ ao: Lembrando que: (t) ,→ d´ uzias detangerinas; (m) ,→ d´ uzias de ma¸c˜as; (p) ,→ d´ uzias de pˆeras Para cada ma¸c˜ a, 2 tangerinas: t = 2m (1) Ao todo 90 d´ uzias: t + m + p = 90 (2) As frutas s˜ ao vendidadas em lotes de $0,50. Cada d´ uzia de tangerina ou ma¸c˜ a produz 2 lotes e cada d´ uzia de pˆera produz 3 lotes. Assim o total de lotes ´e dado por : 2t+3m+3p.