1 Trigonometria Orientações para estudo (esta lista foi disponibilizada na APM, no início do bimestre, juntamente com a solução da lista 1 – gráficos e leis trigonométricas – mais um modelo de prova e a lista 2 – contendo exercícios de equações e outros):
Quando for necessário trocar um sen por um cos, lembrar que: sen x = cos(90º – x) cos x = sen(90º – x)
transformação do seno para cosseno transformação do cosseno para seno
Fique atento, pois: tg x . tg (90º – x) = 1
Funções pares cos x = cos(–x) sec x = sec(–x)
Funções ímpares
sen(–x) = –sen(x) –sen(–x) = sen(x) cossec(–x) = –cossec(x) –cossec(–x) = cossec(x) tg(–x) = –tg(x) –tg(–x) = tg(x) cotg(–x) = –cotg(x) –cotg(–x) = cotg(x)
Relações trigonométricas sen x tg x = cos x 1 sec x = cos x 1 cossec x = sen x cos x 1 cotg x = sen x tg x
cotangente em função do seno e cosseno
Principais arcos Graus 0º
Rad 0
Sem 0
cos 1
tg 0
30º
6
1 2
3 3
45º
4
2 2 3 2
3 2 2 2 1 2
1
0
não existe
0
–1
0
–1
0
não existe
0
1
0
60º 90º 180º 270º 360º
3 2 3 2 2
1
3
Relação fundamental e suas auxiliares sen 2 x cos2 x 1 Dividindo sen 2 x cos2 x 1 por sen 2 x , encontramos 1 cot g 2 x cossec2 x Dividindo sen 2 x cos2 x 1 por cos2 x , encontramos tg2 x 1 sec 2 x
Fórmulas de adição e subtração de arcos sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a sen(a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a sen 2a = 2.sen a.cos a cos(a + b) = cos a . cos b – sen a.sen b cos(a – b) = cos a . cos b + sen a.sen b cos 2a = cos2 x sen 2 x Sendo sen 2 x cos2 x 1 , fazendo cos2 x 1 sen 2 x e substituindo em cos2 x sen 2 x , temos para cos 2a = 1 sen 2 x sen 2 x 1 2.sen 2 x Agora fazendo sen 2 x 1 cos2 x e substituindo em cos2 x sen 2 x , temos para cos 2a = cos2 x 1 cos2 x 2. cos2 x 1
tg a tg b 1 tg a . tg b tg a tg b tg(a – b) = 1 tg a . tg b tg(a + b) =
tg 2a =
2.tg a 1 tg2 a
Fórmulas de transformações em produto ab ab sen a + sen b = 2.sen . cos 2 2 a b a b sen a – sen b = 2.sen . cos 2 2 a b a b . cos 2 2 a b a b cos a – cos b = 2.sen .sen 2 2 cos a + cos b = 2. cos
sen (a b) cos a . cos b sen (a b) tg a – tg b = cos a . cos b tg a + tg b =
Relações importantes 2sen x + 2cos x = 2(sen x + cos x)
x , temos: 2. cos x cos x 2 2
Fazendo sen x = cos
xx x x a b a b . cos 2 = Transformando cos a + cos b = 2. cos . cos , temos: 2. 2.cos 2 2 2 2 2 2x 2 = 2. 2.cos . cos x = 4.cos . cos x = 4. . cos x 2. 2.cos 2 . cos 2 4 4 2 2 4 4 2 4
x = 2 2 . cos x 4 4
= 2 2 . cos
Observe que agora é possível encontrar a imagem, o período e o deslocamento horizontal.
a b a b Poderíamos ter substituído cos x = sen x e transformado sen a + sen b = 2.sen . cos . 2 2 2 Fica como treinamento para você.
Para treinar: encontre a imagem e o período de sen x – cos x.
2.senx. cos x sen 2x 2 2 2 2 2 2 sen x cos x = cos x sen x = –cos 2x
sen x . cos x =
sen x cos x = sen x cos x . sen 2 x cos2 x sen 2 x cos2 x .1 cos2 x sen 2 x = –cos 2x 4
4
2
2
Domínio, imagem, período, sinais e monotonicidade (crescente, decrescente) das funções trigonométricas Função
2 2
1º + +
Sinais 2º 3º + – – –
4º – +
Cresce/Decresce 1º 2º 3º 4º
R
+
–
+
–
R – (–1, 1)
2
+
–
–
+
R – (–1, 1)
2
+
+
–
–
R
+
–
+
–
Domínio
Imagem
Período
y = sen x y = cos x
R R
[–1, 1] [–1, 1]
y = tg x
R – k.
y = sec x y = cossec x y = cotg x
2 R – k. 2 R – k. R – k.
Funções Inversas
y = arcsen x x = sen y y , 2 2 y = arccos x x = cos y y 0,
, 2 2
y = arctg x x = tg y y
Nas equações trigonométricas: sen x = sen( – x) cos x = cos(2 – x) tg x = tg (180º + x)
equivalência de arcos para a função seno equivalência de arcos para a função cosseno equivalência de arcos para a função tangente
Nas inequações trigonométricas Simplifique a expressão trigonométrica, quando for o caso. Faça um esboço do ciclo. Atente para o universo.
Identidades trigonométricas Procure chegar a uma relação mais simples. Fique atento as igualdades:
sen 2 x cos2 x 1 sen 2a = 2.sen a.cos a cos 2a = cos2 x sen 2 x (e suas variações)
sen x cos x 1 sec x = cos x tg x =
1 sen x cos x 1 cotg x = e, também as fórmulas de transformações em produto. sen x tg x cossec x =
Bons estudos! Boa Prova! Sorte é para quem não estuda.
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