TEORIA POLINOMIOS son expresiones algebraicas enteras. Ejemplos: a) x 7 + 2.x 3 + 3.x 2 + 2.x − 3 b) t 2 − t + 1 c) x.z + 7.x 2 .z − 9.x 5 .z 3 a) y b) polinomios en una variable c) polinomio en dos variables. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Monomio: son los polinomios de un solo término Ejemplo: Son monomios: a) 2.x 3
b) 0,003.t 4
c)
3 5 .m 2
d) 6.x 5 . y 7
El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las variables. En el ejemplo anterior en a) el grado es 3 en b) el grado es 4, en c) el grado es 5 y en d) el grado es 12. En un monomio, el factor numérico se llama coeficiente y el factor que contiene la variable se llama parte literal Ejemplo: en b) el coeficiente es 0,003; la parte literal es t 4 .; en d) el coeficiente es 6 ; la parte literal es x 5 .y 7
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal sin importar los coeficientes. Ejemplo: Los monomios: −3.x 5 y
3 5 .x son semejantes. 4
Dos monomios son iguales cuando son iguales los coeficientes y tienen la misma parte literal. Luego, los monomios b.x ; 4.x son iguales si y solo si b = 4 Binomio: son los polinomios de dos términos Ejemplo: Son binomios: x + y ; t 4 + 3.t ; x 3 + 8
Trinomio son los polinomios de tres términos. Ejemplo: Son trinomios: x 2 + 2.x. y + y 2
; t5 + t6 − 9
; a+b+c
Cuatrinomio son los polinomios de cuatro términos.
Ejemplo: Son cuatrinomios: x 2 + 3.x. y + y 2 − 24 ; 9.t 5 + t 6 − 9 + 8.t 7 ; a + b + c + d Para los polinomios de más de cuatro términos, hablamos de polinomios de 5,6.....n términos. Se llama grado de un polinomio al grado del término de mayor grado. Ejemplo: El polinomio 4.x 7 + 2.x 5 + x + 1 es de grado 7., mientras que el polinomio t 3 + t 2 + t + 7 tiene grado 3.
El coeficiente del término que determina el grado se llama coeficiente principal En el ejemplo anterior, en el primer polinomio el coeficiente principal es 4; en el segundo polinomio el coeficiente principal es 1.
Dos polinomios son opuestos cuando difieren únicamente en cada uno de los signos de los términos que lo componen. El opuesto de P(x) es – P(x) Ejemplo: Los polinomios x 7 + 5.x 3 + x − 6 ; − x 7 − 5.x 3 − x + 6
son opuestos
Un polinomio está ordenado cuando lo está con respecto a las potencias crecientes o decrecientes de las variables. Ejemplo: 2.x 4 + 5.x 3 + 3 x 2 − x + 1 es un polinomio ordenado en forma decreciente es un polinomio ordenado en forma creciente
Un polinomio está completo cuando están todas las potencias de las variables. Ejemplo: x 4 + x 3 + 6.x 2 − 2.x − 9
POLINOMIO EN UNA VARIABLE O INDETERMINADA x La forma general de un polinomio en una variable o indeterminada x es: n− 1 P( x) = a0 + a1. x + a2 . x 2 + ................... + an − + an . x n 1 .x
Donde a0 ; a1 ; a2 ;.............; an −1 ; an son números reales llamados coeficientes y los exponentes de x son enteros no negativos. a0 se llama término independiente. an es coeficiente principal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Polinomio nulo: Es todo polinomio tal que sus coeficientes an son todos nulos El polinomio nulo P ( x ) no tiene carece de grado. Ejemplo: P( x) = 0 + 0.x + 0.x 2 +................... + 0.x n −1 + 0.x n = 0 grado ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Polinomio constante: Es todo polinomio en la indeterminada x que tiene grado 0 Ejemplo: P ( x) =16 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Polinomios idénticos: Dos polinomios son idénticos cuando son iguales los coeficientes de los términos de igual grado Ejemplo: los polinomios P ( x) = b.x + 5 y Q ( x) = 3.x + 5 son idénticos si y solo si b = 3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Valor numérico de un polinomio: Es el valor que tiene dicho polinomio para un valor determinado de la variable x 1 2
3 2 Ejemplo: Dado: P ( x) = .x − 2.x + 3.x
el valor numérico para x = 3 es
1 9 P ( x ) = .33 − 2.32 + 3.3 = 2 2 9 Entonces: P( 3 ) = 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ceros o raíces de un polinomio: Se llaman ceros o raíces de un polinomio a los valores de la indeterminada que anulan al polinomio. Ejemplo: En P ( x) = 2.x 2 − 3.x +1 es x = 0 raíz o cero de P ( x ) porque anula a la función. P (1) = 0
FIN Prof. Ernesto Espíndola
TRABAJO PRACTICO 2 5 3
4 3 2 Ejercicio 1: En P( x ) = πx + 7 x − x − 11
i) ii) v) vii)
El número de términos es................... ii) El tercer término es ................... El coeficiente del segundo término..............iv) El coeficiente del término lineal es................ El coeficiente a3 es.......................... vi) El grado es................. El coeficiente principal es.................... viii) El término independiente es...................
Ejercicio 2: Escriba la expresión completa de los siguientes polinomios: i)
R( x ) = −1 +
1 4 x − x5 2
ii) S ( x ) = −x + 2 x 4
3 4
iii) T ( x ) = 2 + x + x 3 − 3 x 6
Ejercicio 3: Escriba el polinomio opuesto de: i) P( x ) = −7 + 0 ,5 x 3 ii) Q( x ) = − 3 x 5
iii) R( x ) = 1 − 9 x − x 4 + 3 x 6
Ejercicio 4: Escriba: i) Un monomio de grado 10 ii) Un cuatrinomio de grado 6 4i) Un binomio de grado 1
iii) Un trinomio de grado 3 3 2
3 2 Ejercicio 5: Averigue si: 0; - 1 y 2 son raíces de P( x ) = x − 2 x + x + 4 ,5
Ejercicio 6: Halle las raíces de: i) P( x ) = 5 x − 5
ii) Q( x ) =
2 x 3
iii) R( x ) = 5 x 2 − 20 Ejercicio 7: ¿Cuánto vale b para que los polinomios P ( x ) yQ( x ) sean idénticos? P ( x) = 2bx 3 + x 2 +1 ; Q( x ) = 10 x 3 + x 2 + 1 FIN Prof. Ernesto Espíndola