Orientações para estudo

1 Trigonometria Orientações para estudo (esta lista foi disponibilizada na APM, no início do bimestre, juntamente com a solução da lista 1 – gráficos e leis trigonométricas – mais um modelo de prova e a lista 2 – contendo exercícios de equações e outros):

Quando for necessário trocar um sen por um cos, lembrar que: sen x = cos(90º – x) cos x = sen(90º – x)

transformação do seno para cosseno transformação do cosseno para seno

Fique atento, pois: tg x . tg (90º – x) = 1

Funções pares cos x = cos(–x) sec x = sec(–x)

Funções ímpares

sen(–x) = –sen(x)  –sen(–x) = sen(x) cossec(–x) = –cossec(x)  –cossec(–x) = cossec(x) tg(–x) = –tg(x)  –tg(–x) = tg(x) cotg(–x) = –cotg(x)  –cotg(–x) = cotg(x)

Relações trigonométricas sen x tg x = cos x 1 sec x = cos x 1 cossec x = sen x cos x 1  cotg x = sen x tg x

cotangente em função do seno e cosseno

Principais arcos Graus 0º

Rad 0

Sem 0

cos 1

tg 0

30º

 6

1 2

3 3

45º

 4

2 2 3 2

3 2 2 2 1 2

1

0

não existe

0

–1

0

–1

0

não existe

0

1

0

60º 90º 180º 270º 360º

 3  2  3 2 2

1

3

Relação fundamental e suas auxiliares sen 2 x  cos2 x  1 Dividindo sen 2 x  cos2 x  1 por sen 2 x , encontramos 1  cot g 2 x  cossec2 x Dividindo sen 2 x  cos2 x  1 por cos2 x , encontramos tg2 x  1  sec 2 x

Fórmulas de adição e subtração de arcos sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a sen(a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a  sen 2a = 2.sen a.cos a cos(a + b) = cos a . cos b – sen a.sen b cos(a – b) = cos a . cos b + sen a.sen b  cos 2a = cos2 x  sen 2 x Sendo sen 2 x  cos2 x  1 , fazendo cos2 x  1  sen 2 x e substituindo em cos2 x  sen 2 x , temos para cos 2a = 1  sen 2 x  sen 2 x  1  2.sen 2 x Agora fazendo sen 2 x  1  cos2 x e substituindo em cos2 x  sen 2 x , temos para cos 2a = cos2 x  1  cos2 x  2. cos2 x  1

tg a  tg b 1  tg a . tg b tg a  tg b tg(a – b) = 1  tg a . tg b tg(a + b) =

 tg 2a =

2.tg a 1  tg2 a

Fórmulas de transformações em produto ab ab sen a + sen b = 2.sen  . cos   2   2  a b a b sen a – sen b = 2.sen  . cos   2   2  a b a b . cos   2   2  a b a b cos a – cos b =  2.sen  .sen    2   2  cos a + cos b = 2. cos

sen (a  b) cos a . cos b sen (a  b) tg a – tg b = cos a . cos b tg a + tg b =

Relações importantes 2sen x + 2cos x = 2(sen x + cos x)

       x  , temos: 2. cos   x   cos x  2  2   

Fazendo sen x = cos 

       xx   x  x  a b a b . cos 2  = Transformando cos a + cos b = 2. cos . cos  , temos: 2. 2.cos  2  2 2      2   2                     2x   2           = 2. 2.cos  . cos  x   = 4.cos  . cos  x  = 4. . cos  x  2. 2.cos  2 . cos 2   4 4 2 2 4 4 2 4                         

     x  = 2 2 . cos x   4 4  

= 2 2 . cos

Observe que agora é possível encontrar a imagem, o período e o deslocamento horizontal.





a b a b   Poderíamos ter substituído cos x = sen   x  e transformado sen a + sen b = 2.sen  . cos .  2   2  2  Fica como treinamento para você.

Para treinar: encontre a imagem e o período de sen x – cos x.

2.senx. cos x sen 2x  2 2 2 2 2 2 sen x  cos x =  cos x  sen x = –cos 2x

sen x . cos x =









 







sen x  cos x = sen x  cos x . sen 2 x  cos2 x  sen 2 x  cos2 x .1   cos2 x  sen 2 x = –cos 2x 4

4

2

2

Domínio, imagem, período, sinais e monotonicidade (crescente, decrescente) das funções trigonométricas Função

2 2

1º + +

Sinais 2º 3º + – – –

4º – +

Cresce/Decresce 1º 2º 3º 4º        

R



+

–

+

–









R – (–1, 1)

2

+

–

–

+









R – (–1, 1)

2

+

+

–

–









R



+

–

+

–









Domínio

Imagem

Período

y = sen x y = cos x

R R

[–1, 1] [–1, 1]

y = tg x

R –   k.

y = sec x y = cossec x y = cotg x

  2    R –   k. 2  R – k. R – k.

Funções Inversas   

y = arcsen x  x = sen y  y   ,   2 2 y = arccos x  x = cos y  y  0, 

   ,   2 2

y = arctg x  x = tg y  y   

Nas equações trigonométricas: sen x = sen( – x) cos x = cos(2 – x) tg x = tg (180º + x)

equivalência de arcos para a função seno equivalência de arcos para a função cosseno equivalência de arcos para a função tangente

Nas inequações trigonométricas Simplifique a expressão trigonométrica, quando for o caso. Faça um esboço do ciclo. Atente para o universo.

Identidades trigonométricas Procure chegar a uma relação mais simples. Fique atento as igualdades:

sen 2 x  cos2 x  1 sen 2a = 2.sen a.cos a cos 2a = cos2 x  sen 2 x (e suas variações)

sen x cos x 1 sec x = cos x tg x =

1 sen x cos x 1  cotg x = e, também as fórmulas de transformações em produto. sen x tg x cossec x =

Bons estudos! Boa Prova!

Sorte é para quem não estuda.

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