SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS I La suma o la resta de dos o más polinomios puede realizarse sumando o restando sus términos semejantes. Estas operaciones pueden hacerse en vertical y en horizontal o en fila. Para ello nos fijaremos en los siguientes polinomios: P(x) = 7x2 – 5x4 +3x – 15 y Q(x) = 5x3 – 7 + 9x2 – 6x •
En vertical: se ordenan los polinomios en orden decreciente y se disponen uno sobre el otro, de forma que en la misma columna se encuentren los términos semejantes: P(x) =
–5x4 + 0x3 + 7x2 + 3x – 15
Q(x) =
5x3 + 9x2 – 6x – 7 ________________________________ –5x4 +
•
5x3 + 16x2 – 3x – 22
En horizontal o en fila: se ordenan los polinomios, escritos entre paréntesis, en orden decreciente, uno a continuación del otro y separados por el símbolo de la operación; a continuación se suman o se restan los términos semejantes: P(x) + Q(x) = (–5x4 + 0x3 + 7x2 + 3x – 15) + (5x3 + 9x2 – 6x – 7) = = –5x4 + 5x3 + 16x2 – 3x – 22 P(x) – Q(x) = (–5x4 + 0x3 + 7x2 + 3x – 15) – (5x3 + 9x2 – 6x – 7) =
= –5x4 – 5x3 – 2x2 + 8x – 8 1. Realiza las siguientes operaciones: a) (8x2 – 2x + 1) – (3x2 + 5x – 8) = b) (2x3 – 3x2 + 5x – 1) – (x2 + 1 – 3x) = c) (7x4 – 5x5 + 4x2 –7) + (x3 – 3x2 – 5 + x) – (–3x4 + 5 – 8x + 2x3) = 7 2 1 1 2 2 d) x 4 − x 3 + 31x 2 + 12 + x + − x 2 + 2 x 3 + 3 x − − x + + x 2 = 6 3 4 6 3 3 e) (–5z + 2y) – (2z – 5y – 7x –1) + (–3z – 4y – 9x) – (–4y + 8x – 5) = f) (xy2 –3x2 – y2 + x2y) – (x2y + 5x2) + (3xy2 – y2 – 5x2) =
2. Dados los polinomios P(x) = –7x4 + 6x2 + 6x + 5, Q(x) = –2x2 + 2 + 3x5 y R(x) = x3 – x5 + 3x2, calcula: a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x) c) P(x) + Q(x) + R(x)
d) P(x) – Q(x) – R(x) e) R(x) + P(x) – Q(x) f) P(x) – R(x) + Q(x)
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS I (Soluciones) 1. Realiza las siguientes operaciones: a) (8x2 – 2x + 1) – (3x2 + 5x – 8) = 8x2 – 2x + 1 – 3x2 – 5x + 8 = 5x2 – 7x + 9 b) (2x3 – 3x2 + 5x – 1) – (x2 + 1 – 3x) = 2x3 – 3x2 + 5x – 1 – x2 – 1 + 3x = = 2x3 – 4x2 + 8x – 2 c) (7x4 – 5x5 + 4x2 –7) + (x3 – 3x2 – 5 + x) – (–3x4 + 5 – 8x + 2x3) = = 7x4 – 5x5 + 4x2 –7 + x3 – 3x2 – 5 + x + 3x4 – 5 + 8x – 2x3 = = – 5x5 + 10x4 – x3 + x2 + 9x – 17 7 2 1 1 2 2 d) x 4 − x 3 + 31x 2 + 12 + x + − x 2 + 2 x 3 + 3 x − − x + + x 2 = 6 3 4 6 3 3 =
2 2 1 2 1 4 7 3 x − x + 31x 2 + 12 + x + − x 2 + 2 x 3 + 3 x + x − − x 2 = 3 3 6 3 4 6
=
1 4 5 3 88 2 14 69 x + x + x + x+ 4 6 3 3 6
e) (–5z + 2y) – (2z – 5y – 7x –1) + (–3z – 4y – 9x) – (–4y + 8x – 5) = = –5z + 2y – 2z + 5y + 7x +1 + –3z – 4y – 9x + 4y – 8x + 5 = = –10z + 7y – 10x +6 f) (xy2 – 3x2 – y2 + x2y) – (x2y + 5x2) + (3xy2 – y2 – 5x2) = = xy2 – 3x2 – y2 + x2y – x2y – 5x2 + 3xy2 – y2 – 5x2 = 4xy2 – 13x2 – 2y2 2. Dados los polinomios P(x) = –7x4 + 6x2 + 6x + 5, Q(x) = –2x2 + 2 + 3x5 y R(x) = x3 – x5 + 3x2, calcula: a) P(x) + Q(x) = (–7x4 + 6x2 + 6x + 5) + (–2x2 + 2 + 3x5) = = –7x4 + 6x2 + 6x + 5 – 2x2 + 2 + 3x5 = 3x5 – 7x4 + 4x2 + 6x + 7 b) P(x) – Q(x) = (–7x4 + 6x2 + 6x + 5) – (–2x2 + 2 + 3x5) = = –7x4 + 6x2 + 6x + 5 + 2x2 – 2 – 3x5 = –3x5 – 7x4 + 8x2 + 6x + 3 c) P(x) + Q(x) + R(x) = (–7x4 + 6x2 + 6x + 5) + (–2x2 + 2 + 3x5) + (x3 –x5 + 3x2) = = –7x4 + 6x2 + 6x + 5 – 2x2 + 2 + 3x5 + x3 –x5 + 3x2 = 2x5 –7x4+ x3 + 7x2 + 6x + 7
d) P(x) – Q(x) – R(x) = (–7x4 + 6x2 + 6x + 5) – (–2x2 + 2 + 3x5) – (x3 –x5 + 3x2) = = –7x4 + 6x2 + 6x + 5 + 2x2 – 2 – 3x5 – x3 +x5 – 3x2 = –2x5 –7x4 – x3 + 5x2 + 6x + 3 e) R(x) + P(x) – Q(x) = (x3 –x5 + 3x2) + (–7x4 + 6x2 + 6x + 5) – (–2x2 + 2 + 3x5) = = x3 –x5 + 3x2 + – 7x4 + 6x2 + 6x + 5 + 2x2 – 2 – 3x5 = = –4x5 – 7x4 + x3 + 11x2 + 6x + 3 f) P(x) – R(x) + Q(x) = (–7x4 + 6x2 + 6x + 5) – (x3 –x5 + 3x2) + (–2x2 + 2 + 3x5) = = –7x4 + 6x2 + 6x + 5 – x3 +x5 – 3x2 – 2x2 + 2 + 3x5 = 3x5 – 7x4 – x3 + 6x + 7